Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2014

2 Tartalomjegyzék 1. Sorbanállási rendszerek jellemzése Jelölések bevezetése A sorbanállási rendszerek jellemz i Hatékonyság mér számai Kendall jelölésrendszere Születési-halálozási folyamatok Az M/M/1 típusú sorbanállási rendszer Prioritásos M/M/1 rendszer A megszakításos rendszer A kivárásos rendszer Az M/M/1/K rendszer A rendszer f bb jellemz i Sorbanállási rendszerek alkalmazásai Egyszer bb feladatok megoldása Kórházi sorok vizsgálata

3 Köszönetnyilvánítás "Az élet egy folyamatos sorban állás, várakozva a következ nagy ugrásra." Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Arató Miklósnak, hogy - gyelemmel kísérte a szakdolgozatom készülését, és hasznos tanácsokkal látott el közös munkánk során. Köszönöm családomnak és barátaimnak, hogy mellettem álltak, támogatásukra és biztatásukra mindig számíthattam. Végül,de nem utolsó sorban hálával tartozom gimnáziumi tanáromnak, Fonyó Lajosnak, hogy megszerettette velem a matematikát. 3

4 Bevezet A sorbanálláselmélet több tudományterület határán fekv, az alkalmazott matematikához tartozó viszonylag atal tudományág, amely a hétköznapokban is gyakran el forduló problémával, a várokozás vizsgálatával foglalkozik. Segítségével kiszámíthatjuk, hogy meddig kell várakoznunk a bankban vagy a postán, illetve mikor kerülünk sorra a boltban a pénztárnál. Módszerei hatékonyan alkalmazhatók az operációkutatás, hírközlési és telekommunikációs, valamint számítógép rendszerek területén felmerül problémák matematikai modellezésére. Az elmélet a telefonhálózatok fejlesztésével párhuzamosan fejl dött es lényegi elemévé vált a klasszikus távközlési hálózatok tervezésének. Bármilyen szolgáltatást vizsgálva nagyon fontos tényez ként jelenik meg a hozzá kapcsolódó várakozás, ugyanis az ezzel töltött id mértéke a felhasználók elégedettségét nagy mértékben befolyásolja, kedvez tlen esetben pedig negatív képet adhat az adott kiszolgálóegységr l. Ugyanakkor a szolgáltatók számára is fontos a szolgáltatás egyensúlyi állapotának vizsgálata. A kiszolgálórendszer nem megfelel méretezése ugyanis a szolgáltatók számára is felesleges kiadásokat generálhat. A számítógéprendszerek rohamos fejl désének hatására, egyre nagyobb gyelem irányult a bonyolult rendszerek elemzését lehet vé tev sztochasztikus folyamatok egyre szélesebb körben történ alkalmazására. Manapság, az óriási információáradat korában észrevehet en nagy igény mutatkozik mind komplexebb matematikai megközelítések bevezetésére, melynek következtében a leíró véletlen folyamatok is egyre összetettebbek lesznek. Célunk tehát a kiszolgálási id k és szabályok ismeretében olyan módszerek bemutatása, melyek segítségével csökkenthet ek a várokozási id k.a felhasználók egy sztochasztikus folyamat szerint érkeznek a kiszolgálókhoz, várakozási idejüket pedig egy valószín ségi változó határozza meg. Ezen sztochasztikus folyamatok alapján alakul ki a várakozási sor, melynek átfutási ideje egy minél hatékonyabb kiszolgálást biztosító rendszerrel nagy mértékben csökkenthet. Látható tehát, hogy a sorbanállási elmélet nem csak a hétköznapokban, de különböz tudományterületeken is tág környezetben alkalmazható, segítségével hasznos információkhoz juthatunk a minél hatékonyabb kiszolgálási rendszerek kialakításához. 4

5 1. fejezet Sorbanállási rendszerek jellemzése 1.1. Jelölések bevezetése Egy sorbanállási rendszer megfelel jellemzéséhez azonosítanunk kell egy sztochasztikus folyamatot, amely megadja számunkra a beérkez igényekr l szóló információkat. Deníció Legyen adva egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez és egy tetsz leges T (index)halmaz. Egy sztochasztikus folyamat minden t T indexhez hozzárendel egy valószín ségi változót. megjegyzés: A dolgozatom folyamán végig Sztrik János egyetemi jegyzetében található jelöléseket alkalmazom. [1], [2], [3] A sorbanállási rendszerek jellemz i Egy sorbanállási rendszer leírásához ismernünk kell a kiszolgálás szabályait, illetve struktúráját, melyeket az alábbi mennyiségek írnak le: kiszolgálási id : az igény kiszolgálóegységben töltött id tartamának hossza, melyek független, azonos eloszlású valószín ségi változók befogadóképesség : a várakozó sor maximális hossza rendszerid : a várakozással és a kiszolgálással töltött együttes id csatornák száma: a rendelkezésre álló kiszolgálóegységek kiszolgálási sorrend : az a szabály, amely szerint a várakozók sorra kerülnek A leggyakrabban használt kiszolgálási formák a következ k: 5

6 1. First Come First Served, azaz az érkezés sorrendjében történ kiszolgálás 2. Last Come First Served : az a kiszolgálási sorrend, amikor az utolsónak érkez t szolgálják ki el ször. prioritás: a beérkez igények esetleges csoportokba sorolása, melyeken a kiszolgálás sorrendje múlik Hatékonyság mér számai A sorbanállási rendszerek hatékonyságának és teljesítményének vizsgálatához az alábbi rendszerjellemz ket kell meghatároznunk: igények várakozási ideje várakozó igények száma foglaltsági intervallum,amely megmutatja a csatorna id egységre es kihasználtságát pillanatnyi munkahátralék Ezek mindegyike egy valószín ségi változó, így a vizsgálatok során ezek eloszlásfüggvényét igyekszünk meghatározni. A teljesítmény mérésének legalapvet bb eszköze a torlódás vizsgálata. Jelölje ϱ a forgalmi intenzitást, amelyet az átlagos kiszolgálási id és az átlagos beérkezési id hányadosaként számolhatunk ki. Ha ez a mennyiség nagyobb, mint 1, akkor arra a következtetésre juthatunk, hogy az igények gyorsabban érkeznek, mint ahogy az adott csatorna ki tudná szolgálni ket. Egy másik gyakran használt teljesítménymér eszköz a rendszer átbocsátóképessége. Ez nem más, mint az id egység alatt átlagosan kiszolgált igények száma Kendall jelölésrendszere A sorbanállási rendszerek könnyebb osztályozhatósága érdekében vezessünk be néhány, a vizsgálatok során gyakran használt jelölést. A/B/m/K/N/D, ahol A a beérkezési id közök eloszlásfüggvénye,azaz 6

7 A(t) = P(beérkez igények között eltelt id t) B a kiszolgálási id k eloszlásfüggvénye, vagyis B(t) = P(kiszolgálási id t), m a kiszolgálók száma, K a rendszer befogadóképessége, azaz az igények maximális száma, N az igények számossága,továbbá D a kiszolgálás elve. Amennyiben a fent említett eloszlások exponenciálisak, az M jelölés használatos.továbbá, ha a befogadóképesség és az igényforrás számossága végtelen, akkor ezeket a jelöléseket elhagyjuk. Így például az M/M/1 szimbólum, egy egy kiszolgálós Poisson beérkezéssel és exponenciális kiszolgálási id vel jellemzett rendszert jelöl Születési-halálozási folyamatok A sorbanállási rendszerek modellezésére a születési-halálozási folyamatok hatékonyan használhatók. A folyamatban a születések megfelelnek az érkez igényeknek, míg a halálozást a rendszerben lév igények kiszolgálása jelenti. A sorbanállási példákban nagy hangsúlyt fektetünk arra, hogy az X(t) (vagyis a sor hossza a t pillanatban) mely pillanatokban ugrik egyet, mintsem magára az X(t) értékére [4]. Példának okáért tekintsünk egy orvosi rendel t,mint kiszolgálóegységet. Minden egyes id pontot, amikor egy páciens belép az utcáról a várószobába, úgy tekintünk, mint egy igény beérkezését a sorbanállási rendszerbe; másrészt ezt a beérkezést úgy is fel lehet fogni, mint egy populáció új tagjának születését, ahol a populációt a jelenlev páciensek alkotják. Hasonlóképpen, amikor egy páciens elhagyja a rendel t, ezt mint a sorbanállási rendszerb l való távozást tekintjük, a születési-halálozási folyamatban ez a populáció egy tagjának halálával ekvivalens. Deníció A születési-halálozási folyamat egy olyan Markov-folyamat, melyben minden állapotból csak a szomszédos állapotokba valósulhat meg átmenet. Tehát ha a folyamat a t pillanatban az n állapotban van, akkor véletlen hosszúságú várakozási id után vagy az n + 1 vagy az n 1 állapotok valamelyikébe megy át. Ahhoz, hogy egy X(t) Markov-folyamat, melynek állapotterét a 0,1,2,... számok alkotják születési-halálozási folyamat legyen, ki kell elégíteni a következ feltételeket: 1. P (X(t + h) = k + 1 X(t) = k) = λ k h + o(h); 2. P (X(t + h) = k 1 X(t) = k) = µ k h + o(h); 7

8 3. P (X(t + h) = k X(t) = k) = 1 (λ k + µ k )h + o(h); 4. P (X(t + h) = m X(t) = k) = o(h) m k > 1 5. µ 0 = 0, λ 0 > 0, µ i, λ i > 0, i = 1, 2,... A h egy tetsz leges intervallumot jelöl, míg o(h) egy olyan mennyiség, amelyre h 0 esetén o(h) 0.A λ h k mennyiségek a születési-intenzitások, µ k számok pedig halálozásiintenzitások, melyek függetlenek az id t l. Annak valószín sége, hogy a rendszer a t id pillanatban a k állapotban van: P k (t) = P (X t = k) A t + h id pillanatban a X(t) k állapotban van akkor és csak akkor, ha az alábbi feltételek teljesülnek: 1. t id pillanatban a folyamat a k állapotban van és a (t, t + h) id intervallumban változás nem következik be; 2. t id pillanatban a folyamat a k 1 állapotban volt és a k-ba történt átmenet; 3. t id pillanatban a folyamat a k + 1 állapotban volt és a k-ba történt átmenet; 4. (t, t + h) alatt 2 vagy több átmenet történt. Az els három feltétel egymást kizáró, míg a negyedik eset valószín sége o(h). Mivel a P k (t) mennyiségek valószín ségek, teljesül, hogy P k (t) 0, továbbá P k (t) = 1. A konstans λ születési intenzitással rendelkez folyamatokban el forduló születések sorozatát Poisson-folyamatnak nevezzük. A Poisson-folyamat központi szerepet tölt be a sorbanállási rendszerek vizsgálatában. A folyamatot, mint igények beérkezését tekintjük valamilyen kiszolgálási rendszerbe, tehát a λ paraméter az érkez igények átlagos intenzitását fogja jelenteni.[3] Tegyük fel, hogy a rendszer, a 0 állapotból indul a t = 0 id pillanatban: 1,ha k = 0 P k (0) = 0,ha k 0 Ez a feltétel lesz a kezdeti feltételünk, P k (t) mennyiségek pedig annak a valószín ségét jelentik, hogy k igény érkezik a rendszerbe a (0, t) id intervallumban. Mivel átlagosan λ igény érkezik be egységnyi id alatt, ezért egy t hosszúságú intervallum alatt szükségképpen átlagosan λt igénynek kell beérkeznie, ami azt is jelenti egyben, hogy a t id alatt beérkez igények várható értéke λt. Ez a megállapítás könnyen igazolható. Jelöljük egy pillanatra K-val a t hosszúságú intervallum alatt beérkez igények számát. Ekkor: E(K) = kp k (t) = e λt k (λt)k = e λt k (λt)k k! (k 1)! = e λt λt k (λt)k k! 8 k=1

9 Mivel tudjuk, hogy e x = 1 + x + x , azt kapjuk, hogy E(K) = λt [3] Vegyük sorra, hogy melyek azok a fontos tulajdonságok, melyek miatt a Poissonfolyamat alkalmazható a sorbanállás elméletében.[5] 1. A Poisson-folyamat homogén, vagyis X(s, s + t)-vel jelölve a t hosszúságú (s, s + t) intervallum alatt történ beérkezések számát, P (X(s, s + t) = k) = (λt)k e λt nem függ attól, hogy hol helyezkedik el az intervallum, azaz független az intervallum s kezd pontjától. 2. A beérkezések számára vonatkozó szórás és várható érték megegyezik, mindkett a λt képlettel számolható. 3. Ha tekintünk két Poisson-folyamatot λ 1 és λ 2 paraméterekkel, akkor a két folyamat összeolvasztásával nyert folyamat szintén Poisson-folyamat lesz, méghozzá λ 1 + λ 2 paraméterrel. 4. Poisson-folyamat esetén a beérkezési id közök független exponenciális eloszlású valószín ségi változók. 5. Az exponenciális eloszlás esetén a beérkezés valószín sége független attól, hogy a legutolsó beérkezést l számítva mennyi id telt már el. Tehát egy exponenciális eloszlású valószín ségi változó jöv je független a múltbeli viselkedését l, az eloszlás id ben állandó marad. Sajnos a születési-halálozási folyamatok id t l függ megoldása nehezen kezelhet, amint bonyolultabb születési-halálozási λ k, µ k intenzitásokat veszünk. Továbbá, még ha a P k (t) függvényeket meg is tudnánk határozni, nem világos, mennyire segít minket ez a függvényhalmaz abban, hogy jobban át tudjuk tekinteni a sorbanállási rendszer viselkedését. Ezért természetes, hogy azt kérdezzük, vajon a P k (t) valószín ségek t növekedésével megállapodnak-e végül, megsz nik-e id beli változásuk, beáll-e stacionárius állapot. Egy születési-halálozási folyamat egyensúlyi eloszlása a következ zárt alakban írható: k! k 1 λ i P k = P 0, k = 0, 1, 2,... µ i+1 i=0 P 0 = k 1 k=1 i=0. λ i µ i+1 9

10 Vizsgáljuk meg a P k stacionárius valószín ségek létezésének feltételeit. Azt kell megnézni, hogy ezek a mennyiségek valóban valószín ségeloszlást alkotnak-e. Ehhez szükséges, hogy a P 0 > 0 legyen. Ez az egyenletekben szerepl születési és halálozási együtthatókra ró ki feltételt. Megköveteljük, hogy a rendszer alkalomadtán üres is legyen. Az, hogy ez feltétele a stabilitásnak rögtön ésszer nek látszik. A felmerül lehet ségek osztályozásához deniáljuk az alábbi két összeget: S 1 := k 1 i=0 λ i µ i+1, S 2 := 1 k 1 λ k i=0. λ i µ i+1 Ekkor három eset lehetséges. Azt mondjuk, hogy a születési-halálozási folyamat minden állapota 1. ergodikus, ha S 1 <, S 2 = ; 2. rekurrens nulla, ha S 1 =, S 2 = ; 3. átmeneti, ha S 1 =, S 2 <. A sorbanállási rendszerek vizsgálata során szükségünk lesz egyensúlyi állapotban valamely születési-halálozási folyamat állapotára a születési és halálozási pillanatokban. Jelölje N sz a születés és N h a halálozás id pontjában a rendszer állapotát, továbbá legyen Π k = P (N sz = k) és D k = P (N h = k) k = 0, 1, 2,... Ekkor: Π k = lim h 0 (λ k h + o(h))p k = λ j h + o(h))p j j=0 λ kp k λ j P j j=0 továbbá (µ k+1 h + o(h))p k+1 D k = lim h 0 = µ k+1p k+1. µ j h + o(h))p j µ j P j j=0 j=0 Mivel teljesül, hogy P k+1 = λ k P k k = 0, 1,... µ k+1 ezért D k = λ kp k k = 0, 1,... λ i P i i=0 10

11 Teljesül továbbá, hogy egyensúlyi állapotban az átlagos születési intenzitás egyenl az átlagos kihalási intenzitással, ugyanis λ = λ i P i = i=0 µ i+1 P i+1 = i=0 µ k P k = µ. 11

12 2. fejezet Az M/M/1 típusú sorbanállási rendszer Az M/M/1 rendszer a legegyszer bb, nemtriviális végtelen-forrású rendszer, azaz olyan rendszer, melyben végtelen hosszúságú sorok is létrejöhetnek, feltesszük továbbá, hogy az igényeket az érkezés sorrendjében szolgálják ki. Az M/M/1 típusú rendszerben a beérkezési folyamat λ paraméter Poisson folyamat, vagyis az igények λ paraméter exponenciális eloszlás szerint érkeznek a rendszerbe, a kiszolgálási id k pedig µ paraméter,szintén exponenciális eloszlású valószín ségi változók. Feltesszük, hogy a beérkezési id közök valamint a kiszolgálási id k függetlenek egymástól. A továbbiakban jelölje X(t) a rendszerben tartózkodó igények számát. Azt mondjuk, hogy a rendszerünk a k állapotban van, ha X(t) = k. Mivel a fellép valószín ségi változók exponenciális eloszlásúak, vagyis emlékezet nélküliek, az X(t) folytonos idej Markov-lánc lesz. Vizsgáljuk meg a rendszer állapotváltozásainak valószín ségeit egy adott h id tartam alatt: p k,k+1 (h) = (λh+o(h))(1 (µ(h)+o(h)))+ (λh+o(h)) k (µ(h)+o(h)) k 1 k = 0, 1, 2,... k=2 Az összeg els tagja annak a valószín sége, hogy a rendszerben egy igény érkezett, és nem szolgáltak ki egyet sem. Az összeg második tagja pedig annak a valószín ségét adja, hogy a rendszerbe 2 vagy több igény érkezett, és a beérkezettnél eggyel kevesebb került kiszolgálásra. Ez a valószín ség azonban o(h)-val egyenl, így eredményül kapjuk, hogy: p k,k+1 (h) = λh + o(h). Annak valószín sége, hogy a rendszer a k állapotból a k 1 állapotba lépett h id tartam után, a következ módon számolható: p k,k 1 (h) = (µh + o(h))(1 (λ(h) + o(h))) + (λh + o(h)) k 1 (µ(h) + o(h)) k = µh + o(h) k=2 12

13 Észrevehetjük tehát, hogy egy olyan születési-halálozási folyamattal van dolgunk, amit a születési és halálozási intenzitások alábbi megválasztásával jellemezhetünk: λ k = λ, k = 0, 1, 2,..., µ k = µ, k = 1, 2, 3... Ez azt jelenti, hogy esetünkben az összes születési intenzitás λ, valamint az összes halálozási intenzitás µ. Az így nyert intenzitásokat behelyettesítve a születési-halálozási folyamat egyensúlyi állapotára vonatkozó képletbe, a következ t kapjuk: azaz, k 1 λ P k = P 0 µ, i=0 P k = P 0 ( λ µ) k, k 0. Az ergodikusság feltétele általánosságban (és így annak is, hogy egy P k > 0 stacionárius megoldást kapjunk) S 1 < és S 2 = ; esetünkben az els feltétel: S 1 = P k P 0 = Ez a sor akkor és csak akkor lesz konvergens, ha λ/µ < 1. ( ) k λ <. µ A második feltétel jelen esetben az alábbi alakba írható: S 2 = 1 λ( P k P 0 ) = 1 λ (µ λ )k = Ez akkor teljesül, ha λ/µ 1. Tehát arra a megállapításra juthatunk, hogy az ergodikusság szükséges és elégséges feltétele az M/M/1 sor esetén egyszer en λ < µ. Ez alapján P 0 valószín ségek kiszámolhatóak a következ képlet segítségével: P 0 = k=1 ( λ ). k µ Mivel a fenti számolás alapján az ergodikusság feltétele λ < µ volt, ezért a fenti sor konvergens, azaz: P 0 = λ/µ 1 λ/µ 13 = 1 λ µ.

14 A kihasználtsági tényez ϱ = λ vagy 1. A stabilitás feltétele miatt a 0 ϱ < 1 µ egyenl séget meg kell követelni. Ez biztosítja, hogy P 0 > 0 legyen. Így P k = (1 ϱ)ϱ k, k = 0, 1, 2,..., amely valóban valószín ségi eloszlás, nevezetesen a geometriai eloszlás. Ahhoz, hogy alkalmazni tudjuk a sorbanállás elméletet a gyakorlatban is, nézzük meg, hogy tudjuk kiszámolni a rendszer legf bb jellemz it. A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma N = kp k = (1 ϱ)ϱ kϱ k 1 = k=1 ϱ k = (1 ϱ)ϱ ϱ = (1 ϱ)ϱ 1 ϱ 1 ϱ = ϱ 1 ϱ k=1 A rendszerben eltöltött átlagos id A rendszerben töltött átlagos id meghatározásához a rendszerben tartózkodó igények száma közvetlenül felhasználható: T = N λ = ( ϱ 1 ϱ )( 1 λ ) = 1/µ 1 ϱ A T id függ a ϱ kihasználtsági tényez t l. T értéke ϱ = 0 esetén egyetlen igény átlagos kiszolgálási ideje, azaz ha a sorbanállással nem telik el id, akkor átlagosan 1/µ lesz a tejesen rendszerid. Azonban ha ϱ közeledik 1-hez, a rendszerben tartózkodó igények száma és az igények rendszerben töltött átlagos ideje is meredeken n. Vegyük észre, hogy ϱ = 1 esetén a rendszer instabilan viselkedik, ugyanis ϱ < 0 volt az ergodikusság feltétele. Meglep azonban, hogy a rendszerbeli igények átlagos száma és az átlagos rendszerben töltött id megromlik, ha ϱ 1 alulról. M/M/1 sor esetén azt tapasztalhatjuk, hogy nagy ára van annak, ha ki akarjuk használni a rendszer kapacitását. Ezen jelenség magyarázta, hogy a folyamat véletlen jellegének következtében id nként a forgalom jelent sen megugorhat, és ilyenkor id legesen túlterhel dik a kiszolgálócsatorna. Igaz marad azonban, hogy a kiszolgálócsatorna az id P 0 hányadában üres, de ez az átlagos üresjárati id nincs egyenletesen elosztva kicsiny id intervallumokra, csupán a hosszú m ködési szakaszokon érvényesül. Tehát a beérkezési id köz és a kiszolgálási id változékonysága okozza a rossz viselkedést ϱ = 1 közelében. 14

15 A várakozó igények átlagos száma A kiszolgálási folyamat egy igényre nézve két f részb l áll. El ször az igény arra vár, hogy sorra kerüljön(addig nyilván az el tte lév eket szolgálják ki), majd az kiszolgálása következik. Q = (k 1)P k = k=1 A szerver kihasználtsága ahol kp k k=1 P k = N ϱ = k=1 U s = 1 P 0 = λ µ = ϱ, P 0 = 1 λ 1 + Eδ, λ ϱ2 1 ϱ a képletben Eδ a kiszolgáló átlagos foglaltsági periódushossza, 1 a tétlenségi id várható λ értéke. Mivel a szerver addig tétlen, amíg igény nem érkezik, az pedig exponenciális eloszlású λ paraméterrel. Így melyb l 1 ϱ = 1 λ 1 + Eδ, λ Eδ = 1 ϱ λ 1 ϱ = 1 λ N = 1 µ λ. Egy igény várakozási idejének eloszlása Jelölje P k (t) - mint korábban is - annak valószín ségét, hogy a t pillanatban a rendszer a k állapotban van, R k (t)) pedig annak valószín ségét, hogy egy a t pillanatban érkez igény a rendszert a k állapotban találja. Megmutatjuk, hogy olyan sorbanállási rendszernél, amelybe az igények Poisson-folyamat szerint érkeznek, P k (t) = R k (t) Legyen A(t, t + t) az az esemény, hogy egy beérkezés történik a (t, t + t) id intervallumban. Ekkor: R k (t) := lim P (X(t) = k A(t, t + t)), t 0 ahol X(t) jelöli a rendszerbeli igények számát a t id pontban. Használjuk fel a feltételes valószín ség denícióját. Ez alapján kapjuk, hogy: P (X(t), A(t, t + t)) R k (t) = lim t 0 P (A(t, t + t) P (A(t, t + t) X(t) = k)p (X(t) = k) = lim t 0 P (A(t, t + t) 15

16 korábban láttuk, hogy Poisson-folyamat esetén (az emlékezetnélküliség miatt) az A(t, t + t) esemény nem függ a t pillanatban a rendszerben tartózkodó igények számától (és magától a t id t l sem), ezért P (A(t, t + t) X(t) = k) = P (A(t, t + t)), így R k (t) = P (X(t) = k). Azt kaptuk tehát, hogy annak valószín sége, hogy egy beérkez igény a rendszert a k állapotban találja, megegyezik azzal a valószín séggel, hogy a rendszer a k állapotban van. Világos, hogy ha egy tetsz leges pillanatban egy igény érkezik, P 0 lesz annak a valószín sége, hogy nem kell várakoznia, hisz ekkor a rendszer üres. Minden más esetben várakozni kényszerül. Tegyük fel, hogy az érkezés pillanatában n igény tartózkodik a rendszerben. Ekkor az érkez igénynek meg kell várnia, míg a kiszolgálás alatt álló igény kiszolgálása befejez dik és az el tte álló n 1 igény elhagyja a rendszert. Feltettük, hogy a kiszolgálások egymástól függetlenek és µ paraméter exponenciális eloszlásúak. Köztudott, hogy az exponenciális eloszlás emlékezetnélküli, így a kiszolgálás alatt lev igény eloszlása független attól mióta folyik a kiszolgálás, ezért a várakozási id Γ vagy Erlang - eloszlású µ és n paraméterrel. Az Erlang-eolszlás s r ségfüggvénye a következ alakot ölti: f n (x) = µ(µx)n 1 (n 1)! e µx, x 0. Ha f W -vel jelöljük egy tetsz leges igény várakozási idejének s r ségfüggvényét, akkor a teljes valószín ség tételét felhasználva az alábbi összefüggés adódik: f W (x) = n=1 (µx) n 1 (n 1)! µe µx ϱ n (1 ϱ) = (1 ϱ)ϱµ (µxϱ) k e µx = (1 ϱ)ϱµe µ(1 ϱ)x k! Tehát f W (0) = 1 ϱ x = 0f W (x) = (1 ϱ)ϱµe µ(1 ϱ)x x > 0 Ez alapján felírható a várakozási igény eloszlásfüggvénye: Melyb l az átlagos várakozási id : F W (x) = 1 ϱ + ϱ ( 1 e µ(1 ϱ)x) = 1 ϱe µ(1 ϱ)x. W = 0 xf W (x)dx = ϱ µ(1 ϱ) = ϱeδ = N 1 µ. 16

17 Rendszerben való tartózkodási id eloszlása Az el z höz hasonló számolással kaphatjuk a megfelel eloszlást, azonban ebben az esetben egy igény akkor hagyja el a rendszert, ha t kiszolgálták, vagyis az Erlang-eloszlásunk paraméterei most µ és n + 1 lesznek. A s r ségfüggvény: f T (x) = n=0 (1 ϱ)ϱ n (µx)n n! µe µx = µ(1 ϱ)e µx (ϱµx) n n=0 n! = µ(1 ϱ)e µ(1 ϱ)x Az eloszlásfüggvény pedig: F T (x) = 1 e µ(1 ϱ)x. Látható tehát, hogy a tartózkodási id exponenciális eloszlású, méghozzá µ(1 ϱ) = µ λ paraméterrel. Ezért az átlagos rendszerbeli tartózkodási id : T = 1 µ(1 ϱ) = 1 µ λ. Megállapítható néhány összefüggés a meghatározott mennyiségek között: T = W + 1 µ = Vegyük észre továbbá, hogy: ϱ µ(1 ϱ) + 1 µ = 1 µ(1 ϱ) = 1 µ λ = Eδ. ( ) 1 λt = λ µ(1 ϱ) = ϱ 1 ϱ = N. valamint ( ) ϱ λw = λ µ(1 ϱ) = ϱ2 1 ϱ = Q. A (*) és a (**) összefüggéseket Little-formuláknak nevezzük. Érdemes kiszámolni annak valószín ségét is, hogy legalább k igény tartózkodik a rendszerben: P [rendszerben lév igények száma k]= i=k p i = i=k (1 ϱ)ϱi = ϱ k 17

18 A Little-törvényr l A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma, és az általuk a rendszerben töltött átlagos id fontos mennyiségek a sorbanállás szempontjából. A Little-törvény összekapcsolja ezeket a mennyiségeket a beérkezési intenzitás segítségével. A törvény bizonyítása John Dutton Conant Little, amerikai matematikustól származik, melyet 1961-ben publikál [6]. A Little - törvény azt mondja, hogy állandó körülmények között, a sorbanállási rendszerben tarózkodó igények átlagos száma, megegyezik a beérkezési intenzitás és az átlagos rendszerben eltöltött id szorzatával [7]. Tehát a már korábban bevezetett jelöléseket felhasználva: N = λt Megköveteljük a háttérben rejt z sztochasztikus folyamat stacionárius voltát, azonban nem vesszük gyelembe, hogy hány kiszolgálóegységünk van, egy sorban, esetleg több sorban várakoznak az igények, milyen a kiszolgálási id vagy várakozási id eloszlása. Ebb l adódóan ez a képlet rendkívül egyszer és hasznos. A képlet legalább két mennyiségét általában könny meghatározni (becslésekkel, meggyelésekkel), és a harmadik paraméter ezekb l már egyszer en adódik. Tekintsük a következ példát [7]: Meg szeretnénk határozni, hogy egy kórház szülészetén hány ágyra van szükség, hogy az ott dolgozók megfelel en el tudják látni a munkájukat.korábbi évek tapasztatai alapján tudjuk, hogy a vizsgált városban átlagosan öt gyerek születik naponta. Az esetek 90 százalékában az újszülöttek két nap után hazamehetnek, a fennmaradó 10 százalékban, azonban valamiféle komplikáció következtében kénytelenek egy hétig a kórházban maradni. Tehát átlagosan 0, , 1 7 = 2, 5 napot maradnak a gyerekek a kórházban. A Little-törvény segítségével az adatok alapján megjósolható, hogy átlagosan hány anyuka tartózkodik a szülészeten naponta. A beérkezési intenzitás most λ = 5 (naponta), a rendszerben töltött várakozási id 2, 5 nap. Ebb l következ en a "várakozó sor" átlagos hossza: N = 12, 5. Azt kaptuk, hogy átlagosan 12.5 anyuka tartózkodik a kórházban, tehát legalább 13 ágyra szüksége van az adott kórháznak ahhoz, hogy mindenkit el tudjanak látni. 18

19 3. fejezet Prioritásos M/M/1 rendszer A prioritásos M/M/1 rendszer,az M/M/1 rendszer egy olyan módosítása, amelyben a beérkez igényeknek többféle típusát különböztetjük meg. Az egyszer ség kedvéért olyan rendszerrel foglalkozunk, melyben a beérkez igényeknek két típusa lehetséges, de a modell kiterjeszthet több különböz típusú igény esetére is. Általában az alacsonyabb sorszámú igények élveznek prioritást a magasabb sorszámú igényekkel szemben. Az igények továbbra is független Poisson-eloszlás szerint érkeznek, az egyes típusú λ 1, míg a kettes típusú λ 2 paraméterrel. Tegyük fel, hogy az egyes típusuktól eltekintve a kiszolgálási intenzitás paramétere µ. Jelölje a továbbiakban ρ i a λ i /µ mennyiséget. Ekkor a prioritásoknak két különböz fajtáját különböztethetjük meg ([2],[5]) A megszakításos rendszer Megszakításos rendszer esetén az egyes típusú igények abszolút prioritást élveznek a kettes típusú igényekkel szemben. Ez azt jelenti, hogy egy egyes típusú igény érkezésekor, a kettes típusú igény kiszolgálása azonnal megszakad, és a m velet az egyes típus kiszolgálásával folytatódik. Kettes típusú igény már csak akkor kerül újra kiszolgálásra, ha nincs a rendszerben több egyes típusú. Ekkor a kettes típusú igények kiszolgálása ott folytatódik, ahol megszakításra került. Jelöljük most N i -vel az i típusú igények számát, továbbá T i -vel az i típusú igények rendszerben tartózkodásának idejét. Határozzuk meg ezen mennyiségek várható értékét. Mivel az egyes típusú igények abszolút prioritással bírnak, ezért továbbá E(T 1 ) = 1/µ 1 ρ i E(N 1 ) = 19 ρ i 1 ρ i

20 Ez azért lehetséges, mert a prioritás miatt az egyes típusú igények kiszolgálását a rendszerben lév kettes típusú igények nem befolyásolják. Mivel típustól függetlenül a kiszolgálási intenzitás megegyezik, így a rendszerben tartózkodó igények a kiszolgálás sorrendjét l független. Így ez az érték megegyezik azzal, amikor az érkezési sorrend szerint történik a kiszolgálás. Az M/M/1 rendszernél levezetett képletek felhasználásával: E(N 1 ) + E(N 2 ) = ρ 1 + ρ 2 1 ρ 1 ρ 2 Haználjuk fel az egyes típusú igényekre kapott képletet.ekkor: E(N 2 ) = ρ 1 + ρ 2 1 ρ 1 ρ 2 ρ i 1 ρ i = A Little-törvény alkalmazásával adódik, hogy: E(T 2 ) = E(N 2) λ 2 = ρ 2 (1 ρ 1 )(1 ρ 1 ρ 2 ) 1/µ (1 ρ 1 )(1 ρ 1 ρ 2 ) 3.2. A kivárásos rendszer A prioritások második típusa az úgynevezett relatív prioritás. Ebben az esetben az egyes típusú igényeknek majdnem abszolút prioritása van, ami azt jelenti, hogy az egyes típusú igény érkezésekor a kettes típusú igény kiszolgálása nem szakad meg, de ahogy annak kiszolgálása befejez dik,az egyes típusúak kiszolgálása következik függetlenül attól, hogy a soron következ igény kettes típusú volt. Az egyes típusú igények átlagos tartózkodási idejére a következ képlet írható fel: E(T 1 ) = E(N 1 ) 1 µ + 1 µ + ρ 1 2 µ Az utolsó tag azt jelöli, hogy amikor egy érkez egyes típusú igény kettest típusút talál kiszolgálás közben, akkor mindaddig várnia kell, amíg annak kiszolgálása be nem fejezodik. A Poisson-folyamat szerinti érkezésnek köszönhet en annak a valószín sége, hogy az egyes típusú beérkez igény kettes típusút talál megegyezik a kettes típusú igényekre vonatkozó kihasználtsággal, amely ρ 2. Alkalmazzuk a Little-törvényt, azaz: E(N 1 ) = λ 1 E(T 1 ), amib l: E(T 1 ) = (1 + ρ 2)/µ 1 ρ 1 E(N 1 ) = (1 + ρ 2)/ρ 1 1 ρ 1 20

21 4. fejezet Az M/M/1/K rendszer AZ M/M/1/K rendszer egy véges befogadóképesség rendszer. Ez azt jelenti, hogy a várakozó igények száma korlátozva van, méghozzá oly módon, hogy ha a rendszerbe érkez igények száma meghaladja a meghatározott maximumot, akkor az ezen felül érkez igények kiszolgálás nélkül kénytelenek távozni. Tegyük fel, hogy a rendszerben egyszerre K igény tartózkodhat, melybe beleszámoljuk az éppen kiszolgálandó igényt is. Az igények érkezése továbbra is Poisson-folyamat szerint történik. A változás abban rejlik, hogy csak azok az igények léphetnek be a rendszerbe, amelyek érkezésekor kevesebb, mint K igény van ott. Egy telefonközpont esetében például megoldást jelent a "várakozó üzemmód", amikor a beérkez igények korlátos várakozó sort alkotnak ([3]). Mivel a bemen igények száma korlátozott, ezért a beérkezéseket leíró Poisson-folyamatot is korlátoznunk kell. Ekkor a beérkezési intenzitások a következ alakot öltik: λ,ha k < K λ k = 0,ha k K A kiszolgálási intenzitást leíró paraméter pedig változatlan marad: µ k = µ, k = 1, 2,..., K. Mivel a rendszer állapottere véges, ez garanciát ad arra, hogy mindig ergodikus. Továbbá teljesül, hogy: k 1 ( ) k λ λ P k = P 0 µ = P 0, ha k K. µ j=0 21

22 Természetesen az is igaz, hogy: P k = 0, ha k > K, hiszen csak K igény tartózkodhat a rendszerben. Már csak a P 0 valószín ség kiszámítására van szükség: P 0 = [ 1 + K k=1 ] 1 k λ = µ 1 λ/µ 1 (λ/µ) K+1 A két eredmény összevetésével végül azt kapjuk, hogy: 1 λ/µ ( λ 1 (λ/µ) P k = K+1 µ )k,ha 0 k K 0,egyébként Látható, hogy ha K = 1, akkor egy M/M/1/1 rendszert kapunk, ahol tehát nincs várakozás ([3]). Ekkor: 1,ha k = 0 1+λ/µ λ/µ P k =,ha k = 1 = K 1+λ/µ 0, egyébként AZ M/M/1 rendszer vizsgálatakor már láttuk, hogy a rendszer kihasználtsága, azaz U s = 1 P 0, továbbá Eδ az a mennyiség, amely megmutatja, hogy átlagosan mennyi ideig foglalt az adott kiszolgálóegység A rendszer f bb jellemz i A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma A várakozó igények átlagos száma N = λ/µ(1 (K + 1)(λ/µ)K + K(λ/µ) K+1 ) (1 (λ/µ)(1 (λ/µ) K+1 ) Q = K (k 1)P k = k=1 K kp k k=1 K P k = N U s A tartózkodási és várakozási id jellemz inek meghatározásához azt kell tudni, hogy beérkez igény milyen állapotban találja a rendszert. A Bayes-formula felhasználásával k=1 22

23 látható, hogy: Π k = λp k P k = K 1 1 P k λp i i=0 Az M/M/1 rendszer vizsgálatakor már láttuk, hogy a feltételes tartózkodási és várakozási id k Erlang-eloszlást követnek, ebben az esetben (k + 1, µ) és (k, µ) paraméterrel, amennyiben a rendszerben k igény tartózkodott az új igény rendszerbe érkezésének pillanatában. Azt kapjuk, hogy: T = K 1 K 1 k + 1 µ Π k = Amib l következik, hogy k + 1 µ ρ k P 0 = 1 P k W = T 1 µ = K 1 1 λ(1 P K ) N λ(1 P K ) 1 µ (k + 1)P k+1 = N λ(1 P K ) Nézzük meg, hogy ebben az esetben is teljesül-e a Little formula? A rendszerbe történ átlagos beérkezés λ = λ(1 P K ), éppen ezért: N λt = λ(1 P K ) λ(1 P K ) = N N λw = λ λ(1 P K ) 1 µ = N λ µ = N ρ(1 P K) = N U S = Q A tartózkodási id s r ségfüggvénye és eloszlásfüggvénye A teljes valószín ség tételéb l adódik, hogy f T (x) = K 1 µ (µx)k k! e µx P k 1 P K Ez alapján az eloszlásfüggvényt a s r ségfüggvény integrálásával tudjuk kiszámítani: K 1 ( x ) ( ) F T (x) = µ (µt)k K 1 e µt Pk k (µx) i dt = 1 e µx P k = k! 1 P K i! 1 P K 1 = 1 K 1 i=0 ( k ) (µx) i e µx P k i! 1 P K i=0 Bonyolultabb formulákkal kellett számolnunk, mint az M/M/1 rendszer esetében, azonban ha K, akkor f T (x) = µ(1 ρ)e µ(1 ρ)x 23

24 Most vizsgáljuk meg a várakozási id s r ségfüggvényét is: f W (x) = Ez alapján az eloszlásfüggvény: F W (x) = P 0 1 P K + = 1 K 1 k=1 f W (0) = P 0 1 P K K 1 K 1 µ (µx)k 1 (k 1)! e µx P k 1 P K ( ( k 1 i=0 1 k 1 i=0 ) (µx) i e µx i! ) (µx) i e µx P k i! 1 P K P k 1 P K = Vegyük észre, hogy P K valószín ségek kitüntetett szereppel bírnak az egyes képletekben. Mit is jelent ez a valószín ség? P K nem más, mint annak az esélye,hogy a rendszerhez érkez igény nem tud csatlakozni a sorhoz, mert nincs hely. Ezt a valószín séget a szakirodalom igényvesztési valószín ségnek nevezi, és általában P B -vel jelöli. A Bayes-formulát felhasználva tudjuk kiszámítani, hogy: P B = λp K K λp K Ha jobban megvizsgáljuk ezt az összefüggést, látható, hogy P B valószín ség függ ρ-tól is, tehát P B (K, ρ) = A fenti képletet átalakítva adódik, hogy ρk K ρ k P B (K, ρ) = K 1 ρρ K 1 ρ k + ρρ K 1 = ρp B (K 1, ρ) 1 + ρp B (K 1, ρ) Induljunk ki a P B (1, ρ) = 1 kezdeti valószín ségb l. Ekkor az igényvesztés többi 1 + ρ valószín ségét meghatározhatjuk rekurzív módon. Mivel ez a sorozat ρ < 1 esetén 0-hoz tart, ezért rekurzióval biztosan található olyan K, melyre P B (K, ρ) < P, ahol P egy el re megadott korlát az igényvesztés valószín ségére. 24

25 K meghatározásához azonban a ρk (1 ρ) 1 ρ K+1 < P egyenl tlenséget kell megoldanunk, ami bonyolult feladat. Ehelyett azonban választhatunk egy közelít megoldást, melynek lényege, hogy egy M/M/1 rendszer esetén kiszámítjuk, hogy mi lesz annak a valószín sége, hogy a rendszerben legalább K igény tartózkodik, majd ennek segítségével közelítjük a szükséges értéket. vagyis Mivel P B (K, ρ) = ρk (1 ρ) 1 ρ K+1 < ρ K < P k=k ρ k (1 ρ) = ρ K, Amennyiben a fenti egyenl tlenség teljesül, igaz lesz az is, hogy P B (K, ρ) < P K érték megtalálásához logaritmizáljuk mindkét oldalt: Klnρ < lnp K > lnp lnρ Tehát tényleg találhatunk megfelel K-t a közelít módszer segítségével. 25

26 5. fejezet Sorbanállási rendszerek alkalmazásai A sorbanállási rendszereknél leggyakrabban feltett kérdések a következ k: Az id mekkora hányadában szabad a kiszolgálóhely? Mennyi a sorbanálló ügyfelek átlagos száma? Mennyi az ügyfél sorban eltöltött idejének várható értéke? Mennyi a rendszerben eltöltött átlagos id tartam? Hány új kiszolgálóhelyet kell létesíteni ahhoz, hogy az átlagos várakozási id bizonyos arányban lerövidüljön? Hogyan lehet a rendszer hatékonyságát javítani? 5.1. Egyszer bb feladatok megoldása Néhány feladaton keresztül vizsgáljuk meg, hogy a tárgyalt sorbanállási rendszerek mellett ezek a mennyiségek hogyan is számíthatóak ki. 1. feladat Egy postán egyetlen ablaknál történik az ügyintézés. Az ügyfelek Poisson-folyamat szerint érkeznek, óránként átlagosan tízen, a kiszolgálási id pedig exponenciális eloszlású 5 perc várható értékkel. a) Átlagosan hány ügyfél tartózkodik a hivatalban? b) Átlagosan mennyi id t tölt el egy ügyfél a hivatalban a várakozással és kiszolgálással együtt? 26

27 c) Átlagosan mennyi id telik várakozással? d) Ha véletlen id pontban érkezünk a postára, mennyi a valószín sége, hogy legfeljebb ketten állnak el ttünk? Megoldás Az érkezési intenzitás 10 ügyfél óránként, a kiszolgálási pedig 12 ügyfél óránként, azaz a paramétereink most λ = 10 és µ = 12. a) E(N) = λ µ λ = 10 =5, azaz átlagosan 5 ügyfél tartózkodik a postán b) E(T ) = 1 µ λ = 1 =0,5, azaz átlagosan fél órát tartózkodnak az egyes ügyfelek a postán. c) E(W )= λ 1 µ µ λ = = 5, azaz átlagosan 25 percet kell várakozással tölteniük. 12 d) P (legfeljebb ketten állnak el ttünk)=π 0 +π 1 +π 2 = 1 λ µ +(1 λ µ )λ µ +(1 λ µ )λ µ 0, feladat Tekintsük az el z feladatunkat azzal a módosítással, hogy most három ablak is nyitva van, a kiszolgálás ideje pedig 6 perc várható érték. a) Tegyük fel, hogy véletlenszer en érkezünk meg a postára. Mekkora a valószín sége, hogy sorba kell állnunk? b) Átlagosan hány ügyfél tartózkodik a hivatalban? c) Átlagosan mennyi id t tölt egy ügyfél a hivatalban? d) Átlagosan mennyi id t kell az ügyfeleknek várakozással töltenie? e) Mi történne, ha az egyik ablak bezárna? És ha két ablak zárna be? Megjegyzésként megemlítem, hogy most az M/M/n rendszer használatára van szükségünk, amelyben a a beérkezési intenzitásλ paraméter és állandó, viszont ebben az esetben n darab kiszolgálóegység áll rendelkezésre. Megoldás a) Akkor kell sorba állnunk, ha mind a három ablak foglalt. Ez akkor fordul el, ha legalább három ügyfél van a hivatalban. Ennek valószín sége: 27

28 1 (π 0 +π 1 +π 2 )=1 ( ) 0, 1411 b) Ebben az esetben nem használható az M/M/1 rendszerre levezetett formula, azonban kis módosítással már alkalmazhatóvá válik: E(N)= kπ k = kπ k = π 1 + kπ k = λ π µ 0+ k=1 [ k=2 k=2 ( 12 ) k 1= ] 6 + ( 9 12 ) k = k=2 k=1 k 9 2 [ ( λ 3µ 1 ( ) ) π 0 = ] k=2 2 1 = k 9 2 ( 12 ) k = c) A postán eltöltött átlagos id meghatározásához felhasználhatjuk a Little-formulát: E(N)=λ E(T ) E(T )= 1 λ E(N)= , 47 perc d) A várakozással eltöltött átlagos id meghatározásához ismét felhasználhatjuk a Littleformulát: E(N ω )= λ E(T ω ) E(T ω )= 1 λ E(N ω) = , 47 perc Meggyelhetjük, hogy a várakozási id, és a postán töltött összid különbsége éppen 6 perc, ami pont az átlagos kiszolgálási id, tehát jól számoltunk. e) Ha az egyik ablak bezárna, akkor a rendszer maximális teljesít képessége 2µ azaz 20 f /óra lenne,vagyis a 12 f /óra érkezési intenzitás mellett még m köd képes maradna. Ha két ablak zárna be, akkor a maximális teljesít képesség 10 f /óra lenne, ami kevesebb, mint az érkezési intenzitás, tehát a rendszer összeomlana. 3. feladat Tekintsünk egy M/M/1 típusú rendszert,és tegyük fel, hogy a beérkez igényeknek két különböz típusa lehet. A kiszolgálási id exponenciális eloszlású 5 perc várható értékkel minden ügyfél esetében. Az 1. típusú ügyfelek közül óránként 4, míg a 2. típusú ügyfelek közül óránként 5 érkezik a kiszolgálóegységbe. Tegyük fel továbbá, hogy az 1. típusú ügyfelek prioritást élveznek a 2. típusú ügyfelekkel szemben. a) Átlagosan mennyi id t töltenek az egyes ügyfelek a rendszerben, ha az 1. típusú igények abszolút prioritást élveznek a 2. típusú igényekkel szemben? b) Átlagosan mennyi id t töltenek az egyes ügyfelek a rendszerben, ha az 1. típusú igények relatív prioritást élveznek a 2. típusú igényekkel szemben? Megoldás A feladat alapján a rendszerünk paraméterei most: λ 1 =4, λ 2 =5 valamint µ=12. 28

29 a) A rendszerben tartózkodó 1. típusú ügyfelek átlagos száma: E(N 1 )= ρ 1 1 ρ 1 = 4/12 1 4/12 = 1 2 Az 1. típusú ügyfelek rendszerben töltött átlagos ideje: E(T 1 )= 1/µ 1 ρ 1 = 1 µ λ 1 = 1 =7,5 perc 12 4 A rendszerben tartózkodó 2. típusú ügyfelek átlagos száma: E(N 2 )= ρ 2 (1 ρ 1 )(1 ρ 1 ρ 2 ) = 5/12 (1 4/12)(1 4/12 5/12) = 5 2 A 2. típusú ügyfelek rendszerben töltött átlagos idejének kiszámításához használható a Little - formula: E(T 2 )= E(N 2) λ 2 = 5/2 5 = 1, azaz 30 perc. 2 b) Ebben az esetben, ha az érkez 1.típusú igény 2. típusút talál kiszolgálás közben, akkor meg kell várnia, hogy a kiszolgálás befejez djön. A rendszerben tartózkodó 1. típusú ügyfelek átlagos száma: E(N 1 )= (1+ρ 2)ρ 1 1 ρ 1 = Az 1. típusú ügyfelek rendszerben töltött átlagos ideje: E(T 1 )= E(N 1) λ 1 = 17 96, azaz 10,625 perc. A 2. típusú ügyfelek rendszerben töltött átlagos ideje: E(T 2 )= (1 ρ 1(1 ρ q ρ 2 ))/µ (1 ρ 1 )(1 ρ 1 ρ 2 ) = 1 4(1 9) (1 4)(1 9) = 11 24, azaz 27,5 perc. Szeretnék említést tenni a dolgozatban ugyan részletesen nem tárgyalt rendszerr l, nevezetesen az M/G/1 sorbanállási rendszerr l. Az M/G/1 rendszerben szintén egy kiszolgálóegység van, a beérkezési folyamat Poisson-típusú, azonban a kiszolgálási id eloszlása tetsz leges lehet [3]. A formulák levezetése nélkül nézzük meg a rendszer jellemz inek kiszámítási módját. A sorban tartózkodó igények átlagos száma: E(Q) = λ2 σ 2 + (λ/µ) 2 2 (1 λ/µ) A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma: E(N) = E(Q) + λ µ 29

30 A várakozással töltött átlagos id : E(W ) = E(Q) λ A rendszerben eltöltött átlagos id : E(T ) = E(W ) + 1 µ Ezeket a formulákat felhasználva tekintsük a következ feladatot: 4. feladat Egy M/M/1 modellel leírható sorbanállási rendszert alkotó gép esetében, a készül munkadarabok átlagosan 30 percig várakoznak a rendszerben. A gép idejének 25 százalékában nem dolgozik, mert az egyes munkadarabok megérkezésére vár. Mennyivel csökkenne a munkadarabok rendszerben töltött átlagos várakozási ideje, ha a kiszolgálási id szórását a jelenlegi érték negyedére csökkentenénk? Megoldás Tekintsük el ször a jelenlegi rendszert és számoljuk ki a szükséges paramétereket a megadott információkból! Annak valószín sége, hogy a rendszer üres: P 0 = 1 λ µ = 0, 25 A rendszerben töltött átlagos id : Továbbá: Ekkor E(T )= 1 =30 perc. µ λ E(T )= 1 µ λ = 1/µ µ/µ λ/µ = 1/µ 1 λ/µ = 1 P 0 = =1 2 óra 1/µ 0, 25 =1 2, melyb l 1 µ =1, azaz µ = 8. 8 Tehát a gépek 8 munkadarabot készítenek el óránként. Ezt az eredményt felhasználva: P 0 =1 λ µ =1 λ =0, 25 miatt λ = 6. 8 Azaz óránként 6 munkadarab érkezik a rendszerbe. Az exponenciális eloszlás tulajdonsága, hogy szórása és várható értéke megegyezik. Mivel a feladatban a kiszolgálási id nek csak a szórása csökken, ezért ez a feltétel a továbbiakban 30

31 nem teljesül, azaz a kiszolgálási id nem exponenciális eloszlású. A kiszolgálási id várható értékének és szórásának ismeretében azonban alkalmazható az /M/G/1 rendszer. Jelen esetben µ = 1 4µ = Ekkor: A várakozó igények átlagos száma A sorban eltöltött átlagos id : ( E(Q) = λ2 σ 2 + (λ/µ) ( 32) 2 (1 λ/µ) = ) (1 6) = A rendszerben töltött átlagos id : E(W ) = E(Q) λ = 153/128 6 = E(T )=E(W ) + 1 µ = = óra, azaz 19, 45 perc. Azt kaptuk tehát, hogy a rendszerben eltöltött várakozási id 10, 54 perccel csökkenne Kórházi sorok vizsgálata A sorbanállás megjelenik az egészségügyben is. A betegek számára az egészségügyi ellátás egyik igen fontos tényez je a szolgáltatás nyújtásához kapcsolódó várakozás. A várakozással töltött, elvesz id mértéke a betegnek az ellátással kapcsolatos elégedettségét jelent sen befolyásolja, és kedvez tlen esetben az ellátóról negatív kép alakulhat ki.a kiszolgálórendszer nem megfelel méretezése ugyan akkor a szolgáltató számára felesleges többletköltséget generálhat, amely tovább rontja az intézmény pénzügyi helyzetét. Miért kell sorokban várakoznunk? Tekintsünk egy kórházi várótermet, amely óránként átlagosan ötven beteget képes befogadni, de még akkor is kialakulhat várakozó sor, ha az szám óránként harmincötre csökken. A rendszer kulcsszava az átlagos. A valóságban ugyanis a páciensek véletlenszer id pontokban érkeznek, és egyesek ellátási ideje tovább tarthat, mint másoké. Más szóval az érkezési és kiszolgálási id kben változékonyság gyelhet meg. Ebb l adódik, hogy a várótermek id legesen telítetté válhatnak, és a páciensek várakozni kényszerülnek, de el fordulhat olyan eset is, amikor a váróterem üresjáratba kerül, azaz épp nincs ellátásra váró beteg. Az egészségügyi ellátást leíró sorbanállási modell megalkotásához a következ jellemz ket kell sorra vennünk, amelyek karakterizálják a rendszerünket. Figyelembe kell venni a beérkezési folyamatot, az érkezések egyediségét, a sorok jellemz it, a kiszolgálás szabályait, a kiszolgálási és távozási folyamat jellemz it. 31

32 Az egészségügyi ellátás vizsgálatakor az egyszer ség kedvéért végtelen forrású sorbanállási rendszereket tekintünk, azaz olyan modellt, amelyben a betegek száma nincs korlátozva. Így könnyebben kezelhet vé válik a sor hosszával és a rendszer kapacitásával kapcsolatos esetlegesen felmerül problémák megoldása. Minden egyes kiszolgálóegységre adott egy kapacitás, amely meghatározza, hogy hány pácienst képes ellátni az adott kiszolgálóegység.a kórházakat tehát az M/M/1/K rendszer segítségével reprezentálhatjuk. Az egyik legfontosabb jellemz a beérkez beteg száma és annak id beli eloszlása. Felmerülhet a kérdés, hogy az elméletb l ismert eloszlásokkal tudjuk-e jellemezni a kórházi ellátás beérkezési és kiszolgálási id it. A valóságban bonyolultnak t nik a helyzet, hiszen az érkezési intenzitások a nap különböz szakaszaiban eltér ek lehetnek. El fordulhatnak napszaki ingadozások, reggel általában több beteggel találkozhatunk a várótermekben, mint egy kés délutáni id pontban, ezek azonban a betegek orvoshoz fordulási szokásainak ismeretében becsülhet k. Mind az elméleti megfontolások, mind a valós adatsorokon végzett vizsgálatok([8]) azt igazolják, hogy a betegek érkezése Poisson-folyamatot követ, vagyis az adott beteg érkezési ideje nem függ az el z ekt l. A kórházi menedzsment célja, hogy az egyes napszakokra a legmegfelel bb megoldást találja esetleg elcsúsztatott munkarenddel, vagy forgalmasabb id szakokban beállított többlet személyzet segítségével. Az elemzéshez meg kell határozni azokat a beérkezési id szakokat, amelyekben a beérkezési folyamat jellemz i azonosak.így az egyes id tartamokon belül feltételezzük a beérkezési id közök exponenciális eloszlását. Els körben tegyük fel tehát, hogy az igények λ paraméter Poisson-folyamat szerint érkeznek a rendszerbe úgy, hogy minden igény prioritása azonos, kiszolgálásuk során a FIFO elv érvényesül. A kiszolgálás történjen µ paraméter Poisson-folyamat szerint, és tegyük fel, hogy egyszerre legfeljebb K igény tartózkodhat a rendszerben. Ekkor a stacionárius megoldás a következ módon írtható fel: P 0 = 1 λ/µ 1 (λ/µ) K+1 P k = P 0 ( λ µ ) k Kórházak összevonásának vizsgálata A számolások elvégzéséhez az ötletet a 2007-es norvég kórházreform szolgáltatta [11]. Tekintsünk most két kórházat λ paraméter Poisson-folyamat szerinti beérkezési és µ paraméter Poisson-folyamat szerinti kiszolgálási id kkel. 32

33 Kérdés: Mikor lenne hatékonyabb megoldás a két kórház összevonása? A két kórház összevonásával a beérkezések Poisson-folyamatának paramétere: λ 1 +λ 2, a kiszolgálás Poisson folyamatának paramétere pedig µ 1 + µ 2 és így egy M/M/2/2K rendszert kapunk. Ekkor: P 0 = K ( 2 k=1 P k = 2P 0 ( λ µ Egy M/M/m/K rendszer állapotgiagrammja: λ µ ) k ) k Számoljunk ki néhány valószín séget az egyes kórházak esetén külön-külön, majd az összevont kórházak paramétereit használva. Tekintsünk két kórházat, ahol id egység alatt átlagosan 4 beteg érkezik, azaz λ = 4. A kórházak maximális sorhossza legyen 5, és tegyük fel, hogy mindkét kórházban egy rendel üzemel. A kiszolgálás szintén Poisson-folyamat szerint történik, µ = 5 paraméterrel. El ször tekintsük a kórházakat külön-külön, ekkor az M/M/1/K jellemz i alapján kell a számításokat végezni.tehát: 33

34 1 λ/µ 1 4/5 P 0 = = = 0, (λ/µ) K+1 1 (4/5) 6 ( ) k 1 λ/µ λ P 1 = = 1 4/5 4 = 0, (λ/µ) K+1 µ 1 (4/5) 6 5 P 2 = 1 4/5 ( ) 2 4 = 0, (4/5) 6 5 P 3 = 1 4/5 ( ) 3 4 = 0, (4/5) 6 5 P 4 = 1 4/5 ( ) 4 4 = 0, (4/5) 6 5 P 5 = 1 4/5 ( ) 5 4 = 0, (4/5) 6 5 Vizsgáljuk meg az eredményeket az összevonás után. Most az M/M/2/2K rendszerrel számolunk, azaz az érkezési intenzitás λ = λ 1 + λ 2 = 8, a kiszolgálás paramétere µ = µ 1 + µ 2 = 10, továbbá a sor maximális hossza 10.Ekkor: P 0 = k=1 = 0, ( 8 ) k 10 ( ) ( ) λ 8 P 1 = 2P 0 = 2 0, = 0, µ 10 ( ) 2 8 P 2 = 2 0, = 0, ( ) 3 8 P 3 = 2 0, = 0, ( ) 4 8 P 4 = 2 0, = 0, ( ) 5 8 P 5 = 2 0, = 0, ( ) 6 8 P 6 = 2 0, = 0, ( ) 7 8 P 7 = 2 0, = 0, ( ) 8 8 P 8 = 2 0, = 0,

35 ( ) 9 8 P 9 = 2 0, = 0, ( ) 10 8 P 10 = 2 0, = 0, Little tételének segítségével felírhatjuk az átlagos várakozási id t, és a sorban tartózkodó betegek átlagos számát. A sorban tartózkodó igények száma ugyanis egyenl a beérkezési intenzitás és az átlagos várakozási id szorzatával. E(N)=λE(T ), ahol E(N) = Ez alapján külön tekintve a kórházakat: K ip i i=1 E(N) = 0, , , , , = 1, E(T ) = 1, = 0, Az összevont kórházak esetén is hasonló számolással adódik, hogy: E(N) = 0, , , , , , , , , , = 3, E(T ) = 3, = 0, A számítások során ktív adatokat használtam. Habár messzire men következtetések nem vonhatóak le a kapott eredményekb l, látható, hogy az összevont kórház esetén a várakozási id valamelyest lecsökkent, tehát ha a két kórházba azonos számú beteg érkezik naponta, akkor érdemes a két kórház helyett egy összevont kórházat m ködtetni. Hasonló meggondoláshoz vezethet az a probléma is, ha az orvosok nem külön-külön fogadják a betegeket, hanem egyetlen várakozó sor kerül kialakításra. Azaz, ha nem kellene szakorvoshoz bejelentkezni, bizonyos mértékben csökkenhetne a várakozási id a kórházakban. 35

36 Mi is az igazság? A szakdolgozatom célja az volt, hogy betekintést nyújtson a sorbanállás matematikai hátterébe. Láthattuk, hogy a különféle rendszerek jól leírhatóak a valószín ségszámítás eszközeivel. Felmerülhet azonban a kérdés, hogy a valóságban mennyire alkalmazhatóak a kapott eredmények. A sorbanállást mindenki gy löli, de senki sem úszhatja meg. Ejtsünk néhány szót a mindennapokban leggyakrabban el forduló jelenségr l, a pénztáraknál való sorbanállásról. A pénztárakhoz véletlenszer en érkeznek a vev k és ott szintén nem pontosan meghatározott id t töltenek. Ez függ a vásárolt áruk jellegét l és mennyiségét l, a kért számlától, a zetési módtól, és jelent sen befolyásolhatja egy leesett vonalkód vagy a nyilvántartási rendszer pontossága. A probléma kézenfekv : az egyes napszakokban hány pénztárt kell nyitva tartanunk ahhoz, hogy a kialakuló várakozási sorok elfogadható méret ek legyenek. A kiszolgálás gyorsítására adódik még egy lehet ség, az úgynevezett expressz sorok bevezetése. Ez azt jelenti, hogy a kevesebb tételt vásárlók számára külön pénztárakat jelölünk ki, itt a kiszolgálás várhatóan gyorsabban zajlik. Kérdés, hogy legyenek-e ilyen pénztárak, ha igen akkor hány. Amint látható, a zikai probléma jól megfogalmazható, de megoldása sok véletlen tényez t l függ. Több matematikus is foglalkozott a problémával,s legideálisabb megoldásnak az úgynevezett amerikai sort találták ([9],[10]). Itt a vev k nem több külön sorba állnak be, hanem egyetlen hosszúba - ahonnan szétosztják ket a soron következ szabad pénztárhoz. Ez a rendszer már Németországban is megszokott a reptereken, pályaudvarokon és postákon. A várakozási id igazságosabb elosztásához vezet a vev k között. Még ha az amerikai sor hosszabbnak is t nik és pár embert elriaszt: általában mégis gyorsabban halad. Ezzel a rendszerrel nem fordulhat el, hogy az egyik áruházi dolgozó az egyik kasszánál unatkozik, míg a következ nél hárman várják, hogy az elöl álló vev kihalássza a pénz a pénztárcájából. Összességében igazságosabb a kiszolgálás és kevesebb az elpazarolt munkaid. Alexander Herzog német matematikus szerint az áruházi sorok két szempontból is bosszantóak. El ször is érdekes a kérdés, hogyan állhatunk a legintelligensebben sorba. A nem túl kielégít válasza: két 36

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS. Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára

EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS. Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára EGÉSZTESTSZÁMLÁLÁS Mérésleírás Nukleáris környezetvédelem gyakorlat környezetmérnök hallgatók számára Zagyvai Péter - Osváth Szabolcs Bódizs Dénes BME NTI, 2008 1. Bevezetés Az izotópok stabilak vagy radioaktívak

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

A készletezés Készlet: készletezés Indok Készlettípusok az igény teljesítés viszony szerint

A készletezés Készlet: készletezés Indok Készlettípusok az igény teljesítés viszony szerint A készletezés Készlet: Olyan anyagi javak, amelyeket egy szervezet (termelő, vagy szolgáltatóvállalat, kereskedő, stb.) azért halmoz fel, hogy a jövőben alkalmas időpontban felhasználjon A készletezés

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI

15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI 15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI Alapadatok Egymást szög alatt metsző tengelyeknél a hajtást kúpkerékpárral valósítjuk meg (15.1 ábra). A gördülő felületek kúpok, ezeken van kiképezve a kerék fogazata.

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

Ipari robotok megfogó szerkezetei

Ipari robotok megfogó szerkezetei ROBOTTECHNIKA Ipari robotok megfogó szerkezetei 7. előad adás Dr. Pintér József Tananyag vázlatav 1. Effektor fogalma 2. Megfogó szerkezetek csoportosítása 3. Mechanikus megfogó szerkezetek kialakítása

Részletesebben

Novák Nándor. Készletezés. A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai

Novák Nándor. Készletezés. A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai Novák Nándor Készletezés A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai A követelménymodul száma: 0391-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja: SzT-005-50 KÉSZLETEZÉS

Részletesebben

MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1

MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 GYÖRGYI ZOLTÁN MUNKAERŐ-PIACI ESÉLYEK, MUNKAERŐ-PIACI STRATÉGIÁK 1 Bevezetés Átfogó statisztikai adatok nem csak azt jelzik, hogy a diplomával rendelkezők viszonylag könynyen el tudnak helyezkedni, s jövedelmük

Részletesebben

Bóra Eszter. Véletlen gráfok és társadalmi hálózatok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet : Backhausz Ágnes

Bóra Eszter. Véletlen gráfok és társadalmi hálózatok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet : Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bóra Eszter Véletlen gráfok és társadalmi hálózatok BSc Szakdolgozat Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Backhausz Ágnes Valószín

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Kúpfogaskerék lefejtése léc-típusú szerszámmal

Kúpfogaskerék lefejtése léc-típusú szerszámmal Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Műszaki és Humántudományok Kar Marosvásárhely Gépészmérnöki Tanszék Kúpfogaskerék lefejtése léc-típusú szerszámmal Sipos Bence, Sapientia EMTE, Marosvásárhely Műszaki

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték

Részletesebben

Munkaerő-piaci diszkrimináció

Munkaerő-piaci diszkrimináció Központi Statisztikai Hivatal Internetes kiadvány www.ksh.hu 2010. október ISBN 978-963-235-295-4 Munkaerő-piaci diszkrimináció Tartalom Bevezető...2 A diszkrimináció megtapasztalása nem, kor, iskolai

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek

Részletesebben

A TÖMEGKÖZLEKEDÉSI KÖZSZOLGÁLTATÁS SZOLGÁLTATÓ JELLEGÉNEK MEGALAPOZÁSA: MEGÁLLÓHELY ELLÁTOTTSÁG BUDAPESTEN. Összefoglaló

A TÖMEGKÖZLEKEDÉSI KÖZSZOLGÁLTATÁS SZOLGÁLTATÓ JELLEGÉNEK MEGALAPOZÁSA: MEGÁLLÓHELY ELLÁTOTTSÁG BUDAPESTEN. Összefoglaló RUZSÁNYI TIVADAR A TÖMEGKÖZLEKEDÉSI KÖZSZOLGÁLTATÁS SZOLGÁLTATÓ JELLEGÉNEK MEGALAPOZÁSA: MEGÁLLÓHELY ELLÁTOTTSÁG BUDAPESTEN Összefoglaló A tanulmányban a tömegközlekedés igénybevételének alapvető feltételét,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Seite 1. Térfogatalakító eljárások. Zömítés. Térfogatalakító eljárások. Prof. Dr. Tisza Miklós Miskolci Egyetem

Seite 1. Térfogatalakító eljárások. Zömítés. Térfogatalakító eljárások. Prof. Dr. Tisza Miklós Miskolci Egyetem 10. előad adás Térfogatalakító eljárások Prof. Dr. Tisza Miklós 1 Térfogatalakító eljárások A térfogatalakító eljárások definíciója olyan képlékenyalakító eljárások, amelyeknél» az alakváltozó zóna egy

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

AllBestBid. Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához. 2016. március DFL Systems Kft.

AllBestBid. Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához. 2016. március DFL Systems Kft. AllBestBid Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához 2016. március DFL Systems Kft. Tartalomjegyzék Általános leírás... 2. oldal Regisztráció... 2. oldal Saját árlejtések...

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

MŰSZAKI ISMERETEK. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010

MŰSZAKI ISMERETEK. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 MŰSZAKI ISMERETEK Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 Az előadás áttekintése Méret meghatározás Alaki jellemzők Felületmérés Tömeg, térfogat, sűrűség meghatározása

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez.

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez. 1. A transzformátor működési elve, felépítése, helyettesítő kapcsolása (működési elv, indukált feszültség, áttétel, felépítés, vasmag, tekercsek, helyettesítő kapcsolás és származtatása) (1. és 2. kérdéshez

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

Sztochasztikus rákos folyamatok

Sztochasztikus rákos folyamatok Sztochasztikus rákos folyamatok A rákos sejtek szaporodásáról egyre többet tudunk, de nem eleget. A kóros betegségben szenvedők sejtjei szüntelenül harcban állnak egymással, mint azok az azonos fajhoz

Részletesebben

Találatgaranciás Lottóvariációk gy jteménye

Találatgaranciás Lottóvariációk gy jteménye Szerencsetippek Sorozat Találatgaranciás Lottóvariációk gy jteménye 352 Találatgaranciás Ötöslottó kulcs 0-1 fixes játékokhoz 10-492 n 384 Találatgaranciás Hatoslottó kulcs 0-2 fixes játékokhoz 10-496

Részletesebben

Ingatlanvagyon értékelés

Ingatlanvagyon értékelés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 4. A vagyon elemzése Szerzı: Harnos László

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE

AZ ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE UDPESTI MŰSZKI ÉS GZDSÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTÉSZMÉRNÖKI KR ÉPÍTÉSKIVITELEZÉSI és SZERVEZÉSI TNSZÉK dr. Neszmélyi László Z ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE - 2015. - Tartalom 1. EVEZETÉS... 4 2. Z ÉPÍTÉSEN

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

RAKTÁROZÁSI ÉS KISZOLGÁLÁSI PROBLÉMÁK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE

RAKTÁROZÁSI ÉS KISZOLGÁLÁSI PROBLÉMÁK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE RAKTÁROZÁSI ÉS KISZOLGÁLÁSI PROBLÉMÁK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE Jegyzet Készítette: Sztrik János Debreceni Egyetem Informatikai Kar Debrecen, 2004. Lektorálta: Dr. Fazekas Gábor egyetemi docens Tartalomjegyzék.

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Az esélyegyenlıtlenséget kiváltó okok és a hátrányos megkülönböztetés elleni fellépés a munka világában

Az esélyegyenlıtlenséget kiváltó okok és a hátrányos megkülönböztetés elleni fellépés a munka világában Az esélyegyenlıtlenséget kiváltó okok és a hátrányos megkülönböztetés elleni fellépés a munka világában Tanulmány az FSZH részére Budapest, 2010. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET. 2013/14. 1.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET. 2013/14. 1. BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK M1 TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET 013/14. 1. félév 1. Elméleti összefoglaló A folyadékáramlásban lévő,

Részletesebben

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I.

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I. KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I. 4 MECHANIKA IV. FOLYADÉkOk ÉS GÁZOk MeCHANIkÁJA 1. BeVeZeTÉS A merev testek után olyan anyagok mechanikájával foglalkozunk, amelyek alakjukat szabadon változtatják.

Részletesebben

Mercs Erika. Matematikai módszerek a navigációban

Mercs Erika. Matematikai módszerek a navigációban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Mercs Erika Matematikai módszerek a navigációban BSc diploma Témavezet : Bérczi Kristóf Operációkutatási Tanszék Budapest, 213 Köszönetnyilvánítás Szeretnék

Részletesebben

Diplomamunka. Koczka László

Diplomamunka. Koczka László Diplomamunka Koczka László Debrecen 010 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Közgazdasági Modellek Számítógépes Szimulációja Témavezető: Dr. Földvári Péter Egyetemi adjunktus Készítette: Koczka László Gazdaságinformatikus

Részletesebben

Újdonságok. Release 2

Újdonságok. Release 2 ARCHLine.XP 2009 Windows Újdonságok Release 2 A dokumentációban levı anyag változásának jogát a CadLine Kft fenntartja, ennek bejelentésére kötelezettséget nem vállal. A szoftver, ami tartalmazza az ebben

Részletesebben

KULCS_GÉPELEMEKBŐL III.

KULCS_GÉPELEMEKBŐL III. KULCS_GÉPELEMEKBŐL III. 1.Tűréseknek nevezzük: 2 a) az anyagkiválasztás és a megmunkálási eljárások előírásait b) a gépelemek nagyságának és alakjának előírásai c) a megengedett eltéréseket az adott mérettől

Részletesebben

6. RADIOAKTIVITÁS ÉS GEOTERMIKA

6. RADIOAKTIVITÁS ÉS GEOTERMIKA 6. RADIOAKTIVITÁS ÉS GEOTERMIKA Radioaktivitás A tapasztalat szerint a természetben előforduló néhány elem bizonyos izotópjai nem stabilak, hanem minden külső beavatkozástól mentesen radioaktív sugárzás

Részletesebben

Időtervek: III./1.Hálóterv (CPM) szerkesztése

Időtervek: III./1.Hálóterv (CPM) szerkesztése Faicsiné Adorján Edit Időtervek: III./1.Hálóterv (CPM) szerkesztése A követelménymodul megnevezése: Építőipari kivitelezés tervezése A követelménymodul száma: 0688-06 A tartalomelem azonosító száma és

Részletesebben

A közlegelı problémájának dinamikája Lotka - Volterra egyenletek felhasználásával

A közlegelı problémájának dinamikája Lotka - Volterra egyenletek felhasználásával A közlegelı poblémájának dinamikája Lotka - Voltea egyenletek felhasználásával Bessenyei István Pécsi Tudományegyetem, Közgazdaságtudományi Ka A gazdaság világszete és különösen hazánkban tapasztalható

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

(Kötelezően közzéteendő jogi aktusok)

(Kötelezően közzéteendő jogi aktusok) 2004.11.20. L 345/1 I (Kötelezően közzéteendő jogi aktusok) A BIZOTTSÁG 1973/2004/EK RENDELETE (2004. október 29.) az 1782/2003/EK tanácsi rendelet IV. és IVa. címeiben meghatározott támogatási rendszereket,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

ESETTANULMÁNY II. A nagyváros és környéke területpolitikai sajátosságai a kistérségi rendszer működése szempontjából. című kutatás

ESETTANULMÁNY II. A nagyváros és környéke területpolitikai sajátosságai a kistérségi rendszer működése szempontjából. című kutatás ESETTANULMÁNY II. A nagyváros és környéke területpolitikai sajátosságai a kistérségi rendszer működése szempontjából című kutatás A program vezetője: Kovács Róbert A kutatás vezetője: Zsugyel János Készítette:

Részletesebben

ZALAEGERSZEG VÁROS LEVEGİTERHELTSÉGI SZINTJÉNEK CSÖKKENTÉSÉT SZOLGÁLÓ. Szombathely, 2013.

ZALAEGERSZEG VÁROS LEVEGİTERHELTSÉGI SZINTJÉNEK CSÖKKENTÉSÉT SZOLGÁLÓ. Szombathely, 2013. ZALAEGERSZEG VÁROS LEVEGİTERHELTSÉGI SZINTJÉNEK CSÖKKENTÉSÉT SZOLGÁLÓ LEVEGİMINİSÉGI TERV Szombathely, 2013. Tel.: (94) 506 700 Fax: (94) 313 283 E-mail: nyugatdunantuli@zoldhatosag.hu Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

ASPEKTUS ÉS ESEMÉNYSZERKEZET A MAGYARBAN

ASPEKTUS ÉS ESEMÉNYSZERKEZET A MAGYARBAN ASPEKTUS ÉS ESEMÉNYSZERKEZET A MAGYARBAN OHNMACHT MAGDOLNA 1. Bevezetés Célom elkülöníteni az aspektust az eseményszerkezett l, valamint megadni egy eseményszerkezeti osztályozást a magyarra vonatkozóan,

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 264-287. o. Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Szakálné Kanó Izabella 1 A lokális térségek

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET KUTATÁSI JELENTÉSEI 51.

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET KUTATÁSI JELENTÉSEI 51. KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET KUTATÁSI JELENTÉSEI 51. KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL NÉPESSÉGTUDOMÁNYI KUTATÓ INTÉZET Igazgató: Dr. Miltényi Károly ISSN 0236-736-X írta:

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

Salgótarján Megyei Jogú Város Polgármesteri Hivatal Szociális és Egészségügyi Iroda Ikt. szám: 28.424/2010.

Salgótarján Megyei Jogú Város Polgármesteri Hivatal Szociális és Egészségügyi Iroda Ikt. szám: 28.424/2010. 1 Salgótarján Megyei Jogú Város Polgármesteri Hivatal Szociális és Egészségügyi Iroda Ikt. szám: 28.424/2010. T á j é k o z t a t ó Salgótarján Megyei Jogú Város Önkormányzata gyermekjóléti és gyermekvédelmi

Részletesebben