MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét"

Átírás

1 MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 -

2 Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY (Mozaik, 013) feladataira épül. Kidolgozott gyakorló feladatok az adott oldalszámon találhatóak! Az elméleti anyag értelmezéséhez a Tankönyv és a Négyjegyű Függvénytáblázat (Konsept-h könyvkiadó) megfelelő oldalai kellenek. Jelölés: tk- Mozaikos tankönyv, fgy- Mozaikos feladatgyűjtemény, fvt- Függvénytáblázat Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok 1 óra I. Kombinatorika, halmazok 1 óra II. Algebra és számelmélet 6 óra III. Függvények 1 óra IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek 19 óra V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek30 óra VI. Egybevágósági transzformációk 0 óra VII. Statisztika 7 óra Év végi ismétlés 8 óra összesen: 144 óra Az ábrák túlnyomó része az interneten megtalálható! Néhány ajánlott oldal (amely folyamatosan bővülni fog): https://www.mozaweb.hu file:///c:/users/j%c3%b3zsef/downloads/emelt_matek_temakorok_014.pdf 1. óra Év eleji szervezési feladatok - -

3 I. Kombinatorika, halmazok (1 óra) 1. LOGIKA, ÖSSZESZÁMLÁLÁS Elméleti anyag. óra Mit jelent a matematika nyelvén? tk: oldal kijelentés, tagadás, fvt: oldal ha-akkor értelmezése Gyakorló feladatok tk: 14/1,3,5 tk:19/1,3,7,8,1,13,14,15,16 fgy: 1004, 1005, 1010, 1011, 101, tk:15-0. oldal 3. óra Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok fvt: 1-13 összeszámolás, permutáció fogalma Elméleti összefoglaló: Logika: Nem igaz, hogy van olyan= mindre nem igaz Nem igaz, hogy minden= van olyan, aki/ami nem Kombinatorika: A matematika azon elmeléti területe, amely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával vagy sorrendberakásával foglalkozik. 1) Permutáció a) Ismétlés nélküli permutáció: -n darab különböző elem egy lehetséges sorrendjét az n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. - n faktoriális alatt értjük a pozitív egész számok 1-től n-ig terjedő szorzatát. A 0 és az 1 faktoriálist 1-nek értelmezzük. 0! = 1, 1! = 1 Jele: n! Tétel: n darab elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma: P= n *(n -1)* (n - )... *1 = n!. HALMAZOK Tk/ Fvt Elméleti anyag Gyakorló feladatok

4 4-5. óra Halmazok tk: 1-5. oldal fv.t :8-10. oldal 6-7.óra Halmazműveletek tk: oldal fv.t: oldal 8.óra Halmazok elemszáma, logikai szita tk: oldal óra Műveletek számhalmazokkal tk: oldal fv.t: oldal fv.t: oldal halmaz, halmaz eleme, üres halmaz, halmazok megadásai módjai, halmazok egyenlősége, részhalmaz, valódi részhalmaz, véges és végtelen halmaz tk: 5/4,5,7,9 alaphalmaz, komplementerhalmaz halmazok metszete, uniója, különbsége, diszjunkt halmazok tk :30/1,3,4,6,7 Halmazok elemszáma, Logikai szita értelmezése két vagy három halmaznál számegyenes, a számegyenes intervallumai fgy:1017, 103, 105,106, 107, 103 fgy: 1035,1037,1038, 1040,104,1044, 1050, 1051, 1099, 1100 tk:34/1,,3,5,6,7 fgy:1058, 1060, 1061,1065, 1068, 1071, 1074 tk:36/1,,3,4,5,8 fgy:1078, 1081, 1085,1105 Elméleti összefoglaló: Halmaz: közös tulajdonságú elemek összessége; jelölés: ábécé nagybetűivel (A, B, C, ) Halmaz eleme: a halmaz egy eleme; jelölés: ábécé kisbetűivel (a, b, c, ) Eleme: egy adott elemet tartalmaz az adott halmaz; jelölés: a A Nem eleme: egy adott elemet nem tartalmaz a halmaz; jelölés: b A Üres halmaz: elem nélküli halmaz; olyan halmaz, melynek egyetlen eleme sincs jelölés: Alaphalmaz (univerzum): az a halmaz, amelynek minden vizsgált halmaz része; jelölés: H vagy U Halmaz számossága: a benne lévő halmazelemek száma; jelölés: A Halmaz megadása: elemeinek felsorolásával: A := { 1,, 10, 18, } az elemek közös tulajdonságának megadásával: A := { Páros számok } Halmazműveletek: Halmazok egyenlősége: két halmaz egyenlő, ha az egyik halmaz minden eleme a másik halmaznak is eleme; jelölés: A = B Részhalmaz: egy adott halmaz minden eleme egy másik halmaznak is eleme; jelölés: A B Valódi részhalmaz: egy halmaz részhalmaza egy másik halmaznak, de nem egyenlőek jelölés: A B Metszet: mindazon elemek halmaza, amely a két halmaz közös elemeiből áll, vagyis olyan elemekből, melyek mind az egyik, mind a másik halmaznak elemei; jelölés: - 4 -

5 A B Tulajdonságok: - kommutatív: A B B A - asszociatív: A ( B C ) ( A B) C - A A A - A - A I A Egyesítés (unió): két halmaz elemeinek összessége, vagyis olyan elemekből áll, melyek vagy az egyik, vagy a másik halmaznak elemei, de legalább az egyiknek. jelölés: A B Tulajdonságok: - kommutatív: A B B A - asszociatív: A ( B C ) ( A B ) C - A A A - A A - A I I Különbség: eleme az A halmaznak, de nem eleme a B halmaznak; jelölés: A \ B Kiegészítő halmaz (komplementer): mindazon elemek összessége, melyek nem elemei egy adott A halmaznak (de a halmazuniverzumnak elemei); jelölés: Ā = H \ A Diszjunkt halmazok: olyan halmazok, amelynek nincs közös része (A B = ) Logikai szita két halmaz esetén: A B = A + B - A B Logikai szita három halmaz esetén: A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C Számegyenes: Olyan egyenes, melyen kijelölünk egy irányt és két pontot, amelyekhez számokat rendelünk. Így meghatározzuk a 0 és az 1 helyét. Számegyenes egy része az intervallum, amely lehet nyílt, zárt vagy félig nyílt 3.GRÁFOK - 5 -

6 Elméleti anyag 11.óra Gráfok tk: oldal Gráf pontjai, élei, fokszám, egyszerű gráf Gyakorló feladatok Tk: 41/1,5,7, 10, 11 Elméleti összefoglaló: Gráfelmélet: A gráf pontokból (csúcsokból) es élekből álló halmaz, ahol az élek csúcsokat kötnek össze. Gráfok megadása: síkbeli ábrával, szomszédsági mátrixszal, felsorolással Két csúcs szomszédos, ha vezet köztük él. A mátrixban bármely két csúcs közti élek számát jelöljük. Def.: hurokél: olyan él, melynek kezdő és végpontja azonos többszörös él: ha két csúcs közt egynél több él vezet izolált csúcs: olyan csúcs, melyből nem indul él egyszerű gráf: olyan gráf, mely nem tartalmaz hurokélt es többszörös élt sem. irányított gráf: olyan gráf, melyben különbséget teszünk az élek kezdő- illetve végpontjai közt, nyíllal jelöljük az irányt csúcs fokszáma: a belőle kiinduló élek száma Tétel: 1. Bármely (véges) gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának kétszerese. Minden (véges) gráfban a páratlan fokú csúcsok száma mindig páros. Példák gráfokra: - 6 -

7 II. Algebra és számelmélet (6 óra) 1. Betűk használata a matematikában Elméleti anyag Gyakorló feladatok 14. óra Betűk használata tk: oldal fv.t: 8. oldal betűs kifejezések értelmezése, algebrai kifejezés, egyváltozós és többváltozós algebrai kifejezés, egész, tört algebrai kifejezés, egytagú, többtagú algebrai kifejezés, helyettesítési érték Elméleti összefoglaló: tk: 47/3, 4, 5, 7, 9 fgy: 1107, 1109, 1110, 1111, 111

8 Egy-egy matematikai probléma felírása esetén sokszor használunk betűket. Ezeket a problémától függően nevezhetjük változónak, vagy ismeretlennek. Jelölhetjük x-el, a-val. Algebrai kifejezés: ha a négy alapműveletet számokra vagy betűkre véges sokszor alkalmazzuk. 7x5y+x3y+1 Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel. 3x4 A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozósnak nevezzük. 3x4y Ha az algebrai kifejezésben a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk az alaphalmazból, akkor a műveletek elvégzése után egy számot, a kifejezés helyettesítési értékét kapjuk. Algebrai egész kifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben nincs tört vagy az előforduló tört x 3 nevezőjében nincs változó. Algebrai törtkifejezésről beszélünk, ha az algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében van x 3 változó. x Egy algebrai tört értelmezési tartományán a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát értjük, amelynek elemeit a változó helyére írva a kifejezésben szereplő műveletek elvégezhetőek. Egytagú algebrai kifejezésről beszélünk, ha a kifejezésben a számok és a betűk a szorzás műveletével vannak összekapcsolva. 3x4y Többtagú algebrai egész kifejezésnek vagy polinomnak nevezzük az egytagú algebrai egész kifejezések összegét. 7x5y+x3y+1. Hatványozás. A hatványozás alapazonosságai Elméleti anyag Gyakorló feladatok óra. Hatványozás tk: oldal fv. t: 1-.oldal hatványozás definíciója, hatványozás azonosságai, negatív kitevőjű hatvány értelmezése Tk: 51/1,, 3 54/ 1,, 4, 5 Fgy: 1114, 1116, 1117, 1119, Elméleti összefoglaló: Egész kitevőjű hatványok: n Pozitív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint a jelenti azt az n tényezős szorzatot, n amelynek minden tényezője a. a a a a b a; b R, n Z n db Az a-t hatványalapnak, n-t hatványkitevőnek, b-t hatványértéknek nevezzük. Nulla kitevőjű hatvány: minden 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa

9 a 0 1, a R, a 0 00 nincs értelmezve, 0 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa 0. Negatív egész kitevőjű hatvány: Minden 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám ellentett kitevőjű hatványának reciprokával egyenlő. 1 a R, a 0, n Z a n n, a 1 1 bármely hatványa 1, minden valós szám első hatványa önmaga. a 1 Azonosságok: m n m n Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk a a a m; n Z, a R am a m n n a Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk egymásból m; n Z, m n, a R, a 0 Szorzatot úgy hatványozunk, hogy a tényezőket külön-külön a megfelelő kitevőre emeljük. a b n a n b n n, a; b R Z Hányadost úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön-külön a megfelelő kitevőre n n a a bn b emeljük. n Z, a; b R, b 0 Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk. a n m a n m, n; m Z a R 3. A számok normálalakja Elméleti anyag Gyakorló feladatok 19. óra A számok normálalakja tk: oldal normálalak tk: 57/ 1,, 4 fv.t: 18. oldal fgy: 111, 11, 116, 118, 1193 Elméleti összefoglaló: A nagyon nagy és nagyon kis számok egyszerűbb leírását segíti a számok normálalakja. Ezzel az alakkal műveleteket is végezhetünk. Egy szám normálalakja egy szorzat, melynek két tényezője van. Az első tényező 1 és 10 közé esik, a második tényező 10 megfelelő hatványa. Egy x valós szám esetén a x=n 10k alakot a szám normál alakjának nevezzük, ahol 1 N <10 és k є Z. Ezáltal ezeket az óriási vagy kicsi számokat sokkal könnyebb lesz kezelni és velük műveleteket végezni

10 Példák: = 3* = 4,05*10 0,006 = 6*10-3 0,0000 = *10-5 A Föld tömege: t. Ez normálalakban: 6*101 t A proton tömege: 0, gramm. Ez normálalakban: 1,67*10-4 gramm. 4. Egész kifejezések (polinomok) Elméleti anyag Gyakorló feladatok 0-1. óra Egész kifejezések tk: oldal fv.t: 8. oldal Polinomok tk: 59/, 3, 4, 5 fokszáma, egynemű és többnemű fgy: 1130, 1131 polinomok Elméleti összefoglaló: Egytagú egész kifejezés fokszáma a változó(k) kitevőinek összege. x3y polinom fokszáma 4. A többtagú polinom fokszáma a legnagyobb fokszámú tag fokszáma. 7 x3y² +xy+1 polinom fokszáma: 5. Két egytagú algebrai kifejezés egynemű, ha legfeljebb együtthatóikban különböznek egymástól. Az egynemű tagokat össze lehet vonni. x3y + 8x3y = 10x3y 5. Nevezetes szorzatok -3. óra Nevezetes szorzatok tk: oldal fv.t: 8. oldal Elméleti anyag Négyzetre és köbre emelés Gyakorló feladatok Tk: 64/1,,3,4,5 Fgy: 1131, 113, 1135 Elméleti összefoglaló: Nevezetes azonosságok: (a+b)²=a²+ab+b² (a-b)²=a²-ab+b²

11 (a+b)(a-b)=a²-b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 6. A szorzattá alakítás módszerei 4-5. óra A szorzattá alakítás módszerei tk: oldal 7. fv.t:8. oldal Gyakorló feladatok tk: 65/6, 67/ 1,,3,4 fgy:1133, 1136, 1138, 1140, 1141 Műveletek algebrai törtekkel 6-7. óra Műveletek algebrai törtekkel tk: oldal 8. Elméleti anyag - Kiemelés - Kiemelés csoportosítás sal - Nevezetes azonosságok alkalmazása fv.t:8. oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok Algebrai törtek tk: 73/ 1,, 3 egyszerűsítése, szorzása, fgy: 1147, osztása, 1148, 1149, összeadása Oszthatóság Elméleti anyag óra Oszthatóság, az oszthatóság tulajdonságai tk: oldal osztója, osztható, oszthatóság tulajdonságai, oszthatósági szabályok prímszám, összetett szám számelmélet alaptétele relatív prímek fv.t:19-1. oldal Gyakorló feladatok tk: 79/ 4, 5, 8, 9 fgy: 1155,1156, 1157, 1161

12 óra Legnagyobb közös osztó Legkisebb közös többszörös tk.:80-8. oldal fv.t:19. oldal legnagyobb tk: közös osztó 8/1,,3,5,6,9 legkisebb közös többszörös fgy:1163, 1164, 1167, 1177 Elméleti összefoglaló: Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy b osztója a-nak, ha létezik olyan c egész, amire a = b * c. a, b, c Z. Jelölés: b a Osztó: azokat a számokat, amelyekkel egy a szám osztható, az a szám osztóinak nevezzük. Minden számnak legalább két osztója van, 1 és önmaga. 10 osztói: 1,, 5, 10 Osztható: akkor osztható egy a szám egy b számmal, ha a hányadosuk egész szám, és a maradék nulla. 10 osztható 5-el, mert a hányadosuk kettő, a maradék nulla. Prímszámnak, törzsszámnak nevezzük azokat a termeszétes számokat, amelynek pontosan két osztójuk van a természetes számok között (maga a szám es az 1). Prímszámok:,3,5,7,11,13,17,.. Az egynél nagyobb termeszétes számot összetett számnak nevezzük, ha kettőnél több osztója van. Összetett szám: 4, 6, 8, 9, 1, 15, 0, 100 Az 1 es a 0 nem prím, és nem összetett szám. A számelmélet alaptétele: Minden 1-nél nagyobb természetes szám (a sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Oszthatósági szabályok: Egy szám akkor osztható -vel: ha az utolsó számjegye -vel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0; ; 4; 6; 8. 3-mal: ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. 4-gyel: ha az utolsó számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. 5-tel: ha az utolsó számjegye 5-tel osztható, vagyis az utolsó számjegye 0 vagy 5. 6-tal: ha a szám osztható -vel és 3-mal is. 8-cal: ha az utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 8-cal. 9-cel: ha a számjegyek összege osztható 9-cel. 10-zel: ha az utolsó számjegye nulla. 5-tel: ha az utolsó számjegyéből alkotott szám osztható 5-tel. 100-zal: ha az utolsó számjegye nulla. Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztóik közül a legnagyobb

13 Ha a legnagyobb közös osztó 1, akkor a két számot relatív prímnek nevezzük. Jele: (a, b). Kiszámítása: Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a közös prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legkisebb hatványon. Két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösén azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [a, b]. Kiszámítása: Az eredeti számokat prímtényezőkre bontjuk, majd az előforduló prímtényezőket összeszorozzuk az előforduló legnagyobb hatványon. 9. Számrendszerek Elméleti anyag óra. Számrendszerek tk: oldal Számrendszerek, átírás más számrendszerre, egyszerűbb műveletek Gyakorló feladatok tk: 86/ 1,, 3, 7 fgy: 1168, 1169, 1170, 1188 a, Elméleti összefoglaló: Tízes (decimális) számrendszer: A tízes számrendszerben a számokat a tíz hatványaival írjuk fel. Kettes (bináris) számrendszer: A kettes számrendszerbeli számok a 0 es az 1 számjegyekből állnak. Elméleti anyag Gyakorló feladatok óra. Összefoglalás, rendszerezés Témazáró dolgozat, dolgozatjavítás III. Függvények (1 óra) Elméleti anyag Gyakorló feladatok

14 40. óra A derékszögű koordinátarendszer, ponthalmazok tk: oldal óra Lineáris függvény és menetének leírása tk: 9-95.oldal fv.t: 6-66.oldal fv.t: 6-66.oldal óra. Az abszolútértékfüggvény és menetének leírása Az abszolútértékfüggvény transzformációi tk: oldal óra. A másodfokú függvény és menetének leírása A másodfokú függvény transzformációi óra A négyzetgyökfüggvény és menetének leírása A négyzetgyökfüggvény transzformációi óra Lineáris törtfüggvények, a fordított arányosság tk: óra óra A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása óra Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk: oldal fv.t: 6-66.oldal fv.t: 6-66.oldal tk: oldal fv.t: 6-66.oldal tk: oldal Derékszögű koordináta rendszer, abcissza, ordináta, síknegyedek Függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet, helyettesítési érték, zérushely, elsőfokú függvény, egyenes arányosság Abszolút érték, az abszolút érték függvény definíciója és transzformációi, szélsőérték, monotonitás tk: 91/ 1,, 3, 4, 5 Másodfokú függvény definíciója, transzformációi, Páros függvény Négyzetgyök definíciója, a négyzetgyök függvény tulajdonságai, Fordított arányosság, a lineáris törtfüggvények értelmezése és definíciója, Páratlan függvény A függvénytranszformációk rendszerezése, alkalmazása tk: 105/1, Elméleti összefoglaló: fgy: 1194, 1195, 1196 tk: 95/ 1,, 3, 4, 5 fgy: 1198, 1199, 100, 101, 10, 103 tk: 101/1,,4 fgy: 105, 107, 111 fgy: 113, 115, 119,, 11, 1 tk: 109/1,3 fgy: 18, 19 tk:115/ 1, 3 fgy: 140, 141, 149, fgy:155, 157, 158, 163, 166

15 Derékszögű koordináta-rendszer: Két, egymásra merőleges egyenes, amelyek metszéspontja a nulla számértéknél van. Ez a metszéspont az origó. A vízszintes számegyenest x tengelynek (abszcissza tengely), a függőleges számegyenest y tengelynek (ordináta tengely) nevezzük. Egy tetszőleges pont helyét egy rendezett számpárral adhatjuk meg. Az első szám az x tengelyen való irányt, a második szám az y tengelyen való irányt jelenti az origótól. P (x, y) A koordináta rendszer a síkot 4 részre osztja: I. síknegyed: mindkét koordináta pozitív P(;3) II. síknegyed: első koordináta negatív, második koordináta pozitív. P(- ;3) III. síknegyed: mindkét koordináta negatív. P(- ;- 3) IV. síknegyed: első koordináta pozitív, második koordináta negatív. P(; - 3) Legyen A és B két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadunk egy A halmazon értelmezett B-beli értéket felvevő függvényt, ha A minden eleméhez hozzárendeljük a B egy és pontosan egy elemét.. Értelmezési tartománynak nevezzük az A halmazt. Jele Df. Értékkészlet a B halmaz azon elemeibõl álló halmaz, amelyek a hozzárendelésnél előfordulnak. (vagyis az f(x) értékek). Jele az Rf. Ha x Df, (tehát az x eleme az értelmezési tartománynak) akkor az x helyen felvett függvényértéket f(x)-vel jelöljük, ez a helyettesítési érték. A függvény megadásához szükséges: értelmezési tartomány értékkészlet hozzárendelés szabálya A hozzárendelést megadhatjuk: Táblázattal Képlettel Szöveggel Grafikonnal Elempárok felsorolásával Az értelmezési tartomány és az értékkészlet összetartozó értékpárjait ábrázolhatjuk derékszögű koordináta-rendszerben, a rendezett számpárok egy-egy pontot határoznak meg. Ezek halmazát a függvény képének, grafikonjának nevezzük

16 Függvénytulajdonságok: Zérushely: Az f függvény zérushelyének nevezzük az értelmezési tartományának azon elemeit, amelyekre f(x)=0. Monotonitás: Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton növekvő, ha az intervallum bármely x1 < x értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f ( x1 ) f ( x ). Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában szigorúan monoton csökkenő, ha az intervallum bármely x < x értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll f ( x1 ) f ( x ). 1 Szélsőérték: Az f függvénynek abszolút minimuma van az értelmezési tartományának x értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x) értékénél sehol sem vesz fel kisebb értéket. Az f függvénynek abszolút maximuma van az értelmezési tartományának x értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x) értékénél sehol sem vesz fel nagyobb értéket. Paritás: Az f függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén x is eleme az értelmezési tartománynak és igaz, hogy f( x) = f(x). Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre. Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén x is eleme az értelmezési tartománynak és igaz, hogy f( x) = f(x). Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. Függvénytípusok: 1. Lineáris függvény: képe egyenes. Hozzárendelés:: y=mx+b, x mx+b, f(x)=mx+b m, b R m : a függvény meredeksége, azaz megmutatja, hogy ha az x tengely mentén 1-et lépünk jobbra, akkor mennyit kell lépnünk az y tengely mentén (felfelé vagy lefelé). b : tengelymetszet megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt. Ha az m=0 akkor a függvény nulladfokú függvény (konstans függvény), képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. y=b Ha m 0 és b=0, akkor egyenes arányosság függvényről beszélünk, képe origón áthaladó egyenes. y=mx Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség egyenesen arányos. Ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség is ugyanennyiszeresére változik. ( pl a kenyér tömege és ára közötti összefüggés) Példák lineáris függvényre:

17 . Abszolútérték függvény: Abszolút érték: Azt fejezi ki, hogy egy szám a számegyenesen milyen távol van a nullától. A nem negatív számok abszolút értéke egyenlő a számmal, a negatív számok abszolút értéke egyenlő a számok ellentettjével. 0 abszolút értéke egyenlő 0-val

18 f(x) = x képe V alakú. Értelmezési tartomány: x R Értékkészlet: y >0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<0. Szigorúan monoton nő, ha x>0. Paritás: páros függvény 3. másodfokú függvény: képe parabola Hozzárendelési szabály: f(x)=x. Értelmezési tartomány: x R, Értékkészlet: y >0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton csökken, ha x<0. Szigorúan monoton nő, ha x>0. Paritás: páros függvény 4. fordított arányosság függvény: Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek a szorzata 0-tól különböző állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség fordítottan arányos. (autóúton a sebesség és az idő)

19 képe hiperbola képlete y=1/x f(x)=c/x, ahol x, c, f(x) R, és x 0, c 0, f(x) 0. A függvény grafikonját hiperbolának nevezzük.. Értelmezési tartomány: x R, de x nem lehet 0 Értékkészlet: y R, de y nem lehet 0 Zérushelye: nincs Szélsőértéke: nincs Menete: Szigorúan monoton csökken, Paritás: páros függvény 5. négyzetgyök függvény: képlete y= Egy nemnegatív valós szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete az eredeti szám., 196 = 14, 59 = 3 f: R R, f(x)= 196 nincs értelmezve függvényt négyzetgyök függvénynek hívjuk

20 Értelmezési tartomány: x 0, x R, Értékkészlet: y 0, y R Zérushelye: x = 0 Szélsőértéke: minimum: y=0; x=0 Menete: Szigorúan monoton nő Paritás: nincs Inverz függvény: Nemnegatív valós számok halmazán a másodfokú függvény Függvénytranszformációk 1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c =.. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a ) A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, haa>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a=. 3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak

21 4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem. 5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x ) A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c-szeresére megnyújtjuk, ha c > 1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek c-szeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/. 6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax ) A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az xtengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a =. 7. A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az xtengelyre

22 8. f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x 0 értékekhez tartozó részt tükrözzük az ytengelyre, az x < 0 értékekhez tartozó görberészt elhagyjuk. IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek (19 óra) 1. A sík és tér elemei 61.óra Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete tk.:18. oldal fv.t 41-4.oldal Elméleti anyag -Két egyenes kölcsönös helyzete -Két sík kölcsönös helyzete -Egyenes és sík kölcsönös helyzete Elméleti összefoglaló: Geometria alapfogalmai (nem definiáljuk): - pont - egyenes - sík - tér - illeszkedés - - Gyakorló feladatok fgy: 183, 184, 186

23 - Két egyenes metsző, ha van közös pontjuk - Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk - Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban - Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van. - Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk - Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha az egyenes minden pontja a síknak is pontja. - Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van - Egy egyenes és egy sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk. Egyenesek, szögek, távolság tk.: oldal 6.óra Néhány alapvető geometriai fogalom Elméleti anyag Gyakorló feladatok - Egyenes, tk. 131/ 1,, 7, 8, 9, 10 Félegyenes, Szögfajták, fgy: 188, 189, 190, Szögpárok, 19, 193, Távolság, 194, 1300 Elméleti összefoglaló: - Egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja - Egy egyenes két pontja meghatároz egy szakaszt - A síkot egy egyenese két félsíkra bontja - A teret egy sík két féltérre bontja - Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen síkrészt szögtartománynak, szögnek nevezzük - Ha a síkban egy félegyenest a kezdőpontja körül valamilyen irányban elforgatunk, akkor a félegyenes kezdő- és véghelyzete mint szárak által meghatározott szöget forgásszögnek nevezzük - A forgásszög pozitív, ha az óramutató járásával ellentétes irányban forgatunk, negatív, ha az óramutató járásával megegyező irányban forgatunk. Szögfajták: - 3 -

24 Szögpárok: - - Ha két szög csúcsa közös, és száraik páronként egymás meghosszabbításai, akkor csúcsszögeknek nevezzük őket. A csúcsszögek egyenlők Ha két szög egy-egy szára közös, a másik kettő pedig egy egyenest alkot, akkor mellékszögeknek nevezzük őket. A mellékszögek összege 180º. Ha két szög összege 180º, akkor kiegészítő szögeknek nevezzük őket Ha két szög összege 90º, akkor pótszögeknek nevezzük őket. Ha két szárai páronként egyező irányúak, akkor egyállású szögeknek, ha páronként ellentétes irányúak, akkor váltószögeknek nevezzük őket - 4 -

25 Távolság: - Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre bocsájtott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága. Két metsző egyenes távolsága 0 Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges talppontjának és a tekintett pontnak a távolsága Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolsága Két metsző sík távolsága A háromszögek Tk/ Fvt tk.: oldal óra A háromszögek fv.t. :33, 39oldal geometriája Elméleti anyag - A háromszögek csoportosítása - A háromszögek szögei közötti összefüggések - Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között Gyakorló feladatok tk. 138./1,, 3, 4, 5, 6,8 fgy: 1309, 1311,131, 1314, 1316, 131, 13

26 Elméleti összefoglaló: 1. A háromszögek csoportosítása szögei szerint: a) hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög, b) derékszögű, ha van derékszöge. (befogó, átfogó) c.) tompaszögű, ha van tompaszöge. Egy háromszögnek legfeljebb egy derékszöge lehet. Egy háromszögnek legfeljebb egy tompaszöge lehet.. A háromszögek csoportosítása oldalai szerint: a) egyenlő szárú b) egyenlő oldalú c) általános Egy háromszöget egyenlőszárúnak nevezünk, ha van két egyenlő oldala. (szárak, alap) Egy háromszöget egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszögnek nevezzük, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög tulajdonságai: A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van. A szabályos háromszög minden szöge 60 -os. A szabályos háromszög magasságpontja, súlypontja, beírt és köré írt körének középpontja egybeesik, és ez a szimmetriatengelyek metszéspontja. A szabályos háromszög forgásszimmetrikus. Egy háromszöget egyértelműen meghatározza: a) három oldala, b) két oldala és az általuk közbezárt szög, c) egy oldala és a rajta fekvő két szög, d) két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szög. Ezekből az adatokból egyértelműen szerkeszthetünk háromszöget. A háromszögek szögei: Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180. Bizonyítás: P Q C B A Jelöljük a háromszög szögeit α, β, γ-val

27 Húzzunk a háromszög C csúcsán át párhuzamost az AB oldallal. Ekkor a PCA = α és QCB = β, (váltószögek), így 180 = α + β + γ Definíció: A háromszög külső szöge: belső szögeinek mellékszögei. Az α, β, γ belső szögek melletti külső szögeket α, β, γ -vel jelöljük. Tétel 1: A háromszög bármely külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Tétel : (külsőszög-tétel) A háromszög valamelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével. Szögek és oldalak közötti összefüggések: Tétel 1: Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, és megfordítva: egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak fekszenek. Tétel : Ha egy háromszögnek van két különböző oldala, akkor a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik. Tétel 3: Ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal fekszik. Oldalak összefüggései: Tétel 1: (A háromszög-egyenlőtlenség) Egy háromszög bármelyik két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Pl. AC + CB > AB ( bármely két oldalra fel lehet írni az összefüggést) D C b A a a c B Egy háromszög bármely két oldala különbségének abszolút értéke kisebb, mint a harmadik oldal.. 3.Pitagorasz tétel - 7 -

28 Tk/ Fvt óra Pitagorasz tétel tk.: oldal Elméleti anyag - Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között - Pitagorasz tétel, - Pitagorasz élete fv.t 38. oldal Gyakorló feladatok tk. 138/11 fgy:138,139,1331,1333, 1334, 1335, 1340 Elméleti összefoglaló: A Pitagorasz-tétel és megfordítása 1. Tétel: A derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.. Tétel: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög olyan derékszögű háromszög, amelynek átfogója ez utóbbi oldal. Összefoglalva: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két rövidebb oldalának négyzetösszege egyenlő a leghosszabb oldal négyzetével. a a a b ab b ab b a a b c b b a b a 4.A négyszögek óra A négyszögek tk.: oldal fv.t: oldal Elméleti Gyakorló feladatok anyag - Konvex, tk. 14/1,, 3, 4, 6, konkáv 7,9, 10 négyszögek, - speciális fgy: 1344, 1349, négyszögek 1350, 1351, 1356, 1358, 1359,

29 Elméleti összefoglaló: Csoportosítás: Az oldalak párhuzamossága szerint: 1. Két-két párhuzamos oldaluk van. Ez a paralelogrammák. A téglalap, a rombusz és a négyzet is.. Két párhuzamos oldaluk van. Ezek a trapézok. Ide sorolható a paralelogramma, a négyzet, a téglalap is a rombusz is. 3. Nincs párhuzamos oldaluk. Az oldalak egyenlősége szerint: 1. Minden oldaluk egyenlő: rombuszok, és ezen belül a négyzetek.. Két-két szemközti oldaluk egyenlők. Ezek a paralelogrammák, (köztük a négyzet és a rombusz) 3. Szomszédos oldalaik egyenlők. Ezek a deltoidok.(köztük a négyzet a téglalap és a rombusz is) 4. Két vagy három egyenlő oldala van. A speciális négyszögek közül a trapézok között fordulhat ilyen elő. 5. Nincs egyenlő oldaluk. Az általános négyszögeken kívül a trapéz lehet ilyen. A négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. Speciális négyszögek: 1. Trapéz A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja (azaz van két párhuzamos oldala). Nincs szimmetriatengelye. Átlók: Átlóinak nincs semmilyen speciális tulajdonsága. Speciális: szimmetrikus trapéz Szimmetriatulajdonságok: Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van, amely a párhuzamos oldalakat merőlegesen felezi.. Átlók: Átlói egyenlő hosszúságúak

30 . Paralelogramma A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van (két-két szemközti oldala párhuzamos). Középpontosan szimmetrikus, tengelyesen nem feltétlenül. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja. Az általános paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus Átlói felezik egymást. De nem egyforma hosszúak, csak ha a paralelogramma egyúttal rombusz is. 3. Deltoid A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van. (Négyzetnek, rombusznak kettő) Átlói merőlegesek egymásra, és az egyik felezi a másikat. Szimmetria középpontja nincsen. Lehet konvex és konkáv is 4. Rombusz A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. Tengelyesen szimmetrikus. Két szimmetriatengelye van, a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek (átlói). Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja. Átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra.(de nem biztos, hogy egyforma hosszúak.)

31 5. Téglalap A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú. Tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van, az oldalak felezési pontjait köti össze (négyzetnek 4 van) Átlói egyforma hosszúak és felezik egymást. 6. Négyzet A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú és minden Szöge egyenlő nagyságú, vagyis derékszög. Tengelyesen szimmetrikus. Négy szimmetriatengelye van: (a szemközti oldalak felezőpontján átmenő és a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek) Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja az átlók metszéspontja. Forgásszimmetrikus: Átlói egyenlő hosszúak, egymásra merőlegesek és felezik egymást. 5.Sokszögek óra. A sokszögek Tk.: oldal fv.t oldal Elméleti anyag - Konvex és konkáv sokszögek - Átlók száma, - belső és külső szögeinek összege Gyakorló feladatok tk.144/1,,3,4,5,6,7, 8,9, 1 fgy: 1365, 1367, 1368, 1374, 1375 Elméleti összefoglaló: Egy sokszög konvex, ha minden szöge konvex (kisebb 180 -nál), és konkáv, ha van egy konkáv szöge, amely nagyobb 180 -nál. Vagyis, egy konvex sokszögnek, ha bármely két pontját összekötjük, a két pontot összekötő szakaszt

32 is tartalmazzák. Tétel n(n 3) Egy n oldalú konvex sokszög összes átlóinak száma :. Bizonyítás Egy n oldalú konvex sokszög egy csúcsából önmagába és a két szomszédos csúcsba nem húzható átló, így minden csúcsából (n-3) átló húzható. Ha így összeszámoljuk az összes átlót, az n (n-3) átló, de így minden átlót kétszer számoltunk, így valójában az átlók száma ennek a szorzatnak a fele. Tétel Egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek az összege (n ) 180 Bizonyítás A sokszög egyik csúcsából kiinduló (n- 3) átló (n-) darab háromszögre bontja a sokszöget. A háromszögek belső szögeinek az összege éppen a sokszög belső szögeinek az összegét adja. Az állítás konkáv sokszögekre is igaz, nem csak konvexekre. Tétel Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek az összege 360. Bizonyítás A sokszög egy külső szöge 180 -ra egészíti ki a hozzátartozó belső szöget. Tehát minden csúcsban a belső és a külső szög összege 180, vagyis az összes belső és összes külső szög összege n 180. A külső szögek összege így n 180 (n ) vagyis éppen 360 Definíció Egy sokszög szabályos, ha minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú. Tétel: (n ) 180 n Szabályos sokszög egy belső szögének nagysága:. A szabályos sokszögek köré mindig írható kör. Ennek a körnek a középpontját egyben a sokszög középpontjának is nevezzük. A középpontot a csúcsokkal összekötő sugarak a szabályos n-szöget n darab egybevágó egyenlő szárú háromszögre (középponti háromszög) vágják szét

33 A szabályos sokszögeknek mindig létezik beírt köre is, vagyis olyan kör, amely minden oldalt érinti

34 6.Ponthalmazok tk.: oldal 71.óra Nevezetes ponthalmazok fv.t 36. oldal a síkban és a térben Elméleti anyag - Felezőmerőleges, - szögfelező, - kör, gömb, kör részei, - Szerkesztés számítógépes programmal Elméleti összefoglaló: Egy adott ponttól: Körvonal: O=Adott pont (középpont), r= adott távolság (sugár) lévő pontok halmaza a síkban. O= középpont P= körvonal pontja r= sugár= OP távolság, r Gyakorló feladatok tk. 148/, 3, 4, fgy:1379,1380,1381, 1387,139,1393

35 Zárt körlap: Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak. Nyílt körlap: Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak. Gömb: Azon pontok halmaza a térben, amely egy adott ponttól, (ez a középpont) adott távolságra vannak (ez a sugár) Két különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok: szakasz felezőmerőlegese: azon pontok halmaza a síkon, amely két adott ponttól egyenlő távolságra vannak

36 Három különböző ponttól egyenlő távolságban lévő pontok: a) három pont egy egyenesre esik-nincs ilyen pont b) 3 pont háromszöget határoz meg: Szögfelező: Azon pontok halmaza a síkban amelyek egy adott szög szárától egyenlő távolságra va A szög csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja. 7.Háromszögek beírt köre tk.: oldal 7.óra A háromszög fv.t 34. oldal beírt köre Elméleti anyag - Háromszögek belső és külső szögfelezői, - szerkesztés, - tétel Gyakorló feladatok tk. 150/1,, 4 fgy: 140, 1405 b, 1407, 1409, 1413 Elméleti összefoglaló: Definíció: A háromszög belső szögeinek felezőit a háromszög szögfelezőinek nevezzük. A háromszög külső szögeinek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk

37 Minden háromszögnek három szögfelezője és három külső szögfelezője van. Tétel: A háromszög szögfelező egyenesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírható kör középpontja. Vagyis minden háromszögbe írható olyan kör, amely érinti a háromszög oldalait. Ez a pont mindig a háromszögön belül van. 8.A háromszögek körülírt köre Elméleti anyag 73.óra A háromszög körülírt köre tk.: oldal - Háromszögek oldalfelező merőlegesei, - szerkesztés, - tétel fv.t: 33.oldal Gyakorló feladatok tk. 15/ fgy:1405a,1409, Elméleti összefoglaló: Definíció: A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. A háromszögbe eső részt nevezzük oldalfelező merőleges szakaszának. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, és ez a pont egyenlő távol van a háromszög mindhárom csúcsától

38 Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, derékszögű háromszögnél az átfogó felezési pontján, tompaszögű háromszögnél a háromszögön kívül helyezkedik el. Létezik olyan kör, amelynek középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja és áthalad a háromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört a háromszög köré írható körének nevezzük 9.Thalesz tétele tk.: oldal óra Thalész tétele és fv.t 36. oldal alkalmazása Elméleti anyag -Thalesz tétele, - megfordítás, - Thalesz kör, - Thalesz élete Gyakorló feladatok tk.156/1,,3,8 fgy:1417, 146, 1431 Elméleti összefoglaló: Thalesz-tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.) Bizonyítás: az O középpontú kör átmérőjére rajzolt ABC háromszög A-nál lévő szögét α-val, a B-nél levő szögét β-val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk. A belső szögek összege: α+ β + (α + β) = 180, α+ β = 90. Tehát az ABC háromszög derékszögű. A Thalesz-tétel megfordítása: Ha egy szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkor az AB átmérőjű körnek egyik pontja

39 a C pont. Összefoglalva: A síkon azon pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját. ( vagyis A és B pontot). 10. Érintőnégyszögek tk.: oldal 76.óra Érintőnégyszögek fv.t 36. oldal Elméleti anyag - Érintőnégyszögek - Érintősokszögek, tétel Gyakorló feladatok tk. 138/11 fgy: 1436, 1438, 1441, 144, Elméleti összefoglaló: Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük. Tétel 1: Az érintőnégyszögek két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Tétel :Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor érintőnégyszög. Együtt: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Egy sokszöget érintősokszögnek nevezünk, ha van beírt köre. 11. összefoglalás, számonkérés

40 77-79.óra Összefoglalás, rendszerezés Témazáró dolgozat hiánypótlás tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok fgy V. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (30 óra) 1. Egyenletmegoldás 80.óra Az egyenlet, tk.: oldal azonosság fogalma tk: oldal 81-8.óra Egyenletek grafikus megoldása 83.óra Egyenletek tk: oldal értelmezési tartományának, értékkészletének vizsgálata 84.óra Egyenlet tk: óra megoldása szorzattá alakítással tk: óra óra A mérlegelv Elméleti anyag Alaphalmaz, értelmezési tartomány, kijelentés, állítás, Egyenletek megoldása függvények segítségével Értelmezési tartomány vagy értékkészlet vizsgálata az egyenlet megoldása során Szorzattá alakítás Gyakorló feladatok tk. 16/1,, 3, 4 fgy: 1475, 1478 tk. 165/1, 1479, 1480 tk: 168/1,,3 fgy: 1483, 1485 tk: 17/ fgy: 1487, 1489 Mérlegelv, hamis gyök tk: 176/ 1, fgy: 149, 1495,

41 88. óra Számonkérés Elméleti összefoglaló: Az egyenleteket azonosságoknak is hívjuk. Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz, melyen a megoldásokat keressük. Ha az alaphalmazt előre nem adjuk meg, akkor a valós számok halmaza az alaphalmaz. De lehet a megoldást keresni az egész számok vagy a pozitív számok halmazán is. A szöveges feladatok megoldásánál nagy segítség lehet, ha sikerül felírnunk egy hozzá kapcsolódó egyenletet. Ilyenkor mindig a feladatra adandó választ nevezzük el ismeretlennek (leggyakrabban xnek). Egyenletek megoldási módszerei: Grafikus módszer: Az egyenletet értelmezhetjük függvényként. Ekkor f(x) = g(x) egyenlet két oldalán szereplő függvényt ábrázoljuk koordináta-rendszerben és meghatározzuk a két grafikon közös pontjait. A közös pontok első koordinátái (x) adják az egyenlet megoldásait. Ellenőrzésként mindkét oldalba behelyettesítve a megkapott értéket ugyanazt az eredményt kell kapnunk. Hátránya, hogy nem mindig olvasható le pontosan a pont. Az értelmezési tartomány vizsgálata: Érdemes megadni azt a legbővebb halmazt, amelyen az egyenlet értelmezhető, hiszen ilyenkor gyakran sokkal könnyebben eljuthatunk a megoldáshoz! Az egyenletben szereplő kifejezések, függvények értékkészletének vizsgálata: Az értékkészlet vizsgálatával kiderülhet, hogy az egyenletnek nem lehet megoldása vagy csak néhány érték jöhet számításba. A két oldalon hasonlítsuk össze az értékészletet! Szorzattá alakítás: Az f(x) = 0 alakú egyenlet bal oldalát tényezőkre bontjuk. Egy szorzat csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője 0. Ennek az elvnek a felhasználásával az eredeti egyenlet megoldását néhány alacsonyabb fokú, egyszerűbb egyenlet megoldására vezetjük vissza A mérlegelv : Az egyenlet úgy működik, mint egy mérleg, ha egyensúlyban van! Mindkét oldalához hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk ugyanannyit, közben az egyenlőség megmarad. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal is. A 0-val való osztásra és szorzásra nagyon figyelni kell, hiszen hamis gyököket is kaphatunk illetve eltűnhetnek gyökeink!!! Fontos az ellenőrzés itt is!

42 Új ismeretlen bevezetése: Ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük az egyenlet megoldását. Bevezetünk egy új változót, majd a megoldás végén visszahelyettesítünk. Ezzel akár magasabb fokú egyenletből is csinálhatunk elsőfokú egyenletet,. Egyenlőtlenségek óra. Egyenlőtlenségek Tk/ Fvt tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok tk. 181/1,, 3, 4 Egyenlőtlenség ek megoldási fgy: módszerei, a megoldás ábrázolása számegyenesen 1497, 1498, 1499, 1500, 156 Elméleti összefoglaló: Az egyenletekhez hasonlóan többféle módszerrel oldhatjuk meg az egyenlőtlenséget. A megoldásnál arra figyelj, hogy mindig ábrázold számegyenesen a megoldáshalmazt! Válasz ki legalább egy jó megoldást, amivel ellenőrízz is! Megoldási módszerek: Grafikus módszer Az egyenlőtlenség két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) g(x) Az f és g függvények értelmezési tartományának közös részéhez tartozó x értékeket keressük,amelyekre a két függvény helyettesítési értéke között az adott reláció fennáll. Tehát mindkét oldalt ábrázoljuk, majd eldöntjük a függvények melyik ága halad a másik felett, hiszen ott lesz nagyobb a helyettesítési érték..itt is meg kell határozni a közös pontot, ahol a két oldal egymással egyenlő! A mérlegelv - Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk, illetve kivonjuk ugyanazt a számot, ismeretlent tartalmazó kifejezést, a relációjel iránya nem változik meg. - Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a pozitív számmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya nem változik meg. - Ha az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, illetve osztjuk ugyanazzal a negatív számmal, ismeretlennel, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. - Egyenlőtlenséget 0-val vagy olyan kifejezéssel amely értéke nulla nem szorzunk, nem osztunk. 3. Abszolút értékes egyenletek - 4 -

43 91-9.óra. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek tk.: oldal Elméleti anyag Abszolút érték definíciója, az egyenletek megoldási módjai, Gyakorló feladatok tk. 187/1,, 3, 5 fgy: 1505,1506, 1507, 1561 Elméleti összefoglaló: Egy szám abszolút értékén a számegyenesen a számnak a nullától mért távolságát értjük. Ezért minden szám abszolút értéke vagy pozitív, vagy 0. x ha x 0 x x ha x 0 Megoldási módszere: A definíció alapján felbontjuk az abszolút értéket, számegyenesen ábrázoljuk az intervallumokat. Ennél az egyenlettípusnál nagyon fontos az ellenőrzés! Figyeljünk arra, hogy az egyenletnek több megoldási is lehet! 4. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer tk.: oldal óra. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Elméleti anyag - grafikus megoldás - behelyettesítő módszer - egyenlő együtthatók módszere Gyakorló feladatok tk. 03/1,, 3, fgy:1547,1548,1549 Elméleti összefoglaló: Behelyettesítő módszer: - Az egyik ismeretlent kifejezzük az egyik egyenletből. Ez lehet akár az x akár az y attól függően, hogy melyikkel tudunk könnyebben dolgozni. - Az így kapott kifejezést behelyettesítjük másik egyenletbe. Ekkor már csak egy ismeretlenünk marad! - Megoldjuk az egyenletet, ezzel megkapjuk az egyik ismeretlent

44 - Ezt az értéket visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, így megkapjuk a hiányzó ismeretlent is! Egyenlő együtthatók módszere: Ennél a módszernél az a cél, hogy a két egyenletet összeadva vagy egymásból kivonva egy ismeretlen maradjon egy egyenlettel. Ehhez az egyenletek ismeretleneit úgy kell szoroznunk, hogy mindkét egyenletben ugyanannyi legyen belőlük. Ezután a két egyenletet összevonva eltűnik az egyenlő együtthatós ismeretlen. Grafikus megoldás: Megoldhatunk egyenletrendszert is a függvény ábrázolási módszerrel. Ehhez mindkét egyenletből fejezzük ki x-et, majd a két függvényt ábrázoljuk. Ahol a két függvény egymást metszi ott lesz a közös pont. Ennek a pontnak mindkét koordinátáját olvassuk le! 5. Szöveges feladatok óra Egyenletekkel, egyenletrendszerekke l megoldható szöveges feladatok tk.: oldal oldal, 13. oldal Elméleti anyag Szöveges feladatok megoldásának lépései Gyakorló feladatok tk. 193//1,, 3, 4, 5, 6 198/ 1,, 3, 4, 5, 6 08/ 1,,3,4 fgy: , Elméleti összefoglaló: Szöveges feladatok megoldási módszere: Olvasd végig a szöveget, akár többször is. Próbáld értelmezni ami le van írva! Az adatokat írd ki a füzetedbe, mindent amire a megoldáshoz szükséged lehet. Figyelj arra, hogy felesleges adatokat ne használj! Nevezd el ismeretlennek azt amit a feladat kérdez. Ez fontos, hiszen a végén a szöveg szerint fogsz ellenőrizni és válaszolni is! Írd fel az egyenletet-egyenlőtlenséget-egyenletrendszert a szövegnek megfelelően. Ezt oldd is meg! Szövegesen válaszolj mindig arra a ha logikusan végig gondolod magadtól is rájöhetsz mennyire reális a válaszod! Szöveges feladatok megoldása: - Értelmezzük a feladatot - Megválasztjuk a feladat szövege alapján az ismeretlent - Felírjuk az egyenletet - Megoldjuk - A szöveg alapján ellenőrzünk - Válaszolunk a feladatban megfogalmazott kérdésre

45 Szöveges feladatok néhány típusa: - Helyiértékes Életkoros Mozgásos Keveréses Munkavégzéses Százalékszámításos 6. összefoglalás, számonkérés óra. Összefoglalás, témazáró dolgozat, hiánypótlás tk.: oldal Elméleti anyag Gyakorló feladatok fgy: VI. Egybevágósági transzformációk (0 óra) 1.A geometriai transzformáció Elméleti anyag 110.óra. A geometriai transzformáció tk.: oldal Geometriai transzformáció, csoportosítás Egybevágósági geometriai transzformáció Gyakorló feladatok Elméleti összefoglaló: Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz, vagyis ponthoz pontot rendel hozzá

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják A Baktay Ervin Gimnázium alap matematika tanterve a 6 évfolyamos gimnáziumi osztályok számára 7. 8. 9. 10. 11. 12. heti óraszám 3 cs. 3 cs. 3 cs. 4 4 4 éves óraszám 108 108 108 144 144 120 (cs.: csoportbontásban)

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Gyõrffy Magdolna. Tanmenetjavaslat. A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA!

Gyõrffy Magdolna. Tanmenetjavaslat. A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA! Gyõrffy Magdolna Tanmenetjavaslat A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA! Dinasztia Tankönyvkiadó Kft., 2004 1 ÍRTA: GYÕRFFY MAGDOLNA TIPOGRÁFIA: KNAUSZ VALÉRIA

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA

Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok

1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok 1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok A) Halmazok Halmaz, halmazhoz tartozás: alapfogalom (bizonyos tulajdonságok, pontok összessége) Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha minden dologról egyértelműen

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják

értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják Helyi tanterv matematika általános iskola 5-8. évf. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

program használata a középiskolai matematika oktatásban

program használata a középiskolai matematika oktatásban Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatika Kar Média- és Oktatásinformatika Tanszék A program használata a középiskolai matematika oktatásban Készítette: Horváthné Oroján Gabriella levelező informatika-tanár

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013.

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013. Matematika tantárgy 5-8. évfolyam 2013. Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről

Részletesebben

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8. EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309

MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309 PREŞCOLAR (ÎN LIMBA MAGHIARĂ, LA SATU MARE) EXTENSIA UNIVERSITARĂ: SATU MARE ANUL UNIVERSITAR: 2015/2016 SEMESTRUL: I. MATEMATICĂ ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei:

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1 Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben