10. Valószínűségszámítás

Átírás

1 . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás egy lehetséges eredménye, hogy hatost dobunk. A hatos dobása egy esemény. Az is lehet egy esemény a kockadobásnál, hogy páros számot dobunk. Ha négy ember (Aladár, Béla, Csaba és Dénes) egy csomag magyar kártyával játszik, az osztásnál egy esemény, ha a pirosz ász Aladárhoz kerül. Ugyancsak egy esemény, ha egy adott nyári napon (egy adott helyen) a legmagasabb hőmérséklet meghaladja a 38 C-ot. Megjegyzések: A valószínűségszámításban kísérletnek szokás nevezni egy olyan történést, amelynek során a vizsgált esemény vagy bekövetkezik vagy nem. A köznapi szóhasználattal ellentétben akkor is kísérletről beszélünk, ha a történést nem magunk idézzük elő, hanem annak csak megfigyelői vagyunk. Fontos, hogy a kísérlet jól meghatározott körülmények között, adott feltételeknek megfelelően kell végbemenjen. (Pl. kockadobás esetén vízszintes felületre érkezzen a kocka, szabályos legyen, úgy dobjuk el, hogy a kiindulási helyzetből ne lehessen megjósolni, hogy melyik oldala marad felül, stb.) Egy esemény lehet elemi és lehet összetett. Az elemi eseményt gyakran nem tudjuk egyszerűbb események segítségével felírni, de előfordulhat az is, hogy csak nem érdemes tovább bontani őket, mert az a vizsgált probléma megoldását nem egyszerűsítené. (Pl. az, hogy a dobókockával hatost dobunk elemi esemény, abba már nem érdemes belemenni, hogy a kocka valamelyik éle milyen szöget zár be az asztal szélével a megállás után. Azt az eseményt, hogy páros számot dobtunk, nem szoktuk elemi eseménynek tekinteni, hiszen itt arról van szó, hogy kettest, négyest vagy hatost dobtunk, azaz ez az esemény leírható jól kezelhető egyszerűbb eseményekkel.) Az olyan eseményt, amely nem következhet be a kísérlet során lehetetlen eseménynek nevezzük. Példa: Lehetetlen esemény, hogy a szabályos dobókockával hetet dobunk. Készítette: Vajda István 3

2 Az olyan eseményt, amely a kísérlet során biztosan bekövetkezik biztos eseménynek nevezzük. Példa: Biztos esemény, hogy a kockával dobott szám pozitív. Jelölések: Az eseményeket általában nyomtatott nagybetűvel jelöljük. (A, B,...) A lehetetlen esemény jele O. A biztos esemény jele: I. A kísérlet véletlen jellegét az adja, hogy a kisérletet sokszor végrehajtva, a megfigyelt esemény a kisérletek egy részénél bekövetkezik, a többinél nem. Ha egy eseményről azt figyeljük meg, hogy a kísérletek nagy részében bekövetkezik, akkor azt mondjuk, hogy az eseménynek nagy a valószínűsége ( nagy az esélye ), míg a ritkán bekövetkező eseményekre azt mondjuk, hogy kis valószínűségű. A valószínűség mértékét egy és közé eső számmal jellemezzük. A lehetetlen esemény valószínűsége, (jelölésben P (O) = ), a biztos esemény valószínűsége (jelölésben P (I)=). Egy esemény valószínűségét általában valamilyen számítással határozzuk meg. Ilyenkor gyakran felhasználjuk a kísérlethez tartozó elemi események valószínűségét. Az elemi események valószínűségét egyszerűen megkapjuk abban az esetben, ha véges sok elemi eseményünk van, amelyek mindegyike azonos valószínűségű. Példák: Ha egy szabályos dobókockát feldobunk, akkor az,, 3, 4, 5 és számok közül bármelyiknek ugyanannyi az esélye, hogy felül marad. (Nincs semmi okunk feltételezni, hogy a lehetséges számok közül az egyik dobásának nagyobb a valószínűsége mint egy másiknak.) Így mindegyik számot valószínűséggel dobjuk, azaz P ()=P ()=P (3)= P (4)=P (5)=P ()=. (Annak valószínűsége, hogy a fenti hat szám valamelyikét dobjuk, hiszen ez a biztos esemény. A biztos esemény valószínűségét kellett egyenlő részre osztani.) Ha egy 3 lapos magyar kártya csomagból véletlenszerűen választunk (húzunk) egy lapot, akkor bármelyik lap kihúzásának ugyanannyi a valószínűsége, azaz egy konkrét lap kihúzásának valószínűsége 3. Pl. P (zöld király)= 3. A fentiek alapján annak valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával páros számot dobunk P (páros)=p ()+P (4)+P ()=3 =. Annak a valószínűsége, hogy egy magyar kártya csomagból ászt húzunk P (ász)=p (zöld ász)+p (makk ász)+p (tök ász)+p (piros ász)=4 3 = 8. Készítette: Vajda István 37

3 Tétel: Ha egy kísérlet során az elemi események egyenlő valószínűségűek, akkor egy A esemény valószínűsége P (A)= Az A-t megvalósító elemi események száma. Az összes elemi események száma Megjegyzések: Gyakran szokták ezt úgy fogalmazni, hogy az esemény valószínűségét megkapjuk, ha a kedvező esetek számát elosztjuk az összes esetek számával. Természetesen a kedvező jelzőt itt a köznapi értelmétől eltérően használjuk: az a kedvező, ami egyben az A esemény bekövetkezését is jelenti. Ha az elemi események nem egyenlő valószínűségűek, akkor a fenti tétel nem alkalmazható. Tegyük fel, hogy egy hallgatónak holnap szabadnapja lesz, ezért bármeddig alhat. Mivel azonban nem igazán jó alvó, ezért és 9 óra között valamikor fel fog ébredni. Az első órában ( és 7 óra között) valószínűséggel ébred fel, a második órában valószínűséggel, a harmadik órában pedig valószínűséggel. Így annak valószínűsége, hogy 7 óra 3 után ébred fel P (7-9)=P (7-8)+P (8-9)= + = 5 kevező esetek száma. Ezzel szemben a = 3 összes esetek száma 3 számolás hibás. A fenti példákban megfigyelhettük, hogy egy esemény valószínűségét az őt megvalósító elemi események valószínűségeinek összege adja. Tehát pl. annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával 5-nél kisebbet dobunk: P (A)=P ()+P ()+P (3)+P (4)= 4 =, annak a 3 valószínűsége pedig, hogy -nél nagyobbat dobunk P (B)=P ()+P (3)+P (4)+P (5)+P ()= 5. Ez a számítási eljárás azonban nem mindig alkalmazható, ha nem elemi eseményekből indulunk ki. Pl. ha a C esemény azt jelenti, hogy a fenti A és B események legalább egyike bekö- vetkezik, akkor C a biztos esemény, melynek valószínűsége: P (C)= 3 = P (A)+P (B). Jól látható, hogy az A és B események valószínűségeinek összege nem lehet egy esemény valószínűsége, (hiszen -nél nagyobb) így C valószínűségével sem lehet egyenlő. A magyarázat egyszerű: a fenti A és B események egyszerre is bekövetkezhetnek (, 3, vagy 4 dobása esetén), míg az elemi események közül mindig csak egy következhet be egy kísérlet során. Ha az A és B események közül a kísérlet során legfeljebb az egyik következhet be, akkor A és B egymást kizáró események. Készítette: Vajda István 38

4 Azt a C eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha A és B legalább egyike bekövetkezik, az A és B események összegének nevezzük. Jelölések: C=A+B, illetve C=A B. Azt a C eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha A és B mindegyike bekövetkezik, az A és B események szorzatának nevezzük. Jelölések: C=A B=AB, illetve C=A B. Tétel: Ha A és B egymást kizáró események, akkor P (A+B)=P (A)+P (B). Tétel: P (A+B)=P (A)+P (B) P (AB). Példa: Legyen A az az esemény, hogy egy csomag magyar kártyából piros lapot húzunk, B pedig az az esemény, hogy a kihúzott lap alsó. Legyen C=A+B, vagyis C az az esemény, hogy a kihúzott lap piros vagy alsó. Az AB esemény akkor következik be, ha éppen a piros alsót húzzuk. P (C)=P (A)+P (B) P (AB)= + = Ezt az eredmény úgy is megkaphatjuk, ha azt mondjuk, hogy az összes esetek száma 3 (3- féle lapot húzhatunk) és ebből kedvező a következő eset: piros hetes, piros nyolcas, piros kilences, piros tízes, piros alsó, piros felső, piros király, piros ász, zöld alsó, makk alsó, tök alsó. Tehát P (C)= kedvező esetek száma = összes esetek száma 3 Készítette: Vajda István 39

5 A B esemény az A esemény ellentett eseménye, ha B pontosan akkor következik be, amikor A nem. Jelölés: A ellentettjét Ā-sal szokás jelölni. (Olvasd: A felülvonás.) Példa: Ha egy szabályos dobókockával dobva A azt jelenti, hogy -t, 3-at, 5-öt vagy -ot dobunk, akkor az Ā esemény akkor következik be, ha -et vagy 4-et dobunk. Tétel: Az ellentett esemény valószínűsége: P ( Ā ) = P (A) A C eseményt az A és B események különbségének nevezzük, ha C pontosan akkor következik be, amikor A bekövetkezik, de B nem. Jelölés: A B Példa: Legyen A az az esemény, hogy a 3 lapos magyar kártyából pirosat húzunk, B pedig az az esemény hogy a kihúzott lap alsó, felső, király vagy ász. Ekkor az A B esemény pontosan akkor következik be, ha a piros hetes, piros nyolcas, piros kilences, illetve piros tízes lapok valamelyikét húzzuk. Az A, A,..., A n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha páronként kizárják egymást és összegük a biztos esemény. Példa: Ha kockadobásnál A-val jelöljük azt az eseményt, hogy 4-nél kisebbet dobunk, B- vel azt, hogy 4-et vagy 5-öt dobunk és C-vel azt hogy -ot dobunk, akkor A, B és C teljes eseményrendszert alkot. Készítette: Vajda István 4

6 Tétel: Ha A, A,..., A n teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P (A )+P (A )+...+P (A n )= Két eseményt függetlennek nevezünk, ha együttes bekövetkezésük valószínűsége a két esemény valószínűségének szorzata, azaz az A és B események függetlenek, ha P (AB)=P (A) P (B) Példa: Ha feldobunk egy szabályos dobókockát és egy szabályos érmét, akkor annak valószínűsége, hogy a kockával -ost dobunk P (A)=, annak valószínűsége pedig, hogy az érmével fej lesz a dobás eredménye P (B) =. A két esemény együttes bekövetkezése azt jelenti, hogy a kockával hatost és az érmével fejet dobtunk, ennek valószínűsége P (AB) = P (A) P (B)= =. Ebben az esetben a két esemény független, tehát a szorzási szabály használata helyes volt. Ha az A esemény azt jelenti, hogy egy szabályos kockával 3-nál nagyobbat dobunk, a B esemény pedig azt, hogy ugyanezzel a kockával párosat dobunk, akkor ez a két esemény nem független. Valóban P (A)=P (B)=, így P (A) P (B)=. Ugyanakkor az AB esemény azt jelenti, hogy 4 egyszerre teljesül, hogy 3-nál nagyobbat és párosat dobtunk, azaz a dobás eredménye 4 vagy. Ennek valószínűsége P (AB)=, tehát P (A) P (B) P (AB). 3 Megjegyzés: Az hogy két esemény független, azzal kapcsolatos, hogy ha az egyik bekövetkezik, az nincs hatással a másik bekövetkezésének valószínűségére. Ez a kocka és az érme esetén nyilván így van, így nem meglepő, hogy a definíció alapján is arra jutottunk, hogy a két esemény független. A második példában nyilvánvalóan nem ez a helyzet, hiszen ha tudjuk, hogy a kockával 3-nál nagyobbat dobtunk, akkor a páros dobásának valószínűsége már nem, hanem, azaz az A 3 esemény valószínűsége befolyásolta a B esemény valószínűségét. Készítette: Vajda István 4

7 .. Visszatevéses- és a visszatevés nélküli mintavétel Legyen egy urnában N darab golyó, amelyek közül K darab piros, a többi fehér. Az azonos színű golyók között nem tudunk különbséget tenni. Számítsuk ki, hogy ha az urnából véletlenszerűen kiválasztunk n darab golyót, mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyók között pontosan k darab piros lesz! Nyilván k n. A fenti feladat nem egyértelműen fogalmaz, hiszen nem mondtuk meg, hogy hogyan választjuk ki az n darab golyót. Az egyik lehetőség, hogy egy golyót kiválasztva annak színét feljegyezzük, majd visszatesszük a többi közé. Így amikor a következő golyót választjuk, az urna tartalma ugyanaz, mint előzőleg. ( Visszaállítottuk az eredeti állapotot. ) A mintavételnek ezt a fajtáját visszatevéses mintavételnek nevezzük. Annak a valószínűsége, hogy piros golyót húzunk: P (piros)= K N Hasonlóan a fehér golyó húzásának valószínűsége P (fehér)= N K N = K N Vezessük be a p= K jelölést! Ekkor a piros golyó húzásának valószínűsége p, a fehér golyó N húzásának valószínűsége pedig p. A k darab piros golyó kihúzása az összesen n darab húzás során általában többféle sorrendben történhet (kivétel a k=, illetve a k=n esetek), hiszen lehet, hogy mindjárt az elején k darab pirosat húzunk, utána csak fehéreket, vagy ellenkezőleg először húzzuk a fehéreket, utána a pirosakat, de legtöbbször fehér és piros sorozatok váltják egymást. Hányféle sorrend lehetséges?... n darab Az ábra azt szemlélteti, amikor az első két húzás színe fehér, a harmadiké piros, a negyediké megint fehér stb. A kihúzott golyók (fehérek és pirosak együttes) száma n. A pirosak és fehérek sorrendje annyi, ahány ( ) féleképpen az n darab helyből ki tudunk választani k darabot (a pirosak n helyét), tehát C n,k =. k Annak, hogy k darab piros és n k darab fehér golyót húzunk egy megadott sorrendben p k( p ) n k a valószínűsége, hiszen az egyes húzások függetlenek egymástól, így a valószínűségek összeszorozhatók. Annak valószínűsége, hogy éppen k darab piros golyó lesz a kihúzottak között az egyes sorrendekhez tartozó valószínűségek összege, azaz ( ) n p k( p ) n k. k Készítette: Vajda István 4

8 Példa: Legyen egy urnában golyó, amelyek közül piros és 4 fehér. Visszatevéssel véletlenszerűen húzunk 5 golyót. Menyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók között a) pontosan b) legfeljebb piros lesz? a) Egy húzás során p= =. valószínűséggel húzun piros golyót. P (k=)= ( ) b) Az a kérdés, hogy mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott piros golyók száma nem nagyobb -nél. ( ) 5 P (k )=P (k=)+p (k=)+p (k=)= Tekintsük most azt az esetet, amikor a kihúzott golyót nem tesszük vissza az urnába. Ekkor visszatevés nélküli mintavételről van szó. Az összes esetek száma C N,n = ( N n), hiszen N golyó közül ennyiféleképpen lehet n darabot kiválasztani, ha a sorrend nem számít. A kedvező esetek azok, amikor pontosan k darab pirosat húztunk, tehát k darabot választottunk a rendelkezésre álló K darab pirosból, és n k darabot választottunk az N K darab fehérből. Ez C K,k C N K,n k = ( K)( N K k n k). A keresett valószínűség a kedvező esetek és az összes esetek számának hányadosa, azaz ( K N K ) P (k)= k)( n k ( N. n) Példa: Legyen egy urnában golyó, amelyek közül piros és 4 fehér. Visszatevés nélkül véletlenszerűen húzunk 5 golyót. Menyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók között a) pontosan b) legfeljebb piros lesz? a) P (k=)= ( ) ( 4 3) (.38 5) b) piros golyónak mindenképpen lennie kell a kihúzottak között, mivel csak négy fehér golyó van. Így a legfeljebb, azt jelenti, hogy vagy : Megjegyzések: P (k )=P (k=)+p (k=)= )+ ( 5 ( ) ( 4 3) ( ). 5 Látható, hogy a mintavétel valószínűsége függ attól, hogy visszatevéses vagy visszatevés nélküli esetről van szó, azonban ha N sokkal nagyobb mint n, akkor a visszatevés nélküli eset jól közelíthető a visszatevéses esettel. Készítette: Vajda István 43

9 A mintavétel jól alkalmazható a gyakorlatban pl. a minőségellenőrzésnél. Az egyik szín a hibás termékeknek, a másik pedig a hibátlanoknak felel meg. Az elkészült termékekből véletlenszerűen kiválasztanak néhányat, majd megvizsgálják, hogy a kiválasztott mintában hány termék selejtes, illetve hibátlan. A kapott adatokból a termékek összességére, illetve a gyártásra vonatkozóan a statisztika módszereivel következtetéseket fogalmazhatunk meg. Feladatok:. Egy urnában piros és 4 fehér golyó van. Az urnából visszatevéssel 8-szor húzunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a) pontosan 3-szor húzunk piros golyót; b) legalább egy fehér golyót húzunk; c) több piros golyót húzunk, mint fehéret? a) P(k=3)= ( 8 3) b) P(k 7)= P(k=8)= c) P(k 5)= ( 8 5 ) ( 8)..4 + ( 8 7) Egy üzletben db hajszárító van abból a típusból, amelyikből vásárolni akarunk, de ezek közül 4 db hibás. Mennyi a valószínűsége, hogy a kipróbálás során csak a harmadik hajszárító lesz jó? Az első készülék nem lesz jó 4 3 valószínűséggel. A második valószínűséggel hibás. 8 a valószínűsége, hogy a harmadik már jó lesz. A keresett valószínűség: = Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy lottóhúzás alkalmával a kihúzott öt szám között a) nincs páros szám; b) a párosak és a páratlanok száma is legalább kettő! a) 5) (45 ( 9 5) = 5! 4! 5! 85! 45!.78 9! b) Ez azt jelenti, hogy vagy páros és 3 páratlan, vagy 3 páros és páratlan szám lesz a kihúzottak között. )( ( ).39 ( 9 5) Készítette: Vajda István 44

10 4. villanykörtéből, melyek közül rossz, visszatevés nélkül kiveszünk 3 darabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek közül a) az elsőre kivett rossz, a többi jó; b) legfeljebb egy rossz; c) nem mind jó; d) legalább egy jó? a) b) = ( 8 3) ( 3) + (8 ) ( 3) = c) 3) (8 ( 3 ) = d) Biztos esemény, tehát valószínűsége. 5. Egy dobozban azonos számú, egyforma méretű réz- és acélcsavar van. A dobozból találomra kiemelünk két csavart. (Bármelyik csavar kiválasztásának ugyanakkora a valószínűsége.) Hány csavar van a dobozban, ha.4 annak a valószínűsége, hogy mindkét kivett csavar rézből készült? Legyen a réz- és acélcsavarok száma egyránt n. ( n ) ( n ) =.4 n 4n =.4 n=3 tehát n= csavar van a dobozban. Készítette: Vajda István 45

11 .3. Valószínűségi változók Ha egy kisérlettel kapcsolatos elemi események mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy-egy valós számot, akkor az elemi események Ω halmazán egy függvényt értelmezünk. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük. Példák: Egy szabályos dobókockával dobunk. Minden elemi eseményhez hozzárendeljük a kocka felső lapján levő pöttyök számát: Adott helyen megmérjük a folyó vízállását. A vízmagasság cm-ben vett értékét, hozzárendeljük a bekövetkezett elemi eseményhez. Egy 3 lapos kártyacsomagból véletlenszerűen kihúzunk egy lapot. A bekövetkezett elemi eseményhez hozzárendelünk egy laptól függő számot, pl. alsóhoz -t, felsőhöz 3-at, királyhoz 4-et stb. Jelölés: A valószínűségi változót szokás görög betűvel jelölni, pl. ξ, η, ζ. Más szakirodalomban szokásos a nyomtatott nagybetű használata is, pl. X, Y, Z. Megjegyzés: A valószínűségi változó lehet diszkrét, ha véges sok értéket vehet fel, vagy végtelen sok értéket, de azok sorozatba rendezhetők. A valószínűségi változó folytonos, ha értékei egy vagy több intervallumot alkotnak..3.. Valószínűségi változók eloszlása Két valószínűségi változó akkor is lényegesen különböző lehet, ha ugyanazokat az értékeket veszik fel. Dobjunk pl. egy szabályos dobókockával ésξlegyen a dobott szám értéke. Azη valószínűségi változót 5 darab érme feldobásával generáljuk. η értéke legyen -gyel nagyobb, mint a dobott fejek száma. Ekkorξésηlehetséges értékei egyaránt,,3,4,5,. Készítette: Vajda István 4

12 Ha azonban megvizsgáljuk, hogy az egyes értékeket ξ és η milyen valószínűséggel veszik fel, akkor a két valószínűségi változó között lényeges különbségeket tapasztalunk. ξ nyilván mind a hat értéket egyenlő valószínűséggel veszi fel, tehát mindegyiket valószínűséggel. Ezzel szemben ( haηaz n értéket veszi fel (n {,, 3, 4, 5, }), akkor n fejet dobtunk. Az 5 érméből 5 n ) féleképpen lehet kiválasztani azt az n amelyikkel fejet dobtunk. (A többivel írást.) Mivel egy megadott kiválasztás -hoz tartozó elemi esemény ( ) 5= valószínűséggel következik be,ηértéke ( 5 3 ) valószínűséggel lesz n. Foglaljuk táblázatba az egyes értékekhez n 3 tartozó valószínűségeket a két valószínűségi változó esetén: ξ η P (ξ) P ( η ) Egy valószínűségi változó lehetséges értékeit és a hozzájuk tartozó bekövetkezési valószínűségeket a valószínűségi változó eloszlásának nevezzük. A fenti táblázatokkal tehát a ξ, illetve η valószínűségi változók eloszlását adtuk meg. Az eloszlásban a valószínűségek összege mindig, hiszen az, hogy a valószínűségi változó felvesz valamilyen értéket, a biztos esemény. A valószínűségi változók eloszlását grafikusan is ábrázolhatjuk. Tegyük meg ezt a fenti két valószínűségi változó esetén: P (ξ) P ( η ) ξ η A ξ valószínűségi változó minden értékéhez ugyanakkora valószínűség tartozik. Az ilyen eloszlásokat egyenletes eloszlásnak nevezzük. Azηvalószínűségi változó esetén a valószínűségeket úgy számoljuk, mint a visszatevéses mintavétel esetén. (Valójában ugyanarról van szó.) Ennek eloszlása a később ismertetendő binomiális eloszlás. A valószínűségi változók eloszlását szokás megadni az ún. eloszlásfüggvénnyel. Készítette: Vajda István 47

13 Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy ξ -nél kisebb értéket vesz fel, azaz R esetén F ()=P (ξ<) Térjünk vissza az előző példában szereplőξésηvalószínűségi változók vizsgálatához! ξ eloszlásfüggvénye -t vesz fel, ha <, hiszenξlegkisebb értéke, tehátξ< lehetetlen. Ugyanez még = esetén is igaz, hiszenξlehet egyenlő -gyel, de kisebb nem lehet nála. Tehát F ξ ()=, ha. Ha <, akkor F ξ ()=, hiszenξ< csakξ= esetén következhet be, és ennek valószínűsége. Ha < 3, akkor F ξ ()= =, mertξ< 3 bekövetkezikξ= ésξ=esetén is. Hasonlóan okoskodva tovább azt kapjuk, hogy ha Ábrázoljuk az F ξ eloszlásfüggvényt! ha < ha < 3 3 F ξ ()= ha 3< 4 4 ha 4< 5 5 ha 5< ha < y F ξ Készítette: Vajda István 48

14 Az előzőhöz hasonló okoskodással: Ábrázoljuk az F η eloszlásfüggvényt! ha ha < 3 ha < 3 3 F η ()= ha 3< 4 3 ha 4< ha 5< 3 ha < y F η Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: Az eloszlásfüggvény monoton növekedő. Az eloszlásfüggvény minden valós helyen balról folytonos. lim F ()= és lim F ()=..3.. Néhány diszkrét eloszlású valószínűségi változó Indikátorváltozó Egy véletlen kisérlet során az A esemény bekövetkezését figyeljük. A ξ valószínűségi változó az A esemény indikátorváltozója, ha, ha az A esemény bekövetkezik ξ=, ha az A esemény nem következik be Ha az A esemény bekövetkezésének valószínűsége p, akkor P (ξ = ) = p és P (ξ = ) = p. Egyenletes eloszlású valószínűségi változó Ha aξvalószínűségi változó lehetséges értékei,,..., n és P (ξ= )=P (ξ= )=...=P (ξ= n )= n akkor a ξ valószínűségi változót egyenletes eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. Készítette: Vajda István 49

15 Binomiális eloszlású valószínűségi változó Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei,,,..., n és ( ) n P (ξ=k)= p k( p ) n k k ahol < p <, akkor ξ-t binomiális eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. n-et és p-t az eloszlás paramétereinek szokás nevezni. Binomiális eloszlású valószínűsági változót kapunk, ha egy véletlen kisérletet (egymástól függetlenül) n-szer végrehajtunk és az A esemény bekövetkezését figyeljük. A valószínűségi változó értéke az a k szám, ahányszor A az n kisérlet során bekövetkezett. ( k n) Hipergeometrikus eloszlás Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei,,,..., n és P (ξ=k)= ( M N M ) k)( ( N k) n k ahol n N és M N, akkor ξ-t hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. Az eloszlásnak három paramétere van: N, M és n. Ilyen eloszlású valószínűségi változót kapunk pl. ha egy N golyót tartalmazó urnából, amelyben M golyó kitüntetett (pl. piros) n golyót húzunk visszatevés nélkül és a valószínűségi változó értéke a kihúzott kitüntetett golyók száma. A Poisson-eloszlás A ξ valószínűségi változót λ paraméterű (λ > ) Poisson-eloszlásúnak nevezzük, ha ξ lehetséges értékei nemnegatív egész számok és Feladatok: P (ξ=k)= λk k! e λ Ezt az eloszlást a ritka (kis valószínűségű) események eloszlástörvényének is nevezik.. Adja meg a p =.7 paraméterű indikátorváltozó eloszlását táblázatosan és grafikusan! Rajzolja fel a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét is! ξ P (ξ).7 P (ξ).3.7 ξ.3.3 y F ξ Készítette: Vajda István 5

16 . A ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei:, 7,...,. Határozza meg a P (ξ<9), P (ξ 3) és P (3<ξ ) valószínűségeket! A valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma 5 = 5, így a lehetséges értékek bármelyike valószínűséggel következik be. Mivelξ<9 esetén a valószínűségi változó a, 7 és 8 értékeket veheti fel (3 lehetőség), ezért P (ξ<9)=3 = Hasonlóan P (ξ 3)= 8 és P (3<ξ )= Egy urnában 5 golyó található, amelyek közül 4 piros. Véletlenszerűen húzunk 3 golyót visszatevéssel. A ξ valószínűségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását képlettel, táblázattal és grafikonnal! Számítsa ki a P (ξ ) valószínűséget! Visszatevéssel húzunk, tehát a kisérletet változatlan körülmények között ismételjük meg 3-szor. Az A esemény jelentse azt, hogy piros golyót húzunk. A valószínűségi változó értéke A bekövetkezéseinek száma, tehát binomiális eloszlásról van szó, melynek paraméterei n=3és p=p (A)= 4 5. Az eloszlás: P (ξ=k)= Táblázattal: ( ) n p k( p ) n k = k ( ) (4 3 k ( ) 3 k = k 5) 5 ( ) 3 4 k ahol k {,,, 3} k 5 3 ξ 3 P (ξ) = 4 =.8 3 = 4 =.9 3 = 48 = = 4 = Grafikonnal: P (ξ) ξ 3 P (ξ )=P (ξ=)+p (ξ=3)= = Egy urnában 5 golyó található, amelyek közül 4 piros. Véletlenszerűen húzunk 3 golyót visszatevés nélkül. A ξ valószínűségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását képlettel, táblázattal és grafikonnal! Számítsa ki a P (ξ ) valószínűséget! A feladat szövege majdnem azonos az előző feladatéval. Az egyetlen eltérés, hogy most visszatevés nélkül húzunk, tehát hipergeometrikus eloszlásról van szó, melynek paraméterei N= 5, M=4és n=3. Készítette: Vajda István 5

17 Az eloszlás: P (ξ=k)= ( M N M ) k)( n k ( N = k) ( 4 k)( 3 k ( 5 k) ) A valószínűségi változó lehetséges értékei és 3, hiszen nem piros golyót legfeljebb -et húzhatunk. Az eloszlás táblázattal megadva: Grafikonnal: ξ 3 P (ξ) ( 4 ) ( 5 3) = =. ( 4 3) ( 5 3) = 4 =.4 P (ξ)..4 3 ξ P (ξ )=, hiszenξ abiztos esemény. 5. Statisztikai adatok alapján tudjuk, hogy bizonyos típusú alkatrészek %-a selejtes. db-ot vásároltunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a vásároltak között a) 3 db selejtes van; b) -nél több selejtes van? a) ( 3) b).9..9 ( ) Egy könyv lapjain előforduló sajtóhibák száma λ = 3 paraméterű Poisson-eloszlást követ. Adja meg az eloszlást képlettel! Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott lapon a sajtóhibák száma pontosan, illetve annak, hogy a sajtóhibák száma -nél nagyobb? Az eloszlás képlettel: P (ξ=k)= λk k! e λ = 3k k! e 3 = 3k k! e 3 Készítette: Vajda István 5

18 P (ξ=)= 3 9! e 3= e3.4 P (ξ>)= P (ξ=) P (ξ=)= 3 e 3 e 3= 4 e3.8 Készítette: Vajda István 53

19 .3.3. Diszkrét eloszlású valószínűségi változók várható értéke és szórása A diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a bekövetkezési valószínűségükkel súlyozott közepét a valószínűségi változó várható értékének nevezzük. Jelölés: M (ξ) Megjegyzések: Ha a valószínűségi változónak véges sok lehetséges értéke van, mégpedig,,..., n és az ezekhez tartozó valószínűségek rendre p, p,..., p n, akkor n M (ξ)= p i i = p + p +...+p n n i= Ha a valószínűségi változónak (megszámlálhatóan) végtelen sok lehetséges értéke van mégpedig,,..., n,... és az ezekhez tartozó valószínűségek rendre p, p,..., p n,..., akkor a várható érték egy végtelen sor összege (feltéve, hogy a sor konvergens) M (ξ)= p i i = p + p +...+p n n +... i= A várható érték azt fejezi ki, hogy a valószínűségi változót előállító kisérletet sokszor végrehajtva a bekövetkezett értékek átlaga milyen számot fog (nagy valószínűséggel) közelíteni. Példák: Ha egy szabályos dobókockával dobunk és a ξ valószínűségi változó értéke a dobott szám, akkor M (ξ)= = = 7 = 3.5. Egy szabályos pénzérmével dobunk. Aξvalószínűségi változó értéke ha írást dobunk ξ= ha fejet dobunk A valószínűségi változó várható értéke M (ξ)= + = Egy urnában 4 piros és fehér golyó van. Viszatevéssel húzunk az urnából 3 golyót. Aξ valószínűségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma.ξ várható értéke ( ) ( 3 ( ) () ( 3 ( ) () ( 3 ( ) ( ) ( 3 3 ( ) M (ξ)= = 3) 3 3) 3 3) 3 3 3) = Készítette: Vajda István 54

20 Ha a ξ valószínűségi változónak létezik M (ξ) várható értéke, továbbá a ((ξ M (ξ)) kifejezésnek is létezik várható értéke, akkor a M ( (ξ M (ξ)) ) mennyiségetξszórásának nevezzük. Jelölés: D (ξ) Megjegyzések: Tehát a szórás a valószínűségi változó és annak várható értéke közötti eltérés négyzetének várható értékéből vont négyzetgyök. A szórás négyzetét röviden szórásnégyzetnek szoktuk nevezni. A szórás azt fejezi ki, hogy a valószínűségi változó által felvett értékek átlagosan mennyivel térnek el a várható értékétől. A szórás kiszámítása diszkrét valószínűségi változó esetén: Először kiszámítjuk a várható értéket: m=m (ξ)= p i i Ezután képezzük az i m eltéréseket. i Kiszámítjuk a szórásnégyzetet: D (ξ)= p i ( i m) i A szórásnégyzetből négyzetgyököt vonunk. Példa: Egy szabályos dobókockával dobunk. A valószínűségi változó által felvett érték a a dobott szám. Számítsa ki a valószínűségi változó szórását. Mint korábbi számításunkból tudjuk m = M (ξ) = 3.5. D (ξ)= i= (i 3.5) = ( (.5) + (.5) + (.5) + (.5) + (.5) + (.5) ) = = 35 A szórás: D (ξ)= Készítette: Vajda István 55

21 A valószínűségi változó szórása általában könnyebben is kiszámítható a következő tétel alapján Tétel: Ha ξ valószínűségi változó szórásának négyzete amennyiben létezik D (ξ)=m ( ξ ) M (ξ) Példa: Számítsuk ki az előző példa szórását a tétel alapján! M ( ξ ) = ( ) = 9 D ( ξ ) = M ( ξ ) M (ξ)= = D (ξ)= Tétel: Haξbinomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterekkel, akkor M (ξ)=np D (ξ)= np ( p ) Tétel: Ha ξ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó N, M és n paraméterekkel, akkor M (ξ)=n M N D (ξ)= n M N ( M )( n ) N N Készítette: Vajda István 5

22 Tétel: Ha ξ Poisson-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, akkor M (ξ)=λ D (ξ)= λ Feladatok:. Egy szabályos dobókockát 3-szor feldobunk. Legyen ξ a dobott -osok száma. Határozza megξvárható értékét és szórását! ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó n=3 és p= paraméterekkel. M (ξ)=np=3 = 5 és D (ξ)= np ( p ) = 3 5 = 5 =.4.. termék közül 5 selejtes, a többi hibátlan. Visszatevés nélkül véletlenszerűen kiválasztunk a termékek közül darabot, ξ legyen a kiválasztott selejtes darabok száma. Határozza meg ξ várható értékét és szórását! ξ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó N=, M=5 és n= paraméterekkel. M (ξ)=n M N = 5 = és D (ξ)= n M N ( M )( n ) = N N = 9 = Egy 5 oldalas könyvben nyomdahibát találtak. Az egy oldalon található nyomdahibák száma Poisson-eloszlást mutat. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a) egy adott oldalon pontosan nyomdahiba van; b) egy adott oldalon legalább egy nyomdahiba van; c) három egymást követő oldalon összesen 5 nyomdahiba van! A hibák számának várható értéke egy oldalon 5 = 5. MivelξPoissoneloszlású, M (ξ)=λ= 5. a) P(ξ=)= λ! e λ, 8. b) P(ξ )= P(ξ=)= e λ, 9. c) M ( η ) = λ= 33 5 λ, P(η=5)= 5 5! e λ, Egy 3 m hosszú,.5 m széles szövetvégben 7 db szövési hiba található. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a szövetvég találomra kiválasztott m -es darabjában legfeljebb egy szövési hiba fordul elő, ha az m -es darabban előforduló szövési hibák Készítette: Vajda István 57

23 száma Poisson-eloszlást követ! A szövetvég területe 45 m, így az m -re eső hibák átlagos száma 7 45 =.. Tehát M (ξ)=λ=.. P (ξ )=P (ξ=)+p (ξ=)=e λ +λe λ = 3.e Egy telefonközpontba perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, akkor mennyi a valószínűsége, hogy perc alatt a) pontosan hívás érkezik be; b) pontosan hívás érkezik be; c) legfeljebb 3 hívás érkezik be; d) legalább hívás érkezik be? λ=m (ξ)=5. a) P (ξ=)=λe λ = 5e b) P (ξ=)= λ! e λ =.5e ( c) P (ξ 3)=e λ +λ+ λ! +λ3 3! ( )=e d) P (ξ )= P (ξ=)= e λ = e ).4. Készítette: Vajda István 58

24 .4. Folytonos valószínűségi változók A ξ valószínűségi változót (és annak eloszlását is) folytonosnak nevezük, ha ξ F-fel jelölt eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz létezik olyan f függvény, amelyre R esetén f (t) dt=f () Az összefüggésben szereplő f függvényt aξvalószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Példa: Egy kör alakú, R sugarú céltáblára véletlenszerű lövéseket adunk le. Tegyük fel, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát, és azon bármely tartomány eltalálásának valószínűsége egyenesen arányos annak területével. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a tábla középpontjának és a találati pontnak a távolsága. Határozzuk megξeloszlás és sűrűségfüggvényét! R Az eloszlásfüggvény definíció szerint F () = P (ξ<). Aξ < esemény R esetén azt jelenti, hogy a találat egy sugarú a céltáblával koncentrikus körlap belsejébe esik. (A találat -nél kisebb távolságra van a céltábla középpontjától.) Mivel a lövés biztosan eltalálja a céltáblát és a síkidomok találati valószínűsége a területükkel arányos: P (ξ<) P (I) ahol I a biztos eseményt jelenti. = P (ξ<) = π R π = R, Ha <, akkor P (ξ<)=, ugyanis az, hogy a találati pont negatív távolságra legyen a céltábla középpontjától lehetetlen, a lehetetlen esemény valószínűsége pedig. Másrészt, ha >R, akkor P (ξ<)=, hiszen az, hogy a találat távolsága kisebb vagy egyenlő mint R a biztos esemény. Készítette: Vajda István 59

25 y Ennek alapján a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F ha F ()= ha < R R R ha < Az F függvényt deriválva megkapjukξsűrűségfüggvényét: y R R f ha f ()= ha <<R R ha < Az eloszlásfüggvény az = R helyen nem deriválható. Integrálással ellenőrizhetjük, hogy a kapott f függvény valóban ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény tulajdonságai: R esetén f () (A sűrűségfüggvény csak nemnegatív értékeket vesz fel.) f () d= Egy folytonosξvalószínűségi változó várható értékén az improprius integrált értjük. f () d Tétel: Egy folytonosξvalószínűségi változó szórásának négyzete D (ξ)=m ( ξ ) M (ξ)= f () d f () d Készítette: Vajda István

26 Példa: Határozzuk meg az előző példa valószínűségi változójának várható értékét és szórást! M (ξ)= f () d= d+ D (ξ)=m ( ξ ) M (ξ)= R R R d+ D (ξ)= R 3 = R d= R ] R 3 ( ) R [ 4 R d = 3 R R [ ] 3 R R d= = R 3R 3 4R 9 = R Néhány folytonos eloszlású valószínűségi változó A folytonos, egyenletes eloszlás A ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ]a, b[ intervallumban, ha sűrűségfüggvénye: a y b a b f f ()= ha a<<b b a egyébként y a b F Eloszlásfüggvénye integrálásssal meghatározható: ha a a F ()= f (t) dt= ha a< b b a ha b< Eponenciális eloszlás Aξvalószínűségi változóλparaméterű eponenciális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: y λ y f F f ()= Eloszlásfüggvénye: F ()= { f (t) dt= ha λe λ ha > { ha e λ ha > Készítette: Vajda István

27 Normális eloszlás Aξvalószínűségi változó m,σparaméterű normális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: y y m m f Eloszlásfüggvénye: f ()= F ()= σ π σ ( m) π e σ e (t m) σ dt Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ]a, b[ intervallumban, akkor várható értéke és szórása: M (ξ)= a+b D (ξ)= 3 (b a) Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó λ paraméterű, eponenciális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M (ξ)=d (ξ)= λ Tétel: Ha aξvalószínűségi változó m ésσparaméterű, normális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M (ξ)=m D (ξ)=σ Készítette: Vajda István

28 Feladatok ha <. Egy ξ folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f () = A ha a) Határozza meg A értékét! b) Írja fel az eloszlásfüggvényt! c) Számítsa ki a P( ξ<4) valószínűség értékét! d) Mely -re teljesül, hogy P(ξ>)= e) Határozza meg aξvalószínűségi változó várható értékét és szórását! a) Mivel a sűrűségfüggvény integrálja a ], [ intervallumon, = f () d= A ω d= lim ω [ A d= lim A ] ω ( = lim A )=A ω ω ω + A Tehát A=. b) F ()= f (t) dt= ha [ t dt= ] t = ha > c) P( ξ<4)=f (4) F ()= 4 d) F ()=P (ξ<)= P(ξ>)=, azaz = =. ω e) f () d= d= lim d= lim ω ω [ln ]ω = lim (ln ω ln )= ω Mivel a kapott improprius integrál divergens, a valószínűségi változónak nincs várható értéke, ennélfogva szórása sem lehet. Készítette: Vajda István 3

29 . Egyξfolytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f ()= C + 4. a) Határozza meg C értékét! b) Írja fel az eloszlásfüggvényt! c) Számítsa ki a P( ξ<) valószínűség értékét! d) Mely -re teljesül, hogy P(ξ>)= 4? e) Határozza meg aξvalószínűségi változó várható értékét és szórását! a) = f ()d= C + 4 d= = lim ω ω C + ( C ω d= lim + 4 ω ) d= lim ω [C arctg ] ω C + 4 d= ( = lim C arctg ω ) ω C arctg = Cπ C= π = b) F()= f (t)dt= lim ω = lim ω [ π arctg t ω ] ω f (t)dt= lim ω π ω dt= lim t + 4 ω = lim ω ( π arctg π arctgω π ω ) = + π arctg + ( ) dt= t c) P( ξ<)=f() F()= π arctg = 4 d) F ()=P (ξ<)= P (ξ>)= 3 4, tehát + π arctg = 3 4 = e) Mivel pl. f () d= π + 4 d= π + 4 d+ π + 4 d ω d= lim + 4 ω [ ( d= lim ln + 4 )] ω + 4 = lim ( ( ln ω + 4 ) ln 4 ) = ω ω a valószínűségi változónak nem létezik várható értéke és szórása sincs. Készítette: Vajda István 4

30 ha 3. Igazolja, hogy az F()= e ha < függvény eloszlásfüggvény! ( F monoton növekedő, folytonos, lim F ()=, lim F ()= lim ) e =, tehát az eloszlásfüggvény összes tulajdonsága teljesül. (Észrevehetjük, hogy éppen egy λ=paraméterű eponenciális eloszlásról van szó.) 4. Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: c arcsin ha, f ()= egyébként Mekkora a c értéke? = f ()d= c arcsin d=[c arcsin ] c d= = [ c arcsin +c ] = c arcsin c=c ( π ) c= π 5. Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: sin ha π f ()= egyébként Mekkoraξvárható értéke és szórása? M (ξ)= f () d= π [ sin d= ] π π cos ( cos ) d= [ = sin ] π cos = π D (ξ)= [ cos f () d M (ξ)= ] π + π π sin d π 4 = cos d π 4 = [ sin cos [ cos + sin cos ] π ] π π π 4 =π D (ξ)= 4 sin d π 4 = π 4 Készítette: Vajda István 5

31 . Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye { ( ) c + ha <<4 f ()= egyébként a) Határozza meg c értékét! b) Számítsa kiξvárható értékét és szórását! a) = f () = 4 c ( + ) d= [ c ( )] 4 = 74c 3 c= 3 74 b) M (ξ)= D (ξ)= f () d= 3 4 ( + 3) d= 3 [ ] = f () d M (ξ)= ( 3 + 4) d M (ξ)= = 3 [ ] ( ) 8 = D (ξ)= Készítette: Vajda István

32 .4.. A normális eloszlású valószínűségi változó néhány alkalmazása A normális eloszlás amelyet hibaeloszlásnak is neveznek a valószínűségszámításban központi szerepet játszik. A gyakorlatban előforduló számos valószínűségi változó normális eloszlású vagy normális eloszlásal közelíthető. Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó m, σ paraméterű, normális eloszlású, akkor aξ valószínűségi változó is normális eloszlású várható értékkel és szórással. Ha aξvalószínűségi változó várható értéke, szórása, akkor standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: A standard normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényét az általános jelöléstől eltérően ϕ-vel, eloszlásfüggvényétφ-vel szokás jelölni. Megjegyzés: AΦfüggvény értékeit előre elkészített táblázatból tudjuk kikeresni. Mivel Φ ( )= Φ (), a táblázatban csak a nemnegatív számokhoz tartozó függvényértékeket találjuk. Feladatok:. Legyen ξ normális eloszlású m =, σ = 4 paraméterű valószínűségi változó. a) Írjuk fel a sűrűség- és eloszlásfüggvényét! b) Mennyi a várható értéke és szórása? c) Számítsa ki a P( < ξ < 3) és a P(ξ) > 4 valószínűségek értékét! a) f ()= σ ( m) π e σ = 4 π e b) M(ξ)=m=, D(ξ)=σ=4. ( c) P(<ξ<3)=F(3) F()=Φ ) ( ) 3 F() = σ π e ( m) σ =Φ ( ) ( Φ ) ( ( =Φ +Φ 4 ) 4) =.9 ( 3 P(ξ>4)= F(4)= Φ.7734=.. 4) 4 Készítette: Vajda István 7

33 . Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 8. Mekkora a szórása, ha tudjuk, hogy P(ξ < ) =.5? F()=.5 Φ ( 8 ) ( 8 =.5 Φ =.8785 σ σ) 8 σ =.7 σ= Egy gyártmány mérethibája azaz eltérése a névleges értéktől egy normális eloszlású valószínűségi változó (ξ), melynek várható értéke. Megállapították, hogy. annak a valószínűsége, hogy hogy a mérethiba abszolút értéke nem éri el a mm-es határt. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a mérethiba abszolút értéke a 8 mm-t nem haladja meg! σ.888 P ( ξ <8) Egy üzemrészben deszkákat készítenek. Ezek hossza normális eloszlású valószínűségi változó 3 cm várható értékkel, és cm szórással. a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy deszka hossza nagyobb, mint 35 cm? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a deszkák hossza legfeljebb cm-rel tér el a 3 cm-től? a) P (ξ>35)= F(35)= Φ (.5).. ( ( b) P ( ξ 3 <)=F(3) F(99)=Φ Φ ) ) ( = Φ.383. ) 5. Egy munkapadról kikerült termék hossza normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 5 mm, szórása 3 mm. a) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy egy munkapadról kikerült termék hossza 48 és 5 mm közé esik! b) Mekkora pontosság biztosítható.95%-os valószínűséggel a munkadarabok hoszszára? ( a) P(48<ξ<5)=F(5) F(48)=Φ 3) ( Φ b) P( ξ 5 <d)=f(5+d) F(5 d)=φ ( ) d.95 Φ =.975 d=5.88 mm. 3 3 ) ( d 3 ) ( = Φ ) ( d ) ( ) d = Φ = 3 3 Φ Készítette: Vajda István 8