Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Átírás

1 Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást is adu; így lehetőségü yíli eze szamai-módszertai összehasolítására. A övetező játéoba ette játszaa egymás elle. A ezdő játéost jelöljü A-val, a másodiat B-vel feladat: Egy urába darab é és darab iros golyó va ( + = ). Kette felváltva húza véletleszerűe egy-egy golyót úgy, hogy miutá megézté a golyó szíét, visszateszi az urába. Az a játéos győz, ai először húz iros golyót. Meora eséllyel yer A, illetve B? Első megoldás (mértai sor): Jeletse P(i) az i eseméy valószíűségét. Eor P(A yer) és P(B yer) a érdés. P(A yer) = P(A yer vagy az első, vagy a harmadi, vagy az ötödi stb. léésbe (és özbe B em yer)). Alalmazhatju az összeadási és szorzási szabályt, ee segítségével 2 4 formailag a P ( A yer) = egyeletet aju. A végtele mértai sor összege P( A yer) =, tehát az A játéos valószíűséggel yer. + + Másodi megoldás (Marov-láco): Az előző fejezet alajá megadhatju a robléma folyamatábráját: / / A A yer / / B B yer = Hogya atu ezt az ábrát? jeleti a startállaotot, amior A húz. Az A játéos vagy iros golyót húz valószíűséggel, amior is eljutu az ábrá A-val jelölt állaotba (eor A győzött), vagy é golyót húz valószíűséggel, eor jutu a állaotba. Ie folytatva megit ét 7/55

2 Orosz Gyula: Marov-láco eset lehetséges: vagy iros golyót húz B (eor a B állaotba jutu, amior is B győz), vagy é golyót ( állaotba jutu - a játé folytatódi). Ezzel a godolatmeettel a gráf végtele hosszú lee. Észrevehetjü azoba, hogy a játé szemotjából az és a állaot em ülöbözi léyegese egymástól: midettőbe a ezdő A játéos övetezi húzásra -be úgy, mitha eddig em törtét vola semmi a játéba. Alalmazhatju tehát a egyszerűsítést (összevoást), amellyel a lác végessé tehető. Az ábrá feltütettü az egyes ágahoz redelt átmeeti valószíűségeet. Eze segítségével az előző fejezetbe leírt módo meghatározhatju a fagráf egyes útjaihoz tartozó valószíűségeet. egye s aa a valószíűsége, hogy A yer az állaotból, hasolóa legye P(A yer -ből) = c. Eor az ábra alajá felírható egyeletredszer: s = 1+ c, c = 0 + s. Az egyelete az összeadási és szorzási szabály egyszerű alalmazásai. azt jeleti, hogy A az állaotból - vagy valószíűséggel iros golyót húz, tehát rögtö (1 valószíűséggel) yer, - vagy valószíűséggel é golyót húz, és a továbbiaba c valószíűséggel yer, a állaotból folytatva a játéot. Hasolóa matematiai tartalma: a B játéos a állaotból - vagy valószíűséggel iros golyót húz, tehát rögtö veszít A; - vagy valószíűséggel é golyót húz, amior is eljutu a állaotba, és a továbbiaba s valószíűséggel yer A a állaotból. Az egyeletredszer megoldása s =. + (Melléeredméy: c = +. ) Megjegyzése: 1. A aott ifejezés em szimmetrius, < miatt s midig agyobb, mit 0,5; vagyis a ezdő játéosa midig előyös ez a sorsolás. 2. A játéba a dötetle valószíűsége, ami ullához tart, ha N tart végtelehez (ez egyébét a cibe tárgyalt legtöbb játéra igaz lesz). Így a ezdőállaotba B győzelmée a valószíűsége 1 P(A yer) = (1 s) =. Ez az érté természetese + megegyezi az egyeletredszer megoldásaor aott P() = c értéel, hisze az állaotba A, valamit a állaotba B szeree szimmetrius. Ez utóbbi észrevétel segítségével egy harmadi tíusmegoldást is adhatu. N 8/55

3 Orosz Gyula: Marov-láco 3. Harmadi megoldás ( logiai reurzió ): Mivel a dötetle valószíűsége 0, ha az A játéos s valószíűséggel yer a iidulási állaotból, aor ie a B játéos yerési esélye (1 s). Eor vagy valószíűséggel A yer, vagy valószíűséggel olya állaotba erül a játé, amelyet úgy teithetü, mitha B lee a ezdő egy most iduló játéba. Tehát ie már B yer s valószíűséggel, A yerési esélye edig eor (1 s). Az ez alajá felírható egyelet s = + ( 1 s), ee megoldása s =. + Ezt a módszert amelyet házi haszálatra logiai reurzióa eveztü el a ésőbbiebe is alalmazi fogju. éyege, hogy valamely változóra ömagával hivatozu. A feti egyeletbe a hivatozás özvetleül törtét; ésőbb esetleg előfordulhat, hogy a hivatozás több léés mélységű lesz. 4. Például a = = 1 ( = 2) választással az érmedobálási modellt aju. Vagyis ha ét játéos felváltva egy szabályos ézérmét dobál, s az győz, aie először sierül fejet 2 1 dobia, aor az első játéos =, a másodi játéos edig valószíűséggel yer feladat: Két játéos felváltva dob fel egy dobóocát. Az a játéos győz, ai először tud hatost dobi. Meora valószíűséggel yere az egyes játéoso? Megoldás: A = 1, = 5 ( = 6) választással a 2.1. feladat seciális esetét aju, tehát s = 11 6 valószíűséggel győz A, 11 5 valószíűséggel edig B feladat: A 2.1. játéot ayiba módosítju, hogy az A játéos győzelméhez a iros golyót étszer ell ihúzia, míg B-e továbbra is elég egy iros húzás a győzelemhez. Meora eséllyel yer most A, illetve B? Megoldás: Készítsü el a játé folyamatábráját! / / / / / / B yer 1 B yer Most is sierül egyszerűsítéseet végezü, fel tudju haszáli a 2.1. feladat eredméyét. 9/55

4 Orosz Gyula: Marov-láco A startállaotból valószíűséggel a állaotba jutu (eor A már húzott egy iros golyót). Ie vagy győz B valószíűséggel, vagy valószíűséggel az 1 állaotba jut a játé, ami megegyezi a 2.1. játé ezdőállaotával; ugyais eor A vagy B özül az a játéos győz, ai előbb húz iros golyót. Ha a startállaotból valószíűséggel é golyót húz A, aor a állaotba jutu. Ie vagy győz B, vagy - é golyó húzása eseté - mide ezdődi elölről, az ezdőállaotba erül a játé. Jelöljü s-sel az A játéos győzelmée a valószíűségét. A 2.1. feladat jelöléseit és eredméyét felhaszálva a felírható egyeletredszer: s = c + d, c = s, 1 (3) d = s, (4) s1 =. + játéos. Az egyeletredszer megoldása s = eora valószíűséggel győz a ezdő ( ), 2 + A övetező feladatba a folyamato egy mási jellemzőjét, az átlagos hosszuat határozzu meg feladat: Átlagosa háy húzásig tart a 2.1. játé? Első megoldási lehetőség: A húzáso számáa várható értée a érdés. A játé valószíűséggel 1 léésbe véget ér a iros golyó húzásával. 2 léés hosszú aor lehet a játé, ha előbb egy é, majd egy iros golyót húzu; ee a valószíűsége. 3 léés hosszú a játé, ha 2 é és 1 iros golyó húzása törtéi, ee a valószíűsége 2. Általába a játé N léésbe ér véget, ha (N 1) é és 1 iros golyó húzása törtéi, s 1 N ee a valószíűsége. A várható érté iszámolása eze utá úgy törtéhet, hogy az egyes valószíűségeet szorozzu a hozzáju tartozó húzásszámoal, s az így aott 10/55

5 Orosz Gyula: Marov-láco tagoat összegezzü. A defiíciót alalmazva az átlagos húzásszám iszámításához tehát 2 az = sor összegét ellee meghatározi. Másodi megoldás: A Marov-láco segítségével elerüljü a várható érté fogalmát. A játé folyamatábrája alajá egyeletredszert írhatu fel a játé befejezésig szüséges húzáso átlagos számára. / / A A yer / / B B yer = Jeletse i a befejezésig szüséges húzáso átlagos számát, ha a játé az i állaotba va. Eor felírható az alábbi egyeletredszer: () 1 = 1+ ) ( 2) = 1+ )., Az egyelet úgy értelmezhető, hogy a ezdőállaotból iidulva a befejezésig szüséges húzáso átlagos számát a övetező módo ahatju meg: vagy valószíűséggel húzu összese egy golyót, vagy valószíűséggel a állaotba erülü; vagyis egyet húzu, lusz még ayi húzás törtéi, ameyit a állaotból átlagosa végzü a továbbiaba a játé folyamá (ezt jelöltü c -vel). A egyelet értelmezése: a állaotból iidulva a befejezésig szüséges húzáso átlagos száma vagy valószíűséggel összese egy golyó; vagy valószíűséggel egyet húzu, lusz még ayi húzás törtéi, ameyit a továbbiaba az állaotból átlagosa végzü (ezt jelöltü -sel). Az egyelet átalaítás utá formailag az = 1 + alaba is írható, jeletése eor hasolóa értelmezhető: a ezdőállaotból midig húzu 1-et, valamit 11/55

6 Orosz Gyula: Marov-láco valószíűséggel még ayi további húzás törtéi, ameyi átlagosa a állaotból szüséges a játé végéig. (Hasolóa alaítható át is.) Az egyeletredszer megoldása =, átlagosa eyi húzást végzü egy játé alatt. Megjegyzése: 1. Érdemes tudatosítai, hogy megatu az első megoldás végtele soráa összegét. 2. Az érmedobálási modellbe ( = = 1, = 2) az átlagos dobásszám 2; a dobóocamodellbe ( = 5, = 1, = 6) az átlagos dobásszám Határozzu meg -t: az = 1 + egyeletből =, vagyis =. Hát ersze: a állaot az átlagos léésszám teitetébe egyeértéű -sel, hisze a játé em tudja, hogy az A vagy a B játéos övetezi soro. 4. Harmadi megoldás ( logiai reurzió ): Ha a megoldás első lééseét felismerjü az = acsolatot, özvetle összefüggést írhatu fel az átlagos léésszámra: = 1+. áthatju, hogy emcsa a valószíűségere ( megjegyzés), haem a léésszámora is felírhatu olya egyeletet, amelybe a változóra ömagával hivatozu. 5. Ha a diáo em találozta még a várható érté fogalmával, roblémát jelethet számura, hogy az összeadási és szorzási szabályt valószíűségere modtu i, ezebe az egyeletebe edig a léésszámo (tehát más dimeziójú meyisége) szereele. Itt tulajdoée a véletle számo azo tulajdoságát haszálju fel, hogy összegü várható értée megegyezi a várható értéei összegével. Taasztalatai szerit ez a ehéz godolat szemléletese világos a diáo számára; a mély tétel bizoyítása megtalálható éldául a [6] taöyvbe. 6. A további feladato megoldása sorá igyeszü elerüli a várható érté fogalmát, illetve a várható érté defiíció szeriti iszámolását; s erre hatéoya alalmazhatju a feti trüöt, az egyeletredszer módszerét. Mivel tehát ezt a módszert a ésőbbiebe is gyara haszálju, fotos, hogy a diáo valóba megértsé, s e csa automatiusa alalmazzá feladat: Átlagosa háy húzásig tart a 2.3. játé? Megoldás: Az előző feladat megoldásához hasolóa a folyamatábra alajá felírju a léésszámora (a húzáso számára) voatozó egyeletredszert. 12/55

7 Orosz Gyula: Marov-láco / / / / / / B yer 1 B yer Jeletse i a befejezésig szüséges húzáso átlagos számát, ha a játé az i állaotba va (továbbá 1 jeleti az 1 állaotból szüséges húzáso számát). Eor: = (1 + ) + ), = 1+ 1 ), (3) = 1+ ). Az egyelete redezett alaja: = 1+ +, = 1+ 1, (3) = 1+. Felhaszálhatju az előző feladat megoldása alajá, hogy 1 =. -ből = ( = 1 ) adódi. Így va: ha már törtét egy iros húzás ( állaot), aor a továbbiaba az a játéos yer, ai először húz iros golyót; s ehhez átlagosa 1 húzásra va szüség ből és (3)-ból = = Ie látható, hogy a léésszám + + agyobb, mit A orét = 1, = 1 ( = 2) értéeel (érmedobálás) = 3,33; a dobóocáa megfelelő = 1, = 5 ( = 6) értéeel = 9, /55