A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai"

Átírás

1 Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai Elemző szakiáy Számításmatematikai Taszék Budapest 04

2 Aki matematikát taul, az a tűzzel játszik A matematika köye leyűgözi, elsábítja, abul ejti az embet Csodálatos titkokat ejt, melyek egyike-másika kis szeesével és keméy mukával megfejthető A megvilágosodás pillaatáak katazisa semmivel sem összehasolítható, felemelő ézés (Pak Jáos)

3 Tatalomjegyzék Bevezetés Első fejezet 3 Visszatekités a múltba Második fejezet 4 Göbevoalú idomok teületéek kiszámítása Hamadik fejezet 9 A függvéy alkalmazása éháy evezetes hatáétéke Negyedik fejezet 50 A logaitmus alkalmazása az élet külöböző teületei Köszöetyilváítás 5 Iodalomjegyzék 53 Nyilatkozat 54

4 Bevezetés A szakdolgozati téma választásom legfőbb oka az volt, hogy a logaitmus függvéyt em az általáos, jól megszokott módszeel szeettem vola defiiáli, bevezeti, haem elemi módo felépítei azt Mid a középiskolák, mid a felsőoktatási itézméyekbe a függvéyt az expoeiális függvéy bevezetését követőe, majd abból kiidulva végzik Célom az volt, hogy más utat mutassak ee Dolgozatomat egy övid matematika tötéeti ismetetővel kezdem, mivel fotosak tatom felidézi, hogy ez a függvéy milye múlta tekithet vissza i e -től apjaikig Ezt követőe külöböző poblémák megoldása soá eljutuk magához a logaitmus függvéyhez, majd evezetes hatáétékek kiszámításával egy, a Stilig fomuláál eősebb beslést adok az! -a, és ezt továbbfejtve belátom a Wallis fomulát Záásképpe éháy olya példát, és alkalmazási teületet mutatok be, melyek áttekitése utá egyételmű lesz, hogy meyie szélesköű a felhaszálási módja az ige haszos logaitmus függvéyek

5 Első fejezet Visszatekités a múltba Az alapgodolat, miszeit egy adott alap eseté a hatváykitevők számtai soozatához edeljük hozzá a hatváyétékek métai soozatát, má az ókoba (i e -be) Akhimédészél is felmeült Megalkotta azt az azoosságot, amivel a számok szozását el lehet végezi a kitevőik összeadásával Azoba az ötlet fotosságáa supá a XVI századtól eszméltek fel A koabeli matematikusok élja az volt, hogy találjaak egy módszet a agy számok szozásáa és osztásáa, helyettük ikább az összeadást és kivoást észesítették vola előybe Ezt táblázat fomájába lehetett a legjobba haszáli, és az első ilyet a gazdasági fejlődés következtébe a kamatos kamat számítás éljáa Simo Stevi készítette el Hasoló táblázatot készített Jost Bügi óásmeste és matematikus 6-be Bá Bügi táblázata má késze volt, Joh Napie mégis koábba közzétette saját tábláztát 64-be, melyet Bügitől függetleül ít Azoba a Csodálatos logaitmustáblázat leíása sak 5 évvel később lett kiadva, amely a számításait észletezte A logaitmus szót is Napie képezte a göög aithmosz (jeletése: szám), illetve a logosz (jeletése: aáy) szavakból 64-be Edmud Güte feltalálta a logaléet, mely főkét a műszaki szakembeek számolási mukálatait köyítette meg Máa a szeepét teljese átvették a számoló-, illetve számítógépek Napjaikba a tudomáy több teületé is alkalmazzuk a logaitmust, és azoosságait, ezt az utolsó fejezetbe bővebbe kifejtem 3

6 Második fejezet Göbevoalú idomok teületéek kiszámítása Pobléma Vegyük egy olya ABCD göbevoalú tapézt, melyet az y f ( x) függvéyel meghatáozott BC göbe, az abszissza tegely AD szakasza, valamit az odiáta tegellyel páhuzamos xa és xb étékekek megfelelő, AB és CD szakasz hatáol ába A továbbiakba e göbevoalú tapéz teületével foguk foglalkozi Bizoyos esetekbe az AB oldal pottá fog összezsugoodi, ilyeko ACD göbevoalú háomszögől beszélük ( ába) 4

7 ába Az (ábá) szemléltetett tapéz teületéek kiszámításához szükségük va a hatáéték fogalmáa Defiíió Legye f ételmezve egy a -t tatalmazó yílt itevallumba, kivéve esetleg a -t magát Az f függvéy hatáétéke az a helye létezik és étéke b, ha az f ( x) { f ( x), ha x a b, ha x a } függvéy folytoos az a helye Azt, hogy f hatáétéke az a helye b, a következőképpe jelöljük: lim f ( x)b, illetve f ( x) b, ha x a x a Tapézuk AD alapját osszuk fel észe úgy, hogy az osztópotokat jelöljük P, P,, P -gyel, valamit az AP, P P,, P D szakaszok hosszát pedig ede h, h, h -el 5

8 Fektessük a P, P,, P egyeeseket, melyek az potoko az odiáta tegellyel páhuzamos y f ( x) göbét a Q,Q,,Q potokba metszik (3ába) 3 ába Ez alapjá vegyük azt az téglalapot, melyekek alapjai AP, P P,, P D szakaszok, magasságuk pedig az ABP Q, P Q,, P Q DC szakaszok Jelölje a P, P,, P, D potok abszisszáit az x, x,, x, x, mivel az A abszisszája a, a D abszisszája b, eszeit x a+h ; x a+h+h ; ; x a+h+h + +h b h ; x b A ABP Q, P Q,, P Q DC f (x ), f ( x ),, f ( x ) szakaszok hossza ételemszeűe az lesz, tehát az daab téglalapból álló idom teülete S f ( x ) h, f ( x ) h,, f ( x ) h () A következőkbe étékét öveljük úgy, hogy az közelítse a végtelebe 6

9 Ha ekko az AP, P P,, P D szakaszok hossza külö-külö tat 0 -hoz, valamit az általuk képzett daab téglalap teületösszege egy bizoyos hatáétékhez tat, akko ez az éték lesz az ABCD göbevoalú tapéz teülete Tehát a P, P,, P potokat úgy kell elhelyezi az AD szakaszo, hogy az () összeget ki tudjuk számoli Majd a kapott fomulába elvégezve az hatáátmeetet, az ABCD tapéz teületét kapjuk, feltéve, hogy eseté a szomszédos potok távolsága 0 -hoz tat A má említett speiális esetet, mely szeit az ABCD göbevoalú tapéz AB oldala pottá zsugoodik össze, az alábbi példa megoldása szemlélteti (ába) Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, melyet az abszissza tegely, az xa egyees, valamit az yx paabola hatáolak 4 ába 7

10 Megoldás: Az OD szakaszt osszuk fel egyelő észe, majd mide P k P k szakasz fölé képezzük egy téglalapot az alábbiak alapjá 5 ába [ ] A kapott téglalapok alapjáak hossza ede a, a k téglalap magassága k a Eze idomok teületösszege S a a + a + + a 3 a 3 ( ), 3 és mivel ( ++ + ) ( +) (+), ezét S a3 (+) (+) 6 6 Az yx függvéy által hatáolt S teület a kis téglalapok teületéek hatáétéke, ha számuk tat a -hez 3 ( ) 3 a lim a + + Azaz Slim S lim a x x x 6 8

11 3 Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, amelyet az ysi x göbe, az abszissza tegely és az x egyees hatáol, feltéve, hogy π Megoldás: A P, P,, P potokat az Poblémába meghatáozott módo választhatjuk, azaz az abszissza tegely OD szakaszát egyelő észe osztjuk 6 ába Ekko a kapott téglalapok összege S h ( si (h)+si (h ) +si ( h) ) lesz, ahol () h () h Vegyük a következő fomulát: ( si (h)+si (h ) +si ( h)) si Az alábbi addíiós szabályból köyű levezeti a megoldást: si (α) si(β) [ os(α β) os(α+β) ] α 9

12 Tehát ( h ) ( ) h (+) h h 3h 3h 5h os os + os os + + os ( os ( ) ))} ( ) ( ) ( {( ) ( ) ( si(h)+si( h) +si ( h) ) si Ebből következik, hogy ( si( h)+si( h) +si( h)) [ ( )] ( ) h os os + h si () h si h + si h () h si Eek segítségével: si ( h) S h ( ( + + si si h a h h si si si () () )) si si + -et ( ) [ ( )] kapjuk Mivel lim si α, ezét lim α α 0 si lim si A keesett teület: { [ ]} S lim S lim si si + si 4 Pobléma Hatáozzuk meg az m-edfogú y x m paabola (m ), az abszissza tegely, valamit az x, x d egyeesek által közezát göbevoalú tapéz teületét 0

13 Megoldás: Eél a feladatál em élszeű egyelő észeke felosztauk az abszissza tegely AD szakaszát Jelölje az OA szakaszt, d az OD szakaszt 7 ába A felosztásuk teljesítse az alábbi feltételt: OP OP OP 3 b : a OP OP OP Eze aáyok étékét evezzük -ek, tehát amiből OP OP OP 3 b d, a OP OP OP d egyelőséget kapom d Ebből következik, hogy ha, akko Mivel log log, ie log ( log d log ) 0, ha OP, OP OP,, d OP, ami a feltételükből adódik

14 h OP OA ( ) h ( ) 3 Ie h3 ( ) h ( ) A fejezet bevezetésébe kiótt feltételt itt kihaszáltuk, met d, ha Ezét mide P k P k hk hosszú szakasz 0 -hoz tat övelésével Ie a k m m k k téglalap teülete h k (OP k ) ( ) ( ) Az téglalap összteülete pedig: m S ( ) ( ) + ( ) ( m ) + + ( ) ( m ) m + m ( ) [ + m + + ( m +) + + ( ) (m + )] m+ m mivel (m+) ( m+ ) m m+ () d ( m +) (m + ) m ( ) d [ d m + m+ ] ;, Ha, akko miatt lim m feltéve hogy m tetszőleges, valamit az ABCD göbevoalú tapéz teületéek kiszámításához sak a kifejezés hatáétékét kell meghatáozuk, ha A továbbiakba külö-külö vizsgáljuk meg az eseteket m+ (3)

15 ( eset) Ha m pozitív egész szám lim m+ m m lim ( ) ++ + m+ ; mivel a (3) egy métai so összegképlete, ahol a kvóies, és m a tagok száma ( eset) Ha m>, aioális szám Ekko felíható, hogy m+ p, ahol p és s pozitív egészek s Ebbe az esetbe: lim p s p s m+ lim lim lim s s [ p s ( ) s s s : ( ) s ] Tudjuk, hogy eseté : s Folytatva az előbbi összefüggés levezetését, felhaszáljuk az újoa bevezetett jelölést, illetve az első eset megoldását a következőket kapjuk A feti háyadost két észe botva: p s lim ( ) lim s következik, hogy lim s s p p lim valamit ( ) s s Ezekből m+ p m+ s (3 eset) m+ p, egy ( ) -él kisebb aioális szám, ahol s p és s paaméteek pozitív egészek A második eset megoldásáak levezetését felhaszálva az alábbi összefüggést m+ p s ( kapjuk: lim lim lim 3 p s p s p ) m+ s

16 (4 eset) Legye m ebbe az esetbe iaioális szám, ekko a kifejezés hatáétéke m+, p aioális szám, és m+ -hez tat s Defiíió (Hatváy fogalma): Pozitív egész kitevőke: Ha a tetszőleges valós szám, és b > egész szám, akko a b hatváy azt a b téyezős szozatot jeleti, amelyek mide b a a a téyezője a Azaz a b db Nulla kitevőe: Ha a emulla valós szám, akko a 0 Negatív egész kitevőke: Ha b emegatív egész, akko a a tetszőleges emulla valós szám, b b a Raioális tötkitevőke: Ha a emegatív valós, b pedig aioális tötszám Ekko b felíható m alakba, ahol m m egész, em egyelő -gyel, pozitív egész Ekko a a a m b Mivel lim mide aioális száma, kivéve a ( ) -et igaz, hogy m+ m+ (3), ezt az első esetél beláttuk Ebből következik, hogy iaioális m eseté is igaz a összefüggés Összegezve az esetek eedméyeit mide lim m+ m+ teljesül 4 ( ) -től külöböző m eseté

17 Ebből az következik, hogy az ABCD göbevoalú tapéz teülete amelyet az yx m göbe, az x, xd egyeesek, valamit az abszissza tegely hatáol mide ( ) -től külöböző m paaméte eseté: [ ] d m + m+ m+ d m+ m+ m+ d, mivel 5 Pobléma Az előző feladat eedméyeit felhaszálva adjuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, amit az y xm (m > 0) m-edfokú paabola, az xd egyees, és az abszissza tegely által va köbehatáolva Megoldás: Az a módsze, ahogy az előző feladatot megoldott, itt em alkalmazható, hisze az OD szakaszukat em lehet felosztai geometiai soozatot alkotó véges sok észe Azoba segítségül hívva a má megkapott eedméyeket, köyebbe boldogulhatuk Az ABCD göbevoalú tapéz hatá alakzatjakét is tekithetük az 5 OCD

18 göbevoalú háomszöget, feltéve, hogy A A d m+ m + m+ m + d kifejezés -hez tat, ha 0 m+ m + Tehát a göbevoalú háomszögük teülete potosa ez az d éték m+ Ez az eedméy azoba em sak pozitív m -eke igaz, haem egatívaka is, amelyek ( ) -él agyobbak Megjegyzés: A következő poblémák az yx x göbe, az x, xd, továbbá az abszissza tegely által hatáolt göbe voalú tapéz teületével foglalkozik, potosabba az előző pobléma azo esetével, ahol m 6 Pobléma Legye T és T aak a göbevoalú tapézok teülete, melyeket az y x hipebola, az xc, x D, az abszissza tegely, az xc, x D egyeesek hatáolak Bizoyítsuk be, hogy ha C C teljesül, akko T és T teületek megegyezek D D Megoldás: Első lépéskét osszuk fel az abszissza tegely C D és C D szakaszait egyelő észe, ahol O C és O D d valamit O C és O D d Ezeke a szakaszoka állítsuk téglalapokat a (9 ába) szeit 6

19 9 ába A C D szakaszo álló téglalapok közül a k -adik teületét T k () -gyel jelölve: T k () d d d d d d ( k ) + k d d + k + k k + k ( 0 ába Hasolóképpe állítjuk elő a C D - álló k -adik téglalap teületét: 7 )

20 T k () d d d d d d ( k ) + k d d + k + k k + k ( A feladatok feltétele az volt, hogy ) d d, ezét T k () T k Ebből következik, hogy a C D szakaszo álló téglalap T teületösszege egyelő a C D szakaszo álló téglalap T teületösszegével 7 Pobléma Bizoyítsuk be, hogy F ( z z ) F (z )+F ( z ) teljesül mide tetszőleges pozitív z és z eseté Megoldás: A következőkbe z és z egymáshoz viszoyított étékük szeit válasszuk szét a feladat megoldását ( eset) Ha z, z > ába 8

21 Tudjuk, hogy z z z, ezét az előző feladat eedméye alapjá a ( ábá) z jelölt göbevoalú tapézok teülete egyelő Mivel az abszissza tegely, az y x hipebola, az x, az x z z egyeesek által hatáolt göbevoalú tapéz teülete egyelő az abszissza tegely, az y hipebola, az x, az x z és a megfelelő x x z és x z z egyeesek által hatáolt két göbevoalú tapéz teületösszegével Tehát F ( z z ) F (z )+F ( z ) ( eset) Ha z, feltéve, hogy z > z ába Ebbe az esetbe ezt az egyelőséget kell bizoyítai: F ( z )+F ( z )F ()0, azaz F () F ( z ) z 9

22 Mivel z, ezét az előző feladat eedméye végett az z y x hipebola,az abszissza tegely, az x, az x z egyeesek által meghatáozott göbevoalú tapéz teülete megegyezik az y x z az y hipebola, az abszissza tegely, az x, az x hipebola, az abszissza tegely, az x z, az x egyeesek által x elhatáolt göbevoalú tapéz teületével Ie egyből következik a bizoyítadó egyelőség, azaz F z F (z ) (3 eset) Ha z, z < Ekko az egyes étékek eipokai, azaz beláttuk, hogy F F (z ), z F,, > A ( eset)-be z z z z F ( z ) z és F F ( z z ) z z valamit F z +F z F z z Megszoozva az egyelőség midkét oldalát ( ) -gyel megkapom a bizoyítai kívát összefüggést, azaz F ( z )+F ( z ) F ( z z ) (4 eset) Ha z >, z < de z z Továbbá feltesszük, hogy tehát z z > A feltételből következik, hogy z > A koábba bizoyítottak miatt F ( z z ) + F ( ) F z z F ( z ) z z 0

23 Ebből: F ( z z ) F (z ) F z F ( z ) + F (z ) Ha z z < -et tesszük fel, akko is hasoló módo látjuk be az összefüggést Következésképpe az F ( z ) + F ( z ) F (z z ) -et mide esete beláttuk 8 Pobléma A következőkbe az F ( z) függvéy egyik fotos tulajdoságát bizoyítjuk be γ Teljesül az F ( z ) γ F ( z ), bámely γ eseté A bizoyítást több lépésbe végezzük, így tejesztve ki ételmezését mide γ száma Megoldás: ( eset) Ha pozitív egész szám, F ( z ) F ( z) Ebbe az esetbe a 7 Pobléma eedméyekét a közefogási elv ételmébe: F ( z ) F ( z)+f ( z ) F ( z) 3 F ( z ) F (z )+F ( z) F ( z)+f ( z) 3 F ( z) F ( z 4 ) F ( z 3)+F ( z) 4 F ( z) F (z ) F (z )+ F ( z) ( ) F (z )+ F ( z ) F ( z) ( eset) Ha k em egatív egész, F ( z k ) k F ( z) Legye k, ahol pozitív egész Ekko a hatváyozási szabályok alkalmazása utá az k F (z ) F () F ( z ) összefüggéshez jutuk z Tehát F (z k ) F ( z ) k F ( z)

24 m (3 eset) Ebbe az esetbe m egész szám, F ( z ) m F ( z ) Ez köye adódik, m ha a ( eset)-be bizoyított fomulába z -t elevezzük z -ek Ekko ezt a m képletet kapjuk: F ( z) m F ( z ), ie pedig a ( eset)-be bizoyítottak m szeit F ( z ) F ( z ) m m (4 eset) Ha tetszőleges aioális szám, teljesül az alábbi kapsolat: m F ( z ) F ( z) Valóba teljesül, mivel F ( z m ) F m [( z ) ] m F (z ) m ( eset), illetve (3 eset)-be leítak szeit az (5 eset) Az alábbiakba azzal az utolsó lehetőséggel foglalkozuk, amiko γ tetszőleges γ iaioális szám eseté F (z ) γ F ( z) teljesül Hozzuk léte két olya soozatot, ami aioális számokból áll, azaz γ, γ,, γ, valamit a γ ', γ ',, γ ', -t E két soozat elégítse ki a következő feltételeket: 0 γ γ < 0 γ ' γ > 0 lim γ lim γ ' γ Megjegyzés: A γ szám tizedes tötekkel való alsó közelítése γ, felső közelítése γ ' -két tekithető A γ és a γ ' potossággal közelítik a γ számukat 0

25 Tudjuk, hogy a szóba fogó F ( z) függvéy z változó övelésével ő Tehát γ γ ' F ( z ) < F ( z γ) < F ( z ) Továbbá tudjuk, hogy γ és γ ' aioális számok, azaz γ γ F ( z) < F ( z ) < γ ' F ( z), ez a (4 eset)-ből következik γ Ie γ < F (z ) < γ ' következik, ezt továbbfejtve a Közefogási elv végett: F ( z) γ lim γ F (z ) lim γ ' F ( z) γ lim γ ' A kezdeti feltételek közül a (3pot)-ba foglaltak szeit mivel lim ezét teljesül a következő kapsolat: γ F(z ) γ F ( z) γ F (z ) γ F(z) Ez az a képlet, amit be szeettük vola láti A későbbiekbe ezt az F ( z) függvéyt logaitmus függvéyek hívjuk Megjegyzés: Az (5 eset) levezetése utá köyű beláti, hogy az eddig F ( z) -két említett függvéy maga a l (z ) Amit azt a fetiekbe beláttuk, F ( z) F (e l( z) ) l( z) F (e) l ( z), mivel F (e) az e szám defiíiója szeit Tétel (közefogási elv): Legye (a ) egy olya soozat, amelyhez létezek olya ( x ) és ( y ) soozatok, hogy ℕ+ : x a y, és lim x lim y : A Ekko (a ) koveges, és lim a A 3

26 Defiíió ( Az e szám) Tekitsük az e + ℕ soozatot Megmutattuk a 3 és 33 Feladatok soá, hogy (e ) szigoúa mooto övekedő és felülől kolátos soozat, ezét koveges is A lim + : e Ezzel a soozattal legtöbbet Leohad Eule ( ) foglalkozott Ő vezette be az (e ) soozat hatáétékée az e jelölést ( ℕ) szozat 0!!!! e hatáétéke ugyaez az e szám, azaz lim!!! 0! Másészt megmutatható az is, hogy az s : ( ) 9 Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú tapézak a teületét, amit az abszissza tegely, az ya x poliom, az odiáta tegely továbbá az x egyees hatáol 3 ába Megoldás: Ahogy azt má koábbi feladatokál is alkalmaztuk, osszuk fel egyelő észe az abszissza tegely azo szakaszát, mely a tapéz alapját képezi Ezt evezzük el OC szakaszak A feladat szövege szeit ez hosszú 4

27 Mide kis szakasz hossza ya x göbe, a, a,, a Ebből beít ( ) következik, (, az ezeke képzett kis téglalapjaiak, valamit az téglalapjaiak magassága a következőképpe alakul: hogy S + a + a + + a az ( ) S -el jelölt összes téglalap teületösszege ) A záójele belül egy métai soozat összege lelhető fel, melyet ki tudjuk fejezi a a ezzel az összegképlettel: Ie S a a S Potosa ez az összeg végtelebe vett hatáétéke lesz a keesett ABCD göbevoalú tapéz teülete a a Slim lim ( a ) a Eek kiszámításához a 36 Feladatáak megoldása szükséges Ez alapjá ( ) lim a lim ( a ) l a l(a) Ebből következik, hogy a keesett teület S a l a 0 Pobléma Hatáozzuk meg aak a göbevoalú háomszögek a teületét, amelyet az abszissza tegely, az x egyees (ahol > ), valamit az ylog a x göbe hatáolak 5

28 4 ába Első megoldás: y Felhaszálva azt az összefüggést, ami szeit ylog a x átalakítható xa -á, továbbá a 9 Pobléma megoldásából köye adódik jelelegi poblémák megoldása Itt az ABC göbevoalú háomszög teületét kell potosa meghatáozuk, ahol az OA és OB Ez a (4 ábáól) is köye leolvasható Első lépéskét az OACD tapéz teületét kell kiszámoluk Köye látszik, hogy ez a tapéz ugyaolya alakú, mit a (3 ábá) látható tapéz, amiek a teületét má meghatáoztuk Tehát az OACD göbevoalú tapéz, amelyet az xa y göbe, az y0 és az ylog a egyeesek, továbbá az odiáta tegely hatáol, az előző feladat megoldása alapjá S OACD a loga a b b teületű l a l a Azoba az ABC göbevoalú háomszög teülete megkapható a két göbevoalú tapéz teületéek külöbségéből Azaz S ABC S OBCD S OACD Ezutá felíható, hogy S b log a b b b log a b l a b+ b l b b+ l a l a l a 6

29 Megjegyzés: A 0-es Poblémát másképpe is meg lehet oldai, a 9-es Pobléma megoldásáak felhaszálása élkül A következőkbe ezt a levezetést szemléltetjük Második megoldás: Osszuk fel az AB szakaszt egyelő észe úgy, hogy az alábbi jelölésekkel dolgozuk OA, OBd 5 ába A felosztott szakaszaik ede: (5 ába) OM OM OM 3 d OM OM OM, 3, Mivel OM, továbbfejtve OM OM 3,OM,OB d, ahol d (lásd a 4-es Poblémába) Ezekből következik, hogy a téglalapok alapjai a következőképpe alakulak:, ( ), ( ),, ( ) 3 A magasságuk pedig: log, log log, log 3 log,, log log 7

30 Ie köye adódik az OBC göbevoalú háomszögbe látható téglalapok teületösszege, azaz S ( ) log + ( ) log + ( ) 3 log + + ( ) ( ) log ( ) log Következésképpe eek az összegek a végtelebe vett hatáétéke lesz a háomszög teülete Az összegbe fellelhetük egyszeűbbe is leíhatuk ( egy összefüggést, melyet ) ( ) ( ) log Ezt visszaíva az összegképletbe, S log Mivel d, ezt visszaíva: log log d, ezét S d log d (d ) log d ( d ) De tudjuk, hogy lim ( d )l(d ), ie következik, hogy Slim S d log d ( d ) log d d d l d d + d log d l l 8

31 Hamadik fejezet A függvéy alkalmazása éháy evezetes hatáétéke 3 Feladat Lássuk be az alábbi összefüggést, feltéve, hogy p > : p p p p+ p + lim Megoldás: Első lépéskét meg kell hatáozuk azt a göbe alatti teületet, amit az abszissza tegely, az x d egyees, illetve az y x p p-edfokú paabola hatáol, ha p > Majd alkalmazzuk az eddig is gyaka haszált módszet, osszuk fel az ON szakaszt egyelő észe Az így keletkezett potokat jelöljük Q, Q,, Q -gyel Íjuk fel tehát az S közelítő teületösszeget: S h [ h +( h) + +( h) ] h p p p p + p p p ( ), ha h d, azaz az ON szakasz felosztásával kapott h -hosszú szakaszok hossza Így a kédéses göbe alatti S teület megegyezik eek a közelítő teületösszegek a hatáétékével -be ézve Azaz S lim d p+ p p ( p+ p ) -el Ezt má kiszámoltuk a 5 Pobléma 9

32 p+ d megoldása soá, következésképp S p+ Ie köye levezethető, hogy a kezdeti feltételüket figyelembe véve (azaz p p p p + p + p > eseté) lim 3 Feladat Lássuk be, hogy a következő számok mooto övekvő soozatot alkotak 3 ( + ; + ; + ; ; + ; ) ; Megoldás: A bizoyításhoz elég azt beláti, hogy >s eseté teljesül: [ ] [ ] log + A > log + logaitmus s s függvéy azoosságai végett ez megegyezik az alábbi egyelőtleséggel: Kiagadva ebből a -et, ez aak a göbevoalú log + > s log + s log + teülete, amelyet az abszissza tegely, az x, az x+ ABCD tapézak a valamit az y x hipebola hatáolak is, az Hasolóképpe ábázolható a log + s 30 AB ' C ' D alakzat teülete

33 6 ába Az ába jelölései alapjá T ABRQ > T ABCD valamit T BB ' SR > T BB ' C ' D De tudom, hogy T AB ' C ' Dlog + log + s, ie következik, hogy log + > log + s s, azaz > s log + s 33 Feladat Lássuk be, hogy a következő számok mooto sökkeő soozatot alkotak ; + ; ; + Megoldás: Az előző feladathoz hasolóképpe a bizoyításhoz elég supá azt beláti, hogy [ ] [( >0 eseté teljesül, hogy: log + + Ietől a kettő külöbségét vizsgáljuk 3 > log + + ) ] +

34 [ ] [( log + + log + + ) ] + [ ] ] potosa aak a göbevoalú tapézak a tapézak ( +) log + + (+) log + log + log ( +) log + [ A log + log + + a teülete, amelyet az abszissza tegely, az x+, az x+ valamit az y egyeesek, + hipebola hatáolak x 7 ába ( Ugyaígy levezethető, hogy a log + x+ + ) pedig az abszissza tegely, az x, az, továbbá az y által meghatáozott göbevoalú tapéz teülete + x 3

35 Ha vesszük a BB ' C ' C tapézt, eek teülete agyobb, mit a BB ' C ' M téglalapé, )( ( amié egyébkét BB ' B ' C ' + [ ( )] Azaz (+) log + log + + ) ( +) > ( +) + + Nyilvávaló, hogy az ABCD göbevoalú tapéz teülete kisebb, mit az ABND téglalapé, amiől azoba tudjuk, hogy AB AD ( Ie következik, hogy log + + ) < + + Ezutá összevetve a két egyelőséget, megkapjuk, hogy [ ] [( log + + [ ( (+) log + ) ] )] ( log + + log log + ) >0 + Pot ezt szeettük vola beláti Ie má egyszeű megmutati, hogy a 3 Feladat soozata alulól kolátos, eek alsó kolátjáak választhatjuk a 0 -át Megállapítható, hogy midkét soozat (A 3 és 33 Feladat) hatáétéke megegyezik, és ez az e-szám 34 Feladat Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges z eseté lim z + e z! Megoldás: (eset): Tegyük fel, hogy z>0 és vegyük azt a göbevoalú ABCD tapéz z teületét, melyet az abszissza tegely, az x, az x+, továbbá az y hipebola hatáolja 33 x

36 8 ába A keesett tapéz teülete az ABKD és ALCD téglalapok teülete közé esik Ezek teületei z z és között va, amit a 33 Feladat megoldásával z + magyaázhatuk z z z z z Ie következik, hogy >log + >, azaz z>log + > z z+ + [ ] Tegyük fel, hogy, ekko log lim + z z, azaz lim + (eset): Hasolóképpe vizsgáljuk az az esetet is, amiko z<0 34 z e z

37 9 ába z z z Itt az ABKD teülete, az ALCD téglalapé z z z Ha z<0, akko az ABCD göbevoalú tapéz teülete pedig log + Az utóbbi ábából következik, hogy z z z z z z < log + < <log + < z z z z <log + z <z [ ] z Feltéve, hogy felíható, hogy log lim + z avagy z lim + e z Így beláttuk, ami bizoyítai akatuk 35

38 35 Feladat Hatáozzuk meg a következő hatáétéket! lim ( a ) Megoldás: Tekitsük azt az ABCD göbevoalú tapézt, melyet az abszissza tegely, az x, x a egyeesek, valamit az y x hipebola hatáolak Eek a teülete log a log a Azoba aak a göbevoalú tapézak a teülete, amelyet az x, x+ log a egyeesek, és az y hatáolják, egyételműe kisebb, mit x log a Ie ögtö következik, hogy szemlélteti 0 ába 36 a>+ log a, ezt a (0 ába)

39 Hasolóképpe, ha az x, x y által hatáolt egyeesek, és az x log a göbe alatti teület agyobb, mit az alapú és log a magasságú log a téglalap teülete Tehát agyobb, mit log a Ie következik, hogy a< log a log a Azaz log a< a <, továbbfejtve a eláiót: log a log a log a< ( a )< log a log a Végül az eddigiek alapjá lim ( a )log a Ezt a feladatuk megoldása 36 Feladat 37

40 Lássuk be az alábbi eláiót tetszőleges pozitív eseté () 4 e 5 e <!< e e Megoldás: Vegyük az ylog x göbét valamit aak az daab egységyi magasságú göbevoalú tapéz és egy göbevoalú háomszög teületösszegét A k tapéz páhuzamos oldalai log k és log (k +) Ezét a kédéses teületösszeg potosa: log +log ( ) log log 3+ log log 4 +log log +log 3+ + log ( )+ log ába Az itt vizsgált összegél yilvávalóa agyobb az abszissza tegely, az ylog x göbe, és az x egyees által meghatáozott teület, melyet ietől T () -két említük () Azaz T > log +log3+ +log ( )+ log A eláió kifejezések külöbségét fogjuk vizsgáli, evezzük K () -ek 38 két oldalá lévő

41 [ ] () () A K :T log +log 3+ +log ( )+ log külöbség az övelésével ő A következő lépéskét íjuk fel aak az tapézak a teületösszegét, melyeket az xk 0,5 valamit az xk+0,5 egyeesek és az ylog x göbéhez az xk potba húzott éitők hatáolak Ahol k ( ) Ehhez vegyük hozzá azt a tapézt is, amelyet az x, x,5 egyeesek, és az ylog x göbéhez az x,5 potba húzott éitő hatáol Valamit egy olya téglalapot, amiek a magassága log, az oldalai pedig ede x és az x egyeeseke esek 3 ába Tudjuk, hogy a k tapéz középvoala potosa log (k +), valamit a hozzávett tapézé pedig log,5 Ie a kapott alakzatuk teületét megkaphatjuk Nevezzük R() -ek 39

42 [ ] 5 () Ekko R log + log log ( ) + log + log 4 Azoba tudjuk hogy, () R >T () [ ], tehát log + log log ( ) + log + log () Ie következik ez a eláió: K < log 5 > T A 0 Poblémába T () étékét kiszámítottuk: T () log + Valamit felhaszálva a log + log log log! összefüggést is, hozzájutuk K () étékéhez ( ) K () ( log + ) log! log K () log log e + log!+ log log +! e -et köze tudom fogi a következőképpe: 0 < log ( ) 5 + < log 4! e < log + < log! e 5 4! e 4 e> > e 5 () e e Ez pedig éppe a bizoyítai kívát egyelőtleség () 4 >! > e 5 e 37 Feladat Lássuk be, hogy az! () e háyados koveges, feltéve, hogy, és hatáétéke legye 40

43 Megoldás: Az előző feladatból kideült, hogy a keesett szám 4 e és e között va 5 Midemellett azt is beláttuk, hogy a kédéses K () mooto övekvő és felülől () kolátos, mivel K < log 5 mide -e 4 Tehát lim K () K, ahol az előzőek végett 0 < K < log : K 5, hisze tudjuk, hogy 4 >0 A 36 Feladat megoldásából tudjuk, hogy K () log +, ezét hogyha létezik! e! e a K hatáéték, akko létezik a keesett lim is Ha vesszük a K -a felít kolátokat, láthatjuk, hogy -e teljesüli fog a bizoyítai 4 5 kívát egyelőtleség, azaz e > > e 38 Feladat Bizoyítsuk be, hogy a 37 Feladatba szeeplő szám π -vel egyelő Megoldás: () A! () e soozat hatáétékéek meghatáozásához fel kell haszáluk a Wallis fomulát Ez a π szám közelítését adja Defiíió: Legye ℕ, ekko legye ( )!! 4 ( ) (), illetve ( + )!! 3 5 ( ) ( + ), melyeket szemi-faktoiálisak szokás evezi 4

44 Tétel (Wallis fomula):!! 4 4 π ; másképpe felíva: lim π ( )!! + ( lim ) Bizoyítás: Vizsgáljuk a si x függvéy hatváyait Ekko igaz az alábbi eláió: (si x) (si x) + (si x) +, ha x 0 ; π [ ] Mivel eze az itevallumo a si x függvéy sak [ 0 ; ] közötti étéket vehet fel, ezét a hatváyok étékei sökkeő vagy kostas lehet Vegyük ezek itegáltjait szité az x 0 ; π itevallumo [ ] π π π (si x) dx (si x) + dx (si x) + dx A továbbiakba tekitsük a si x függvéy k hatváyáak itegáltját az x 0 ; π [ itevallumo, feltéve hogy k ℤ Ezt az itegált későbbiekbe P k -két említjük π π π P k si x dx si k 0 k 0 x si x dx si k x ( os x ) dx 0 π π si k x dx si 0 k x os x dx 0 P k π π k x os x os si k x os x dx si x 0 0 u' v π si k x os x + si k x si x k k 0 k si x P k k si x os x + P k k k 4 ]

45 Most vizsgáljuk sak P k étékét k si x Pk Pk os x P k k k ( π k 0 [P ] + si k x P k P k os x k k ) [ k P k k ] [ π 0 k k si x os x k k ] π 0 Visszatéve a eláióhoz, majd behelyettesítve a kiszámoltakat, hozzájutuk ehhez az összefüggéshez: ( ) ( 3) π ( + ) ( + 3) ( ) ( + ) ( + ) 3 ( + ) ( + 3) π ( + ) ( + ) 3 ( ) ( 3) π ( ) ( + ) ( ) π ( ) ( + ) ( ) 3 ( + ) 3 Osszuk le az egyelőtleséget ( ) ( 3) -vel ( ) ( + ) π π [ ( ) ] ( + ) [( ) 3 ] ( + ) Alkalmazzuk a Közefogási elvet! Mivel a eláió midkét oldala π -höz tat, ie [ ( ) ] π következik, hogy ( + ) [( ) 3 ] [ ] ( ) π Végül lim ( ) ( 3) 3 + lim 4 4 π ( ) ( + ) Ezzel a fomulát bebizoyítottuk 43

46 A továbbiakba alakítsuk át a kapott képletet: 4 ( 4 6 ) (!) π lim lim ( 3 ) ( + ) [()!] ( + ), π avagy lim ()! e () π lim e Tehát lim + e, továbbá lim! e ()! e (), ezét helyettesítsük az étékekkel () () e () és a ()! ( ) e lim lim () Így (!) Mivel + ()! () lim +, azoba +, következésképpe mide agy -e! π e π Végül π 39 Feladat Tekitsük a következő számot, majd bizoyítsuk be, hogy bámely -e 0 < γ < : γ log 3 4 Megoldás: Vegyük egy olya ABCD göbevoalú tapézt, amelyet az y, az x, x x hatáolak Eek az alakzatak a teülete potosa log Alkalmazva a szokásos 44

47 eljáást, megkapjuk, hogy az egységyi oldalú, de ede ; ; ; ; 3 magasságú téglalapok teületösszege agyobb, mit log 4 ába 3 Tehát > log γ log > 0 3 Ezutá vegyük azokat a téglalapokat, melyekek teületösszege alulól besli a göbe alatti teületüket Azaz az egységyi oldalú, de ede téglalapok teületösszege temészetese kisebb, mit log 45 ; ; ; magasságú 3

48 3 Következésképpe felíható, hogy log > γ +, azaz log < 3 Így bámilye -e 0 < γ < 30 Feladat Továbba is a 39 Feladat által bemutatott speiális számot vizsgáljuk, mely szeit γ log 3 Bizoyítsuk be, hogy a γ soozat koveges, feltéve, hogy Megoldás: A 39 Feladat eedméyét felhaszálva megállapíthatjuk, hogy a γ soozat felülől kolátos, tehát elég azt beláti, hogy emellett mooto övekszik Ez azoba egyételmű, hisze a γ potosa a (3ábá) látható y göbé túllógó teület, x ez pedig étékéek övelésével ő Miutá a felülől kolátosság adott volt, a mooto övekedést pedig beláttuk, ezekből má következik, hogy a soozat koveges Megjegyzés: ( 3 Ez utóbbi két feladatból következik, hogy γ lim ) log, és ez γ szám az Eule álladó Máséve Eule-Masheoi kotasak is evezik, étéke megközelítőleg 0, , azoba máig em ismet, hogy aioális vagy iaioális szám 46

49 3 Feladat Bizoyítsuk be, hogy p > eseté az + + p + + p összeg koveges, p 3 feltéve, hogy Mutassuk meg, hogy a hatáéték p és között va p p Megoldás: A megoldás meete hasolóa alakul a 39 és a 30 Feladatéhoz Vegyük azt a göbevoalú tapézt, amit az abszissza tegely, az x, x egyeesek, továbbá az y göbe fog köze xp 6 ába Nevezzük el a következő soozatot h p -ek h p + p + p + + p > 3 h + [ x p+ dx p+ xp 47 + ] p + ( + ) p + p+

50 Vegyük most a göbe alatti teület téglalapoka tötéő felosztását az odiáta tegelytől kiidulva 7 ába Ekko [ ] x p+ p + h p p < + p dx p+ p+ p+ h x < hp < + p < p p p p p ( + ) < p p p p p p < hp < p p + p p p < p< ; ha p p 48

51 Megjegyzés: Néháy édekesség a 3 Feladat alkalmazásával kapsolatba: ) p : Azoba Eule számításai alapjá a potos éték: π6 ) p 4 : Eule íásai alapjá a potos éték: π ) Azoba egy máig megoldatla poblémába ütközük, ha szeeték megkapi a p potos étékét 3 3, de is olya E egész szám, amelye 49 3 πe 3 p 3 eseté

52 Negyedik fejezetbe A logaitmus alkalmazása az élet külöböző teületei A gyakolati helyzetekbe olya adatedszet, amelybe kisi ( 0 és 0 közé esők), közepes ( 0 3 és 5 0 közöttiek), és agy számok ( 06 és 9 0 közé esők) szeepelek, összesűíthetőek övid skáláa is A kapsolat úgy is ételmezhető, mit a fizikai meyiségek (mit például hagmagasság, hageősség, stb) által keltett fizikai ézet aáyos a fizikai jel (teljesítméyek) logaitmusával Ez idokolja a külöböző logaitmus skálák bevezetését Ilye a deibel-skála, melyek legagyobb előye, hogy szélsőségese agy és kisi étékek összehasolítását is lehetővé teszi Továbbá az, hogy a deibel logaitmikus skálája megfelel az embei hallószev működéséek A Rihte-skála a földegés eősségéek megfigyelésé alapuló ú Rihtemagitudót adja meg Ez a méőszám a földegés fészkébe felszabaduló eegia logaitmusával aáyos Egy másik teületkét említhetjük a adioaktív izotópokkal kapsolatos számításokat Nagy haszát veszik a tudósok a logaitmusak a adioaktív ayagok bomlási idejéek számításáál Vegyük például a 4 tömegszámú széizotópot, amely ugya adioaktív, de az élő szevezetbe is megtalálható Tehát a 4C izotóp kimutatható a égészeti leletekből, így eek ismeetébe kiszámítható a koa 50

53 Az egyik legagyobb sikee a logaitmikus komeghatáozási módszeek az 988ba a toiói lepel (Jézus halotti leple) koáak meghatáozása volt Végezetül a tásadalomtudomáy, a biológia, a közgazdaságta, és számos más tudomáyág számításaiba is fellelhető a logaitmus, melyek haszosságát má az ókoba is felismeték a kamatos kamat számításál Bá magával a függvéyel közvetleül sak speiális feladatok soá találkozhatuk, mégis az élet, a tudomáy egeteg észé fellelhető, és élkülözhetetle 5

54 Köszöetyilváítás Ezúto szeetém megköszöi elsősoba témavezetőmek, Mezei Istváak a szakdolgozatom elkészítése soá yújtott szakmai taásait, ispiáló szavait; valamit Szüleimek és Nagyszüleimek, hogy lehetővé tették számoma felsőfokú taulmáyaim elvégzését Külö fejezem ki köszöetemet Nagypapámak, aki az egyetemi éveimet kivételes figyelemmel kíséte, és olyko szigoú, de lelkesítő szavaival támogatott 5

55 Iodalomjegyzék [] Hotobágyi Istvá: Elemi matematika IV Taköyvkiadó, 978 [] Juhász Istvá, Oosz Gyula, Paózay József, D Simo Judit: Az éthető matematika Nemzeti Taköyvkiadó, 0 [3] Kósa Adás, Mezei Istvá, S Gyamati Ezsébet: Aalízis Példatá Műszaki Köyvkiadó, 986 [4] Kósa Adás: Ismekedés a matematikai aalízissel Műszaki Köyvkiadó, 98 [5] D Szép Jeő: Aalízis Közgazdasági és Jogi Köyvkiadó, 965 [6] D Vas Gyögyé: Hétjegyű logaitmus Nehézipai Köyvkiadó, 967 [7] [8] [9] [0] [] fizikai/h0s4html [] [3] [4] 53

56 Nyilatkozat Név: Lebaov Dóa Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka Matematika szak Bs Neptu azoosító: ARPZK3 Szakdolgozat íme: A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai A szakdolgozat szezőjekét fegyelmi felelősségem tudatába kijeletem, hogy a dolgozatom öálló mukám eedméye, saját szellemi temékem, abba a hivatkozások és idézések stadad szabályait következetese alkalmaztam, mások által ít észeket a megfelelő idézés élkül em haszáltam fel Budapest, a hallgató aláíása 54

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

A közlegelı problémájának dinamikája Lotka - Volterra egyenletek felhasználásával

A közlegelı problémájának dinamikája Lotka - Volterra egyenletek felhasználásával A közlegelı poblémájának dinamikája Lotka - Voltea egyenletek felhasználásával Bessenyei István Pécsi Tudományegyetem, Közgazdaságtudományi Ka A gazdaság világszete és különösen hazánkban tapasztalható

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Interaktivitás a matematika órán

Interaktivitás a matematika órán Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Szakdolgozat Írta: Simon Anita Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

ú ú ü ű ü ü ú ú ü ű ü ü ú ú ü ü Í ű ű ü ü ü É ú ü ü ü ú ú ú ü ú ű ü ú ü ü Í ü ű ü ü ü Á ű ú ú ü ú Í ü ú Í ú ü ü Í ű Í ü ü É ü ü ü ú ü ü ü ü Í ú ü ű Á ü ü ú ú ü Í ü ű Í ú ú ü ü ü ú ü ű ú ú Á Í Í ú Í Í Í

Részletesebben

ú ü Ü ó í Í í ű ő ő í í í ű ő ó ő ő ő ő ú ő ő í í ó ó ó ó ű ő ő í í ű ü ő ó ő ő ő ó í ő ő ő í ő í ó ü Íí ő ü ű ő ó ő í ő ő ő ó ű ó ó ű ő ő ő ű í ő ú ő ü ó ó ő ó ű ő Ó ü ó ő ű ű ű ő ó ű ő ű ő í ó ű ő ő

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

ő ő Í ű ő ő ű ő ő ű ő ő É Á ű ő ű ő ő ő ü Á ü ő ű ő ő ő ü ü ő ű ő ő ü ő ú ő ő ő ű ü ő ü ő ü ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ü ő ő ő ő ű ü ű Í Í ő ü ő Í ü ő ü ő ü ü ü ő ü ű ő ü ü ü ü ü ü ü ő ú ü ő ű ő ő ü ü ü ő ő ő

Részletesebben

FÖLDMÉRÉS ÉS TÉRKÉPEZÉS

FÖLDMÉRÉS ÉS TÉRKÉPEZÉS NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Környezetmérnöki Szak Dr. Bácsatyai László FÖLDMÉRÉS ÉS TÉRKÉPEZÉS Kézirat Sopron, 2002. Lektor: Dr. Bányai László tudományos osztályvezető a műszaki tudomány

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Kristóf Miklós: Az Áramló Térid -Plazma

Kristóf Miklós: Az Áramló Térid -Plazma Kistóf Miklós: Az Áamló Téid -Plazma Kounkban egye több az éte-hí. Rájuk az jellemz, hogy többnyie áfolni akaják Einstein elatiitáselméletét. Különösen a Speiális Relatiitáselméletet (SR) támadják, és

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

30. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 17., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2047, Ft. Oldal

30. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 17., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2047, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 17., péntek 30. szám Ára: 2047, Ft TARTALOMJEGYZÉK 4/2006. (III. 17.) MNB r. A Bartók Béla születésének 125. évfordulója emlékérme kibocsá

Részletesebben

R E D U K C I Ó AA. Fürstand Júlia 2013.

R E D U K C I Ó AA. Fürstand Júlia 2013. R E D U K C I Ó AA A edukcó a űíé eköe, céa a ényeg megőée, a feeeg eáoíáa A eneeé an eedeű; ó en eenée ahúá, cökkené Sámo eüeen akamaák: edukí bo 1 a eegő káááa ée bo, a gaonómában a mááok feeege foyadék

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés tézisei.

SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés tézisei. SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL Doktoi étekezés tézisei Bátfai Zoltá Gödöllő 001. A doktoi pogam Címe: Agáeegetika és Köyezetgazdálkodás

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

M E G H Í V Ó. Tájékoztatom a Tisztelt Lakosságot, hogy Balmazújváros Város Önkormányzat Képviselő-testülete. k ö z m e g h a l l g a t á s t

M E G H Í V Ó. Tájékoztatom a Tisztelt Lakosságot, hogy Balmazújváros Város Önkormányzat Képviselő-testülete. k ö z m e g h a l l g a t á s t M E G H Í V Ó Tájékoztatom a Tisztelt Lakosságot, hogy Balmazújváros Város Önkormányzat Képviselő-testülete k ö z m e g h a l l g a t á s t tart szelektív hulladékgyűjtés témában. A közmeghallgatás helye:

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű

Részletesebben