VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

Átírás

1 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig pozití neezőel írju, ez nem jelent megszorítást. Ha a-t például tizedes törteel, mondju 0 agy 00 agy 0 ( pozití egész), agy általában adott n pozití egész neezőjű törttel aarju megözelíteni, aor megeressü az a-t özrefogó ét, n neezőjű törtet, teát azt az u-t, amelyre u u + u + a <. Eor az a-oz legözelebbi ( a = esetén alamelyi) égpontot -nel jelöle a özelítés n n n n mértéére annyit mondatun, ogy: a n, n 7 iszen a leet aár a számöz felezőpontja is. Eszerint a =,70... számtól pl. az,7 = eesebbel 00 tér el, mint. 00 Vegyü iszont észre, ogy a 6 =,7... tört, amelyine a neezője soal isebb, már ,00 = nél is eesebbel tér el, és a 00-nál még mindig lényegesen isebb neezőjű =, eltérése 0,00004 = nél isebb Általában lényegesen jobb özelítést reméletün, a a jó özelítő törteet az összes n-nél nem nagyobb neezőjű tört özött eressü. Érdemes teát ezen törte sorozatát özelebbről megismerni. Eze a törte bármely ét szomszédos egész szám özött azonos módon elyezedne el, ezért elég a 0 és öztiere szorítozni. A 0 és özti, n-nél nem nagyobb neezőjű, nem egyszerűsítető törte nöeő sorozatát - ozzáée a 0-át és -et is 0 ill. alaban, n-edi Farey-sorozatna neezzü és Φn -nel jelöljü. Így pl.: Φ = ;, Φ = ; ;, Φ = ; ; ; ;. I. megjegyzés Az elneezéssel apcsolatban Hardy-Wrigt [] 6-7. oldalán a öetezőt írja: A Farey sorozato története igen ülönös. Úgy látszi, ogy a 8. és 9. tételt [az alábbi. tételt] először Haros bizonyította 80- ben. Lásd Dicson [] I. 56. old. Farey semmit nem özölt a érdésről 86-ig, eor imondta a 9. tételt [a) állítást] egy, a Pilosopical Magazine-ban özölt megjegyzésében. Bizonyítást nem adott rá, és alószínűtlen az is, ogy ilyent talált olna, mert legfeljebb a özömbös olt a matematia iránt. Caucy iszont látta Farey állítását, és be is bizonyította (Exercises de matematique, I old.). A matematiuso többnyire, Caucy példáját öete, Fareyne tulajdonítjá az eredményt, és alig leet étséges, ogy eze a sorozato ezután is az ő neét fogjá iselni. Fareyről úszsornyi megjegyzés an a Dictionary of natural biograpy-ben [Természettudományi életrajzo tára], aol mint geológusról emléezne meg róla. Mint geológust őt teljesen elfelejtetté, iszont életéne egyetlen mozzanatát, ami túlélte őt, nem említi meg életrajzírója. Ajánló: Jon Fareyről a St. Andrews Egyetem Mc.Tutor történeti arcíumában: ttp://www-istory.mcs.st-andrews.ac.u/~istory/biograpies/farey.tml a Wiipédia szabad lexionban: ttp://en.wiipedia.org/wii/jon_farey%c_sr. /

2 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Miután a toábbiaban so szó lesz rólu, ezért a nem egyszerűsítető törteet röidebben egyszerűne fogju neezni.. Az. ábra Φ 8 -at mutatja. Ez elég szabálytalanul sűrűsödő-rituló sorozatna tűni, mégis észreeető a Φ n elemei özt néány szabályosság. Az például nyilánaló, ogy az -re szimmetrius a sorozat ábra Ajánló: A Farey-sorozat egy ábrázolása a ttp://mat.usas.ca/~taylor/demo/farey.tml weboldalon. Toábbi lényeges tulajdonságo a számöz felezőpontja elyett a törte özt értelmezett öetező műelet segítségéel fogalmazató meg: A és ' + ' törte mediánsána neezzü a törtet. ' + ' A mediánsna a neezőre tett felteés mellett mindig an értelme. II. megjegyzés Jegyezzü meg, ogy a mediáns értée nem csa a törte értéétől függ, anem az alajutól is. Pl. és 4 mediánsa 7 4, míg a elü egyenlő 9 és 8 6 -é 7 9. Mi a öetezőben csa egyszerű törte mediánsáal foglalozun. A mediáns számlálója és neezője a síbeli etorösszeg oordinátáira emléeztet, és alóban, a az egyenes elyett a sí (pontosabban az első sínegyed) egész pontjaial ábrázolju a Farey törteet, a törtne pl. a) a (; ) pontot, agy b) a (; -) pontot feleltetjü meg, aor átteintetőbb épet apun a sorozatoról. A. a) és. b) ábrán Φ 8 -at tüntettü fel az a) illetőleg a b) módon a) ábra. b) ábra /

3 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Az egész oordinátájú pontoat rácspontona fogju neezni. Eze egy pontrácsot (négyzetrácsot) alotna, ugyanis a tengelyetől egész táolságra léő egyenese létreozta négyzete csúcsai alotjá a pontrácsot. Ezeet az egyeneseet a négyzetrács álóonalaina neezzü. Mindét ábrázolásmód esetében az egyenlő törteet ábrázoló ponto egy origón átaladó egyenesen soraozna. Közülü az origóoz legözelebbiet az origóból látató agy röidebben látató pontona neezzü. A Φ 8 elemei egy H 8 8 befogójú, egyenlőszárú, derészögű áromszög belsejében és atárán elyezedne el. Enne csúcsai az első ábrázolás esetén a (0;0), (0;8), (8;8) ponto, a másodinál a (0;8), (0;0), (8;0) ponto. Általában a Φ n elemeit a (0;0), (0;n), (n;n), illetőleg a (0;n), (0;0), (n;0) csúcsú, zárt H n áromszög látató rácspontjai ábrázoljá. A. b) ábra ilágosan mutatja, ogy Φ 8 és asonlóan minden Farey-sorozat az amit már a definíció apcsán is említettün. re szimmetrius, 4. A toábbiaat meg fogja önnyíteni néány elneezés beezetése. Az olyan etor, amelyine égpontjai rácsponto, rácsetor; ét rácsponton átmenő egyenes rácsegyenes (ilyene például a álóonala, de pl. a rácsnégyzete átlóira illeszedő egyenese is); egy olyan soszög, amelyine a csúcsai rácsponto: rácssoszög (a H n áromszöge pl. rácsáromszöge); égül egy olyan rácssoszöget, amelyi a csúcsain íül nem tartalmaz rácspontot sem a belsejében sem a atárán, üresne neezzü. A Farey törteet ábrázoló pontoat fogju Farey-pontona is neezni, és azonosítju a törteel, így pl. a mediánsuat ábrázoló pontot a ponto mediánsána is mondju, és ezen a mediáns értéét is értjü. Az ábrázolt törte értéét az origóból a épüöz úzott egyenesne az x-tengellyel bezárt szöge jellemzi. Kisebb törtet meredeebb egyenes ábrázol. Föntebb Φ 8 elemeit nöeő sorrendben összeötöttü. Ha P és P', Φ n ét szomszédos elemét ábrázolja, aor az OPP' áromszög üres. Visszatére az ábrázolást beezető megjegyzésez a P és P' mediánsát a Q pont ábrázolja, amelyre OPQP' paralelogramma. A mediáns teát az ábrázolt ét tört özé esi. A Q pont látató is, mert ülönben Φ n -beli törtet ábrázolna ellentétben azzal, ogy P és P' özt nincs Φ n -beli elem. Ezzel a öetezőt nyertü:. tulajdonság: Φ n ét szomszédos eleme neezőjéne az összege n-nél nagyobb, és a mediánsu egyszerű tört. 5. eze után már nem neéz belátni, ogy. tulajdonság: Ha n>, aor Φ n ét szomszédos eleméne neezője ülönböző. + Vizsgálju a Φ n -beli törtet. Ha nem egyszerű, aor igaz az állítás, mert ez a tört nagyobb az + előbbinél, így az azzal szomszédos nagyobb elem sem leet neezőjű. Ha egyszerű, aor an Φ n -ne özéjü eső eleme. Tudju ugyanis, ogy < n (= esetén az állítás triiális).. a) és. b) ábra P és P pontja a fenti ét törtet ábrázolja az a) illetőleg a b) ábrázolási mód szerint. A Farey sorozatról léén szó a másodi tört sem nagyobb -nél, sőt sem leet, mert > miatt nem leet alaú. A belőle O-ba mutató egyenes teát 45 o -nál isebb szöget zár be a függőlegessel. /

4 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u - P 45 P' P'' P P'' P' O O. a) ábra. b) ábra Eor ilágos, ogy a tört (agy a ele egyenlő egyszerű tört) a ét tört özött an. Valóban, a. b) ábrán ezt a törtet ábrázoló P pontból az origóba mutató egyenes a mási ét pontból oda mutató egyenes özött an; de a. a) ábrán is igaz ez, a fenti megállapítás szerint, miel a PP P szög iszont 45 o -os. (A. b) ábránál a derészögű áromszög egyenlő szárú olta szóba se jött.) Érdemes összeasonlításéppen a geometriailag nyert összefüggéseet számolással is igazolni. 6. A Farey-sorozatoban észreeető szabályosságoat fogalmazza meg a öetező tétel.. tétel a) Két szomszédos tört ülönbsége a neező szorzatána recipro értée. b) Három egymás utáni tört özül a özépső a ét szélső mediánsáal egyenlő. ' Az a) tulajdonságot átfogalmazzu. Legyen < Φn ét szomszédos eleme. Eor: ' ' ' ' =. ' ' ' a) szerint itt egyenlőségne ell fennállnia, agyis ' a') Ha a Φn utáni eleme, aor '-'=. ' Nyilánalóan a')-ből öetezi a). 7. A Farey-sorozatoat azért ezettü be, ogy alós számooz azoat jól özelítő törteet eressün. Ezért, mielőtt a tétel bizonyítására térnén, bebizonyítju segítségéel a öetezőt:. tétel: Egy a alós számoz és tetszőleges pozití egész n-ez találató olyan u/ tört, amelyire a u, n, () n + s így a u. () ( n + ) < Irracionális a esetén a () összefüggés égtelen so u/ tört esetén teljesül. III. Megjegyzés A. tétel fényében már nem olyan meglepőe az. pontban talált jó özelítő értée. 4/

5 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u A. tétel bizonyítása Bármely ét szomszédos egész özött, mint említettü, azonos módon elyezedne el az n-nél nem nagyobb ' neezőjű törte. Legyene az [a]-el eltolt Φ n sorozat a-al szomszédos elemei <. Osszu etté az eze ' özti interallumot a törte mediánsáal. Ha a a -ból induló részbe esi, aor táolsága -tól nem nagyobb, mint + ' ' ' = =. + ' ( + ') ( + ') ( n+ ) Az utolsó lépésben felasználtu az. tulajdonságot. ' Hasonlóan, a a a -ben égződő részben an, aor az eltérés legfeljebb ' ' + ' ' ' = =. ' + ' ' + ' ' + ' ' n+ ( ) ( ) ( ) Jelöljü u -el eredményein szerint az első esetben -t, a másodiban agyis az u törtre teljesül a. tétel első állítása. a u < ( n + ), ' -t, aor ' 8. Nem mondana soat a megözelítésre onatozóan, a csa egy agy néány ilyen tört létezné, ezért lényeges a tétel másodi része. u Ha már találtun egy n értéez egy alalmas törtet - pl. n =-ez u =[a], = megfelel - aor álasszun egy n értéet úgy, ogy < a u n + irracionális. Erre alalmaza az eljárást találun egy teljesüljön. Ez leetséges, mert a jobb oldal nem 0, miel a u törtet, amelyire u a u < < a u, a <. n + u -től. Az eljárás a irracionális olta folytán minden atáron túl u Az első egyenlőtlenség szerint ülönbözi folytatató. A,,... sorozat ülönböző pozití egésze égtelen sorozata, így bármely orlátnál előfordul benne nagyobb i érté, és eez -nél isebb ibáal özelítő ui tört. Ezzel a. tétel bizonyítást nyert. i i 9. A özelítés mértéére onatozó becslést toább finomítatju a tétel a) részéne felasználásáal. A. tétel iegészítése Legyen < az n-edi Farey-sorozat a-t özrefogó ét szomszédos eleme, eor legalább egyiüre fennáll az egyenlőtlenség. i a i i 5/

6 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u IV. Megjegyzés A özelítés mértééne jaítására onatozó toábbi eredménye találató pl. a [] alatt idézett műben, ülönösen a. és. iadásban. A. tétel iegészítéséne bizonyítása Azt bizonyítju be, ogy nem állatna fenn egyszerre az egyenlőtlensége. Valóban, eor fennállna az i a i > i ( i =, ) = a + összefüggés, ami nem leetséges. a > + = + 0. Térjün most már issza az. tételez. Ebben a b) pont állítása egyben leetőséget is ad a sorozato egymás utáni előállítására. Kiindulun Φ -ből, és a Φ n már előállt, abból Φ n+ -et úgy apju, ogy sorra esszü az egyszerű, i törteet, és beírju Φ n -et nagyság szerint özrefogó ét eleme özé. Legyene az ezeet ábrázoló Fareyponto P és P', a i n + -t ábrázoló pont pedig R (4. ábra). n + - P R Q R' P' O 4. ábra Belátju, ogy utóbbi a P és a P mediánsa. Ha nem így olna, aor a mediánst ábrázoló Q az R-et tartalmazó H n+ áromszögön íül olna, mert P és P' özt an, és ott a. tulajdonság szerint csa egy új pont lépetne fel. Ha P az OQ-na az R-rel egyező oldalán léő pontot jelöli, aor legyen P-ne az OR szaasz felezőpontjára onatozó tüörépe R'. Ez nyilánalóan az OPQP' paralelogrammában olna, de ez nem leetséges, mert a paralelogramma üres. R teát egybeesi Q-al, azaz P és P' mediánsa. Ezzel a öetezőt nyertü:. tulajdonság Φ n ét szomszédos eleme özt n-et egyenént nöele az első fellépő újabb tört a mediánsu. Az említett eljárást teát egyszerűbben úgy égezetjü, ogy Φ n minden olyan elempárja özé, amelye mediánsána a neezője n+, beírju ezt a mediánst. Így apju a Farey sorozatoat, pl. Φ 8 -ig: 6/

7 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Φ = ; ; Φ = ; ; ; Φ = ; ; ; ; ; Φ 4 = ; ; ; ; ; ; ; Φ 5 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Φ 6 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Φ 7 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Φ 8 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Az. tételre több bizonyítást is mutatun. ttp:// Az. b) tétel igazolása Az éppen bebizonyított. tulajdonság ínál egy teljes induciós bizonyítást a tétel b) részére. Enne először Φ - re an értelme, és arra igaz. ' Legyen most n>, és Φn- -ben a -t öető tört. Ha Φn -ben fellép öztü egy tört, aor =n, és a. ' tulajdonság szerint csa egy tört lépet fel, a. tulajdonság szerint pedig ez a szomszédos törte mediánsáal egyenlő, agyis fennáll rá a b) tulajdonság. Ezzel a b) állítást igazoltu.. A bizonyítás befejezését is szolgáltatja a öetező érdees megjegyzés: Az. a) és. b) tétele eialenciájána bizonyítása Az a) és b) állításo bármelyiéne teljesüléséből öetezi a mási állítás igaz olta. Más szóal a ét állítás eialens. '' ' Tegyü fel, ogy az a) állítás igaz. Eor Φ n -ne árom egymás utáni,, törtjére fennállna a ' ' ' '' - ''=, '''- '' '= egyenlősége. Innen ifejeze ''-t és ''-t: '' ( ' - ' ) = + ', '' ( ' - ' )= + '. '' teát alóban egyenlő a mediánssal. '' Tegyü fel most, ogy a b) állítás igaz. Ebből az a) állítás igaz oltát n szerinti teljes inducióal bizonyítju minden Φ n -re, Φ mindét szomszédos számpárjára teljesül (). Legyen most már n>, és tegyü fel, '' ogy a) igaz Φ n- minden szomszédos számpárjára. Ha szerepel Φ n- -ben is, aor az induciós feltétel '' szerint mindét szomszédjáal teljesíti ()-et. Ha iszont Φ n- -ne még nem eleme, aor '' = n, toábbá a. 7/

8 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u ' tulajdonság szerint anna szomszédos és törtje özé esi, és egyszerű, így a szomszédos törte ' mediánsáal egyenlő, agyis + ' = σ'', + ' = σ'' alamilyen pozití egész σ-al. Miel és ' isebb n-nél, így σ =, és a apott ét egyenlőségből az adódi, ogy ''' - ''' = ' - ' = és '' - '' = ' - ' =. Az a) állítás igaz olta Φ n -re is örölődi.. Újabb geometriai bizonyítás adató a tétel ét részére toább izsgála a négyzetrácso tulajdonságait. V. megjegyzés Értelmezető a síban issé általánosabban paralelogrammarácso és a ozzáju tartozó pontrácso. Az itt öetező összefüggése megfelelői azora is érényese, és bizonyításu is asonlóan történeti. Alaptulajdonság Egy rácsot rácsetorral eltola az önmagába megy át. Az Alaptulajdonság bizonyítása Valóban, egy AB rácsetorral történő eltolásnál az A-n átmenő álóonala a B-n átmenő megfelelő álóonalaba menne át; miel pedig mindegyi álóonalsereg az egymástól egyenlő (egész) táolságra leő, páruzamos egyeneseből áll, így mindegyi önmagába megy át, teát az egész rács is. Ez a pontrácsra azt jelenti, ogy minden rácspont rácspontba megy át, és minden rácspont rácspontna az eltolt épe. Ebből öetezi többe özt, ogy Rácspontna rácsszaasz felezőpontjára onatozó tüörépe rácspont. Speciálisan adódi, ogy rácspontna rácspontra onatozó tüörépe is rácspont. (Egy 0 osszúságú rácsszaasz felezőpontjára türözün.) Valóban, a A, B és C rácspont, és C tüörépe AB felezőpontjára C*, aor ACBC* paralelogramma agy a négy pont egy egyenesen an és AB és CC* felezőpontja ugyanaz (5. ábra). A CA etorral történő eltolás mindét esetben B-t C*-ba iszi át, és így C* is rácspont. B B C C C C* C* A=B A A 5. ábra C* 8/

9 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Rácso egy neezetes tulajdonsága, ogy. tétel Az üres rácsáromszöge területe egyenlő. (Az egységnyi oldalú négyzete rácsában /.) Ezzel egyenértéű állítás, ogy az üres rácsparalelogrammá területe egyenlő. Ha ugyanis az üres ABC rácsáromszög területe t, és a D pontra ABDC paralelogramma, aor D az A pont tüörépe BC felezőpontjára, teát rácspont. A paralelogramma üres, mert az ABC áromszög az, a pedig BDC tartalmazna rácspontot, aor anna a BC felezőpontjára onatozó tüörépe az ABC áromszögöz tartozó rácspont olna. A paralelogramma területe t. Megfordíta nyilánaló, ogy, a ABDC üres rácsparalelogramma, aor ABC feleaora területű, üres áromszög. 4. Rátérün a. tétel bizonyítására. Ha az üres ABC rácsáromszög egy oldala, a jelölést alalmasan álaszta mondju AB, merőleges az x-tengelyre, aor egységnyi osszúságú (6. a) ábra). Ha a C oldal C' etülete az x-tengelyen egységnél messzebb olna A etületétől, aor azon C fölötti D ponttal, amelyre ABCD paralelogramma, ez nem olna üres, mert az AB-től egységnyire léő álóonalna egységnyi szaaszát tartalmazná, és anna a égpontjai agy a belsejéne egy pontja rácspont olna. A áromszög területe teát / ebben az esetben. B A D C A D B C A' C' A' D' B' C' 6. a) ábra 6. b) ábra Az általános esetben megadun egy eljárást, amely tetszőleges áromszögből indula éges számú lépésben erre az esetre ezet (6. b) ábra). Ha az oldala etülete az x-tengelyen ülönböző, aor álasszu a jelölést úgy, ogy az A', B', C' etülete ebben a sorrendben öetezzene. Eor B-ne AC felezőpontjára onatozó D tüörépére ABDC üres rácsparalelogramma, és D-ne a D' etülete A' és C' özé esi. ABD teát ABC-el egyenlő területű, üres rácsáromszög, amelyine a etülete isebb mint az ABC-é. Eze a etülete pozití egész számo, mert a álóonala egész táolságra anna egymástól, így az eljárásna éges számú lépésben be ell fejeződnie, ez pedig aor öetezi be, a a áromszög egyi oldala merőleges az x- tengelyre. Ezzel beláttu, ogy minden üres rácsáromszög területe /. A. tételből azonnal apju az. tétel a) állítását. Az. tétel a) részéne II. bizonyítása ' Legyen Φ n ét szomszédos törtje <, épü P(;) és P'(';'). Eor OPP' üres rácsáromszög, így ' területét oordinátáal fejeze i ( ' ' ) =, ami éppen az a)-al egyenértéű a')-t adja. Adódi azonban a. tételből a b) állítás is. 9/

10 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Az. tétel b) részéne II. bizonyítása P K M' e P'' M P' O 7. ábra '' ' Ábrázoljá a P, P'', P' ponto Φ n < < egymás utáni törtjeit (7. ábra). Eor OPP'' és OP''P' üres '' ' rácsáromszög, így területü egyenlő, teát egyenlő az OP'' oldaloz tartozó magasságai is, a PM illetőleg P'M' szaaszo, aol M illetőleg M' a P illetőleg P' merőleges etülete az OP " etor e egyenesén. K-al jelöle e és a PP' szaasz metszéspontját a PMK és P'M'K áromszöge egybeágó, mert PM=P'M', M-nél és M'-nél derészög an, és egyenlő a K-nál léő szögei. Eor PK=P'K, agyis K a PP' szaasz felezőpontja, teát e a '' ' paralelogramma átlójána az egyenese, és így egyenlő és mediánsáal, ami bizonyítandó olt. '' ' 5. Az. tétel bizonyítató az elsőfoú, étismeretlenes diofantoszi egyenlete segítségéel is. A bizonyítás egyben eljárást is fog adni Φ n egy (<) törtjét öető tört megatározására. Az. tétel III. bizonyítása Ismeretes, ogy adott, egész számo esetén a x+y=l egyenletne aor és csa aor an egész x, y megoldása, a (,)=l (azaz és relatí príme). Ha egy Φn - beli elem, aor (,)=, s így a x-y= () egyenletne an egész x 0, y 0 megoldása. Ha x, y is megoldás, aor (x -x 0 )-(y -y 0 )=0, ( y y0 ) teát x x0 =, azaz ( y y 0 ), ami (,)= miatt csa úgy leet, a alalmas r egésszel y -y 0 =r, és ezt beelyettesíte, és egyszerűsíte x -x 0 =r. Válasszu r-et úgy, ogy y a leető legnagyobb legyen: (0 ) n-<y n teljesüljön. Eor x, y pozití x x megoldása a () egyenletne, így (x,y )= és = +, agyis egy utáni eleme Φn -ne. y y y x ' Belátju, ogy és özé nem eseti Φn -ne toábbi eleme. Valóban, a esné, aor y ' x x ' ' x ' ' y ' ' + y n = = + = + + = > y y y ' ' y ' ' y ' ' y ' ' y y olna. Ezzel ellentmondásra jutottun. Kell teát ogy VI. Megjegyzés x y legyen a utáni elem Φn -ben. Az elmondotta illusztrálására megatározzu Φ 5 -ben a 9 -re öetező elemet. 9x-y=, x0 =, y 0 =4, 5-9 = 6 < 4+9r 5, innen r=, x =+r=, y =4+9r=, teát öetezi a 9 után. 0/

11 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Irodalom [] L. E. Dicon: Te History of Numbers I. 56. old. [] Erdős P., Surányi J.: Válogatott Fejezete a Számelméletből.,.,. iad. [] G. H. Hardy, E. M. Wrigt: An Introduction to te Teory of Numbers (97) 4. iad., -9. old. [4] Surányi J.: Farey Sorozato és Lánctörte Matematiai Lapo XVI (965) old. Ajánló Farey-sorozato a Matworld encilopédiában: ttp://matworld.wolfram.com/fareysequence.tml Alexander Bogomolnij Cut-te-not portálján: ttp:// J-P. Cabert ülönleges oldalain: ttp://jpm-cabert.club.fr/farey.tm A Farey-sorozat Ford-féle geometriai interpretációja Alexander Bogomolnij Cut-te-not portálján: ttp:// A Valladolid Egyetem onlapján: ttp://acm.ua.es/p/04/0408.tml forrás: ttp://acm.ua.es/p/04/0408.tml A Farey-fa (Stern-Brocot tree) egy ábrázolása, ciajánlatoal a Wisconsin Egyetem (Milwauee) Matematia tanszéétől: ttp:// Alexander Bogomolnij Cut-te-not portálján: ttp:// Farey-sorozatoról aladóna (pl. Farey sorozatoal apcsolatos egyszerű, a Riemann ipotézissel eialens érdés): ttp:// A Farey-fától a Farey-leépezésig. Képe és line Linas Vepstas weboldalán: ttp://linas.org/art-gallery/farey/farey.tml /