Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged"

Átírás

1 Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy azok a diákok, akik a matematika más fejezeteiben jeleskednek, ebben a témakörben háttérbe szorulnak, míg mások pont ilyenkor bontakoznak ki, jobbnál jobb ötletekkel állnak elő, kiválóan látják a problémák lényegét. Ez a helyzet a tanárokban más-más véleményt alakít ki. Van, aki nem szereti azokat az órákat, ahol kombinatorikai témák kerülnek elő, van, aki lubickol ezekben a problémákban és gyönyörűen tud haladni a témakörben. Bárhogy is viszonyulunk hozzá, tanítanunk kell, mert a mai tanterv szerves részét képezi. Az eddigi tapasztalataim szerint a diákokhoz sokkal közelebb áll a kombinatorika, a kombinatorikus gondolkodásmód éves korukban, mint később, a gimnáziumi tanulmányaik során. Ha idejében, már általános iskolában megszokják a könnyed, de rendszeres gondolkodást, akkor a gimnáziumi évek során kevesebb gondjuk lesz az ilyen jellegű feladatokkal. Két évvel ezelőtt végeztem egy házi kísérletet. Egy 11.-es, -9. osztálytól kezdve emelt óraszámú- nem speciális matematika osztályban lényegében ugyanazt a kombinatorikaanyagot tanítottam, mint az akkori 8.-os speciális matematika osztályban. Annak ellenére, hogy ez a 8.-os osztály nem tartozik tagozatunk történetének kiemelkedő osztályai közé, náluk sokkal gördülékenyebben haladtunk az anyaggal és a témakör végén jóval nehezebb feladatokat oldottunk meg, mint a 11.-esekkel. Az alábbiakban egy lehetséges utat szeretnék felvázolni a kombinatorika tanítására. Reményeim szerint ez segítséget nyújthat a témakör szakköri feldolgozásához. I. Logikai szita 1. Egy 28 fős osztály egyik osztálykirándulás alkalmával tejivóban vacsorázott. Tízen ettek lekváros palacsintát, tizenhatan kakaósat és öten mindkét fajtából fogyasztottak. Akik nem kívánták az édeset, omlettet kértek. Hányan ettek csak egy fajta palacsintát? Hányan ettek omlettet? 2. A strandon a lángossütőnél a sima lángos 200 Ft, a tejfölös 260 Ft, a sajtos 280 Ft, a sajtos-tejfölös 340 Ft. Egy alakalommal az árus összeszámolta, hogy az utolsó két órában a 30 vásárlóból 8-an kértek sajtot és tejfölt a lángosra, 18 olyan vásárló volt, aki kért rá tejfölt és 15 olyan, aki sajtot. Mennyi bevétele származott a lángosokból az árusnak ebben a két órában? 3

2 Kistérségi tehetséggondozás 3. Egy osztályban a tanulók 80%-a közepesnél nem rosszabb, 40%-a közepesnél nem jobb dolgozatot írt matematikából. Hányan vannak az osztályban, ha közepes dolgozat 18-cal kevesebb volt, mint nem közepes? 4. Egy 30 fős osztályban három szakkörre járnak: matematikára, fizikára és kémiára. Minden diák tagja valamelyik szakkörnek. Tudjuk, hogy matekra 14-en, fizikára 15-en, kémiára 11-en járnak. A pontosan két szakkörre járók száma: 6. Hány olyan diák van, aki mindhárom szakkörre jár? 5. Hány olyan 500-nál kisebb pozitív egész szám van, amely a 3 és a 7 számok közül legalább az egyikkel osztható? Hány olyan van, amely pontosan az egyikkel osztható? Hány olyan van, amely egyikkel sem? 6. Hány olyan 100-nál kisebb pozitív egész szám van, mely a) nem osztható 2-vel és 3-mal, b) nem osztható 2-vel és nem osztható 3-mal, c) nem osztható 2-vel vagy hárommal, d) nem osztható 2-vel vagy nem osztható 3-mal? 7. Az első ötszáz pozitív egész szám között hány olyan van, amely a 2, 3, 5 számok közül a) pontosan kettővel, b) pontosan az egyikkel, c) legalább az egyikkel, d) egyikkel sem osztható? II. Összeszámlálási feladatok i. A kombinatorika általános szabályai 1. A szekrényben öt kávéscsésze és három csészealj található. Hányféleképpen állíthatunk össze belőlük egy egyszemélyes kávéskészletet? 2. Hányféleképpen állíthatunk össze egy egyszemélyes kávéskészletet, ha választunk hozzá a szekrényben található négy mokkáskanál közül? 4

3 3. Hányféleképpen juthatunk el az A városból a C városba, ha azokat a mellékelt úthálózat köti össze? 4. A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány négyjegyű számot készíthetünk, ha a) egy számjegyet csak egyszer használhatunk fel, b) egy számjegyet többször is felhasználhatunk? A kombinatorika szorzási szabálya: Ha az A objektumot m-féleképpen, a B objektumot n-féleképpen lehet kiválasztani, akkor az (A;B) rendezett elempárt mn féleképpen lehet kiválasztani. 5. Hányféleképpen állíthatunk össze öt kávéscsészéből, három csészealjból és négy mokkáskanálból egy olyan kávéskészletet, amely két különböző fajta részből áll? 6. Hányféleképpen juthatunk el az A városból a C városba, a B vagy a D városon keresztül az alábbi úthálózaton? 5

4 Kistérségi tehetséggondozás 7. A 4. feladat a) részében szereplő számok között hány olyan van, amelyik osztható öttel? A kombinatorika összeadási szabálya: Ha egy A objektumot m-féleképpen, egy B objektumot n-féleképpen választhatok ki, de a kettő együtt nem valósulhat meg, akkor a vagy A, vagy B megvalósítása m + n féleképpen lehet. ii. Variációk 1. Egy futóverseny döntőjébe nyolc versenyző jutott. Az első helyezett arany-, a második ezüst-, a harmadik bronzérmet nyer. Hányféleképpen lehet kiosztani az érmeket? 2. Az 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekből hány négyjegyű szám készíthető, ha egy számjegyet legfeljebb csak egyszer használhatunk fel? Ezek közül hányban szerepel az 5-ös számjegy? 3. Egy harmincfős osztályban három különböző könyvet sorsolnak ki. Hányféleképpen lehetséges ez, ha egy gyerek csak egy könyvet kaphat? 4. Egy dobókockával négyszer dobunk egymás után, majd a dobott számokat leírjuk egymás mellé. a) Hány négyjegyű számot kaphatunk így? b) Hány olyan szám van közöttük, amely osztható 4-gyel? c) Hány olyan van köztük, melynek számjegyei között van egyforma? d) Hány olyan szám van közöttük, melynek számjegyei között van 3-mal osztható? 5. * Határozzuk meg azon négyjegyű számok összegét, melyek az előző feladat egyes alpontjaiban keletkezhetnek. 6. * Ha a 4/a feladatban szereplő négyjegyű számokat szorosan egymás mellé írjuk, akkor melyik számjegy áll a helyen? 7. a) Hány darab ötjegyű pozitív egész szám van a nyolcas számrendszerben? b) Hány darab legfeljebb hatjegyű pozitív egész szám van a tízes számrendszerben? 8. Színezzük pirosra azon négyjegyű pozitív egész számokat, amelyek számjegyei között van prímszám, a többit pedig kékre. Mennyi a piros és a kék számok számának aránya? 6

5 iii. Permutációk 1. Egy hatfős baráti társaság, három fiú és három lány, elmennek moziba. a) Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? b) Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé, ha fiú, fiú mellé és lány, lány mellé nem akar ülni? 2. Az előző társaság hányféleképpen foglalhat helyet egy kerek asztal körül, ha a forgatással egymásba vihető elhelyezkedéseket nem tekintjük különbözőnek? 3. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a kerek asztal körül, ha fiú, fiú mellé, lány, lány mellé nem szeretne ülni? 4. Az 1, 1, 1, 4, 4, 4, 6 számjegyek mindegyikének felhasználásával, hány hétjegyű szám készíthető? Ezek hányad része osztható tizenkettővel? 5. Hányféle gyöngysort készíthetünk 8 piros, 4 zöld és 3 fehér gyöngyből, ha a gyöngyök legfeljebb csak méretükben különböznek egymástól? Ezek között hány olyan van, amelyben nincs két piros gyöngy egymás mellett? iv. Kombinációk 1. Egy 10 fős társaságban bármely két ember kezet fogott. Hány kézfogás volt összesen? 2. A síkon felvettünk 20 pontot úgy, hogy semelyik három sincs egy egyenesen. a) Hány egyenest határoznak meg a pontok? b) Hány háromszöget határoznak meg a pontok? 3. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig 30 partit fejeztek be, és még mindenkinek hátra van három partija. Hány sakkozó vesz részt a versenyen? 4. Egy pályázatra 15 pályamű érkezett, melyek közül négyet jutalmaznak egyenként Ft-tal. Hányféleképpen lehetséges ez? 5. Egy dobókockával négyszer dobunk egymás után, majd a dobott számokat leírjuk egymás mellé. Hány olyan négyjegyű szám keletkezik, melyben nem szigorúan monoton növekvő sorrendben követik egymást a számjegyek? 6. Hány ötelemű részhalmaza van egy nyolcelemű halmaznak? 7

6 Kistérségi tehetséggondozás 7. Hány megoldása van a természetes számok halmazán az a) x + y = 20 b) * x + y + z = 20 egyenletnek? 8. * Hány megoldása van az előző egyenleteknek a pozitív egész számok halmazán? 9. * Süteményt szeretnénk vásárolni egy cukrászdában összesen 12 db-ot. Három kedvencünk közül választhatunk, melyek a dobos torta, a lúdláb torta és a franciakrémes. Mindegyikből van legalább 12. Hányféleképpen vihetünk haza süteményt, ha nem feltétlenül kell mindegyikből vinni? Hányféleképpen vihetünk haza akkor, ha mindből szeretnénk vinni legalább egyet? v. Pascal-háromszög, avagy Breki béka kalandjai a koordináta-rendszerben 1. A koordináta-rendszer origójában ül Breki béka. Minden ugrása egy egység hosszú. Hányféleképpen juthat el a kiindulási helyéről a P(5;4) koordinátájú pontba, ha csak az x tengely, ill. az y tengely pozitív irányába mozoghat? 2. Hányféleképpen juthat el az előző feladatbeli módon az origóból az y = 6 x egyenletű egyenes első síknegyedbe eső rácspontjaiba? (Ebbe beleértjük a koordináta tengelyeken levő rácspontokat is.) 3. Az x tengely, az y tengely és az y = 6 x egyenletű egyenesek által határolt háromszög belsejében és határán levő rácspontok mindegyikében pontosan annyi légy van, ahányféleképpen eljuthat az origóból abba a pontba a fent leírt módon. Ha végigjárja a háromszögben és annak határán levő összes rácspontot, akkor legfeljebb hány legyet gyűjthet össze? 4. Mutassuk meg kombinatorikai úton, hogy feladatot. 6 6 = 2 4. Általánosítsuk a 5. Mutassuk meg kombinatorikai úton, hogy feladatot = Általánosítsuk a 8

7 6. Lássuk be kombinatorikai úton, hogy egy hatelemű halmaz részhalmazainak a 6 száma 2! Általánosítsuk a feladatot. 7. Hányféleképpen olvashatjuk ki az alábbi táblázatból a kombinatorika szót, ha csak jobbra, illetve lefele haladhatunk? K O M B I N A O M B I N A T M B I N A T O B I N A T O R I N A T O R I N A T O R I K A T O R I K A 8. Hányféleképpen olvashatjuk ki az alábbi táblázatból a variáció szót, ha csak jobbra vagy balra lefelé haladhatunk? V A A R R R I I I I Á Á Á Á Á C C C C C C I I I I I I I Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó vi. Különleges korlátozásokat tartalmazó kombinatorikai feladatok 1. Hány féleképpen ülhet le egymás mellé egy padra hat fiú és négy lány, ha lány, lány mellé nem szeretne ülni? 2. Az A és B pontok között lépcsőt szeretnénk építeni. Az AC vízszintes távolság 5 méter, a CB függőleges távolság 1,8 méter. Az egyes lépcsőfokok magassága 30 cm, szélessége az 50 cm egész számú többszöröse. Hányféleképpen építhetjük meg a lépcsőt? 3. Egy polcon 15 darab könyv áll. Hányféleképpen választhatunk ki közülük 6-ot úgy, hogy a kiválasztottak között ne legyen egymás mellett levő? 4. Egy asztal körül 15 ember ül. Mindenki haragban áll a szomszédaival. Hányféleképpen választhatunk ki közülük hatot úgy, hogy közöttük ne legyenek haragosok? 9

8 Kistérségi tehetséggondozás 5. Egy 52 lapos francia kártyából kiválasztunk 8 lapot. a) Hányféleképpen tehetjük ezt meg? b) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük pontosan két ász? c) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük legalább 3 treff? d) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük kör vagy király? e) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük kör és király? 6. * Hányféleképpen ültethetünk le egymás mellé két angolt, két oroszt és két franciát úgy, hogy két azonos nemzetiségű ne kerüljön egymás mellé. 7. * A 2013 szám számjegyeinek hányféle olyan sorrendje lehet, amelyben a) pontosan egy, b) egyik számjegy sem áll az eredeti helyén? 8. * A 2013 szám számjegyeinek hányféle olyan sorrendje lehet, amelyben egyik előtt sem az a számjegy áll, mint a 2013-ban? 9. Valakinek 6 barátja van. Húsz napon keresztül minden nap meghív vacsorára hármat-hármat. Hányféleképpen teheti ezt meg, hogy mind a húsz napon más és más legyen a társaság összetétele? 10. * Egy énekkar tíz tagja közül három napon keresztül kiválasztanak egy-egy hattagú kórust. Hányféleképpen tehetik ezt meg, hogy mind a három napon más és más legyen a hattagú kórus összetétele? 11. * Titánia egy miniállam az Óperenciás-tengeren túl, ahol az élet nem habostorta. Kormányzója Bástya Elemér, aki hatalomra kerülése óta sok különleges törvényt hozott. Lássunk ebből hármat. 1. Titánia területén legfeljebb annyi n szintes (n = 1,2,3,10) lakóház épülhet, ahányféleképpen kiszínezhetjük a ház szintjeit piros vagy fehér színnel úgy, hogy ne legyen két szomszédos fehér színű szintje. 2. Minden n szintes lakóház bejáratához egy n lépcsőfokból álló lépcsősor vezessen. 3. Minden lakóházban legfeljebb annyi lakást lehet kialakítani, ahányféleképpen fel lehet menni a házhoz tartozó lépcsősoron úgy, hogy egyszerre egy vagy két lépcsőfokot léphetünk. a) Legfeljebb hány n szintestes lakóház épülhet? b) Egy n szintes házban legfeljebb hány lakást lehet kialakítani? c) Maximálisan hány lakóház épülhet Titániában? d) Maximálisan hány lakást lehet építeni? 10

9 vii Partíciós problémák 1. Hányféleképpen lehet a 32 lapos magyar kártyát szétosztani négy játékos között úgy, hogy minden játékos nyolc lapot kapjon? 2. Négyen kártyázunk a 32 lapos magyar kártyával. Mindenkinek nyolc lapot osztunk. Hány esetben lehetséges az, hogy a) nálam lesz a piros ász, b) nálam lesz ász, c) nálam lesz az összes piros? 3. Két gyerek 12 vadgesztenyét, 10 tobozt és 18 makkot gyűjtött. Hányféleképpen oszthatják el ezeket egymás között? (Itt előfordulhat, hogy valamelyik egyet sem kap.) Hányféleképpen oszthatják el abban az esetben, ha mindkettőnek kapnia kell legalább hármat mindegyik fajtából? 4. Három gyerek hatvan barackot szedett. a) Hányféleképpen oszthatják el egymás között a barackokat, ha azok mind egyformák? (Lehet olyan gyerek, aki nem kap barackot.) b) Hányféleképpen oszthatják el egymás között, ha mindegyiknek kapnia kell legalább 10 barackot? 5. Hányféleképpen oszthatunk szét 4 gyerek között 15 barackot, 13 almát, 10 körtét? 6. Hányféleképpen történhet az előző osztozkodás, ha mindegyiknek kapnia kell mindegyik fajtából legalább egyet? 7. Szét akarunk osztani 5 ember között nyolc különböző tárgyat. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? 8. * Hányféleképpen lehetséges az előző osztozkodás, ha mindenkinek kapnia kell legalább egy tárgyat? 11

10 Kistérségi tehetséggondozás viii. Néhány feladat a kombinatorikus geometria köréből 1. Felveszünk a síkon 25 db pontot az ábrának megfelelően. Hány darab olyan négyzet van, amelynek minden csúcsa, ezen pontok közül való? 2. A koordináta-rendszerben a (0;0), (10;0), (10;10) és (0;10) csúcsú négyzet belsejében illetve határán levő rácspontok hány olyan téglalapot határoznak meg, melynek oldalai rácsegyenesekre esnek? 3. Az előző feladatban szereplő téglalapok között hány olyan van, amely nem négyzet? 4. Egy bolha a koordináta-rendszer origójában ül. Minden ugrása egy egység hosszú. Hány különböző helyre juthat el 100 ugrással, ha csak jobbra, vagy felfelé ugorhat? 5. Hány különböző helyre juthat el az előző bolha, ha balra és lefelé is ugorhat? 6. Milyen n-re létezik a síkon olyan n szakaszból álló zárt töröttvonal, hogy az egyes szakaszok hossza rendre 1, 2,, n, továbbá bármely két szomszédos szakasz egymásra merőleges? a) Igazoljuk, hogy n páros. b) Igazoljuk, hogy n 4-gyel osztható. c) Igazoljuk, hogy n 8-cal osztható. d) Igazoljuk, hogyha n osztható 8-cal, akkor létezik a feladatban leírt tulajdonságú törött vonal. 7. Egy szabályos háromszög minden oldala 5 egység hosszú. A háromszöget felosztjuk az oldalaival párhuzamos egyenesekkel 1 egység oldalú szabályos háromszögekre. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek a csúcsai a létrejött háló rácspontjai között vannak és oldalai párhuzamosak az eredeti háromszög oldalaival? 8. Egy 20 szög átlói legfeljebb hány belső pontban metszhetik egymást? 12

11 9. Az ABCDE szabályos ötszög minden átlóját illetve oldalát kék vagy piros színnel színezzük.(nem kell mind a két színnek szerepelnie.) Hányféleképpen színezhetjük ki az ötszöget? 10. Az ABCDE szabályos ötszög minden átlóját illetve oldalát kék vagy piros színnel színezzük úgy, hogy bármely három csúcsa által meghatározott háromszögnek legyen két különböző színű oldala. Hányféle ilyen színezés létezik? 11. Vegyünk fel egy szabályos ötszöget és húzzuk be az összes átlóját. Hány egyenlő szárú háromszög keletkezik az ábrán? 13

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Síkbeli és térbeli alakzatok 1.5 Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 11 14 elnevezések a háromszögekben háromszögek belső szögösszege háromszögek

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 10. MODUL: ÁTLAGOS? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Név E-mail cím SG-s

Részletesebben

Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban

Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban Molnár István Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban A követelménymodul megnevezése: Gépelemek szerelése A követelménymodul száma: 0221-06 A tartalomelem

Részletesebben

Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti

Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam Témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Statisztika, valószínűség Év végi összefoglaló

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Gyõrffy Magdolna. Tanmenetjavaslat. A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA!

Gyõrffy Magdolna. Tanmenetjavaslat. A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA! Gyõrffy Magdolna Tanmenetjavaslat A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA! Dinasztia Tankönyvkiadó Kft., 2004 1 ÍRTA: GYÕRFFY MAGDOLNA TIPOGRÁFIA: KNAUSZ VALÉRIA

Részletesebben

MATEMATIKA C 6. évfolyam

MATEMATIKA C 6. évfolyam MATEMATIKA C 6. évfolyam 8. modul SZÍNCSERÉLGETŐS TÁBLÁS JÁTÉKOK (FONÁKOLÓSOK) Készítette: Köves Gabriella MATEMATIKA C 6. ÉVFOLYAM 8. MODUL: SZÍNCSERÉLGETŐS, TÁBLÁS JÁTÉKOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja

Részletesebben

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra...

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra... iskola sorszáma Ki válaszol a kérdőívre? 1 igazgató, aki nem tankönyvfelelős 2 igazgató, aki tankönyvfelelős is 3 tankönyvfelelős, aki pedagógus 4 tankönyvfelelős, aki nem pedagógus Tankönyv-választás

Részletesebben

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

PEDAGÓGIAI PROGRAM ÉS HELYI TANTERV MÓDOSÍTÁSA

PEDAGÓGIAI PROGRAM ÉS HELYI TANTERV MÓDOSÍTÁSA PEDAGÓGIAI PROGRAM ÉS HELYI TANTERV MÓDOSÍTÁSA Kiegészítés a NEM SZAKRENDSZERŰ OKTATÁS követelményeivel István Király Általános Iskola és Tagintézményei 1. Nevelési program 2. Helyi tantervek Szentistván,

Részletesebben

Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag

Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 15 18 év összeszámolási módszerek (permutáció, variáció, kombináció) sorozatok rekurzív megadása

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden

Részletesebben

Matematika tanmenet/4. osztály

Matematika tanmenet/4. osztály Comenius Angol-Magyar Két Tanítási Nyelvű Iskola 2015/2016. tanév Matematika tanmenet/4. osztály Tanító: Fürné Kiss Zsuzsanna és Varga Mariann Tankönyv: C. Neményi Eszter Wéber Anikó: Matematika 4. (Nemzeti

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Valószínűségszámítás A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Tájékozódás egyenesen; a negatív szám fogalmának előkészítése irányított mennyiségekhez kapcsolva (út, hőmérséklet, idő)

Tájékozódás egyenesen; a negatív szám fogalmának előkészítése irányított mennyiségekhez kapcsolva (út, hőmérséklet, idő) Matematika A 2. évfolyam Tájékozódás egyenesen; a negatív szám fogalmának előkészítése irányított mennyiségekhez kapcsolva (út, hőmérséklet, idő) 24. modul Készítette: Szili Judit Szitányi Judit 2 matematika

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

KÖVETELMÉNYEK 2015/2016. 2. félév. Informatika II.

KÖVETELMÉNYEK 2015/2016. 2. félév. Informatika II. 2015/2016. 2. félév Tantárgy neve Informatika II. Tantárgy kódja TAB1110 Meghirdetés féléve 4. Kreditpont 1 Heti kontakt óraszám (gyak.) 0 + 1 Előfeltétel (tantárgyi kód) TAB1109 Tantárgyfelelős neve és

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Feladatok, játékok; Valószínűségi megfigyelések; Ellenőrzés, hiányok pótlása

Feladatok, játékok; Valószínűségi megfigyelések; Ellenőrzés, hiányok pótlása Matematika A 2. évfolyam Feladatok, játékok; Valószínűségi megfigyelések; Ellenőrzés, hiányok pótlása 48. modul Készítette: C. Neményi Eszter Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

S z o l n o k i F ő i s k o l a SZF/.../2013.

S z o l n o k i F ő i s k o l a SZF/.../2013. S z o l n o k i F ő i s k o l a SZF/.../2013. Felvételi Szabályzat A Szolnoki Főiskola (a továbbiakban: Főiskola) szenátusa a nemzeti felsőoktatásról szóló 2011. évi CCIV. törvény (a továbbiakban Nftv.),

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 12 51 3. 14 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 9-12./3.3.2.2. alapján 9-12. évfolyam 2 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy

Részletesebben

A KOMÁROMI JÓKAI MÓR GIMNÁZIUM HÁZIRENDJE

A KOMÁROMI JÓKAI MÓR GIMNÁZIUM HÁZIRENDJE A KOMÁROMI JÓKAI MÓR GIMNÁZIUM HÁZIRENDJE Készítette: dr. Mühlenkampf Erika intézményvezető Érvényes: 2015. szeptember 01-jétől Jelen házirend (annak módosításai is) az iskola igazgatójának előterjesztése

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 0893. MODUL VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Felmérés Készítette: Pintér Klára Matematika A 8. évfolyam 0892. modul: Valószínűség, statisztika Felmérés 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

MUOE ultibajnokság játékszabályai

MUOE ultibajnokság játékszabályai MUOE ultibajnokság játékszabályai I. FEJEZET 1. A játék eszköze, laprangsor Az ultit 3 résztvevő játszhatja 32 lapos magyar kártyacsomaggal. A kártyacsomag 4 színből: pirosból, makkból, tökből és zöldből

Részletesebben

http://www.gemklub.hu/ közelében élni. Így amikor sokkal történhetett, hogy veszélyesebb volt a mindent felhasználtak, világ, és a vikingek

http://www.gemklub.hu/ közelében élni. Így amikor sokkal történhetett, hogy veszélyesebb volt a mindent felhasználtak, világ, és a vikingek http://www.gemklub.hu/ Sok-sok évvel ezel tt, közelében élni. Így amikor sokkal történhetett, hogy veszélyesebb volt a mindent felhasználtak, világ, és a vikingek amivel er díteni lehetett még zord életet

Részletesebben

Általános információk

Általános információk Általános információk A hűtőket és mélyhűtőket elsősorban mélyhűtött termékek tárolására használjuk. A nem előrecsomagolt termékeket, külön erre a célra gyártott tárolóedényekbe kell tárolni. Minden csemegepult

Részletesebben

Magyar Sárkányhajó Szövetség. Versenyszabályzata

Magyar Sárkányhajó Szövetség. Versenyszabályzata A Magyar Sárkányhajó Szövetség Versenyszabályzata Készült az IDBF 2012. január 01-i nemzetközi versenyszabályzata alapján. Összeállította: A Magyar Sárkányhajó Szövetség Szakmai Bizottsága e-mail: info@sarkanyhajozas.hu

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám 2016. január 16. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2011. október 18. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2011. október 18. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. október 18. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. október 18. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

6. évfolyam MATEMATIKA

6. évfolyam MATEMATIKA 28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal

Részletesebben

Használati útmutató analóg karórához Cal. 1N00, Cal. VJ32, Cal. VJ33 Cal. VX3K, Cal. VX32, Cal. VX42, Cal. VX50, Cal. VX51, Cal.

Használati útmutató analóg karórához Cal. 1N00, Cal. VJ32, Cal. VJ33 Cal. VX3K, Cal. VX32, Cal. VX42, Cal. VX50, Cal. VX51, Cal. Használati útmutató analóg karórához Cal. 1N00, Cal. VJ32, Cal. VJ33 Cal. VX3K, Cal. VX32, Cal. VX42, Cal. VX50, Cal. VX51, Cal. VX82 - M 2 6 Y Ön mostantól egy PULSAR analóg, kvarc-szerkezetű karóra boldog

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium 2015/16. tanév

Kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium 2015/16. tanév Kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium 2015/16. tanév Képzéseink: A tagozatok kódszámai általános tantervű 01 matematika 02 angol 03 német 04 biológia 05 informatika 06 magyar 07 történelem 08 Arany János

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

TOVÁBBTANULÁSI LEHETŐSÉGEK A KÁROLY RÓBERT FŐISKOLÁN A 2014/2015. TANÉVBEN (SZEPTEMBERBEN INDULÓ KÉPZÉSEK)

TOVÁBBTANULÁSI LEHETŐSÉGEK A KÁROLY RÓBERT FŐISKOLÁN A 2014/2015. TANÉVBEN (SZEPTEMBERBEN INDULÓ KÉPZÉSEK) TOVÁBBTANULÁSI LEHETŐSÉGEK A KÁROLY RÓBERT FŐISKOLÁN A 2014/2015. TANÉVBEN (SZEPTEMBERBEN INDULÓ KÉPZÉSEK) Gyöngyös 2014. január 6. 1. FELSŐOKTATÁSI SZAKKÉPZÉSBEN MEGHIRDETÉSRE KERÜLŐ SZAKOK A képzési

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Az első oldalon 1-gyel kezdve egyesével beszámozták egy könyv összes oldalát. Hány oldalas ez a könyv, ha ehhez 55 számjegyet használtak fel? Az első 9 oldalhoz 9 számjegyet használtak, a további

Részletesebben

Interaktivitás a matematika órán

Interaktivitás a matematika órán Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös

Részletesebben

Kísérletek az alagúteffektussal

Kísérletek az alagúteffektussal Kísérletek az alagúteffektussal Attila és Tamás leírtak egy érdekes jelenséget, melyben az alagúteffektus makróméretekben történő alkalmazását javasolták. Ezt elolvasva Varnyú Ferenc kedvet kapott a jelenség

Részletesebben

A Budapesti Vízilabda Szövetség 2015/2016. évi bajnokságainak versenykiírása

A Budapesti Vízilabda Szövetség 2015/2016. évi bajnokságainak versenykiírása A Budapesti Vízilabda Szövetség 2015/2016. évi bajnokságainak versenykiírása 1. Általános rendelkezések: A bajnokságok kiírója és kiírásának alapja: A Budapesti Vízilabda Szövetség (BVLSZ), és alapja a

Részletesebben

Mára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb

Mára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb Iskolakultúra 2004/8 Nagy József ny. egyetemi tanár, Szegedi Tudományegyetem, Szeged Az elemi kombinatív képesség kialakulásának kritériumorientált diagnosztikus feltárása tanulmány Ha beírjuk a számítógép

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

Vizsgálódás a szorzótáblákban Összefüggések keresése, indoklása

Vizsgálódás a szorzótáblákban Összefüggések keresése, indoklása Matematika A 2. évfolyam Vizsgálódás a szorzótáblákban Összefüggések keresése, indoklása 46. modul Készítette: Szitányi Judit 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4 Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit Tanítói kézikönyv tanmenetjavaslattal Sokszínû matematika. 4 Mozaik Kiadó - Szeged, 2007 Készítette: ÁRVAINÉ LIBOR ILDIKÓ szakvezetõ tanító MURÁTINÉ SZÉL EDIT szakvezetõ

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret!

Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret! Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret! M E G N E V E Z É S Ű N Y E R E M É N Y J Á T É K R É S Z V É T E L I -, É S J Á T É K S Z A B Á L Y Z A T A 1. A JÁTÉK SZERVEZŐJE

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben