MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011"

Átírás

1 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0

2 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe változó meységek mérése Dgtáls méréstechka alapja Laborgyakorlatok: Geometra alapmérések D53

3 Elvárások Elérhető teljes potszám: 00 Mérés gyakorlatok száma 6, ebből mamálsa 60 pot szerezhető meg az elvégzett mérésekért. Az elmélet ayag számokérése az utolsó előadás órá törték. A zh 40 potot ér. Aláírás feltétele m. 40 pot, a következő botásba: A mérések össz-potszáma legalább 4, ZH- 6 pot elérése. Mde mérés gyakorlato írásba, vagy szóba elleőrzzük az adott mérés gyakorlat ayagából való felkészülést, és a jegyzőköyv potszámát a számokérés eredméyével súlyozzuk. ZH a 4. héte

4 Mért fotosak a mérés jegyzőköyvek esetébe a forma követelméyek? Kalbrálás jegyzőköyv Vzsgálóeszköz azoosítószám: Típus: Mérés tartomáy: Mérőhasáb készlet száma:.sz. beállító gyűrű számjele:.sz. beállító gyűrű számjele: Vzsgálat hőmérséklet: Mérőpofák párhuzamossága: Tolómérő felületéek épsége:

5 Ajálott rodalom Halász Huba: Műszak mérések (Műegyetem Kadó, 003) Hütte: A mérök tudomáyok kézköyve, H fejezet (Sprger, 993) Schell: Jelek és redszerek méréstechkája (Müszak Köyvkadó, 985) Walcher: Wkel-ud Wegmessug m Maschebau (VDI 985, ISBN )

6 Bevezetés A GÉPÉSZET ÉS A MÉRÉSTECHNIKA

7 Példa: NC, CNC pozcoáló redszerek D/A koverter Jelformáló (szabályozó) - Jelfeldolgozó PC, vagy mkrokotroller Alapjel (előírt érték)

8 Aktív csapágyazás (N>0.000/m) Pl.: Lézer TV polgo tükre, spec. hűtőkompresszor, Teljesítméy erősítő Szabályozó Jelfeldolgozó Forgórész Távolságszezor-pár (utadó) Elektromáges-pár

9

10

11 CD-fej CD lemez metszete Traspare s réteg Lézersugá r Címkeoldal Védőréteg Tükrözőrét eg Pt Lecse Függőleges mozgatást végző tekercs L,R Forgatást-tolást végző tekercs m Tekercsfoglalat k,b Uref,Vref=0 A CD-fej elv felépítése

12 Folyamatos távolság mérés a CD-fej és a lemez között Lecsefoglalat a leárs motorral A kvadrás fotódetektor, mt mérőtag Cél az értéktartás: a c b d 0 U E

13 Hosszúság mérés a PAV. reaktorá-ba A reaktor fő mérete

14 Hosszúság (helyzet) mérés a PAV. reaktorába A helyzetmérés elv elredezése Mérés feladatok:. Védőcsőblokk. Kosár (fűtőelemek helye) magasság helyzetéek 3 potos elleőrzése. Előírt mérés bzoytalaság: ma. 0, mm (0e-4) Köryezet feltételek: 50 C, radoaktív sugárzás, bóros hűtővíz

15 Ks ampltúdójú rezgések értés és vsszahatás metes mérése Demo: DVD Szubmkroos ampltúdó tartomáy Összetett felületek letapogatása Lézerféy, Doppler-effektus Szuperpozícó és lebegés detektálása terferométer segítségével Optoelektrokus érzékelés és elektrokus adatfeldolgozás Alk. pl.: Karosszéra és géprezgések

16 Ktektő SZEMELVÉNYEK A A MÉRÉSTECHNIKA TÖRTÉNETÉBŐL

17 Írásos feljegyzések, dőszámítás Vca-tordos kultúra Kr. e körül Tatárlak táblák (Torma Zsófa) Sumer Kr. e. 300-tól Terület-és hosszmértékek, dőmérés Egyptom Kr.e. 300-tól Kía Kr. e. 000-től Mayák Kr. e. 000-től 365 ap = év, égyévete szökőap Bablo Kr. e. 800-tól Olmékok Kr.e. 00-tól Görögök Kr.e. 776-tól stado ~ 9,5 m Rómaak Kr.e. 753-tól

18 A MÉRÉSÜGY A TÖRTÉNELEM TÜKRÉBEN Mta élkül a kezdetek kezdeté Sumer Kr.e. 300, Hosszúság - súly - dő 4 hüvelyk = köyök (~0,495 méter), 6 köyök = ád Daa (bru) ~ 8550 méter csllag-aptár, vízóra, ap = óra tömeg-etalo: ~ 65 mg-os hematt súlyok (gaboaszem) 6 Maa = g, Maa (~ 0,5 kg) = 60 gr = 80 se K.e. 500 tól terület, térfogat Szla ~0,45 lter Ga ~35 ár, Sar ~35,8 méter, kör 360, terület (π ~ 3), gömb térfogat

19 Ks smeretterjesztés Mezopotámáról (ha már egyszer az írás és számolás egyk forráshelye) Kr.e Sumer vrágkor Akkad (350 Sargo) Sumer reeszász (épvádorlás pusztítja el) Óbablo Óasszíra 749 Hammurab Közép Bablo (Kaldea) Asszíra (~600 Nabukadecar) Perzsa (546 Kürosz,50 Dareos) Makedóok 50 Kr. u. 6 Parthusok (szkíták) Kr. u. 6-tól Róma, Perzsa, Arába, Törökország

20 TÖRVÉNYKEZÉS ÉS MÉRÉSÜGY KAPCSOLATA A RÉGMULTBAN SUMER (Kr.e. kb. 300-től) Hogy yugodt alvásod legye, potosa mérj, és végezzed mukádat! A legrégebb, smert törvéyköyv, Ut-Napstm uralkodó (Kr. e. 800 körül) AKKÁD - ASSZÚR - BABILON (Kr. e. kb )...ha az ökör szabad ember fát felöklelve, aak halálát okozza, fél mae ezüstöt fzet (Talo: A bablo törvéy szellem vezéreszméje a bosszú, ld.: Hammurab törvéy- köve Kr.e ) ÓSZÖVETSÉG (Kr.e. kb. 00-től) Hbátla és potos legye a te súlyod, hbátla és potos legye az űrmértéked, hogy sokág élj azo a földö, amelyet az Úr ad eked! Móz. V ISZLÁM (Kr. u. 560) Az rgalmas és köyörületes Allah evébe üldözze balsors azokat, Akk csalak a súlyokkal és mértékekkel, valamt azokat, Akk teletöltk a mértékeket, amkor másoktól vásárolak, De lecsökketk, amkor maguk s eladak. Korá, 83. szura

21 Idő IPARI FORRADALOM KÜSZÖBÉIG 5 MENNYISÉG MÉRÉSE JELLEMZŐ Geom. szög Természet jeleség alapo Hely voatkoztatással Tömeg Térfogat Hosszúság Kohereca élkül Uralkodók, vezetők ökéye szert Mértékek kohereca élkülsége az egyes országok (országrészek!) között. Példák: H Zsgmod (405) : Tömeg, hossz-és űrmértékek Budához gazítva 655-től a pozsoy városház mértékek (öl, arasz, rőf, stb.) domacája F 790-g 50-féle fot súlyegység, láb, rőf GB 580 tájá (I. Erzsébet) : országos egységesítés ( Imperal mértékek )

22 VISSZAVEZETÉS TERMÉSZETI ÁLLANDÓKRA : XVIII. SZ. Első javaslatok a HOSSZÚSÁG vsszavezetésére: Gabrel Mouto (Lyo, 670): délkör /460-ed része Charles Talleyrad autu- püspök 790: s legésdejű ga hossza Fraca Tud. Akadéma: Borda, Lagrage, Laplace, etc. Méter javaslatok: Sec-ga hossza Egyelítő egyvemllomod része Negyed-délkör tízmllomod része Változk a ehézség erő lokáls jellege matt Nehézkes mérés Párzs délkör: Dukerque- Barceloa Hosszmértékből származtatva: TÖMEG Lavoser 793: dm³ 4ºC (?) hőmérsékletű víz (?) tömege kg.

23 A méter keletkezése A délkör hosszáak megállapításához két adat volt szükséges: Dukerque-Barceloa földrajz szélességéek külöbsége a csllagok állása alapjá: 9º 39 A fet távolság meghatározása >00 háromszögelés pot segítségével A 00 év előtt mérés 0. mm-rel rövdebbek állapította meg a méter alapegységet a ma eszközökkel mérhető értékél, - így ír a szakrodalom. Eretek godolatok: Valóba lye potos méréseket tettek lehetővé a korabel műszerek és lye stablak voltak a geodéza potok? Meyre szabályos-e a Föld alakja az adott délkör meté? Beszélhetük-e valós délkörről? (Képzeletbel kör, amelyek középpotja egybeesk a Föld középpotjával (?), és átmegy az Észak (?) és a Dél Sarko (?). Nem a véletle és a redszeres hbák éha egymást kompezáló együttes hatása eredméyez a valóba mpoáló ks eltérést?

24 EURÓPA ÉS MAGYARORSZÁG 799. jú..: Etalook (ősmértékek) bemutatása a törvéyhozásba, letétbe helyezés a Köztársaság Levéltárba: Méter: plata rúd Klogramm: plata heger???? 86: Németalföld törvéyt hoz a bevezetésről 840: Méterredszer törvéyessé tétele Fracaországba (Lajos Fülöp) 849: Spayolország törvéyese elfogadja az ősmértékeket 847: Bcské Nagy Károly matematkus a csllagvzsgálójába vsz az eredetleg a párzs obszervatórum részére készült méter és klogramm etalot. A klogramm jeleleg s megva, a méter a II. vlágháború alatt eltűt : Mérésügy törvéy előkészítése 874: Törv. elfogadása Magyarországo. Kruspér Istvá és Szly Kálmá 870- be újrahtelesít Párzsba a bcske etalookat. 870 Párzs: 5 állam megalapítja a Nemzetköz Méterbzottságot (Kruspér) 875 Párzs: 0 ország aláírja a Nemzetköz Méteregyezméyt (Appoy) 907: Törvéy az állam mérésügyről, M.kr.Közpot Mértékügy Itézet 95: Megalapítják az OMH-t 007: Magyar Kereskedelm Egedélyezés Hvatal (volt OMH betagozódott)

25 NÉHÁNY NEMZETKÖZI SZERVEZET A MÉRÉSÜGYBEN Nemzetköz Méteregyezméy CIM közpot laboratóruma Sevres-be: BIPM Nemzetköz Súly-és Mértékügy Hvatal feladata Etalook alapskáláak létesítése Nemzetköz etalook őrzése, összehasolítás Mérés módszerek fejlesztése Fzka álladók meghatározása Nemzetköz Mérésügy Szervezet OIML segít a emzet mérésügy mukáját

26 Fotos fogalmak a labormérések kértékeléséek segítéséhez (Ks előzetes a taayag statsztka részéből) Mérés sorozat: Azoos meység (méret) smételt mérése ugyaazo mukadarabo. Ha a mérést -szer smételjük, és 0, akkor a sorozat szórásáak becslése az átlag szórásával törtéhet. Sorozatmérés: Azoos meység (méret) mérése azoos típusú gyártmáy eltérő darabja.

27 AMIKRE A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSBÓL ÉPÍTÜNK:. Mérés eredméy alakja. Várható érték (Az smeretle meység matematka becslése, első mometum, leárs átlag) 3. Redszeres hbák eredője (Korrekcó: H) 4. Véletle hbák eredője (Eredő bzoytalaság) 5. Megbízhatóság (kofdeca) szt, és faktora 6. Korrgált tapasztalat szórás 7. Átlag szórása smételt mérés eseté (mérés sorozat) 8. Sűrűségfüggvéy f() 9. Eloszlásfüggvéy (kumulált valószíűség) F() 0. Regresszó (Leárs, valamt Wald módszere)

28 A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA q q q (ISMÉTLÉS) A mérés csak akkor befejezett, ha a hbaszámítást s elvégeztük! Méredő meység Mérőszám (3 részből áll) Etalo mértékegység h H v Helyette: valód érték, csak elmélet, mert ha smerék, em kellee mérük, leolvasott, téylegese mért érték h vagy helyes érték, amelyet val. szám. módszerekkel becslük. Az elmélet várható érték (μ), vagy az ezt legjobba közelítő átlag H smert redszeres hbák eredője Elméletbe: H = v Gyakorlatba: H = h bzoytala eredetű, véletle hbák eredője. Bzoytalaság tartomáy. Pl. egy összetevője a műszerköyvbe előjellel szereplő hba.

29 MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA Fgyelem! A következő 4 dá szereplő képletek em felsmerések eredméye. Ezek az összefüggések valószíűségszámítás módszerekkel gazolhatók. Eredméy EGYETLEN MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN: Leolvasott érték y H t u Bzoytalaság, am az eljárás és a kvtelezés hbára vezethető vssza. (Szűkebbe értelmezve a műszer bzoytalasága). Eredő redszeres hba (korrekcó) Megbízhatóság (valószíűség szt) faktora

30 MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN A TÍPUSÚ BECSLÉSSEL: Eredméy y H t s H t s Sorozat átlaga, vagy az átlagok átlaga Eredő redszeres hba Átlag szórása Megbízhatóság szt faktora

31 MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA TÖBB MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN B TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL: y H U H t j k u j c s Eredméy Sorozat átlaga Eredő redszeres hba Megbízhatóság szt faktora Kterjesztett bzoytalaság

32 A KITERJESZTETT MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG értelmezése az Europea Cooperato for Accredtato of Laboratores útmutatója alapjá (Mérésügy Közleméyek XXXIX./ U k u t j k u j c s Kterjesztett mérés bzoytalaság (k faktor a kofdeca sztből adódk), javasolt értéke:, azaz 95% Kofdeca szt faktora k, vagy t A mért adathalmazokból számított szórások égyzetösszege. Ha közvetett a mérés, akkor a c súlyfaktorokkal s számol kell A mérés hardveres szórásaak, bzoytalaságaak eredője

33 MEGJEGYZÉSEK a kterjesztett mérés bzoytalasághoz. A bzoytalaság számítása más módo s törtéhet.. Ma apg haszálatosak külöböző vállalatokál u. belső mősítés redszerek, amelyek az EAL-R ajálástól eltérhetek. 3. Egy korább dőkbe alkalmazott módo va kszámítva az eredő bzoytalaság a Halász Huba: Műszak mérések c. jegyzet 5.5. fejezetébe (95. old.). 4. Fotos, hogy a felhaszáló számára vlágossá tegyük paraméteres alakba s azt, hogya jutottuk az eredméyhez. 5. A. sz. mérés kértékelését md a régebb, mt az új útmutatók alapjá el lehet végez, bár ajáljuk a korszerűbb változatot.

34 MI MICSODA? (Ks valszám előzetes a mérés laborgyakorlatok segítése céljából)

35 Előzetese két fotos képlet: A számta átlag kszámítása: Korrgált tapasztalat szórás meghatározása az abszolút hba felhaszálásával: s A fet képlettel meghatározott szórást korrgált tapasztalat szórásak evezk a valószíűségszámításba és a statsztkába.

36 Mérés sorozat kértékelése és az eloszlás próbája A szórás számításáál kzárólag csak a sorozat hossza matt megegedett az -el való osztás, - helyett!

37 KEREKÍTÉSI SZABÁLYOK A felesleges számjegyeket elhagyjuk, a megmaradókat kerekítjük. Elhagyott jegy Megmaradó jegy Példák < 5 Nem változk > 5 Eggyel ő = 5, de utáa va még értékes jegy = 5 és a megmaradó jegy páratla = 5 és a megmaradó jegy páros, vagy ulla Nem változk

38 R 3. F L 4 A L R 3.7 F L 3 4. L A Mérés adatok feldol- gozása adat csoportosítással (osztályok) és Aélkül KEREKÍTÉS s E s E

39 Mérés és valószíűségszámítás Az abszolút gyakorságtól a sűrűségfüggvéyg

40 Okság törvéye A jeleségeket okok redszere hozza létre. Ha az okok mdegykét fgyelembe lehete ve, a jeleség lefolyása azokból egyértelműe levezethető, kszámítható vola. Mvel ez lehetetle, az esetek túlyomó többségébe a jeleségeket véletleszerűek evezhetjük.

41 OKSÁG TÖRVÉNYE KAUZÁLIS SZKÉMA Ha a feltételek összessége feáll, akkor az eseméy bekövetkezk. Műszak példa: V A A külöbségtétel csak a saját fogyatékos smeretek matt, esetleg célszerűségből szükséges. SZTOCHASZTIKUS SZKÉMA A hatótéyezők száma oly agy, és oly boyolultak az összefüggések, hogy ezeket vagy em lehet számba ve, vagy a ktűzött feladat megoldása érdekébe ez em s szükséges. A folyamat fő jellemzője a véletleszerű tömegjeleség. Műszak példa: Rezgő gépalkatrész által kbocsátott hagyomásszt pllaaty értéke

42 Valószíűség számítás fogalma a méréstechkába Valószíűség változó a méréstechkába: mérés adat (elem eseméy), és mde jellemző, amt az adatokból számíta lehet. Átlag, szórás, llesztett egyees meredeksége, tegelymetszete, stb. Ismételt mérésél véletle gadozást mutat, a külöböző tervallumokba eső értékeket meghatározott valószíűséggel vesz fel. A valószíűség defícója egy később dá látható. Lehet folytoos, vagy dszkrét változó.

43 A mérés adatot tehát véletle elem eseméykét kell felfog. A gépészetbe vaak álladó mérés adatok, lyeek például az alkatrészek hosszmérete, és vaak dőbe folytoosa változó adatok, ezek közé tartozk pl. a rezgés ampltúdó, vagy a géprezgések által keletkező hagyomásszt gadozása. Valószíűségszámítás szempotból mdkét típust folytoos változóak kell tekte, mert mdkét adat-típus adott értékhatárok között elvbe végtele sok értéket vehet fel. A későbbekbe bevezetésre kerülő eloszlás és sűrűség függvéyek defícója matt fotos az, hogy a gyakorság u. hsztogram segítségével ábrázolható. A hsztogram vízsztes tegelyé a mért értékek szerepelek, a függőleges tegelye a relatív gyakorság.

44 Valószíűség számítás fogalma a méréstechkába A mérés adatok terjedelme: R = ma - m A terjedelmet résztervallumokra botjuk, és megszámoljuk az egyes résztervallumokba eső mérés adatokat. Célszerűség okokból előyös, ha a résztervallumok azoos széelsségűek. Eze adatok száma az tervallumba előfordulás gyakorsága. Relatív gyakorság a gyakorság vszoyítása az összes mérések számához.

45 Valószíűség számítás fogalma a méréstechkába A relatív gyakorság változk a mérések számáak övelésével: Relatív gyakorság Valószíűség= P(A) ahol A az tervallumba esés eseméyét jelöl Mérések száma Megfgyelhető, hogy az esetek többségébe a relatív gyakorság gadozása csllapodk a mérések számáak övelésével. Sok mérés eseté jól megbecsülhető az átlag. Ezt az átlagot evezzük az eseméy (esetükbe az tervallumba esés) valószíűségéek. A relatív gyakorságból következk, hogy: 0 P(A) Határozotta meg kell külöböztet a relatív gyakorság és a valószíűség fogalmát: A relatív gyakorság valószíűség változó, és csupá torzítatla becslése a valószíűségek!

46 A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉSE 654. júl. 9. Pascal egy Fermat-hoz írt levélbe a valószíűségszámítás első tudomáyos géyű tárgyalása olvasható Az első valószíűség defícók Beroull: A valószíűség olya bzoyosság fok, amely úgy vszoyul a teljes bzoyossághoz, mt rész az egészhez. Laplace: Azoos valószíűséggel bekövetkező eseméyek eseté P Kedvező eseméyek száma Összes lehetséges eseméy száma Gauss, Posso, Markov stb. A legfotosabb véletle folyamatok és valószíűség eloszlások kutatása. 933 Kolmogorov A valószíűség elmélet halmazelmélet alapoko yugvó aomatkus megalapozása. A valószíűség e szert egy eseméyhalmazo értelmezett halmazfüggvéy p=p(a).

47 q MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA s 3 A Csoportba sorolással q r r s... 3 s s k... k k k 3 k k k s k s eredő Ha a szórások közelítőleg azoosak: s s s Függetle sorozatokra: s s s... sk... s Az átlagok átlaga, ha mde ksmtába azoos számú elem va: k r m q r r m r r qr k r 0 r f r eseté M f k k d

48 AZ ELSŐ STATISZTIKAI TAPASZTALATOK : AZ ÁTLAG SZÓRÁSA Tapasztalat téy, hogy azoos körülméyek között megsmételt számú mérés sorozat elvégzése utá mde sorozat eleme szórak a saját átlagértékük körül. Az átlagértékek vszot ugyacsak szórak az átlagok átlaga körül, bár eek a szórásak a mértéke ylvávalóa ksebb. A várható értéket az átlagok átlaga jobba közelít, mt egyetle sorozat átlaga. Az átlagok ormál eloszlást mutatak, ha a mérés eredméyek s ormál eloszlásúak. Az átlagok átlaga: Ha em szereték (em tudjuk) a mérés sorozatot elvégez, vajo lehetséges-e egyetle, elvégzett mérés sorozat szórásából megbecsül azt, hogy a sorozat -szor megsmétlése eseté mekkora lee az átlagok szórása? Ld.: Dához fűzött jegyzetbe. j j

49 Az átlag varacája (szóráségyzete) és szórása: s D D D... D D D... D D D D Hogya vszoyul egymáshoz egyetle mérés sorozat szórása és több mérés sorozat átlagáak szórása? Egy elemű mérés sorozat szórása: s D Átlag sűrűségfüggvéye Sorozat sűrűségfüggvéye Az átlag becsült szórása: Ezek a valószíűség változók akár átlagok s lehetek! s s

50 A MÉRÉSEK SZÁMA ÉS A SZÓRÁS A ormál eloszlású valószíűség változó eseté a várható érték körül rajzolt 3σ tartomáyba esés valószíűsége 99.7 %. Az átlag körül rajzolt s 3 tervallumba esk bele a keresett várható érték. Bzoyos méréstechka szabváyok az átlag korr. tapasztalat szórásával törtéő számítást gyakorlatba csak 0 smételt mérés esetébe egedk alkalmaz. Eek egyk okát a 3.. fejezet 39. dájá, a hba csökketésével összefüggésbe láthatjuk. Fotos gyakorlat következtetés: A bzoytalaság csökketése érdekébe érdemesebb a tapasztalat szórás csökketésére töreked (a mérések godosabb kvtelezésével), mt a mérések számát övel!

51 HISZTOGRAMTÓL A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNYIG Célszerűség: Az adatok számáak övekedése e okozza az ordáta hosszáak övekedését. Az egyes osztályokhoz tartozó részhalmazokat voatkoztassuk a teljes alapsokaságra (ld.: 7. da): q r rel.gyakorság A hsztogram egy téglalapjáak területe azoos a relatív gyakorsággal: q r f () Az f() függvéyt sűrűségfüggvéyek evezzük.

52 40 db-os mérés sorozat eredméyéek ábrázolása osztályba sorolás utá, hsztogramo: 9 qr =40 Δ r

53 Valószíűségszámítás jellemzők számítása: Átlagérték várható érték A mta várható értékéek becslése: k r q r Elmélet várható érték: E() f d Szóráségyzet (varaca, dszperzó) Tapasztalat szóráségyzet eseté: A korrgált tapasztalat szóráségyzet: s s k r q r Elmélet szóráségyzet: D Var E f d f d

54 A hsztogramtól a sűrűségfüggvéyg rajzba qr / Relatív gyakorság hsztogramo q r f Δ A valószíűségszámítás modell megadása a valószíűség változó és az eloszlásfüggvéy segítségével: F( F( F( ) ) ) P( 0 ) f () Valószíűségsűrűség függvéy P f d F

55 Eloszlásfüggvéy sűrűségfüggvéy - valószíűség folytoos valószíűség változó, ha eloszlásfüggvéye F() folytoos, és szakaszokét folytoosa derválható a sűrűségfüggvéy: f P lm 0 df d mde -re A valószíűség kszámítása a sűrűségfüggvéy alkalmazásával: P( ) F( ) f d f d F( ) Ha folytoos változó, akkor az = bekövetkezés valószíűsége zérus, de em lehetetle. A méréstechka gyakorlatba szokásos határok között forma jeletése a következő: Aak a valószíűsége, hogy a megadott tervallumba esk, az eloszlásfüggvéy segítségével határozható meg. P(a b) F(b) F(a) b f d a f d

56 P f d F % f() f(u) Stadard ormál eloszlás Sűrűségfüggvéy és a kumulált valószíűség függvéy, azaz eloszlásfüggvéy szemléltetése μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ u F() F(u) = = = μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ u

57 Fotos eloszlások a méréstechkába Normál eloszlás Studet eloszlás Egyeletes eloszlás Néháy egyéb jellegzetes sűrűségfüggvéy

58 Jellegzetes sűrűségfüggvéyek f() Alkalmazás Normáls eloszlás (és Stadardzált ormáls eloszlás) f e Közpot határérték tétel: Sok, tetszés szert eloszlású valószíűség változó összege ormáls eloszlást ad. Pl.: Mérés adatok eloszlása Bomáls eloszlás f p p ha 0,,,..., máskét 0 Kockajáték, szúrópróba

59 Jellegzetes sűrűségfüggvéyek f() Alkalmazás Possoeloszlás f e! 0 ha ha 0,,,... 0 Rtka eseméyek száma agyobb tervallumba Logartmkus ormáls eloszlás f 0 e l ha ha 0 0 Vállalatok forgalma, élettartam szélsőségese agy géybevételekél

60 Jellegzetes sűrűségfüggvéyek f() Alkalmazás Epoecáls eloszlás f 0 e 0, 0 0 Nem öregedő termékek élettartama Webulleloszlás f 0 e - Öregedő termékek élettartama, ayagkfáradás

61 Közpot határeloszlás tétel: A NORMÁL ELOSZLÁS EREDETE Nagy számú, függetle valószíűség változó összegéek eloszlása közelítőleg ormáls eloszlású, ha az egyes tagok értéke kcs a teljes összeghez képest. A metrológába eek azért va agy jeletősége, mert a mérés hbák sok, egymástól függetle zavaró téyező hatására alakulak k. Megjegyzedő, hogy em mde határeloszlás ormál típusú. A ormál eloszlás alapgodolata: Hbafüggvéy f(δ) Feltételezések: 0 =0 δ 0 =δ abszolút hba 0 : várható érték. A hbafüggvéy szmmetrkus, azaz az azoos agyságú, poztív és egatív előjelű hba előfordulásáak valószíűsége azoos.. A ks hbák agyobb valószíűséggel fordulak elő, mt a agyobbak. 3. A zérus hba előfordulásáak valószíűsége legye a legagyobb.

62 NORMÁL ELOSZLÁS STANDARDIZÁLT NORMÁL ELOSZLÁS (LD. FÜGGVÉNYEIT AZ 56. DIÁN) F( ) aak a valószíűsége, hogy a változó értéke A paraméterek emprkus (gyakorlat) esetbe: Normál eloszlás sűrűségfüggvéye: F F P f d sx sx ( f ) e Az értékek egyszerűbb, táblázatos formába törtéő megadhatósága érdekébe áttérés egy paraméteres, ormalzált ormál eloszlás függvéyre: u d u du F u e du e du Fet eloszlásfüggvéyből a ormalzált sűrűségfüggvéy s származtatható: f u u e

63 A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MÓDSZEREINEK ALKALMAZÁSA A MÉRÉSTECHNIKÁBAN A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG SZÁMÍTÁSA HIBAINTERVALLUM MEGBÍZHATÓSÁGI SZINT SZÓRÁS A MÉRÉSI SOROZAT HOSSZÁNAK HATÁSA

64 PÉLDÁK A NORMÁL ELOSZLÁSRA. Előírt értékkel va megadva a véletle hba tervalluma. Mekkora P való-szíűséggel esek a mérés eredméyek a megadott hbahatárok közé? Tektettel arra, hogy emprkus adatokról va szó, mdhárom esetbe átlaggal és tapasztalat szórással számoluk! a./ P( s s)? P s s F s F s Átalakítás u-tól való függésre: Továbbá: P s s P s P u F() F( ) F() F F F táblázatból P u P 68.7%

65 b./ P( s s)? P s s F s F s Átalakítás u-tól való függésre: Továbbá: P s s P s P u F() F( ) F() F F F táblázatból P u P 95.45%

66 c./ P( 3s 3s)? P 3s 3s F 3s F 3s Átalakítás u-tól való függésre: Továbbá: P 3s 3s P 3 s 3 P 3 u 3 F(3) F( 3) F(3) F 3 F 3 F táblázatból P 3 u P 99.73%

67 Az F(u) táblázat aszmmetrája matt adódó feladatok Írjuk le a matematka yelvé, ha a véletle eseméyek (pl.: a hbák) a várható érték körül szmmetrkusa szóródak s=μm értékkel és 99% (P=0,99) valószíűséggel kívájuk megad az eredméyt: P u s H u s 0,99 A ormált ormáls eloszlás u értéket tartalmazó táblázat azoba a matematka defícó értelmébe adja a valószíűségeket, és ez az tegrálás aszmmetrkus: u u / f / d P f d Azaz aak a P valószíűségét, hogy az valószíűség változó a (- < ) tartomáyba esk, az F() eloszlásfüggvéy (= ) helye vett értéke adja meg. Tehát, ha a fet feladat megoldása közbe szmmetrzálás élkül vesszük fgyelembe a táblázat értéket, komoly számítás hbát véthetük: P H u s 0, 99 Táblázatból: u aszm F (u) 0,9900,33 P H, mm 0,99

68 Szmmetrzáljuk a feladatot: Így már az előzőtől eltérő, helyes értéket kapjuk: P szm ( F( u) P( u H F( u) F u F F( u Felső ) F u F( u Alsó ) u ) 0,99 F( u ) F F( u F ) F( u 0,99 F u F 0,995 u szm F (u) 0,995, 58, mm H, mm) 0,99 F ) Hasolítsuk össze a bzoytalaság tartomáyt az előzővel! Érdekes ugyaakkor megfgyel, hogy a valószíűség csekély övelése mlye hatással va a bzoytalaság tartomáy agyságára? 0,9973 F( u F ) 0,99865 u szm F (u) 0,9973 3, 0 P szm ( mm H mm) 0,9973

69 . Ismert a mérés eljárás (t..: elv és módszer), valamt a kvtelezés tapasztalat szórása a várható érték körül s. Egyetle mérés alapjá az eredméy mekkora hba-tervallummal adható meg, ha 99 % bztosággal (kofdeca szt) akaruk eljár? Adatok: Legye a felbotás 0. μm, a tapasztalat szórás s= μm, a várható érték μ= mm Szmmetra, lletve táblázat-probléma: A táblázat közvetleül a P(- us) valószíűséget adja meg. A feladat a változó tartomáyát a várható érték körül szmmetrkuskét értelmez. Ahoa: F F u F u F u F.58 F u F u F u A F u 0.99 F F u F F u F

70 A valószíűség szt csekély övelése F u (+0.73%-kal, 99.73%-ra) jeletős F változást okoz a bzoytalaságba: uf A kszámított eredméy megadásáak formá P=99 % esetébe: y y y mm 5.0mm ;5.006 mm mm.6 m A kszámított eredméy bzoytalasága ő, ha megbízhatóságot öveljük P=99.73 % - ra: y y y mm 5.0mm 4.997;5.003 mm mm 3 m Tehát hába kcs a szórás és potos a leolvasás! Ha csupá egyetle mérésből akarjuk megad a lehető legbztoságosabb becslést, akkor a bzoytalaság tartomáy lesz agy.

71 3. Több, egymást követőe elvégzett mérés sorozatból smert az átlag szórása. A mérés sorozat hossza mkét befolyásolja a hbát (eltérést) a várható érték és az átlagok átlaga között? A megbízhatóság szt legye 99%, és a tapasztalat szórás legye s=0-3 mm. s u H A hba mdkét előjellel előfordulhat, így a valószíűség tartomáy szmmetrkus, tehát: P u s H u s 0,99 A számítás egyszerűsítése érdekébe máskét fogalmazva: Mekkora a valószíűsége aak, hogy a hba kívül esk az tervallumo? 0,99 szmmetra 0,0 0,005 ezzel: F( u u ),58 0,005 0,995 Végül: P, mm H, mm

72 P, mm H, mm A hba bzoytalaság tartomáyáak változása a mérés sorozat hosszáak függvéyébe, P=99% megbízhatóság szte. Hba tervallum félszélessége [mm] A hba csökkeése Vszoyítás: =,58 0-3, ,7 3, ,578 4, ,5 5, , , ,33 0 0, ,3 00 0, , , (~6 m) 0,0

73 4. Adott a mérés hbakorlátja Δ = 0-4 mm, és kétféle s tapasztalat szórása (s =Δ), valamt (s =0Δ). Háy mérést kell elvégez ahhoz, hogy az eredméy 99% valószíűséggel a megadott hbakorláto belül maradjo? A megadott valószíűség szt szmmetrkusa elosztva: P( u s 0 mm 4 0,99 0,005 0,0 H u s ) 0,99 F u 0,005 0,995 A táblázatból: u, 58./ Ha tehát a szórás a hbahatárral megegyező, akkor a mérések száma: 4 4 s 0 mm 4 0,58 H 0 mm, / De ha a szórás a hbahatár tízszerese, akkor a szükséges mérések száma ő(!): 3 3 s 0 mm 4 0,58 H 0 mm, ,6

74 A terjedelem és a szórás kapcsolata

75 SZÓRÁS BECSLÉSE A TERJEDELEMBŐL Gyakorlat segítség a szórás gyors közelítésére, ha k mérés sorozatot végeztük sorozatokét számú méréssel: Terjedelem: R =,ma,m Átlagos terjedelem: R k k R A() Szórás becslése az átlagos terjedelemből: S R A R

76 Jellegzetes mérés tevékeységek a mérök gyakorlatba: Mérőeszköz kalbrálás Mérőeszköz htelesítés Műszak smeretszerzés Mőségelleőrzés Folyamatráyítás Automatzálás

77 SI alapegységek és alapmeységek Hosszúság l m Tömeg m kg Idő t s Elektromos áram I A Termod. hőmérséklet T K Ayagmeység mol Féyerősség I cd

78 Néháy fotos fogalom Alapmeység: Megállapodásszerűe egymástól függetleek tektett m. egy adott redszerbe Származtatott meység: Alapmeységek függvéyekét defált Mértékegység: Ugyaolya fajtájú, más meység agyságáak kfejezésére defált kokrét meység Egységredszer: alap és származtatott egységek összessége Koheres egység: Alapegységek hatváyaak szorzatakét kfejezhető egység, az aráyosság téyező:. Pl. N kg m s Ikoheres egység: Mt fet, de az aráyosság téyező em. Pl: kp kg 9,8m s

79 HITELESÍTÉS? KALIBRÁLÁS? Elkészült az új műszer! Ismeretle a műszer Rége volt már haszálatba a műszer Mlye a karaktersztkája? M kalbrálás (K), és m a htelesítés (H)? NEMZETKÖZI ETALON leszármaztatás NEMZETI ETALON OMH vsszavezetés K H REFERENCIA ETALON Legjobb eszköz az adott laborba HASZNÁLATI ETALON K HASZNÁLATI ETALON

80 Htelesítés A htelesítés állam feladat, csak kjelölt és akkredtált tézméyek végezhetk. Hatóság tevékeység, amelyek célja aak elbírálása, hogy a mérőeszköz megfelel-e a mérésügy előírásokak? Eredméye: IGEN - NEM A htelesítés szabályat a Mérésügy Törvéy szabályozza. A melléklet felsorolja a htelesítés körébe bevot mérés tevékeységeket és etalookat. Ezek az alábbak (léyeg kemelve):. Kereskedelm tevékeység, szolgáltatások, adás-vétel sorá alkalmazott mértékek (súlymérték, űrmérték, vllamos eerga, gázfogyasztás, vízfogyasztás, stb.). Joghatással járó tevékeységek (Pl.: gépjármű sebességmérés) 3. Egészségüggyel kapcsolatos mérés tevékeységek (Pl.: laboratórum vzsgálatok, véryomás mérés, stb.)

81 M kalbrálás? Kalbrálás: Nem hatóság tevékeység, de elvbe csak akkredtált laboratórumok végezhetk. Azo tevékeységek összessége, amelyek sorá meghatározott feltételek mellett a haszálat etalo és a mérőeszköz között összefüggést keresk. Eek eszköze a regresszó aalízs. Célja lehet állapot-felmérés, vagy a műszerjellemzők meghatározása. Megj.: Rége a jusztírozást s kalbrálásak tektették, ez em törvéyes!

82 Etalook vsszavezethetősége Bzoytalaság Egység defícó Nemzetköz etalo Nemzet etalo Refereca etalo Kalbrálás: Azokak a műveletekek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható az összefüggés egy mérőeszköz (mérőredszer) értékmutatása lletve egy mértékek vagy ayagmtáak tulajdoított érték és a méredő meység etaloal reprodukált megfelelő értéke között Haszálat etalo Haszálat mérőeszköz

83 LINEÁRIS REGRESSZIÓ. LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (GAUß) A dszkrét mérés potok alapjá ezzel a módszerrel akkor lehet közelítő függvéyt keres, ha az egyk meység mérése precízebbe törtéhet, vagy potosabba előírható. Ez általába a megfelelő godossággal elvégzett kalbrálás eseté áll fe, ha leárs kapcsolatot feltételezük. = be Ismert potosságú (hbájú) műszere leolvasott értékek Ld.: következő da y = k Kalbráladó műszere leolvasott értékek Megjegyzés: Ha mdkét meység jeletősebb gadozást, bzoytalaságot mutat, akkor Wald módszere (éha kolozsvár matematkus) ajálott.

84 m Gauß ezt a módszert az alábbak matt javasolta: a hba változó előjelű (+,-) szélsőérték kereshető (derválás) y h, y X k =y - + δ y h -edk helyes érték y δ -edk mért érték -edk hba a kalbrácós lépések száma b h X be = Ismeretle, elmélet (regresszós) függvéy, tt: egyees (leárs kapcsolat) Adott -hez tartozó y várható értékét y regresszójáak evezzük. y y y m b m m: A feladat tehát szélsőérték keresés Megjegyzés: Ha a potok em egyees köré csoportosulak, akkor parabolkus, hperbolkus, vagy epoecáls regresszót célszerű alkalmaz.

85 Szélsőérték keresés: 0 b m b m b m y y b m f/ m: y b m azaz b m y 0 f/ b: y b m azaz b m y 0 y b m y b m Az m -re és b -re megoldadó leárs egyeletredszer: Vagy célszerűbbe mátros alakba: y y b m

86 m és b meghatározása Cramer - szabállyal egyszerűbb, mt mátrvertálással! y y M b m A keresett m és b paraméterek a mátregyeletből: Lépések a Cramer - módszerrel: M M det././ Számláló m esetébe: 3./ Számláló b esetébe: y y y y y y y y Végeredméyül: y y m y y b Keressük e két képletél célszerűbb formát az algortmzáláshoz!

87 Gyakorlatba, a kéz és gép számoláshoz haszálható alakok (A képletek levezetést a következő dáko smertetjük azok számára, akk kívácsak a képletek hátterére s.) m y majd m felhaszálásával: b y m

88 Mlye alapo lesz a boyolult képlet lye egyszerű? y b m y b m Térjük vssza a mátros forma előtt egyelet redszerhez: A. egyeletből b azoal kfejezhető, ld. előző dá: b m y és m y m y b

89 Most a b -re kapott formulát behelyettesítjük az. egyeletbe: y ) y ( m ) y ( y m ) y ( m y m m kfejezhető lee, de a jobb oldalo még mdg em az egyszerű számítás képlet álla: y ) y ( m Nézzük, hogya alakítható tovább a számláló és a evező. Ez utóbb ráadásul a számítás algortmzálhatóságáak feltétele s!

90 A evező számítása léyegese egyszerűbb, ha gaz az alább feltételezés: A statsztkába fotos összefüggés elleőrzése: A da legfelső egyeletéek jobb oldalát átalakítva tehát az új összefüggés: Egyszerűsítések utá látható, hogy gaz a feltételezés:

91 A számlálót s át kell alakíta, ha egyszerűe algortmzálható formát szereték: y ) y ( Két lehetőség lee, de tektettel arra, hogy a evezőbe már redelkezésre áll az abszolút hbája (lletve eek égyzete), célszerű ezt a számlálóba s felhaszál: í y ) y ( y ) y ( y ) y ( A két szummába y a közös szorzó, am kemelhető, ha a szummákat a közös határok matt összevotuk: í í y y ) y ( í y Tehát az m számítás képletébe a számláló legcélszerűbb alakja (tektettel a evező formájára) valóba az tt látható eredméy:

92 . WALD MÓDSZERE ALKALMAZÁSA: Ha mdkét változót ormáls eloszlású véletle hba terhel. ELJÁRÁS:. A mért érték párokat sorba redezzük. Lehetőleg a mérés tartomáy két végéek köryezetébe végezzük méréseket. A halmazt két részre osztjuk, és mdkét részhalmaz súlypotját képezzük.. A két súlypotot (s, s ) összekötve a regresszós egyees meredekségét kapjuk. 3. A teljes halmaz S súlypotjáak kszámítása utá a. potba meghatározott meredekséggel húzuk egyeest az S súlypoto keresztül.

93

94 k j j k k j y j k y k j j k k j y j k y A regresszós egyees meredekségéek számítása: y y j j j y j y A teljes halmaz súlypotjá átmeő egyees és az ordáta metszéspotja meghatározható: y Végül a regresszós egyees egyelete: y A két részhalmaz súlypotjáak meghatározása:

95 KORRELÁCIÓ Általáosságba két meység között kapcsolat szorosságát, a függőség fokát értk a fogalom alatt. A méréstechkába ge gyakra felmerülő probléma aak felderítése, hogy két, külöböző mérés sorozatból származó mtasokaság (adathalmaz) között va-e leárs összefüggés? Legyeek a két vzsgált mta átlaga: Az átlag és az egyes mért értékek között eltérést egy -dmezós vektor elemekét s fel lehet fog. y y X,,... Y y y, y y,... y y

96 Mért célszerű ebbe az esetbe a vektor-számítás alkalmazása? A vektor-térbe ugyas egyszerűbb a korrelácó (kapcsolat) értelmezése. Ha ugyas a két vektor egymással φ szöget zár be, akkor a szög értékével kfejezhető mde léyeges összefüggés: A két vektor között hajlásszög cosus-a - és + között mozoghat, ezt evezzük r korrelácós faktorak../ φ=90º, akkor cs közöttük leárs függés./ φ=0º, akkor va l. kapcsolat, a két vektor között kostas szorzóval y=a 3./ φ=80º, akkor va l. kapcsolat, a két vektor között egatív kostas szorzóval y= - a 4./ φ 0º, ll. φ 80º akkor lehet leárs a kapcsolat, de va egy korrekcós tag e y= a + e, ahol e 0 Ha a korrelácós téyező, akkor a két számsorozat között feltételezhető a leárs kapcsolat.

97 X és Y vektor szorzata: Tektettel arra, hogy a számításokhoz mérés adatokat haszáluk fel, TAPASZTALATI KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓT (r*) kapuk. X Y X Y cos X Y cos X Y y r y y y cos r Ha r=, akkor a fet egyeletből s megkaphatjuk a regresszós egyees egyeletét. Kérdés, mekkora a értéke, ha φ=0º? A korrelácó alapjá Végül: X X Y Y Y X Y X Y X Y Y ax X X X másrészt X lletve azaz y a X ax X y ax=y Y X y y

98 Tapasztalat korrelácós együttható számítása az átlag és a szórás smeretébe Következk a vektor-szorzatból, a tapasztalat szórások felhaszálásával. y y y y y y y y y,s y,s, r y y s s y y,s y,s, r

99 A tapasztalat korrelácós együttható mmáls értéke adott mtaagyság és kofdecaszt mellett Itt N mta agyság, em szabadságfok! Magyarázat a következő dá!

100 A Pearso-féle táblázatba azt látjuk, hogy a mta agysága, a mérés sorozat hossza (N) és a kofdeca szt (90%, 95%, 99% és 99,9%) alapvetőe befolyásolják azt, hogy a gyakorlatba mlye korrelácós téyezők mellett lehet elfogad, lletve elutasíta az adatok között összefüggésre voatkozó hpotézst. Az ebbe a táblázatba szereplő N em a szabadságfokot jelöl! Létezk olya Pearso korrelácós táblázat s, ahol a szabadságfok (degree of freedom, df) va feltütetve: df=n-, azaz a szabadságfok a mta hosszáál kettővel ksebb. A ullhpotézs H 0 a fet táblázat esetébe azt jelet, hogy a két adatsor között cs kapcsolat. A Crtcal values (krtkus érték) jeletése eek következtébe az, hogy ameybe az adott mtaagyságra kszámított tapasztalat korrelácós együttható értéke ksebb, mt a táblázatba közölt krtkus érték, akkor a ullhpotézs H 0 gaz. A kapcsolat feltételezése adott valószíűséggel vsszautasítható. A számoszlopok felett látható 0., 0.05, 0.0 és 0.00 értékek az u. alfa értékek. Ezek mutatják a tévedés valószíűségét, ameybe a ullhpotézst elveték (0%, 5%, % és 0.%). Látható, hogy pl. egy 0 mérésből álló sorozat esetébe, P=99% kofdeca szte, már r*=0.765 érték s elegedő lehet ahhoz, hogy elfogadjuk a kölcsöös összefüggés feállásáak feltételezését. Ez a táblázat szellemébe, az u. H ellehpotézs elfogadását jelet % tévedés lehetősége mellett.

101 A kalbrálás meete Precízós méréseket csak stablzált, szabváyos hőmérséklete, előírt yomás és páratartalom mellett lehet elvégez. A refereca etalokét haszált eszköz(ök) potossága deálsa egy agyságreddel jobb legye. A bevzsgálást a statkus bemeet és statkus kmeet között kalbrácós függvéy meghatározására általába a statkus kalbrálással kezdk. Vaak a gépészet alkalmazásba olya mérőeszközök, amelyek fukcoálsa statkus működésűek. A statkus kalbrálás mde lépéséél meg kell vár, amíg beáll az álladósult (stacoárus) állapot.

102 A damkus kalbrálás célja aak eldötése, hogy a mérőeszköz redszáma, dőálladó, frekveca meete, alsó és felső határfrekvecája, rezoaca frekvecája, stb. valóba egyezek-e a feltételezett értékekkel, lletve ezek egyezek-e az adatlapo megadott értékekkel? Egy műszak redszer redszáma a damkus működését leíró matematka modell, pl. a dfferecálegyelet redszámával, valamt ezzel összefüggésbe, a frekveca átvtel függvéy evezőjébe a Laplace-operátor (s) fokszámával egyezk meg. A redszám a műszak redszerbe található függetle eerga tárolók számával egyezk meg.

103 CSAK ELŐZETES! Termoelem statkus kalbrálása, a jelleggörbe felvétele

104 A mérés, mt smeretszerzés

105 A MÉRÉS, MINT ISMERETSZERZÉSI ÉS MODELLEZÉSI FOLYAMAT Összehasolítás HIBÁK HIBÁK A pror smeretek HIBÁK Fzka - techka, valós, mérhető meységek Modell alapjá Absztrakt felépített leképezés leképezés mérőlác EREDMÉNY modell tesztelése MÉRÉS A modell fomítása

106 METROLÓGIA (MÉRÉSTUDOMÁNY) MŰSZERTECHNIKA ADATFELDOLGOZÁS Mt kell mér? Hogya mérjük? Mvel mérjük? Mérés körülméyek Mérő személyek HIBAANALÍZIS Hbák vzsgálata: Eredetük Jellegük Formájuk Hbák becslése Hbák kküszöbölése Mérés eredméy megadása: Számadattal és mértékegységgel Dagrammal Hsztogrammal (stb.)

107 A mérés és a műszertechka kapcsolata Mérés eljárás Mérés kvtelezése Fzka elv Mérés módszer A műszer működés módja mechaka ktérítéses vllamos értéses összehasolító optka értésmetes elektromechakus kompezácós optomechakus külöbség optoelektrokus stb. Kapcsolódás a hbaaalízshez: helyettesítéses frekveca Hbák osztályozása eredetük szert Mérés adatok feldolgozása A mérőműszer megválasztása Statkus jellemzők: érzékeység feloldás felbotás Damkus jellemzők: frekveca átvtel beállás dő túlledülés stabltás

108 MÉRÉS-ÉS MŰSZERTECHNIKA KAPCSOLATRENDSZERÉNEK FONTOSSÁGA MÉRÉSI EREDMÉNY: y H U H t u E KORREKCIÓ (H) ÉS BIZONYTALANSÁG (U) A modellek, a mérés eljárásak, a műszerekek és a mérés körülméyeek ezekbe dötő szerepük va!

109

110 M É R É S I H I B Á K O S Z T Á L Y O Z Á S A EREDETÜK SZERINT JELLEGÜK SZERINT FORMÁJUK SZERINT

111 MÉRÉSI HIBÁK EREDETÜK SZERINT Modell hbá Mérés eljárás hbá Fzka elv Mérés módszer Mérés kvtelezéséek hbá A műszer működés módja A mérőműszer megválasztása Mérés adatok feldolgozásáak hbá

112 M mcsoda a hbák eredetébe? Mlye sorredbe kapok választ? Modell érthető Eljárás Fzka elv érthető Módszerek jö Kvtel Működés mód (értéses/értés metes) Mérőműszer tulajdosága (felbotás, damka, stb.) Formák (abszolút, stat., d. hbák, stb.) jö

113 MÉRÉSI MÓDSZEREK (teljesség géye élkül) Mérés módszer (metrológa aspektus szert) Ktérítéses A méredő meység által, valamlye fzka kapcsolat révé létrehozott erőhatás a műszer szerkezetébe megfelelő elleerőt hoz létre. Az egyesúly helyzet bekövetkezésekor a meységet skála és mutató segítségével olvashatjuk le. Összehasolításos A méredő meységet azoos típusú, smert agyságú meységgel hasolítjuk össze. Kompezácós, vagy ull-módszer A méredő meység értékét az általa létrehozott változás kegyelítésével állapítjuk meg. Ha a leolvasás a műszer mutató 0 állásába törték, akkor az ull-kompezácó. Külöbség A méredő meység és egy azoos típusú smert, de ksmértékbe eltérő meység külöbségéek mérése. Helyettesítéses A méredő meységet azoos típusú, smert értékű meységgel helyettesítk. Eredméyül a kjelzett érték változatla marad, vagy a ksmértékű eltérést skála segítségével mérk. Mérőeszköz, példa Mérőóra hosszméréshez Forgótekercses műszer Rugós erőmérő Kétkarú mérleg yomaték-összehasolítás Mérőléc Hőmérséklet mérése kompezográffal Impedaca mérése hídkapcsolással, ulldetektorral. Optméter Mérőhasáb kombácó és a mukadarab között, ksmértékű külöbség mérése. Borda -redszerű mérleg A méredő tömeggel egyeértékű súlyt veszek le a mérlegkarról a tömeg oldalá.

114 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER

115 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Nyúlásmérő bélyeges yomás jeltovábbítók (jelátalakítók) Az duktív útadóval felszerelt yomásmérő vszot összehasolító módszerrel mér, mert a mag és a tekercs között relatív elmozdulás az összehasolítás alapja.

116 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER

117 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER

118 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Forgatóyomaték jelátalakító (yúlásmérő bélyeges)

119 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

120 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

121 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

122 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

123 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER Iduktív útadók Belső magos, taptós duktív útadó Belső magos, értés metes duktív útadó

124 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

125 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER MITUTOYO LINEAR SCALE redszer

126 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

127 KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER

128 KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER

129 KÜLÖNBSÉGI MÓDSZER Etalo mérése ( ullázás ) Eltérés mérése

130 MÉRÉSI HIBÁK EREDETE PÉLDÁN BEMUTATVA V MODELL ELJÁRÁS KIVITEL d 4 h Hba: A mukadarab valós alakja eltér az deáls hegertől, például hordós Elv: mechaka Hba: a mérőfelületek az értkezés felület érdesség csúcsa fekszeek fel, a felület érdesség összevethető a mérőeszköz felbotásával Módszer: összehasolító Hba: tolómérő esetébe összehasolító módszerrel mérük, de az Abbe-elv em teljesül, azaz a méredő hosszúság és a mérce em esek egy egyeesbe Mód: értéses Hba: a tolómérő mérőfelülete és a mukadarab közé szeyeződés került Mérőeszköz: Hbák: blleés hba, osztás hbák tolómérő Mérés körülméye Hba: forgácsoló megmukálás utá közvetleül törték a mérés, a mukadarab hőmérséklete az előírtál magasabb Mérő személy Hba: fgyelmetleségből adódó leolvasás hba

131 A mérés muka eredméyét jellege szert, dötőe két hbatípus befolyásolja: h H U. Redszeres hbák eredője (Ismert, számítható). Véletle hbák (hatásukat a szórás és bzoytalaság formájába tapasztaljuk. Csak becsülhető hbák, okak és agyságuk részbe smeretle)

132 MÉRÉSI HIBÁK JELLEGÜK SZERINT Durva mérés hba Redszeres hba Véletle hba A hba, és a hbaokozók jellemzése "Kugró" érték Általába fgyelmetleség okozza, alapvetőe elkerülhető A mérés eljárás és a mérőeszköz elv hbá Elvbe meghatározható, hatása kszámítható és korrgálható A hbaokok dőbe és térbe véletleszerűe lépek fel Pl.: zajok, súrlódás hbák, köryezet hatások, a méredő meységek változása A hba megszütetéséek módja A redszeres hbákhoz hasolóa, a kugró érték kzárásával a./ Többyre redelkezésre állaak a mérőeszközt gyártó korrekcós adata. Ha em, akkor a hbaterjedés számítás és kalbrácó szükséges b./ Nem meghatározható a hba mértéke, ebbe az esetbe véletle hbakét kell kezel Ismételt mérésekkel felsmerhető, kszűrhető Statsztka módszerekkel fgyelembe vehető: átlagérték szórás kofdeca várható érték hbastatsztka Példák k k k K be k k,, k, Kugró érték k be 3 be K ep K K k,, be be be, be

133 Hbák forma megjeleése dő és frekveca tartomáyba Időbe változó meységek folyamatos mérése a gépészetbe:. Az automatzálás és a folyamatráyítás alapfeltétele. Fzka-gépészet folyamatok vzsgálata Eze meységek méréséek folyamatát és műszak problémát a mérőlác bemutatásával lehet megérte. A téma folytatása az Időbe változó meységek méréséek alapja c. fejezetbe található.

134

135

136 MÉRÉSI HIBÁK FORMÁJUK SZERINT MEGJENENÍTÉSI FORMA IDŐ / FREKVENCIA FÜGGÉSÉBEN Abszolút hba Habsz h Relatív hba H Redukált hba H rel red h ma h mért érték helyes érték h a mért érték százalékába % h m Trazes hba Damkus hba Álladósult hba Ampltúdó átvtel hbája Fázs átvtel hbája Potosság osztály PO H absz 00 ma ma v 00 % Mtavételezés hba

137 Elsőredű műszer dőbel jellemző. U(t) Damkus hba Valód (helyes) kmeet függvéy Trazes hba Átmeet függvéy egységsebesség bemeetre t t t j Elsőredű műszer válasza egység-sebesség függvéyre

138 Elsőredű műszer dőbel jellemző. U(t) Statkus hba (dőbe álladó) U h U 095. U U U t U e t T Trazes hba (dőbe változó értékű) T t T beá ll A kmeet válaszfüggvéye a bemeet ugrás-szerű változására (átmeet függvéy)

139 Példák elsőredű redszerekre T 0

140 Elsőredű műszer súlyfüggvéye és T dőálladója A homogé dfferecálegyelet aaltkus, hagyomáyos megoldása dő tartomáyba Súlyfüggvéy

141 Súlyfüggvéy és átvtel függvéy kapcsolata Megoldás operátor tartomáyba Laplace traszformácóval dv T dt V U d dt s, s jω L Y s y t Y s Példába : Y s V s U s V s U s b a m s s b a s m 0 a bs a s Ts b a 0 0

142 Elsőredű műszer átvteléek frekveca függése

143 Másodredű műszer jellemző A másodredű műszer dő és frekveca tartomáybel jellemzővel az Időbe változó meységek méréséek alapja c. fejezetbe találkozhatuk. Jele fejezetbe csupá a damka eredetű problémák léyegéek megvlágítása a cél. A jelek frekvecafüggését és a jelek átvtelét a fet jelzett fejezetbe tárgyaljuk részletesebbe.

144 MÉRENDŐ ELÉRHETŐ MÉRT

145 ELÉRHETŐ MÉRENDŐ MÉRT

146 TOVÁBBI PÉLDÁK az dőbe folytoos mérés szerepére, a később szakráyos taulmáyok területeről: gépészet, automatzálás, precízós techka Ld. a példákat a bevezető dáko

147 Tovább fotos smeretek a hbaaalízs területéről: Hba redszáma Abbe elv Közvetett mérés eredő hbája (bzoytalasága)

148 A HIBA RENDSZÁMA Ha smert a hba okozója és a hba között függvéykapcsolat, és ez utóbb ráadásul gyorsa kovergáló hatváysorba fejthető, akkor a hbát a redszámával s tudjuk jellemez. f a 0 a a a3 Megfotolások:. Jó műszerkostrukcó eseté ks hbával számolhatuk. Gyors kovergeca eseté gaz, hogy + «Aak eldötésébe, hogy melyk hatváyú összetevő hagyható el, a mérök tapasztalat segít. A hba redszámát a hatváysor még fgyelembe vett tagjáak ktevőjével adjuk meg. Alkalmazás példa: ABBE ELV K volt Erst Abbe? Kapcsolata a Carl Zess-szel, és matematka mukásságáak hatása a tudomáyos műszerkostrukcó teré. Carl Zess mág ható szelleme: Tőkés magátulajdo helyett alapítváy forma mde Zess üzembe. Élete át tartó képzés, szocáls háló. 3...

149 Abbe elv Összehasolító módszer, valamt közvetle mérés stratéga eseté, a feladat megoldásához redelkezük kell egy osztásos mércével. Abbe elve: A mérőberedezés kostrukcója legye olya, hogy a mukadarab méredő mérete és az osztásos mérce egy egyeesbe esse. Szemléletes példája eze elv érvéyesüléséek a vízsztes és függőleges Abbe komparátor. H7/g6 (f6) ~ 0 30 μm F Példa az Abbe elv be em tartására (szükséghelyzet): Tolómérő l h s Hbafüggvéy (ok-okozat): l l h 3 5 h h s... h s tg 3 5 l h φ«az llesztés jóvoltából, ezért csak az első hatváy marad: A hba elsőredű.

150 Ismert agyságú és előjelű redszeres hba terjedése (Közvetett mérés hbatervalluma) részeredméyből tevődk össze a mérés eredméye: Például a fajlagos elleállás meghatározása: R A U I A y f,,...,... y0 f,,..., Ideáls esetbe: = 0 és így a mért -edk jellemző helyes (a valódt em smerjük) értéke, amelyet kellőe agy számú mérés átlagértékével becslük. Hbával terhelt mérés (valóság) H X d 0 esetébe:

151 Feladatuk megkeres y 0 azo dy 0 változását, amely azért lép fel, mert 0 helyett volt a mérésük eredméye: Kvtelezés: Ilye típusú feladatok megoldására szolgál a parcáls derválás! dy y d... y X X 0,... 0 X,... X 0 0 d (Taylor sor elsőredű tagjaból, a lácszabály alkalmazásával) A parcáls dervált értéket 0 helye határozzuk meg, ezek leszek a redszeres és a véletle hba terjedéséek számításáál a súlyfaktorok. A közvetett mérés eredő redszeres hbája: y y X 0,...X 0... y X 0,...X 0 ahol Δ az -edk részmeység hbatervallumáak sugara

152 KÖZVETETT MÉRÉS EREDMÉNYÉNEK KORRIGÁLT TAPASZTALATI SZÓRÁSA Valamey részeredméyt redszeres és véletle hbák terhelek. A redszeres hbákat a korrekcóba vesszük fgyelembe, a véletle hbákat a szórásuk jellemz: Levezetés élkül: Ha az,,...,... változók egymástól függetleek, akkor kszámítható a közvetett mérés eredméyéek varacája (szóráségyzete): f... f... y Var f... Var... Var Fetekkel az eredő korrgált tapasztalat szórás általáosa haszálatos meghatározása: s y f,... s X... f,... s X Csebsev tétele szert ez optmstább, és egybe a valósághoz közelbb becslést ad, mt a hbaterjedéssel számított abszolút, vagy a relatív hba.

153 Közvetett mérés abszolút és relatív hbá terjedéséek összehasolítása./ Ha a végeredméyt addtíva kapjuk a részeredméyekből: y = + z Eredő abszolút hba (ld.: 6. da) y y y z z a előjel azt mutatja, hogy az eltérés mdkét ráyba felléphet, tehát Δy az eredő hbatervallum sugara. A részeredméyek hbá a súlyfaktorokkal terhelve összeadódak, esetükbe: Eredő relatív hba: y y y y z ( z) z A két részeredméy egymáshoz való kapcsolatáak bemutatására az összefüggés számlálóját és evezőjét osztottuk -szel. A relatív hba képlete jól mutatja, hogy abba az esetbe, ha a végeredméyt két érték külöbségekét kapjuk, és a számértékek közel állak egymáshoz, ge veszélyes lehet ez a mérés és számítás módszer! z z z z z z z

154 ./ Ha a végeredméyt szorzással, osztással, vagy hatváyozással kaphatjuk: y z m m, 0 0 Eredő abszolút hba (redszeres hba terjedése), ld. 6.da: y z mz m m z Eredő relatív hba (redszeres hba) terjedése: y y z z mz m m m z m z z

155 PÉLDÁK A KÖZVETETT MÉRÉS EREDŐ KORRIGÁLT TAPASZTALATI SZÓRÁSÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA. Heger űrtartalmáak meghatározása hosszmérésekkel: y f h D V, 4 Elv okokból a számításokhoz mdkét, -szer megsmételt hosszmérés adataból adódó legjobb becslés értéket, azaz az átlagot haszáljuk fel. Ugyacsak meghatározható mdkét mérés korrgált tapasztalat szórása s, am egybe az eljárást és a kvtelezést s mősít. s s h, s s D, h h D D 4,, D h V f h D D V f h D V s 4 D s h D s A térfogat átlagáak eredő korrgált tapasztalat szórása:

156 . Görbület sugaráak mérése szferométerrel: b b a b a b R b Rb a b Rb R a b R a R b a b b a b R b a a R a b R s 4b a s 8b a 4b s Az R sugár korrgált tapasztalat szórása: Számítások a mérhető meységekből: b a s b b s a a Az f sík és a lecse felülete között b távolság méréséhez síküveglapot haszálak. Az a méret és a k. t. szórása a gépköyvbe található, esetleg mér kell. R-b a b f

157 Időbe változó meységek méréséek alapja Dgtáls mérések alapja Jelek átvtele, MOGI Taszék mtavételezés, A/D koverzó

158 JEL: (IDŐBEN VÁLTOZÓ) FIZIKAI (KÉMIAI) MENNYISÉG HÍR/KÖZLEMÉNY: (IDŐBEN) KORLTOZOTT JELEK INFORMÁCIÓ (Shao, Bell Laboratores): BIZONYTALANSÁG, AMELYET A HÍR MEGSZŰNTET(ETT). Shao (948) csak a műszak értelembe vett formácók (elsősorba dgtáls vllamos jelek által átvtt hírtartalom) mérésére dolgozott k módszert! HÍRKÉSZLET: ÖSSZES LEHETSÉGES HÍR INFORMÁCIÓ MENYISÉG/HÍRTARTALOM: A HÍR KÖZLÉSE ÁLTAL ELOSZLATOTT BIZONYTALANSÁG NAGYSÁGA. EZÉRT ANNAK A HÍRNEK VAN NAGYOBB INFORMÁCIÓTARTALMA, AMELYNEK A BEKÖVETKEZÉSI VALÓSZÍNŰSÉGE KISEBB. A KÉPLET FORMAI ANLÓGIÁJA : ENTRÓPIA A termodamka etrópa aál agyobb, mél agyobb az adott állapotba való tartózkodás valószíűsége. S k l P P

159 A HÍR ENTRÓPIÁJA (Shao) Mlye megfotolások és mlye aalógák vezettek a fogalom megalkotásához? Kolmogorov (933): 0 P Bztosa bekövetkező eseméy valószíűsége P=, de hírtartalma H=0 Lehetetle eseméy valószíűsége P=0, eek hírtartalma vszot H~ Mlye függvéykapcsolat képes leír ezt a godolatmeetet? H A valószíűség szemléltetésére gyakra alkalmazzák a dobókocka példáját, és a dobást kísérletek evezk. Egyetle kísérlet eredméyéről szóló hír tartalma, mert ebbe az esetbe mde lehetséges eredméy egyforma valószíűséggel következhet be: Emlékeztetőül: Hartley (98): H log A log P log 0 log 6 / 6 0 ld( A) log A log 0,78

160 BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA Mdkét kmeet (,0) azoos valószíűséggel jeletkezhet: P()=P(0) P()= P(0) Az jel formácótartalma: A 0 jel formácótartalma: I ld P() I0 ld P() 0 0 A forrás átlagos formácótartalma: H P ld P P ld P P() 0,00 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0,3 0,4 0,5 -P() ld P() 0,00 0, 0,33 0,4 0,46 0,5 0,5 0,53 0,5 (-P())ld (- P ) 0,00 0,07 0,4 0, 0,6 0,3 0,36 0,44 0,5 H 0,00 0,9 0,47 0,6 0,7 0,8 0,88 0,97 A legagyobb etrópa akkor jeletkezk, ha mdkét érték (;0) azoos valószíűséggel fordulhat elő. Ksebb eltérés a valószíűségbe, pl.: 0,4 0,6 em okoz csupá 0,03 bt csökkeést. Ez kedvez a bárs jelekkel való kódolásak.

161 BINÁRIS HÍRFORRÁS ENTRÓPIÁJA H/bt 0,5 Olya bárs hírforrás etrópáját keressük, amelyek kmeeté azoos valószíűséggel fordulhat elő és a 0 jel, azaz P( ) P(0) 0,5 0,5 P() 0 P(0) 0,5 0,5 0 Az, vagy 0 hír formácótartalma: I I0 ld bt 0,5 A forrás átlagos etrópája: H 0,5ld 0,5ld bt

162 AZ INFORMÁCIÓ ÁTVITEL ÁLTALÁNOS MODELLJE FORRÁS VEVŐ -. állapotba VEVŐ. állapotba Szkrozácó KÓDOLÓ DEKÓDOLÓ ÁTVITELI CSATORNA Iformácó veszteség Zaj, zavarások

163 JELEK FELOSZTÁSA DETERMINISZTIKUS SZTOCHASZTIKUS ANALÓG DISZKRÉT ERGO- DIKUS PERIÓDIKUS HARMO- NIKUS ÁLTALÁ- NOS PERIO- DIKUS NEM PERIÓDIKUS KVÁZI PERIO- DIKUS EGY-ÉS KÉTOL- DALASAN HATÁROLT AMPLI- TÚDÓ KVAN- TÁLT IDŐ KVAN- TÁLT AMPLI- TÚDÓ ÉS IDŐ KVAN- TÁLT NEM ERGO- DIKUS

164 JELEK (VÁLTOZÓK) A RENDSZEREKBEN (t)=as ω 0 t F(ω) ω 0 ω Időtartomáy Operátor (frekveca) tartomáy

165 JELÁTVITEL PROBLÉMÁINAK SZEMLÉLTETÉSE A SPEKTRUM SEGÍTSÉGÉVEL Méredő jel Regsztrált jel Másodredű átvtel tag (pl.)

166 MIÉRT VAN A DINAMIKAI MODELLEZÉSRE SZÜKSÉG? ALAPISMERETEK MŰSZEREK ADATLAPJAINAK ÉRTELMES OLVASÁSÁHOZ

167 PÉLDA, AMELY AZ ELŐZŐ DIA FREKVENCIA- MENETÉHEZ TARTOZIK: INDUKTÍV GYORSULÁS- ÉRZÉKELŐ

168 Feladat: Szezor damkus vselkedéséek megértése (, v, a, mérése szezmkus elve) k b v h b v m v m m v h k m v ref 0 v k = v h - v m b (v h v m ) k (v h v m )dt m v m

169 STRUKTÚRA MODELLTŐL MATEMATIKAI MODELLIG Modellezés mpedaca hálózattal, operátor tartomáyba b b Z b v h b v m V k k s k Z k k m Z b m s m Z m V h Z k Z m v k = v h - v m k v h v m dt u k =K k V V k h s s s b s b k k s m s s m k m k b s k X a k h s V s s V k h s s s m k m k b s k

170 k b s k m s k m s a X h k k b j k m k m k b j k m ) (j k m j a X h k 0 T k m h k j j a X h k j a X j s 0 T k b Vesd össze ezt a képletet a HBM adatlapo látható összefüggéssel! Az duktív gyorsulásérzékelő átvtel függvéye

171 ÁLTALÁNOS MÁSODRENDŰ, KÉT ENERGIA TÁROLÓS MŰSZER három jellegzetes matematka modell-formája: v(t) V ref =0 s d dt m m k T T X s F s v b b k X s T k k T s A f f(t) m t f k A TsX s Ts b t f mv t X s a f t dv m dt s Csomópot módszer bv A b a bv F s 0 s fm fb fk 0 kv a 0 k Dfferecálegyelet f vdt t Átvtel Y s f függvéy t v f k v v f f k v k k b m 0 v v b m k 0 b b b m m 0 k f m 0 0 m Állapottér k modell m f m t m 0 f f t t

172 MÁSODRENDŰ TAG OPERÁTOR TARTOMÁNYBAN Dff. egyeletből átvtel függvéy s X X T KI BE X s s KI s T s TsX KI A Ts s X a KI s s b a 0 A s X a BE 0 s Y s Ampltúdó és fázs átvtel u. frekvecameet Frekvecameet Bode dagram

173

174

175

176

177 Ez az oka aak, hogy a FFT programokkal kszámított spektrum kétoldalas. A egatív körfrekvecákra eső részt a poztív oldalhoz kell számíta.

178

179

180 Harmokus függvéyek tegrálja Példa álladó ampltúdójú, perodkus függvéy Fourer soráak kszámítására Aak szemléltetése, hogy az egyes együtthatók meghatározása sorá mlye tegrálás határokkal kell számol. Alap-harmokus, és behelyettesítés alakja az tegrálásál T T t A0 Ak cos k t Bk s k k t

181 / 0 / 0 0 h t T h hdt T A T T Az úgyevezett egye-összetevő (l. átlag): 0 s 0 s s cos / 0 / 0 T h t T h tdt h T A T T h T T h T h T h t T h tdt h T B T T 4 cos0 cos cos s / 0 / 0 0 s 0 s s cos / 0 / 0 T h t T h tdt h T A T T 0 cos0 cos cos s / 0 / 0 T h T h t T h tdt h T B T T cos0 cos3 3 cos3 3 s 3 / 0 / 0 3 h T T h T h T h t T h tdt h T B T T cos0 cos5 5 cos5 5 s 5 / 0 / 0 5 h T T h T h T h t T h tdt h T B T T cos0 cos7 7 cos7 7 s 7 / 0 / 0 7 h T T h T h T h t T h tdt h T B T T

182 A Fourer - együtthatók ábrázolása a körfrekvecák függvéyébe: A spektrum ω ω 3ω 5ω 7ω 9ω A Fourer - együtthatók alapjá megrajzolt harmokus összetevők, és eredőjük. Elméletbe, ha az eredőt az összes összetevő fgyelembe vételével rajzoljuk meg, akkor az eredet függvéyt látjuk vszot.

183 A LEGFONTOSABB JELTÍPUSOK ÉS SPEKTRUMUK Folytoos jelek Időbe határolt jelek Dszkrét spektrum Folytoos spektrum

184 FOGALMAK A DIGITÁLIS MÉRÉSTECHNIKÁBÓL JELEK MINTAVÉTELEZÉSE A/D KONVERZIÓ DIGITÁLIS HOSSZ-ÉS SZÖGMÉRÉS

185 JELEK MINTAVÉTELEZÉSE

186

187

188 JELEK KVANTÁLÁSA A kvatálás sorá elkövetett hba értéke a mdekor egységy kvatumszt 50%-a, azaz +0.5 és -0.5 között változk, amt az a kvatálás jelleggörbe alapjá leolvasható.

189 A MINTA- VÉTLEZÉS SORÁN VÉGBE- MENŐ FOLYAMAT ÖSSZE- FOGLA- LÁSA

190 A jelmta tartásáak megvalósítása techka eszközökkel

191 A égyszögjel hbátla átvteléhez elvbe végtele sok harmokus összetevő átvtelére lee szükség. Ez a gyakorlatba megvalósíthatatla, ezért az átvtt jel spektrumát felülről korlátozzák. Ez a korlátozás azoba következméyekkel jár. Hbával terhelt lesz a vsszaállított jel A még átvtt legagyobb frekveca és a mtavételezés frekvecája között Shao fotos összefüggést állított fel.

192 A Shao-féle mtavételezés szabály T F f ma A gyakorlatba a probléma megoldására a mtavevő és tartó tagok elé egy alul-áteresztő (atalasg) szűrőt ktatak be, amely a jelből kszűr a f f m frekvecákat.

193 Az mpulzus-sorozat spektruma jellegét tektve hasolít egyetle mpulzus tt bemutatott alakjához, de az mpulzus-sorozat spektruma már perodkus lesz.

194

195 A/D KONVERZIÓ A közvetle és a közvetett A/D átalakítás éháy megvalósítás módja A közvetle módszer esetébe az dőalap (geerátor) em vesz részt az átalakításba, csupá a vezérlő órajeleket szolgáltatja. A közvetett módszer a kódolást vsszavezet az dőalapra, az átalakító órajelére. PÉLDÁK ÁRAMKÖRI MEGVALÓSÍTÁSOKRA KÖZVETLEN MÓDSZEREK KÖZVETETT MÓDSZEREK Szmultá A/D koverter Lépésekét közelítés (szukcesszív appromácó) Fűrészgeerátoros koverter Kettős tegrálás (duál slope)

196 MŰVELETI ERŐSÍTŐ A leárs és emleárs áramkörök legfotosabb építőköve, bpolárs (agyobb teljesítméyek és gyorsaság), vagy FET trazsztorokból (agy bemeet elleállás), tegrált formába felépítve. ELŐNYÖK ÉS TULAJDONSÁGOK: Szétválasztás (R be, R k ), A ID Azoos ütemű elyomás Uverzáls építőelem Damka (Slew rate) Drft-kompezácó Offset-kompezácó Zaj (flcker és fehér)

197 INVERTÁLÓ ERŐSÍTŐ NEM INVERTÁLÓ ERŐSÍTŐ 0 0,,, deál KI deál BE deál U KI BE Z R Z R R A R u R u 0 :,,, deál KI deál BE deál U KI BE Z Z R R R A R R R u u Osztóval 0 : DIFF u Alap 0 : DIFF u Alap

198 Nem vertáló komparátor, mt alapvető építőelem R R Poztív vsszacsatolású, stabl erősítő kapcsolás hszterézssel. U E + U U hsz R R U Ama U Am U R A U A U Ama U E U R U U E U R R U A R U URR U AR URR Ebe Ek R R R R R R U U R R R R R R R 0 U U Am Ama 0 U Ek U hsz U Am U Ebe U E

199 a./ A párhuzamos (szmultá) eljárásba közvetle módszerrel törték az átalakítás, mde lehetséges jelsztek egy külö összehasolító, komparátor áramkör felel meg. Az -btes A/D koverterek így m kvatuma, felbotás-lépcsője va, órás előye, hogy az átalakítás real-tme, azaz csakem egydejűleg törték. Az átalakítás sebességét csupá a komparátor áramkör "belső" sebessége korlátozza. Az -btes A/D koverterek így m kvatuma, va, órás előye, hogy az átalakítás real-tme törték. Az átalakítás sebességét csupá a komparátor áramkör "belső" sebessége korlátozza.

200 b./ A lépésekét közelítéssel (szukcesszív appromácó) dolgozó közvetle A/D koverter a tartott jel-mta aktuáls értékéhez hasolítja a stabl refereca-feszültség kettő hatváyaval osztott értéket, mdg úgy, hogy a közelítés alulról törték. Ha a jel-mta agyobb, mt az oda-próbált refereca-jel háyados, akkor a logka elfogadja a próbát, és az adott szthez egy L értéket redel. Ha az egymásra szuperpoált refereca-jel háyadosok összege túllép a jel-mta értékét, akkor a logka O értékkel jelz a túllépést. Az egyes próbálkozások eredméye így egybe már a jel kódolását s jelet.

201 c./ A fűrészgeerátoros módszer a jel egy pllaatértékét, evezetese azo dőpllaatbel értékét mér, amkor a fűrészgeerátor jele elér a méredő jel sztjét. Az dő dagramból látható a fűrészgeerátoros A/D koverzó hátráya, evezetese az, hogy a kjelzett érték függ az dőalap - geerátor és az tegrátor potosságától. Ezeke túlmeőe tovább bzoytalaságot jelet a "kapuzás". Az dőkapu már két egymást követő számlálás esetébe s eredméyezhet dgt u. dgtáls maradék hbát.

202 T m d./ A dual-slope módszer egy mérés dő alatt jel átlagot mér, és előye a kettős tegrálás matt, hogy a kjelzett érték függetle az órajel hbájától. Eek feltétele, hogy az tegrálások alatt az órajel frekvecája em gadozhat. A dual-slope, azaz kettős tegrálás esetébe a beredezés tegrálja a bemeő jelet (A dőszakasz) és a refereca feszültséget s (B, és C dőszakaszok). U m T T X m U ref Z Z ma U ref Z U U m ref Z ma

203 DIGITÁLIS KIJELZÉSŰ MŰSZEREKEN LEOLVASOTT ÉRTÉKEK SZÓRÁSA Közvetett A/D koverzóval (átalakítással) dolgozó mérőeszközökre jellemző az u. dgtáls maradék-hba, amelyek értéke bt. A közvetle A/D koverzó kvatálást (sztekhez redelést) jelet md az ampltúdó értékre, md pedg az dőre ézve (mtavételezés). A kvatálás matt a jelszteket egy adott tartomáyba azoos értékűek vesszük, ebből következk, hogy egy kvatum teljes tartomáyába a téyleges érték végg azoos valószíűséggel léphet fel. (t) *(t) t t f() z z - - z/ + z/ + (t) =

204 EGYENLETES ELOSZLÁS DISZKRÉT ESETBEN Dszkrét valószíűség folyamat esetébe (pl.: kockadobás) valamey elem eseméy bekövetkezéséek valószíűsége azoos: P() / P 6 f() EGYENLETES ELOSZLÁS FOLYTONOS ESETBEN (b-a) - F() f ( ) b a 0 a máskét b a b

205 Várható érték (átlag): a b a b a b a b a b d a b d f b a b a 4 ) ( ) ( b a d a b d b a a b d f d f b a b a b a b a FOYTONOS, EGYENLETES ELOSZLÁS STATISZTIKAI JELLEMZŐI Varaca (szóráségyzet): ) ( ) ( ) )( ( ) ( 3 3 ) ( ) ( ) )( 3( ) ( a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b b a a b a b b a a b a b Levezetés a következő dá

206 A szóráségyzet kszámítása boyolultabb f() függvéyek esetébe ehéz, sőt, előfordulhat olya eset s, hogy mproprus tegrált kapuk, tehát a kszámítás em lehetséges. Ilye esetekbe az formácóelmélet összefüggéset alkalmazhatjuk. Az tegrál köyebbe megoldható, ha az alább módo átalakítjuk. Megmutatjuk, hogy ez az átalakítás jogos és megalapozott. b f ( ) d b f d a a f μ μ d f d f d f d ahol f d f d tehát : f d f d

207 Alkalmazás dgtáls kjelzésű műszerekre: A várható érték a kjelzett értékkel esk egybe: A szórás a legksebb helyértékek megfelelő dgt kb. harmada, ~9 %-a: M a b b a z z z z 3 A gyakorlatba egy dgtáls tolómérőre voatkoztatva: Osztásköz: z=0,0 mm 0,0 0,005 s m

208 DIGITÁLIS HOSSZ-ÉS SZÖGMÉRÉS MITUTOYO LINEAR SCALE redszer

209 0 90

210 Ikremetáls hossz-és szögadók osztásos etaloja Változatok: Traszmsszós Refleós Üveg hordozó Fém hordozó Osztásperódus Iterpolácós faktor Felbotás 40 μm μm 0 μm μm

211 Ikremetáls adó elv felépítése MÉRŐLÉCLÉC (MOZGÓ) LETAPOGATÓLÉC FOTOTRANZISZTOR LED KOMPARÁTOR KÖV.ERŐSÍTŐ KIMENŐJEL

212 Ikremetáls hosszmérő kapcsolása 0º 90º Ref

213 A B A B 90º E B A A B B A A B V B A A B B A A B A A B B B B A A V A A B B B B A A E Mooflop: & Előre Vssza INTER- POLÁCIÓ IRÁNY- DETEKTÁ- LÁSSAL

214 Abszolút hossz-és szögadó kódolt etaloja A felbotást meghatározó btsáv A rezgésből eredő hbák kküszöbölésére U, vagy V alakba elredezett optokapukat (LED fototrazsztor páros) alkalmazak.

215 MÉRÉS ÉS MŰSZERTECHNIKA 00 DR. HUBA ANTAL BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék Bevezetés A MECHATRONIKA (GÉPÉSZET) ÉS A MÉRÉSTECHNIKA

216 MŰSZERTECHNIKA SZEREPE A MECHATRONIKÁBAN Mechatroka smeretek egymásra épülése a tatervbe: Mechatroka alapja Mechatroka I. Modellezés Elektrotechka Iráyítástechka Elektroka Számítógépes ráyítás Fommechaka építőelemek Optka és látóredszerek Optomechatroka Mérés és műszertechka Folyamatok mérése Szezortechka Aktuátortechka Mkrovezérlők Mechatroka II. Redszertervezés Kapcsolódó szaktárgyak csoportja IDŐBEN VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK MÉRÉSE A MODERN GÉPÉSZETBEN Klasszkus gépészet kérdésfelvetés Előírva: Gerjesztések Mekkorák legyeek a gerjesztések, hogy teljesüljeek az előírt meységek? Mechatroka szemléletű kérdésfelvetés MÉRÉS! Tömegek, tehetetleségek Mekkora, és mlye ráyú lesz?, φ, v, Ω, a, ε, F, M, AKTUÁTOROK Tömegek, tehetetleségek Mérés (Vsszacsatolás) Processzor (szabályozó) Előírva:, φ, v, Ω, a, ε, F, M, SZENZOROK Előírt értékek

217 NC, CNC pozcoáló redszerek D/A koverter Jelformáló (szabályozó) - Jelfeldolgozó PC, vagy mkrokotroller Alapjel (előírt érték) Folyamatos távolság mérés a CD-fej és a lemez között Lecsefoglalat a leárs motorral A kvadrás fotódetektor, mt mérőtag Cél az értéktartás: a cb d 0 U E 3

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05.

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05. Hajtástechka \ Hajtásautomatzálás \ Redszertegrácó \ Szolgáltatások MOVITRAC B Kadás: 2009. 05. 16810961 / HU Üzemeltetés utasítás SEW-EURODRIVE Drvg the world Tartalomjegyzék 1 Fotos tudvalók... 5 1.1

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE. A mérés élja A mérés fladat égyzt krsztmtsztű satorába bépíttt, az áramlás ráyára mrőlgs szmmtratglyű, külöböző átmérőjű hgrkr ható ( x, y ) rő

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA ÁR-01 OLDAL: 1. 1. AZ ELJÁRÁS CÉLJA Szabályoz, hogy a szervezete belül kk, hol és mlye dötéseket hozak meg. Beazoosíta,

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás

Számítógépes döntéstámogatás Pao Egyetem Műszak Iformatka Kar Vllamosmérök és Iformácós Redszerek aszék Számítógépes dötéstámogatás Előadás vázlatok Dr. Kozma György Veszprém, 0/03 Számítógépes dötéstámogatás tematka, 0 ematka. Leíró

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját. Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszit 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. október 17. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc.

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc. Vllamosságtan Dr. adács László főskola docens A3 épület,. emelet, 7. ajtó Telefon: -3 e-mal: Honlap: elkrad@un-mskolc.hu www.un-mskolc.hu/~elkrad Ajánlott rodalom Demeter Károlyné - Dén Gábor Szekér Károly

Részletesebben

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége Dr. Balogh Albert: A statszta adatfeldolgozás éháy érdeessége Kérdése:. Hogya becsüljü a tapasztalat eloszlásfüggvéyt? 2. M az a redezett mta? 3. M az a medá rag és mlye becslése vaa?. Hogya becsüljü a

Részletesebben