10. Valószínűségszámítás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "10. Valószínűségszámítás"

Átírás

1 . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás egy lehetséges eredménye, hogy hatost dobunk. A hatos dobása egy esemény. Az is lehet egy esemény a kockadobásnál, hogy páros számot dobunk. Ha négy ember (Aladár, Béla, Csaba és Dénes) egy csomag magyar kártyával játszik, az osztásnál egy esemény, ha a pirosz ász Aladárhoz kerül. Ugyancsak egy esemény, ha egy adott nyári napon (egy adott helyen) a legmagasabb hőmérséklet meghaladja a 38 C-ot. Megjegyzések: A valószínűségszámításban kísérletnek szokás nevezni egy olyan történést, amelynek során a vizsgált esemény vagy bekövetkezik vagy nem. A köznapi szóhasználattal ellentétben akkor is kísérletről beszélünk, ha a történést nem magunk idézzük elő, hanem annak csak megfigyelői vagyunk. Fontos, hogy a kísérlet jól meghatározott körülmények között, adott feltételeknek megfelelően kell végbemenjen. (Pl. kockadobás esetén vízszintes felületre érkezzen a kocka, szabályos legyen, úgy dobjuk el, hogy a kiindulási helyzetből ne lehessen megjósolni, hogy melyik oldala marad felül, stb.) Egy esemény lehet elemi és lehet összetett. Az elemi eseményt gyakran nem tudjuk egyszerűbb események segítségével felírni, de előfordulhat az is, hogy csak nem érdemes tovább bontani őket, mert az a vizsgált probléma megoldását nem egyszerűsítené. (Pl. az, hogy a dobókockával hatost dobunk elemi esemény, abba már nem érdemes belemenni, hogy a kocka valamelyik éle milyen szöget zár be az asztal szélével a megállás után. Azt az eseményt, hogy páros számot dobtunk, nem szoktuk elemi eseménynek tekinteni, hiszen itt arról van szó, hogy kettest, négyest vagy hatost dobtunk, azaz ez az esemény leírható jól kezelhető egyszerűbb eseményekkel.) Az olyan eseményt, amely nem következhet be a kísérlet során lehetetlen eseménynek nevezzük. Példa: Lehetetlen esemény, hogy a szabályos dobókockával hetet dobunk. Készítette: Vajda István 3

2 Az olyan eseményt, amely a kísérlet során biztosan bekövetkezik biztos eseménynek nevezzük. Példa: Biztos esemény, hogy a kockával dobott szám pozitív. Jelölések: Az eseményeket általában nyomtatott nagybetűvel jelöljük. (A, B,...) A lehetetlen esemény jele O. A biztos esemény jele: I. A kísérlet véletlen jellegét az adja, hogy a kisérletet sokszor végrehajtva, a megfigyelt esemény a kisérletek egy részénél bekövetkezik, a többinél nem. Ha egy eseményről azt figyeljük meg, hogy a kísérletek nagy részében bekövetkezik, akkor azt mondjuk, hogy az eseménynek nagy a valószínűsége ( nagy az esélye ), míg a ritkán bekövetkező eseményekre azt mondjuk, hogy kis valószínűségű. A valószínűség mértékét egy és közé eső számmal jellemezzük. A lehetetlen esemény valószínűsége, (jelölésben P (O) = ), a biztos esemény valószínűsége (jelölésben P (I)=). Egy esemény valószínűségét általában valamilyen számítással határozzuk meg. Ilyenkor gyakran felhasználjuk a kísérlethez tartozó elemi események valószínűségét. Az elemi események valószínűségét egyszerűen megkapjuk abban az esetben, ha véges sok elemi eseményünk van, amelyek mindegyike azonos valószínűségű. Példák: Ha egy szabályos dobókockát feldobunk, akkor az,, 3, 4, 5 és számok közül bármelyiknek ugyanannyi az esélye, hogy felül marad. (Nincs semmi okunk feltételezni, hogy a lehetséges számok közül az egyik dobásának nagyobb a valószínűsége mint egy másiknak.) Így mindegyik számot valószínűséggel dobjuk, azaz P ()=P ()=P (3)= P (4)=P (5)=P ()=. (Annak valószínűsége, hogy a fenti hat szám valamelyikét dobjuk, hiszen ez a biztos esemény. A biztos esemény valószínűségét kellett egyenlő részre osztani.) Ha egy 3 lapos magyar kártya csomagból véletlenszerűen választunk (húzunk) egy lapot, akkor bármelyik lap kihúzásának ugyanannyi a valószínűsége, azaz egy konkrét lap kihúzásának valószínűsége 3. Pl. P (zöld király)= 3. A fentiek alapján annak valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával páros számot dobunk P (páros)=p ()+P (4)+P ()=3 =. Annak a valószínűsége, hogy egy magyar kártya csomagból ászt húzunk P (ász)=p (zöld ász)+p (makk ász)+p (tök ász)+p (piros ász)=4 3 = 8. Készítette: Vajda István 37

3 Tétel: Ha egy kísérlet során az elemi események egyenlő valószínűségűek, akkor egy A esemény valószínűsége P (A)= Az A-t megvalósító elemi események száma. Az összes elemi események száma Megjegyzések: Gyakran szokták ezt úgy fogalmazni, hogy az esemény valószínűségét megkapjuk, ha a kedvező esetek számát elosztjuk az összes esetek számával. Természetesen a kedvező jelzőt itt a köznapi értelmétől eltérően használjuk: az a kedvező, ami egyben az A esemény bekövetkezését is jelenti. Ha az elemi események nem egyenlő valószínűségűek, akkor a fenti tétel nem alkalmazható. Tegyük fel, hogy egy hallgatónak holnap szabadnapja lesz, ezért bármeddig alhat. Mivel azonban nem igazán jó alvó, ezért és 9 óra között valamikor fel fog ébredni. Az első órában ( és 7 óra között) valószínűséggel ébred fel, a második órában valószínűséggel, a harmadik órában pedig valószínűséggel. Így annak valószínűsége, hogy 7 óra 3 után ébred fel P (7-9)=P (7-8)+P (8-9)= + = 5 kevező esetek száma. Ezzel szemben a = 3 összes esetek száma 3 számolás hibás. A fenti példákban megfigyelhettük, hogy egy esemény valószínűségét az őt megvalósító elemi események valószínűségeinek összege adja. Tehát pl. annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával 5-nél kisebbet dobunk: P (A)=P ()+P ()+P (3)+P (4)= 4 =, annak a 3 valószínűsége pedig, hogy -nél nagyobbat dobunk P (B)=P ()+P (3)+P (4)+P (5)+P ()= 5. Ez a számítási eljárás azonban nem mindig alkalmazható, ha nem elemi eseményekből indulunk ki. Pl. ha a C esemény azt jelenti, hogy a fenti A és B események legalább egyike bekö- vetkezik, akkor C a biztos esemény, melynek valószínűsége: P (C)= 3 = P (A)+P (B). Jól látható, hogy az A és B események valószínűségeinek összege nem lehet egy esemény valószínűsége, (hiszen -nél nagyobb) így C valószínűségével sem lehet egyenlő. A magyarázat egyszerű: a fenti A és B események egyszerre is bekövetkezhetnek (, 3, vagy 4 dobása esetén), míg az elemi események közül mindig csak egy következhet be egy kísérlet során. Ha az A és B események közül a kísérlet során legfeljebb az egyik következhet be, akkor A és B egymást kizáró események. Készítette: Vajda István 38

4 Azt a C eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha A és B legalább egyike bekövetkezik, az A és B események összegének nevezzük. Jelölések: C=A+B, illetve C=A B. Azt a C eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha A és B mindegyike bekövetkezik, az A és B események szorzatának nevezzük. Jelölések: C=A B=AB, illetve C=A B. Tétel: Ha A és B egymást kizáró események, akkor P (A+B)=P (A)+P (B). Tétel: P (A+B)=P (A)+P (B) P (AB). Példa: Legyen A az az esemény, hogy egy csomag magyar kártyából piros lapot húzunk, B pedig az az esemény, hogy a kihúzott lap alsó. Legyen C=A+B, vagyis C az az esemény, hogy a kihúzott lap piros vagy alsó. Az AB esemény akkor következik be, ha éppen a piros alsót húzzuk. P (C)=P (A)+P (B) P (AB)= + = Ezt az eredmény úgy is megkaphatjuk, ha azt mondjuk, hogy az összes esetek száma 3 (3- féle lapot húzhatunk) és ebből kedvező a következő eset: piros hetes, piros nyolcas, piros kilences, piros tízes, piros alsó, piros felső, piros király, piros ász, zöld alsó, makk alsó, tök alsó. Tehát P (C)= kedvező esetek száma = összes esetek száma 3 Készítette: Vajda István 39

5 A B esemény az A esemény ellentett eseménye, ha B pontosan akkor következik be, amikor A nem. Jelölés: A ellentettjét Ā-sal szokás jelölni. (Olvasd: A felülvonás.) Példa: Ha egy szabályos dobókockával dobva A azt jelenti, hogy -t, 3-at, 5-öt vagy -ot dobunk, akkor az Ā esemény akkor következik be, ha -et vagy 4-et dobunk. Tétel: Az ellentett esemény valószínűsége: P ( Ā ) = P (A) A C eseményt az A és B események különbségének nevezzük, ha C pontosan akkor következik be, amikor A bekövetkezik, de B nem. Jelölés: A B Példa: Legyen A az az esemény, hogy a 3 lapos magyar kártyából pirosat húzunk, B pedig az az esemény hogy a kihúzott lap alsó, felső, király vagy ász. Ekkor az A B esemény pontosan akkor következik be, ha a piros hetes, piros nyolcas, piros kilences, illetve piros tízes lapok valamelyikét húzzuk. Az A, A,..., A n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha páronként kizárják egymást és összegük a biztos esemény. Példa: Ha kockadobásnál A-val jelöljük azt az eseményt, hogy 4-nél kisebbet dobunk, B- vel azt, hogy 4-et vagy 5-öt dobunk és C-vel azt hogy -ot dobunk, akkor A, B és C teljes eseményrendszert alkot. Készítette: Vajda István 4

6 Tétel: Ha A, A,..., A n teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P (A )+P (A )+...+P (A n )= Két eseményt függetlennek nevezünk, ha együttes bekövetkezésük valószínűsége a két esemény valószínűségének szorzata, azaz az A és B események függetlenek, ha P (AB)=P (A) P (B) Példa: Ha feldobunk egy szabályos dobókockát és egy szabályos érmét, akkor annak valószínűsége, hogy a kockával -ost dobunk P (A)=, annak valószínűsége pedig, hogy az érmével fej lesz a dobás eredménye P (B) =. A két esemény együttes bekövetkezése azt jelenti, hogy a kockával hatost és az érmével fejet dobtunk, ennek valószínűsége P (AB) = P (A) P (B)= =. Ebben az esetben a két esemény független, tehát a szorzási szabály használata helyes volt. Ha az A esemény azt jelenti, hogy egy szabályos kockával 3-nál nagyobbat dobunk, a B esemény pedig azt, hogy ugyanezzel a kockával párosat dobunk, akkor ez a két esemény nem független. Valóban P (A)=P (B)=, így P (A) P (B)=. Ugyanakkor az AB esemény azt jelenti, hogy 4 egyszerre teljesül, hogy 3-nál nagyobbat és párosat dobtunk, azaz a dobás eredménye 4 vagy. Ennek valószínűsége P (AB)=, tehát P (A) P (B) P (AB). 3 Megjegyzés: Az hogy két esemény független, azzal kapcsolatos, hogy ha az egyik bekövetkezik, az nincs hatással a másik bekövetkezésének valószínűségére. Ez a kocka és az érme esetén nyilván így van, így nem meglepő, hogy a definíció alapján is arra jutottunk, hogy a két esemény független. A második példában nyilvánvalóan nem ez a helyzet, hiszen ha tudjuk, hogy a kockával 3-nál nagyobbat dobtunk, akkor a páros dobásának valószínűsége már nem, hanem, azaz az A 3 esemény valószínűsége befolyásolta a B esemény valószínűségét. Készítette: Vajda István 4

7 .. Visszatevéses- és a visszatevés nélküli mintavétel Legyen egy urnában N darab golyó, amelyek közül K darab piros, a többi fehér. Az azonos színű golyók között nem tudunk különbséget tenni. Számítsuk ki, hogy ha az urnából véletlenszerűen kiválasztunk n darab golyót, mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott golyók között pontosan k darab piros lesz! Nyilván k n. A fenti feladat nem egyértelműen fogalmaz, hiszen nem mondtuk meg, hogy hogyan választjuk ki az n darab golyót. Az egyik lehetőség, hogy egy golyót kiválasztva annak színét feljegyezzük, majd visszatesszük a többi közé. Így amikor a következő golyót választjuk, az urna tartalma ugyanaz, mint előzőleg. ( Visszaállítottuk az eredeti állapotot. ) A mintavételnek ezt a fajtáját visszatevéses mintavételnek nevezzük. Annak a valószínűsége, hogy piros golyót húzunk: P (piros)= K N Hasonlóan a fehér golyó húzásának valószínűsége P (fehér)= N K N = K N Vezessük be a p= K jelölést! Ekkor a piros golyó húzásának valószínűsége p, a fehér golyó N húzásának valószínűsége pedig p. A k darab piros golyó kihúzása az összesen n darab húzás során általában többféle sorrendben történhet (kivétel a k=, illetve a k=n esetek), hiszen lehet, hogy mindjárt az elején k darab pirosat húzunk, utána csak fehéreket, vagy ellenkezőleg először húzzuk a fehéreket, utána a pirosakat, de legtöbbször fehér és piros sorozatok váltják egymást. Hányféle sorrend lehetséges?... n darab Az ábra azt szemlélteti, amikor az első két húzás színe fehér, a harmadiké piros, a negyediké megint fehér stb. A kihúzott golyók (fehérek és pirosak együttes) száma n. A pirosak és fehérek sorrendje annyi, ahány ( ) féleképpen az n darab helyből ki tudunk választani k darabot (a pirosak n helyét), tehát C n,k =. k Annak, hogy k darab piros és n k darab fehér golyót húzunk egy megadott sorrendben p k( p ) n k a valószínűsége, hiszen az egyes húzások függetlenek egymástól, így a valószínűségek összeszorozhatók. Annak valószínűsége, hogy éppen k darab piros golyó lesz a kihúzottak között az egyes sorrendekhez tartozó valószínűségek összege, azaz ( ) n p k( p ) n k. k Készítette: Vajda István 4

8 Példa: Legyen egy urnában golyó, amelyek közül piros és 4 fehér. Visszatevéssel véletlenszerűen húzunk 5 golyót. Menyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók között a) pontosan b) legfeljebb piros lesz? a) Egy húzás során p= =. valószínűséggel húzun piros golyót. P (k=)= ( ) b) Az a kérdés, hogy mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott piros golyók száma nem nagyobb -nél. ( ) 5 P (k )=P (k=)+p (k=)+p (k=)= Tekintsük most azt az esetet, amikor a kihúzott golyót nem tesszük vissza az urnába. Ekkor visszatevés nélküli mintavételről van szó. Az összes esetek száma C N,n = ( N n), hiszen N golyó közül ennyiféleképpen lehet n darabot kiválasztani, ha a sorrend nem számít. A kedvező esetek azok, amikor pontosan k darab pirosat húztunk, tehát k darabot választottunk a rendelkezésre álló K darab pirosból, és n k darabot választottunk az N K darab fehérből. Ez C K,k C N K,n k = ( K)( N K k n k). A keresett valószínűség a kedvező esetek és az összes esetek számának hányadosa, azaz ( K N K ) P (k)= k)( n k ( N. n) Példa: Legyen egy urnában golyó, amelyek közül piros és 4 fehér. Visszatevés nélkül véletlenszerűen húzunk 5 golyót. Menyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók között a) pontosan b) legfeljebb piros lesz? a) P (k=)= ( ) ( 4 3) (.38 5) b) piros golyónak mindenképpen lennie kell a kihúzottak között, mivel csak négy fehér golyó van. Így a legfeljebb, azt jelenti, hogy vagy : Megjegyzések: P (k )=P (k=)+p (k=)= )+ ( 5 ( ) ( 4 3) ( ). 5 Látható, hogy a mintavétel valószínűsége függ attól, hogy visszatevéses vagy visszatevés nélküli esetről van szó, azonban ha N sokkal nagyobb mint n, akkor a visszatevés nélküli eset jól közelíthető a visszatevéses esettel. Készítette: Vajda István 43

9 A mintavétel jól alkalmazható a gyakorlatban pl. a minőségellenőrzésnél. Az egyik szín a hibás termékeknek, a másik pedig a hibátlanoknak felel meg. Az elkészült termékekből véletlenszerűen kiválasztanak néhányat, majd megvizsgálják, hogy a kiválasztott mintában hány termék selejtes, illetve hibátlan. A kapott adatokból a termékek összességére, illetve a gyártásra vonatkozóan a statisztika módszereivel következtetéseket fogalmazhatunk meg. Feladatok:. Egy urnában piros és 4 fehér golyó van. Az urnából visszatevéssel 8-szor húzunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a) pontosan 3-szor húzunk piros golyót; b) legalább egy fehér golyót húzunk; c) több piros golyót húzunk, mint fehéret? a) P(k=3)= ( 8 3) b) P(k 7)= P(k=8)= c) P(k 5)= ( 8 5 ) ( 8)..4 + ( 8 7) Egy üzletben db hajszárító van abból a típusból, amelyikből vásárolni akarunk, de ezek közül 4 db hibás. Mennyi a valószínűsége, hogy a kipróbálás során csak a harmadik hajszárító lesz jó? Az első készülék nem lesz jó 4 3 valószínűséggel. A második valószínűséggel hibás. 8 a valószínűsége, hogy a harmadik már jó lesz. A keresett valószínűség: = Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy lottóhúzás alkalmával a kihúzott öt szám között a) nincs páros szám; b) a párosak és a páratlanok száma is legalább kettő! a) 5) (45 ( 9 5) = 5! 4! 5! 85! 45!.78 9! b) Ez azt jelenti, hogy vagy páros és 3 páratlan, vagy 3 páros és páratlan szám lesz a kihúzottak között. )( ( ).39 ( 9 5) Készítette: Vajda István 44

10 4. villanykörtéből, melyek közül rossz, visszatevés nélkül kiveszünk 3 darabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek közül a) az elsőre kivett rossz, a többi jó; b) legfeljebb egy rossz; c) nem mind jó; d) legalább egy jó? a) b) = ( 8 3) ( 3) + (8 ) ( 3) = c) 3) (8 ( 3 ) = d) Biztos esemény, tehát valószínűsége. 5. Egy dobozban azonos számú, egyforma méretű réz- és acélcsavar van. A dobozból találomra kiemelünk két csavart. (Bármelyik csavar kiválasztásának ugyanakkora a valószínűsége.) Hány csavar van a dobozban, ha.4 annak a valószínűsége, hogy mindkét kivett csavar rézből készült? Legyen a réz- és acélcsavarok száma egyránt n. ( n ) ( n ) =.4 n 4n =.4 n=3 tehát n= csavar van a dobozban. Készítette: Vajda István 45

11 .3. Valószínűségi változók Ha egy kisérlettel kapcsolatos elemi események mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy-egy valós számot, akkor az elemi események Ω halmazán egy függvényt értelmezünk. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük. Példák: Egy szabályos dobókockával dobunk. Minden elemi eseményhez hozzárendeljük a kocka felső lapján levő pöttyök számát: Adott helyen megmérjük a folyó vízállását. A vízmagasság cm-ben vett értékét, hozzárendeljük a bekövetkezett elemi eseményhez. Egy 3 lapos kártyacsomagból véletlenszerűen kihúzunk egy lapot. A bekövetkezett elemi eseményhez hozzárendelünk egy laptól függő számot, pl. alsóhoz -t, felsőhöz 3-at, királyhoz 4-et stb. Jelölés: A valószínűségi változót szokás görög betűvel jelölni, pl. ξ, η, ζ. Más szakirodalomban szokásos a nyomtatott nagybetű használata is, pl. X, Y, Z. Megjegyzés: A valószínűségi változó lehet diszkrét, ha véges sok értéket vehet fel, vagy végtelen sok értéket, de azok sorozatba rendezhetők. A valószínűségi változó folytonos, ha értékei egy vagy több intervallumot alkotnak..3.. Valószínűségi változók eloszlása Két valószínűségi változó akkor is lényegesen különböző lehet, ha ugyanazokat az értékeket veszik fel. Dobjunk pl. egy szabályos dobókockával ésξlegyen a dobott szám értéke. Azη valószínűségi változót 5 darab érme feldobásával generáljuk. η értéke legyen -gyel nagyobb, mint a dobott fejek száma. Ekkorξésηlehetséges értékei egyaránt,,3,4,5,. Készítette: Vajda István 4

12 Ha azonban megvizsgáljuk, hogy az egyes értékeket ξ és η milyen valószínűséggel veszik fel, akkor a két valószínűségi változó között lényeges különbségeket tapasztalunk. ξ nyilván mind a hat értéket egyenlő valószínűséggel veszi fel, tehát mindegyiket valószínűséggel. Ezzel szemben ( haηaz n értéket veszi fel (n {,, 3, 4, 5, }), akkor n fejet dobtunk. Az 5 érméből 5 n ) féleképpen lehet kiválasztani azt az n amelyikkel fejet dobtunk. (A többivel írást.) Mivel egy megadott kiválasztás -hoz tartozó elemi esemény ( ) 5= valószínűséggel következik be,ηértéke ( 5 3 ) valószínűséggel lesz n. Foglaljuk táblázatba az egyes értékekhez n 3 tartozó valószínűségeket a két valószínűségi változó esetén: ξ η P (ξ) P ( η ) Egy valószínűségi változó lehetséges értékeit és a hozzájuk tartozó bekövetkezési valószínűségeket a valószínűségi változó eloszlásának nevezzük. A fenti táblázatokkal tehát a ξ, illetve η valószínűségi változók eloszlását adtuk meg. Az eloszlásban a valószínűségek összege mindig, hiszen az, hogy a valószínűségi változó felvesz valamilyen értéket, a biztos esemény. A valószínűségi változók eloszlását grafikusan is ábrázolhatjuk. Tegyük meg ezt a fenti két valószínűségi változó esetén: P (ξ) P ( η ) ξ η A ξ valószínűségi változó minden értékéhez ugyanakkora valószínűség tartozik. Az ilyen eloszlásokat egyenletes eloszlásnak nevezzük. Azηvalószínűségi változó esetén a valószínűségeket úgy számoljuk, mint a visszatevéses mintavétel esetén. (Valójában ugyanarról van szó.) Ennek eloszlása a később ismertetendő binomiális eloszlás. A valószínűségi változók eloszlását szokás megadni az ún. eloszlásfüggvénnyel. Készítette: Vajda István 47

13 Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy ξ -nél kisebb értéket vesz fel, azaz R esetén F ()=P (ξ<) Térjünk vissza az előző példában szereplőξésηvalószínűségi változók vizsgálatához! ξ eloszlásfüggvénye -t vesz fel, ha <, hiszenξlegkisebb értéke, tehátξ< lehetetlen. Ugyanez még = esetén is igaz, hiszenξlehet egyenlő -gyel, de kisebb nem lehet nála. Tehát F ξ ()=, ha. Ha <, akkor F ξ ()=, hiszenξ< csakξ= esetén következhet be, és ennek valószínűsége. Ha < 3, akkor F ξ ()= =, mertξ< 3 bekövetkezikξ= ésξ=esetén is. Hasonlóan okoskodva tovább azt kapjuk, hogy ha Ábrázoljuk az F ξ eloszlásfüggvényt! ha < ha < 3 3 F ξ ()= ha 3< 4 4 ha 4< 5 5 ha 5< ha < y F ξ Készítette: Vajda István 48

14 Az előzőhöz hasonló okoskodással: Ábrázoljuk az F η eloszlásfüggvényt! ha ha < 3 ha < 3 3 F η ()= ha 3< 4 3 ha 4< ha 5< 3 ha < y F η Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: Az eloszlásfüggvény monoton növekedő. Az eloszlásfüggvény minden valós helyen balról folytonos. lim F ()= és lim F ()=..3.. Néhány diszkrét eloszlású valószínűségi változó Indikátorváltozó Egy véletlen kisérlet során az A esemény bekövetkezését figyeljük. A ξ valószínűségi változó az A esemény indikátorváltozója, ha, ha az A esemény bekövetkezik ξ=, ha az A esemény nem következik be Ha az A esemény bekövetkezésének valószínűsége p, akkor P (ξ = ) = p és P (ξ = ) = p. Egyenletes eloszlású valószínűségi változó Ha aξvalószínűségi változó lehetséges értékei,,..., n és P (ξ= )=P (ξ= )=...=P (ξ= n )= n akkor a ξ valószínűségi változót egyenletes eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. Készítette: Vajda István 49

15 Binomiális eloszlású valószínűségi változó Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei,,,..., n és ( ) n P (ξ=k)= p k( p ) n k k ahol < p <, akkor ξ-t binomiális eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. n-et és p-t az eloszlás paramétereinek szokás nevezni. Binomiális eloszlású valószínűsági változót kapunk, ha egy véletlen kisérletet (egymástól függetlenül) n-szer végrehajtunk és az A esemény bekövetkezését figyeljük. A valószínűségi változó értéke az a k szám, ahányszor A az n kisérlet során bekövetkezett. ( k n) Hipergeometrikus eloszlás Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei,,,..., n és P (ξ=k)= ( M N M ) k)( ( N k) n k ahol n N és M N, akkor ξ-t hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. Az eloszlásnak három paramétere van: N, M és n. Ilyen eloszlású valószínűségi változót kapunk pl. ha egy N golyót tartalmazó urnából, amelyben M golyó kitüntetett (pl. piros) n golyót húzunk visszatevés nélkül és a valószínűségi változó értéke a kihúzott kitüntetett golyók száma. A Poisson-eloszlás A ξ valószínűségi változót λ paraméterű (λ > ) Poisson-eloszlásúnak nevezzük, ha ξ lehetséges értékei nemnegatív egész számok és Feladatok: P (ξ=k)= λk k! e λ Ezt az eloszlást a ritka (kis valószínűségű) események eloszlástörvényének is nevezik.. Adja meg a p =.7 paraméterű indikátorváltozó eloszlását táblázatosan és grafikusan! Rajzolja fel a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét is! ξ P (ξ).7 P (ξ).3.7 ξ.3.3 y F ξ Készítette: Vajda István 5

16 . A ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei:, 7,...,. Határozza meg a P (ξ<9), P (ξ 3) és P (3<ξ ) valószínűségeket! A valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma 5 = 5, így a lehetséges értékek bármelyike valószínűséggel következik be. Mivelξ<9 esetén a valószínűségi változó a, 7 és 8 értékeket veheti fel (3 lehetőség), ezért P (ξ<9)=3 = Hasonlóan P (ξ 3)= 8 és P (3<ξ )= Egy urnában 5 golyó található, amelyek közül 4 piros. Véletlenszerűen húzunk 3 golyót visszatevéssel. A ξ valószínűségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását képlettel, táblázattal és grafikonnal! Számítsa ki a P (ξ ) valószínűséget! Visszatevéssel húzunk, tehát a kisérletet változatlan körülmények között ismételjük meg 3-szor. Az A esemény jelentse azt, hogy piros golyót húzunk. A valószínűségi változó értéke A bekövetkezéseinek száma, tehát binomiális eloszlásról van szó, melynek paraméterei n=3és p=p (A)= 4 5. Az eloszlás: P (ξ=k)= Táblázattal: ( ) n p k( p ) n k = k ( ) (4 3 k ( ) 3 k = k 5) 5 ( ) 3 4 k ahol k {,,, 3} k 5 3 ξ 3 P (ξ) = 4 =.8 3 = 4 =.9 3 = 48 = = 4 = Grafikonnal: P (ξ) ξ 3 P (ξ )=P (ξ=)+p (ξ=3)= = Egy urnában 5 golyó található, amelyek közül 4 piros. Véletlenszerűen húzunk 3 golyót visszatevés nélkül. A ξ valószínűségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását képlettel, táblázattal és grafikonnal! Számítsa ki a P (ξ ) valószínűséget! A feladat szövege majdnem azonos az előző feladatéval. Az egyetlen eltérés, hogy most visszatevés nélkül húzunk, tehát hipergeometrikus eloszlásról van szó, melynek paraméterei N= 5, M=4és n=3. Készítette: Vajda István 5

17 Az eloszlás: P (ξ=k)= ( M N M ) k)( n k ( N = k) ( 4 k)( 3 k ( 5 k) ) A valószínűségi változó lehetséges értékei és 3, hiszen nem piros golyót legfeljebb -et húzhatunk. Az eloszlás táblázattal megadva: Grafikonnal: ξ 3 P (ξ) ( 4 ) ( 5 3) = =. ( 4 3) ( 5 3) = 4 =.4 P (ξ)..4 3 ξ P (ξ )=, hiszenξ abiztos esemény. 5. Statisztikai adatok alapján tudjuk, hogy bizonyos típusú alkatrészek %-a selejtes. db-ot vásároltunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a vásároltak között a) 3 db selejtes van; b) -nél több selejtes van? a) ( 3) b).9..9 ( ) Egy könyv lapjain előforduló sajtóhibák száma λ = 3 paraméterű Poisson-eloszlást követ. Adja meg az eloszlást képlettel! Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott lapon a sajtóhibák száma pontosan, illetve annak, hogy a sajtóhibák száma -nél nagyobb? Az eloszlás képlettel: P (ξ=k)= λk k! e λ = 3k k! e 3 = 3k k! e 3 Készítette: Vajda István 5

18 P (ξ=)= 3 9! e 3= e3.4 P (ξ>)= P (ξ=) P (ξ=)= 3 e 3 e 3= 4 e3.8 Készítette: Vajda István 53

19 .3.3. Diszkrét eloszlású valószínűségi változók várható értéke és szórása A diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a bekövetkezési valószínűségükkel súlyozott közepét a valószínűségi változó várható értékének nevezzük. Jelölés: M (ξ) Megjegyzések: Ha a valószínűségi változónak véges sok lehetséges értéke van, mégpedig,,..., n és az ezekhez tartozó valószínűségek rendre p, p,..., p n, akkor n M (ξ)= p i i = p + p +...+p n n i= Ha a valószínűségi változónak (megszámlálhatóan) végtelen sok lehetséges értéke van mégpedig,,..., n,... és az ezekhez tartozó valószínűségek rendre p, p,..., p n,..., akkor a várható érték egy végtelen sor összege (feltéve, hogy a sor konvergens) M (ξ)= p i i = p + p +...+p n n +... i= A várható érték azt fejezi ki, hogy a valószínűségi változót előállító kisérletet sokszor végrehajtva a bekövetkezett értékek átlaga milyen számot fog (nagy valószínűséggel) közelíteni. Példák: Ha egy szabályos dobókockával dobunk és a ξ valószínűségi változó értéke a dobott szám, akkor M (ξ)= = = 7 = 3.5. Egy szabályos pénzérmével dobunk. Aξvalószínűségi változó értéke ha írást dobunk ξ= ha fejet dobunk A valószínűségi változó várható értéke M (ξ)= + = Egy urnában 4 piros és fehér golyó van. Viszatevéssel húzunk az urnából 3 golyót. Aξ valószínűségi változó értéke a kihúzott piros golyók száma.ξ várható értéke ( ) ( 3 ( ) () ( 3 ( ) () ( 3 ( ) ( ) ( 3 3 ( ) M (ξ)= = 3) 3 3) 3 3) 3 3 3) = Készítette: Vajda István 54

20 Ha a ξ valószínűségi változónak létezik M (ξ) várható értéke, továbbá a ((ξ M (ξ)) kifejezésnek is létezik várható értéke, akkor a M ( (ξ M (ξ)) ) mennyiségetξszórásának nevezzük. Jelölés: D (ξ) Megjegyzések: Tehát a szórás a valószínűségi változó és annak várható értéke közötti eltérés négyzetének várható értékéből vont négyzetgyök. A szórás négyzetét röviden szórásnégyzetnek szoktuk nevezni. A szórás azt fejezi ki, hogy a valószínűségi változó által felvett értékek átlagosan mennyivel térnek el a várható értékétől. A szórás kiszámítása diszkrét valószínűségi változó esetén: Először kiszámítjuk a várható értéket: m=m (ξ)= p i i Ezután képezzük az i m eltéréseket. i Kiszámítjuk a szórásnégyzetet: D (ξ)= p i ( i m) i A szórásnégyzetből négyzetgyököt vonunk. Példa: Egy szabályos dobókockával dobunk. A valószínűségi változó által felvett érték a a dobott szám. Számítsa ki a valószínűségi változó szórását. Mint korábbi számításunkból tudjuk m = M (ξ) = 3.5. D (ξ)= i= (i 3.5) = ( (.5) + (.5) + (.5) + (.5) + (.5) + (.5) ) = = 35 A szórás: D (ξ)= Készítette: Vajda István 55

21 A valószínűségi változó szórása általában könnyebben is kiszámítható a következő tétel alapján Tétel: Ha ξ valószínűségi változó szórásának négyzete amennyiben létezik D (ξ)=m ( ξ ) M (ξ) Példa: Számítsuk ki az előző példa szórását a tétel alapján! M ( ξ ) = ( ) = 9 D ( ξ ) = M ( ξ ) M (ξ)= = D (ξ)= Tétel: Haξbinomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterekkel, akkor M (ξ)=np D (ξ)= np ( p ) Tétel: Ha ξ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó N, M és n paraméterekkel, akkor M (ξ)=n M N D (ξ)= n M N ( M )( n ) N N Készítette: Vajda István 5

22 Tétel: Ha ξ Poisson-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, akkor M (ξ)=λ D (ξ)= λ Feladatok:. Egy szabályos dobókockát 3-szor feldobunk. Legyen ξ a dobott -osok száma. Határozza megξvárható értékét és szórását! ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó n=3 és p= paraméterekkel. M (ξ)=np=3 = 5 és D (ξ)= np ( p ) = 3 5 = 5 =.4.. termék közül 5 selejtes, a többi hibátlan. Visszatevés nélkül véletlenszerűen kiválasztunk a termékek közül darabot, ξ legyen a kiválasztott selejtes darabok száma. Határozza meg ξ várható értékét és szórását! ξ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó N=, M=5 és n= paraméterekkel. M (ξ)=n M N = 5 = és D (ξ)= n M N ( M )( n ) = N N = 9 = Egy 5 oldalas könyvben nyomdahibát találtak. Az egy oldalon található nyomdahibák száma Poisson-eloszlást mutat. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a) egy adott oldalon pontosan nyomdahiba van; b) egy adott oldalon legalább egy nyomdahiba van; c) három egymást követő oldalon összesen 5 nyomdahiba van! A hibák számának várható értéke egy oldalon 5 = 5. MivelξPoissoneloszlású, M (ξ)=λ= 5. a) P(ξ=)= λ! e λ, 8. b) P(ξ )= P(ξ=)= e λ, 9. c) M ( η ) = λ= 33 5 λ, P(η=5)= 5 5! e λ, Egy 3 m hosszú,.5 m széles szövetvégben 7 db szövési hiba található. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a szövetvég találomra kiválasztott m -es darabjában legfeljebb egy szövési hiba fordul elő, ha az m -es darabban előforduló szövési hibák Készítette: Vajda István 57

23 száma Poisson-eloszlást követ! A szövetvég területe 45 m, így az m -re eső hibák átlagos száma 7 45 =.. Tehát M (ξ)=λ=.. P (ξ )=P (ξ=)+p (ξ=)=e λ +λe λ = 3.e Egy telefonközpontba perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, akkor mennyi a valószínűsége, hogy perc alatt a) pontosan hívás érkezik be; b) pontosan hívás érkezik be; c) legfeljebb 3 hívás érkezik be; d) legalább hívás érkezik be? λ=m (ξ)=5. a) P (ξ=)=λe λ = 5e b) P (ξ=)= λ! e λ =.5e ( c) P (ξ 3)=e λ +λ+ λ! +λ3 3! ( )=e d) P (ξ )= P (ξ=)= e λ = e ).4. Készítette: Vajda István 58

24 .4. Folytonos valószínűségi változók A ξ valószínűségi változót (és annak eloszlását is) folytonosnak nevezük, ha ξ F-fel jelölt eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz létezik olyan f függvény, amelyre R esetén f (t) dt=f () Az összefüggésben szereplő f függvényt aξvalószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Példa: Egy kör alakú, R sugarú céltáblára véletlenszerű lövéseket adunk le. Tegyük fel, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát, és azon bármely tartomány eltalálásának valószínűsége egyenesen arányos annak területével. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke a tábla középpontjának és a találati pontnak a távolsága. Határozzuk megξeloszlás és sűrűségfüggvényét! R Az eloszlásfüggvény definíció szerint F () = P (ξ<). Aξ < esemény R esetén azt jelenti, hogy a találat egy sugarú a céltáblával koncentrikus körlap belsejébe esik. (A találat -nél kisebb távolságra van a céltábla középpontjától.) Mivel a lövés biztosan eltalálja a céltáblát és a síkidomok találati valószínűsége a területükkel arányos: P (ξ<) P (I) ahol I a biztos eseményt jelenti. = P (ξ<) = π R π = R, Ha <, akkor P (ξ<)=, ugyanis az, hogy a találati pont negatív távolságra legyen a céltábla középpontjától lehetetlen, a lehetetlen esemény valószínűsége pedig. Másrészt, ha >R, akkor P (ξ<)=, hiszen az, hogy a találat távolsága kisebb vagy egyenlő mint R a biztos esemény. Készítette: Vajda István 59

25 y Ennek alapján a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F ha F ()= ha < R R R ha < Az F függvényt deriválva megkapjukξsűrűségfüggvényét: y R R f ha f ()= ha <<R R ha < Az eloszlásfüggvény az = R helyen nem deriválható. Integrálással ellenőrizhetjük, hogy a kapott f függvény valóban ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény tulajdonságai: R esetén f () (A sűrűségfüggvény csak nemnegatív értékeket vesz fel.) f () d= Egy folytonosξvalószínűségi változó várható értékén az improprius integrált értjük. f () d Tétel: Egy folytonosξvalószínűségi változó szórásának négyzete D (ξ)=m ( ξ ) M (ξ)= f () d f () d Készítette: Vajda István

26 Példa: Határozzuk meg az előző példa valószínűségi változójának várható értékét és szórást! M (ξ)= f () d= d+ D (ξ)=m ( ξ ) M (ξ)= R R R d+ D (ξ)= R 3 = R d= R ] R 3 ( ) R [ 4 R d = 3 R R [ ] 3 R R d= = R 3R 3 4R 9 = R Néhány folytonos eloszlású valószínűségi változó A folytonos, egyenletes eloszlás A ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ]a, b[ intervallumban, ha sűrűségfüggvénye: a y b a b f f ()= ha a<<b b a egyébként y a b F Eloszlásfüggvénye integrálásssal meghatározható: ha a a F ()= f (t) dt= ha a< b b a ha b< Eponenciális eloszlás Aξvalószínűségi változóλparaméterű eponenciális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: y λ y f F f ()= Eloszlásfüggvénye: F ()= { f (t) dt= ha λe λ ha > { ha e λ ha > Készítette: Vajda István

27 Normális eloszlás Aξvalószínűségi változó m,σparaméterű normális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: y y m m f Eloszlásfüggvénye: f ()= F ()= σ π σ ( m) π e σ e (t m) σ dt Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ]a, b[ intervallumban, akkor várható értéke és szórása: M (ξ)= a+b D (ξ)= 3 (b a) Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó λ paraméterű, eponenciális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M (ξ)=d (ξ)= λ Tétel: Ha aξvalószínűségi változó m ésσparaméterű, normális eloszlású, akkor várható értéke és szórása: M (ξ)=m D (ξ)=σ Készítette: Vajda István

28 Feladatok ha <. Egy ξ folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f () = A ha a) Határozza meg A értékét! b) Írja fel az eloszlásfüggvényt! c) Számítsa ki a P( ξ<4) valószínűség értékét! d) Mely -re teljesül, hogy P(ξ>)= e) Határozza meg aξvalószínűségi változó várható értékét és szórását! a) Mivel a sűrűségfüggvény integrálja a ], [ intervallumon, = f () d= A ω d= lim ω [ A d= lim A ] ω ( = lim A )=A ω ω ω + A Tehát A=. b) F ()= f (t) dt= ha [ t dt= ] t = ha > c) P( ξ<4)=f (4) F ()= 4 d) F ()=P (ξ<)= P(ξ>)=, azaz = =. ω e) f () d= d= lim d= lim ω ω [ln ]ω = lim (ln ω ln )= ω Mivel a kapott improprius integrál divergens, a valószínűségi változónak nincs várható értéke, ennélfogva szórása sem lehet. Készítette: Vajda István 3

29 . Egyξfolytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f ()= C + 4. a) Határozza meg C értékét! b) Írja fel az eloszlásfüggvényt! c) Számítsa ki a P( ξ<) valószínűség értékét! d) Mely -re teljesül, hogy P(ξ>)= 4? e) Határozza meg aξvalószínűségi változó várható értékét és szórását! a) = f ()d= C + 4 d= = lim ω ω C + ( C ω d= lim + 4 ω ) d= lim ω [C arctg ] ω C + 4 d= ( = lim C arctg ω ) ω C arctg = Cπ C= π = b) F()= f (t)dt= lim ω = lim ω [ π arctg t ω ] ω f (t)dt= lim ω π ω dt= lim t + 4 ω = lim ω ( π arctg π arctgω π ω ) = + π arctg + ( ) dt= t c) P( ξ<)=f() F()= π arctg = 4 d) F ()=P (ξ<)= P (ξ>)= 3 4, tehát + π arctg = 3 4 = e) Mivel pl. f () d= π + 4 d= π + 4 d+ π + 4 d ω d= lim + 4 ω [ ( d= lim ln + 4 )] ω + 4 = lim ( ( ln ω + 4 ) ln 4 ) = ω ω a valószínűségi változónak nem létezik várható értéke és szórása sincs. Készítette: Vajda István 4

30 ha 3. Igazolja, hogy az F()= e ha < függvény eloszlásfüggvény! ( F monoton növekedő, folytonos, lim F ()=, lim F ()= lim ) e =, tehát az eloszlásfüggvény összes tulajdonsága teljesül. (Észrevehetjük, hogy éppen egy λ=paraméterű eponenciális eloszlásról van szó.) 4. Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: c arcsin ha, f ()= egyébként Mekkora a c értéke? = f ()d= c arcsin d=[c arcsin ] c d= = [ c arcsin +c ] = c arcsin c=c ( π ) c= π 5. Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: sin ha π f ()= egyébként Mekkoraξvárható értéke és szórása? M (ξ)= f () d= π [ sin d= ] π π cos ( cos ) d= [ = sin ] π cos = π D (ξ)= [ cos f () d M (ξ)= ] π + π π sin d π 4 = cos d π 4 = [ sin cos [ cos + sin cos ] π ] π π π 4 =π D (ξ)= 4 sin d π 4 = π 4 Készítette: Vajda István 5

31 . Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye { ( ) c + ha <<4 f ()= egyébként a) Határozza meg c értékét! b) Számítsa kiξvárható értékét és szórását! a) = f () = 4 c ( + ) d= [ c ( )] 4 = 74c 3 c= 3 74 b) M (ξ)= D (ξ)= f () d= 3 4 ( + 3) d= 3 [ ] = f () d M (ξ)= ( 3 + 4) d M (ξ)= = 3 [ ] ( ) 8 = D (ξ)= Készítette: Vajda István

32 .4.. A normális eloszlású valószínűségi változó néhány alkalmazása A normális eloszlás amelyet hibaeloszlásnak is neveznek a valószínűségszámításban központi szerepet játszik. A gyakorlatban előforduló számos valószínűségi változó normális eloszlású vagy normális eloszlásal közelíthető. Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó m, σ paraméterű, normális eloszlású, akkor aξ valószínűségi változó is normális eloszlású várható értékkel és szórással. Ha aξvalószínűségi változó várható értéke, szórása, akkor standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: A standard normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényét az általános jelöléstől eltérően ϕ-vel, eloszlásfüggvényétφ-vel szokás jelölni. Megjegyzés: AΦfüggvény értékeit előre elkészített táblázatból tudjuk kikeresni. Mivel Φ ( )= Φ (), a táblázatban csak a nemnegatív számokhoz tartozó függvényértékeket találjuk. Feladatok:. Legyen ξ normális eloszlású m =, σ = 4 paraméterű valószínűségi változó. a) Írjuk fel a sűrűség- és eloszlásfüggvényét! b) Mennyi a várható értéke és szórása? c) Számítsa ki a P( < ξ < 3) és a P(ξ) > 4 valószínűségek értékét! a) f ()= σ ( m) π e σ = 4 π e b) M(ξ)=m=, D(ξ)=σ=4. ( c) P(<ξ<3)=F(3) F()=Φ ) ( ) 3 F() = σ π e ( m) σ =Φ ( ) ( Φ ) ( ( =Φ +Φ 4 ) 4) =.9 ( 3 P(ξ>4)= F(4)= Φ.7734=.. 4) 4 Készítette: Vajda István 7

33 . Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 8. Mekkora a szórása, ha tudjuk, hogy P(ξ < ) =.5? F()=.5 Φ ( 8 ) ( 8 =.5 Φ =.8785 σ σ) 8 σ =.7 σ= Egy gyártmány mérethibája azaz eltérése a névleges értéktől egy normális eloszlású valószínűségi változó (ξ), melynek várható értéke. Megállapították, hogy. annak a valószínűsége, hogy hogy a mérethiba abszolút értéke nem éri el a mm-es határt. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a mérethiba abszolút értéke a 8 mm-t nem haladja meg! σ.888 P ( ξ <8) Egy üzemrészben deszkákat készítenek. Ezek hossza normális eloszlású valószínűségi változó 3 cm várható értékkel, és cm szórással. a) Mekkora a valószínűsége, hogy egy deszka hossza nagyobb, mint 35 cm? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a deszkák hossza legfeljebb cm-rel tér el a 3 cm-től? a) P (ξ>35)= F(35)= Φ (.5).. ( ( b) P ( ξ 3 <)=F(3) F(99)=Φ Φ ) ) ( = Φ.383. ) 5. Egy munkapadról kikerült termék hossza normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 5 mm, szórása 3 mm. a) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy egy munkapadról kikerült termék hossza 48 és 5 mm közé esik! b) Mekkora pontosság biztosítható.95%-os valószínűséggel a munkadarabok hoszszára? ( a) P(48<ξ<5)=F(5) F(48)=Φ 3) ( Φ b) P( ξ 5 <d)=f(5+d) F(5 d)=φ ( ) d.95 Φ =.975 d=5.88 mm. 3 3 ) ( d 3 ) ( = Φ ) ( d ) ( ) d = Φ = 3 3 Φ Készítette: Vajda István 8

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám 2016. január 16. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal Matematika A 2. évfolyam Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal 35. modul Készítette: Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF 1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb ). A 10 pont közül ki kell választani

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. Bevezetés

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. Bevezetés VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Bevezetés A világban való vizsgálódásunk során alapvetően kétféle jelenséggel találkozhatunk. Az egyik az, amikor előre meg tudjuk mondani, hogy mi fog történni. Például, ha egy alma

Részletesebben

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul

FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA. 5. modul Matematika A 4. évfolyam FEJSZÁMOLÁS A TÍZEZRES SZÁMKÖRBEN A KÉTJEGYŰEKKEL ANALÓG ESETEKBEN. AZ ÖSSZEADÁS ÉS KIVONÁS MONOTONITÁSA 5. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 5. modul FEJSZÁMOLÁS

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC

GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC Bálint Péter - Garay Barna - Kiss Márton - Lóczi Lajos - Nagy Katalin - Nágel Árpád GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC 211 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor, konzulensek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK. 44. modul

VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK. 44. modul Matematika A 3. évfolyam VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK 44. modul Készítette: SZITÁNYI JUDIT matematika A 3. ÉVFOLYAM 44. modul VALÓSZÍNŰSÉGI JÁTÉKOK MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

Matematikaóra-tervezet

Matematikaóra-tervezet Matematikaóra-tervezet "Mondd el és elfelejtem; Mutasd meg és megjegyzem; Engedd, hogy csináljam és megértem." (Kung Fu-Ce) Készítette: Horváth Judit Osztály: 3. osztály (év vége) Tantárgy: matematika

Részletesebben

C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA. Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont

C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA. Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont 8. Í M K E É V F O L Y A M TANULÓI AZONOSÍTÓ: ORSZÁGOS KOMPETENIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULS MATEMATIKA Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön a 2007-es Országos

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Valószínűségszámítási paradoxonok

Valószínűségszámítási paradoxonok Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium Gimnazija sa domom učenika za talentovane učenike "Boljai" Valószínűségszámítási paradoxonok érettségi dolgozat valószínűségszámításból Tanuló: Tokić Rudolf

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA

A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA A FENNAKADÁS KÉT TÍPUSA Galgóczi Gyula Hajdu Endre Az alábbiakban a kézi eszközökkel végzett fakitermelés egyik balesetveszélyes mozzanatáról lesz szó. Arról a folyamatról,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

SZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK

SZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK SZÁMOLÁSTECHNIKAI ISMERETEK Műveletek szögekkel Geodéziai számításaink során gyakran fogunk szögekkel dolgozni. Az egyszerűbb írásmód kedvéért ilyenkor a fok ( o ), perc (, ), másodperc (,, ) jelét el

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját!

Tevékenység: Gyűjtse ki és tanulja meg a kötőcsavarok szilárdsági tulajdonságainak jelölési módját! Csavarkötés egy külső ( orsó ) és egy belső ( anya ) csavarmenet kapcsolódását jelenti. A következő képek a motor forgattyúsházában a főcsapágycsavarokat és a hajtókarcsavarokat mutatják. 1. Kötőcsavarok

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

Minta 2. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 2. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Statisztikai alapismeretek (folytatás) Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai

Részletesebben

0622. MODUL EGÉSZ SZÁMOK. Szorzás és osztás egész számokkal. Egész számok összeadása és kivonása KÉSZÍTETTE: ZSINKÓ ERZSÉBET

0622. MODUL EGÉSZ SZÁMOK. Szorzás és osztás egész számokkal. Egész számok összeadása és kivonása KÉSZÍTETTE: ZSINKÓ ERZSÉBET 0622. MODUL EGÉSZ SZÁMOK Szorzás és osztás egész számokkal. Egész számok összeadása és kivonása KÉSZÍTETTE: ZSINKÓ ERZSÉBET 0622. Egész számok Szorzás és osztás egész számokkal Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben