Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Átírás

1 Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c) tg x dx e x+ dx e) f) x ln x dx x + 5x + dx a) Meghatározzuk a primitív függvényt, majd alkalmazzuk a Newton-Leibniz tételt: [ x x x + dx = x + x ( () ] () ( ) = + ) + () = ( ) 8 + ( ) = 9. b) Meghatározzuk a primitív függvényt, majd alkalmazzuk a Newton-Leibniz tételt: tg x dx = sin x cos x dx = sin x cos x dx = [ ln cos x ] = ( ) ( ) = ln cos + ln cos = ln = ln = ln. c) Meghatározzuk a primitív függvényt, majd alkalmazzuk a Newton-Leibniz tételt: [ e e x+ x+ dx = ] = e + e + = e e. d) Parciális integrálás segítségével meghatározzuk a primitív függvényt, majd alkalmazzuk a Newton-Leibniz tételt: ] xe x dx = [x ] ex e x [ ] [x dx = ex e x = = e e + = e +.

2 e) Parciális integrálás segítségével meghatározzuk a primitív függvényt, majd alkalmazzuk a Newton-Leibniz tételt: e [ ] x e e x ln x dx = ln x x [ ] x e e [ ] x dx = ln x x x e [ ] x e dx = ln x = ( ) ( ) e e = ln e ln = e +. f) Alakítsuk szorzattá a nevezőt. Ehhez keressük az x +5x+ polinom gyökeit. A másodfokú egyenlet megoldóképletét felhasználva x, = 5 ± 5 így x =, x =. Így azt kapjuk, hogy x + 5x + dx = = 5 ±, (x + )(x + ) dx. A fenti törtet bontsuk fel parciális törtekre: (x + )(x + ) = A x + + B x +. Meghatározzuk az A és B együtthatókat. Beszorozva a közös nevezővel = A(x + ) + B(x + ). Felbontjuk a zárójelet, majd x-et kiemelünk az x-et tartalmazó tagokból = x(a + B) + A + B. A jobboldal pontosan akkor egyezik meg a baloldallal, ha az x együtthatója, illetve ha a konstans tag megegyezik a két oldalon, azaz ha teljesül az alábbi egyenletrendszer = A + B = A + B. Az első egyenletet -vel szorozva, majd a második egyenletből kivonva az elsőt A = adódik, amelyet visszahelyettesítve az első egyenletbe B =. Így azt kapjuk, hogy (x + )(x + ) dx = x + x + dx = [ln x + ln x + ]5 = [ ] = ln x + 5 x + = ln 7 8 ln 9 = ln Feladat. Közelítsük az x dx integrált trapéz-, illetve Simpson-formulával úgy, hogy a [, ] intervallumot n = 5 részintervallumra osztjuk! Becsüljük meg mindkét esetben a közelítés hibáját!

3 Az alapintervallumot 5 egyenlő részre osztjuk, így az keletkező alappontok x = ; x =, ; x =, ; x =, 8; x = 5, ; x 5 =. Egy részintervallum hossza,. A trapézformula ( b a f(x ) + f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x ) n) n képletébe behelyettesítve (, +, +, +, 8 + ) 5, + = ( =, +, +, +, 8 + ), +, 598 adódik. A közelítés maximális hibája: k(b a) n, ahol k = max f (x). x [a,b] Az f(x) = x = (x ) függvény első és második deriváltja f (x) = (x ) = x f (x) = (x ) = (x ), amiből k =, így a közelítés maximális hibája ( ) 5 = 9 =, 5 =, 5. A Simpson formula esetén az az ostópontok száma n, így x = ; x =, ; x =, ; x =, 9; x =, ; x 5 =, 5, x =, 8; x 7 = 5, ; x 8 = 5, ; x 9 = 5, 7; x =. A Simpson formula általános képlete (b a) n (f(x ) + f (x ) + f(x ) + f (x ) + + f (x n ) + f(x n )).

4 A képletbe az adatokat behelyettesítve, és az eredményt tizedesjegyre kerekítve, ( +, +, +, 9 +, +, 5 +, 8 + 5, + 5, + 5, 7 + ) = =, ( +, +, +, 9 +, +, 5 +, 8 +, +, +, 7 + ), 5. A közelítés maximális hibája: ahol K(b a) 5 88n, K = max f () (x). x [a,b] Az f függvény harmadik és negyedik deriváltja: f (x) = 8 (x 5 ) = 8 (x ) 5 f (x) = (x ) = így K = 5, amiből a közelítés maximális hibája (x ) 7, ( ) = 8 =, 5.. Feladat. Közelítsük ln értékét összetett trapéz-formulával úgy, hogy a hiba kisebb legyen, mint, 5! Mivel ln = ezért az integrál közelítését kell elvégeznünk.mivel x dx x dx, f (x) = x, így k =, ezért ha az n értékét úgy választjuk, hogy ( ) <, 5 n

5 teljesüljön, akkor a hiba kisebb lesz, mint, 5. Az előbbi egyenlőtlenséget átrendezve < n, amiből 8, 57 < n. Ha tehát n-et legalább 9-nek választjuk, akkor a hiba biztosan kisebb lesz, mint, 5. Ekkor az integrál közelítő értékére adódik.. Feladat. Közelítsük az ln = dx, 9 x ln(x )dx integrált összetett trapéz-, ill. Simpson-formulával úgy, hogy n-et abból a feltételből határozzuk meg, hogy a hiba kisebb legyen, mint, 5! A számolás során szükségünk lesz az ln(x ) függvény második, illetve negyedik deriváltjának maximum értékére az [, ] intervallumon: 5 f (x) = x x = x ( ) f (x) = = (x ) = x = x x f (x) = x f () (x) = x. Ebből a második derivált abszolút értékének maximuma az [, ] intervallumon k = max =, x x [,] a negyedik derivált abszolút értékének maximuma az [, ] intervallumon K = max =. A trapéz formula hibaképlete miatt x [,] x ( ) <, 5 n < n 57, 75 < n.

6 Így, ha n-et legalább 58-nak választjuk, akkor a hiba biztosan kisebb lesz, mint, 5. A Simpson formula esetében ( ) 5 <, 5 88 n < n, < n. Így Ha n-et legalább -nek választjuk, akkor a hiba biztosan kisebb lesz, mint, Feladat. Számoljuk ki az f(x) = x és g(x) = x függvények által bezárt területet! Felrajzoljuk a két függvényt Először megoldjuk az f(x) = g(x) egyenletet: x = x x = 8 x =, amiből x = ± adódik. Így a keresett terület T = x (x ) dx = (8 () ) () = 8 x dx = + ] [8x x = = = 9 (8 =.. Feladat. Számoljuk ki az f(x) = x és g(x) = x függvények által bezárt területet! Felrajzoljuk a két függvényt )

7 7 Először megoldjuk az f(x) = g(x) egyenletet: x = x x = x x x = x(x ) =, amiből x = vagy x = adódik. Így a keresett terület T = x x dx = x x dx = ( ) = =. [ x x ] = ( ) 7. Feladat. Számoljuk ki az f(x) = x és g(x) = x függvények által bezárt területet! Felrajzoljuk a két függvényt Először megoldjuk az f(x) = g(x) egyenletet: x = x x x = x(x ) =, amiből x = vagy x = adódik. Így a keresett terület [ ] x T = x x dx = x = = =. 8. Feladat. Számoljuk ki az f(x) = x + függvénynek a [, ] intervallumon az x-tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát!

8 8 Felrajzolva a testet: A test térfogata [ (x + ) V = (x + ) dx = = =. ] ( ) ( ) ( + ) ( + ) = = 9. Feladat. Számoljuk ki az f(x) = sin x függvénynek a [, ] intervallumon az x-tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! Felrajzolva a testet: A test térfogata Mivel V = sin x dx. cos x + sin x = cos x sin x = cos x, ezért az első egyenletből kivonva a másodikat, majd -vel osztva mindkét oldalt sin cos x x =

9 adódik. Ezt felhasználva V = = [ x sin x dx = ] sin x = cos x dx = cos x dx = ) ] sin =. [( sin. Feladat. Számoljuk ki az f(x) = x + x függvénynek a [, ] intervallumon az x- tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! Felrajzolva a testet: 9 A test térfogata V = x + x dx = [ x + x ] = ( ( + ) ) =.