Differenciálegyenletek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciálegyenletek"

Átírás

1 DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum

2 DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) egyenletet n-edrendű közönséges explicit differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyzés: Mivel a továbbiakban csak közönséges explicit differenciálegyenletekkel foglalkozunk, ezért e két jelzőt a továbbiakban nem fogjuk kiírni.

3 Elsőrendű differenciálegyenlet DE 3 Az elsőrendű (közönséges explicit) differenciálegyenletek általános alakja: y (x) f ( x, y(x) ) Másodrendű differenciálegyenlet: A másodrendű (közönséges explicit) differenciálegyenletek általános alakja: y (x) f ( x, y(x), y (x) )

4 Példa: Newton II. törvénye DE 4 m a(t) F(t,s(t), v(t)) Mivel a sebesség-idő függvény az út-idő függvény első deriváltja (v(t)s (t)), a gyorsulás-idő függvény pedig a második deriváltja (a(t)s (t)), Newton II. törvénye az út-idő függvényre egy másodrendű differenciálegyenlet: s (t) 1 m F(t,s(t),s (t)) f (t,s(t),s (t))

5 DE 5 Példa: felfüggesztett kötél Két végén felfüggesztett, hajlékony, nyújthatatlan kőtél alakját leíró függvény ( y(x) ) a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: y "(x) k 1+ y'(x)

6 DE 6 Definíció: differenciálegyenlet megoldása A ϕ : I függvény megoldásaaz y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) n-edrendű differenciálegyenletnek, ha ϕ n-szer differenciálható az I-n (x,ϕ(x), ϕ'(x),..., ϕ (n-1) (x) ) D f, ha x I ϕ (n) (x) f ( x, ϕ(x), ϕ'(x),..., ϕ (n-1) (x) ), ha x I.

7 Definíció: kezdeti érték probléma DE 7 Legyen (x 0,y 0,...,y n-1 ) D. Az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) d.e.-re vonatkozó kezdeti érték problémán azt a feladatot értjük, amikor az egyenletnek azokat a ϕ : I megoldásait keressük, melyekre: x 0 I ϕ(x 0 ) y 0, ϕ (x 0 ) y 1, ϕ (x 0 ) y, ϕ (n-1) (x 0 ) y n-1 Megjegyzés A feltételek száma azonos a d.e. rendjével.

8 Tétel DE 8 Ha a differenciálegyenletben szereplő f függvény folytonos, akkor az k.é.p.-nak van megoldása. Tétel Ha a differenciálegyenletben szereplő f függvény folytonosan differenciálható (azaz az f összes elsőrendű parciális derivált függvénye folytonos), akkor a k.é.p.- nak pontosan egy megoldása van.

9 Iránymező DE 9 y'(x) y(x) + x -x P 1 (-1,-1) x -1, y -1 y 1 P (,0) x, y 0 y A megoldásfüggvények: y(x) c e x x x 1, c

10 DE 10 y(x) c e x x x 1, c Az y(0)0 kezdeti értéknek megfelelő megoldásfüggvény: c e c 1 y(x) e x x x 1

11 DE 11 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Ha a g:]a,b[ és a h:]c,d[ függvények folytonosak, akkor az y'(x) g ( x ) h(y(x) ) típusú elsőrendű differenciálegyenleteket szétválasztható változójú (vagy szeparábilis) differenciálegyenleteknek nevezzük.

12 DE 1 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldásának formális lépései y (x) g(x) h(y(x)) dy g(x) h(y) dx Példa: y (x) x (y dy x (y 1) dx + 1 dy g(x)dx dy y + 1 h(y) 1 (x) + 1) x dx

13 DE 13 Példa: y'(x) xy (x) +x, y(0) 1. y (x) x (y (x) + 1) dy x (y 1) dx + 1 dy x dx y + 1 arctg y x + c x y(x) tg + c A k.é.p. megoldása: π y(0) 1 tg c 1 c 4 y(x) tg x + π 4

14 DE 14 Megjegyzések 1. A fenti módszerrel általában csak implicit alakban kaphatók meg a megoldásfüggvények.. A differenciálegyenlet formális megoldása után meg kell vizsgálni, hogy a kapott függvény hol értelmezhető, és mely intervallumokon lesz ténylegesen megoldása az egyenletnek. Az előző példában kapott függvény megoldása a d.e.-nek minden olyan intervallumon, melyet az x halmaz tartalmaz. x + π 4 π + kπ, k Z

15 DE 15 Megjegyzés Az y (x) f (x,y(x)) típusú differenciálegyenletek között speciális esetként szerepelnek a legegyszerűbb elsőrendű egyenletek az y (x) f (x) típusú differenciálegyenletek. Itt a megoldásfüggvények az f határozatlan integrál függvényei. Példa y (x) x x y(x) (x x)dx x 3 3 x + c

16 DE 16 Példa 10 C-os test hőmérséklete 30 C-os környezeti hőmérséklet mellett 10 perc alatt 60 C-ra csökkent. Mennyi idő alatt csökken a test hőmérséklete 40 C-ra? A kérdés megválaszolásához meg kell határozni a hűlést jellemző hőmérséklet-idő függvényt. Jelölje T a hőmérsékletet, t az időt! Azzal a legegyszerűbb feltevéssel élve, hogy a hűlés sebessége csak a kenyér és a környezet hőmérsékletkülönbségétől függ, mégpedig azzal egyenesen arányos azt kapjuk, hogy: T(t) t k (T(t) 30) ahol k az anyagra jellemző állandó.

17 DE 17 A t 0 határértéket véve: lim t 0 T(t) t lim t 0 ( k (T(t) 30) ) dt dt k (T 30) vagyis a T(t) függvényre egy elsőrendű szétválasztható változójú differenciálegyenletet kaptunk. Ennek megoldása: 1 dt T 30 k ln( T 30) kt + 1dt c T(t) e kt + c + 30

18 DE 18 A k és a c konstansok értéke a feladatban közölt információk alapján meghatározható. A T(0)10 és a T(10)60 feltételekből a következő egyenletrendszer adódik: T(0) 10 I. 60 e -10k+c + 30 T(10) 60 II. 10 e c + 30 c ln 90, k ( ln 3 ) / 10 Így a feladat megoldása: T(t) e ln 3 t + ln

19 DE 19 T(t) e ln 3 t + ln A feladat jellegéből adódóan t [0,+ ). Mennyi idő alatt csökken a test hőmérséklete (a kezdeti 10 C ról) 40 C -ra? 40 e ln 3 t + ln t 0 (perc).

20 DE 0 Lineáris differenciálegyenletek Definíció Ha a g 0, g 1,, g n-1, h : I függvények folytonosak, akkor az y (n) (x) + g n-1 (x)y (n-1) (x) + + g (x)y"(x) + +g 1 (x)y (x) + g 0 (x)y(x) h(x) d.e.-et n-edrendű lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük.

21 DE 1 Definíció Ha h(x) 0, akkor homogén, különben inhomogén lineáris egyenletről beszélünk. Megjegyzések 1. Ha egy inhomogén egyenletben a h függvény helyébe a konstans 0 függvényt írjuk, akkor inhomogén egyenlet homogén megfelelőjét kapjuk. A későbbiekben látni fogjuk, hogy az inhomogén egyenletek megoldásai szoros kapcsolatban állnak a homogén megfelelő megoldásaival.. Az alkalmazások szempontjából a lineáris differenciálegyenletek a legfontosabbak közé tartoznak.

22 DE Példák lineáris differenciálegyenletre 1. NEWTON II. EGYENLET - CSILLAPÍTOTT EZGÉS Egy D rugóállandójú rugóhoz rögzített m tömegű test rezgésének kitérés-idő függvénye ( y(t) ), a sebességgel arányos közegellenállás esetén (arányossági tényező: f)a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: f D y "(t) + y'(t) + y(t) m m 0

23 DE 3 Példák lineáris differenciálegyenletre. SOOS -L-C KÖ Konstans U 0 feszültség rákapcsolásával a körben kialakuló áramerősség függvény ( i(t) ) a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: 1 i "(t) + i'(t) + i(t) L CL 0

24 A lineáris differenciálegyenletek megoldásairól DE 4 Definíció: lineárisan független függvényrendszer A {ϕ 1, ϕ,, ϕ n } függvényrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha a rendszer egyik elemét sem lehet a többi elem lineáris kombinációjaként előállítani. Tétel: homogén lineáris differenciálegyenlet alaprendszere Minden n-edrendű a lineáris homogén differenciálegyenletek létezik n darab olyan megoldásfüggvénye, melyek lineárisan független rendszert alkotnak. Egy ilyen {ϕ 1, ϕ,, ϕ n } függvényrendszert a lineáris homogén differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük.

25 DE 5 Definíció: a homogén egyenlet általános megoldása Ha a {ϕ 1,ϕ,,ϕ n } függvényrendszer egy lineáris homogén differenciálegyenlet alaprendszere, akkor e függvények bármely c 1 ϕ 1 +c ϕ + +c n ϕ n lineáris kombinációja szintén megoldása az egyenletnek. E függvények összességét (ami végtelen sok függvényt tartalmaz) nevezzük a lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának: y H c 1 ϕ 1 +c ϕ + +c n ϕ n, c 1, c, c n

26 Definíció: az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása DE 6 Egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet egy konkrét megoldásfüggvényét partikuláris megoldásnak nevezzük. Tétel: az inhomogén egyenlet általános megoldása Ha y H egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet homogén megfelelőjének általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása, akkor az inhomogén egyenlet megoldásai éppen az y IH y H + y p alakú függvények. E függvények összességét a lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük.

27 DE 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Ha a h:i és a g:i függvények folytonosak, akkor az y'(x) + g(x) y(x) h(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén d.e.-nek, az y'(x) + g(x) y(x) 0 egyenletet elsőrendű lineáris homogén d.e.-nek nevezzük.

28 A homogén egyenlet megoldása DE 8 Tétel: Az y'(x) + g(x) y(x) 0 homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása: y H (x) c e g(x) dx, c Példa: y'(x) x y(x) 0 g(x) -x y H (x) c e g(x)dx c e x dx c e x

29 DE 9 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Az y'(x) + g(x) y(x) h(x) differenciálegyenletet egy konkrét megoldását partikuláris megoldásnak nevezzük. Az y'(x) + g(x) y(x) h(x) inhomogén lineáris differenciálegyenletet általános megoldása: y IH y H + y p ahol y H az y'(x) + g(x) y(x) 0 egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása.

30 DE 30 A partikuláris megoldás meghatározása konstansvariálással Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldásának meghatározására több módszert ismert. Ezek közül itt a ún. konstansvariálás módszert mutatjuk be, mely a homogén megfelelő általános megoldásának ismeretében szolgáltatja az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását.

31 DE 31 A konstansvariálás lépései y H (x) ce g(x) dx y p (x) k(x) e y'(x) + g(x) y(x) h(x) g(x) dx k (x) e g(x) dx + k(x) e g(x) dx ( g(x)) + g(x) k(x) e g(x) dx h(x) k (x) e g(x) dx h(x) k (x) h(x) e g(x) dx k(x) g(x) dx h(x) e dx y p

32 Példa IH H DE 3 y'(x) x y(x) x 3, y(0) 1 g(x) -x h(x) x 3 y'(x) x y(x) 0 y H (x) ce g(x) dx y H (x) x x ce y p (x) k(x) e IH k (x) e x x 3 k (x) x 3 e x k(x) x x 3 x e dx (x + ) e y p

33 DE 33 y p (x) k(x) e x (x + ) e x e x (x + ) y IH (x) y H (x) + y p (x) c e x (x + ) A k.é.p. megoldása: y (0) 1 c 1 c 3 x + y(x) 3 e (x )

34 DE 34 Példa: soros -C kör konstans feszültséggel Kérdés: soros -C körre U 0 konstans feszültséget kapcsolva a körben folyó áram erőssége hogyan függ az időtől? Az áramerősség-idő függvény a következő elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletnek tesz eleget: 1 i '(t) + i(t) C 0 A feszültség rákapcsolásakor az áramerősség: U0 i(0)

35 DE 35 Ennek általános megoldása: i(t) i H (t) ce 1 C A kezdeti értéket figyelembe véve: U0 i(0) A probléma megoldása: dt ce U0 c 1 t C i(t) U 0 e 1 C dt

36 DE 36 Példa: soros -L kör konstans feszültséggel Kérdés: soros -L körre U 0 konstans feszültséget kapcsolva a körben folyó áram erőssége hogyan függ az időtől? Az áramerősség-idő függvény a következő elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek tesz eleget: U0 i'(t) + i(t) L L A feszültség rákapcsolásakor az áramerősség 0. Ezt az i(0) 0 kezdeti érték feltétellel lehet figyelembe venni.

37 Az egyenlet homogén megfelelője: Ennek általános megoldása: i '(t) + i(t) L 0 DE 37 i H (t) ce L dt ce t L Az eredeti (inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása: i p (t) k(t) e t L a k függvényt konstansvariálással határozzuk meg:

38 DE 38 t L 0 e L U k'(t) L U e '(t) k 0 t L t L 0 t L 0 t L 0 e U L e U dt e U k(t) Ebből a partikuláris megoldás: U e e U e k(t) (t) i 0 t L t L 0 t L p Az inhomogén egyenlet általános megoldása pedig: U e c (t) i (t) i (t) i 0 t L p H IH + +

39 t U L 0 iih (t) ih (t) + ip(t) ce + DE 39 i(0) 0 U0 0 c + U0 c A probléma megoldása: i(t) U t 0 U + 0 U L 0 L e 1 e t

40 DE 40 Példa: soros -L kör váltakozó feszültséggel A Sorosan kapcsolunk egy ellenállást, egy L induktivitású tekercset és egy Usin(ωt) függvény szerint időben változó feszültségforrást. Határozzuk meg az áramerősséget az idő függvényében tudván, hogy a t0 időpillanatban az áramerősség nulla, azaz i(0)0. A fizikából ismeretes, hogy a feladatban leírt esetben az áramerősség-idő függvény (i(t)) eleget tesz az L di(t) dt + i(t) Usin( ωt) d.e.-nek. Az egyenletet elosztva L-lel az

41 IH i'(t) + L i(t) U L sin( ωt) lineáris inhomogén d.e.-hez jutunk, ahol Az H i '(t) + i(t) L 0 g (t) L h(t) U L DE 41 sin( ωt) homogén egyenlet általános megoldása: i H (t) c e g(t)dt c e L dt c e L t

42 DE 4 A konstansvariálás módszert alkalmazva az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását c(x) e alakban keressük. Ezt a függvényt az inhomogén egyenletbe helyettesítve a c függvényre a L t c'(t) U L sin( ωt) L e t d.e. adódik. Ebből (a parciális integrálási módszert alkalmazva): c(t) U sin( ωt) e L L t dt U L ω ( sin ωt Lωcosωt) e L t

43 DE 43 Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása: L T U ip(t) c(t) e L ω ( sin ωt Az inhomogén egyenlet általános megoldása: Lωcosωt) T U iih(t) ih(t) + ip(t) c e + L ω L ( sin ωt Lωcosωt) A k.é.p. megoldása: i(t) L U t (Lωe + sin ωt Lωcosωt) L ω

44 DE 48 Néhány másodrendű differenciálegyenlet-típus megoldása y (x) f ( x, y(x), y (x) ) y (x) f ( x, y (x) ) típusú differenciálegyenletek Ha I és J intervallumok, f:i J függvény, akkor az folytonos y"(x) f ( x, y'(x) ) alakú d.e.-ek megoldása a p(x) y'(x) jelöléssel visszavezethető két elsőrendű d.e. megoldására az alábbiak szerint:

45 DE 49 y (x) f ( x, y (x) ) y (x) p(x) y (x) p (x) I. p (x) f(x,p(x)) II. y (x) p(x) p(x) y(x)

46 DE 50 Példa: y"(x) y'(x) + e x, y'(0)1, y(0)1 y"(x) y'(x) + e x y (x) p(x) y (x) p (x) I. p'(x) p(x) e x (elsőrendű lineáris inhomogén d.e.) p p H p (x) (x) 1dx x c1 e c1 e k (x) 1 k(x) x k(x) e x p p (x) x e x x p(x) c 1 e x +xe x k (x) e e x

47 DE 51 II. y'(x) c 1 e x +xe x y(x) ( xe x +c 1 e x ) dx (x+c 1 ) e x dx ( x 1+c 1 ) e x +c A k.é.p. megoldása: y (x) (x+c 1 )e x y'(0) 1 c 1 1 y(x) ( x 1+c 1 ) e x +c y(0) 1 c 1 y(x) x e x +1

48 DE 5 Megjegyzés: Az y (x) f (x,y (x)) típusú differenciálegyenletek között speciális esetként szerepelnek a legegyszerűbb másodrendű egyenletek az y (x) f (x) típusú differenciálegyenletek. A előbbiekben leírt megoldási módszert követve látható, hogy két y (x)f(x) típusú egyenletet kell megoldani, azaz két integrálással eredményre lehet jutni.

49 Példa: y "(x) x, y(1) 4, y'(1) y'(x) 3 3 x dx x + c1 x c1 DE y (x) x + c 1 dx x + c1 x + c x + c1 x y '(1) 1 + c y (1) c Az k.é.p. megoldása: 5 y(x) x x + c 1 c c

50 Példa: Newton II. törvénye konstans erőhatás esetén DE 54 m s (t) F 0 F0 s (t) m F0 F0 v (t) s'(t) dt t + c1 m m F0 F0 t s (t) t + c1 dt + c1 t + c m m Kezdeti értékek: kezdeti hely: kezdeti sebesség: s(0)s 0 v(0)v 0 v(0)v 0 c 1 v 0 s(0)s 0 c s 0 Megoldás: F t a s (t) + m v s 0 t + s0 t + v0 t 0

51 DE 55 Másodrendű lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek Ha h:i folytonos függvény, b,c, akkor az y"(x) + by'(x) + cy(x) h(x) egyenletet másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén d.e.-nek, az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenletet másodrendű lineáris konstansegyütthatós homogén d.e.-nek nevezzük.

52 DE 56 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Ha y 1 :I és y :I függvények az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet lineárisan független megoldása, akkor az {y 1,y } függvényrendszert a d.e. alaprendszerének nevezzük. Ha { y 1, y } az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 homogén egyenlete alaprendszere, akkor az egyenlet általános megoldása: y H c 1 y 1 +c y.

53 DE 57 Homogén egyenlet alaprendszerének és általános megoldásának meghatározása Definíció: karakterisztikus egyenlet Az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ +b λ+c0 A karakterisztikus egyenlet megoldásainak ismeretében a homogén d.e. alaprendszere és így az általános megoldása is meghatározható a következők szerint:

54 Tétel: DE 58 Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek két különböző megoldása van: λ 1 és λ, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: { λ e x x } 1, e λ általános megoldása pedig: y H (x) λ1x λx c1 e + c e c 1,c

55 DE 59 Példa: y"(x) + 3 y'(x) + y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ + 3λ + 0 Gyökei: λ 1 -, λ -1 Alaprendszer: { e -x, e -x } Általános megoldás: y H c 1 e -x +c e -x, c 1,c

56 Tétel: Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek egy megoldása van: λ, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: DE 60 { x x } e λ, x e λ általános megoldása pedig: y H (x) 1 λx λx c e + c x e c 1,c

57 DE 61 Példa: y"(x) - 8y'(x) + 16y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ -8λ Gyöke: λ 4 Alaprendszer: { e 4x,xe 4x } Általános megoldás: y H c 1 e 4x +c x e 4x, c 1,c

58 Tétel: DE 6 Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek nincs megoldása, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: { e ux sin(vx), e ux cos(vx) } általános megoldása pedig: y H (x) c 1 e ux sin(vx) + c e ux cos(vx) c 1,c ahol u b v 4c b

59 DE 63 Példa: y"(x) + 6y'(x) + 34y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ +6λ Gyöke: nincs, u -3, v 5 Alaprendszer: { e -3x sin(5x), e -3x cos(5x) } Általános megoldás: y H c 1 e -3x sin(5x) + c e -3x cos(5x), c 1,c

60 DE 64 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Az y"(x) + by'(x) + cy(x) h(x) másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén differenciál-egyenletet általános megoldása: y IH y H + y p ahol y H az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása.

61 DE 65 Partikuláris megoldás meghatározása konstansvariálással Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldásának meghatározására több módszert ismert. Ezek közül itt a ún. konstansvariálás módszert mutatjuk be, mely a homogén megfelelő általános megoldásának ismeretében szolgáltatja az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását.

62 A konstansvariálás lépései y H (x) c 1 y 1 (x) + c y (x) DE 66 y p (x) k 1 (x) y 1 (x) + k (x) y (x) A k 1 és a k függvények meghatározása: a I. k 1 '(x) y 1 (x) + k '(x) y (x) 0 II. k 1 '(x) y 1 '(x) + k '(x) y '(x) h(x) egyenletrendszerből a k 1 ' és a k ' derivált függvények egyértelműen kiszámíthatók (például a Cramer szabállyal), ezekből pedig integrálással kapjuk az ismeretlen k 1 és k függvényeket.

63 A Cramer-szabállyal számolva: DE 67 I. k 1 '(x)y 1 (x) + k '(x)y (x) 0 II. k 1 '(x)y 1 '(x) + k '(x)y '(x) h(x) D(x) y det y 1 1 (x) '(x) y y (x) '(x) k k 0 y (x) y1(x) 0 D (x) det 1 h(x) y '(x) D (x) det y1'(x) h(x) '(x) D1(x) D1(x) k1(x) dx D(x) D(x) y ky +k y p '(x) D (x) D(x) k (x) D (x) D(x) dx y IH y H +y p

64 Példa: y"(x) + y(x) x IH DE 68 y"(x) + y(x) 0 H A karakterisztikus egyenlet: λ +1 0 Gyöke nincs, u 0, v 1 A homogén egyenlet általános megoldása: y H c 1 sin x + c cos x, c 1,c y p k 1 (x) sin x + k (x) cos x

65 I. k 1 '(x) sin x + k '(x) cos x 0 DE 69 II. k 1 '(x) cos x + k '(x) (-sin x) x D(x) sin x det cos x cos x sin x 1 D D (x) 0 cos x D1(x) det x cos x k1'(x) x cos x x sin x D(x) 1 (x) sin x 0 D (x) det x sin x k '(x) x sin x cos x x D(x)

66 DE 70 D (x) D1(x) k '(x) x sin x k1'(x) x cos x D(x) D(x) D1(x) k1(x) dx x cos x dx x cos x + (x D(x) )sin x D (x) k (x) dx x sin x dx x sin x + (x D(x) ) cos x y p (x) k 1 (x) y 1 (x) + k (x) y (x) [xcos x + (x -)sin x]sin x + [-xsin x + (x -)cos x]cos x (x -) y IH (x) y H (x)+y p (x) c 1 sinx + c cosx + x -, c 1,c.

67 Példa: harmonikus rezgés DE 71 Határozzuk meg egy D rugóállandójú rugóhoz rögzített m tömegű test rezgésének kitérés-idő függvényét! Jelölje y az egyensúlyi helyzettől való kitérést, t az időt! A D rugóállandójú rugó a testre az y kitéréssel arányos húzóerőt fejt ki: F -Dy. Így a Newton-egyenlet alakja: y"(t) Dy(t) D y "(t) + y(t) 0 m m ami egy másodrendű lineáris konstansegyütthatós d.e.

68 A karakterisztikus egyenlet λ + D m melynek D/m>0 miatt nincs valós gyöke. 0 DE 7 u 0, v D m így az egyenlet általános megoldása: D D (t) c + 1 sin t c cos t m m yh

69 DE 73 Ha a t0 időpillanatbeli kitérés y 0, a sebesség v 0, azaz a k.é.p. megoldása: y(0) y 0, y'(0) v 0, m c1 v0 c D y 0 m D D y(t) v + 0 sin t y0 cos t D m m

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény. 8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés)

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,

Részletesebben

4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)

4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta) 4. Konzultáció: Periodikus jelek soros és tagokon, komplex ellenállás észlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 203. november 3. A jegyzetről Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza.

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

3. Elsőrendű differenciálegyenletek

3. Elsőrendű differenciálegyenletek 32 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009 3. Elsőrendű differenciálegyenletek 3.1. Alapvető fogalmak Differenciálegyenleten egy olyan egyenletet értünk, amelyben a keresett ismeretlen egy függvény, és a függvény

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele

Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Dierenciálegyenletek Jegyzet. Eisner Tímea Pécsi Tudományegyetem

Dierenciálegyenletek Jegyzet. Eisner Tímea Pécsi Tudományegyetem Dierenciálegyenletek Jegyzet Eisner Tímea Pécsi Tudományegyetem Matematika BSc szakos hallgatóknak 0 Tartalomjegyzék El szó 5. A dierenciálegyenlet fogalma 7. Közönséges dierenciálegyenletek.. Els rend

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Dierenciálegyenletek felállítása és megoldása zikai példákon keresztül

Dierenciálegyenletek felállítása és megoldása zikai példákon keresztül Dierenciálegyenletek felállítása és megoldása zikai példákon keresztül Rujp Veronika Matematika BSC Szakdolgozat Témavezet : Gémes Margit m szaki gazdasági tanár Analízis Tanszék Budapest,2013 Tartalomjegyzék

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

5. Differenciálegyenlet rendszerek

5. Differenciálegyenlet rendszerek 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Kurics Tamás email: kuricst@cs.elte.hu Földtudomány BSc szakos hallgatók számára Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF - Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II.

KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Írta: SZALKAI ISTVÁN DÓSA GYÖRGY KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag COPYRIGHT: 6, Dr. Szalkai István, Dr. Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék

Részletesebben

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika

rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó

Részletesebben

A fluxióelmélet. Az eredeti összefüggés y=5x 2

A fluxióelmélet. Az eredeti összefüggés y=5x 2 A fluxióelmélet Nézzük miről is szól valójában ez a fluxióelmélet. Newton elméletének első zseniális meglátása az, hogy vegyük alapul az időt, mint változót és minden mást ennek függvényében írjunk le.

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30. Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben