MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

Átírás

1 MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve ezzel a heterogén elıképzettséggel érkezı diákok szintrehozását és az eredményesebb alapozó munkát. Tantervünk célja, hogy a középszintő érettségire készítsük fel tanítványainkat. Tervezzük az emeltszintő érettségire történı felkészítést is. Ehhez a 11. és a 12. évfolyamon osztályoktól független csoportokat szervezünk. Az emeltszintő érettségire való felkészítés óraszáma heti két óra. Ez a tanterv a év ıszén átdolgozott Kerettanterv által meghatározott tananyagot és annak az órakeret kb. 20%-át kitöltı kiegészítését és részletezését tartalmazza. Az egyes témakörök tanítási sorrendjét a tantervnek nem feladata meghatározni, ezt a tanterv alapján készülı tanmenet rögzíti. A Kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során, ahol szakmailag indokolt, átcsoportosíthatók a hozzá tartozó anyagrészekkel együtt. Az alsóbb évfolyamokon az év végi ismétlésre két hetet javaslunk, míg a 12. évfolyam esetén az érettségire való közvetlen felkészülésre 8 órát szántunk. 9. oszt. 10. oszt. 11. oszt. 12. oszt. Összesen Gondolkodási módszerek 6 óra 6 óra 10 óra 12 óra 34 óra Számtan, algebra 39 óra 40 óra 31 óra 18 óra 128 óra Függvények, sorozatok 16 óra 12 óra 14 óra 19 óra 61 óra Geometria 39 óra 39 óra 40 óra 35 óra 153 óra Valószínőség, statisztika 5 óra 8 óra 10 óra 7 óra 30 óra Év végi ismétlés 6 óra 6 óra 6 óra 8 óra 26 óra Összesen: 111 óra 111 óra 111 óra 99 óra 432 óra Célok és feladatok A matematikatanítás célja feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belsı struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belsı, felfedezı tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerő, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelı önbizalommal történı megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belsı szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. -1-

2 A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán mőveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetıségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerő felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenırzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhetı a szemléletre és tevékenységre épülı feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintő érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentıségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belsı struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, segítségével kialakított fogalmak megerısítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különbözı témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az idıszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert mőveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különbözı fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Mőveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különbözı gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bıvülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különbözı területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A "ha..., akkor..." az "akkor és csak akkor" helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. -2-

3 Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerő matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különbözı tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínőség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi elıtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási mőveletek alkalmazása A évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerő tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetıen fontos az absztrakciós képesség Az érettségi elıtti rendszerezı összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különbözı témakörökben, valamint egyszerő modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különbözı területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen idıszakban is elengedhetetlen a szemléltetı ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különbözı jellemzési lehetıségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerő használatát. A közelítı értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenırzés különbözı módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értı olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekbıl a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsıfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerőnek tőnı matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is. -3-

4 9. évfolyam Évi óraszám: 111 óra Új ismeretek Rendszerezés, gyakorlás Ellenırzés Összesen feldolgozása Gondolkodási 3 óra 2 óra 1 óra 6 óra módszerek Számtan, 18 óra 18 óra 3 óra 39 óra algebra Függvények, 8 óra 6 óra 2 óra 16 óra sorozatok Geometria, 23 óra 13 óra 3 óra 39 óra mérés Valószínőség, 2 óra 2 óra 1 óra 5 óra statisztika Év végi ismétlés 5 óra 1 óra 6 óra Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 6 óra A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozodás a számegyenesen. Halmazmőveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. Egyszerő azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerő feladatok a logikai szita-formulára. Egyszerő kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Az "akkor és csak akkor" használata (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos). Tájékozottság a racionális számkörben. Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége. -4-

5 Számtan, algebra Évi óraszám: 39 óra A fogalom célszerő kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. Kombinatív készség Betők használata a matematikában, mőveletek betős kifejezésekkel. Egytagú, többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevıre, a hatványozás azonosságai (legalább egy azonosság bizonyítása); számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a±b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a±b) 3, a 3 b 3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. Mőveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értı szövegolvasás. A rendszerezıképesség A matematika iránti érdeklıdés erısítése az elemi számelmélet alapvetı problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás). Ezen azonosságok alkalmazása egyszerő algebrai egészekkel és törtekkel végzett mőveleteknél. (Egyszerősítés, szorzás, osztás, összevonás.) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. Elsıfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítı módszer, egyenlı együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezetı szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel való oszthatóság). Prímtényezıs felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Példa számrendszerekre. A négy alapmővelet egyszerő algebrai kifejezésekkel. Egyszerő egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezıkre való bontása. 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10- es alapú számrendszerrel. -5-

6 Függvények, sorozatok Évi óraszám: 16 óra A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelı modell megkeresése. Geometria Évi óraszám: 39 óra Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különbözı területei közötti kapcsolatok keresése. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány, a x a. A vizsgált függvények elemi x tulajdonságai: értékkészlet, zérushely, monotonitás, korlátosság, szélsıértékek. Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt köre. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Thalész tétele, néhány alkalmazása, a kör és érintıi. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra. A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. pont körüli elforgatás és tulajdonságai. Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak és a háromszög beírt és köréírt körének ismerete. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintı tulajdonságának ismerete. Az eltolás és tükrözések tulajdonságainak felhasználása egyszerő, feladatokban. -6-

7 Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztıprogramok megismerése. A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge. A körív hossza, körcikk kerülete, területe (képletek használata). Egyszerő szerkesztési feladatok. Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 5 óra A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenı statisztikai adatok elemzése. Év végi ismétlés és rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 6 óra Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; szórás. Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középsı érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. -7-

8 10. évfolyam Évi óraszám: 111 óra Új ismeretek Rendszerezés, gyakorlás Ellenırzés Összesen feldolgozása Gondolkodási 3 óra 2 óra 1 óra 6 óra módszerek Számtan, 18 óra 19 óra 3 óra 40 óra algebra Függvények, 6 óra 5 óra 1 óra 12 óra sorozatok Geometria, 23 óra 13 óra 3 óra 39 óra mérés Valószínőség, 4 óra 3 óra 1 óra 8 óra statisztika Év végi ismétlés 5 óra 1 óra 6 óra Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 6 óra A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további Számtan, algebra Évi óraszám: 40 óra A permanencia elve a számfogalom bıvítésében. Tétel és megfordítása. (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv konkrét példákon kersztül). Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életbıl. A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra (, szakaszok összemérhetetlensége). A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerő sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyök azonosságainak használata egyszerő esetekben. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezıjének gyöktelenítése. Az n- edik gyök, azonosságai. A négyzetgyök azonosságainak alkalmazása egyszerő esetekben. -8-

9 A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. Függvények, sorozatok Évi óraszám: 12 óra Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformáci ók alkalmazása. A négyjegyő függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerő használata. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezıs alak. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerő szélsıérték-feladatok megoldása. Másodfokú egyenletre vezetı szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerő négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Egyszerő másodfokú egyenlıtlenség megoldása. A megoldások ábrázolása számegyenesen. A négyzetgyök függvény. A tanult függvények néhány egyszerő transzformációja. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin 2 a + cos 2 a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítı szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsıértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerő trigonometrikus egyenletek megoldása. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Különbözı típusú egyszerő szöveges feladatok megoldása. Egyszerő négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenırzése. A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx és x a cosx függvények ábrázolása és tulajdonságai. -9-

10 Geometria Évi óraszám: 39 óra A transzformációs szemlélet Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerő használata. A körrel kapcsolatos ismeretek bıvítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; húrnégyszög fogalma, húrnégyszögek tétele. Párhuzamos szelık és szelıszakaszok tétele. A szögfelezıtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma. A háromszögek hasonlósága alapeseteinek ismerete és alkalmazása egyszerő esetekben. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögő háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintı és szelıszakaszok tétele. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögő háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerő gyakorlati feladatokban. Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. A vektorok további alkalmazása. A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különbözı irányú összetevıkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben. -10-

11 Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 8 óra A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. Év végi ismétlés, rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 6 óra Valószínőségi kísérletek. A valószínőség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínősége). A valószínőség kiszámítása egyszerő esetekben. Egyszerő problémák megoldása a klasszikus valószínőségi modell alapján. -11-

12 11. évfolyam Évi óraszám: 111 óra Új ismeretek Rendszerezés, gyakorlás Ellenırzés Összesen feldolgozása Gondolkodási 5 óra 4 óra 1 óra 10 óra módszerek Számtan, 14 óra 14 óra 3 óra 31 óra algebra Függvények, 6 óra 7 óra 1 óra 14 óra sorozatok Geometria, 20 óra 17 óra 3 óra 40 óra mérés Valószínőség, 5 óra 4 óra 1 óra 10 óra statisztika Év végi ismétlés 5 óra 1 óra 6 óra Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 10 óra A kombinatív, rendszerezési készség A többféle megoldási mód lehetıségének keresése. Becslés, a becslés öszszevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Számtan, algebra Évi óraszám: 31 óra A matematikai fogalom célszerő kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Vegyes kombinatorikai feladatok. Binomiális együtthatók, Pascalháromszög. Véges halmaz részhalmazainak száma. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. Másodfokúra visszavezethetı egyszerő magasabb fokú egyenletek. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevıkre. A hatványozás azonosságai és alkalmazásuk. A logaritmus értelmezése. A logaritmus azonosságai. Egyszerő kombinatorikai feladatok megoldása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerő alkalmazásai. A hatványozás definíciója, mőveletek, azonosságok ismerete egész kitevı esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, -12-

13 Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat). Az absztrakciós és szintetizáló képesség Az önellenırzés igényének Függvények, sorozatok Évi óraszám: 14 óra A függvényfogalom Összefüggések felismerése a matematika különbözı területei között. A bizonyításra való törekvés Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban. Geometria, mérés Évi óraszám: 40 óra A térszemlélet Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény tovább A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerő munkára nevelés. Az esztétikai érzék A definíciókon és a megismert azonosságokon alapuló exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek, egyenlıtlenségek. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsıérték, monotonitás, periodicitás, paritás). Függvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése. A vektormőveletek tulajdonságai. Vektorok a koordinátarendszerben. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a). Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerő trigonometrikus egyenletek. azonosságainak alkalmazása egyszerőbb esetekben. Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet, egyenlıtlenség egyszerő konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsıérték). Vektormőveletek és tulajdonságaik (öszszeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok -13-

14 megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). A matematika gyakorlati felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség Adott probléma többféle megközelítése. Távolság, szög, terület meghatározása gyakorlati feladatokban (fizikában). Helyvektor. Mőveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz felezıpontja, harmadoló pontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Az egyenes irányára jellemzı adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyik egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merılegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintıje. Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezıpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. -14-

15 Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 10 óra A körülmények kellı figyelembevétele. Elızetes becslés öszszevetése a számításokkal. Modellalkotásra nevelés. Modell és valóság kapcsolata. A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Év végi ismétlés, rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 6 óra Egyszerő valószínőség-számítási problémák. A binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel). Eseményekkel végzett mőveletek egyszerő, konkrét feladatokban. Relatív gyakoriság. A valószínőség klasszikus modellje. Statisztikai mintavétel a gyakorlati életben. (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.) A relatív gyakoriság és a valószínőség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerő valószínőségi feladatok megoldása. -15-

16 12. évfolyam Évi óraszám: 99 óra Új ismeretek Rendszerezés, gyakorlás Ellenırzés Összesen feldolgozása Gondolkodási 3 óra 8 óra 1 óra 12 óra módszerek Számtan, 16 óra 2 óra 18 óra algebra Függvények, 3 óra 14 óra 2 óra 19 óra sorozatok Geometria, 9 óra 23 óra 3 óra 35 óra mérés Valószínőség, 3 óra 3 óra 1 óra 7 óra statisztika Év végi ismétlés 7 óra 1 óra 8 óra Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 12 óra Az ismeretek rendszerezése: A matematika különbözı területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás további Számtan, algebra Évi óraszám: 18 óra Matematikatörténeti ismeretek (könyvtárés internethasználat). Szám- és mőveletfogalom biztos alkalmazása. Kijelentés fogalma, mőveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai mőveletekre vonatkozó egyszerő azonosságok. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Rendszerezı összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A mőveletek értelmezése, mőveleti tulajdonságok. Közelítı értékek. Egyenletek Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. -16-

17 Tervszerő, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenırzés fontossága. A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés Függvények, sorozatok Évi óraszám: 19 óra A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Matematikatörténeti feladatok. Az absztrakciós készség A függvényszemlélet A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Elsı- és másodfokú egyenlet és egyenlıtlenség. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Egyszerő exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenletek és azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyszerő két ismeretlenes elsıfokú és másodfokú egyenletrendszer. Szöveges feladatok. Paraméteres feladatok. A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az elsı n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Rendszerezı összefoglalás A függvényekrıl tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. Számtani és mértani sorozat esetén az n- dik tag, és az elsı n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamatszámítás alkalmazása egyszerő gyakorlati feladatokban. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. -17-

18 Geometria, mérés Évi óraszám: 35 óra A térszemlélet Az esztétikai érzék A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A függvényszemlélet A deduktív gondolkodás A matematika különbözı területei közötti összefüggések felhasználása. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Egyszerő kombinatorikus geometriai problémák vizsgálata. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a térfogat fogalma. A tanult poliéderek felszíne, térfogata. A forgáshenger és a forgáskúp felszíne és térfogata. A csonka gúla, a csonka kúp, a gömb térfogata, felszíne. Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerezı összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk áttekintése. Háromszögekre, négyszögekre és a körre vonatkozó tanult tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektormőveletek, mőveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögő koordináta-rendszer. Egyenes és kör egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszínés térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerő feladatokban. -18-

19 Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 7 óra A leíró statisztika és a valószínőségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Felkészülés az érettségire Évi óraszám: 8 óra Adatkezelésnél osztálybasorolás. Terjedelem. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzıi: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínőségi modell. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. Egyszerő klasszikus valószínőségszámítási feladatok megoldása. Az emeltszintő érettségire történı felkészítés tanterve A felkészítést osztályok fölötti csoportokban tervezzük, ami nemcsak a felkészítı munkát, de már a tanterv összeállítását is nagyon megnehezíti. A tanterv készítésekor elsısorban a hatályos Részletes érettségi vizsgakövetelméyt tartottuk szem elıtt. A tananyagrészek csoportosításánál figyeltünk arra, hogy az egyes témák az emeltszintő csoportban folytathatók legyenek. A párhuzamos haladás természetesen nem mindig biztosítható, hiszen új tananyagrészek is szerepelnek a követelmények között és a korábban tanult anyag magasabb szintő ismétlésére is sok idıt kell szánni. Kiemelt figyelmet kell fordítani - tekintettel a szóbeli vizsgára - a tételbizonyításokra, visszatekintve a korábbi években tanultakra is. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során, ahol szakmailag indokolt, átcsoportosíthatók a hozzá tartozó anyagrészekkel együtt. 11. oszt. 12. oszt. Összesen Gondolkodási módszerek 9 óra 5 óra 14 óra Számtan, algebra 12 óra 10 óra 22 óra Függvények, sorozatok 26 óra 20 óra 46 óra Geometria 12 óra 20 óra 32 óra Valószínőség, statisztika 11 óra 5 óra 16 óra Év végi ismétlés 4 óra 6 óra 10 óra Összesen: 74 óra 66 óra 140 óra -19-

20 Célok és feladatok Az emelt szintő érettségi követelmény-rendszere tartalmazza a középszint követelményeit, ezért az elızıekben részletezett célok és feladatok itt is érvényesek. A különbség az, hogy ezek a célok és feladatok itt magasabb szinten kell, hogy megvalósuljanak. Konkrétan ez nehezebb, összetettebb feladatok megoldását, a bizonyítási kultúra fejlesztését, a matematikai szaknyelv pontosabb használatát, illetve a matematikai eredmények felhasználási lehetıségeinek ismeretét jelenti. 11. évfolyam Évi óraszám: 74 óra Új ismeretek Rendszerezés, gyakorlás Ellenırzés Összesen feldolgozása Gondolkodási 3 óra 5 óra 1 óra 9 óra módszerek Számtan, 4 óra 6 óra 2 óra 12 óra algebra Függvények, 10 óra 14 óra 2 óra 26 óra sorozatok Geometria, 4 óra 6 óra 2 óra 12 óra mérés Valószínőség, 4 óra 6 óra 1 óra 11 óra statisztika Év végi ismétlés 4 óra 4 óra Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 9 óra A kombinatív készség további A gráf, mint modell felhasználása gyakorlati problémák leírásában. Kombinatorika: Véges halmaz permutációi, variációi (ismétlés nélküli és ismétléses), ismétlés nélküli kombinációi számának meghatározása (bizonyítása) és alkalmazása. Binomiális tétel és alkalmazása. Gráfok: Pont, él, fok, út, kör, összefüggı gráf, fa definíciója. Az egyszerő gráf pontjainak foka és éleinek száma, valamint a fa pontjai és élei száma közötti összefüggés A fogalmak és a kiszámítási módok ismerete; közepes nehézségő feladatok megoldása. A gráfokkal kapcsolatos fogalmak és összefüggések ismerete és egyszerő alkalmazásai. -20-

21 Számtan, algebra Évi óraszám: 12 óra A matematikai fogalom további lehetséges kiterjesztése a permanencia elv alapján. A többféle megoldás keresésének igénye. Az algoritmikus gondolkodás további Az absztrakciós és szintetizáló képesség A diszkusszió és az önellenırzés igényének Hatvány, gyök, logaritmus: Irracionális kitevıjő hatvány értelmezése szemléletesen A logaritmus azonosságainak bizonyítása Egyenletek, egyenletrendszerek: Másodfokúra visszavezethetı egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, szorzattá alakítással, illetve négyzetre emeléssel megoldható feladatok Összetett exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek, egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek Aritmetikai, geometriai, négyzetes, harmonikus közép fogalma; nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételek és ezekkel kapcsolatos feladatok. A logaritmus azonosságainak bizonyítása. A témakörökhöz kapcsolódó közepes nehézségő feladatok megoldása Függvények, sorozatok: Évi óraszám: 26 óra A függvényfogalom és a függvényszemlélet további Függvénytani fogalmak rendszerezése: Függvények leszőkítése, kiterjesztése. Összetett függvény fogalma. Alapvetı függvények transzformáltjai: cf(ax+b)+d Korlátosság, konvexség, konkávság. Sorozatok: A számsorozat fogalma, jellemzése (korlátosság, monotonitás), a konvergencia szemléletes fogalma. A végtelen mértani sor fogalma, öszszege. Az egyváltozós függvények analízisének elemei: Végesben vett véges, végtelenben vett véges és a tágabb értelemben vett határérték szemléletes fogalma. A függvénytani fogalmak definíciói. Összetett függvénytranszformá-ciók alkalmazása. A véges és a végtelen viszonyának vizsgálata. A fogalmak definícióinak ismerete. Egyszerőbb esetekben határérték megállapítása. A függvényvizsgálat Differenciálszámítás: A tanult függvénytí- -21-

22 további mélyítése. A matematika kapcsolata a társtudományokkal; matematika- és fizikatörténeti összefüggések. Geometria, mérés Évi óraszám: 12 óra Adott probléma többféle megközelítésének igénye. A bizonyítási kész-ség további A differencia és a differenciálhányados. Összeg, konstansszoros, szorzat- és hányadosfüggvény deriválási szabályai és ezek alkalmazása. Összetett függvény deriválási szabálya és annak alkalmazása. Hatványfüggvény deriválási szabályának bizonyítása. Trigonometrikus függvények deriváltja. A differenciálszámítás alkalmazása: -érintı egyenletének felírása -szélsıérték-feladatok megoldása -polinomfüggvények (menet, szélsıérték, alak) vizsgálata Vektorok: Skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Trigonometria: Szinusz- és koszinusztétel bizonyítása és alkalmazása összetett feladatokban. Addíciós összefüggések alkalmazása. Koordinátageometria: A következı összefüggések levezetése igazolása és alkalmazása összetett feladatokban: -szakasz felezıpontjának, harmadoló pontjának koordinátái -háromszög súlypontjának koordinátái -síkbeli egyenesek egyenletei -kör egyenlete -két kör kölcsönös helyzete -körhöz külsı pontból húzott érintı egyenlete -parabola tengelyponti és a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyő egyenlete pusok deriváltjainak, a derválási szabályoknak az ismerete, egyszerőbb esetekben alkalmazása. Függvényvizsgálat deriváltfüggvény segítségével (fizikai alkalmazás). A tanult összefüggések, egyenletek levezetése. Több egymásra épülı lépésbıl álló feladatok megoldása. -22-

23 Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 11 óra A leíró statisztika és a valószínőség számítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. A körülmények kellı figyelembevétele. Modellalkotásra nevelés. Év végi ismétlés, rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 4 óra Leíró statisztika: Hisztogram készítése, adott hisztogramról adatok kiolvasása Adathalmazok egyesítése és átlaguk közöttiösszefüggés A valószínőségszámítás elemei: Események egyesítésének, metszetének, komplementerének valószínősége, feltételes valószínőség, függetlenség, függıség és ezek alkalmazása. A nagy számok törvényének szemléletes fogalma. Geometriai valószínőség. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása. Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében. Az alapvetı eljárások ismerete. A fogalmak és összefüggéseik ismerete. Közepes nehézségő problémák elemzése, megoldása. 12. évfolyam Évi óraszám: 66 óra Új ismeretek Rendszerezés, gyakorlás Ellenırzés Összesen feldolgozása Gondolkodási 4 óra 1 óra 5 óra módszerek Számtan, 2 óra 7 óra 1 óra 10 óra algebra Függvények, 8 óra 10 óra 2 óra 20 óra sorozatok Geometria, 5 óra 13 óra 2 óra 20 óra mérés Valószínőség, 4 óra 1 óra 5 óra statisztika Év végi ismétlés 5 óra 1 óra 6 óra -23-

24 Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 5 óra Az ismeretek rendszerezése. Számtan, algebra Évi óraszám: 10 óra A bizonyítási technikák ismétlése, pontosítása. Mőveletek végzése algebrai kifejezésekkel. Tervszerő, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az algoritmikus gondolkodás további Az absztrakciós és szintetizáló képesség A diszkusszió és az önellenırzés igényének A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Természetes számok: Számelméleti ismeretek rendszerezése Oszthatósági feladatok. Számok átírása 10-es alapú számrendszerbıl n alapúba és viszont. Valós számok: Bizonyítandó: 2 irracionális szám. Adott mőveletekre nézve zárt számhalmazok. Hatvány, gyök, logaritmus: Egész kitevıjő hatványozás azonosságainak bizonyítása (ismétlés). A négyzetgyökvonás azonosságainak bizonyítása (ismétlés). Ismétlı, rendszerezı feladatok n n Az a b, illetve az a m + + b m kifejezések szorzattá alakításának alkalmazása Egyenletek, egyenletrendszerek: Paraméteres elsıfokú egyenletek. Két- és három ismeretlenes elsıfokú egyenletrendszerek. Egyszerő kétismeretlenes lineáris paraméteres egyenletrendszerek Másodfokú egyenletekre vonatkozó tételek bizonyítása: -megoldóképlet -Viete-formulák Másodfokú paraméteres feladatok megoldása. Másodfokú függvényre vezetı szélsıérték-feladatok megoldása. Abszolutértékes egyenletek algebrai megoldása. Ismétlı, rendszerezı feladatok. Az elızı év(ek)ben felsorolt továbbhaladási feltételek. Az azonosságok alkalmazása összetett kifejezésekben. Bizonyítások ismerete. Közepes nehézségő feladatok megoldása. Bizonyítások ismerete. -24-

25 Függvények, sorozatok Évi óraszám: 20 óra A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. A területszámítás axiomatizálása. A kétoldali közelítés hatékonyságának bemutatása a területszámításban. Sorozatok: A számtani és a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggések, valamint az összegképletek bizonyítása és alkalmazása összetett feladatokban. Integrálszámítás: A határozott integrál fogalma, tulajdonságai. A területszámítás értelmezése. A kétoldali közelítés módszere. Sokszögek, kör, parabolikus háromszög területe. Az integrálfüggvény, a primitív függvény. Newton-Leibniz-tétel Grafikon alatti területek számítása polinomfüggvények, illetve szinusz és koszinusz függvények esetén. A tanult összefüggések levezetése; öszszetett feladatok megoldása. A tanult fogalmak és azok jelentésének, valamint meghatározási módjának ismerete. Egyszerőbb függvények esetén görbe alatti terület kiszámítása. Geometria, mérés Évi óraszám: 20 óra A korábban tanult ismeretek rendszerezése. A transzformációs szemlélet további A geometriai tételbizonyítások technikájának Geometriai ismeretek összekapcsolása; a biztos számolási készség kialakítása. Geometriai transzformációk: A tanult egybevágósági és hasonlósági trnszformációk ismétlı, rendszerezı alkalmazása. Térbeli egybevágósági transzformációk A merıleges vetítés definíciója, tulajdonságai, alkalmazása. Síkbeli alakzatok: A következı tételek bizonyítása és összetett feladatokban (ismétlés): -háromszögek nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozótételek -Pitagorasz tétele és megfordítása -magasság- és befogótétel -húrnégyszö, érintınégyszög tétele -konvex sokszög átlóinak száma, belsı és külsı szögeinek összege -kör érintıje merıleges az érintési pontba húzott sugárra, ill. körhöz külsı A tanult tételek pontos ismerete és alkalmazása több témakört összekapcsoló feladatokban. Bizonyítások ismerete. -25-

26 A térfogatszámítás axiomatizálása. A térszemlélet további Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása. Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 5 óra Felkészülés az érettségire Évi óraszám: 6 óra pontból húzott érintıszakaszok egyenlık -Thalész tétele és megfordítása Új: -kerületi és középponti szögek tétele -látókör fogalma és használata Kerület, terület: A háromszög, a nevezetes négyszögek, a szabályos sokszögek, a kör, a körcikk, a körszelet kerületének, területének kiszámítására használt képletek bizonyítása, alkalmazása. Felszín, térfogat: A térfogatszámítás értelmezése. Hasáb, henger, gúla, csonkagúla, kúp, csonkakúp térfogatának és felszínének meghatározása. A forgástest térfogata. A gömb térfogata és felszíne. Összetett térgeometriai feladatok. Rendszerezı összefoglalás, ismétlı feladatok. Összetett térgeometriai feladatok megoldása. Egyszerő forgástestek térfogatának számítása integrállal. Az elızı év(ek)ben felsorolt továbbhaladási feltételek. -26-

27 Ellenırzés - értékelés - A tanulók felkészültségének ellenırzésére döntıen az írásbeli ellenırzés különbözı típusait alkalmazzuk. Emellett évenként és tanulónként legalább egy szóbeli feleletet is biztosítani kell. - Az írásbeli ellenırzés típusai: - témazáró dolgozat, - témaközi összefoglaló dolgozat, - röpdolgozat. Témazáró dolgozatot minden nagy (a tantervben jelölt) témakör végén tervezünk, de évente legalább a heti óraszámmal egyenlı számú összefoglaló dolgozatot íratni kell. A témazáró dolgozat megírásának idıtartama 1 vagy 2 tanítási óra lehet. Témaközi összefoglaló dolgozatot egy nagy témakör önmagában lezárható részeinek öszszefoglalásakor javasolt íratni, 1 tanítási órának megfelelı idıtartamban. Röpdolgozatot az elızı 1-2 óra anyagából íratunk, kb. a szóbeli feleletek idıtartamában. Témazáró és témaközi összefoglaló dolgozatok estén a pontozásos értékelést javasoljuk. A teljesítmények érdemjeggyé történı átváltásánál a következı határokat javasoljuk: 0-29 % elégtelen % elégséges % közepes % jó % jeles Az osztályzat megállapításánál a témazáró dolgozat érdemjegyét kétszeres súlyozással, a többi érdemjegyet egyszeresen vesszük figyelembe. Témazáró és témaközi dolgozatot az egész csoporttal, míg röpdolgozatot egyénileg is írathatunk. Érdemjeggyel jutalmazhatunk órai szorgalmas munkát (vagy ennek bizonyíthatóan a nem tanulásból származó elmaradását), otthoni önálló munkát, projektmunkát is. A tanulók felkészültségének ellenırzését havi rendszerességgel, átlagosan legalább havi 1 érdemjegy adásával végezzük. Az osztályzatok megállapításánál az érdemjegyek súlyozott átlagát vesszük alapul. A kerekítés határát azonban módosíthatja a tanuló szorgalma, illetve az évközi teljesítmény változásának tendenciája. Az emeltszintő érettségire történı felkészítésben résztvevı diákok osztályzatát a két csoportban szerzett osztályzatoknak az óraszám szerint súlyozott átlagaként számítjuk. Mivel a tantárgyi követelmények elsajátításának elengedhetetlen feltétele az otthoni tanulás, gyakorlás, ezért a házi feladatok kijelölése minden órán ajánlott és ezek elkészítése minden tanuló számára kötelezı. -27-

28 A taneszközök kiválasztásának elvei: Tankönyvek: - lehetıség szerint a tananyag egészét tartalmazzák, - didaktikai szempontból a korosztálynak, ill. a tanulók elıképzettségének megfelelı legyen. Feladatgyőjtemények: - legyen olyan, ami segíti a kimeneti vizsgákra való felkészülést, eléri azok színvonalát, és alkalmas a felkészülés tesztelésére, - legyen olyan is, ami alkalmas az önálló tanulásra (tematikusan szerkesztett, megoldásokat tartalmazó). Egyéb taneszközök: - törekedni kell a különbözı szemléltetıeszközök használatára, - a lehetıségekhez mérten javasolt a különbözı számítógépes szoftverek felhasználása az órai munkában, illetve az otthoni vagy projektmunkák esetén (pl. statisztikai feladatok), - ajánlott a szakirodalom minél több hasznos és érdekes munkájának felhasználása a tanítási - tanulási folyamatban. Az érettségi vizsga leírása matematikából Középszintő vizsga A középszintő matematika érettségi 180 perces írásbeli vizsga. Szóbeli vizsgát azok a tanulók tehetnek, akiknek az írásbeli vizsgájuk sikertelen, de az írásbeli vizsgapontszám 10%-át elérték. Mindkét vizsgán használható függvénytáblázat és számológép. Írásbeli vizsga Tartalmi szerkezet A feladatsor összeállításakor az alábbi tartalmi arányok az irányadók: Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 20% Aritmetika, algebra, számelmélet 25% Függvények, az analízis elemei 15% Geometria, koordinátageometria, trigonometria 25% Valószínőségszámítás, statisztika 15% A feladatsor feladatainak 30-50%-a a hétköznapi élet problémáiból indul ki, esetenként egyszerő modellalkotást igénylı feladat. A feladatsor jellemzıi Két különálló részbıl áll. I. rész: feladatot tartalmazó feladatlap, amely az alapfogalmak, definíciók, egyszerő összefüggések ismeretét hivatott ellenırizni. Megoldási idı 45 perc. Elérhetı pontszám összesen 30 pont. II./a rész: 4, egyenként 12 pontos feladat, amelybıl hármat kell megoldani. II./b rész:3, egyenként 17 pontos feladat, amelybıl kettıt kell megoldani. Összetett feladatok, több témakört érintenek, több részkérdésbıl állnak. Megoldási idı összesen 135 perc. Elérhetı pontszám összesen 70 pont. Az írásbeli vizsgán elérhetı pontszám 100 pont. -28-

29 Szóbeli vizsga Legalább 20 tétel közül kell húzni. A tételsor tartalmi arányai az írásbeli vizsgánál meghatározott arányokat kell, hogy tükrözzék. A tétel tartalmaz 3 egyszerő elméleti kérdést (definíciót, tételkimondást), valamint 3 feladatot. A tétel egyes elemei más-más témakörbıl kerülnek kiválasztásra. Értékelés: A szóbeli vizsgán elérhetı pontszám 50 pont. Az értékelés szempontjai 1. Az elméleti kérdések összesen 15 pont 2. A három feladat összesen 30 pont 3. Önálló teljesítményre való képesség, a feladatok logikus elıadása, ill. a matematikai kommunikációs képesség 5 pont A szóbeli vizsgát is tett tanuló végsı értékelése az írásbeli és a szóbeli vizsga együttes pontszáma alapján történik. Emelt szintő vizsga Az emelt szintő matematika érettségi vizsga 240 perces írásbeli vizsgából és legfeljebb 20 perces szóbeli vizsgából áll. Mindkét vizsgán használható függvénytáblázat és számológép. Írásbeli vizsga Tartalmi szerkezet A feladatsor összeállításakor az alábbi tartalmi arányok az irányadók: Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 25% Aritmetika, algebra, számelmélet 20% Függvények, az analízis elemei 20% Geometria, koordinátageometria, trigonometria 20% Valószínőségszámítás, statisztika 15% A feladatsor feladatainak 30-40%-a szöveges, a hétköznapi élet problémáiból kiinduló, egyszerő modellalkotás alkalmazását igénylı feladat. A feladatsor jellemzıi A feladatsor folyamatosan megoldandó, két különbözı részbıl áll. I. rész: 4 feladatból áll. Ezek az emelt szintő követelmények alapján egyszerőnek tekinthetık. Elérhetı összpontszám 51 pont. II. rész: 5 egyenként 16 pontértékő feladat, amibıl négyet kell kiválasztani és megoldani. Ezek közül legalább kettıben a gyakorlati életben elıforduló szituációkból származik a probléma. Elérhetı összpontszám 64 pont. Az írásbeli vizsgán elérhetı összpontszám 115 pont. Szóbeli vizsga Legalább 20 tétel közül kell húzni. A tételsor tartalmi arányai az írásbeli vizsgánál meghatározott arányokat kell, hogy tükrözzék. A tételek jellemzıi Az egyes tételek egy-egy témakörbıl kerülnek összeállításra. Minden tétel megköveteli a tanulótól - egy definíció kimondását, - egy tétel bizonyítását, - egy feladat megoldását, -29-