Analízis előadás és gyakorlat vázlat
|
|
- Márta Szőke
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév
2
3 . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei: A természetes számok halmazába tartoznak a pozitív egész számok és a 0, azaz N : {0,,,,... } c) műveletek Az összeadás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. A kivonás, az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➁ a) jelölése: Z b) elemei: Az egész számok halmazába tartoznak a pozitív és negatív egész számok és a 0, azaz Z : {0, ±, ±, ±,... } c) műveletek Az összeadás, a kivonás és a szorzás nem vezet ki a számhalmazból. Az osztás és a gyökvonás elvégzése viszont nem mindig lehetséges. ➂ a) jelölése: Q b) elemei: A racionális számok halmazába azon számok tartoznak, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Ahhoz, hogy ez a felírás egyértelmű legyen a következő kikötéseket szokás tenni: { } p Q :, p Z, q Z, q > 0, (p, q) q c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás (0-ra figyelni kell) nem vezet ki a számhalmazból. A racionális számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel testet alkot (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). A határátmenet (magyarázat később) és a gyökvonás elvégzése továbbra is problémát jelent.
4 4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ➃ a) jelölése: R b) elemei: A számegyenes pontjaival kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethető számhalmazt nevezzük valós számhalmaznak. c) műveletek Az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás (0-ra figyelni kell) és a határátmenet nem vezet ki a számhalmazból. A valós számok halmaza is testet alkot a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletekkel. A gyökvonás elvégzése (negatív számok esetén) továbbra is probléma. Ezt fogja megoldani a komplex számok (C) bevezetése (részletesebb magyarázat Bevezetés a matematikába című tárgy keretein belül). További jelölések Több állítás esetén is ki kell zárnunk a természetes számok közül a nullát. Szokás a nullától megfosztott természetes számok halmazára új jelölést bevezetni: N : N\{0} Legyen n N, ekkor a N n : {k, N k < n} halmazt a természetes számok n-edik szeletének nevezzük. A valós számhalmaz azon elemeit, melyek nem tartoznak a racionális számok közé (a racionális számok halmazának a valós számokra vonatkozó komplementer halmaza) irracionális számoknak nevezzük és Q -gal jelöljük, azaz Q : R\Q.. Az abszolútérték és tulajdonságai.. Definíció. Az a R szám abszolútértékén az { a, ha a 0 a : a, ha a < 0. számot értjük... Tétel. (Az abszolútérték tulajdonságai) i) a 0 minden a R esetén és a 0 pontosan akkor teljesül, ha a 0. ii) Bármely a R esetén a a a. iii) Legyen a, b R, ekkor a+b a + b. (háromszög egyenlőtlenség) iv) Legyen a, b R, ekkor a b a b. v) Legyen a, b R, ekkor a b a b... Megjegyzés. Az abszolútérték geometriai jelentése a számegyenes a 0-tól mért távolság..4. Definíció. Legyen a, b R, a<b. Intervallumnak nevezzük és az alábbi módon jelöljük a valós számhalmaz alábbi részhalmazait:
5 .. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 5 zárt intervallum: [a, b] : {x R a x b} nyílt intervallum: (a, b) : {x R a < x < b} balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a, b) : {x R a x < b} balról nyílt, jobbról zárt intervallum: (a, b] : {x R a < x b}.5. Definíció. Az a szám R sugarú környezetén az (a R, a+r) nyílt intervallumot értjük és K R (a)-val jelöljük..6. Következmény. K R (a) környezet pontosan azon x valós számokat tartalmazza, melyekre x a < R... Számhalmaz alsó és felső határa.7. Definíció. Legyen A R. Ha létezik α A elem, melyre igaz, hogy α a minden a A esetén, akkor a α számot az A halmaz maximumának nevezzük és a max A : α jelölést használjuk..8. Definíció. Legyen A R. Ha létezik β A elem, melyre igaz, hogy β a minden a A esetén, akkor a β számot az A halmaz minimumának nevezzük és a min A : β jelölést használjuk..9. Tétel. Véges halmaznak mindig van legnagyobb és legkisebb eleme (maximuma és minimuma)..0. Következmény. Az hogy valamely A R halmaznak nincs minimuma, megfogalmazható pozitív állítás formájában is: m A esetén a A elem, hogy a < m... Következmény. Hasonlóan, ha az A R halmaznak nincs maximuma, akkor M A esetén a A elem, hogy a > M... Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz felülről korlátos, ha létezik K R szám, melyre a K, minden a A esetén. Ekkor a K R valós számot a halmaz egy felső korlátjának nevezzük... Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz alulról korlátos, ha létezik k R szám, melyre a k, minden a A esetén. Ekkor a k R valós számot a halmaz egy alsó korlátjának nevezzük..4. Definíció. Legyen A R. Akkor mondjuk, hogy az A halmaz korlátos, ha létezik M R + szám, melyre a M, minden a A esetén. Ekkor a M R nemnegatív valós számot a halmaz egy korlátjának nevezzük..5. Következmény. Az A R halmaz pontosan akkor korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.
6 6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK.6. Következmény. Legyen A R felülről korlátos halmaz és K R a halmaz egy felső korlátja. Ekkor minden K > K valós szám jó felső korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik felső korlátja, akkor végtelen sok van..7. Következmény. Legyen A R alulról korlátos halmaz és k R a halmaz egy alsó korlátja. Ekkor minden k < k valós szám jó alsó korlátja a halmaznak. Azaz, ha a halmaznak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok van..8. Tétel. Felülről korlátos halmaz felső korlátjai között mindig van legkisebb és alulról korlátos halmaz alsó korlátjai között mindig van legnagyobb..9. Definíció. A ξ R számot az A R halmaz szuprémumának (felső határának) nevezzük, ha i) ξ egy felső korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legkisebb felső korlát, azaz bármely K < ξ esetén létezik a A elem, melyre a > K teljesül..0. Definíció. A ξ R számot az A R halmaz infimumának (alsó határának) nevezzük, ha i) ξ egy alsó korlát, azaz ξ a minden a A esetén. ii) ξ a legnagyobb alsó korlát, azaz bármely k > ξ esetén létezik a A elem, melyre a < k teljesül... Következmény. Ha az A R halmaznak van maximuma, akkor van szuprémuma is és sup A max A és hasonlóan ha az A R halmaznak van minimuma, akkor van infimuma is és inf A min A... Következmény. Ha az A R halmaz tartalmazza egy K felső korlátját, akkor a halmaznak van maximuma és max A K és hasonlóan ha az A R halmaz tartalmazza egy k alsó korlátját, akkor a halmaznak van minimuma és min A k... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R felülről nem korlátos. K R, a A, a > K... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R alulról nem korlátos. k R, a A, a < k... Feladat. Fogalmazzuk meg pozitív állítás formájában, hogy az A R nem korlátos. M R, a A, a > M.
7 .. SZÁMHALMAZ ALSÓ ÉS FELSŐ HATÁRA 7.4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmaz alsó- és felső határát. { } A n : n N, n > 0 Sejtés: sup A. Bizonyítás:. i) Az egy jó felső korlát, hiszen a A a, mivel n n ii) Az a legkisebb felső korlát, vagyis a A minden K-ra ilyen. K < esetén a A : a > K. Azaz K valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.) Sejtés: inf A 0. Bizonyítás:. i) A 0 egy jó alsó korlát, mivel a A a 0. nyilvánvaló, hiszen, n 0 a n 0. ii) A 0 a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > 0 esetén a A : a < k. Legyen b k R+. Az archimédeszi axióma alapján, b R + számokhoz n N b < n. Ekkor Azaz k valóban a legnagyobb alsó korlát. a : n < b k..5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} sup X. Legyen α : sup X és legyen Y : { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α sup X x X α x α x x X α y y Y.
8 8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK ÉS TULAJDONSÁGAIK ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y 0 Y : y 0 < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K 0 k < α és legyen x 0 a fentiek alapján K 0 -hoz talált X-beli elem, azaz x 0 > K 0 k K > α y 0 x 0 Y y 0 x 0 < K k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } sup X + sup Y. } {{ } } {{ } } {{ } :A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k < α és létezik k < β, hogy K k +k. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesít egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k < α sup X x 0 X, x 0 > k, k < β sup Y y 0 Y, y 0 > k. Így a : x 0 +y 0 A esetén a > K k +k teljesül..4. Nevezetes összefüggések.. Tétel. (Számtani és mértani közép közötti összefüggés) Legyen a, a,..., a n n darab nemnegatív szám (n N ). Ekkor a számok számtani közepe nem kisebb ugyanezen számok mértani közepénél, azaz n a a... a n a +a + +a n n és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a a a n..4. Tétel. (Általánosított háromszögegyenlőtlenség) Bármely x, x,... x n R, n N számokra x +x + +x n x + x + + x n..5. Tétel. (Bernoulli egyenlőtlenség) Minden n N és h R esetén a) +nh (+h) n, ha h >, b) (+h) n +nh, ha 0 < h < n.
9 . fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai.. Definíció. I. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. II. Azokat a hozzárendeléseket, melyek a természetes számok minden eleméhez egy X halmaz egy és csakis egy elemét rendelik, sorozatoknak nevezzük. Jelölések, elnevezések: x : N X (X ): sorozat x(n) : x n (n N): sorozat n. tagja, n: elem indexe. További jelölések sorozatra: x (x 0, x,... ) x (x n, n N) x n (n N) Megkülönböztetünk néhány sorozatot: Ha X R, akkor x valós számsorozat, Ha X C, akkor x komplex számsorozat, vektorsorozat, intervallumsorozat, függvénysorozat. Sorozatok megadása Felsorolással: Pl. (,,5,7,9,,... ), Képlettel: Pl. x n n+,(n N), Rekurzióval: Pl.. x 0, x n x n +, (n N ),. x 0 x, x n+ x n +x n, (n N, n ): Fibonacci sorozat, 9
10 0. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Sorozatok ábrázolása Számegyenesen: Az egyes elemek értékét ábrázoljuk. Valamilyen módon jelöljük, hogy melyik elem melyik indexhez tartozik. Koordinátarendszerben: A sorozat elemeit (n, a n ) számpárokként ábrázoljuk (a sorozatot az n a n hozzárendelés grafikus képeként ábrázoljuk).. Sorozatok jellemzése... Monotonitás.. Definíció. Az x : N R valós számsorozatot monoton csökkenőnek nevezzük, ha x n x n+ n N, szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha x n > x n+ n N, monoton növőnek nevezzük, ha x n x n+ n N, szigorúan monoton növőnek hívjuk, ha x n < x n+ n N, Egy valós számsorozat monotonitás szempontjából tehát lehet a) monoton: monoton növekedő: szigorúan monoton növekedő (Pl. (n, n N)) nem szigorúan monoton növekedő (Pl. (,,,,,,4,4,... ), konstans sorozat) monoton csökkenő: szigorúan monoton csökkenő (Pl.: ( n, n N)) nem szigorúan monoton csökkenő (Pl.: (,,,,,, 4, 4,... ), konstans sorozat) b) nem monoton, egy adott indextől kezdve monoton. Pl.:(6,5,,4,9,8,,7,5,8,5,,,,4,5,6,... ) egy adott indextől kezdve sem monoton. Pl.:(( ) n, n N), (sin 4π n, n N ). A definíciókból rögtön következik, hogy x : N R nem monoton csökken, ha nem monoton nő, ha n N : x n < x n+ n N : x n > x n+, nem monoton, ha nem monoton nő és nem monoton csökken, azaz n N : x n < x n+ és m N : x m > x m+. Ha x:n R számsorozat monoton nő és monoton csökken, akkor x az ún. konstans sorozat, azaz x n x n+ állandó n N.
11 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE.. Feladat. Írjuk fel a sorozat 0.,.,.,., 5., 0. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Fogalmazzunk meg sejtést a sorozat monotonitásáról, majd igazoljuk azt. ( ) n a +n, n N a 0 a + 4 a a a a Sejtés: szigorúan monoton csökken. Monotonitás vizsgálat: a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n, a n+ (n+) +(n+) n +n+ n n+4 a n+ a n n n+4 n +n ( n )(+n) ( n)(n+4) (n+4)(n+) 4n 4n n ( 4n +n 8n+4) 6 (n+4)(n+) < 0 a n+ a n < 0 n N a n+ < a n n N (n+4)(n+) n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő.
12 . FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Feladat. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából a következő sorozatokat! ( ) n a) a +n, n N n+ a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n n+ a n+ (n+) +(n+) (n+)+ a n+ a n n +4n+ n+ n +n++n+ n+ n +4n+ n+ n +n n+ (n +4n+)(n+) (n +n)(n+) (n+)(n+) n +4n +n+n +4n+ (n +n +n +4n) (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) > 0 n N a n+ a n > 0 n N a n+ > a n n N Tehát a sorozat szigorúan monoton növő. b) b ( n n 7, n N) i) b 0 0 > b 5 > b > b < b 4 4. A fenti néhány elem felírásából is látszik, hogy a sorozat nem monoton, mert.. Megjegyzés. b > b < b 4.. Nem monoton sorozat esetén elegendő három egymás utáni elemet mutatni, amelyek úgy viselkednek, hogy a sorozat sem monoton növő, sem monoton csökkenő nem lehet.. A sorozat általános tagjának értelmezhetőségét vizsgálva a következő megállapítás tehető: n ; n 7 n,5. n 7 Ezt a kritikus értéket a sorozat elemeinek indexe a kikötéstől függetlenül sem venné fel (,5 / N), de a vizsgálat azért hasznos, mert a sorozat a kritikus pont környezetében vált monotonitást, vagyis most a b, b, b 4, vagy a b, b 4, b 5 elemhármas felírásával megmutatható, hogy a sorozat nem monoton.
13 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE. Az előző megjegyzésekben vázolt módszer előnye, hogy kevés számolással választ tudunk adni a sorozat monotonitására. A hátránya abban rejlik, hogy csupán annyit lehet megállapítani, hogy a sorozat nem monoton. A következő módszerrel ennél többet is megállapíthatunk. ii) b n+ b n? Ezeket felhasználva: b n b n+ n n 7 (n+) (n+) 7 n+ n 5 b n+ b n n+ n 5 n n 7 (n 7)(n+) (n 5)n (n 5)(n 7) n 7n+n 7 (n 7n) (n 5)(n 7) 7 (n 5)(n 7) < 0 ha n > 0 ha n < 0 ha n 4 Legyen A : n 5 és B : n 7. Ekkor a b n+ b n különbség egy olyan tört alakban írható, amelynek számlálója 7, nevezője pedig az A B szorzat, így az előjele leolvasható az alábbi táblázatból: n 0 n n 4 n A + + B + b n+ b n + Tehát a b sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. Megjegyzés. A dolgozatban a feladat megoldását a részletesebb módszerrel kérjük. c) c (( ) n ) 5, n N i) A sorozat nem monoton, hiszen például: c 0 > c 5 < c 5. ii) c n+ c n ( n+ ( 5) ) n ( 5 5 5) n ( ) n 5 ( n ( 5) 5 ) 6 5 Tehát a sorozat nem monoton. ( 5 ) n < 0 ha n páros > 0 ha n páratlan.
14 4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.4. Megjegyzés. A második, részletesebb megoldás során válik láthatóvá, hogy nincs olyan index, amelytől kezdve a sorozat monoton lenne. Érdemes megjegyezni, hogy a monoton és a bizonyos indextől kezdve monoton sorozatok viselkedése hasonlít egymásra és nem a nem monoton sorozatoké. Ezért érdemes a részletesebb vizsgálatot végigszámolni..5. Definíció. Ha egy sorozatból végtelen sok elemet választunk ki olyan sorrendben, ahogy az eredeti sorozatban szerepeltek, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk..6. Tétel. Bármely valós számsorozatnak van monoton részsorozata.... Korlátosság.7. Definíció. x : N R valós számsorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz ha k R, hogy n N : x n k..8. Definíció. x : N R valós számsorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz ha K R, hogy n N : x n K..9. Definíció. x : N R valós számsorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos..0. Definíció. Egy x : N R felülről korlátos valós számsorozat értékkészletének legkisebb felső korlátját felső határnak, vagy szuprémumnak nevezzük. (Jelölés: sup x) Egy x : N R alulról korlátos valós számsorozat értékkészletének legnagyobb alsó korlátját alsó határnak, vagy infimumnak nevezzük. (Jelölés: inf x).. Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n +n, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) sejtés 00 a n.. Megjegyzés. A sejtés felső becslése rossz. A sorozat első néhány elemét felírtuk az.. feladatban. Azok alapján látható, hogy a sorozatnak van -nél nagyobb eleme. Azért választottuk a nyilvánvalóan hibás felső korlátot, hogy lássuk, mi történik, ha rossz a sejtés. Bizonyítás:. Megvizsgáljuk, hogy a 00 n n+ reláció mely n-ekre teljesül. 00 n n+ 0 n n+00n n+ n+ 0 98n+0 n+ A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Legyen A:98n+0 és B : n+. Ekkor felhasználva, hogy
15 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 5 n+ 0 n n 98n n 0 n a tört előjele leolvasható az alábbi táblázatból. n n < 67 n < n < n < n A B 0 + A + 0 NA + B I. II. III. IV. V. Az I.-es és a II.-es tartomány a feltételnek megfelelne, de nincs ilyen n N. A III.- as és a IV.-es tartomány nem felel meg a feltételnek, úgysincs ilyen n N. n N tehát az V. tartományba esik. Ebben a tartományban pedig a fenti táblázat alapján minden pont kielégíti a feltételt. Ezzel az állítást igazoltuk, vagyis k 00 egy jó alsó korlát... Megjegyzés. Fordítva is indokolhattunk volna: Ha n N, akkor 98n+0 > 0 és n+ > 0. Vizsgáljuk most a felső korlátra vonatkozó sejtést! Bizonyítás:. a n n n+ n n+ + 0 (n+) n+n+ 0 n n+ 0 A baloldalon szereplő tört nevezője minden n N esetén pozitív, így a tört előjelét a számláló határozza meg. Tehát a tört pontosan akkor nem-pozitív, ha n. A feltétel nem teljesül minden természetes index esetén, ebből látszik, hogy a becslés nem volt helyes. Szerencsére csak véges sok n N esetén nem igaz az állítás (n 0, n ). Ilyenkor új korlátot választunk. Ha lehetséges, akkor érdemes felírni a problémás elemeket és meghatározni a maximumukat. (Hiszen véges sok elem esetén mindig van ilyen tulajdonságú.) a 0, a. A következő sejtés K lesz, ami 4
16 6. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI már nyilvánvalóan jó lesz. a n n n+ n n+ 0 (n+) n n 0 n n+ 0 Ami nyilvánvalóan minden szóbajöhető n-re teljesül. ii) Mivel monotonitás szempontjából már megvizsgáltuk a sorozatot, használhatók a monoton sorozatok korlátaira vonatkozó tételek. (lásd konvergencia után) Ezek előnye, hogy rögtön a határokat adják meg, míg az első módszernél a határokat tovább kell keresni. a szigorúan monoton csökkenő, vagyis a 0 > a > a > > a n > a n+ >... n N Így a 0 a n n N. K a 0 max{a n : n N} sup{a n : n N} sup a. Szigorúan monoton csökkenő sorozat alsó határa (infimuma) a határérték: k inf a lim a lim n a n. Ha az első módszerrel vizsgáljuk, a szuprémum illetve infimum tulajdonság bizonyítása a halmazoknál használt módon történik.... Konvergencia... Konvergencia definíciói.. Definíció. Legyen x : N R, (x n, n N) egy számsorozat. Az x sorozat konvergens, ha (A) α R : ε > 0 V ε : {n N : x n / K ε (α)} véges halmaz. (B) α R : ε > 0 N N(ε) N : n > N esetén: x n α < ε..4. Tétel. A két konvergencia definíció ekvivalens egymással. ((A) (B)).5. Tétel. Ha x : N R, (x n, n N) konvergens számsorozat, akkor egyetlen α R valós szám létezik, melyre (A) illetve (B) teljesül..6. Definíció. Az x:n R konvergens sorozathoz az (A) illetve a (B) definíció szerinti egyetlen α R számot az x sorozat limeszének, vagy határértékének nevezzük.
17 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 7 Jelölés: lim x α, lim x n α, x n α (n ), L(x) α n A konvergencia, a határérték és a küszöbszám szemléletes jelentése az alábbi ábráról leolvasható:.7. Definíció. Ha egy x : N R sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy divergens. Az (A) illetve a (B) definíció szerint ez azt jelenti, hogy. (A) α R : ε > 0 V ε : {n N : x n / K ε (α)} végtelen számosságú halmaz. (B) α R : ε > 0 N N : n > N, hogy x n α ε..8. Definíció. Az x : N R sorozat határértéke +, ha (A) R R V R : {n N : x n R} véges. (B) R R N N(R) N : n > N esetén x n > R.9. Definíció. Az x : N R sorozat határértéke, ha (A) r R V r : {n N : x n r} véges. (B) r R N N(r) N : n > N esetén x n < r Jelölés: lim x ±, lim x n ±, x n ± (n ), L(x) ± n... Konvergencia definíciójának következménye.0. Következmény. (. következmény) Ha az x, y : N R számsorozatok majdnem minden (m.m.) n indexre megegyeznek, azaz N N, hogy, ha n > N : x n y n, akkor a két sorozat ekvikonvergens, azaz x akkor és csak akkor konvergens, ha y is konvergens és L(x) L(y).
18 8. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Következmény. (. következmény) Minden konvergens sorozat korlátos, de van olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens... Megjegyzés. A. következmény értelmében létezik olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens. Erre a leggyakrabban használt példa az (( ) n, n N) sorozat amely korlátos, de nem konvergens. Ennek bizonyítása a következő előadáson kerül elő... Következmény. (. következmény) Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens, és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő..4. Megjegyzés. Ha egy sorozat két részsorozatának határértéke különböző, akkor az eredeti sorozat divergens.... Monoton sorozatok konvergenciája.5. Tétel. Legyen x : N R (x (x n, n N)) egy monoton számsorozat. Ekkor az x sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos és L(x) sup x, L(x) inf x, ha x monoton nő, ha x monoton csökken..6. Megjegyzés. Monoton csökkenő sorozat szuprémuma, illetve monoton növő sorozat infimuma a kezdőelem, azaz.4. Feladat. sup x x 0 ha x monoton csökkenő inf x x 0 ha x monoton növő. a) Definíció alapján igazoljuk az a ( n n+, n N) sorozat konvergenciáját! b) Adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε 0,0 sugarú környezetébe! a) Sejtés: lim n a n A. Az (a n, n N) sorozat konvergens és a határértéke a A szám, ha ε > 0 N N(ε) N n > N a n A < ε. (.) n n+ ( ) < ε n+(n+) n+ < ε n+ < ε
19 .. SOROZATOK JELLEMZÉSE 9 Az abszolútértékben szereplő kifejezés n N esetén pozitív, így az abszolútértéke önmaga: Ekkor legyen N(ε) : max {[ ε n+ < ε < ε(n+) < n+ ε < n ε ], 0 ε }. < n Nyilvánvaló, hogy ez jó küszöbindex és bármely ε > 0 esetén a fenti formula alapján kiszámítható, így a sorozat valóban konvergens és a határértéke. b) N(0,0) [ 00 ] [ ] [ ] Vagyis a sorozat 49. eleme még kívül van a (,0; 0,99) környezeten, de az 50. elemtől kezdve az összes elem a fenti intervallumba esik..5. Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján! ( ) n+ a n+, n N. I) Monotonitás: a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ n+5 n+4 n+ n+ (n+5) (n+) (n+) (n+4) (n+) (n+4) 7 (n+) (n+4) < 0 n N a n+ a n < 0 n N a n+ < a n n N Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. II) Konvergencia Sejtés: A sorozat konvergens és lim a n A, azaz n ε > 0 N(ε) N n > N a n A < ε (6n +7n+5) (6n +7n+) (n+) (n+4)
20 0. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI a n A < ε n+ n+ < ε 6n+9 (6n+) (n+) < ε 7 (n+) < ε, 7 > 0, ezért (n+) Így 7 < ε, (n+) > 0, ezért (n+) 7 < n+ ε 7 9 ε < n {[ 7 N(ε) : max 9 ε ] },0 választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határérétéke lim a. III) Korlátosság Mivel a sorozat konvergens és a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság, ezért a sorozat korlátos is. Ha a sorozat alsó- illetve felső határát is kérdezné a feladat, akkor arra a tételre hivatkozhatnánk, melyszerint monoton csökkenő sorozat szuprémuma a kezdőelem és infimuma a határérték, azaz sup a a 0 inf a lim a.
21 . fejezet Nevezetes sorozatok.. Nevezetes sorozatok határértéke... a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája Sejtés: lim a C. Bizonyítás:. A konvergencia definícióját felírva: ε > 0, N(ε) N, n > N, a n C < ε. Mivel a n C 0 minden n N index esetén, ezért az a n C < ε reláció bármely n N esetén fennáll, így N 0 minden ε > 0 esetén jó küszöbindex.... a (a n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a 0. Bizonyítás:. A konvergencia definícióját felírva: ε > 0, N(ε) N, n > N, a n 0 < ε. Mivel > 0 minden n n N esetén, ezért a n 0 n, így a definícióban szereplő relációval n ekvivalens az alábbi összefüggés: n ε < ε (n > 0, ε > 0) < n. Legyen tehát N(ε): [ ε]. A kapott küszöbindex választása mellett a definíció teljesül, azaz (an, n N) sorozat valóban konvergens és határértéke a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás:. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R, N(R) N, n > N, n p > R.
22 . FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK Ha R 0, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > 0 esetet. Mivel R > 0, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából p-edik gyököt vonunk: [ ] Így N(R) p R jó küszöbszám. n > p R...4. a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás:. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R, N(R) N, n > N, p n > R. Ha R 0, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > 0 esetet. Mivel R > 0, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát p-edik hatványra emeljük: Így N(R) [R p ] jó küszöbszám...5. További nevezetes sorozatok n > R p. A következő nevezetes sorozatok konvergenciájának igazolása sem a vizsga-dolgozatban, sem a gyakorlati dolgozatban nem szükséges, de a határértékeik ismerete egyes feladatok megoldásához nélkülözhetetlen. α n lim n n! 0 lim n n α lim n n n lim n n n p lim n n n!.. Műveleti tulajdonságok... Nullsorozatok.. Definíció. Azokat a konvergens sorozatokat, melyek határértéke 0, zérus-sorozatoknak, vagy nullsorozatoknak nevezzük. Jelölés:C : {x x : N R, x konvergens sorozat}, N : {x x : N R, x C és L(x) 0}.. Tétel. Legyen x : N R számsorozat ha x C és L(x) α R, akkor (x n α, n N) N.
23 .. MŰVELETI TULAJDONSÁGOK.. Tétel. (Kis rendőr elv) Legyen x, y : N R számsorozatok, y N nullsorozat. Ha x n y n m.m. n re, akkor x N nullsorozat..4. Definíció. Legyenek x, y : N R számsorozatok. x és y összege: x+y : (x n +y n, n N). x és y szorzata: x y : (x n y n, n N)..5. Tétel. Legyen x, y, z :N R számsorozatok, x, y N nullsorozatok, z korlátos sorozat. Ekkor (i) x+y N, azaz nullsorozatok összege is nullsorozat. (ii) x z N, azaz nullsorozat és korlátos sorozat szorzata nullsorozat... Műveleti tulajdonságok... Konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok.6. Definíció. Legyenek x, y : N R számsorozatok, y n 0 (n N) és λ R. x és y hányadosa: x y : ( xn y n, n N). λ és x szorzata: λ x : (λ x n, n N)..7. Tétel. Legyen x, y : N R, x, y C konvergens számsorozatok, λ valós szám. Ekkor (i) x+y C, és L(x+y) L(x)+L(y), (ii) λ x C, és L(λ x) λ L(x), (iii) x y C, és L(x y) L(x) L(y), (iv) Ha y n 0 (n N), akkor x y C, és L( x y ) L(x) L(y),... Tágabb értelemben konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti tulajdonságok.8. Megjegyzés. Legyen x, y : N R, számsorozatok nem feltétlenül konvergensek, de létezzen a határértékük. Ekkor bizonyos esetekben van érvényes műveleti tulajdonság. Például: (i) ha L(x) +, és L(y) +, akkor L(x y) +, (ii) ha L(x) +, és L(y) +, akkor L(x+y) + (iii) ha L(x) α R, és L(y) +, akkor L( x y ) 0 (iv) ha L(x) +, és L(y) α R +, akkor L( x y ) + (v)...,
24 4. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK.9. Megjegyzés. DE! Ún. határozatlansági esetek is vannak: 0 0,, 0, 00,, 0. Ezeknek bármilyen kimenetele lehet, ezért nem tudjuk a műveleti tulajdonságok alapján a határértékeket közvetlenül leolvasni. A sorozatokat ebben az esetben elemi matematikai meggondolásokkal át kell alakítani és meg kell szüntetni a határozatlansági esetet.
25 4. fejezet Határérték számítás A műveleti tulajdonságok az alábbi határozatlansági esetekben nem alkalmazhatók: 0 0,, 0, 0 0,, Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján határozzuk meg a következő sorozatok határértékét, ha létezik. a) a ( 5 +( ) n n+ sin n π, n N) A fenti sorozatra a n b n c n +d n f n n N, ahol b (, n N) c ( 5, n N) n+ d (( ) n ), n N f ( sin n π, n N) lim d f 0, mert d N és f K. (Lásd a tételt előadáson.) lim a n lim b n lim n n } {{ } n c n } {{ } 0 + lim d n f n. } n {{ } 0 Típus: két polinom hányadosa Eljárás: A nevező legmagasabb kitevőjű tagjával egyszerűsítünk. ( ) n b) a 5n 7, n N n 5 lim a n 5n 7 n lim n n n 5 n ( 5 lim 7 ) 5 n n n n ( 5 lim 7 n n ) n 5 n n c) a ( 7n n +, n N) lim a 7n n lim n n n + lim n n ( 7 n n ) n (+ n ) lim n 7 n n + n 0 5
26 6 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS ( ) 5n d) a n+8, n N n 7 lim a 5n n+8 n lim n n n 7 n(5n + 8 lim ) 5n + 8 n n n n( 7 ) lim n 7 n n 4.. Megjegyzés. P (n) lim n Q(n) 0, ha deg P < deg Q sgn p, q ha deg P > deg Q C p, q ha deg P deg Q, ahol p a P (x), q pedig a Q(x) polinom főegyütthatója. Típus: q n racionális törtfüggvénye Eljárás: Közös kitevőre hozunk, majd a nevező legnagyobb alapú (abszolútértékben) tagjával egyszerűsítünk. ( ) 7 9 e) a n 6 5 n ; n N 5 4 n n+ lim a 7 9 n 6 5 n n lim n n 5 4 n n+ 7 9 n 6 5 lim 5n n 5 4 n 6 (9) lim n 7 6 lim ( 5 n 5 ) 9) n 7 n 5 ( lim n 7 9 n 6 5 5n 5 4 n ( ) n n n 9 n 5 4n 9 n 6 Típus: Két végtelenbe tartó racionális-tört különbsége Eljárás: Közös nevezőre hozunk, ezzel polinom-per-polinom alakot kapunk. ( ) n f) a + n + ; n N n+ 6n+ ( ) n lim a + n lim n n n+ n + (n +)(6n+) (n +)(n+) lim 6n+ n (n+)(6n+) n +4n (n+)(6n+) A nevező legnagyobb kitevőjű tagja n, ezzel osztunk. Ha ez a szorzat alakból nem látszik felbonthatjuk a zárójeleket. A fenti (n+)(6n+) szorzatból három féleképpen lehet n -t kiemelni:
27 7. Az első tényezőből emelek ki n -t,. A második tényezőből emelek ki n -t,. Mindkét tényezőből kiemelek n-t. Most ez utóbbit érdemes választani: lim n n ( + 4 ) n n (+ )(6+ ) lim n 6 n n Típus: Gyökök különbsége Eljárás: Konjugálttal bővítünk. g) a ( n +n+ n n ; n N ) ( lim a lim n +n+ ) n n konjugálttal bővítünk n ( lim n +n+ ) n n n +n++ n n n n +n++ n n (n +n+) (n n ) lim n n +n++ n n lim n lim n + n + n + n + n+ n +n++ n n n n. Típus: Változó tagszámú sorozatok Eljárás: Összegképlet keresése. ( ) h) a + + +n (n+) ; n N n + + +n (n+) lim n n Változó tagszámú összeg. Megpróbáljuk felírni az összegképletet. n k(k +) k n (k +k) k n k + k n k k n(n+)(n+) 6 + n(n+) lim n(n+)(n+)+ (n+)n 6 lim (+ )(n+ )+ (+ ) 6 n n n n n n n 6.
28 8 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS n Típus: n és n a racionális törtfüggvényei Eljárás: Szorzattá alakítás. ( ) i) a n 6 4 n 8+ ( n ; n N ) n 6 4 n 8+ lim n ( n ) Mivel lim n c, ha c R +, a fenti határérték 0 határozatlansági esetre vezet. Legyen n 0 a : n, ekkor n 6 4 n 8+ ( n a4 4a + ) (a ) (a ) (a +a+) (a ) : Mivel a számlálóban szereplő polinom helyen 0 értéket vesz fel, ezért szorzattá alakításában szerepelni fog az (a ) tényező. Próbáljuk a számlálót szorzattá alakítani. Ezt csoportosítással, kiemeléssel, vagy polinomosztással érhetjük el. a 4 4a +0a +0a + a 4 a a +0a +0a + a +a a +0a + a +a a + a + 0 : (a ) a a a. Mivel a a a a polinomnak is zérushelye a, ezért tovább bontható: a a a a a a a a a a a 0 : (a ) a +a+. Ezért a 4 4a + (a ) (a +a+) és ( n ) ( n + n +) 0 lim n ( n 0 lim n 4+ n + 6 ) n
29 9 Típus: (( ) n, n N) sorozatot tartalmazó sorozatok Eljárás: Páros és páratlan indexű részsorozatok vizsgálata. j) a ( ( ) n 7n 5 n+9 ; n N) Vizsgáljuk a sorozat páros indexű elemeiből álló részorozatát: amelyre a n ( ) n 7 n 5 n+9 4n 5 n+9, n N, lim a 4n 5 n lim n n n+9 lim 4 5 n n + 9 n a páratlan indexű elemekből álló részsorozatra: 7, amelyre a n+ ( ) n+ 7 (n+) 5 n++9 4n+ n+0, n N, lim a n+ lim 4n+ n n n+ lim 4+ n n + n 7. Az a sorozatnak van két, különböző határértékkel rendelkező részsorozata, ami ellentmond a konvergencia harmadik következményének. ( Konvergens sorozat minden részsorozata konvergens és ezek határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. ) Így az a sorozat divergens. 4.. Megjegyzés. Megmutatható, hogy mivel a sorozat a két részsorozatának fésűs egyesítése, ezért ha a részsorozatok határértéke megegyezik, akkor a sorozat konvergens és a közös határérték a sorozat határértéke. FIGYELEM! Ez általában nem igaz. A következő néhány feladatot az alábbi tételre vezetjük vissza: 4.. Tétel. Az ( (+ n )n, n N ) sorozat konvergens Megjegyzés.. A sorozat konvergenciáját úgy bizonyítjuk, hogy belátjuk, hogy monoton és korlátos, ami a konvergencia elégséges feltétele. A részletes bizonyítás elolvasható a programtervező jegyzetben.. A fenti sorozat határértékét e-vel szokás jelölni és Euler-számnak nevezzük. A közelítő értéke: e,788. Bizonyítás nélkül elfogadjuk a következő tételt Tétel. Ha lim n b n ±, akkor lim (+ ) bn e n b n A következő tétel állításaira szintén szükségünk lesz a feladatok megoldásához.
30 0 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS 4.6. Tétel. () Ha a n a > 0 és b n b R, akkor a bn n a b (n ) () Ha a n a > és b n, akkor a bn n (n ) () Ha a n a (0 < a < ) és b n, akkor a bn n 0 (n ) 4.. Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján határozzuk meg a kijelölt határértékeket! Típus: ( + n) n-re visszavezethető feladatok ( a) lim n+ ) n n n? lim n ( n+ n ) n ( lim + n ( lim + n n) ) n ( n n lim + ) n n n ( lim n + ) n n e } {{ } e ( ) n n b) lim n+ n? n n +n lim n lim n lim n ( n n+ n +n ( + n +n n+ ( + n +n n+ ) n n lim n ) n n lim n ) n +n n+ ( n +n n+ ( n +n + n +n n+ n+ n n +n n lim n ( ) n ( n lim + n+ ) n n n n +n ) n +n n+ n+ n +n n n + n +n n+ n +n ) } n+ {{ } 0. } {{ } e 6n 4 +4n n n+ *: Vizsgáljuk meg külön a kitevő határértékét: 6n 4 +4n lim n n n+ lim n 6n+4 n + n, így az előző tétel alapján a fenti határérték 0.
31 Típus: Rendőrelvvel megoldható feladatok A következő feladatok megoldása során sokszor fogunk hivatkozni a következő tételre Tétel. (Rendőrelv) Legyen a (a n, n N), b (b n, n N) és c (c n, n N) három valós számsorozat, melynek elemeire: a n b n c n. Ha a és c sorozatok konvergensek, és lim a n lim c n A, akkor a b sorozat is konvergens és n n határértéke lim b n A. n n c) lim 5? n n+ Becsüljük a sorozat általános tagját! Ehhez induljunk ki az alábbi relációból: 0 < n+ 0 > n+ 5 > 5 4 n+ n 5 > n 5 n 4 n+ Mivel lim n n 5 lim n n 4, ezért a rendőrelv alapján: n n d) lim a n lim 5n+ n n n 5 + Hogy a n 5n+ n 5 + lim n n törtet becsülni tudjuk vizsgáljuk meg az előjelét: n 5n+ n n+. > 0 n 5n+ > 0, ami a természetes n-ek között az n 5 feltétel teljesülése esetén igaz. A felsőbecsléshez a fenti törtet szeretnénk növelni. Ez a számláló növelésével és/vagy a nevező csökkentésével lehetséges. A számláló növelését úgy szeretnénk elvégezni, hogy a kapott polinom csak összevonható tagokat tartalmazzon. Ehhez a pozitív együtthatóval szereplő tagok helyett főtaggal (legmagasabb fokszámú tag) egynemű kifejezéseket írunk (az együtthatót változatlanul hagyjuk), a negatív együtthatójú tagokat elhagyjuk az összegből. Így n 5n+ n 0+n. A kapott becslés minden szóbajöhető n-re teljesül (n 5).
32 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK SZÁMÍTÁS A nevező csökkentése során éppen ellenkezőleg járunk el. A pozitív együtthatójú tagokat hagyjuk el (kivéve természetesen a főtagot) és a negatív együtthatójú tagok helyett írunk a főtaggal egynemű kifejezést: n 5 + n 5 +0 n 5. Felhívnánk a figyelmet arra, hogy a nevező becslésekor vigyázni kell arra is, hogy a kifejezés egyetlen szóba jöhető n esetén se legyen 0. Így ha korábban nem zártuk volna ki n lehetséges értékei közül a 0-t, most meg kellene tennünk. Alsóbecsléshez csökkentsük a n 5n+ >0 törtet, amely a számláló csökkentésével és/vagy n 5 + a nevező növelésével lehetséges. Mivel n 5 + n 5 +n 5, ha n, ezért a nevező az előzőekhez hasonló indoklás alapján növelhető minden szóbajöhető n esetén. Ha a számláló csökkentése során a n 5n+ n 5n +0 becslést használnánk, akkor a vizsgált tört helyett egy negatív előjelű kifejezést kapnánk. Célunk, hogy az előző feladathoz hasonlóan az n-edik gyök szigorú monotonitására hivatkozva alkalmazhassuk a rendőrelvet, de negatív kifejezés esetén az n-edik gyökvonás nem engedélyezett művelet. Az ilyen hibás becslést túlbecslésnek szokás nevezni. Mit tehetünk ilyen esetben? Fontos, hogy a számlálóban szereplő polinomot úgy csökkentsük, hogy eközben az előjele ne változzon meg. Például n n + 0 egy jó becslés, abban az esetben, ha valóban kisebb az eredeti polinomnál. Vizsgáljuk meg, hogy milyen n-ek esetén teljesül ez: n n +0 n 5n+ n 5n < 5n+ n 0. Azaz minden n 0 esetén n n +0 n 5n+ teljesül és ekkor Így igaz az alábbi becslés: n n +0 n 5 +n 5 n 5n+. n n n +0 n 5n+ n 0+n n 0 n N n 5 +n 5 n 5 + n 5 +0 n 4 n a n n 4n n 0 n N A rendőrelv alapján: lim a n n 5n+ n lim. n n n 5 +
33 5. fejezet Nevezetes függvények, Függvények határértéke 5.. Függvények 5.. Definíció. Függvény alatt egy olyan hozzárendelést értünk, mely egy H halmaz minden eleméhez egy K halmaz egy és csakis egy elemét rendeli. Jelölés: f : H K, y f(x) (x H). x: független változó, y vagy f(x) a függő változó. H : a függvény értelmezési tartománya, további jelölés: D f vagy ÉT értékkészlet: R f ÉK : {y K : x D f, f(x) y} K. 5.. Megjegyzés. Ha H, K R, akkor f valós függvény. Az f : H R D f H halmaz, R f R nek. A valós függvényeket célszerű grafikonjukkal ábrázolni. Ez azt jelenti, hogy a H R halmazon értelmezett f : H R függvényt a síkbeli halmazzal szemléltetjük. Γ(f) : {(x, y) R : x H, y f(x)} R 5... Nevezetes függvények 5.. Definíció. Az abs : R R x abs (x) : x függvényt abszolút érték függvénynek nevezzük.
34 4 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE A számok abszolút értékének definícióját felhasználva: { x, ha x 0, abs (x) x x, ha x < 0, 5.4. Definíció. Az A függvény néhány tulajdonsága: int : R Z D f R, R f {y R y 0} nem monoton (szakaszonként monoton) A teljes ÉT-on konvex minimuma x 0-ban van, maximuma nincs páros x int (x) : [x] függvényt egészrész függvénynek nevezzük, ahol [x] jelöli az x valós szám egészrészét, azaz a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész számot. ([x] n n N és n x < n+) A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f Z monoton növő minimuma és maximuma nincs nem páros és nem páratlan 5.5. Definíció. Az frac : R Z x frac (x) x [x] : {x} függvényt törtrész függvénynek nevezzük, ahol [x] jelöli az x valós szám egészrészét, azaz a legnagyobb x-nél nem nagyobb egész számot. ([x] n n N és n x < n+) A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f [0, ) nem monoton periodikus, periodusa: p minimuma y 0, melyet minden egész helyen felvesz, maximuma nincs nem páros és nem páratlan
35 5.. FÜGGVÉNYEK Definíció. Az, ha x > 0, sgn : R { ; 0; } x sgn(x) : 0, ha x 0,, ha x < 0, utasítással értelmezett függvényt előjelfüggvénynek, vagy szignumfüggvénynek nevezzük. A függvény néhány tulajdonsága: D f R, R f { ; 0; } monoton növő minimuma y és maximuma y, minden x 0 < 0 pontban minimumhely és x 0 > 0 pontban maximumhely van a függvény páratlan 5.7. Definíció. Legyenek n N és a 0, a,, a n R adott számok. A P : R R : x P (x) : a 0 +a x+ +a n x n utasítással értelmezett P függvényt polinomnak nevezzük. Ha a n 0: P polinom pontosan n-edfokú n N: P polinom fokszáma. Jelölés: deg(p ) n a i (i 0,,, n): P együtthatói 5.8. Tétel. (Algebra alaptétele) Legyen P (z):a 0 +a z+ +a n z n (z C) egy komplex együtthatós, nem konstans, pontosan n-edfokú polinom. Ekkor léteznek olyan λ, λ,, λ n C komplex számok, amelyekkel a P polinom felírható alakban. P (z) a n (z λ )(z λ ) (z λ n ) (z C) 5.9. Következmény. Minden λ i (i,,, n) komplex számra: P (λ i ) 0 (i,,, n), azaz a λ i (i,,, n) számok a P gyökei, vagy zérushelyei Definíció. P és Q függvények egyenlőek, D P D Q és P (x) Q(x) x D P 5.. Következmény. Legyen P (x) : a 0 +a x+ +a n x n, Q(x) : b 0 +b x+ +b m x m (x R) két valós polinom. Ha P Q, akkor m n és a 0 b 0, a b,, a n b n.
36 6 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 5.. Tétel. Bármely P és Q polinomhoz egyértelműen létezik olyan S és R polinom, amelyre P QS +R, deg (R) < deg (Q). 5.. Definíció. Legyenek P és Q valós együtthatós polinomok, ahol Q θ és jelölje Λ Q : {λ,, λ r } a Q gyökeinek a halmazát. Az S : R\Λ Q R : x S(x) : P (x) Q(x) utasítással értelmezett S függvényt racionális törtfüggvénynek nevezzük Definíció. A P Q ha deg P < deg Q. racionális törtfüggvényt valódi racionális törtfüggvénynek nevezzük, 5.5. Megjegyzés. Maradékos osztást alkalmazva kapjuk, hogy bármely P Q rac. tört esetén létezik S, R, Q P, Q hogy P Q S + R Q ahol S P és R/Q már valódi rac. törtfv. Emiatt bizonyos, racionális függvényekkel kapcsolatos kérdések vizsgálatában valódi racionális törtfüggvényekre szorítkozunk Definíció. Akkor mondjuk, hogy az a R elem (pont) a H R valós számhalmaz torlódási pontja, (A) ha az a pont bármely környezete végtelen sok H-beli elemet tartalmaz, azaz vagy ε > 0 : K ε (a) H végtelen halmaz. (B) ha az a pont minden környezete tartalmaz legalább egy a-tól különböző H-beli pontot, azaz vagy ε > 0 : K ε (a) H\{a}. (C) ha létezik olyan H-beli nem stacionárius pontsorozat, melynek határértéke az a pont Definíció. A H halmaz torlódási pontjainak halmaza: H derivált halmaza, (Jelölés: H.) 5.8. Definíció. Egy sorozat akkor stacionárius, ha csak véges sok egymástól különböző tagja van Definíció. A H R halmaznak azokat a pontjait, amelyek nem tartoznak H -höz, a H halmaz izolált pontjainak nevezzük. (a H, a / H ) 5.0. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R halmazon értelmezett f : H R függvénynek az a H pontban van határértéke, ha A R, ε > 0, δ > 0 x ( K δ (a)\{a} ) H : f(x) K ε (A).
37 5.. FÜGGVÉNYEK Megjegyzés. R R {± } 5.. Tétel. Legfeljebb egy olyan A R létezik, amelyre a fenti feltétel teljesül. 5.. Definíció. A fenti értelmezésben szereplő A R elemet az f függvény a pontban vett határértékének nevezzük. Jelölés: lim a f A, lim x a f(x) A, L a (f) A, f(x) A, ha x a. Az 5.0 definíció az a, A R speciális esetben az alábbi alakban írható: Véges helyen vett véges határérték: 5.4. Definíció. f : H R, a H R, A R, lim x a f(x) A ε > 0 δ δ(ε) > 0, ha 0 < x a < δ, x H, akkor f(x) A < ε. A határérték definíció a többi speciális esetben is átfogalmazható, ezen definíciók elolvashatók a honlapon található lim.pdf file-ban, de nem képezik részét a képzés tananyagának Megjegyzés. Függvény határértékét a kurzus keretein belül nem a definíció alapján vizsgáljuk. A függvény határértéke kapcsolatba hozható a sorozat határértékével, erre alkalmas az átviteli elv Tétel. (Átviteli elv.) Az f : H R (H R) függvénynek az a H pontban akkor és csak akkor A R a határértéke, ha bármely olyan (x n, n N) sorozatra, amelyre x n H, x n a (n N), lim n x n a, a függvényértékek (f(x n ), n N) sorozatának is van határértéke és lim f(x n) A. n
38 8 5. FEJEZET. NEVEZETES FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 5.7. Definíció. Legyen f :H R (H R) és tegyük fel, hogy az a R elem a H a + :H (a, + ) halmaz torlódási pontja. Az f függvénynek az a helyen létezik jobboldali határértéke, ha f-nek a H a + halmazra vonatkozó leszűkítésének létezik határértéke az a pontban. Ezt a határétéket f a-pontbeli jobboldali határértékének nevezzük. Jelölés: lim f, lim f(x), f(a+), L a+ a+(f). x a Definíció. Legyen f :H R (H R) és tegyük fel, hogy az a R elem a Ha :H (, a) halmaz torlódási pontja. Az f függvénynek az a helyen létezik baloldali határértéke, ha f-nek a Ha halmazra vonatkozó leszűkítésének létezik határértéke az a pontban. Ezt a határétéket f a-pontbeli baloldali határértékének nevezzük. Jelölés: lim f, lim f(x), f(a ), L a a (f). x a 5.9. Tétel. Tegyük fel, hogy az a R szám a H a + és a Ha halmaznak is torlódási pontja. Ekkor f-nek az a helyen akkor és csak akkor van határértéke, ha f-nek a-ban létezik a jobb- és baloldali határértéke, és lim f(x) lim f(x) L a(f). x a x a+ 5.. Feladat. Olvassuk le az ábrán látható függvény feltüntetett határértékeit: lim x f(x)?; lim x a x a x a f(x)?; lim f(x)?; lim + lim f(x)?; lim f(x)? x c x f(x)?; lim f(x)? x b lim f(x) x ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) 7 + x a x b x a x a lim f(x) 6; lim f(x) 6 x c x
39 6. fejezet Függvények határértéke 6.. Feladat. Az átviteli-elv segítségével igazoljuk a következő határértékeket. x +x a) lim x x 5 7 x n H, x n a (n N) lim n x n a lim n f(x n ) A Legyen x n H, x n a, lim n x n lim f(x x n +x n n) lim n n x n A sorozatok határértékére vonatkozó műveletei szabályok miatt. x 5 b) lim x x+7 Legyen x n H, lim n x n c) lim x x x n H, (n N) lim n x n lim n f(x n ). lim f(x n) lim n n x n 5 x n +7 lim Legyen x n :, ekkor lim x n n (x n ). Ekkor n lim f(x n) lim n n x n lim n 9 5 x n n ( n + 7 x n. lim n. ) n
40 40 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE Legyen y n : +, ekkor lim y n n (y n ). Ekkor n lim f(y n) lim n n y n lim n (+ n ) lim n n. Tehát találtunk két olyan változó sorozatot, melyek a-be tartanak, mégis a hozzájuk tartozó függvényérték-sorozatok határértéke különböző. Így a függvény határértéke az adott pontban nem létezik. (A jobb- illetve a bal-oldali határérték természetesen értelmezhető.) 6.. Megjegyzés..) Az átviteli-elv egyik nagy előnye, hogy segítségével a függvényhatárérték számítása a már jól ismert sorozatok határérték számítására vezethető vissza. A fenti feladatokból jól látható, hogy a bizonytalansági esetek hasonlóan szüntethetők meg, mint a sorozatok esetében..) A c feladat során tapasztalhattuk, hogy olyan esetekben, mikor azt kell bizonyítani, hogy az adott pontban nem létezik a függvény határértéke, elegendő találni két különböző változó sorozatot, melyek határértéke az adott pont, de a függvényértékek sorozata különböző. 6.. Feladat. Határozzuk meg a következő határértékeket a műveleti tulajdonságok alapján, ha léteznek! a) lim x x+4 5x+7 x+4 lim x 5x x 4 +5x b) lim x x +4x lim x x 4 +5x x +4x 7x +x c) lim x x lim x x+ 5 x x + 4 x x 7x +x lim x x 7x+ x lim x x
41 d) lim x 4 5 x+ +7 x + x +6 5 x + lim x 4 5 x+ +7 x + x +6 5 x x +7 x + lim x 4x +6 5 x + lim x ( 0+7 ) x lim x x (4) x x 0+7 x + 5 x 5 x 5 x 4x 5 x x+ +7 x + e) lim x x +6 5 x + lim x 0 0 {}}{ 4 5 x+ +7 } x {{ } +6 }{{} 5 x 0 0 {}}{ x + ( f) lim x +5x ) x x x + ( lim x +5x ) x ( x lim x +5x ) x x x +5x+ x x x x x +5x+ x x (x +5x) (x x) lim x x +5x+ x x lim x 7 lim x + 5x + x 7x x +5x+ x x 7. ( x+ g) lim x x ) x+ lim x ( x+ x ) x+ ( lim + x+ ( lim + x x) x x lim x [ ( + x Vizsgáljuk meg a kitevő határértékét: x+ + x lim lim x x x ) ] x+ x x e ) x+ ( lim + ) x x (x+) x x
42 4 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ( ) x x+ +x h) lim x x 4x+ lim x ( ) x x+ +x lim x 4x+ x lim + x ( lim x ( x 4x++6x ( + x 4x+ x 4x+ 6x x 4x+ 6x ) x+ lim x ) x 4x+ 6x ) x+ ( lim + 6x x x 4x+ ( ) x 4x+ + x 4x+ 6x 6x x (x+) 4x+ e 6 ) x+ 6x 6x x (x+) 4x+ Vizsgáljuk meg a kitevő határértékét: 6x +x 6 lim x x 4x+ lim 6+ 6 x x x x x x +x i) lim x x x 6 x 0 +x 0 (x+)(x ) lim lim x x x 6 x (x+)(x ) lim x x x 5 5 x x x+ j) lim x x x 9x+8 lim x x x x+ x x 9x A 0 alakból látható, hogy mind a számláló, mind a nevező osztható az x kifejezéssel: 0 x x x + x x x + x + 0 : (x ) x
43 4 x x 9x +8 x x x 9x +8 x x 6x +8 6x +8 0 : (x ) x +x 6 így (x )(x ) lim x (x )(x +x 6) lim x x x +x k) lim x x + x x + 0 lim lim x x x ( x) x + +x lim x ( x) x + +x lim x + ( x) x + +x Mivel az x pontban nem egyezik meg a jobb- és a baloldali határérték, ezért itt nem létezik határérték. l) lim x 0 5x x+ x +x 5x x+ 0 lim lim x 0 x +x x 0 (x 0) 5x x+ + x+ x m) lim x x +5x +7x+ lim x x x +5x +7x+ 0 0
44 44 6. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE x (x )(x+), x +5x +7x + x +x 4x 7x + 4x +4x x + x + 0 : (x+) x +4x+ lim x (x )(x+) lim (x+)(x +4x+) x x x +4x+ 0 lim x lim x x+ x + lim x+ x + x+ x x+ x+ x x+ Mivel az x pontban nem egyezik meg a jobb- és a baloldali határérték, ezért itt nem létezik határérték. 6.. Tétel. lim x 0 sin x x. sin g(x) 6.. Megjegyzés. Igazolható, hogy lim, ha lim g(x) 0 x a g(x) x a (a R). n) lim x 0 sin x x sin x lim x 0 x lim sin x x 0 x x x lim sin x x 0 x x o) lim x 0 sin 7x lim x 0 x sin 7x lim x 0 7x sin 7x 7 7 lim x 0 sin 7x 7x 7 tgx p) lim x 0 sin 4x lim x 0 tgx sin 4x lim sin x x 0 cos x sin 4x lim x 0 sin x cos x x sin 4x 4 4 4x
45 7. fejezet Folytonosság, invertálhatóság 7.. Folytonosság 7.. Definíció. Legyen H R és f : H R a H halmazon értelmezett függvény. Akkor mondjuk, hogy az f függvény az a H pontban folytonos, ha 7.. Megjegyzés. ε > 0, δ δ(ε, a) > 0, x H, x a < δ f(x) f(a) < ε. Értelmezési tartományának a H torlódási pontjában a függvény akkor folytonos, ha i) a H ii) A lim x a f(x) véges határérték iii) f(a) A Az értelmezési tartomány izolált pontjaiban a függvény mindig folytonos. Azon pontokban, ahol a függvény nem értelmezett nincs értelme folytonosságról beszélni. 7.. Definíció. Ahol a függvény értelmezett, de nem folytonos, ott a függvénynek szakadása van Definíció. Ha f az a H pontban nem folytonos, de létezik véges határértéke a-ban (ekkor nyilván f(a) lim f(x)), azt mondjuk, hogy a függvénynek megszüntethető szakadása van az x a a pontban Definíció. Ha f az a H pontban nem folytonos és nem létezik véges határértéke a-ban, de léteznek véges egyoldali határértékek (amelyek ekkor nyilván nem egyenlők), azt mondjuk, hogy a függvénynek a-ban ugrása van. A : lim f(x) lim f(x) + x a számot az ugrás mértékének nevezzük. x a 7.6. Definíció. Az ugrást és a megszüntethető szakadást elsőfajú szakadásnak, minden más típusú szakadást másodfajú szajkadásnak nevezünk. 45
46 46 7. FEJEZET. FOLYTONOSSÁG, INVERTÁLHATÓSÁG 7.7. Definíció. Ha az f függvény értelmezési tartományának valamely K H részhalmazának minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a K halmazon folytonos. Példák:.) Az f(x) sgnx függvénynek az a 0 pontban ugrása van..) Az { x, ha x, f(x), ha x, függvénynek a -ben megszüntethető szakadása van..) Az f(x) x függvény a D f-n folytonos 4.) Az ábrán látható függvénynek a -ben másodfajú szakadása van. {, ha x Q, 5.) A D(x), ha x / Q, Dirichlet-függvény sehol nem folytonos Műveletek folytonos függvényekkel 7.8. Tétel. Legyen f, g két, a H halmazon értelmezett folytonos függvény (f, g C H ) és λ R, ekkor f +g, λ f és f g is folytonos H-n. Ha g(x) 0 minden x H esetén, akkor f g is folytonos H-n Definíció. Legyen H R és K R. Az f :H K és a g:k R függvények kompozícióján azt a g f függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya a H halmaz és hozzárendelési szabálya x (g f)(x) : g(f(x)) Folytonos függvények tulajdonságai 7.0. Definíció. Az f : H R függvény korlátos, ha értékkészlete korlátos, azaz ha létezik k, K R, hogy k f(x) K ( x H). 7.. Tétel. Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény korlátos. 7.. Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek van maximuma, ha létezik x H, melyre f(x ) f(x) ( x H)
47 7.. TOVÁBBI NEVEZETES FÜGGVÉNYEK ÉS INVERZEIK Definíció. Akkor mondjuk, hogy az f : H R függvénynek van minimuma, ha létezik x H, melyre f(x ) f(x) ( x H) 7.4. Tétel. (Weierstrass tétele) Véges zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi szélsőértékeit Definíció. Az f : H H kölcsönösen egyértelmű leképezés inverz függvényén értjük azt az f függvényt, melynek értelmezési tartománya f értékkészlete (f : H H ), hozzárendelési szabálya y H, f : y x, melyre x H, f(x) y Tétel. (Inverz függvény folytonossága) Ha a, b R, és f :(a, b) R szigorúan monoton, folytonos függvény, akkor az f függvény f : (α, β) (a, b) inverz függvényei is ugyanabban az értelemben szigorúan monoton és folytonos, ahol α inf{f(x), x (a, b)} és β sup{f(x), x (a, b)} Megjegyzés. Az inverz függvény grafikonja az eredeti függvény grafikonjának y x egyenesre vett tükörképe Tétel. (Bolzano-tétel) Legyen f az I R intervallumon értelmezett valósértékű függvény. Ekkor f értékkészletének bármely két eleme közé eső értéket felveszi. 7.. További nevezetes függvények és inverzeik 7.9. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az a szám r R valós kitevős hatványán az alábbi határértéket értjük a r : lim n a qn, ahol (q n, n N) tetszőleges r-hez tartó racionális számsorozat Megjegyzés. Megmutatható, hogy a fenti definíció jó, azaz A megadott határérték minden a és r esetén létezik. A határérték nem függ a (q n, n N) sorozat választásától. Ha r Q, akkor a r korábbi értelmezéséhez jutunk. 7.. Definíció. Legyen a > 0 és a pozitív valós szám. Az exp a : R {y R y > 0} x exp a (x) : a x, utasítással értelmezett függvényt a alapú exponenciális függvénynek nevezzük.
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
2. Hatványozás, gyökvonás
2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Analízis lépésről - lépésre
Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
Széchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
Nevezetes függvények
Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt
Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
Gáspár Csaba. Analízis
Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
Lineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
Valószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.
Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Szeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Analízis Gyakorlattámogató jegyzet
Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................
NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
matematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.
11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0
Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)
Tómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
Egyetemi matematika az iskolában
Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen
Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Matematika POKLICNA MATURA
Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét
A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál
Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
2. témakör: Számhalmazok
2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
e s gyakorlati alkalmaza sai
Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
Valószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
Diszkrét Matematika I.
Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák
A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal
A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők
Matematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás
12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat
Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)
GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
DIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
Matematika példatár 4.
Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,
Komputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:
A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006
A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány
Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből
Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből Bodó Ágnes Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012. Tartalomjegyzék
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok
Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak
Alkalmazott modul: Programozás
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.
A kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus
Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes
1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok
1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok A) Halmazok Halmaz, halmazhoz tartozás: alapfogalom (bizonyos tulajdonságok, pontok összessége) Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha minden dologról egyértelműen
Differenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f