Matematikai analízis II.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai analízis II."

Átírás

1 Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6

2 . feladatlap Implicit függvények differenciálása. Határozzuk meg az alábbi, implicit alakban adott függvények y deriváltját, ha y = y()! + y = ; (b) y + y = ; 4y + y = ; (d) + y y = ; cos y = ; (f) y + 3y 3 = 5; (g) + y = ; (h) cos y + ctg = 3; (i) ln y + y = ; (j) arctg y = ln + y.. Határozzuk meg az y + y = 3 görbe P (, ) pontjához tartozó érintő egyenletét! 3. Határozzuk meg az 9 + 6y = 5 egyenletű ellipszis azon érintőit, amelyek párhuzamosak a 9 8y = egyenessel! 4. Határozzuk meg y -t és y -t, ha y + y = és y = y()! 5. Határozzuk meg y -t és y -t az (, ) pontban, ha a sin y = 3 5 görbe átmegy ezen a ponton és y = y()! 6. Igazoljuk, hogy y = y3, ha + y = y és y = y()! 3 7. Határozzuk meg y = dy d Paraméteres alakban adott függvény deriváltja értékét az { (t) = t 3 + t, y(t) = t 7 + t +, t R paraméteres alakban adott görbére! 8. Határozzuk meg y = dy d értékét az { (t) = cos t, y(t) = sin t, t [, π) paraméteres alakban adott görbére, ha t = π 4!

3 9. Határozzuk meg y = dy d és y = d y értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére! d { (t) = et sin t, t R. y(t) = e t cos t,. Határozzuk meg y = dy d és y = d y értékét az d { (t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t, t [, π) paraméteres alakban adott görbére, ha t = π 3!. Határozzuk meg az { = 5 cos t y = 4 sin t paraméteres alakban adott ellipszisnek a t = π 4 érintő iránytangensét! Vázoljuk a görbét! t [, π) paraméterértékhez tartozó pontjához húzott. Adjuk meg az alábbi paraméteres alakban adott görbe t = paraméterértékű pontjában az érintőegyenes egyenletét! { (t) = 3e t, t R. y(t) = 5e t, 3. Hol konve az görbe? { (t) = 3t, y(t) = 9t 3t, t R Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 4. Legyen r = cos ϕ. Számítsuk ki az alábbi kifejezéseket! dr dϕ ; (b) d r dϕ ; d 3 r dϕ ; (d) dr 3 d r ( π ) ; (f) dϕ 4 dϕ ( π 6 d 3 r dϕ 3 ) ; ( 5π 6 ).

4 5. Igazoljuk, hogy az r = 3ϕ archimédeszi spirális érintőjének meredeksége 6 + 3π 6 3 π a ϕ = π 6 pontban! 6. Írjuk fel az r = ϕ hiperbolikus spirális érintőjének egyenletét a ϕ = 3π pontban! 7. Határozzuk meg az r = 8. Adjuk meg az r = 4 cos ϕ 4 cos ϕ parabola érintőjének meredekségét a ϕ = π 3 pontban! parabolának azt a pontját, ahol az érintő meredeksége! 9. Írjuk fel az r = sin ϕ kardioid ϕ = pontjában az érintőegyenes egyenletét!

5 . feladatlap A határozatlan integrál, integrálási szabályok. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) ) d; ( ( ) d; (b) d; (d) ( e ) d; ( 5 cos ) ( sin d; (f) sin + 3 cos ( ) d; (h) + + d; ( ) ( + 3) d; (j) ( + 3 ) d.. Vezessük vissza elemi integrálokra a következő integrálok kiszámítását! ) d; (g) (i) 3 e d; (b) + d; d; (d) tg d; cos cos sin d; (f) ch ch d; cos cos d; (h) cth d; 3 3d; (j) ( + ) 3 d; (k) ( + ) d; (l) 5 (8 3)6 d; (m) sin cos d; (n) cos 5 sin d; (o) (q) (s) (t) (u) (v) () d; (p) + d; + d; (r) ch sh d; cos 5 sin 3 d; (sz) sin 5 d; 3 + cos ln d; (ty) tg d; + d; (ü) d; e e + d; (w) ln d; arctg + d; (y) + cos d;

6 3. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! sin 3 d; (b) cos(4 + π) d; e 5 d; (d) (e 3 + 3e 3 ) d; ( 3) 4 d; (f) 5 6 d; (g) cos (3 4) d; (h) e 7 5 d. Szorzatintegrálással megoldható feladatok 4. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! e d; (b) sin d; 7 d; (d) cos d; 3 sin d; (f) e d; (g) e 7 d; (h) e +ln d; (i) (k) (m) (o) (q) cos sin 3 d; (j) ln d; ln d; (l) arctg d; arcsin d; (n) arccos d; 3 ln d, (p) arctg d;, arth d, (r) ln d; (s) arctg d; (sz) arctg d; (t) arccos d; (ty) ( + )ch d; (u) ( + ) ln d; (v) ln d; (w) e cos d; () ch sin 5 d; (y) sin 3 cos 5 d; (z) e 3+ ln d.

7 3. feladatlap Integrálás helyettesítéssel. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) (k) (m) (o) (q) cos ( 5) d; (b) 6 sin cos d; (d) d + 4 ; 4 sh( 5 6) d; e cos(e ) d; (f) (h) (j) sin d; (l) e d; (n) sin (4 + 7) d; e cos sin d; d; e + e d; e d; + e e d; e + e d; e e 4 e d; (p) e e + 3 ch d;. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (r) d; (b) + cos + sin ; (d) cos 4 + sin ; (f) d; (h) + 3 cos + ch d. d; sin d; ln tg sin cos d; sin 3 + cos d; 9 d; (i) (k) (m) + 5 d; ; (j) (l) d ; (n) d; d; d.

8 Racionális törtfüggvények integrálása 3. Állítsuk elő az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) 4 d; ; ; + + d; (b) (d) (f) (h) d; (j) ( ) + 3 d; + d; ( + ) d; d; d. 4. Parciális törtekre bontással számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat! (g) (i) (k) (m) d; (b) ( )( 4) d; (d) ( )( + ) 9 d; (f) (3 5)( 7) d; (h) d; (j) ( ) d; (l) d; (n) ( ) ( + ) d; 3 59 ( + )( ) d; d; d; + ( + ) d; d; + d; Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések 5. Állítsuk elő az alábbi határozatlan integrálokat! 3 ( + 3 d; (b) ) e e + 3 d; + 3 d; (d) d.

9 4. feladatlap Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) (k) (m) (o) (q) sin 3 cos d; sin 3 cos d; cos 3 d; sin 4 d; cos 4 sin d; sin 5 cos d; sin 3 cos d; sh 4 d; ch 3 sh d; (b) (d) (f) (h) (j) (l) (n) (p) (r) sin cos d; sin cos 3 d; sin 5 d d; sin cos d; sin cos d; cos 3 sin 4 d; sh 3 ch 3 d; ch 5 d; th d. Riemann-integrál. Tekintsük az f : [, ] R, f() = függvényt! Osszuk fel a [, ] intervallumot öt részre, majd adjuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, továbbá a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget! 3. Egy egyenes pályán mozgó test gyorsulás-idő függvénye: [ f :, π ] R, f(t) = sin t. Osszuk fel a [, π ] intervallumot négy egyenlő részre, majd adjuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, továbbá határozzk meg közelítőleg a sebesség megváltozását, azaz adjuk meg a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget! 4. Legyen adott az f : [, ] R, f() = 4 függvényt Osszuk fel a [, ] intervallumot nyolc részre, határozzuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, valamint a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget!

10 5 5. Határozzk meg az 4 d Riemann-integrált a definíció alapján! 6. Határozza meg az 5 d Riemann-integrált a definíció alapján! Newton-Leibniz-formula 7. Számoljuk ki az alábbi határozott integrálokat! ( + 5) d; (b) ( + ) d; (d) ( 3 + 3) d; 4 + d; π 3 sin d; (f) π cos sin d; (g) π d; (h) π sin d; (i) (k) 3 ln d; (j) + 3 d; (l) π 4 π + sin d; cos d; (m) 3 sgn( 3 ) d; (n) π sgn(cos ) d. 8. Határozzuk meg az f() = 3 függvény középértékét a [, ] intervallumon! 9. Adjuk meg az f() = [, cos függvény középértékét a π ] intervallumon! 4. Határozzuk meg a b valós paraméter értékét, ha az f() = 3 + b függvény átlagos értéke a [, ] intervallumon 4.

11 . Határozzuk meg az alábbi deriváltakat! Az integrál, mint a felső határ függvénye d d d d 5 + 7t dt; 3 t4 + d; (b) (d) d d d d 4 sin 3 t dt; t dt.. Keressük meg dy -et az alábbi feladatokban! d y = y = + t dt; (b) y = sin t dt; (d) y = t dt, ( > ); cos t dt.

12 5. feladatlap Terület számítása határozott integrállal. Határozzuk meg az f() = függvény grafikonja és az -tengely által határolt tartomány teljes területét, ha [ 3, ]!. Számítsuk ki az f() = 3 4 és az -tengely által közrezárt véges síkrész területének mérőszámát, ha [, ]! 3. Mekkora területet határolnak az f() =, a g() = + 6, = és az = görbék? 4. Adjuk meg annak a tartománynak a területét, amelyet az f() = +cos függvény grafikonja, valamint az y = és az = π egyenesek zárnak közre! 5. Vázoljuk az f() = 3 függvény grafikonja, az y = és az y = egyenesek által határolt tartományt, majd határozzuk meg a területét! 6. Számítsuk ki az f() = és a g() = + görbék által közrezárt síkrész területét! 7. Adjuk meg az f() = és a g() = parabolák által határolt tartomány területének mérőszámát! 8. Számítsuk ki az értékét úgy, hogy az y-tengely, az f() = egyenletű görbe, valamint e görbének az abszcisszájú pontjához húzott érintője által határolt véges terület mérőszáma legyen! T = 3 9. Vázoljuk az f : R R, f() = függvény grafikonját! Számítsuk ki a b R paraméter + 4 értékét, ha a görbe alatti terület a [ b, b] intervallumon!. Ábrázoljuk ugyanabban a koordináta-rendszerben az f() = sin és a g() = cos függvényt, majd számítsuk ki, hogy mekkora területűek a megadott görbék által közrezárt tartományok!. Mekkora területű síkidomot zár közre az y = parabola és az + y = 4 kör? } (t) = 3 cos t. Számítsuk ki az paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe alatti terület y(t) = 3 sin t mérőszámát a t π intervallumban! } (t) = r cos t 3. Számítsuk ki az paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe alatti terület y(t) = r sin t mérőszámát a t π 4. Számítsuk ki az intervallumban (r > )! (t) = 3(t sin t) y(t) = 3( cos t) }, t [, π] paraméteres egyenletrendszerrel adott közönséges ciklois egy íve alatti terület mérőszámát!

13 5. Mekkora az (t) = cos t y(t) = cos t }, t [, π] paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe és az y tengely közé eső síkrész területe? Készítsünk vázlatot! 6. Számítsuk ki az r = 4 cos ϕ görbe (lemniszkáta) területét! Vázoljuk a görbét! 7. Számítsuk ki azon síktartomány területét, amely az r = + cos ϕ görbén belül és az r = körön kívül van! 8. Számítsuk ki azon síktartomány területét, amely az r = cos ϕ görbén belül és az r = körön kívül van! Készítsünk ábrát! 9. Határozzuk meg az r = sin ϕ kör által határolt tartomány r = cos ϕ kardioidon kívül eső részének a területét!. Számítsuk ki annak a síktartománynak a területét, amely az r = 4 cos ϕ görbén belül, de az r = cos ϕ görbén kívül van! Készítsünk ábrát!. Határozzuk meg az r = 4 kör és az r = 4 cos ϕ lemniszkáta közé eső véges síktartomány területét! Készítsünk ábrát!. Határozzuk meg az r = sin ϕ négylevelű lóhere egyik levelének területét! 3. Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát! Síkgörbék ívhosszának számítása y = ch, [, 3]; (b) y = 4, [, ]; [ π y = ln sin, 4, π ] ; (d) y = ln( ), y = ( + ) 3, [, ] ; [ 6, ] ; (f) 6y = 4 + 3, [, ] Számítsuk ki az (t) = 3 cos t y(t) = 3 sin t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! Vázoljuk a görbét! } 5. Számítsuk ki az (t) = e t sin t y(t) = e t cos t } paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban!

14 6. Számítsuk ki az (t) = t sin t y(t) = cos t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! } 7. Számítsuk ki az (t) = cos 3 t y(t) = sin 3 t } paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π a görbét! intervallumban! Vázoljuk 8. Számítsuk ki az (t) = 4(cos t + t sin t) y(t) = 4(sin t t cos t) paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! 9. Számítsuk ki az r = + cos ϕ kardioid kerületét! Vázoljuk a görbét! 3. Határozza meg az r = e ϕ spirális ívhosszát, ha ϕ [, ln ]! } 3. Határozza meg az r = cos ϕ görbe ívhosszát, ha ϕ [, π]! Forgástest térfogatának számítása 3. Számítsuk ki az alábbi görbék -tengely körüli forgatásával nyert testek térfogatát! y = 4 + 5, [, 6]; (b) y = , [, 3]; y = ch 3, [, ] ; (d) y = 4 + 3, [, ] ; y = + 3, [, 6]; (f) y = ln, [, e]; (g) y = e, [, ]. (h) y =, [, 4]. 33. Számítsuk ki az y = sin görbe -tengely körüli forgatásakor keletkező végtelen gyöngysor egy gyöngyszemének térfogatát! 34. Az y = sin görbe egy fél hullámát megforgatjuk az -tengely körül. Mekkora az így 3 keletkező test térfogata? 35. Tekintsük az y = 3 egyenletű görbe, az y = egyenes és az y-tengely által közrezárt véges síkrészt! Mekkora térfogatú forgástestet kapunk, ha a tartományt az y-tengely körül megforgatjuk? 36. Forgassuk meg az -tengely körül azt a síktartományt, amelyet az y = hiperbola, az =, az = 3 és az y = egyenesek határolnak! Mekkora a keletkező forgástest térfogata?

15 37. Tekintsük az y = ( 3) és az y = 4 görbék által határolt tartományt! Az - illetve az y-tengely körüli forgatással keletkező forgástestek közül melyiknek nagyobb a térfogata? 38. Számítsuk ki az 9 + y = egyenletű ellipszis -tengely körüli forgatásával keletkező forgási ellipszoid térfogatát! 39. Számítsuk ki az (t) = t sin t y(t) = cos t }, t π közönséges ciklois egy ívének -tengely körüli megforgatásakor keletkező forgástest térfogatát! Forgástest felszínének számítása 4. Számítsuk ki az alábbi görbék -tengely körüli forgatásával nyert testek felszínét: y = 3, [, ] ; (b) y = sin, [, π] ; y = r, [ r, r]; (d) y = +, [4, ] ; y = + 3, [, 5] ; (f) y = 3 (3 ), [, 3]. 4. Az y = e + e egyenletű görbe [, ln ] intervallum feletti ívét forgassuk meg az -tengely körül. Mekkora az így keletkezett forgástest térfogata és teljes felszíne? 4. Számítsuk ki az y = +, [, 3] egyenes szakasz y-tengely körüli forgatásával keletkező csonkakúp palástjának felszínét! 43. Számítsuk ki az 4 + y = egyenletű ellipszis -tengely körüli forgatásával keletkező forgási ellipszoid felszínét! 44. Mekkora az (t) = cos t y(t) = + sin t }, t π paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest felszíne? 45. Mekkora annak a forgástestnek a felszíne, amely az (t) = } t 3 3 y(t) =, t 3 t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe y-tengely körüli forgatásakor keletkezik?

16 6. feladatlap Improprius integrálok. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat! d; e d; (b) (d) d; e d; (g) (i) (k) ln d; sin d; + d; (f) (h) (j) d; (l) + 3 d; sin e e d; d; + d.. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat! d; ln d; (b) (d) d; π tg d; (g) (i) 3 d; (f) 4 sh d; d; 9 d (h) (j) π 4 cos d; d. 3. Határozzuk meg az f : R + R, f() = ln függvény grafikonja és az -tengely által közrezárt véges síkrész területét!

17 4. Számítsuk ki a következő integrálokat! (4 ) d; (b) d; (d) ( ) + 3 ( )( + ) d; (f) 3 d; 3 arctg d; ( + )( + ) d. 5. Legyen f : R R,, ha ; f() =, ha < ; e, ha >. Számítsuk ki az f() d és f() d improprius integrálokat! 6. Milyen α R paraméter esetén teljesül az alábbi egyenlőség? e α d = 7. Milyen β R paraméter esetén lesznek az alábbi integrálok konvergensek? (ln ) β d; (b) (ln ) β d. 8. Tekintsük az f : R R, f() = e függvény grafikonja és az -tengely által határolt síkrészt! Mekkora az első síknegyedbe eső síkrész területe? (b) Forgassuk meg az első síknegyedbe eső síkrészt az -tengely körül! Mekkora a keletkező forgástest térfogata? Forgassuk meg az első síknegyedbe eső síkrészt az y-tengely körül is! Mekkora a keletkező forgástest térfogata?

18 9. Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek-e! Alkalmazzuk az összehasonlító kritériumot a feladatok megoldása során! (g) (i) π d; d; (b) (d) + d; (f) + sin d; (h) e d; (j) π + + d; 6 + d; + cos ln d; d; ( + ) d.. Az integrálkritérium segítségével állapítsuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek! n=n ln n ; (b) n=n + ; n n=n + ; (d) n n=e ; n n(ln n) ; (f) arctg n n +. n= n=

19 . Vázolja az f() = 7. feladatlap Fourier sorok {, ha < π π, ha π < < π, f( + π) = f() függvény grafikonját! Fejtse Fourier-sorba f()-et!. Fejtse Fourier-sorba az alábbi függvényeket! {, ha π < π f() = f( + π), egyébként. (b) Felhasználva az előző sorfejtést, számítsa ki az sor összegét! 5 { f() =, ha π < π f( + π), egyébként. {, ha < π (d) f() =, f( + π) = f()., ha π < < π, ha π < < f() =, ha =, = π, f( + π) = f()., ha < < π (f) Felhasználva az előző sorfejtést, számítsa ki az sor összegét! 7 { π, ha < < π (g) f() =, f( + π) = f(), ha = (h) Felhasználva az előző sorfejtést, számítsa ki az sor összegét! 7 3. Határozza meg az f() = sin ( π < π), f() = f( + π) periodikus függvény Fourier-sorában cos és sin együtthatójának az értékét! 4. Határozza meg az f() = cos ( π < π), f() = f( + π) periodikus függvény Fourier-sorában cos és sin együtthatójának az értékét! {, ha π < π 5. Adott az f() = függvény. Vázolja a függvény grafikonját! Adja f( + π), egyébként meg az f függvény Fourier-sorában az a 3 és b 4 együtthatók értékét! {, ha π < π 6. Adott az f() = függvény. Vázolja a függvény grafikonját! Adja f( + π), egyébként meg az f függvény Fourier-sorában a sin és cos 4 együtthatóinak értékét!

20 , ha π π 7. Határozza meg az f() =, ha π < < 3π sorában a 5 és b 3 értékét!, f(+π) = f() függvény Fourier-, ha π π 8. Határozza meg az f() = 3, ha π < < 3π sorában a 3 és b 4 értékét!, f(+π) = f() függvény Fourier- π +, ha π < 9. Adott az f() = π, ha < π, f( + π) = f() függvény. Vázolja a függvény grafikonját! (b) Adja meg az f függvény Fourier-sorát!

21 8. feladatlap Közönséges elsőrendű differenciálegyenletek. Oldjuk meg az y = y differenciálegyenletet!. Oldjuk meg a következő, szétválaszható változójú differenciálegyenleteket! ( + )y 3y = ; (b) ( y + 6y)y + (y ) = ; (y + y ) = ( )y ; (d) dy d = e y ; y + ( ) ctg y = ; (f) yy e = cos 3; (g) y = y + 3y 4; (h) y sin = y ln y; (i) ( )y = y ln y; (j) y = y ln y; (k) y + ( + 5)y = ; (l) y + ( + 4y)y = ; (m) ( + y )d + ( + )dy = ; (n) ( y )dy + (y + y )d = ; (o) ( cos y)y = + sin ; (p) y = + y ; (q) y sin + sin y = ; (r) ( )y = y. 3. Keressük meg az alábbi differenciálegyenletek esetén azt a partikuláris megoldását, amelyik az adott kezdeti érték feltételt kielégíti! ( π ) y = y ln y; y() = e; (b) y sin = y ln y; y = ; e y e y = ; y() = ln ; (d) y = yy ; y ( ) =. 4. Oldjuk meg a következő, alkalmas helyettesítéssel szétválasztható változójú differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenleteket! (y )y + + y = ; (b) y = y cos y ; yy + y = ; (d) y = e y + y, (y) = ; ( 3 + 3y )y = y + y 3, y() = ; (f) y + ( + 4y)y = ; (g) dy d = + y 3y ; (h) y = (y ) ; (i) ( y) y = 5; (j) y = sin( + y).

22 5. Határozzuk meg annak a görbének az implicit egyenletét, ( amely átmegy a P (, 3) ponton, és amelynek a P (, y) ponthoz tartozó meredeksége + y )! 6. Oldjuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket! y = y ctg + sin ; (b) y + y = e ; y = 3y + ; (d) y + y tg = cos ; y + y sh = sh ; (f) y + y = e + 3e ; (g) y 3 y = ; (h) y y = e ( + 3 ); (i) y = y + y ln y; (j) ( )y = y + ( ). 7. Keressük meg az alábbi differenciálegyenletek adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! y y = ln, ln e y = ; (b) y y =, y () = ; y cos + y = tg, y() = ; (d) y + y + = +, y () = ; + y + y = + 3, y() =.

23 9. feladatlap Bernoulli-féle differenciálegyenletek. Oldjuk meg az differenciálegyenletet! y y = 4 3 y. Keressük meg az alábbi, Bernoulli-féle differenciálegyenletek áltanános megoldását! ( ) y + 4 y = 3 y ; (b) y y = y 5 ; y y = y 3 ( + ln ); (d) y + y + y = ; (g) y = y y ; (f) yy + y tg = cos ; y + y tg + y3 cos = ; (h) y + y = y. 3. Keressük meg az kezdetiérték feladat megoldását! y + y = ln, y() =, ( > ) y3 Görbesereg differenciálegyenlete, ortogonális trajektóriák 4. Írjuk fel az y = C görbesereg differenciálegyenletét! 5. Írjuk fel az + y = C görbesereg differenciálegyenletét! 6. Írjuk fel az első és a harmadik síknegyedben lévő azon körök differenciálegyenletét, amelyek érintik az y = és az = egyeneseket! 7. Határozzuk meg az y = C, C R \ {},, y parabolasereg ortogonális trajektóriáinak egyenletét! 8. Írjuk fel az y = C, C R \ {},, y görbesereg ortogonális trajektóriáinak egyenletét! 9. Írjuk fel az y = C egyenletű hiperbolák ortogonális trajektóriáinak egyenletét!

24 . Adjuk meg az = Ce y + y + egyparaméteres görbesereg ortogonális trajektóriáit az első síknegyedben! Magasabbrendű differenciálegyenletek. Oldjuk meg az alábbi, hiányos másodrendű differenciálegyenleteket! y = sin cos sin 3 ; (b) ( + sin ) y + cos = ; y (y ) + 4 = ; (d) y = y ln y ; ( )y y = ; (f) ( + )y + (y ) + = ; (g) y y = 3 ; (h) y (y + 3) (y ) = ; (i) y = y y ; (j) yy = (y ) ( y ); (k) 3y = (y ) ; (l) (y ) + yy = yy.. Határozzuk meg a következő differenciálegyenletek esetén az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást! y = e, y() =, y () = ; (b) y y = ( ), y() =, y () = ; yy (y ) =, y() =, y () = ; (d) y = y e y, y() =, y () =. 3. Oldjuk meg az alábbi, állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenleteket! y + y 3y = ; (b) y + 4y + 4y = ; y y + 5y = ; (d) y (4) 5y + 4y = ; y y + y = ; (f) 4y 4y + y = ; (g) y (5) y (4) + 8y 6y + 6y 3y =. 4. Írjuk fel az y y y =, y() =, y () = 5 differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását!

25 5. Határozzuk meg az y + y 5y + 3y =, y() =, y () = 4, y () = 4 differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását! 6. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket! y y + y = e 3 + 3e ; (b) y + 4y = sin ; y 6y + 9y = 5e sin ; (d) y + 6y + 9y = 3 sin 4; y + 4y + 4y = 5 cos ; (f) y + 5y + 4y = 3 ; (g) y + y = + ; (h) y y = 3 5; (i) y y = 3 cos + 4; (j) y (4) + y = + e ; (k) y y = + 6; (l) y (4) y = ;. 7. Oldjuk meg az differenciálegyenletet! y (5) + y = e Írjuk fel az alábbi differenciálegyenletek adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását! y + y y = e 5, y() =, y () = ; (b) y + y 6y =, y() =, y () = ; ( π ) ( π ) y y = cos, y =, y = ; 3 3 (d) y + y + y = sin, y() = 5, y () =.

26 . feladatlap Többváltozós függvények. Határozzuk meg az f(, y) = + y 4 y függvény értelmezési tartományát!. Adjuk meg az f(, y) = ln(6 y ) + ln( + y ) függvény értelmezési tartományát! 3. Határozzuk meg az f(, y) = e ln(y) függvény értelmezési tartományát! 4. Határozzuk meg, hogy R 3 mely legbővebb részhalmazán értelmezhető az függvény! f(, y, z) = z y + 4 y z 5. Ábrázoljuk az alábbi felületek által határolt testeket! z = 5 y, z = ; (b) + y + z = 9, z ; z = 6 y, z = + y ; (d) + y = 4, z =, z = 4; z = 4 y, z = 4 + y. 6. Ábrázoljuk azt a térrészt, amelyet a z = 6 + y kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol! 7. Vázoljuk az + y = egyenletű henger, az y-sík és a z = ( + y ) egyenletű paraboloid által meghatározott testet! 8. Ábrázoljuk azt a térrészt, amelyet a z = + y kúp és az + y = egyenletű henger határolnak! 9. Vázoljuk az 6 + y 9. Határozzuk meg az egyenes, és az ellipszoid metszéspontjait! = egyenletű hengert! 6 3 = y + 6 = z y 36 + z 9 =

27 . Mutassuk meg, hogy a y z = síknak és a z = 9 + y 4 közös pontja van! Adjuk meg a pont koordinátáit! paraboloidnak egyetlen. Igazoljuk, hogy lim 3y = 4. (,y) (,) 3. Határozzuk meg a határértékeket, ha léteznek! lim (,y) (,) 4. Mutassuk meg, hogy a lim 5. Határozzuk meg a határértékeket, ha léteznek! (,y) (,) lim (,y) (,) y és lim + y (,y) (,) y határérték nem létezik! + y y és lim + y (,y) (,) y + y 4 y 4 + y 4 6. Folytonossá tehető-e az origóban az f(, y) = y kétváltozós függvény? + y Parciális deriváltak 7. Határozzuk meg az alábbi függvények elsőrendű parciális deriváltjait! f(, y) = 3 + 4y y + 6; (b) f(, y) = ln ( + y ); f(, y) = y ; (d) f(, y) = + y y ; f(, y) = e y ; (f) f(, y, z) = arctg z y ; (g) f(, y) = ( y + y ) 7 ; (h) f(, y, z) = y +cos z. 8. Határozzuk meg az f y és az f yy parciális deriváltakat, ha f (, y) = 3 y 5 y 3 + 8! 9. Határozzuk meg az f (,, ) és az f yy (,, ) értékeket, ha f (, y, z) = e z y!. Igazoljuk, hogy a z = arctg y. Mivel egyenlő a kétváltozós függvény teljesíti a z + z yy = egyenlőséget! y f + y f yy kifejezés, ha f(, y) = y ln y?

28 . Mivel egyenlő az kifejezés, ha f(, y) = y + y? f + y f y 3. Mivel egyenlő a f y f y kifejezés, ha f(, y) = ln y + y? Az iránymenti derivált, a felület érintősíkja 4. Számítsuk ki az alábbi iránymenti deriváltakat! 5. f (, y) = + y ; P (, ), v = (3, 4). ( π ) (b) f (, y) = sin ( + y); P, π, v = ( 3, ). 6 f (, y) = e y ye ; P (, ), v = (, 5). (d) f (, y) = ln ln y ; P (e, e ), v = (, 5). f (, y) = + y ; P (, ), a v vektor ϕ = π szöget zár be az - tengely pozitív irányával. 3 (f) f (, y) =sh( + y)ch ( y); pozitív irányával. (g) f (, y) = irányával. (h) f (, y) = y; +y ; P (, ), a v vektor ϕ = π 4 szöget zár be az - tengely P (3, 7), a v vektor ϕ = π szöget zár be az - tengely pozitív P (, 4), a v vektor ϕ = π 6 szöget zár be az - tengely pozitív irányával. Írjuk fel az alábbi felületek esetén a felületi normálist, valamint az érintősík egyenletét a megadott pontban! f (, y) = 3 y y; P (,, ) ( π (b) z = e y sin ( + y); P 6,, ) f (, y) = ln + y ; P (,, ) (d) z = e y ; P (,, ) z = y ; P (,, 3) + y (f) yz 4z 3 = 3; P (,, ) (g) e y cos z = ; P (,, ) (h) z + z y = ; P (, 3, )

29 πy 6. Adott az f(, y) = cos kétváltozós függvény. + y Írja fel az f függvény P (, ) pontbeli gradiensét! (b) Határozza meg az f függvény iránymenti deriváltját a P (, ) ponton átmenő v = (, ) irányvektorú egyenes mentén! Írja fel a z = f(, y) felület P (, ) pontbeli érintősíkját! 7. Számítsa ki az f(, y) =arctg y függvény P (, ) pontjában az iránymenti deriváltat az a = (, 3) irányban; (b) a z = f(, y) felület P pontbeli érintősíkját! 8. Határozzuk meg az alábbi f : R R függvények Hesse-mátriát! f (, y) = 3 y + y 3 ; (b) f (, y) = e y ; f (, y) = sin (y) ; (d) f (, y) = y ; f (, y) = ln ( + y). A kétváltozós függvény szélsőértéke 9. Határozzuk meg az alábbi többváltozós skalárértékű függvények ((, y) R ) lokális szélsőértékeit! f (, y) = 3 + y + y ; (b) f (, y) = ( ) + 4 (y 3) ; f (, y) = y + e y ; (d) f (, y) = 4 3y 3 y; f (, y) = + y + y; (f) f (, y) = 3 3y + y 3 ; (g) f(, y) = + y y + 4 y + 5; (h) f(, y) = 4 + y 3 3 7y ; (i) f(, y) = y( + 4y + ). 3. Vizsgáljuk meg az f(, y) = + y + 8 8y függvényt lokális szélsőérték szempontjából! 3. Legyen f(, y) = 3 y 4 + 5y függvény adott. Hol van a függvénynek lokális maimuma vagy minimuma?

30 3. Hol van az f(, y) = 3 y + 5 y függvénynek lokális maimuma vagy minimuma? 33. Hol van lokális maimuma vagy minimuma az f(, y) = e 3 +y 3 3y függvénynek? 34. Mutassuk meg, hogy az f(, y) = ( y)( y) kétváltozós függvénynek nincs sem lokális maimuma, sem pedig lokális minimuma! 35. Adjuk meg azokat az, y, z pozitív valós számokat, amelyekre +y+z = 8 és yz maimális! 36. Határozzuk meg azokat az, y, z pozitív valós számokat, amelyekre yz = 64 és + y + z minimális! 37. Igazoljuk, hogy az adott felszínű, téglatest alakú, tetővel ellátott dobozok közül a kocka alakúnak a legnagyobb a térfogata!

31 . feladatlap. Írja fel a ( y) Kettős integrálok f, ddy kettős integrálban az integrálás határait, ha először, azután y szerint integrálunk (majd fordítva), és a T tartomány a) + y 6 ; b) + y 9, y<; c) y, + y 4 ; d) =, y =, + y = 6 egyenesek által határolt háromszög; e) y 8, y, 4 + y 4; f) y, y, y.. Vázolja az alábbi kettős integrálok integrálási tartományát: 4 4 a) f (, y) ddy ; b) (, y) = y= c) f (, ) = y= = y= π cosϕ f ddy ; y dyd ; d) f ( r, ϕ ) drdϕ. ϕ = r= 3. Cserélje fel az integrálás sorrendjét az alábbi kettős integrálokban: a) f (, y) ddy ; b) (, y) = y= 3 = 6 y= c) f (, y) ddy ; d) (, y) = y= y y= = y 4. Számítsa ki a következő kettős integrálokat: a) ( ) = y= π 4 c) = y= e) ( ) = y= 3 y ddy ; b) y sin ddy ; d) y ddy ; f) T f ddy ; f ddy. 6 4y ddy ; 4 3 = y= π y cos( + y) ddy ; y= = y ddy. + y 6 5. Számítsa ki a ( y) ddy kettős integrált, ha T az y = 3, az y = 4 görbék és az -tengely által határolt tartomány! 6. Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát, amelyet a koordinátasíkok és a z = y sík határolnak! 7. Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az + y = egyenes henger, az y sík és az + z = sík határol! T= y, : ; y tartományt! Számítsa ki a 8. Vázolja a ( ) { }

32 T (sin + y) ddy kettős integrált! 9. Számítsa ki az Aa ( ) = ddy kettős integrált, ahol T 3 a az origó T a ( + y + ) középpontú, a sugarú körtartomány. Határozza meg az így kapott Aa ( ) kifejezés határértékét, ha a!. Számítsa ki a yddy kettős integrált, ahol a T tartomány az origó T középpontú egységnyi sugarú körnek az a része, amelyre teljesül, hogy és y!. Vázolja azt a T síktartományt, amely az r = + cosϕ görbén belül és az r = körön kívül van! Számítsa ki a ddy kettős integrált! + y. Számítsa ki az alábbi felületek által határolt térrész térfogatát: a) z = 5 y, z = ; b) + y + z = 3, z = + y ; c) d) z y z y = 6, = + ; z y z y = 8, = + ; e) + y =, z = + y, z = ; f) z = 4 y, y =, z = ; g) + y = 4, z = + y +, z =. 3. Számítsa ki annak a testnek a térfogatát, amelyet a z = felületek metszenek ki az + y = 4 hengerből! T 3 z = ( + + y ) és a 4. Számítsa ki integrálszámítás segítségével az R = 3 sugarú gömb térfogatát! 5. Számítsa ki annak a térrésznek a térfogatát, amelyet a z y = 6 + kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol! 6. Legyen T az y = görbe és a + y = 3 egyenes által határolt tartomány. Határozza meg T területét kettős integrállal! 7. Számítsa ki integrálszámítás segítségével az R = 5 sugarú gömb térfogatát és felszínét! 8. Számítsa ki a következő felületek felszínét: a) 6+ 3y+ 3z =,, y, z ; b) z = y, + y 4; c) + y + z =, + y 4, z ; d) + y = 3 z, + y Számítsa ki a z = 5 y és a z = 6 felületekkel határolt test teljes felszínét!

33 . Számítsa ki annak a térrésznek a térfogatát és a teljes felszínét, amelyet a z y = 6 + kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol!. Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát és a teljes felszínét, amelyet a koordinátasíkok és a z = 6 + 3y sík határol!. Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az + y = egyenes henger, az y -sík és az + z = sík határol! 3. Határozza meg az r = + cosϕ kardioid területét kettős integrállal! 4. Határozza meg az + y + z = 4z gömb azon részének felszínét, amely a z = + y paraboloid belsejében van! 5. Számítsa ki az + y + z = 5 gömb azon részének felszínét, amely a z = és a z = 4 síkok között van! 6. Mekkora a y z = arctg felületnek az + y = 4 henger által kimetszett részének a felszíne? 7. Számítsa ki a z = 5 y felület azon részének felszínét, amely az origó közép-pontú sugarú hengeren belül van! 8. Számítsa ki a következő hármas integrálokat, és vázolja az integrációs alaptartományokat: 3 4 a) dzdyd ; b) = y= z= y c) yzdzdyd ; d) = y= z= 4 dzdyd ; = y= z= 3 y 3 y zdzdyd. = y= z=

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Matematika példatár 5.

Matematika példatár 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 5 MAT5 modul Integrálszámítás alkalmazása SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Koordinátarendszerek

Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

20. Integrálszámítás

20. Integrálszámítás 20. Integrálszámítás I. Elméleti összefoglaló Az előző fejezetben sokszögek és a kör részeinek területével foglalkoztunk. Ebben a fejezetben olyan korlátos síkidomok területét is meghatározzuk, amelyeket

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben