P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )"

Átírás

1 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével a láncszabály szerint: P (A 1 A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A n 1 ). Eseményeknek egy B 1, B 2,... A véges vagy megszámlálhatóan végtelen gy jteményét teljes eseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizáróak, uniójuk az Ω alaphalmaz és a B i események valószín sége pozitív. A B 1, B 2,... felbontás az Ω eseménytér partíciója pozitív mérték halmazokra. Legyen A A tetsz leges esemény. Ekkor érvényesek az alábbi összefüggések: Teljes valószínűség tétele: P (A) = i P (A B i )P (B i ) Bayes-formula: Bayes-tétel: P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) i P (A B i)p (B i ) Feladatok 1. A tapasztalatok szerint a légi szúnyogpermetezések után az életbenmaradott vérszívok ellenállása n a vegyszerrel szemben. Ez azt jelenti, hogy míg az els permetezés során a szúnyogok 80 százaléka elpusztul, addig a második és a harmadik permetezés már csak 60 illetve 40 százalékukat öli meg. Mekkora valószín séggel éli túl egy szúnyog mindhárom permetezést? Mekkora valószín séggel éli túl egy szúnyog a második és a harmadik permetezést, ha az els t átvészelte? 2. Valamely alkatrész gyártásával egy üzemben négy gép foglalkozik. Az els gép naponta 200 alkatrészt gyárt, a második 320-at, a harmadik 270-et, a negyedik 210-et. Az egyes gépeknél a selejtgyártás valószín sége rendre 2%, 5%, 3% és 1%. A kész alkatrészeket egy helyen gy jtik. A gépek napi termeléséb l kiveszünk egy alkatrészt és megvizsgáljuk. a. Mekkora valószín séggel selejtes az alkatrész? Mekkora valószín séggel nem selejtes? b. A vizsgálat során kiderül, hogy az alkatrész selejtes. Mennyi annak a valószín sége, hogy a negyedik gép gyártotta? c. Milyen választ adhatunk a b. pont kérdésére, ha az alkatrész nem selejtes? d. Mekkora valószín séggel származik az alkatrész a harmadik vagy a negyedik gépr l, ha selejtes? 1

2 3. Egy bizonyos fajta búzavet mag összetételének vizsgálatakor megállapították, hogy négyféle magot tartalmaz, mégpedig 50%-a az I-es fajtából, 30%-a a II-esb l, 15%-a a III-asból és 5%-a a IV-esb l tev dik össze. Annak valószín sége, hogy egy I-es típusú magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász fejl dik 0.2. Ugyanez a valószín ség a többi fajtánál rendre 0.5, 0.4 és a. Mekkora valószín séggel fejl dik egy véletlenszer en kiválasztott magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász? b. Feltéve, hogy a magot elvetve a kalász 50 szemnél kevesebbet tartalmazott, milyen valószín séggel tartozik az egyes típusokba? 4. Egy üzemben kétféle technológiával gyártanak egy termékfajtát. Egyrészt hagyományos módon, az így készült termékek 60%-a I. osztályú, 40%-a II. osztályú. Másrészt automata gépsoron, így 90% I. osztályú, 10% II. osztályú. A termékek fele készül az egyes technológiákkal. a. Mennyi a valószín sége, hogy egy találomra kiválasztott termék az automata gépsoron készült, ha II. osztályú min sítést kapott? b. Mekkora valószín séggel választunk I. osztályú terméket? 5. Egy gyárban a termékek 90%-a felel meg a súlyszabványnak. A súlyszabványnak megfelel gyártmányok 80%-a megy át az alakpróbán, a súlyszabványnak nem megfelel termékek 75%-a bukik meg az alakpróbán. a. A termékek mekkora hányada felel meg mindkét szabványnak? Mekkora hányad megy át az alakpróbán és bukik meg a súlypróbán? b. Véletlenszer en kiválasztva egy gyártmányt mekkora valószín séggel bukik meg az alakpróbán? c. Ha a kiválasztott termék átmegy az alakpróbán, akkor mekkora valószín séggel felel meg a súlyszabványnak? 6. Ismertek a következ valószín ségek: P (A B) = 0.7, P (A B) = 0.3 és P (B A) = 0.6. Mivel egyenl P (A)? 7. Két játékos, Péter és Pál, a következ játékot játsza. Péter feldob egy kockát, aztán annyi érmét, amennyi a kockával dobott érték. Ha a kapott fejek száma legalább 2, akkor Péter nyer, egyébként Pál. Kinek kedvez ez a játék? 8. Adott egy kocka 4 piros és 2 zöld lappal, valamint egy tetraéder 3 zöld és 1 piros lappal. Feldobunk egy szabályos érmét. Ha az eredmény fej, akkor a kockát, egyébként a tetraédert dobjuk fel háromszor. a. Mekkora valószín séggel kapunk a harmadik dobásra piros színt? b. Feltéve, hogy az els két dobás eredménye piros, mekkora valószín séggel kapjuk harmadik dobásra is a piros színt? c. Mennyi annak a valószín sége, hogy mindhárom dobás piros? d. Milyen érmét dobjunk fel, ha azt szeretnénk, hogy a három piros dobás valószín sége egyenl legyen a három zöld dobás valószín ségével? 2

3 9. Két urnában piros és zöld golyók vannak. Az els ben 5 piros és 4 zöld, a másikban 7 piros és 3 zöld. a. Találomra kiválasztunk egy-egy golyót a két urnából, és kicseréljük ket. Ezután kiveszünk egy újabb golyót az els urnából. Mekkora valószín séggel lesz ez piros? b. Találomra kiválasztunk egy golyót az els urnából, és áttesszük a másodikba. Ezután kihúzunk egy golyót a másodikból, és belerakjuk az els be. Végül kiveszünk egy golyót az els urnából? Mekkora valószín séggel lesz ez piros? 10. Feldobok 6 szabályos pénzérmét. Ezután feldobok annyi pénzérmét, ahány fejet kaptam az els dobás során. Végül feldobok annyi pénzérmét, ahány fejet kaptam a második dobás során. Mekkora valószín séggel kapok a harmadik dobás során pontosan k fejet? 11.a. A 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel kihúzunk három lapot. Mekkora valószín séggel lesz mindhárom lap piros? Mekkora valószín séggel lesz a harmadik lap piros, ha az els két lap piros volt? Mekkora valószín séggel lesz a harmadik lap piros? b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezésre. 12. Adott egy dobókocka és egy dobótetraéder, melyek lapjai 1-t l 6-ig illetve 1-t l 4-ig vannak számozva. Azt játszom, hogy valamelyik testet feldobva ha a kapott érték osztható 3-mal, akkor a következ dobást is ezzel a testtel végzem el, egyébként a másikkal folytatom a játékot. Legel ször a kockát dobom fel. Mekkora valószín séggel végzem a második és a harmadik dobást a tetraéderrel, majd a negyediket a kockával? Mekkora valószín séggel végzem a negyedik dobást a kockával, ha a második és a harmadik dobásról nincs információm? 13.* Adott egy végtelen térfogatú üres urna és megszámlálhatóan végtelen sok golyó az 1, 2,... értékekkel megszámozva. Éjfél el tt egy perccel fogjuk az 1, 2,..., 10 számú golyókat, behelyezzük ket az urnába, majd véletlenszer en kihúzunk egyet. Éjfél el tt fél perccel fogjuk a 11, 12,..., 20 számú golyókat, behelyezzük ket az urnába, majd véletlenszer en kihúzunk egyet. Minden egyes pozitív egész n-re éjfél el tt 2 n perccel fogjuk a 10n + 1, 10n + 2,..., 10n + 10 számú golyókat, behelyezzük ket, majd kihúzunk egyet. Ezt így folytatjuk éjfélig. Mutassuk meg, hogy éjfélkor az urna egy valószín séggel üres. 14.* Egy vadász 30 méter távolságban felfedez egy rókát, és rál. Ha a róka életben marad, akkor elkezd 10 m/s sebességgel menekülni az ellenkez irányba. A vadász 3 másodperc alatt tölti meg a fegyverét, és ezután újra l, egészen addig, míg meg nem öli a rókát, vagy az el nem t nik a látóhatáron. Annak valószín sége, hogy eltalálja az x 30 méter távolságra lév rókát 675x 2. Ha találat éri is a rókát, az nem biztos, hogy végzetes: a róka egymástól függetlenül 1/4 valószín séggel túléli a találatokat. Mekkora valószín séggel ússza meg a róka a kalandot? Útmutatások 2. A kísérlet során kiválasztunk egy alkatrész, és megvizsgáljuk. A kísérlet kimenetelei az adott napon gyártott alkatrészek, és feltehet, hogy mindegyik alkatrészt ugyanakkora 3

4 valószín séggel választjuk ki. A kiválasztott alkatrész lehet selejtes vagy nem selejtes, és mindezt természetesen befolyásolja, hogy melyik gépen készült. Tehát érdemes bevezetni az alábbi eseményeket: A = {a kiválasztott alkatrész selejtes}, B i = {a kiválasztott alkatrész az i. gépen készült}, i = 1, 2, 3, 4. Ezek valóban események, hiszen klasszikus valószín ségi mez esetén az eseménytér minden részhalmaza esemény. Ekkor Ā az az esemény, hogy a kiválasztott alkatrész nem selejtes. Minden alkatrész a négy gép valamelyikér l származik, ezért B i = Ω. Természetesen nincs olyan alkatrész, mely több gépr l is származna, így a B i események kizáróak. A feladat adatai szerint a gyárban naponta átlagosan = 1000 alkatrészt gyártanak, amib l P (B 1 ) = 0.2, P (B 2 ) = 0.32, P (B 3 ) = 0.27, P (B 4 ) = Tehát a B 1, B 2, B 3, B 4 események teljes eseményrendszert alkotnak. Emellett P (A B 1 ) = 0.02, P (A B 2 ) = 0.05, P (A B 3 ) = 0.03, P (A B 4 ) = 0.01, vagyis P (Ā B 1) = 0.98, P (Ā B 2) = 0.095, P (Ā B 3) = 0.97, P (Ā B 4) = a. A teljes valószín ség tétele szerint P (A) = i P (A B i )P (B i ) = = , amib l P (Ā) = 1 P (A) = b. Eredetileg összes alkatrész 21%-a készül a negyedik gépen. De most nekünk van egy olyan háttérinformációnk, mely szerint a vizsgált alkatrész selejtes. Tehát a feladat a P (B 4 A) feltételes valószín ségre kíváncsi. A Bayes-formula alkalmazásával P (B 4 A) = P (A B 4)P (B 4 ) P (A) = = Tehát egy selejtes alkatrész meglep en kis valószín séggel származik a negyedik gépr l. Ennek az az oka, hogy a negyedik gép kis selejtaránnyal dolgozik, a hibás alkatrészeket jellemz en a másik három termeli. c. Természetesen most a P (B 4 Ā) valószín séget kell meghatároznunk. Vonzó gondolat azt mondani, hogy P (B 4 Ā) = 1 P (B 4 A), de ez így nem helyes, ilyen összefüggés nem létezik. Helyette ismét be kell vetni a Bayes-formulát: P (B 4 Ā) = P (Ā B 4)P (B 4 ) P (Ā) = = d. Mivel B 3 és B 4 kizáró, ezért a feltételes valószín ség additivitása miatt P (B 3 B 4 A) = P (B 3 A) + P (B 4 A). Ezek már a b. pont szerint számolhatóak. 13. Jelölje A i azt az eseményt, hogy valaha kihúzzuk az i-dik golyót, és legyen A i (k) az az eseményt, hogy a golyót kiválasztjuk az els k körben. A láncszabály segítségével határozzuk meg A i (k) valószín ségét, és mutassuk meg, hogy 1/P (A i (k)), ha k tart 4

5 a végtelenbe. Ebb l A i = k A i (k) valószín sége már számolható, és az i A i esemény valószín sége is könnyen megkapható. 14. Legyen A k az az esemény, hogy a róka túléli az els k lövést. Ennek valószín sége a láncszabály szerint felírható, és a Stirling-formula használatával jól közelíthet. Ezek után azon esemény valószín sége, hogy a róka az összes lövést túléli már könnyen jön. 5

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz

Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz Gyakorló feladatok a Valószín ségszámítás kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószín sége, hogy a. két azonos számot dobunk; b. két különböz

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár Budapest,

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I.

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I. KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I. 4 MECHANIKA IV. FOLYADÉkOk ÉS GÁZOk MeCHANIkÁJA 1. BeVeZeTÉS A merev testek után olyan anyagok mechanikájával foglalkozunk, amelyek alakjukat szabadon változtatják.

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

HAZAI TÜKÖR. Állattenyésztés korszerűen. Egy agrármérnök tapasztalataiból

HAZAI TÜKÖR. Állattenyésztés korszerűen. Egy agrármérnök tapasztalataiból HAZAI TÜKÖR Állattenyésztés korszerűen Egy agrármérnök tapasztalataiból Az állati eredetű termékek iránt egyre növekvő keresletnek úgy lehet eleget tenni, ha a haszonállatok létszámemelésével párhuzamosan

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

Nemzetközi közgazdaságtan

Nemzetközi közgazdaságtan Budapesti Corvinus Egyetem 2011. őszi félév, 7. hét 1. feladat - Kis nyitott gazdaság, prohibitív vám Tételezzük fel, hogy egy adott országban az X termék iránti keresletet és kínálatot az alábbi összefüggésekkel

Részletesebben

ACCHITTOCCA Virginio Gigli, Flaminia Brasini, Stefano Luperto, Antonio Tinto A KIRÁLYOK VÖLGYÉBEN. 2-4 játékos számára 12 éves kortól Kb.

ACCHITTOCCA Virginio Gigli, Flaminia Brasini, Stefano Luperto, Antonio Tinto A KIRÁLYOK VÖLGYÉBEN. 2-4 játékos számára 12 éves kortól Kb. ACCHITTOCCA Virginio Gigli, Flaminia Brasini, Stefano Luperto, Antonio Tinto A KIRÁLYOK VÖLGYÉBEN 2-4 játékos számára 12 éves kortól Kb. 90 perc A játék elemei: 1 nagy játéktábla 4 játékostábla 32 hajó

Részletesebben

A helyi közösségi közlekedés hálózati és menetrendi felülvizsgálata és fejlesztése Pécsett. Megbízó: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzata

A helyi közösségi közlekedés hálózati és menetrendi felülvizsgálata és fejlesztése Pécsett. Megbízó: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzata Megbízó: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzata A helyi közösségi közlekedés hálózati és menetrendi felülvizsgálata és fejlesztése Pécsett Megvalósíthatósági tanulmány 2010. augusztus Megbízó: Pécs Megyei

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16

Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16 Példák Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett

Részletesebben

VÉDJEGYHASZNÁLATI KÉRELEM NYILATKOZAT

VÉDJEGYHASZNÁLATI KÉRELEM NYILATKOZAT 3. számú melléklet VÉDJEGYHASZNÁLATI KÉRELEM NYILATKOZAT Jelen nyilatkozat alapján a Bükki Nemzeti Park Igazgatóság (székhely: 3304 Eger, Sánc u. 6.) mint védjegyjogosult Bükki nemzeti parki termék elnevezésű

Részletesebben

A pénztartozás szabályai. A pénztartozás fogalma, jogi természete A kamat A pénztartozás késedelmes teljesítésének következményei

A pénztartozás szabályai. A pénztartozás fogalma, jogi természete A kamat A pénztartozás késedelmes teljesítésének következményei A pénztartozás szabályai A pénztartozás fogalma, jogi természete A kamat A pénztartozás késedelmes teljesítésének következményei A pénztartozás fogalmáról a pénztartozás tana igen nagy részben a pénzfélék

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

A KÖRNYEZETVÉDELMI AUDITÁLÁS GYAKORLATA

A KÖRNYEZETVÉDELMI AUDITÁLÁS GYAKORLATA A KÖRNYEZETVÉDELMI AUDITÁLÁS GYAKORLATA Dr. Kovács Endre BEVEZETÉS A környezetvédelmi auditálás rendszeresen végzett, szisztematikus felépítésű, transzparens, dokumentált és objektív értékelést biztosító

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Állagvédelmi ellenőrzés

Állagvédelmi ellenőrzés Illusztráció Dalton törvényéhez a doboz jobb és baloldalán az össznyomások azonosak, de a résznyomások különbözőek, ezért a piros gáz az áteresztő válaszfalon át balról jobbra, a kék jobbról balra áramlik,

Részletesebben

Foglalkoztatási és Szociális Hivatal Mobilitás Országos Ifjúsági Szolgálat Közép-magyarországi Regionális Ifjúsági Szolgáltató Iroda

Foglalkoztatási és Szociális Hivatal Mobilitás Országos Ifjúsági Szolgálat Közép-magyarországi Regionális Ifjúsági Szolgáltató Iroda Foglalkoztatási és Szociális Hivatal Mobilitás Országos Ifjúsági Szolgálat Közép-magyarországi Regionális Ifjúsági Szolgáltató Iroda A kiadvány megjelenését támogatta: Tartalomjegyzék Bevezetés...5 Az

Részletesebben

Használati útmutató analóg karórához Cal. 1N00, Cal. VJ32, Cal. VJ33 Cal. VX3K, Cal. VX32, Cal. VX42, Cal. VX50, Cal. VX51, Cal.

Használati útmutató analóg karórához Cal. 1N00, Cal. VJ32, Cal. VJ33 Cal. VX3K, Cal. VX32, Cal. VX42, Cal. VX50, Cal. VX51, Cal. Használati útmutató analóg karórához Cal. 1N00, Cal. VJ32, Cal. VJ33 Cal. VX3K, Cal. VX32, Cal. VX42, Cal. VX50, Cal. VX51, Cal. VX82 - M 2 6 Y Ön mostantól egy PULSAR analóg, kvarc-szerkezetű karóra boldog

Részletesebben

ASPEKTUS ÉS ESEMÉNYSZERKEZET A MAGYARBAN

ASPEKTUS ÉS ESEMÉNYSZERKEZET A MAGYARBAN ASPEKTUS ÉS ESEMÉNYSZERKEZET A MAGYARBAN OHNMACHT MAGDOLNA 1. Bevezetés Célom elkülöníteni az aspektust az eseményszerkezett l, valamint megadni egy eseményszerkezeti osztályozást a magyarra vonatkozóan,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 5. A közbeszerzési eljárás főbb eljárási cselekményei. 6. Eljárási időkedvezmények a közbeszerzési törvényben

Tartalomjegyzék. 5. A közbeszerzési eljárás főbb eljárási cselekményei. 6. Eljárási időkedvezmények a közbeszerzési törvényben Magyar Terület- és Regionális Fejlesztési Hivatal Regionális Fejlesztés Operatív Program Irányító Hatósága INFORMÁCIÓS CSOMAG a Strukturális Alapokból és a Kohéziós Alapból származó támogatásokat felhasználó

Részletesebben

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra...

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra... iskola sorszáma Ki válaszol a kérdőívre? 1 igazgató, aki nem tankönyvfelelős 2 igazgató, aki tankönyvfelelős is 3 tankönyvfelelős, aki pedagógus 4 tankönyvfelelős, aki nem pedagógus Tankönyv-választás

Részletesebben

Mesterséges intelligencia feladatsor

Mesterséges intelligencia feladatsor Mesterséges intelligencia feladatsor kétszemélyes játékokhoz Jeszenszky Péter 2008. április 7. 1. Nem választható játékok 1.1. Feladat Nim. Beilleszteni a játék pontos leírását. 1.2. Feladat Tic-tac-toe.

Részletesebben

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról Az Országgyűlés - figyelemmel az államháztartás feladatainak ellátásához szükséges állandó, nem konjunktúraérzékeny és értékálló bevétel biztosítására,

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

EMLÉKEZTETŐ. Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem)

EMLÉKEZTETŐ. Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem) EMLÉKEZTETŐ Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem) Napirend előtt Fazekas Károly helyett Kertesi Gábor vezeti a kerekasztal ülését. Köszönti a kerekasztal tagjait

Részletesebben

Mennyire nyitott az emberi agy?

Mennyire nyitott az emberi agy? Székely György Mennyire nyitott az emberi agy? A reneszánsz tudósainak munkái nyomán egyre élénkebbé vált az érdeklődés a koponyában lévő kocsonyás anyag iránt, melynek csábító ismeretlenségében zajlanak

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

Felkészülés a napraforgó betegségek elleni védelmére

Felkészülés a napraforgó betegségek elleni védelmére Felkészülés a napraforgó betegségek elleni védelmére Dr. Békési Pál ny. osztályvezető Szentendre Kissé talán meglepő, hogy ilyen korán, már a márciusi számban a napraforgó-betegségek elleni védelemre irányítjuk

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 10. MODUL: ÁTLAGOS? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Mez gazdasági er forrásaink hatékonyságának alakulása és javítási lehet ségei (1990 2010)

Mez gazdasági er forrásaink hatékonyságának alakulása és javítási lehet ségei (1990 2010) DR. VAHID YOUSEFI KÓBORI JUDIT Mez gazdasági er forrásaink hatékonyságának alakulása és javítási lehet ségei (1990 2010) (A hatékonyság értelmezése) A magyar nemzetgazdaságon belül az élelmiszertermelés

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 17. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 17. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fizika

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

SZAKTANÁCSADÁSI FÜZETEK

SZAKTANÁCSADÁSI FÜZETEK SZAKTANÁCSADÁSI FÜZETEK Az FVM K+F Szakmai Szaktanácsadási Központ Hálózat kiadványai SZARVASMARHA ISTÁLLÓK TERMÉSZETES SZELLŐZTETÉSE Dr. Bak János Pazsiczki Imre Kiadja: FVM Mezőgazdasági Gépesítési Intézet

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

KOMPOSZTÁLÁS, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A SZENNYVÍZISZAPRA

KOMPOSZTÁLÁS, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A SZENNYVÍZISZAPRA KOMPOSZTÁLÁS, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A SZENNYVÍZISZAPRA 2.1.1. Szennyvíziszap mezőgazdaságban való hasznosítása A szennyvíziszapok mezőgazdaságban felhasználhatók a talaj szerves anyag, és tápanyag utánpótlás

Részletesebben

Munkaerő-piaci diszkrimináció

Munkaerő-piaci diszkrimináció Központi Statisztikai Hivatal Internetes kiadvány www.ksh.hu 2010. október ISBN 978-963-235-295-4 Munkaerő-piaci diszkrimináció Tartalom Bevezető...2 A diszkrimináció megtapasztalása nem, kor, iskolai

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

A tételekhez használható segédeszközöket a vizsgaszervező biztosítja

A tételekhez használható segédeszközöket a vizsgaszervező biztosítja A vizsgafeladat ismertetése: A szóbeli vizsgatevékenység központilag összeállított vizsgakérdései a 4. Szakmai követelmények fejezetben szereplő szakmai követelménymodulok témaköreinek mindegyikét tartalmazza

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

DIGITÁLIS MULTIMÉTER AX-101B HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ

DIGITÁLIS MULTIMÉTER AX-101B HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ DIGITÁLIS MULTIMÉTER AX-101B HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ I. BEVEZETÉS A stabil és megbízható multiméter 3 ½ számjegyes, könnyen olvasható LCD kijelzővel rendelkezik. A mérőműszerrel elvégezhető mérések: AC és

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

VI. MELLÉKLETEK. Tartalomjegyzék. PDF created with pdffactory trial version www.pdffactory.com

VI. MELLÉKLETEK. Tartalomjegyzék. PDF created with pdffactory trial version www.pdffactory.com VI. MELLÉKLETEK Tartalomjegyzék 6.1. melléklet Jelentkezési, tájékoztatási lap...217 6.2. melléklet Előzetes tudásszint felmérő lap...220 6.3. melléklet Tanulási forgatókönyv...221 6.4. melléklet Önellenőrző

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Kérdőíves megkérdezés Vizafogó lakótelepi parkfejlesztéssel kapcsolatban

Kérdőíves megkérdezés Vizafogó lakótelepi parkfejlesztéssel kapcsolatban Kérdőíves megkérdezés Vizafogó lakótelepi parkfejlesztéssel kapcsolatban 2013. október Készült a XIII. Kerületi Közszolgáltató Zrt. megbízásából Készítette: Universitas Szolgáltató Iskolaszövetkezet kutatási

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

Papp Gábor Előadás, 2007. október 19. Bűnözés és vándorlás

Papp Gábor Előadás, 2007. október 19. Bűnözés és vándorlás Papp Gábor Előadás, 2007. október 19. Bűnözés és vándorlás Előadásomban arra teszek kísérletet, hogy a bűnözés és a vándorlás kapcsolatát, annak lehetséges megközelítési módjait elméletileg és módszertanilag

Részletesebben

Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április

Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július. Budapest, 2002. április Elemzések a gazdasági és társadalompolitikai döntések előkészítéséhez 27. 2001. július Budapest, 2002. április Az elemzés a Miniszterelnöki Hivatal megrendelésére készült. Készítette: Gábos András TÁRKI

Részletesebben

III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ. A feladatsor jellemzői

III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ. A feladatsor jellemzői III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ Tárgy, téma Algebra, százalékszámítás, statisztika. Előzmények A feladatsor jellemzői Százalék fogalma, a jó mintavétel fogalma, valószínűség kiszámítása klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ. A feladatsor jellemzői

III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ. A feladatsor jellemzői III.3. GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ Tárgy, téma Algebra, százalékszámítás, statisztika. Előzmények A feladatsor jellemzői Százalék fogalma, a jó mintavétel fogalma, valószínűség kiszámítása klasszikus valószínűségi

Részletesebben

A figurális számokról (I.)

A figurális számokról (I.) A figurális számokról (I.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A figurális számok felfedezését a pitagoreusoknak tulajdonítják, mert k a számokat kavicsokkal, magokkal szemléltették. Sok esetben így jelképezték

Részletesebben

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Most akkor nincs csőd? - Mi folyik a Quaestornál?

Most akkor nincs csőd? - Mi folyik a Quaestornál? 2015.03.23. Körlevél tartalma Forrás: http://www.portfolio.hu/vallalatok/most_akkor_nincs_csod_mi_folyik_a_quaestornal.211744.h tml Most akkor nincs csőd? - Mi folyik a Quaestornál? 2015. március 23. 10:02

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

A szőlőtermesztés és borkészítés számviteli sajátosságai

A szőlőtermesztés és borkészítés számviteli sajátosságai A szőlőtermesztés és borkészítés számviteli sajátosságai KÁNTOR Béla, TÓTH Zsuzsanna Miskolci Egyetem, Gazdaságtudományi Kar, Miskolc kantorbp@gmail.com, toth.zsuzsanna12@gmail.com A borkészítésnek Magyarországon

Részletesebben

Lerakó 7. modul készítette: köves GaBrIeLLa

Lerakó 7. modul készítette: köves GaBrIeLLa Lerakó 7. modul Készítette: KÖVES GABRIELLA 2 Lerakó A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A tudatos észlelés, a megfigyelés és a figyelem fejlesztése Párban, kis csoportban

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Tehát a jelenlegi gondolkodási mód (paradigma) alapja hibás, ezért nem lehet azt változtatással (reformmal) továbbéltetni. Ezért II.

Tehát a jelenlegi gondolkodási mód (paradigma) alapja hibás, ezért nem lehet azt változtatással (reformmal) továbbéltetni. Ezért II. Melyik gondolkodási mód elıtt áll történelmi lehetıség? I. Vértes András, a GKI (Gazdaságkutató Intézet) elnöke kedden (2010. június 29-én) Budapesten sajtótájékoztatót tartott, amelyen a kormány 29 pontos

Részletesebben

EGÉSZSÉG - KÖRNYEZET - HAGYOMÁNY

EGÉSZSÉG - KÖRNYEZET - HAGYOMÁNY A BUDAPEST XII. KERÜLET HEGYVIDÉKI ÖNKORMÁNYZAT NAPKÖZIOTTHONOS ÓVODÁJA EGÉSZSÉG - KÖRNYEZET - HAGYOMÁNY NEVELÉSI PROGRAM /RÖVIDÍTETT VÁLTOZAT/ NEVELÉSÜNK ALAPJAI Hagyjátok megérni a gyermekkort a gyermekekben

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 1. Merev test impulzusának

Részletesebben

EGÉSZSÉGRE GYAKOROLT HATÁSOK

EGÉSZSÉGRE GYAKOROLT HATÁSOK 2011. Szeptember 29-30. Solymosy József Bonifácz EGÉSZSÉGRE GYAKOROLT HATÁSOK Döntés előkészítő hatásvizsgálati lap Miről lesz szó? Segítség a hatásvizsgálati lap kitöltéséhez előélet döntési spirál egy

Részletesebben

TÁMOP 5.6.1C-11/2-2011-0003 azonosítószámú. Ne legyél áldozat! című projekt KÖZVÉLEMÉNYKUTATÁS ZÁRÓTANULMÁNY

TÁMOP 5.6.1C-11/2-2011-0003 azonosítószámú. Ne legyél áldozat! című projekt KÖZVÉLEMÉNYKUTATÁS ZÁRÓTANULMÁNY TÁMOP 5.6.1C-11/2-2011-0003 azonosítószámú Ne legyél áldozat! című projekt KÖZVÉLEMÉNYKUTATÁS ZÁRÓTANULMÁNY Közvélemény-kutatás időpontja: 2015. szeptember Kaposvár lakosságának véleménye a bűnmegelőzésről,

Részletesebben

Líthas! Elérhetőségek: mithrillszovetseg@gmail.com http://mithrillszovetseg.lapunk.hu http://www.facebook.com/mithrillalliance

Líthas! Elérhetőségek: mithrillszovetseg@gmail.com http://mithrillszovetseg.lapunk.hu http://www.facebook.com/mithrillalliance A kérdőív kiértékelése Líthas! Az elmúlt egy hónapban több mint 300-an válaszoltatok az általunk feltett kérdésekre, melyért ezúton szeretnék köszönetet mondani! A kérdőívezés célja elsősorban az volt,

Részletesebben

Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató

Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató Everlink Parkoló rendszer Felhasználói és Üzemeltetési útmutató Kiemelt magyarországi disztribútor: LDSZ Vagyonvédelmi Kft. I. fejezet Általános ismertető Az EverLink a mai követelményeket maximálisan

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Ez a dokumentum kizárólag tájékoztató jellegű, az intézmények semmiféle felelősséget nem vállalnak a tartalmáért

Ez a dokumentum kizárólag tájékoztató jellegű, az intézmények semmiféle felelősséget nem vállalnak a tartalmáért 2011L0065 HU 29.01.2014 002.001 1 Ez a dokumentum kizárólag tájékoztató jellegű, az intézmények semmiféle felelősséget nem vállalnak a tartalmáért B AZ EURÓPAI PARLAMENT ÉS A TANÁCS 2011/65/EU IRÁNYELVE

Részletesebben

6 (1)..a természetesvízi és tógazdasági tevékenységek és ezek örökségének bemutatását lehetővé tevő támogatásokat

6 (1)..a természetesvízi és tógazdasági tevékenységek és ezek örökségének bemutatását lehetővé tevő támogatásokat Javaslatok a II. Tengely intézkedéseihez. Javasolt fogalmi javítások: 6 (1)..a természetesvízi és tógazdasági tevékenységek és ezek örökségének bemutatását lehetővé tevő támogatásokat 6 (3) a halászati

Részletesebben

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás.

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. JELLEGZETES ÜZEMFENNTARTÁS-TECHNOLÓGIAI ELJÁRÁSOK 4.06 Javításhelyes szerelés 1 Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. A mai termékek

Részletesebben

J e g y z ı k ö n y v

J e g y z ı k ö n y v J e g y z ı k ö n y v Készült: Kenderes Város Önkormányzati Képviselı-testületének 2012. május 14-én 14 órakor tartott rendkívüli, nyílt ülésérıl. Az ülés helye: Városháza tanácskozó terme Jelen vannak:

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

14.) Napirend: A Családsegít és Gyermekjóléti Szolgálat m ködtetésére kiírt közbeszerzési pályázat eredményhirdetése

14.) Napirend: A Családsegít és Gyermekjóléti Szolgálat m ködtetésére kiírt közbeszerzési pályázat eredményhirdetése 14.) Napirend: A Családsegít és Gyermekjóléti Szolgálat m ködtetésére kiírt közbeszerzési pályázat eredményhirdetése Keller László tájékoztatja a a Képvisel -testület tagjait, hogy a napirendet tárgyalta

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

A tudás alapú társadalom iskolája

A tudás alapú társadalom iskolája Ollé János A tudás alapú társadalom iskolája A társadalom iskolája Az oktatásban csak nehezen lehet találni olyan életkori szakaszt, képzési területet, ahol ne lenne állandó kérdés a külvilághoz, környezethez

Részletesebben