Matematika A1a Analízis
|
|
- Marcell Illés
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
2 Tartalom
3 Függvény szélsőértékei Lokális szélsőértékek Lokális szélsőérték és derivált Abszolút szélsőértékek Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel L Hôpital-szabály Függvények nagyságrendje Taylor-polinom 2
4 Függvény szélsőértékei
5 Függvény szélsőértékei Lokális szélsőértékek
6 Lokális szélsőértékek D Definíció Az f függvénynek a D(f) valamely c belső pontjában lokális maximuma (lokális minimuma) van,ha van olyan c-t tartalmazó nyílt I D(f) intervallum, melynek minden x elemére f(x) f(c) (f(x) f(c)) y x 3
7 Függvény szélsőértékei Lokális szélsőérték és derivált
8 T Tétel Ha f-nek c-ben lokális szélsőértéke van, és f diffható c-ben = f (c) = 0. B Tegyük fel, hogy f-nek lokális maximuma van c-ben. Ekkor f f(x) f(c) (c) = lim x c+ x c f (c) = lim x c f(x) f(c) x c 0, 0. D = f (c) csak 0 lehet. Minimumhelyre a bizonyítás ugyanígy működik. Definíció A c D(f) pont az f függvény kritikus pontja ha f nem létezik c-ben vagy ha létezik és f (c) = 0. 4
9 Függvény szélsőértékei Abszolút szélsőértékek
10 Abszolút szélsőértékek D Definíció Az f függvénynek a c I D(f) pontban abszolút (globális) maximuma (abszolút minimuma) van az I intervallumra nézve, ha minden x I esetén f(x) f(c) (f(x) f(c)) - A Weierstrass-tétel értelmében, ha f folytonos az [a, b] (korlátos és zárt) intervallumon, akkor van minimuma és maximuma. - Következésképpen a folytonos f-nek abszolút szélsőértéke a kritikus pontokban vagy az intervallum a, b végpontjaiban lehet, és ezek közül a legnagyobb fv.-értékűben van a maximuma, a legkisebb fv.értékűben a minimuma. 5
11 y lok.max. absz.max. lok.max. nincs nincs lok.max lok.min. absz.min. lok.min. lok.min. kritikus pont: f nem differenciálható kritikus pont: f deriváltja 0 intervallum végpontja abszolút (globális) szélsőérték lok.min. f x 6
12 P Határozzuk meg az f(x) = x 2 /3 + 2 x függvény abszolút 3 szélsőértékhelyeit a [ 2, 1] intervallumon! M f (x) = 2 3 x 1/3 + 2 ez nincs értelmezve az x = 0 helyen 3 f (x) = 0 x = 1 A kritikus pontok x = 1, x = 0, a végpontok x = 2, x = 1: y x f(x) MIN MAX x
13 Középértéktételek
14 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel
15 Középértéktételek T Rolle-tétel Ha f folytonos [a, b]-n, diffható (a, b)-n és f(a) = f(b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. B f folytonos [a, b]-n, ezért van abszolút maximuma és minimuma. Mivel f diffható (a, b)-n, ezért ezeket értékként - vagy a végpontokban - vagy olyan c belső pontban veszi fel, ahol f (c) = 0. Ha f a minimum és a maximum legalább egyikét (a, b)-ben veszi fel, akkor ott f (c) = 0. Ha a maximumot és a minimumot is a végpontokban veszi fel, akkor f(a) = f(b) miatt a függvény konstans, így mindenütt 0 a derivált. 8
16 y f(a) = f(b) a c b x P Igazoljuk, hogy az f(x) = x 5 + 4x 3 + 3x + 1 függvénynek pontosan 1 valós gyöke van! M f (x) = 5x x > 0 x R f minden valós helyen differenciálható (és így folytonos is). Ha volna f-nek két zérushelye, akkor a Rolle-tétel értelmében köztük valahol 0 lenne a derivált. Legfeljebb egy zérushelye lehet. Ugyanakkor f folytonos és f( 1) = 7, f(1) = 9, tehát a Bolzano-tétel szerint a ( 1, 1) intervallumon f-nek van zérushelye. 9
17 Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel
18 T Lagrange-tétel Ha f folytonos [a, b]-n és diffható (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), amelyre f (c) = f(b) f(a) b a. B Legyen g az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokra fektetett szelőegyenes: g(x) = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a Alkalmazzuk a h(x) = f(x) g(x) függvényre a Rolle-tételt: - h(a) = h(b) = 0, - h (x) = ( f(x) f(a) ) f(b) f(a) (x a) = f f(b) f(a) (x) b a b a c (a, b), ahol h (c) = 0 h (c) = f (c) f(b) f(a) b a = 0 10
19 y f(b) g f f(a) a c h = f g x b 11
20 T Következmény Ha minden x (a, b) pontban f (x) = 0, akkor f konstans az (a, b) intervallumon (valamely C számra f(x) = C). B Kontrapozícióval bizonyítunk: ha f nem konstans, akkor nem lehet a deriváltja mindenütt 0. Ha f nem konstans, van olyan p, q (a, b), hogy f(p) f(q). Ezekre alkalmazva a Lagrange-tételt, kapunk egy olyan c (p, q) értéket, hogy f (c) = f(p) f(q) p q 0, tehát ezen a c (p, q) (a, b) helyen f (c) 0. 12
21 T Következmény Ha f (x) = g (x) az (a, b) intervallumon, akkor van olyan C szám, hogy az (a, b) intervallumon f(x) = g(x) + C, azaz f g konstans. B A h(x) = f(x) g(x) függvény deriváltja h (x) = f (x) g (x) = 0, így h(x) = C, azaz f(x) = g(x) + C. P Melyik az a függvény, amelyiknek cos x a deriváltja? M Minden sin x + C alakú függvény, ahol C tetszőleges konstans. 13
22 Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel
23 T B Cauchy-féle középértéktétel Ha f és g folytonosak [a, b]-n, diffhatóak (a, b)-n és g -nek nincs zérushelye (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). g(a) g(b), mert egyébként a Rolle-tétel szerint létezne olyan c (a, b), hogy g (c) = 0, de ezt a feltételek közt kizártuk. f(b) f(a) h(x) = f(x) f(a) (g(x) g(a)) g(b) g(a) h folytonos és diffható, h(a) = h(b) = 0, h (x) = f f(b) f(a) (x) g(b) g(a) g (x) Alkalmazzuk a h függvényre a Rolle-tételt c (a, b), ahol h (c) = 0 f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). 14
24 Legyen (g(t), f(t)) egy görbe paraméteres alakja. Deriváltja a t = c helyen: f (c) g. A görbe t = a és t = b paraméterű pontjai (c) (g(a), f(a)) és (g(b), f(b)). A köztük haladó húr iránytangense f(b) f(a) g(b) g(a). A Cauchy-tétel szerint a görbének van ezzel párhuzamos érintője: (g(a), f(a)) iránytangens: f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a) (g(c), f(c)) (g(b), f(b)) 15
25 L Hôpital-szabály
26 M Ha az f és g függvény határértékét ismerjük egy c helyen, nem mindig tudjuk meghatározni pl. az f ± g, fg, f g, határértékeket. 0 M Határozatlan alakok: 0,, 0,, 1, 0 0, : lim x x 2 ax x 2 x 2 1 = 1, lim = 0, lim = a, lim =, lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x4 x 1 x 1 = 2, : lim x x 2 x = 1, lim =, lim x x x x x x 2 = 0, 1 0 : lim x x : 1 : lim x 0 (1 + x) 1 x 3x = 3, lim x 0 1 sin x = 1, x lim x 2 x =, lim x + 1 x = 0, x x = e, lim x (1 + k x )x = e k, 0 0 : lim x 0 + x0 = 1, lim x 0 + 0x = 0, 0 : lim x x 1 x = 1, lim x 1 ln x = e, x 16
27 T L Hôpital-szabály (első alak) Ha f(a) = g(a) = 0, létezik f (a) és g (a) és g (a) 0, akkor lim a f g = f (a) g (a) B P P lim x 0 f (a) g (a) = lim x a f(x) f(a) x a g(x) g(a) lim x a x a = lim x a = lim x a f(x) f(a) g(x) g(a) = lim x a 1 x = x = cos x 1 = 1. 0 sin x lim x 0 x 2 x+4 1 = f(x) f(a) x a g(x) g(a) x a f(x) 0 g(x) 0 = lim x a f(x) g(x) 17
28 Geometriai szemléltetés Legyen (g(x), f(x)) egy görbe paraméteres alakja, mely áthalad az origón. Legyen az origó az a paraméterhez tartozó pont, azaz f(a) = g(a) = 0. E pontban az érintő iránytangense egyrészt f (a), másrészt a szelők határhelyzete, azaz lim x a g (a) f(x) f(a) g(x) g(a) = lim x a f(x) g(x). iránytangens: f (a) g (a) = lim f(x) x a g(x) (g(a), f(a)) = (0, 0) 18
29 T L Hôpital-szabály (L Hospital) Legyen f és g két olyan valós függvény, diffhatók egy nyílt I int.-on, kivéve esetleg egy a pontját, g (x) 0, ha x a és x I, lim a f = lim a g = 0 vagy lim a f = lim a g =. létezik az L = lim a f Ekkor g határérték. lim a f g = L, ahol a és L lehet, vagy tetszőleges valós. A tétel féloldali határértékekre is igaz. M Azaz lim a f g = lim a f g,feltéve, hogy a jobb oldali határérték létezik! )! 19 M Ez itt nem a hányados deriváltja, azaz f g ( f g
30 B Az x a +, f(a) = g(a) = 0 esetet igazoljuk. Alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt az [a, x] intervallumra: létezik olyan c (a, x), hogy Mivel f(a) = g(a) = 0, ezért f (c) f(x) f(a) g = (c) g(x) g(a) f (c) g (c) = f(x) g(x). Ha x a +, akkor c a + is fönnáll: lim x a + f(x) g(x) = lim c a + f (c) g (c) = lim x a + f (x) g (x). 20
31 Példák y 1 x 1 P lim x 1 1 x y 1 x 1 M lim x 1 P lim x 1 ( 1 x x x 1 1 ln x x ln x x + 1 = lim x 1 (x 1) ln x ln x L H = lim x 1 L H = lim x 1 = 1 2, y 1 x ln y = lim = ln y. x 1 ) 1 = lim x ln x 1 x 1 + ln x ln x = lim x 1 x ln x x + x ln x ln x 2 + ln x 21
32 c x 1 P lim x 0 x c x ln c M = lim x 0 1 = ln c. 2 sin x sin 2x P lim x 0 x sin x 2 cos x 2 cos 2x M = lim x 0 1 cos x = lim x 0 2 sin x + 4 sin 2x sin x = lim x 0 2 cos x + 8 cos 2x cos x = = 6. 22
33 P P P x 2 x + 3 lim x lim x 1 L H( ) e 2x ln x lim x ln x = lim x 0 + x 0 + 1/x ( x x 1 1 ) ln x = lim x 1 ln x ln x x 2x 1 = lim L H( ) 2 x 2e 2x = lim x 4e 2x = 0 L H( = ) 1/x lim x 0 + 1/x 2 = lim x = 0 x 0 + x ln x x + 1 = lim x 1 (x 1) ln x L H( 0 0 ) = lim x 1 1 x 1 x + 1 = 1 2 x 2 L H( 0 0 ) = lim ln x x 1 ln x + x 1 x 23
34 P lim x 0 (1 + x) 1 x A kitevőben: = lim x 0 (e ln(1+x) ) 1 x ln(1 + x) lim x 0 x Tehát: lim x 0 (1 + x) 1 x = e. = lim e 1 x ln(1+x) = e lim x 0 x 0 L H( 0 0 = ) 1 lim x x = 1 ( P Más változatban: lim 1 + k ) x = e k (k R) x x k = 0 esetén lim 1 x = 1 = e 0, egyébként x 0 ( lim 1 + k ) x ( ( = lim 1 + k ) x ) k k = lim x x x x k x 0 ( ( 1 + k x 1 x ln(1+x) ) x ) k k = e k 24
35 Amire figyelni kell a l Hospital-szabály alkalmazásánál 1 Csak határozatlan alakokra használható ( 0 0, )! sin x (sin x) cos x P lim = 0, miközben lim x x x 0 (1 + x) = lim = 1 x 0 1 f (x) 2 Fontos, hogy létezzen a lim x a g (x) határérték! P x + sin(x) lim x x létezik. 1 + cos x = 1, miközben a lim határérték nem x 1 25
36 L Hôpital-szabály Függvények nagyságrendje
37 Függvények nagyságrendje D Definíció Ha f és g olyan függvények, melyekre lim f(x) = lim g(x) =, akkor f kisebb nagyságrendű mint x x f(x) g (f g), ha lim x g(x) = 0. P P log hatvány (polinom), ugyanis, ha k > 0, akkor ln x L H( lim ) 1/x 1 x x k = lim = lim x kxk 1 x k x k = 0 hatvány (polinom) exp, ugyanis ha n > 0 egész, akkor x n lim L H( ) nx n 1 x e x = lim ) n(n 1)x n 2 = lim L H( ) x x e x = L H( = ) n!x lim x L H( e x L H( ) n! e x = lim x e x = 0 26
38 Taylor-polinom
39 Taylor-polinom Szeretnénk egy (esetleg nehezen kiszámítható) függvényt kis fokú polinomokkal közelíteni egy pont közelében. y x 27
40 Taylor-polinom D Definíció Legyen f egy valós függvény, mely n-szer differenciálható a c pontban. Ekkor a T f,c,n (x) = n k=0 = f(c) + f (c)(x c) + f (c) 2! f (k) (c) (x c) k k! polinomot az f függvény c körüli n-edrendű Taylor-polinomjának nevezzük. (x c) f(n) (c) (x c) n n! P f(x) = sin x c = 0 n = 3 sin 0 = 0 sin 0 = cos 0 = 1 sin 0 = sin 0 = 0 sin 0 = cos 0 = 1 T sin,0,3 (x) = x 1 6 x3 28
41 T Tétel Ha f egy valós függvény, amely n-szer differenciálható a c pontban, és T(x) := T f,c,n (x) az f függvény c körüli n-edfokú Taylor-polinomja, akkor T (k) (c) = f (k) (c) minden 0 k n-re. B A T(x) k-szoros deriválásánál a k-nál kisebb fokú tagok eltűnnek (minden deriválással eggyel csökken a polinom foka), a k-nál nagyobb fokú tagok k-adik deriváltja pedig (x c) többszöröse, tehát a c-beli helyettesítési értékük 0. Így ( f T (k) (k) ) (k) (c) (c) = (x c) k x=c = k! f (k) (c) k(k 1) 1 (x c) 0 x=c = f (k) (c). k! 29
42 y T f,1,2 (x) = 1 + ( 1)(x 1) + 2(x 1) 2 T f,1,0 (x) = 1 f(x) = 1 x T f,1,1 (x) = 1 + ( 1)(x 1) x 30
43 T Taylor-tétel Ha f egy valós függvény, mely n-szer differenciálható a c pontban, akkor létezik egy olyan h n (x) valós függvény, hogy f(x) = T f,c,n (x) + h n (x)(x c) n és lim x c h n (x) = 0. A fenti formulában a h n (x)(x c) n tagot az n-edrendű Taylor-polinom Peano-féle maradéktagjának nevezzük. 31
44 B Legyen T(x) := T f,c,n (x). Azt kell megmutatnunk, hogy lim h f(x) T(x) n(x) = lim x c x c (x c) n = 0 f(x) T(x) lim L 0 H( 0 ) f (x) T (x) x c (x c) n = lim L 0 H( 0 ) x c n(x c) n 1 = L H( 0 0 = ) f (n 1) (x) T (n 1) (x) lim, ahol azért alkalmazhattuk minden x c n!(x c) lépésben a l Hospital-szabályt, mert f (k) differenciálhatósága miatt f (k) folytonos is c-ben, és f (k) (c) = T (k) (c) minden k n 1-re, tehát mindegyik limesz 0 0 alakú. Az utolsó limesz (az 1 szorzó nélkül): n! ( ) f (n 1) (x) f (n 1) (c) + f (n) (c)(x c) lim = x c x c f (n 1) (x) f (n 1) (c) lim f (n) (c) = f (n) (c) f (n) (c) = 0. x c x c 32
45 Összefoglalás Lokális és abszolút szélsőértékek Lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Rolle-,Lagrange- és Cauchy-féle középértéktétel és következményeik L Hospital-szabály Függvények nagyságrendje Taylor-polinom és Taylor-tétel 33
A derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,
Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebben1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési
Részletesebben4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai
69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenMatematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenMatematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenFüggvények szélsőérték vizsgálata
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények szélsőérték vizsgálata BSc Szakdolgozat Készítette: Sághy Enikő Kata Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
RészletesebbenDIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben