I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN"

Átírás

1 I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük de egyidőbe em ülhetek midkette a bicikli Gyalogosa a sebességük =5km/hés biciklivel =20 km/h Egyszerre idulak ugyaarról a településről Legalább meyi időre va szükségük ahhoz hogy midkette a másik településre érkezzeek? Elképzelhetük egy valósághűbb kotextust is Két biciklis egy túrá vesz rész amely abből áll hogy az A helységig voattal utazak oa a B helységig biciklizek majd B-ből voattal térek haza Az A és B közti szakaszo egy C potba az egyikük biciklije haszálhatatlaá (és javíthatatlaá) válik pl becsúszik egy szakadékba A C és B távolsága 40 km az A és C távolsága 60 km és B-ből 5 és fél óra múlva lee voatjuk hazafele Elérhetik-e midkette ezt a voatot ha a megmaradt bicikli egyszerre kette em ülhetek? A továbbiakba ezt a kotextust haszáljuk Világos hogya távolságot gyalogosa8 óra alatt lehete megtei tehát ha az egyik gyalogosa megy akkor em éri el a voatot Ahhoz hogy midkette 8 óráál kevesebb idő alattmegtegyék az adott távolságot aak egy részét midkettő biciklivel kellee megtegye Tehát azt érdemes csiáli hogy midkette elidulak az egyik gyalogosa a másik bicikli és aki a bicikli idult az valahol útközbe otthagyja a biciklit a társáak Esetleg megtehetik hogy több kisebb szakaszra osztják az utat és többször cserélek Így azt érdemes figyeli hogy meyi utat teszek meg bicikli és meyit gyalog Ha 25

2 26 AZ ALAPFELADAT valamelyikük olyakor hagyá el a biciklit amikor a társa mögött va akkor a célbajutás idejét csökketheték ha még egy kicsit megy a biciklivel (és em hagyja ott) Emiatt világos hogy ha a bicikli em jut el B-be akkor a meetidő em lehet miimális Így ha x-szel jelöljük az egyik biciklis által gyalogosa megtett út hosszát akkor ő 40 x távolságot tesz meg biciklivel és a társa x távolságot tesz meg biciklivel és 40 x távolságot gyalog Emiatt a teljes távolságot t 1 = x x illetve t 2 = x x 5 idő alatt teszik meg Például ha x =10 akkor t 1 =3 5és t 2 =6 5 tehát 6 5óra alatt midkette beérek Ezzel persze em érik el a voatot Ha x = 15 akkor t 1 = 4 1 és t 4 2 = 5 3 tehát így sem 4 érik el a voatot Ha viszot x = 20 akkor t 1 = t 2 = 5 és így elérhetik a voatot További kísérletezéssel belátható hogy x>20 eseté az átjutáshoz szité több mit 5 óra szükséges sőt az is észrevehető hogy x-re ugyaazt a teljes időt kapjuk mit 40 x- re (x =25eseté t 2 =4 1 és t 4 1 =5 3 míg x =30eseté t 4 2 =3 5és t 1 =6 5) Ezzel a gyakorlati feladatot meg is oldottuk de a matematikai probléma megoldása em teljes Igazoluk kell hogy valóba legalább 5 órára szükség va (eél kevesebb idő alatt em juthatak el B-be) Jó volaáltaláosa is megoldai a feladatot vagyis a távolság és a kétfajta sebesség függvéyébe megtaláli a szükséges idő miimumát Ha x<20 akkor x 40 x < 1és > tehát az összegről így em tudjuk eldötei hogy 5-él kisebb vagy agyobb Másrészt t 2 = x x 5 ha x<20 és t 1 = x x 20 ( 1 =8 x 5 1 ) =8 3x > 5 ( 1 =2+x 5 1 ) =2+ 3x > 5 ha x>20 Ez mutatja hogy ha valaki a távolság feléél többet tesz meg gyalog akkor több mit 5 óra alatt ér B-be tehát legalább

3 BICIKLIHIÁNYBAN 27 5óra szükséges ahhoz hogy az adott feltételek mellett midkette megtegyék a 40 km hosszú útszakaszt Látható hogy egy lehetséges megoldás az hogy az egyik gyerek megy 20 km-t biciklivel majd lerakja a biciklit és gyalog megy tovább A társa elidul gyalog és 20 km utá felül a biciklire majd azzal megy tovább Ez csak egy lehetséges megoldás mert több váltással is kivitelezhető ugyaez Ha az egyik gyerek csak 10 km-t megy biciklivel otthagyja és 10 km-t megy gyalog akkor 2 5óra utá ér az út feléhez Ez alatt a társa előbb megtesz 10 km-t gyalog majd 10 km-t biciklivel tehát őis2 5óra alatt éri el az út felét Ha midezt megismétlik az út másik felé akkor is 5 óra alatt érek célba Látható hogy végtele sok módo lehetséges kivitelezi a cseréket úgy hogy összese 5 óra alatt jussaak B-be A fogalmak tisztázása érdekébe írjuk le matematikai szimbólumokkal is hogy mit jelet a szükséges idő miimuma Ha t 1 és t 2 akét gyerek átjutási ideje akkor ahhoz hogy midkette B-be érjeek t =max{t 1 t 2 } idő szükséges Tehát midkette { x t =max{t 1 t 2 } =max idő alatt érek B-be meghatározásához a mi max 0 x x x x 5 Így az átjutáshoz szükséges idő miimumáak { x x x x } 5 kifejezést kell kiszámítai Az előbbi godolatmeet segítségével tehát azt igazoltuk hogy { x mi max 0 x x x x } =5 5 Ismételjük meg az előbbi godolatmeetet általáosabb esetbe amikor a sebességek és (em ismerjük a számértéküket de < ) illetve a távolság d Ha x-szel jelöljükazegyikgyerekáltal gyalogosa megtett távolságot akkor ő d x távolságot tesz meg biciklivel és a társa x távolságot biciklivel és d x-et gyalog Így az }

4 28 AZ ALAPFELADAT átjutási idejük redre t 1 = x + d x és t 2 = x + d x Tehát midkettőjük átjutásához szükséges idő { x t =max{t 1 t 2 } =max + d x x + d x } és ki kell számoli a mi max 0 x d { x + d x x + d x } kifejezés értékét Ha x d akkor 2 t 2 = d ( 1 x 1 ) d d 2 és ha x d akkor 2 t 1 = d ( 1 + x 1 ) d + d 2 = d + 2 = d + 2 Ez alapjá a t 1 és t 2 maximumáak a legkisebb értéke potosa x = d 2 eseté érhető elés ebbe az esetbe t = d + 2 tehát a két gyerek átlagos sebessége a d távolságra számolva éppe vátlag = 2 + vagyis a és harmoikus középaráyosa Megjegyzés Az előbbi feladat megoldása mutatja hogy a harmoikus középaráyos valóba kifejezhet valamilye átlagértéket Érdemes megemlítei más kotextust is amelybe az átlagértéket a harmoikus középaráyossal számítjuk ki Például ha egy buszjárat egy ap kétszer teszi meg ugyaazt a d hosszúságú útvoalat és a két alkalommal kapott átlagsebessége illetve akkor összese 2d távolságot tesz meg d + d idő alatt tehát az átlagsebessége 2d 2 = d + d = 2 +

5 BICIKLIHIÁNYBAN 29 Fotos kihagsúlyozi hogy mikor jeleik meg a harmoikus középaráyos mit átlagérték Esetleg olya példákat is érdemes mutati ahol valamilye meyiség átlagát más középaráyossal (számtai mértai égyzetes) kell kiszámítai 2 Egy lehetéges általáosítás és megoldása Az alapfeladat megoldása utá érdemes a diákokak a következő problémát megfogalmazi: 2 Feladat Általáosítsuk az 1 feladatot! Fogalmazzuk meg miél több hasoló jellegű problémát próbáljuk ragsoroli őket a ehézségük szerit! Gyártsuk valamilye stratégiát a boyolultabb esetek vizsgálatára! A diákok általába gyorsa megfogalmazak valamilye általáosításokat és gyakra meg is sejtik a megoldásaikat esetleg valamilye hibás elméletet is gyorsa felvázolak A jeleségek alapos megértése és a hibák kiküszöbölése érdekébe ajálott a megfogalmazott feladatok elemzése A továbbiakba felsoroluk éháy lehetséges általáosítást és aak megoldását A legegyszerűbbek tűőáltaláosítás amikor több gyerek va és több bicikli Általába ember k biciklivel egy adott d távolságot legkevesebb meyi idő alatt tud megtei ha a feltételek maradak (vagyis egy bicikli egyszerre legfeljebb egy ember ülhet) Aak érdekébe hogy az általáos eset megoldását megsejthessük érdemes előbb sajátos eseteket vizsgáli (már csak azért is hogy e egy sajátos esetből fogalmazzuk meg az általáos esetet) Előbb vizsgáljuk meg a következő eseteket: 3 Feladat Egy d távolságot = 3 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a hárma? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot?

6 30 AZ ÁLTALÁNOS ESET 4 Feladat Egy d távolságot = 4 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid aégye? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 5 Feladat Egy d távolságot gyerekek ( N 2) a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak egy biciklijük va és azo egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt teheti meg a d távolságot mid az gyerek? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 6 Feladat Egy d távolságot = 3 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak két biciklijük va és egy bicikli egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a hárma? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alatt teszik meg a távolságot? 7 Feladat Egy d távolságot = 4 gyerekek a lehető legkevesebb idő alatt kell megteie Gyalog és bicikli sebességgel haladhatak de csak két biciklijük va és egy bicikli egyszerre legfeljebb egy gyerek ülhet Legkevesebb meyi idő alatt tehetik meg a d távolságot mid a égye? Mekkora az átlagsebességük ha a legkevesebb idő alattteszik meg a távolságot? Vizsgáljuk meg azt az esetet amikor 2 bicikli és gyerek va ahol N 3 8 Feladat Oldjuk meg az előbbi feladatot = 5 gyerek és k =3 bicikli eseté! 9 Feladat Oldjuk meg az előbbi feladatot tetszőleges N és k N eseté ahol a gyerekek száma és k a biciklik száma valamit >k Megjegyzés Természetese elégséges lee megoldai az utolsó feladatot A többit gyakorlatilag csak azért fogalmaztuk meg külö

7 BICIKLIHIÁNYBAN 31 hogy a sajátos esetekből való építkezést az elméletalkotást aktiválhassuk a megoldásuk segítségével A cél az utolsó feladat megoldása de ha egyből csak azt ézzük akkor agy valószíűséggel a diákok em jöek rá a megoldás kulcslépéseire Ezért fotos tudatosítai beük hogy Kevés megfigyelés és sok okoskodás tévedésekhez vezet sok megfigyelés és kevés okoskodás azigazsághoz (Alexis Carrel) Mielőtt a boyolultabb eseteket megvizsgáljuk érdemes a már megoldott feladat megoldását úgy átíri hogy a jelölésredszer meg a godolatmeet alkalmas legye az általáosításra Eek érdekébe vezessük be szimmetrikus jelöléseket Jelölje x 1 és x 2 akét gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 a bicikli megtett út hosszát Ezekkel a jelölésekkel x 1 +y 1 = d és x 2 +y 2 = d mivel midkét gyerek megteszi a teljes távot Ugyaakkor a bicikli is megteszi a teljes távot (beláttuk hogy em érdemes otthagyi meetközbe) és em érdemes a biciklivel visszafele sem mei (mert ez biztosa időveszteséget hoz létre) tehát y 1 + y 2 = d így x 1 + x 2 = d Ha t 1 és t 2 akét gyerek meetideje akkor t 1 = x 1 + y 1 és t 2 = x 2 + y 2 tehát ha t =max{t 1 t 2 } akkor írhatjuk hogy Az előbbiek alapjá t x 1 + y 1 és t x 2 + y 2 2t x 1 + x 2 + y 1 + y 2 vagyis t d ( ) 2 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = y 1 = y 2 = d Ez 2 elérhető úgy hogy a távolság feléig az egyik gyerek megy a bicikli leteszi majd gyalogosa megy tovább Eközbe a másik gyerek az út első felét megteszi gyalog az út feléél elveszi a biciklit majd azo megy tovább Így a d távolság megtételéhez szükséges miimális idő

8 32 AZ ÁLTALÁNOS ESET ( d ) 2 A megoldásak ez a leírása azért előyösebb mert az optimális megoldás feltételeit és a végeredméyt megkapjuk a számolásokból A3feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 és x 3 ahárom gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 valamit y 3 a bicikli megtett út hosszát Ezekkel a jelölésekkel x i = d ha 1 i 3 Mivel a biciklit em érdemes meetközbe elhagyi és em érdemes a biciklivel visszafele mei írhatjuk hogy y 1 + y 2 + y 3 = d tehát x 1 + x 2 + x 3 =2d Ha t 1 t 2 és t 3 a gyerekek meetideje akkor t i = x i 1 i 3 tehát ha t =max{t 1 t 2 t 3 } akkor írhatjuk hogy Az előbbiek alapjá t x 1 + y 1 t x 2 + y 2 t x 3 + y 3 3t x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 vagyis t d ( ) 3 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = 2d és 3 y 1 = y 2 = y 3 = d Ez elérhető úgy hogy a távolság első egyharmadát 3 az egyik gyerek teszi meg biciklivel a második egyharmadát egy másik gyerek és az utolsó egyharmadát a harmadik gyerek Az út többi részé midhárma gyalogolak Ebbe az esetbe az átlagsebesség 3 vátlag = vagyis egy súlyozott harmoikus középaráyos

9 BICIKLIHIÁNYBAN 33 A4feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 x 3 és x 4 aégy gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y 3 valamit y 4 a bicikli megtett út hosszát Ezekkel a jelölésekkel x i = d ha 1 i 4 Mivel a biciklit em érdemes meetközbe elhagyi és em érdemes a biciklivel visszafele mei írhatjuk hogy y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = d tehát x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =3d Ha t 1 t 2 t 3 és t 4 a gyerekek meetideje akkor t i = x i ha 1 i 4 tehát ha t =max{t 1 t 2 t 3 t 4 } akkor írhatjuk hogy Az előbbiek alapjá t x 1 + y 1 t x 2 + y 2 t x 3 + y 3 t x 4 + y 4 4t x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + y 1 + y 2 + y 3 + y 4 vagyis t d ( ) 4 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 3d és 4 y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = d Látható hogy azt is meg kell vizsgáli hogy 4 ezek a távolságok a gyakorlatba lehetségesek-e vagy sem Jelöljük a gyerekeket b 1 b 2 b 3 és b 4 -gyel A bicikli átadását potosa meg kell szervezi Az előbbi két feladathoz hasolóa kivitelezhető az hogy mide 1 i 4eseté b i az út i-edik egyedét tegye meg biciklivel és a többit gyalogosa Ebbe az esetbe az átlagsebesség 4 vátlag = vagyis egy súlyozott harmoikus középaráyos

10 34 AZ ÁLTALÁNOS ESET Az 5 feladat megoldása Jelölje x 1 x 2 x az gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i +y i = d ha 1 i és y 1 +y 2 ++y = d tehát x 1 + x x = ( 1)d Ha a gyerekeket jelöljük b 1 b 2 b -el és mide 1 i eseté b i meetideje t i akkor t i = x i tehát a t =max{t 1 t 2 t } számra Az előbbiek alapjá vagyis t x i 1 i t x 1 + x x t d ( 1 + y 1 + y y + 1 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = = x = ( 1)d és y 1 = y 2 = = y = d Az előbbi két feladathoz hasolóa kivitelezhető az hogy mide 1 i eseté b i az út i-edik d hosszúságú darabkáját tegye meg biciklivel és a többit gyalogosa Ebbe az esetbe az átlagsebesség vátlag = amely egy súlyozott harmoikus középaráyos a két súlypedigabi- cikli élküli gyerekek száma ( 1) és a biciklik száma (1) ) A6feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 x 3 a gyerekek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y 3 a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i = d ha 1 i 3és y 1 + y 2 + y 3 =2d tehát x 1 + x 2 + x 3 = d Ha a gyerekeket jelöljük b 1 b 2 és b 3 -mal és mide 1 i 3eseté b i meetideje t i akkor t i = x i

11 BICIKLIHIÁNYBAN 35 tehát a t =max{t 1 t 2 t 3 } számra t x i 1 i 3 Összeadva az előbbi egyelőtleségek megfelelő oldalait 3t x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 vagyis t d ( ) 3 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = d és 3 y 1 = y 2 = y 3 = 2d A biciklik cseréje ebbe az esetbe egy kicsit több odafigyelést igéyel A jobb követhetőség érdekébe az 3 utat felosztjuk harmadokra és egy táblázatba ábrázoljuk hogy kiél melyik útszakaszo va bicikli Elleőrizhető hogy a táblázatba 0 d d 2d b 1 B B Gy b 2 B Gy B b 3 Gy B B 1 Táblázat Három ember két biciklivel látható terv kivitelezhető tehát a t-re adott alsó becslés valóba az átjutási idő miimuma Az átlagsebesség ebbe az esetbe 3 vátlag = amely egy súlyozott harmoikus középaráyos a két súlypedigabi- cikli élküli gyerekek száma (1) és a biciklik száma (2) A7feladatmegoldása = 4 eseté az előbbihez hasoló godolatmeet alapjá a t d ( ) 4 becslést kapjuk tehát ha sikerül megszervezi a biciklik cseréjét úgy hogy az előbbi egyelőtleségbe egyelőség teljesüljö akkor kész

12 36 AZ A LTALA NOS ESET va a megolda s Egy ilye lehetse ges cseresorredet mutat a 2 ta bla zat La thato hogy az a ltala os eset megolda sa hoz a biciklik 0 d 4 d 4 b1 B B b2 b3 Gy b4 Gy 2 Ta bla zat 2d 4 2d 4 3d 4 3d 4 d B Gy Gy Gy B Gy B Gy B Gy B B Ne gy ember ke t biciklivel 11 Abra Saja tos esetek vizsga lata

13 BICIKLIHIÁNYBAN 37 cseréjéek a leírása szükséges Eek érdekébe talá érdemes a 2 táblázat helyett a 3 vagy a 4 táblázatot elkészítei 0 d d 2d 3d b 1 B B Gy Gy b 2 B Gy Gy B b 3 Gy Gy B B b 4 Gy B B Gy 3 Táblázat Négy ember két biciklivel - II Az utóbbi két táblázat sorai a másodiktól kezdve az előtte levő sor alapjá egyszerűe megszerkeszthetők (vagy az első elem kerül a végére és az egész előrecsúszik vagy az utolsó elem kerül az elejére és mide hátracsúszik) Ezek a mitázatok az általáos esetbe is kivitelezhető cseréket jeleteek tehát tetszőleges 3eseté gyerek két biciklivel legkevesebb t = d ( ) idő alatt teheti meg a d távolságot Ez elérhető egy olya biciklicsere sorozattal amelyet a 5 táblázat ír le és ebbe az esetbe az átlagsebesség vátlag = Ebbe a táblázatba a főátló és a közvetleül fölötte levő átló valamit a bal alsó sarokba va B atöbbi elem Gy tehát úgy is felfogható hogy a főátló levő B-k az egyik bicikli kihaszálását jeletik a többi B pedig a másik biciklihez tartozik d 4 2d 4 2d 4 3d 4 3d 4 d 0 d 4 b 1 B B Gy Gy b 2 Gy B B Gy b 3 Gy Gy B B b 4 B Gy Gy B 4 Táblázat Négy ember két biciklivel - III

14 38 AZ ÁLTALÁNOS ESET ( 1)d 0 d d 2d b 1 B B Gy Gy b 2 Gy B B Gy b 3 Gy Gy B Gy b B Gy Gy B 5 Táblázat ember két biciklivel d A8feladatmegoldása = 5 gyerek és k =3biciklieseté jelölje x 1 x 2 x 3 x 4 és x 5 a gyerekek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y 3 y 4 illetve y 5 a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i = d ha 1 i 5 Belátható hogy ha valamelyik bicikli visszafele is megyük vagy valamelyik biciklit em juttatjuk el a végpotba akkor csökkethető azátjutáshoz szükséges idő Emiatt y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 =3d tehát x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 =2d Ha a gyerekeket b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 -tel jelöljük és mide 1 i 5eseté b i meetideje t i akkor t i = x i tehát a t =max{t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 } számra Az előbbiek alapjá t x i 1 i 5 5t x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 vagyis t d ( ) 5 Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 2d és y 5 1 = y 2 = y 3 = y 4 = y 5 = 3d Ebbe az esetbe az átlagsebesség 5 5 vátlag = Ez egy súlyozott harmoikus középaráyos a két súly pedig a bicikli élküli gyerekek száma (2) és a biciklik száma (3) Azt még be kell

15 BICIKLIHIÁNYBAN 39 láti hogy ez lehetséges is tehát a biciklik megfelelő cserélgetésével elérhető azelőbb számolt miimum Egy lehetséges cseresorredet d 5 2d 5 2d 5 3d 5 3d 5 4d 5 4d 5 d 0 d 5 b 1 B B B Gy Gy b 2 Gy B B B Gy b 3 Gy Gy B B B b 4 B Gy Gy B B b 5 B B Gy Gy B 6 Táblázat Öt ember három biciklivel mutat a 6 táblázat Ez a táblázat értelmezhető úgy is hogy mide 1 s 3eseté ha j i + s 1 mod 5 akkor az s-edik bicikli a b i gyerek ül a teljes táv j-edik d hosszúságú 5 szakaszá A9feladatmegoldása Jelölje x 1 x 2 x az gyerek által gyalogosa megtett út hosszát és y 1 y 2 y a bicikli megtett út hosszát Világos hogy x i = d ha 1 i Belátható azis hogy egyik bicikli sem érdemes visszafele mei és midegyik biciklit érdemes a végpotig eljuttati tehát y 1 + y y = kd és így x 1 + x x =( k)d Ha b 1 b 2 b -el jelöljük a gyerekeket és mide 1 i eseté b i meetideje t i akkor t i = x i tehát a t =max{t 1 t 2 t } számra Az előbbiek alapjá vagyis t x i 1 i t x 1 + x x t d ( k + y 1 + y y + k )

16 40 TOVÁBBI PROBLÉMÁK Egyelőség potosa akkor teljesülhet ha x 1 = x 2 = = x = ( k)d és y 1 = y 2 = = y = kd Ebbe az esetbe az átlagsebesség vátlag = k + k vagyis a sebességekek a biciklik és gyalogosok számával súlyozott harmoikus középaráyosa A teljességhez hozzátartozik aak az igazolása is hogy az előbbi értékek elérhetők tehát a biciklik cserélgetése megszervezhető úgy teljesüljeek az x 1 = x 2 = = x = ( k)d és y 1 = y 2 = = y = kd egyelőségek Ezt a 7 táblázat alapjá láthatjuk be Ebbe a táblázatba a főátló és a közvetleül fölötte I 1 I 2 I k 1 I k I k+1 I 2 I 1 I b 1 B B B B Gy Gy Gy Gy b 2 Gy B B B B Gy Gy Gy b k 1 Gy Gy B B B Gy Gy Gy b k Gy Gy Gy B B Gy Gy Gy b k+1 Gy Gy Gy Gy B Gy Gy Gy b 1 B B Gy Gy Gy Gy B B b B B B Gy Gy Gy Gy B 7 Táblázat ember k biciklivel levő (k 1) átló csupa B áll és a bal alsó sarokba további (k 1) átló szité B-k állak a többi elem pedig mid Gy Ez a táblázat értelmezhető úgy is hogy mide 1 s k eseté ha j i + s 1 mod akkor az s-edik bicikli a b i gyerek ül a teljes táv j-edik d hosszúságú szakaszá 3 További problémák A következő természetes probléma lee aak vizsgálata hogy több típusú egyszemélyes jármű haszálata eseté legkevesebb meyyi idő alatt lehet megtei egy d távolságot Például mi törtéik ha

17 BICIKLIHIÁNYBAN 41 3gyerekvaés redelkezésükre áll egy bicikli meg egy robogó amelyre egyszerre csak egy ember ülhet Az előbbiek alapjá általába az asejtés fogalmazódik meg hogy ebbe az esetbe midhárom módo (gyalog biciklivel és robogóval) egyarát d távot érdemes megtei 3 és így az átlagsebesség a három sebesség harmoikus közepe lesz Ez viszot már em ugyaolya egyszerű mit az eddig vizsgált esetekbe mert a bicikli és a robogóátadása em szervezhető meg Haa harmadokál maraduk akkor a 8 táblázat első oszlopába egy R- ek egy B-ek és egy Gy-ek kell kerülie Az R utá em jöhet B (hisz amikor a robogóról leszáll akkor még em lesz ott a bicikli) tehát az elsősorkötelező módo R-Gy-B A második és harmadik sort egyértelműe kitölthetjük hisz a bicikliek is és a robogóak is meg kell teie a második harmadot Ez a kitöltés látható a8 táblázatba Így b 1 hamarabb teszi meg az út első 2-át mit b 3 3 (mert d 3 2d 3 2d 3 d 0 d 3 b 1 R Gy B b 2 B R Gy b 3 Gy B R 8 Táblázat Három ember biciklivel és robogóval robogó és gyalog megy míg b 3 bicikli és gyalog) tehát vária kell a biciklire Ez mutatja hogy ugyaaz az elképzelés em vitelezhető ki ebbe az esetbe mit amikor csak gyalogszerrel vagy biciklivel volt megegedett közlekedi Ugyaakkor a godolatmeet másik rész hasolóa működe ha x i y i és z i a gyalog biciklivel illetve robogóval b i által megtett út hossza és a sebességek < <v 3 akkor az idők t i = x i + z i Ha a bicikli is és a robogó is megteszi a teljes távolságot akkor y 1 + y 2 + y 3 = d és z 1 + z 2 + z 3 = d tehát x 1 + x 2 + x 3 = d és így az átjutási idő teljesíti a ( ) 1 t d v 3

18 42 MEGJEGYZÉSEK egyelőtleséget Ez viszot még em elégséges mert ics kivitelezhető tervük tehát a probléma megoldása további elemzést kívá Ezzel a továbbiakba em foglalkozuk Hasoló módo általáosíthatjuk a feladatot ha em egy potból idulak és esetleg em ugyaoda kell beériük Szité általáosabb probléma ha több külöbözőtípusú járműáll redelkezésükre és a járművek em egyszemélyesek (pl va autó is amelybe 5 személy is elfér) Ez természetese agyo elboyolítja a helyzetet (előfordulhat hogy az autóval érdemes többször megtei az utat stb) de éháy sajátos eset taulmáyozható Haaprobléma teljese általáosa jeleik meg (több jármű midegyikek valamilye kapacitása em azoos kiiduló potok em azoos beérkezési potok esetleg szigorítások arra voatkozóa hogy ki kivel em lehet együtt bizoyos körülméyek közt feltételek a járművek sebességére voatkozóa stb) akkor a problémára még egy megközelítőe jóeredméyt adó reális időbe futó algoritmus is ige jó eredméyt jelet Midez azt mutatja hogy az általáosítások sorozatával gyorsa eljutuk olya problémákig amelyeket em tuduk megoldai Ez a kívácsiságvezérelt matematika taítás egyik alapvető jellegzetessége Ha valóba kívácsiak vagyuk a problémahelyzetre akkor hamar eljuthatuk meg em oldható feladatokig is Előre viszot em tudhatjuk hogy melyik általáosítás kezelhető és melyik em Tehát a problémák megfogalmazásába támogati kell diákjaikat és segíteük kell őket a saját korlátaik felismerésébe Tuduk kell és diákjaikba is tudatosítauk kell hogy az a természetes alaphelyzet amikor sok megoldatla problémával szembesülük Legtalálóbba talá Earl C Kelley fogalmazta meg: Nem sikerült megválaszoluk az összes kérdésüket Valójába éha úgy érezzük hogy teljese egyet sem válaszoltuk meg A megtalált válaszok csak arra jók hogy egy egész sorozat újabb kérdés felmerüljö Talá taácstalaabbak vagyuk mit valaha de úgy godoljuk hogy magasabb szite vagyuk taácstalaabbak és fotosabb problémákba

19 BICIKLIHIÁNYBAN 43 4 Megjegyzések 1 Ezt a foglalkozást kipróbáltuk általáos iskolai diákokkal középiskolás diákokkal és egyetemi hallgatókkal egyarát Az alapfeladat megoldására (esetleg egy kis próbálkozás utá) majdem mide esetbe rájöttek a diákok (a legtöbb esetbe kiscsoportokba dolgoztak) és agyo sok boyolultabb esetbe is megsejtették a megoldásokat A megoldások bizoyítások egzakt leírása általába igéyelt egy kis iráyítást éhol segítséget 2 A kiscsoportos foglalkozások agy előyt jeletettek a próbálkozások és a cserék megtervezése sorá Ezekél a lépésekél már a csoporto belül sikerült kiküszöböli az esetleg elkövetett hibákat A csoportos muka biztosította hogy a diákok majdem kivétel élkül megértsék a cserék kivitelezéséek módját és gyakra több külöböző tervisszületett az általáos eset cseréiek tervezésére Ugyaakkor időt is spórolhatuk ha a csoportok külöböző sajátos eseteket vizsgálak majd az iformációmegosztásra valamilye kooperatív megoldást haszáluk (így azt is biztosíthajuk hogy a kooperatív muka alapelvei érvéyesüljeek) 3 A foglalkozásokat általába 2 3 óra alatt viteleztük ki Érdemes az alapfeladat megoldását egy külö tevékeység alatt tárgyali majd az általáosításokat egy másik tevékeysége 4 Fotos kihagsúlyozi a gyakorlati feladat (a voat elérése) és a matematikai probléma megoldása közti külöbséget a bizoyítás mide lépéséek például a cserék megszervezéséek a fotosságát Ez éha csak akkor válik érthetővé ha eek segítségével valamilye félreértést ki lehet küszöböli A foglalkozások sorá a diákok majdem mide esetbe megfogalmazták a hibás sejtést a kétfajta jármű esetére és csak a cserék alaposabb elemzése sorá vették észre hogy az hibás

20 44 MEGJEGYZE SEK 12 Abra Csapatmuka 13 Abra Az alapfeladat megolda sa e s az a ltala os esetbe a biciklicsere k terve ek elke szı te se

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

1 A jelzőlámpás irányítás

1 A jelzőlámpás irányítás 1 A jelzőlámpás irányítás 21 A jelzőlámpák egyezményes jelrendszer segítségével időben választják szét a csomópontban azonos területen haladni kívánó járműveket, gyalogosokat. (e-ut 03.03.31 A jelzőlámpás

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

ÚT AZ ISKOLA ÉS AZ OTTHONOM KÖZÖTT!

ÚT AZ ISKOLA ÉS AZ OTTHONOM KÖZÖTT! ÚT AZ ISKOLA ÉS AZ OTTHONOM KÖZÖTT! Cél: A megfigyelés célja, hogy a gyerekek megértsék azt, hogy ők is befolyásolják légszennyezést azzal, hogy milyen közlekedési lehetőséget vesznek igénybe otthonuk

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Tájékoztató füzet a városi közlekedésről szóló beszélgetéshez

Tájékoztató füzet a városi közlekedésről szóló beszélgetéshez Tájékoztató füzet a városi közlekedésről szóló beszélgetéshez Előszó Ez a tájékoztató anyag azért készült, hogy segítse a városi közlekedésről szóló beszélgetést. Maga az összejövetel része annak a kutatásnak,

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

ő Ö ő ó ő ó ő ő ó ő ő ő ó ő ú ó ő ú ő ú ő ő ú ó ő ő ú ő ő ő ú ú ű ú ő ó ő ű ó ő ő ú ő ő ő ú ú ő ó ű ő ő Ö úú ő ó ú Ö ó ó ő ő Ö ó ú ő ő ő ú ő ó ő ó Ö ó ú Ű ő ő ó ő ő ó ő ú Ö ú Ö ő ő ú ú ő ő ú ú ó ó ő ó

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

Ú Ó ö Ő ö Ú Ú Ó Á Á ü ő ö Ú Ú Ó ű ő ő ő ő ü Á ö ü ö ö ő Ó Á Á ő Á Ú ö Ó Ű Ú Ó ű Á ő ő ő ö Ú ö ű ö ö ö ő Ó Á Á ű ű ö ü ű ü Á Á ű ű ö ü ű ü ü ö ü ő ü Ó Ó ő ő ő ő ű ö ő ű ü Á Á ő ü ő Ú Ó ü ö ő ő ö ő ö ö ő

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

Minőségbiztosítási Kézikönyv

Minőségbiztosítási Kézikönyv Minőségbiztosítási Kézikönyv Jelen Kézikönyv a Balogh Oktató Kft. tulajdona. Továbbadása, sokszorosítása előzetes írásos engedély nélkül nem megengedett. 2016 Nyilvántartási szám: 05-0247-04 Felnőttképzési

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

ő ő Ü ü Á ú ú ü ú ú ü ú ü ú ú ü ő ú Á ü ú Á ü ü ü ú Á Á Ó Ü ő ü ú ú ú ü ű ú Ü ü ű Ü ú Á ú Ó ő ü Ú ú Á ő ő ú ű Á ú ü ő Á ú ú Á ú Á ú Ü Á Ö ú ú ő ő ú ű ü ő Á ő Ú ü Ö Á Á Á Á ő Ü Ö ü Ú Ö Á Á ú ő Ú Á Á ü

Részletesebben

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése ERDŐGAZDÁLKODÁSI HATÓSÁGI BEJELENTÉSEK/ TERVEZETT ERDŐGAZDÁLKODÁSI TEV. BEJELENTÉSE A Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése a fakitermelési

Részletesebben

g. Szervezeti és Működési Szabályzat, a Házirend és a Pedagógiai Program

g. Szervezeti és Működési Szabályzat, a Házirend és a Pedagógiai Program Közzétételi lista A nemzeti köznevelésről szóló törvény végrehajtásáról szóló 229/2012. (VIII. 28.) Korm. rendelet 23. (1) alapján: a. A felvételi lehetőségekről szóló tájékoztató: b. A beiratkozásra meghatározott

Részletesebben

ú ú ú Ú ú ú ő ő ú ű ú ő ő ú ő ú ő ő Ó Ó ő ű ő ő ú ő Ó Ó ú ú ú Ú ü ú ú ő Ü ü ő ü ő ő ú ú ő ő ú ő ő ü ü ú ő ű ü ő ő Ü ű ű ű ű ú ü ü ő ú Ö ű ű ő ú Ü ú ü ő ú ő ü ő ű Á Ü Ó Ó ű ü Ü ü ú Ü ő ő ő ő ő ő ő ü Ü ü

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

ű ú ü ö ö ü ö ö ö ú ü ü ö ö ö ú ö ö ü ű ö ö ö ö ü ö ö ü ö ö ú ö ü ö ü ü ü ú ö ö ü ö ü ü ö Ó ü ű ö ö ü ö ü ö ú ö ö ö ö ű ú ú ű ö ö ü ö ö ö ö ü ú ö ü ö ü ü ö ú ü ü ü ű ú ö ü ö ö ö ü ö ü ú ö ö ö ü Ú ű ü ö

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Szülőföldem-lakóhelyem

Szülőföldem-lakóhelyem Szülőföldem-lakóhelyem Sváb települések Dombóvár környékén HÁROM HETET MEGHALADÓ PROJEKT a dombóvári 516.sz. IPARI SZAKKÉPZŐ ISKOLA ÉS KOLLÉGIUM intézményében Projektfelelős: Herczeg Mária Tartalom: 1.

Részletesebben

GroupWise 5.2 használói jegyzet

GroupWise 5.2 használói jegyzet GroupWise 5.2 használói jegyzet 32 bites verzió Készítette: Borsodi Gábor, ABS Consulting Kft. (http://www.abs.hu) 1998-2001 Ez a dokumentáció szabadon felhasználható (nyomtatható, másolható) és terjeszthet,

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Digitális kártyák vizsgálata TESTOMAT-C" mérőautomatán

Digitális kártyák vizsgálata TESTOMAT-C mérőautomatán Digitális kártyák vizsgálata TESTOMAT-C" mérőautomatán NAGY SANDOR ZOLTAN FRIGYES IVAN BHG BEVEZETÉS Az elektronikus termékek minőségét alapvetően az alapanyagok tulajdonsága, a gyártástechnológia műszaki

Részletesebben

LAKOSSÁGI TÁJÉKOZTATÓ

LAKOSSÁGI TÁJÉKOZTATÓ LAKOSSÁGI TÁJÉKOZTATÓ Árvíz: a folyó vízszintje hóolvadás, jégtorlódás vagy heves esőzések miatt megemelkedik, majd kilép a medréből és elárasztja a vidéket. Víz alá kerülhetnek lakot települések, ipari

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató

Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató Kiemelt magyarországi disztribútor: LDSZ Vagyonvédelmi Kft. I. fejezet Általános ismertető Az EverLink a mai követelményeket maximálisan

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszit 0821 ÉRETTSÉGI VIZSGA FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ OKTATÁSI ÉS KLTRÁLIS MINISZTÉRIM Fotos tudivalók Az írásbeli

Részletesebben