1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor"

Átírás

1 . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis konvergens, ha bármely ε > 0 esetén van olyan N(ε) küszöbindex, hogy minden n > m > N(ε) esetén n k=m+ a k < ε.. n 2. ( ) n n 3. n 2 Határozza meg a következ végtelen sorok összegét. Tétel. (Geometriai sor összege) Ha q <, akkor a q n sor konvergens, és q n = q n(n + ) 3 n 2 + 5n n 2 + 3n + 2 log ( n ) n 2 + 3n ( ) 2 n n+2 5 n 3 n n+4 3 n 5 n n+2 5 n 3 2n n+ + 3 n 5 n n + 2 n+ 4 n+3 5. ( 2) n+ 2 2n 3 Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából valamelyik összehasonlító kritériumot használva.

2 Tétel. (Majoráns, minoráns kritérium) Ha a a n és a b n pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indext l eltekintve érvényes az a n b n egyenl tlenség, akkor (i) ha b n konvergens, akkor a n is konvergens, és (ii) ha a n divergens, akkor b n is divergens. Tétel. Ha a n, b n > 0 minden n N esetén és a n lim = L > 0, n b n akkor a a n és b n sorok közül vagy mindkett divergens vagy mindkett konvergens. 6. ( n ) ( ) 2 n n n + 3 n 2 2n n + 5 3n n(n + ) (3n ) n + 3 n 2 n n 2 n n 3 5 n sin π n A Cauchy-ekvikonvergencia tételt használva vizsgáljuk meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle ekvikonvergencia) Ha (a n ) monoton csökken és pozitív tagú sorozat, akkor a a n, 2 n a 2 n sorok közül vagy mindkett konvergens, vagy mindkett divergens. 26. n p 27. n ln 2 n 28. n ln 3 n A hányados-, illetve gyökkritériumot használva vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. 2

3 Tétel. (Gyökkritérium) Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha <, akkor a a n sor konvergens; lim n an >, hakkor a a n sor divergens; n =, akkor a a n lehet konvergens is, és divergens is. Tétel. (Hányadoskritérium) Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, ekkor ha a <, akkor a a n sor konvergens; n+ lim >, hakkor a a n a n sor divergens; n =, akkor a a n lehet konvergens is, és divergens is n ( 2) n n+ n n 2 n 3n + n 3 + n ( ) n + n 3. 2n e n n 3 n! 2 n + ( 2 n + n) n n n! n! n n (2n ) n Tétel. (Integrálkritérium) Legyen j N rögzített és f : [j, ) R folytonos, monoton csökken és pozitív. Ekkor a j n=j f(x) dx improprius integrál konvergens. Ekkor j f(x) dx f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha az f(n) n=j j f(x) dx, illetve j f(x) dx f(n) f(j) + n=j j f(x) dx. 39. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére ε = 0.0 pontossággal. n 2 sor konvergens, és adjon 3

4 40. Az integrálkritériumot használva igazolja, hogy a becslést az összegére ε = 0.0 pontossággal. n 2 sor konvergens, és adjon + 5 A Leibniz kritériumot használva vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia, illetve abszolút konvergencia szempontjából. Tétel. (Leibniz-kritérium) Ha az (a n ) pozitív tagú szigorúan monoton csökken ( 0 < a n+ < a n ) sorozatra lim n a n = 0, akkor a sor konvergens. ( ) n a n Tétel. Abszolút konvergens sor konvergens ( ) n 2n ( ) n n 3 n n 42. ( ) n 3n + n ( ) n n + 2 n ( ) n 2n 3 n + 2 Határozza meg a következ hatványsorok konvergenciatartományát. Tétel. (Cauchy-Hadamard) A a nx n hatványsor konvergenciasugara ϱ, ahol n = lim sup an = lim sup a n+ ϱ n n a n, amennyiben a fenti határérték létezik és véges. Ha a határérték végtelen, akkor a konvergenciasugár 0, ha a határérték 0, akkor a konvergenciasugár végtelen. 46. x n n2 n 47. (n + ) 5 x 2n 2n n2 x n 49. (x + 3) n n n x n n! 5. (x 3) n n 2 2 n Határozza meg a következ függvények Taylor-sorát a megadott pontok körül. 4

5 Taylor-sor. Legyen az f : I R függvény akárhányszor dierenciálható a 0-t is tartalmazó nyitott I intervallumon. A f (k) (0) x k k! hatványsort az f függvény Taylor-sorának nevezzük. Taylor-formula. Ha az f : I R függvény (n + )-szer folytonosan dierenciálható a 0-t is tartalmazó I intervallumon, akkor minden x I esetén ahol f(x) = valamely 0 és x közötti c számra. k=0 f (k) (0) x k + R n+ (x), k! R n+ (x) = f n+ (c) (n + )! xn+ Tétel. Ha a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és f(x) = a nx n, x ( c, c), akkor az f függvény Taylor-sora a nx n, azaz f (n) (0) = a n n! (n {0,, 2,...}) 52. f(x) = x 2, x 0 = f(x) = x, x 0 = f(x) = + x 2, x 0 = f(x) = + 2x, x 0 = 56. f(x) = sin x, x 0 = Az ln ( + x) függvény Taylor-sorát felhasználva adjon becslést ln 27 értékére. 58. Határozza meg az f(x) = e x függvény 0 körüli Taylor-sorának els három tagját, majd ennek segítségével becsülje az integrált. 0 e x dx 5

6 59. A sin x függvény Taylor-sorát felhasználva adjon becslést az integrál értékére. /2 0 sin x x dx 60. Határozza meg az f(x) = e x2 /2 függvény x 0 = 0 körüli Taylor sorának els négy tagját, majd ennek segítségével adjon becslést az határozott integrálra. 2π e x2 /2 dx Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Deniáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következ képpen: Ekkor a f(x) := a n x n. (n + )a n+ x n = a + 2a 2 x + 3a 3 x hatványsor is konvergens a ( c, c) intervallumon, az f függvény dierenciálható a ( c, c) intervallumon, és f (x) = (n + )a n+ x n. (x ( c, c)). Tétel. Legyen a a n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Deniáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következ képpen: Ekkor a f(x) := a n x n. a n n + xn+ = a 0 x + a 2 x2 + a 2 3 x hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény folytonos a ( c, c) intervallumon, és f(x) dx = a n n + xn+ (x ( c, c)). 6

7 Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és legyen f(x) = a n x n, ha x ( c, c). Ha az f függvény kiterjeszthet a ( c, c] intervallumra úgy, hogy c-ben folytonos legyen, akkor a a nx n hatványsor konvergens c-ben is, és f(c) = a n c n. 6. Határozza meg az f(x) = ln ( x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a ( ) n+ n = sor összegét. 62. Határozza meg az f(x) = arctan x függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a sor összegét. ( ) n+ 2n + = Határozza meg az f(x) = ( + x) ln ( + x) függvény Taylor-sorát az a = 0 pont körül, és ezt felhasználva határozza meg a sor összegét. n=2 ( ) n+ n 2 n = Tétel. (Binomiális sorfejtés) Ha x <, akkor ( + x) α = ( ) α x n, n ahol ( ) α = n α(α )(α 2)... (α n + ), n! ( ) α =. 0 7

8 64. A binomiális sorfejtést használva határozza meg az f(x) = + x függvény a = 0 pont körüli Taylor-sorának els 4 tagját. A megfelel függvények binomiális sorfejtését felhasználva adjon becslést a következ kre A binomiális sor segítségével becsülje meg /2 0 3 x 2 + dx értékét. Fourier-sor Az f ( π, π) intervallumon integrálható függvény Fourier-sora f(x) a a n cos nx + b n sin nx, ahol és a n = π b n = π π π π π f(x) cos nx dx, n = 0,, 2,... f(x) sin nx dx, n =, 2,... Tétel. (Parseval-formula) Ha az f függvény négyzetesen integrálható a ( π, π) intervallumon, akkor π π ( ( a 2 0 f(x) 2 + a n cos nx + b n sin nx)) dx 0, (n ), továbbá érvényes az úgynevezett Parseval-formula: π f 2 (x) dx = a2 0 π π 2 + (a 2 n + b 2 n). 7. Adja meg az f(x) = x függvény Fourier-sorát, majd ennek segítségével számítsa ki a sor összegét. n 2 8

9 72. Határozza meg az f(x) = sgn x függvény Fourier-sorát. 2. Dierenciálegyenletek Oldja meg a következ szétválasztható változójú dierenciálegyenleteket, illetve kezdetiérték problémákat. Szétválasztható változójú dierenciálegyenlet. A h(y)y = g(x) típusú egyenletet szétválasztható változójú dierenciálegyenletnek nevezzük. 73. y = x y 74. xyy = x y = + y y tan x = y 77. y + yx x 78. xy = y 2 y 79. x 2 y + y = 2xy 80. y (x + 3) y + = 0 y( ) = 0 8. y y sin x = 0 y(π) = xy + y = y 2 y() = yy cos x = tan x y(π) = A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Ha a bomlás következtében a rádium mennyisége kereken 600 év alatt a felére csökken, a kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el 00 év alatt? Oldja meg a következ homogén fokszámú dierenciálegyenleteket. 9

10 Homogén fokszámú dierenciálegyenlet. Az y = f ( y x), illetve y = f ( ) x y alakú egyenleteket változóiban homogén fokszámú dierenciálegyenletnek nevezzük. Az els esetben az u = y/x, a másodikban a v = x/y helyettesítést elvégezve az u + xu = f(u), illetve v xv = g(v)v 2 szétválasztható változójú dierenciálegyenlethez jutunk. 85. xy = 2y + x 86. y y x = x2 87. x y + xy = xe y x + y xy = x 2 y = 2xy y y = x + y x y 9. x 2 y 2 + 2xyy = 0 Oldja meg a következ els rend lineáris dierenciálegyenleteket. Lineáris dierenciálegyenlet. Az y + p(x)y = q(x) alakú egyenletet lineáris dierenciálegyenletnek nevezzük. Ha q(x) = 0, akkor a lineáris dierenciálegyenletet homogénnek, különben inhomogénnek nevezzük. Tétel. Az inhomogén lineáris dierenciálegyenlet általános megoldását az y IH = y H + y p összefüggés szolgáltatja, ahol y H = cf(x) a homogén egyenlet megoldása, y p az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Konstansvariáció. Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldását y p = c(x)f(x) alakban keressük, melyet az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve c(x)-re a következ egyenletet kapjuk c (x)f(x) = q(x). 0

11 92. y + yx x = y y x = x2 94. y xy = x y + y = e x 96. xy y x + = x 97. xy + y = x ln x 98. y cos x + y sin x = 99. (x + )y y = 3x 4 + 4x 3 Határozza meg F (F )-et, ha, Laplace-transzformáció. Az f függvény Laplace-transzformáltja: L[f](s) := Deriváltakra vonatkozó szabályok: 0 f(x)e sx dt. L[f ] = sl[f] f(0), L[f ] = s 2 L[f] sf(0) f (0). 00. F (s) = 2 s 3 0. F (s) = 3 s F (s) = s s 2 2s F (s) = 7s s 2 + 3s F (s) = 3 s 6 + 6s s F (s) = 2s + s(s )(s + 2) Oldja meg a következ kezdetiérték problémákat Laplace-transzformáció segítségével. 06. y y 2y = 0 y(0) = y 2y + 5y = 8e x y(0) = 2 y (0) = 5 y (0) = y 4y + 5y = 4e 3x y(0) = y + 2y + 5y = 3e x sin x y(0) = 0 y (0) = 7 y (0) = 3 0. y + 4y = e x cos x y(0) =. y 4y = 3e x y(0) = y (0) = 0 y (0) = 5

12 3. Többváltozós valós függvények Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát. 2. f(x, y) = x 3. f(x, y) = ln ( + y) 4. x y 6. f(x, y) = y 2y + y 2 x 5. f(x, y) = x 2 + y f(x, y) = sin x cos y 8. f(x, y) = y sin x 9. f(x, y) = x 2 + y 2 Határozza meg a következ határértékeket. Derékszög és polárkoordináta-rendszer kapcsolata. x = r cos ϕ r = x 2 + y 2 y = r sin ϕ tan ϕ = y x 20. xy 2 lim (x,y) (2, ) x 2 + y 4 2. sin xy lim (x,y) (0,2) x 22. 2xy y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y lim (x,y) (0,0) xx2 x 2 + y xy 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y x + lim (x,y) (2,) y 26. xy + 2x 3y + lim (x,y) (2,) yx + x xy + 2x 3y + lim (x,y) (,) yx + x Deníció alapján határozza meg a következ függvények parciális dierenciálhányadosait a megadott helyen. 2

13 Parciális derivált. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. értelmezve van x 0 = (x 0, y 0 ) D egy környezetében. Ha a Tegyük fel, hogy f f x (x 0) = f x(x 0 ) = f x(x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy f x-szerint parciálisan dierenciálható az x 0 pontban, az f x(x 0 ) értéket pedig az f x 0 pontban vett x-szerinti parciális deriváltjának nevezzük. 28. f(x, y) = xy 2, P (2, 3) 29. f(x, y) = 2x y +, P (2, ) Totális dierenciálhatóság. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 D egy környezetében. Az f függvény (totálisan) dierenciálható az x 0 pontban, ha létezik A = (A, A 2 ) R 2 és a 0 egy V környezetében értelmezett ω : V R függvény úgy, hogy f(x) = f(x 0 ) + A (x x 0 ) + ω(x x 0 ) az x 0 egy környezetében lév minden x pontra, továbbá ω(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0. Ekkor az A = (A, A 2 ) R 2 vektort az f függvény x 0 pontban vett gradiensének nevezzük. Jelölés: f(x 0 ) = A. Totális dierenciálhatóság szükséges feltétele. Ha az f : D R 2 R függvény totálisan dierenciálható az x 0 = (x 0, y 0 ) D pontban, akkor mindkét változója szerint parciálisan is dierenciálható, továbbá ( f f(x 0 ) = x (x 0), f ) y (x 0) = ( f x(x 0 ), f y(x 0 ) ). Totális dierenciálhatóság elegend feltétele. Ha az x 0 = (x 0, y 0 ) D pont valamely környezetében az f : D R 2 R függvény mindkét parciális deriváltja létezik, továbbá az x 0 pontban folytonosak, akkor f(x, y) az x 0 pontban totálisan dierenciálható és ( f f(x 0 ) = x (x 0), f ) y (x 0) = ( f x(x 0 ), f y(x 0 ) ). 3

14 30. Deníció szerint mutassa meg, hogy az f(x, y) = x 2 + xy y 2 függvény totális dierenciálható, majd határozza meg a gradiens vektorát és parciális deriváltjait. 3. Határozza meg az f(x, y) = xy függvény parciális deriváltjait és totális dierenciálját az origóban. Határozza meg a következ függvények érint síkjának egyenletét az adott M pontokban. Érint sík egyenlete. Legyen az f(x) függvény dierenciálható az x 0 = (x 0, y 0 ) pontban. A z = f(x 0 ) + f(x 0 )(x x 0 ) egyenlet sík az f függvény (x 0, f(x 0 )) pontbeli érint síkja. 32. f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2, M(, 2) 33. f(x, y) = xy 2 2x +, M(0, 4) 34. f(x, y) = x 2 y + 2x 2 y, M(2, ) Határozza meg a következ függvények u irány szerinti deriváltját a megadott P pontban. Irány menti derivált. Legyen adott az f : D R 2 R függvény. Tegyük fel, hogy f értelmezve van x 0 = (x 0, y 0 ) D egy környezetében. Az f függvény x 0 pontban vett u ( u = ) irány szerinti deriváltja az határérték, ha létezik és véges. f u = lim h 0 f(x 0 + hu) f(x 0 ) h Tétel. Ha az f : D R 2 R függvény dierenciálható az x 0 pontban, akkor f bármely u, ( u = ) irány szerint dierenciálható x 0 -ban, és f u(x 0 ) = f(x 0 ) u 35. f(x, y) = x 2 y, P (, ), u(3, 4) ( 36. f(x, y) = x 2 xy, P (, 2), u 3 5, 4 ) 5 4

15 37. f(x, y) = 3xe y2 sin x, P (0, ), u( 2, 2) 38. f(x, y) = x tan y e xy2, P (, 0), u(, ) Határozza meg a következ függvények széls értékeit. Széls érték létezésének szükséges feltétele. Ha az f(x) : D R 2 R függvény dierenciálható az x 0 pontban, és ott lokális széls értéke van, akkor f(x 0 ) = 0. Széls érték létezésének elegend feltétele. Tegyük fel, hogy az f(x) : D R 2 R függvénynek léteznek és folytonosak a másodrend parciális deriváltjai az x 0 pont egy környezetében, továbbá f(x 0 ) = 0. Legyen Ha D(x 0 ) = f xx(x 0 ) f yy(x 0 ) [f xy(x 0 )] 2 D(x 0 ) < 0, akkor x 0 nem lokális széls értékhely; D(x 0 ) > 0 és f xx(x 0 ) > 0 akkor f-nek x 0 -ban lokális minimuma van; D(x 0 ) > 0 és f xx(x 0 ) < 0 akkor f-nek x 0 -ban lokális maximuma van. 39. f(x, y) = (x ) 2 + 2y f(x, y) = y 2 + 2x 2 y + x 2 4. f(x, y) = yx 2 /2 yx + y f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x + y 43. f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y f(x, y) = 2x 2 + y 2 2xy + 4x 2y Egy téglatest egy pontba összefutó éleinek a hossza 2. Mekkorák a lehet legnagyobb ilyen térfogatú téglatest élei? Oldja meg a következ egzakt dierenciálegyenleteket. 5

16 Egzakt dierenciálegyenlet. A P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 egyenletet egzakt dierenciálegyenletnek nevezzük, ha P y = Q x. Ekkor van olyan U(x, y) függvény, melynek totális dierenciálja du = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. 46. (2xy 3)dx + x 2 dy = dx 2 x y + 4 x y 2 dy = 0 x y 48. ( 2xy + ) ( ) x 2 dx + + y + x2 dy = (cos x x sin x + y)dx + (x cos y)dy = 0 Határozza meg az integrálási tartományt és írja fel a határokat a fordított sorrendben történ integráláshoz f(x, y) dy dx 5. 2 x 0 0 f(x, y) dy dx 52. x 2 0 x f(x, y) dy dx /x 0 f(x, y) dy dx Számítsa ki az alábbi kett s integrálokat. 54. D (x2 + 2y) dy dx, ahol D az x = 0 és az x + 2y = 2 egyenlet egyenesek által határolt háromszög x 0 2 /x 0 x 2 x + y dy dx 56. xy dy dx 58. x x 0 x 2 x 2 + 2y dy dx x + y 3 dy dx 6

17 D x2 + y 2 dy dx, ahol D az egység sugarú kör. 2xy D dy dx, ahol D az az origó középpontú körgy r, mely küls körének sugara x 2 +y 2 2, bels körének sugara pedig. 6. Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát. 62. Határozza meg az e x2 /2 integrál értékét. 4. Komplex függvénytan Mely pontokban dierenciálhatóak a következ komplex érték függvények? Komplex dierenciálhatóság. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának tolródási pontja. Az f(z) függvényt z 0 pontban dierenciálhatónak nevezzük, ha a határérték létezik és véges. f(z 0 + z) f(z 0 ) lim z 0 z 63. f(z) = zz 64. f(z) = Rez 65. f(z) = z z 2 Igazolja, hogy a következ függvények harmonikusak, majd határozza meg a harmonikus társat. Harmonikus társ keresés. A kétszer folytonosan dierenciálható u(x, y) függvényt harmonikusnak nevezzük, ha teljesíti a Laplace-egyenletet: u xx + u yy = 0. A v(x, y) függvényt az u(x, y) függvény harmonikus társának nevezzük, ha harmonikus és teljesíti a Cauchy-Riemann egyenleteket: u x = v y, u y = v x 7

18 66. u(x, y) = x 2 5xy + 3y y x 3 3xy u(x, y) = x 3 y xy 3 + 2x + 3y Határozza meg a következ kifejezések értékét. Komplex exponenciális és logaritmus függvény. Az Euler-képlet e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ felhasználásával: e z = e z (cos (arg z) + i sin (arg z)), ln z = ln z + i arg z. 69. e iπ 70. e 3+i 7. 2 i 72. ln ( + i) 73. ln ( 3i) 74. ln i 75. i i 76. Határozza meg az (z + 3 2i) dz integrál értékét, ahol L a 2i középpontú, r = L sugarú körnek az A = i, B = 2i pontjait összeköt negyed körív (A B) 77. Határozza meg az (z i) dz integrál értékét, ahol L a i középpontú, r = 2 sugarú L körnek az A = i, B = 3i pontjait összeköt fél körív (A B) 78. Határozza meg az (z i) dz integrál értékét, ahol L a i középpontú, r = 2 sugarú L körnek az A = i, B = 3i pontjait összeköt fél körív (A B) 79. Határozza meg az ( z 2 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = 3 i, B = + 2i L pontokat összeköt szakasz 80. Határozza meg az ( z + 3 2i) dz integrál értékét, ahol L az A = i, B = 2i pontokat összeköt szakasz L 8

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz

Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz Gyakorlatok Tartalomjegyzék. tavasz. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet......................................... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek................. 3.3. Lineáris els

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA

ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30. Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II. Írta: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben