x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

Átírás

1 Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos ( + ) ln Helyettesítéses integrálás. g) j) + + ( ) f) e h) i) 7 e + cos k) sin 3 l) e e + e. 4 6 ( + ) + sin 8 e + e e + e

2 Integrálszámítás III. Racionális függvények integrálása. g) i) f) h) ( + 4)( 6) ( + )( 9) j) ( )( ) ( ) ( + ) ( 4)( + )( + 3) ( 3)( ) ( ) ( + ) ( + 3) ( + ) Irracionális függvények integrálása.. ( ) 4 3 f)

3 Integrálszámítás IV. Trigonometrikus függvények integrálása. sin 4 cos cos 6 sin sin cos 4 f) 8 sin 4 cos 3 8 sin cos sin 8 cos sin cos sin + cos + 7 cos sin 4 3 sin 4 cos cos 6 4 sin 3 cos sin + cos + sin + cos + 3 cos sin sin ( + cos) 5. tg tg 3 tg 4 ctg tg f) 4 ctg 3 Eponenciális függvények integrálása. e e 5 e e 3 6 e 8e e + 5e 3 e + e + 4 e +

4 Az integrálszámítás alkalmazásai I. Területszámítás. Számítsa ki a görbe és az -tengely közé zárt területet a megadott intervallumban: y = [, ] y = + sin [, ] y = e [, ]. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakban megadott görbe és az -tengely közötti területet a megadott intervallumban: = cost, y = sin t, [, ] = t sin t, y = cos t, [, ] 3. Számítsa ki az adott görbék által határolt korlátos síkrész területét: y = 6 7, y = 3 y = e, y = 3 e Forgástestek térfogata. Számítsa ki az adott görbeívnek az -tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát: y = 4 [, [, ] y =,, ] cos 6 y = e, [, ]. Forgassuk meg az y = e, y = e és az = egyenletű görbék által határolt véges tartományt az -tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Mekkora annak a forgástestnek a térfogata, amelyet úgy nyerünk, hogy ugyanezen síkidomot az y-tengely körül forgatjuk meg? 3. Számítsa ki a következő paraméteresen megadott görbeívek -tengely körüli megforgatásával kapott forgástestek térfogatát: [ = ch t, y sh t t [, 4] = cost, y = sin t, t, ]

5 Az integrálszámítás alkalmazásai II. Ívhossz számítása. Számítsa ki a görbeív hosszát a megadott intervallumban: y = 3, [, ] y = +, [, 3] [ 6 y = lnsin, 3, ] 3. Számítsa ki az alábbi paraméteresen megadott görbeív hosszát a megadott intervallumban: ( ) [ = t, y = t 3 t, t, ] 3 Egyéb = e t sin t, y = e t cost, t [, ln]. Számolja ki, hogy az I (t) = sin t (A) erősségű áram mennyi hőt fejleszt másodperc alatt az R = 4Ω ellenálláson. Közelítő integrálás. Számítsa ki az részre való felosztást alkamazva. + értékét Trapéz- és Simpson-formulával, először 4, majd 8

6 Improprius integrálok Integrálás végtelen intervallumon. g) j) ln e ( + ) 3 ( + 3) e h) e k) + ln f) e + e i) + 4 l) sh ch + + e + e Adott intervallumon nem korlátos függvény integrálása. ln f) g) cos sin ln h) 4 + tg

7 Differenciálegyenletek I.. Döntse al, hogy az alábbi differenciálegyenletek hányadrendűek, illetve azt is, hogy lineárisak-e: y tg y 4 + y e sin = arccos y = 5y 4 y (4) ln y + sin y =. Döntse el, hogy az y = y + differenciálegyenletnek megoldásai-e az függvények! f() =, illetve g() = e 3. Határozza meg integrálással az y = differenciálegyenlet általános megoldását, majd az y() =, y () =, y () = kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! 4. Adja meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenletek általános megoldását! Ha adott valamilyen feltétel, akkor írja fel az ezt kielégítő partikuláris megoldást is! y = y, y() = 3 dy = y 3, y() = y sin = y ln y 5. Írja fel az alábbi elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását: y sin y cos = y + y = 6. Oldja meg az állandó variálásának módszerével az alábbi elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y y + = y + y = cos y + y = e ln y + y ln = 7. Határozza meg az állandó variálásának módszerével az alábbi elsőrendű lineáris differenciálegyenletek adott feltételt kielégítő partikuláris megoldását: y + y tg = cos 3, y() = y + y = +, y() =

8 y 3 y =, y() = Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket: y + y = sin y y = 4 y + y = (e + e ) y 4y = 5 4 cos Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú elsőrendű differenciálegyenletek, figyelve a rezonanciára: y y = e + y 4y = sh 4

9 Differenciálegyenletek II.. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris, homogén differenciálegyenletek általános megoldását: y y 3y = y + 5y = y 6y + 9y = y + 4y = y y + y =. Oldja meg próbafüggvény-módszerrel az alábbi másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y + y = 3 4y + y = 85(e e ) y + y + y = cos 5 sin y + y = ( + )e y 6y = 3e sin f) y y = 5 cos 3. Oldja meg próbafüggvény-módszerrel az alábbi másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y y 3y = 6(e ) y + 9y = sin 3 cos 3 y 4y + 4y = e + 4 y 3y = e + (6 + 5)e 3 4. Adja meg a következő differenciálegyenleteknek az adott feltétel(ekt kielégítô partikuláris megoldását: ( y + y = y() = y ) = e y + y = cos y() = 3 y y = e y() = y () = 4

10 Laplace-transzformáció Képezze a következő függvények Laplace-transzformáltját:. e t e 3t+ e 5t sin t cos 3t f) sh 3t g) ch 6t h) t i) 5t 4 j) 8t 6. e 3t 5 t + e t 3 sin 4t cos t+sh t+8 ch 4t sin 3t cos 5t 4t 3 t + 7t 3 3. e 4t 3e t 4e t e t sin t + sin 3 t sin t t 7t + 6 t 4. e t sin 3t e 3t cos 7t e 3t ( sin t 3 cos4t) 3e 6t (4t 3 3t + t 4) 5. t sin t 3t cos t t sh 3t t ( sin 3t cost) t ch 3t Határozza meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját:.. s 7 s 4 4s + s + 3s 4 f) s s s 9 s + s 6 s 3 s 6s g) 3 s + s 3 s s 3s + 6 (s + 4)(s + 6) s s + 4 4s s + 9 (s )(s 3) Határozza meg a következő differenciálegyenletek, illetve differenciál-egyenletrendszerek megadott kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldását Laplace-transzformáció alkalmazásával:. y + 3y = 8e 5 y() = 4 y 5y = 5 y() = y + y = sin4 y() = y + 3y = cos y() = y y = 4 e y() = f) y 3y = e 3 y() =. y + 9y = 9 y() = y () = y + 3y + y = e y() = y () = y + 4y = 68 sin y() = y () = y + y = + y() = 4 y () = 3. { ẋ y = e t t ẏ + = e t + { ẋ + ẏ = e t + cost sin t ẋ y = sin t () = y() = () = y() =

11 Numerikus sorok. Vizsgálja meg az alábbi számsorok konvergenciáját. Ha konvergensek, akkor számítsa ki az összegüket: + 3 k + 5 k 3 k+ 3 k+ 5 k k= k k= ( ) k 3 k+ a k ( ) k b f), (b ) k= k k= a + k= b g) ( ) k, h) ( ) k, k+ k=. Határozza meg a következő sorok összegét résztörtekre bontással: k(k + )(k + ) k= k=3 ( k ) ( k 3) 3. A konvergencia szükséges feltételét felhasználva mutassa meg, hogy a következő sorok divergensek: ( ) 5k 5k + k k + 3 k 5k + k k k k 4. Mutassa meg, hogy a következő (harmonikus sorra visszavezethető) sor divergens: k= ( k ) ( k ) 5. A majoráns és a minoráns kritérium alkalmazásával döntsük el, hogy a következő sorok közül melyik konvergens és melyik divergens: (k ) k (k + )(k + 4) k + + k k + f) k= k 4k k (k + )k g) tg h) i) 4k 3k ln(k + ) j) k + k 6. Döntse el hányadoskritérium segítségével, hogy a következő sorok konvergensek-e: k k k! (k + )(k + ) k= k! k k k k= k! ( ) k! (k + )! k k f) g) k h) k k k k! 3 k

12 7. A gyökkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következő sorok konvergense-e: k kp k k, ahol < p < k k k k g) sin k k k k + (arctg k) k (k + ) k ( ) k k f) k + ( k + k + 8. Integrálkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következő sorok konvergensek-e: 3 k + k= k ln k k + k= k ln k k, ahol α > f) α k k + (k + ) g) h) k + (k + )ln i) (k + ) k= k ln k j) k e k 9. Vizsgálja meg a következő váltakozó előjelű sorokat konvergencia szempontjából: ( ) k+ ( ) k k k ( ) k k + ( ) k k+, k + k k= ) k

13 Függvénysorok. Határozza meg a következő függvénysorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét: ( ) k e k tg k e k. Határozza meg a következő hatványsorok konvergenciatartományát: k! k k k k k= k k k kk 5 k k! k k + k! k k f) ( )k kk 3. Írja fel az alábbi függvények -körüli harmadrendű Taylor-polinomját: f() = = f() = ln = e f() = sin = f() = 7 = k= 4. Írja fel az alábbi függvények Maclaurin-sorát és határozza meg, hogy az melyik tartományban állítja elő a függvényt: f() = sin 3 f() = e f() = 3 e f() = ln( ) 5. Az = körüli harmadrendű Taylor-polinom alkalmazásával adja meg az alábbi függvények közelítő értékét a megadott helyen és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára: f() = e =, f() = 3 + =, f() = cos =, f() = arctg =, 6. Az integrandus = körüli negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával adja meg az alábbi integrálok közelítő értékét és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára:,,3 sin e, 7. Az integrandus = körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával számítsa ki az alábbi integrálok közelítő értékét úgy, hogy a pontos értéktől való eltérés legfeljebb 6 legyen:, e,6,5 sin +,4 k= k=

14 Függvénysorok. Határozza meg a következő függvénysorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét: ( ) k e k tg k e k. Határozza meg a következő hatványsorok konvergenciatartományát: k! k k k k k= k k k kk 5 k k! k k + k! k k f) ( )k kk 3. Írja fel az alábbi függvények -körüli harmadrendű Taylor-polinomját: f() = = f() = ln = e f() = sin = f() = 7 = k= 4. Írja fel az alábbi függvények Maclaurin-sorát és határozza meg, hogy az melyik tartományban állítja elő a függvényt: f() = sin 3 f() = e f() = 3 e f() = ln( ) 5. Az = körüli harmadrendű Taylor-polinom alkalmazásával adja meg az alábbi függvények közelítő értékét a megadott helyen és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára: f() = e =, f() = 3 + =, f() = cos =, f() = arctg =, 6. Az integrandus = körüli negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával adja meg az alábbi integrálok közelítő értékét és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára:,,3 sin e, 7. Az integrandus = körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával számítsa ki az alábbi integrálok közelítő értékét úgy, hogy a pontos értéktől való eltérés legfeljebb 6 legyen:, e,6,5 sin +,4 k= k=

15 Fourier-sorok Fejtse Fourier-sorba a következő függvényeket: ha. f : R R, f() = < ha < 3 { 6 ha < <. f : R R, f() = ha < < { ha < < 3. f : R R, f() = ha < < és R esetén f( + ) = f() és R esetén f( + ) = f() és R esetén f( + ) = f() { ha < 4. f : R R, f() = + ha < és R esetén f( + ) = f()

16 Többváltozós függvények I.. Határozza meg a következő függvények értelmezési tartományát: f(; y) = y f(; y) = ln( + y) f(; y) = + y f(; y) = 4 y. Határozza meg a következő függvények megadott értékekhez tartozó szintvonalainak egyenletét: z = + 3y + z =, z = z = + y z =, z = 9 z = y z =, z = 8 z = 4 + y z = 3, z = 5 3. Határozza meg a következő többváltozós függvények parciális deriváltfüggvényeit: f(; y) = 6 y + y 3 f(; y) = ln y + e y f(; y) = cosy f(; y; z) = ln yz 4. Határozza meg az alábbi függvények parciális deriváltjait a megadott P pontban: e ( z = ln sin 3 y ; P ; ) z = arctg + y y ; P (; ) 5. Határozza meg a következő függvények teljes differenciálját: f(; y) = y f(; y) = e +y y f(; y) = sin + cos y z = tg( y) ; P (; )

17 Többváltozós függvények II.. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények iránymenti deriváltját az adott v irányvektorú egyenes mentén az adott P pontban: f(; y) = cos ( y) ; v ( 3; ) ( ; P ; ) 4 f(; y) = sin ( + y ) ; v ( 3; ) ( ) ; P ; 3 f(; y) = ln ln y lny ln ; v ( 3; 4) ; P (e; e ). Határozza meg a következő függvények szélsőértékeit: f(; y) = (5 + y) e f(; y) = e y f(; y) = y f(; y) = e ( + y ) f(; y) = + y + y + y + 3 f) f(; y) = 3 + y 3 3y 3. Határozza meg a z = y felületnek az origóhoz legközelebb eső pontját! 4. Egy derékszögű háromszög rövidebbik befogójának hosszát a = 5 ±, cm-nek mértük, másik befogójának hosszát pedig b = ±, cm-nek. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút, illetve relatív hibával számítható ki az átfogó hosza; a háromszög területe; tg β, ahol β a b oldallal szemközti szög! 5. A véges növekmények tétele segítségével adjon közelítést az alábbi kétváltozós valós függvények megadott pontban felvett értékére egy olyan közeli pontból kiindulva, ahol a függvényérték könnyen számolható: f(; y) = ln ( y 3 ), P(3, ;, 96) f(; y) = (y) (y + ) 3, P(, 98; 3, ) 6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények kettős integrálját a megadott T tartományon: f(; y) = 3 y T = { (; y) }, y 4 { f(; y) = sin y T = (; y) }, y f(; y) = 54y T = { (; y) } 3, y arctg + f(; y) = sin { T = (; y) } y 3 3, cos y cos

18 7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a csúcsaival megadott sokszögtartományon: f(; y) = e y A(; ), B(; ), C(; ) f(; y) = y A(; ), B(; 3), C(4; 4) 8. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját azon a korlátos tartományon, amelyet a következő egyenletekkel megadott görbék határolnak: f(; y) = y e = y, = 3 y f(; y) = y ( + ) = y, = y, y =