VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL"

Átírás

1 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig pozití neezőel írju, ez nem jelent megszorítást. Ha a-t például tizedes törteel, mondju 0 agy 00 agy 0 ( pozití egész), agy általában adott n pozití egész neezőjű törttel aarju megözelíteni, aor megeressü az a-t özrefogó ét, n neezőjű törtet, teát azt az u-t, amelyre u u + u + a <. Eor az a-oz legözelebbi ( a = esetén alamelyi) égpontot -nel jelöle a özelítés n n n n mértéére annyit mondatun, ogy: a n, n 7 iszen a leet aár a számöz felezőpontja is. Eszerint a =,70... számtól pl. az,7 = eesebbel 00 tér el, mint. 00 Vegyü iszont észre, ogy a 6 =,7... tört, amelyine a neezője soal isebb, már ,00 = nél is eesebbel tér el, és a 00-nál még mindig lényegesen isebb neezőjű =, eltérése 0,00004 = nél isebb Általában lényegesen jobb özelítést reméletün, a a jó özelítő törteet az összes n-nél nem nagyobb neezőjű tört özött eressü. Érdemes teát ezen törte sorozatát özelebbről megismerni. Eze a törte bármely ét szomszédos egész szám özött azonos módon elyezedne el, ezért elég a 0 és öztiere szorítozni. A 0 és özti, n-nél nem nagyobb neezőjű, nem egyszerűsítető törte nöeő sorozatát - ozzáée a 0-át és -et is 0 ill. alaban, n-edi Farey-sorozatna neezzü és Φn -nel jelöljü. Így pl.: Φ = ;, Φ = ; ;, Φ = ; ; ; ;. I. megjegyzés Az elneezéssel apcsolatban Hardy-Wrigt [] 6-7. oldalán a öetezőt írja: A Farey sorozato története igen ülönös. Úgy látszi, ogy a 8. és 9. tételt [az alábbi. tételt] először Haros bizonyította 80- ben. Lásd Dicson [] I. 56. old. Farey semmit nem özölt a érdésről 86-ig, eor imondta a 9. tételt [a) állítást] egy, a Pilosopical Magazine-ban özölt megjegyzésében. Bizonyítást nem adott rá, és alószínűtlen az is, ogy ilyent talált olna, mert legfeljebb a özömbös olt a matematia iránt. Caucy iszont látta Farey állítását, és be is bizonyította (Exercises de matematique, I old.). A matematiuso többnyire, Caucy példáját öete, Fareyne tulajdonítjá az eredményt, és alig leet étséges, ogy eze a sorozato ezután is az ő neét fogjá iselni. Fareyről úszsornyi megjegyzés an a Dictionary of natural biograpy-ben [Természettudományi életrajzo tára], aol mint geológusról emléezne meg róla. Mint geológust őt teljesen elfelejtetté, iszont életéne egyetlen mozzanatát, ami túlélte őt, nem említi meg életrajzírója. Ajánló: Jon Fareyről a St. Andrews Egyetem Mc.Tutor történeti arcíumában: ttp://www-istory.mcs.st-andrews.ac.u/~istory/biograpies/farey.tml a Wiipédia szabad lexionban: ttp://en.wiipedia.org/wii/jon_farey%c_sr. /

2 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Miután a toábbiaban so szó lesz rólu, ezért a nem egyszerűsítető törteet röidebben egyszerűne fogju neezni.. Az. ábra Φ 8 -at mutatja. Ez elég szabálytalanul sűrűsödő-rituló sorozatna tűni, mégis észreeető a Φ n elemei özt néány szabályosság. Az például nyilánaló, ogy az -re szimmetrius a sorozat ábra Ajánló: A Farey-sorozat egy ábrázolása a ttp://mat.usas.ca/~taylor/demo/farey.tml weboldalon. Toábbi lényeges tulajdonságo a számöz felezőpontja elyett a törte özt értelmezett öetező műelet segítségéel fogalmazató meg: A és ' + ' törte mediánsána neezzü a törtet. ' + ' A mediánsna a neezőre tett felteés mellett mindig an értelme. II. megjegyzés Jegyezzü meg, ogy a mediáns értée nem csa a törte értéétől függ, anem az alajutól is. Pl. és 4 mediánsa 7 4, míg a elü egyenlő 9 és 8 6 -é 7 9. Mi a öetezőben csa egyszerű törte mediánsáal foglalozun. A mediáns számlálója és neezője a síbeli etorösszeg oordinátáira emléeztet, és alóban, a az egyenes elyett a sí (pontosabban az első sínegyed) egész pontjaial ábrázolju a Farey törteet, a törtne pl. a) a (; ) pontot, agy b) a (; -) pontot feleltetjü meg, aor átteintetőbb épet apun a sorozatoról. A. a) és. b) ábrán Φ 8 -at tüntettü fel az a) illetőleg a b) módon a) ábra. b) ábra /

3 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Az egész oordinátájú pontoat rácspontona fogju neezni. Eze egy pontrácsot (négyzetrácsot) alotna, ugyanis a tengelyetől egész táolságra léő egyenese létreozta négyzete csúcsai alotjá a pontrácsot. Ezeet az egyeneseet a négyzetrács álóonalaina neezzü. Mindét ábrázolásmód esetében az egyenlő törteet ábrázoló ponto egy origón átaladó egyenesen soraozna. Közülü az origóoz legözelebbiet az origóból látató agy röidebben látató pontona neezzü. A Φ 8 elemei egy H 8 8 befogójú, egyenlőszárú, derészögű áromszög belsejében és atárán elyezedne el. Enne csúcsai az első ábrázolás esetén a (0;0), (0;8), (8;8) ponto, a másodinál a (0;8), (0;0), (8;0) ponto. Általában a Φ n elemeit a (0;0), (0;n), (n;n), illetőleg a (0;n), (0;0), (n;0) csúcsú, zárt H n áromszög látató rácspontjai ábrázoljá. A. b) ábra ilágosan mutatja, ogy Φ 8 és asonlóan minden Farey-sorozat az amit már a definíció apcsán is említettün. re szimmetrius, 4. A toábbiaat meg fogja önnyíteni néány elneezés beezetése. Az olyan etor, amelyine égpontjai rácsponto, rácsetor; ét rácsponton átmenő egyenes rácsegyenes (ilyene például a álóonala, de pl. a rácsnégyzete átlóira illeszedő egyenese is); egy olyan soszög, amelyine a csúcsai rácsponto: rácssoszög (a H n áromszöge pl. rácsáromszöge); égül egy olyan rácssoszöget, amelyi a csúcsain íül nem tartalmaz rácspontot sem a belsejében sem a atárán, üresne neezzü. A Farey törteet ábrázoló pontoat fogju Farey-pontona is neezni, és azonosítju a törteel, így pl. a mediánsuat ábrázoló pontot a ponto mediánsána is mondju, és ezen a mediáns értéét is értjü. Az ábrázolt törte értéét az origóból a épüöz úzott egyenesne az x-tengellyel bezárt szöge jellemzi. Kisebb törtet meredeebb egyenes ábrázol. Föntebb Φ 8 elemeit nöeő sorrendben összeötöttü. Ha P és P', Φ n ét szomszédos elemét ábrázolja, aor az OPP' áromszög üres. Visszatére az ábrázolást beezető megjegyzésez a P és P' mediánsát a Q pont ábrázolja, amelyre OPQP' paralelogramma. A mediáns teát az ábrázolt ét tört özé esi. A Q pont látató is, mert ülönben Φ n -beli törtet ábrázolna ellentétben azzal, ogy P és P' özt nincs Φ n -beli elem. Ezzel a öetezőt nyertü:. tulajdonság: Φ n ét szomszédos eleme neezőjéne az összege n-nél nagyobb, és a mediánsu egyszerű tört. 5. eze után már nem neéz belátni, ogy. tulajdonság: Ha n>, aor Φ n ét szomszédos eleméne neezője ülönböző. + Vizsgálju a Φ n -beli törtet. Ha nem egyszerű, aor igaz az állítás, mert ez a tört nagyobb az + előbbinél, így az azzal szomszédos nagyobb elem sem leet neezőjű. Ha egyszerű, aor an Φ n -ne özéjü eső eleme. Tudju ugyanis, ogy < n (= esetén az állítás triiális).. a) és. b) ábra P és P pontja a fenti ét törtet ábrázolja az a) illetőleg a b) ábrázolási mód szerint. A Farey sorozatról léén szó a másodi tört sem nagyobb -nél, sőt sem leet, mert > miatt nem leet alaú. A belőle O-ba mutató egyenes teát 45 o -nál isebb szöget zár be a függőlegessel. /

4 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u - P 45 P' P'' P P'' P' O O. a) ábra. b) ábra Eor ilágos, ogy a tört (agy a ele egyenlő egyszerű tört) a ét tört özött an. Valóban, a. b) ábrán ezt a törtet ábrázoló P pontból az origóba mutató egyenes a mási ét pontból oda mutató egyenes özött an; de a. a) ábrán is igaz ez, a fenti megállapítás szerint, miel a PP P szög iszont 45 o -os. (A. b) ábránál a derészögű áromszög egyenlő szárú olta szóba se jött.) Érdemes összeasonlításéppen a geometriailag nyert összefüggéseet számolással is igazolni. 6. A Farey-sorozatoban észreeető szabályosságoat fogalmazza meg a öetező tétel.. tétel a) Két szomszédos tört ülönbsége a neező szorzatána recipro értée. b) Három egymás utáni tört özül a özépső a ét szélső mediánsáal egyenlő. ' Az a) tulajdonságot átfogalmazzu. Legyen < Φn ét szomszédos eleme. Eor: ' ' ' ' =. ' ' ' a) szerint itt egyenlőségne ell fennállnia, agyis ' a') Ha a Φn utáni eleme, aor '-'=. ' Nyilánalóan a')-ből öetezi a). 7. A Farey-sorozatoat azért ezettü be, ogy alós számooz azoat jól özelítő törteet eressün. Ezért, mielőtt a tétel bizonyítására térnén, bebizonyítju segítségéel a öetezőt:. tétel: Egy a alós számoz és tetszőleges pozití egész n-ez találató olyan u/ tört, amelyire a u, n, () n + s így a u. () ( n + ) < Irracionális a esetén a () összefüggés égtelen so u/ tört esetén teljesül. III. Megjegyzés A. tétel fényében már nem olyan meglepőe az. pontban talált jó özelítő értée. 4/

5 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u A. tétel bizonyítása Bármely ét szomszédos egész özött, mint említettü, azonos módon elyezedne el az n-nél nem nagyobb ' neezőjű törte. Legyene az [a]-el eltolt Φ n sorozat a-al szomszédos elemei <. Osszu etté az eze ' özti interallumot a törte mediánsáal. Ha a a -ból induló részbe esi, aor táolsága -tól nem nagyobb, mint + ' ' ' = =. + ' ( + ') ( + ') ( n+ ) Az utolsó lépésben felasználtu az. tulajdonságot. ' Hasonlóan, a a a -ben égződő részben an, aor az eltérés legfeljebb ' ' + ' ' ' = =. ' + ' ' + ' ' + ' ' n+ ( ) ( ) ( ) Jelöljü u -el eredményein szerint az első esetben -t, a másodiban agyis az u törtre teljesül a. tétel első állítása. a u < ( n + ), ' -t, aor ' 8. Nem mondana soat a megözelítésre onatozóan, a csa egy agy néány ilyen tört létezné, ezért lényeges a tétel másodi része. u Ha már találtun egy n értéez egy alalmas törtet - pl. n =-ez u =[a], = megfelel - aor álasszun egy n értéet úgy, ogy < a u n + irracionális. Erre alalmaza az eljárást találun egy teljesüljön. Ez leetséges, mert a jobb oldal nem 0, miel a u törtet, amelyire u a u < < a u, a <. n + u -től. Az eljárás a irracionális olta folytán minden atáron túl u Az első egyenlőtlenség szerint ülönbözi folytatató. A,,... sorozat ülönböző pozití egésze égtelen sorozata, így bármely orlátnál előfordul benne nagyobb i érté, és eez -nél isebb ibáal özelítő ui tört. Ezzel a. tétel bizonyítást nyert. i i 9. A özelítés mértéére onatozó becslést toább finomítatju a tétel a) részéne felasználásáal. A. tétel iegészítése Legyen < az n-edi Farey-sorozat a-t özrefogó ét szomszédos eleme, eor legalább egyiüre fennáll az egyenlőtlenség. i a i i 5/

6 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u IV. Megjegyzés A özelítés mértééne jaítására onatozó toábbi eredménye találató pl. a [] alatt idézett műben, ülönösen a. és. iadásban. A. tétel iegészítéséne bizonyítása Azt bizonyítju be, ogy nem állatna fenn egyszerre az egyenlőtlensége. Valóban, eor fennállna az i a i > i ( i =, ) = a + összefüggés, ami nem leetséges. a > + = + 0. Térjün most már issza az. tételez. Ebben a b) pont állítása egyben leetőséget is ad a sorozato egymás utáni előállítására. Kiindulun Φ -ből, és a Φ n már előállt, abból Φ n+ -et úgy apju, ogy sorra esszü az egyszerű, i törteet, és beírju Φ n -et nagyság szerint özrefogó ét eleme özé. Legyene az ezeet ábrázoló Fareyponto P és P', a i n + -t ábrázoló pont pedig R (4. ábra). n + - P R Q R' P' O 4. ábra Belátju, ogy utóbbi a P és a P mediánsa. Ha nem így olna, aor a mediánst ábrázoló Q az R-et tartalmazó H n+ áromszögön íül olna, mert P és P' özt an, és ott a. tulajdonság szerint csa egy új pont lépetne fel. Ha P az OQ-na az R-rel egyező oldalán léő pontot jelöli, aor legyen P-ne az OR szaasz felezőpontjára onatozó tüörépe R'. Ez nyilánalóan az OPQP' paralelogrammában olna, de ez nem leetséges, mert a paralelogramma üres. R teát egybeesi Q-al, azaz P és P' mediánsa. Ezzel a öetezőt nyertü:. tulajdonság Φ n ét szomszédos eleme özt n-et egyenént nöele az első fellépő újabb tört a mediánsu. Az említett eljárást teát egyszerűbben úgy égezetjü, ogy Φ n minden olyan elempárja özé, amelye mediánsána a neezője n+, beírju ezt a mediánst. Így apju a Farey sorozatoat, pl. Φ 8 -ig: 6/

7 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Φ = ; ; Φ = ; ; ; Φ = ; ; ; ; ; Φ 4 = ; ; ; ; ; ; ; Φ 5 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Φ 6 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Φ 7 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Φ 8 = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Az. tételre több bizonyítást is mutatun. ttp://www.uwm.edu/dept/mat/farey.tml Az. b) tétel igazolása Az éppen bebizonyított. tulajdonság ínál egy teljes induciós bizonyítást a tétel b) részére. Enne először Φ - re an értelme, és arra igaz. ' Legyen most n>, és Φn- -ben a -t öető tört. Ha Φn -ben fellép öztü egy tört, aor =n, és a. ' tulajdonság szerint csa egy tört lépet fel, a. tulajdonság szerint pedig ez a szomszédos törte mediánsáal egyenlő, agyis fennáll rá a b) tulajdonság. Ezzel a b) állítást igazoltu.. A bizonyítás befejezését is szolgáltatja a öetező érdees megjegyzés: Az. a) és. b) tétele eialenciájána bizonyítása Az a) és b) állításo bármelyiéne teljesüléséből öetezi a mási állítás igaz olta. Más szóal a ét állítás eialens. '' ' Tegyü fel, ogy az a) állítás igaz. Eor Φ n -ne árom egymás utáni,, törtjére fennállna a ' ' ' '' - ''=, '''- '' '= egyenlősége. Innen ifejeze ''-t és ''-t: '' ( ' - ' ) = + ', '' ( ' - ' )= + '. '' teát alóban egyenlő a mediánssal. '' Tegyü fel most, ogy a b) állítás igaz. Ebből az a) állítás igaz oltát n szerinti teljes inducióal bizonyítju minden Φ n -re, Φ mindét szomszédos számpárjára teljesül (). Legyen most már n>, és tegyü fel, '' ogy a) igaz Φ n- minden szomszédos számpárjára. Ha szerepel Φ n- -ben is, aor az induciós feltétel '' szerint mindét szomszédjáal teljesíti ()-et. Ha iszont Φ n- -ne még nem eleme, aor '' = n, toábbá a. 7/

8 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u ' tulajdonság szerint anna szomszédos és törtje özé esi, és egyszerű, így a szomszédos törte ' mediánsáal egyenlő, agyis + ' = σ'', + ' = σ'' alamilyen pozití egész σ-al. Miel és ' isebb n-nél, így σ =, és a apott ét egyenlőségből az adódi, ogy ''' - ''' = ' - ' = és '' - '' = ' - ' =. Az a) állítás igaz olta Φ n -re is örölődi.. Újabb geometriai bizonyítás adató a tétel ét részére toább izsgála a négyzetrácso tulajdonságait. V. megjegyzés Értelmezető a síban issé általánosabban paralelogrammarácso és a ozzáju tartozó pontrácso. Az itt öetező összefüggése megfelelői azora is érényese, és bizonyításu is asonlóan történeti. Alaptulajdonság Egy rácsot rácsetorral eltola az önmagába megy át. Az Alaptulajdonság bizonyítása Valóban, egy AB rácsetorral történő eltolásnál az A-n átmenő álóonala a B-n átmenő megfelelő álóonalaba menne át; miel pedig mindegyi álóonalsereg az egymástól egyenlő (egész) táolságra leő, páruzamos egyeneseből áll, így mindegyi önmagába megy át, teát az egész rács is. Ez a pontrácsra azt jelenti, ogy minden rácspont rácspontba megy át, és minden rácspont rácspontna az eltolt épe. Ebből öetezi többe özt, ogy Rácspontna rácsszaasz felezőpontjára onatozó tüörépe rácspont. Speciálisan adódi, ogy rácspontna rácspontra onatozó tüörépe is rácspont. (Egy 0 osszúságú rácsszaasz felezőpontjára türözün.) Valóban, a A, B és C rácspont, és C tüörépe AB felezőpontjára C*, aor ACBC* paralelogramma agy a négy pont egy egyenesen an és AB és CC* felezőpontja ugyanaz (5. ábra). A CA etorral történő eltolás mindét esetben B-t C*-ba iszi át, és így C* is rácspont. B B C C C C* C* A=B A A 5. ábra C* 8/

9 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Rácso egy neezetes tulajdonsága, ogy. tétel Az üres rácsáromszöge területe egyenlő. (Az egységnyi oldalú négyzete rácsában /.) Ezzel egyenértéű állítás, ogy az üres rácsparalelogrammá területe egyenlő. Ha ugyanis az üres ABC rácsáromszög területe t, és a D pontra ABDC paralelogramma, aor D az A pont tüörépe BC felezőpontjára, teát rácspont. A paralelogramma üres, mert az ABC áromszög az, a pedig BDC tartalmazna rácspontot, aor anna a BC felezőpontjára onatozó tüörépe az ABC áromszögöz tartozó rácspont olna. A paralelogramma területe t. Megfordíta nyilánaló, ogy, a ABDC üres rácsparalelogramma, aor ABC feleaora területű, üres áromszög. 4. Rátérün a. tétel bizonyítására. Ha az üres ABC rácsáromszög egy oldala, a jelölést alalmasan álaszta mondju AB, merőleges az x-tengelyre, aor egységnyi osszúságú (6. a) ábra). Ha a C oldal C' etülete az x-tengelyen egységnél messzebb olna A etületétől, aor azon C fölötti D ponttal, amelyre ABCD paralelogramma, ez nem olna üres, mert az AB-től egységnyire léő álóonalna egységnyi szaaszát tartalmazná, és anna a égpontjai agy a belsejéne egy pontja rácspont olna. A áromszög területe teát / ebben az esetben. B A D C A D B C A' C' A' D' B' C' 6. a) ábra 6. b) ábra Az általános esetben megadun egy eljárást, amely tetszőleges áromszögből indula éges számú lépésben erre az esetre ezet (6. b) ábra). Ha az oldala etülete az x-tengelyen ülönböző, aor álasszu a jelölést úgy, ogy az A', B', C' etülete ebben a sorrendben öetezzene. Eor B-ne AC felezőpontjára onatozó D tüörépére ABDC üres rácsparalelogramma, és D-ne a D' etülete A' és C' özé esi. ABD teát ABC-el egyenlő területű, üres rácsáromszög, amelyine a etülete isebb mint az ABC-é. Eze a etülete pozití egész számo, mert a álóonala egész táolságra anna egymástól, így az eljárásna éges számú lépésben be ell fejeződnie, ez pedig aor öetezi be, a a áromszög egyi oldala merőleges az x- tengelyre. Ezzel beláttu, ogy minden üres rácsáromszög területe /. A. tételből azonnal apju az. tétel a) állítását. Az. tétel a) részéne II. bizonyítása ' Legyen Φ n ét szomszédos törtje <, épü P(;) és P'(';'). Eor OPP' üres rácsáromszög, így ' területét oordinátáal fejeze i ( ' ' ) =, ami éppen az a)-al egyenértéű a')-t adja. Adódi azonban a. tételből a b) állítás is. 9/

10 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Az. tétel b) részéne II. bizonyítása P K M' e P'' M P' O 7. ábra '' ' Ábrázoljá a P, P'', P' ponto Φ n < < egymás utáni törtjeit (7. ábra). Eor OPP'' és OP''P' üres '' ' rácsáromszög, így területü egyenlő, teát egyenlő az OP'' oldaloz tartozó magasságai is, a PM illetőleg P'M' szaaszo, aol M illetőleg M' a P illetőleg P' merőleges etülete az OP " etor e egyenesén. K-al jelöle e és a PP' szaasz metszéspontját a PMK és P'M'K áromszöge egybeágó, mert PM=P'M', M-nél és M'-nél derészög an, és egyenlő a K-nál léő szögei. Eor PK=P'K, agyis K a PP' szaasz felezőpontja, teát e a '' ' paralelogramma átlójána az egyenese, és így egyenlő és mediánsáal, ami bizonyítandó olt. '' ' 5. Az. tétel bizonyítató az elsőfoú, étismeretlenes diofantoszi egyenlete segítségéel is. A bizonyítás egyben eljárást is fog adni Φ n egy (<) törtjét öető tört megatározására. Az. tétel III. bizonyítása Ismeretes, ogy adott, egész számo esetén a x+y=l egyenletne aor és csa aor an egész x, y megoldása, a (,)=l (azaz és relatí príme). Ha egy Φn - beli elem, aor (,)=, s így a x-y= () egyenletne an egész x 0, y 0 megoldása. Ha x, y is megoldás, aor (x -x 0 )-(y -y 0 )=0, ( y y0 ) teát x x0 =, azaz ( y y 0 ), ami (,)= miatt csa úgy leet, a alalmas r egésszel y -y 0 =r, és ezt beelyettesíte, és egyszerűsíte x -x 0 =r. Válasszu r-et úgy, ogy y a leető legnagyobb legyen: (0 ) n-<y n teljesüljön. Eor x, y pozití x x megoldása a () egyenletne, így (x,y )= és = +, agyis egy utáni eleme Φn -ne. y y y x ' Belátju, ogy és özé nem eseti Φn -ne toábbi eleme. Valóban, a esné, aor y ' x x ' ' x ' ' y ' ' + y n = = + = + + = > y y y ' ' y ' ' y ' ' y ' ' y y olna. Ezzel ellentmondásra jutottun. Kell teát ogy VI. Megjegyzés x y legyen a utáni elem Φn -ben. Az elmondotta illusztrálására megatározzu Φ 5 -ben a 9 -re öetező elemet. 9x-y=, x0 =, y 0 =4, 5-9 = 6 < 4+9r 5, innen r=, x =+r=, y =4+9r=, teát öetezi a 9 után. 0/

11 Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Irodalom [] L. E. Dicon: Te History of Numbers I. 56. old. [] Erdős P., Surányi J.: Válogatott Fejezete a Számelméletből.,.,. iad. [] G. H. Hardy, E. M. Wrigt: An Introduction to te Teory of Numbers (97) 4. iad., -9. old. [4] Surányi J.: Farey Sorozato és Lánctörte Matematiai Lapo XVI (965) old. Ajánló Farey-sorozato a Matworld encilopédiában: ttp://matworld.wolfram.com/fareysequence.tml Alexander Bogomolnij Cut-te-not portálján: ttp://www.cut-te-not.org/ct/farey.stml J-P. Cabert ülönleges oldalain: ttp://jpm-cabert.club.fr/farey.tm A Farey-sorozat Ford-féle geometriai interpretációja Alexander Bogomolnij Cut-te-not portálján: ttp://www.cut-te-not.org/proofs/fords.stml A Valladolid Egyetem onlapján: ttp://acm.ua.es/p/04/0408.tml forrás: ttp://acm.ua.es/p/04/0408.tml A Farey-fa (Stern-Brocot tree) egy ábrázolása, ciajánlatoal a Wisconsin Egyetem (Milwauee) Matematia tanszéétől: ttp://www.uwm.edu/dept/mat/farey.tml Alexander Bogomolnij Cut-te-not portálján: ttp://www.cut-te-not.org/ct/sb_tree.stml Farey-sorozatoról aladóna (pl. Farey sorozatoal apcsolatos egyszerű, a Riemann ipotézissel eialens érdés): ttp://www.mats.ex.ac.u/~mwatins/zeta/farey.tm A Farey-fától a Farey-leépezésig. Képe és line Linas Vepstas weboldalán: ttp://linas.org/art-gallery/farey/farey.tml /

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

A csavarvonalról és a csavarmenetről

A csavarvonalról és a csavarmenetről A csavarvonalról és a csavarmenetről A témáoz kapcsolódó korábbi dolgozatunk: Ricard I. A Gépészeti alapismeretek tantárgyban a csavarok mint gépelemek tanulmányozását a csavarvonal ismertetésével kezdjük.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI

FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI A gázok és gzök egyharmad hangsebesség alatti áramlása nem mutat eltérést a folyadékok áramlásánál. Emiatt nem mindig szükséges a kétféle halmazállaot megkülönböztetése.

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Az ablakos problémához

Az ablakos problémához 1 Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE

A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE 1. BEVEZETÉS Juász Vitor P.D. allgató A modern, profitorientált termelővállalato elsődleges célitűzései özé tartozi

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Gyakorló feladatok vektoralgebrából

Gyakorló feladatok vektoralgebrából Gyakorló feladatok ektoralgebrából Az alábbi feladatokban, hasak nem jelezzük másként, az i, j, k bázist használjk.. a.) Milyen messze annak egymástól az A(,,) és a B(4,-,6) pontok? b.) Számítsa ki az

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István)

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István) célcsöe sziládsági száíása (ía: oos Isán). eezeés. Véonyfalú egyenes cs éeezése els úlnyoása. Csíe éeezése els úlnyoása 4. Hfeszülsége éonyfalú csöeen 5. Vasagfalú cs iszán ugalas állaoa 6. Vasagfalú cs

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása.

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása. 6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS A mérés célja: ismeredés a villamos elven möd ontathmérel; exponenciális folyamat idállandójána meghatározása. Elismerete: ellenállás hmérséletfüggése; ellenállás és feszültség mérése;

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/0-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató.

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára MEGOLDÓKULCS MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára 2012. december 17. 10:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem asználatsz. A feladatokat tetszés szerinti

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. Időtartam: 240 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló HETEDIK OSZTÁLY - MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló HETEDIK OSZTÁLY - MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló HETEDIK OSZTÁLY - MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. Az Edison háza előtti kertkaput nehéz volt kinyitni, ezért az egyik barátja megszólta,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról 1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 51. ročník Fyzikálnej olympiády. Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 51.

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 51. ročník Fyzikálnej olympiády. Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 51. Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 51. ročník Fyzikálnej olympiády Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 51. évfolyam Az BB kategória 01. fordulójának feladatai (Archimédiász) (A

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok

Az Országos Közoktatási Intézet keretében szervezett obszervációs vizsgálatok Iskolakultúra 005/10 Radnóti Katalin Általános Fizika Tanszék, TTK, ELTE Hogyan lehet eredményesen tanulni a fizika tantárgyat? Szinte közhelyszámba megy, hogy a fizika az egyik legkeésbé kedelt a tantárgyak

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

A.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés

A.11. Nyomott rudak. A.11.1. Bevezetés A.. Nyomott rudak A... Bevezetés A nyomott szerkezeti elem fogalmat általában olyan szerkezeti elemek jelölésére használjuk, amelyekre csak tengelyirányú nyomóerő hat. Ez lehet speciális terhelésű oszlop,

Részletesebben

A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák

A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15.1. Bevezetés Amikor egy karcsú szerkezeti elemet a nagyobb merevségű síkjában terhelünk, mindig fennáll annak lehetősége, hogy egy hajlékonyabb síkban

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

A hagyományos fa tartógerendák keresztmetszeti méreteinek arányairól

A hagyományos fa tartógerendák keresztmetszeti méreteinek arányairól Bevezetés A hagyományos fa tartógerenák keresztmetszeti méreteinek arányairól Az iők során figyelve az ács, ill. a fás szakmai tananyag alakulását, feltűnt, hogy bizonyos kérések nem, vagy csak alig kerülnek

Részletesebben

9. évfolyam feladatai

9. évfolyam feladatai Hómezővásárhely, 015. április 10-11. A versenyolgozato megírására 3 óra áll a iáo renelezésére, minen tárgyi segéeszöz használható. Minen évfolyamon 5 felaatot ell megolani. Egy-egy felaat hibátlan megolása

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

SZABADALMI LEÍRÁS 771H7. szám.

SZABADALMI LEÍRÁS 771H7. szám. Megjelent 1 í>1920. évi szeptember hó 18-án. MAGYAR KIRÁLYI SZABADALMI HIVATAL. SZABADALMI LEÍRÁS 771H7. szám. VII/a. OSZTÁLY. Eljárás és kéazülék rendszerestávlati (torzított)átvitelreoptikai vagyfényképészeti

Részletesebben

Digitál-analóg átalakítók (D/A konverterek)

Digitál-analóg átalakítók (D/A konverterek) 1.Laboratóriumi gyaorlat Digitál-analóg átalaító (D/A onvertere) 1. A gyaorlat célja Digitál-analóg onvertere szerezeti felépítése, műödése, egy négy bites DAC araterisztiájána felrajzolása, valamint az

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola 1. feladat Építs piramist!

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...)

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...) A csoport: A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat pontos volt...) Minta feladatsor (A) matematikából 014. december 1. (Feladat számolásra) Határozd meg a ; b és c értékét! a = ( 1 3 + 1 6) : 1 6

Részletesebben

A hidegzömítés alapesetei és geometriai viszonyai a 4.6. ábrán láthatók. 4.6. ábra A hidegzömítés alapesetei, zömítés (l/d) viszonyai

A hidegzömítés alapesetei és geometriai viszonyai a 4.6. ábrán láthatók. 4.6. ábra A hidegzömítés alapesetei, zömítés (l/d) viszonyai Animáció - Hiegzömítés Ismételje át a zömítés tanult jellemzőit! Gyűjtse i és tanulmányozza a hiegzömítés alapeseteit! Rajzolja le a hiegzömítés alapeseteit! Jegyezze meg a megengeett zömítési viszony

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben