Differenciálegyenletek

Save this PDF as:
Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciálegyenletek"

Átírás

1 DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum

2 DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) egyenletet n-edrendű közönséges explicit differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyzés: Mivel a továbbiakban csak közönséges explicit differenciálegyenletekkel foglalkozunk, ezért e két jelzőt a továbbiakban nem fogjuk kiírni.

3 Elsőrendű differenciálegyenlet DE 3 Az elsőrendű (közönséges explicit) differenciálegyenletek általános alakja: y (x) f ( x, y(x) ) Másodrendű differenciálegyenlet: A másodrendű (közönséges explicit) differenciálegyenletek általános alakja: y (x) f ( x, y(x), y (x) )

4 Példa: Newton II. törvénye DE 4 m a(t) F(t,s(t), v(t)) Mivel a sebesség-idő függvény az út-idő függvény első deriváltja (v(t)s (t)), a gyorsulás-idő függvény pedig a második deriváltja (a(t)s (t)), Newton II. törvénye az út-idő függvényre egy másodrendű differenciálegyenlet: s (t) 1 m F(t,s(t),s (t)) f (t,s(t),s (t))

5 DE 5 Példa: felfüggesztett kötél Két végén felfüggesztett, hajlékony, nyújthatatlan kőtél alakját leíró függvény ( y(x) ) a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: y "(x) k 1+ y'(x)

6 DE 6 Definíció: differenciálegyenlet megoldása A ϕ : I függvény megoldásaaz y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) n-edrendű differenciálegyenletnek, ha ϕ n-szer differenciálható az I-n (x,ϕ(x), ϕ'(x),..., ϕ (n-1) (x) ) D f, ha x I ϕ (n) (x) f ( x, ϕ(x), ϕ'(x),..., ϕ (n-1) (x) ), ha x I.

7 Definíció: kezdeti érték probléma DE 7 Legyen (x 0,y 0,...,y n-1 ) D. Az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) d.e.-re vonatkozó kezdeti érték problémán azt a feladatot értjük, amikor az egyenletnek azokat a ϕ : I megoldásait keressük, melyekre: x 0 I ϕ(x 0 ) y 0, ϕ (x 0 ) y 1, ϕ (x 0 ) y, ϕ (n-1) (x 0 ) y n-1 Megjegyzés A feltételek száma azonos a d.e. rendjével.

8 Tétel DE 8 Ha a differenciálegyenletben szereplő f függvény folytonos, akkor az k.é.p.-nak van megoldása. Tétel Ha a differenciálegyenletben szereplő f függvény folytonosan differenciálható (azaz az f összes elsőrendű parciális derivált függvénye folytonos), akkor a k.é.p.- nak pontosan egy megoldása van.

9 Iránymező DE 9 y'(x) y(x) + x -x P 1 (-1,-1) x -1, y -1 y 1 P (,0) x, y 0 y A megoldásfüggvények: y(x) c e x x x 1, c

10 DE 10 y(x) c e x x x 1, c Az y(0)0 kezdeti értéknek megfelelő megoldásfüggvény: c e c 1 y(x) e x x x 1

11 DE 11 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Ha a g:]a,b[ és a h:]c,d[ függvények folytonosak, akkor az y'(x) g ( x ) h(y(x) ) típusú elsőrendű differenciálegyenleteket szétválasztható változójú (vagy szeparábilis) differenciálegyenleteknek nevezzük.

12 DE 1 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldásának formális lépései y (x) g(x) h(y(x)) dy g(x) h(y) dx Példa: y (x) x (y dy x (y 1) dx + 1 dy g(x)dx dy y + 1 h(y) 1 (x) + 1) x dx

13 DE 13 Példa: y'(x) xy (x) +x, y(0) 1. y (x) x (y (x) + 1) dy x (y 1) dx + 1 dy x dx y + 1 arctg y x + c x y(x) tg + c A k.é.p. megoldása: π y(0) 1 tg c 1 c 4 y(x) tg x + π 4

14 DE 14 Megjegyzések 1. A fenti módszerrel általában csak implicit alakban kaphatók meg a megoldásfüggvények.. A differenciálegyenlet formális megoldása után meg kell vizsgálni, hogy a kapott függvény hol értelmezhető, és mely intervallumokon lesz ténylegesen megoldása az egyenletnek. Az előző példában kapott függvény megoldása a d.e.-nek minden olyan intervallumon, melyet az x halmaz tartalmaz. x + π 4 π + kπ, k Z

15 DE 15 Megjegyzés Az y (x) f (x,y(x)) típusú differenciálegyenletek között speciális esetként szerepelnek a legegyszerűbb elsőrendű egyenletek az y (x) f (x) típusú differenciálegyenletek. Itt a megoldásfüggvények az f határozatlan integrál függvényei. Példa y (x) x x y(x) (x x)dx x 3 3 x + c

16 DE 16 Példa 10 C-os test hőmérséklete 30 C-os környezeti hőmérséklet mellett 10 perc alatt 60 C-ra csökkent. Mennyi idő alatt csökken a test hőmérséklete 40 C-ra? A kérdés megválaszolásához meg kell határozni a hűlést jellemző hőmérséklet-idő függvényt. Jelölje T a hőmérsékletet, t az időt! Azzal a legegyszerűbb feltevéssel élve, hogy a hűlés sebessége csak a kenyér és a környezet hőmérsékletkülönbségétől függ, mégpedig azzal egyenesen arányos azt kapjuk, hogy: T(t) t k (T(t) 30) ahol k az anyagra jellemző állandó.

17 DE 17 A t 0 határértéket véve: lim t 0 T(t) t lim t 0 ( k (T(t) 30) ) dt dt k (T 30) vagyis a T(t) függvényre egy elsőrendű szétválasztható változójú differenciálegyenletet kaptunk. Ennek megoldása: 1 dt T 30 k ln( T 30) kt + 1dt c T(t) e kt + c + 30

18 DE 18 A k és a c konstansok értéke a feladatban közölt információk alapján meghatározható. A T(0)10 és a T(10)60 feltételekből a következő egyenletrendszer adódik: T(0) 10 I. 60 e -10k+c + 30 T(10) 60 II. 10 e c + 30 c ln 90, k ( ln 3 ) / 10 Így a feladat megoldása: T(t) e ln 3 t + ln

19 DE 19 T(t) e ln 3 t + ln A feladat jellegéből adódóan t [0,+ ). Mennyi idő alatt csökken a test hőmérséklete (a kezdeti 10 C ról) 40 C -ra? 40 e ln 3 t + ln t 0 (perc).

20 DE 0 Lineáris differenciálegyenletek Definíció Ha a g 0, g 1,, g n-1, h : I függvények folytonosak, akkor az y (n) (x) + g n-1 (x)y (n-1) (x) + + g (x)y"(x) + +g 1 (x)y (x) + g 0 (x)y(x) h(x) d.e.-et n-edrendű lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük.

21 DE 1 Definíció Ha h(x) 0, akkor homogén, különben inhomogén lineáris egyenletről beszélünk. Megjegyzések 1. Ha egy inhomogén egyenletben a h függvény helyébe a konstans 0 függvényt írjuk, akkor inhomogén egyenlet homogén megfelelőjét kapjuk. A későbbiekben látni fogjuk, hogy az inhomogén egyenletek megoldásai szoros kapcsolatban állnak a homogén megfelelő megoldásaival.. Az alkalmazások szempontjából a lineáris differenciálegyenletek a legfontosabbak közé tartoznak.

22 DE Példák lineáris differenciálegyenletre 1. NEWTON II. EGYENLET - CSILLAPÍTOTT EZGÉS Egy D rugóállandójú rugóhoz rögzített m tömegű test rezgésének kitérés-idő függvénye ( y(t) ), a sebességgel arányos közegellenállás esetén (arányossági tényező: f)a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: f D y "(t) + y'(t) + y(t) m m 0

23 DE 3 Példák lineáris differenciálegyenletre. SOOS -L-C KÖ Konstans U 0 feszültség rákapcsolásával a körben kialakuló áramerősség függvény ( i(t) ) a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: 1 i "(t) + i'(t) + i(t) L CL 0

24 A lineáris differenciálegyenletek megoldásairól DE 4 Definíció: lineárisan független függvényrendszer A {ϕ 1, ϕ,, ϕ n } függvényrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha a rendszer egyik elemét sem lehet a többi elem lineáris kombinációjaként előállítani. Tétel: homogén lineáris differenciálegyenlet alaprendszere Minden n-edrendű a lineáris homogén differenciálegyenletek létezik n darab olyan megoldásfüggvénye, melyek lineárisan független rendszert alkotnak. Egy ilyen {ϕ 1, ϕ,, ϕ n } függvényrendszert a lineáris homogén differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük.

25 DE 5 Definíció: a homogén egyenlet általános megoldása Ha a {ϕ 1,ϕ,,ϕ n } függvényrendszer egy lineáris homogén differenciálegyenlet alaprendszere, akkor e függvények bármely c 1 ϕ 1 +c ϕ + +c n ϕ n lineáris kombinációja szintén megoldása az egyenletnek. E függvények összességét (ami végtelen sok függvényt tartalmaz) nevezzük a lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának: y H c 1 ϕ 1 +c ϕ + +c n ϕ n, c 1, c, c n

26 Definíció: az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása DE 6 Egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet egy konkrét megoldásfüggvényét partikuláris megoldásnak nevezzük. Tétel: az inhomogén egyenlet általános megoldása Ha y H egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet homogén megfelelőjének általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása, akkor az inhomogén egyenlet megoldásai éppen az y IH y H + y p alakú függvények. E függvények összességét a lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük.

27 DE 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Ha a h:i és a g:i függvények folytonosak, akkor az y'(x) + g(x) y(x) h(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén d.e.-nek, az y'(x) + g(x) y(x) 0 egyenletet elsőrendű lineáris homogén d.e.-nek nevezzük.

28 A homogén egyenlet megoldása DE 8 Tétel: Az y'(x) + g(x) y(x) 0 homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása: y H (x) c e g(x) dx, c Példa: y'(x) x y(x) 0 g(x) -x y H (x) c e g(x)dx c e x dx c e x

29 DE 9 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Az y'(x) + g(x) y(x) h(x) differenciálegyenletet egy konkrét megoldását partikuláris megoldásnak nevezzük. Az y'(x) + g(x) y(x) h(x) inhomogén lineáris differenciálegyenletet általános megoldása: y IH y H + y p ahol y H az y'(x) + g(x) y(x) 0 egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása.

30 DE 30 A partikuláris megoldás meghatározása konstansvariálással Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldásának meghatározására több módszert ismert. Ezek közül itt a ún. konstansvariálás módszert mutatjuk be, mely a homogén megfelelő általános megoldásának ismeretében szolgáltatja az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását.

31 DE 31 A konstansvariálás lépései y H (x) ce g(x) dx y p (x) k(x) e y'(x) + g(x) y(x) h(x) g(x) dx k (x) e g(x) dx + k(x) e g(x) dx ( g(x)) + g(x) k(x) e g(x) dx h(x) k (x) e g(x) dx h(x) k (x) h(x) e g(x) dx k(x) g(x) dx h(x) e dx y p

32 Példa IH H DE 3 y'(x) x y(x) x 3, y(0) 1 g(x) -x h(x) x 3 y'(x) x y(x) 0 y H (x) ce g(x) dx y H (x) x x ce y p (x) k(x) e IH k (x) e x x 3 k (x) x 3 e x k(x) x x 3 x e dx (x + ) e y p

33 DE 33 y p (x) k(x) e x (x + ) e x e x (x + ) y IH (x) y H (x) + y p (x) c e x (x + ) A k.é.p. megoldása: y (0) 1 c 1 c 3 x + y(x) 3 e (x )

34 DE 34 Példa: soros -C kör konstans feszültséggel Kérdés: soros -C körre U 0 konstans feszültséget kapcsolva a körben folyó áram erőssége hogyan függ az időtől? Az áramerősség-idő függvény a következő elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletnek tesz eleget: 1 i '(t) + i(t) C 0 A feszültség rákapcsolásakor az áramerősség: U0 i(0)

35 DE 35 Ennek általános megoldása: i(t) i H (t) ce 1 C A kezdeti értéket figyelembe véve: U0 i(0) A probléma megoldása: dt ce U0 c 1 t C i(t) U 0 e 1 C dt

36 DE 36 Példa: soros -L kör konstans feszültséggel Kérdés: soros -L körre U 0 konstans feszültséget kapcsolva a körben folyó áram erőssége hogyan függ az időtől? Az áramerősség-idő függvény a következő elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek tesz eleget: U0 i'(t) + i(t) L L A feszültség rákapcsolásakor az áramerősség 0. Ezt az i(0) 0 kezdeti érték feltétellel lehet figyelembe venni.

37 Az egyenlet homogén megfelelője: Ennek általános megoldása: i '(t) + i(t) L 0 DE 37 i H (t) ce L dt ce t L Az eredeti (inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása: i p (t) k(t) e t L a k függvényt konstansvariálással határozzuk meg:

38 DE 38 t L 0 e L U k'(t) L U e '(t) k 0 t L t L 0 t L 0 t L 0 e U L e U dt e U k(t) Ebből a partikuláris megoldás: U e e U e k(t) (t) i 0 t L t L 0 t L p Az inhomogén egyenlet általános megoldása pedig: U e c (t) i (t) i (t) i 0 t L p H IH + +

39 t U L 0 iih (t) ih (t) + ip(t) ce + DE 39 i(0) 0 U0 0 c + U0 c A probléma megoldása: i(t) U t 0 U + 0 U L 0 L e 1 e t

40 DE 40 Példa: soros -L kör váltakozó feszültséggel A Sorosan kapcsolunk egy ellenállást, egy L induktivitású tekercset és egy Usin(ωt) függvény szerint időben változó feszültségforrást. Határozzuk meg az áramerősséget az idő függvényében tudván, hogy a t0 időpillanatban az áramerősség nulla, azaz i(0)0. A fizikából ismeretes, hogy a feladatban leírt esetben az áramerősség-idő függvény (i(t)) eleget tesz az L di(t) dt + i(t) Usin( ωt) d.e.-nek. Az egyenletet elosztva L-lel az

41 IH i'(t) + L i(t) U L sin( ωt) lineáris inhomogén d.e.-hez jutunk, ahol Az H i '(t) + i(t) L 0 g (t) L h(t) U L DE 41 sin( ωt) homogén egyenlet általános megoldása: i H (t) c e g(t)dt c e L dt c e L t

42 DE 4 A konstansvariálás módszert alkalmazva az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását c(x) e alakban keressük. Ezt a függvényt az inhomogén egyenletbe helyettesítve a c függvényre a L t c'(t) U L sin( ωt) L e t d.e. adódik. Ebből (a parciális integrálási módszert alkalmazva): c(t) U sin( ωt) e L L t dt U L ω ( sin ωt Lωcosωt) e L t

43 DE 43 Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása: L T U ip(t) c(t) e L ω ( sin ωt Az inhomogén egyenlet általános megoldása: Lωcosωt) T U iih(t) ih(t) + ip(t) c e + L ω L ( sin ωt Lωcosωt) A k.é.p. megoldása: i(t) L U t (Lωe + sin ωt Lωcosωt) L ω

44 DE 48 Néhány másodrendű differenciálegyenlet-típus megoldása y (x) f ( x, y(x), y (x) ) y (x) f ( x, y (x) ) típusú differenciálegyenletek Ha I és J intervallumok, f:i J függvény, akkor az folytonos y"(x) f ( x, y'(x) ) alakú d.e.-ek megoldása a p(x) y'(x) jelöléssel visszavezethető két elsőrendű d.e. megoldására az alábbiak szerint:

45 DE 49 y (x) f ( x, y (x) ) y (x) p(x) y (x) p (x) I. p (x) f(x,p(x)) II. y (x) p(x) p(x) y(x)

46 DE 50 Példa: y"(x) y'(x) + e x, y'(0)1, y(0)1 y"(x) y'(x) + e x y (x) p(x) y (x) p (x) I. p'(x) p(x) e x (elsőrendű lineáris inhomogén d.e.) p p H p (x) (x) 1dx x c1 e c1 e k (x) 1 k(x) x k(x) e x p p (x) x e x x p(x) c 1 e x +xe x k (x) e e x

47 DE 51 II. y'(x) c 1 e x +xe x y(x) ( xe x +c 1 e x ) dx (x+c 1 ) e x dx ( x 1+c 1 ) e x +c A k.é.p. megoldása: y (x) (x+c 1 )e x y'(0) 1 c 1 1 y(x) ( x 1+c 1 ) e x +c y(0) 1 c 1 y(x) x e x +1

48 DE 5 Megjegyzés: Az y (x) f (x,y (x)) típusú differenciálegyenletek között speciális esetként szerepelnek a legegyszerűbb másodrendű egyenletek az y (x) f (x) típusú differenciálegyenletek. A előbbiekben leírt megoldási módszert követve látható, hogy két y (x)f(x) típusú egyenletet kell megoldani, azaz két integrálással eredményre lehet jutni.

49 Példa: y "(x) x, y(1) 4, y'(1) y'(x) 3 3 x dx x + c1 x c1 DE y (x) x + c 1 dx x + c1 x + c x + c1 x y '(1) 1 + c y (1) c Az k.é.p. megoldása: 5 y(x) x x + c 1 c c

50 Példa: Newton II. törvénye konstans erőhatás esetén DE 54 m s (t) F 0 F0 s (t) m F0 F0 v (t) s'(t) dt t + c1 m m F0 F0 t s (t) t + c1 dt + c1 t + c m m Kezdeti értékek: kezdeti hely: kezdeti sebesség: s(0)s 0 v(0)v 0 v(0)v 0 c 1 v 0 s(0)s 0 c s 0 Megoldás: F t a s (t) + m v s 0 t + s0 t + v0 t 0

51 DE 55 Másodrendű lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek Ha h:i folytonos függvény, b,c, akkor az y"(x) + by'(x) + cy(x) h(x) egyenletet másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén d.e.-nek, az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenletet másodrendű lineáris konstansegyütthatós homogén d.e.-nek nevezzük.

52 DE 56 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Ha y 1 :I és y :I függvények az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet lineárisan független megoldása, akkor az {y 1,y } függvényrendszert a d.e. alaprendszerének nevezzük. Ha { y 1, y } az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 homogén egyenlete alaprendszere, akkor az egyenlet általános megoldása: y H c 1 y 1 +c y.

53 DE 57 Homogén egyenlet alaprendszerének és általános megoldásának meghatározása Definíció: karakterisztikus egyenlet Az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ +b λ+c0 A karakterisztikus egyenlet megoldásainak ismeretében a homogén d.e. alaprendszere és így az általános megoldása is meghatározható a következők szerint:

54 Tétel: DE 58 Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek két különböző megoldása van: λ 1 és λ, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: { λ e x x } 1, e λ általános megoldása pedig: y H (x) λ1x λx c1 e + c e c 1,c

55 DE 59 Példa: y"(x) + 3 y'(x) + y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ + 3λ + 0 Gyökei: λ 1 -, λ -1 Alaprendszer: { e -x, e -x } Általános megoldás: y H c 1 e -x +c e -x, c 1,c

56 Tétel: Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek egy megoldása van: λ, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: DE 60 { x x } e λ, x e λ általános megoldása pedig: y H (x) 1 λx λx c e + c x e c 1,c

57 DE 61 Példa: y"(x) - 8y'(x) + 16y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ -8λ Gyöke: λ 4 Alaprendszer: { e 4x,xe 4x } Általános megoldás: y H c 1 e 4x +c x e 4x, c 1,c

58 Tétel: DE 6 Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek nincs megoldása, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: { e ux sin(vx), e ux cos(vx) } általános megoldása pedig: y H (x) c 1 e ux sin(vx) + c e ux cos(vx) c 1,c ahol u b v 4c b

59 DE 63 Példa: y"(x) + 6y'(x) + 34y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ +6λ Gyöke: nincs, u -3, v 5 Alaprendszer: { e -3x sin(5x), e -3x cos(5x) } Általános megoldás: y H c 1 e -3x sin(5x) + c e -3x cos(5x), c 1,c

60 DE 64 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Az y"(x) + by'(x) + cy(x) h(x) másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén differenciál-egyenletet általános megoldása: y IH y H + y p ahol y H az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása.

61 DE 65 Partikuláris megoldás meghatározása konstansvariálással Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldásának meghatározására több módszert ismert. Ezek közül itt a ún. konstansvariálás módszert mutatjuk be, mely a homogén megfelelő általános megoldásának ismeretében szolgáltatja az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását.

62 A konstansvariálás lépései y H (x) c 1 y 1 (x) + c y (x) DE 66 y p (x) k 1 (x) y 1 (x) + k (x) y (x) A k 1 és a k függvények meghatározása: a I. k 1 '(x) y 1 (x) + k '(x) y (x) 0 II. k 1 '(x) y 1 '(x) + k '(x) y '(x) h(x) egyenletrendszerből a k 1 ' és a k ' derivált függvények egyértelműen kiszámíthatók (például a Cramer szabállyal), ezekből pedig integrálással kapjuk az ismeretlen k 1 és k függvényeket.

63 A Cramer-szabállyal számolva: DE 67 I. k 1 '(x)y 1 (x) + k '(x)y (x) 0 II. k 1 '(x)y 1 '(x) + k '(x)y '(x) h(x) D(x) y det y 1 1 (x) '(x) y y (x) '(x) k k 0 y (x) y1(x) 0 D (x) det 1 h(x) y '(x) D (x) det y1'(x) h(x) '(x) D1(x) D1(x) k1(x) dx D(x) D(x) y ky +k y p '(x) D (x) D(x) k (x) D (x) D(x) dx y IH y H +y p

64 Példa: y"(x) + y(x) x IH DE 68 y"(x) + y(x) 0 H A karakterisztikus egyenlet: λ +1 0 Gyöke nincs, u 0, v 1 A homogén egyenlet általános megoldása: y H c 1 sin x + c cos x, c 1,c y p k 1 (x) sin x + k (x) cos x

65 I. k 1 '(x) sin x + k '(x) cos x 0 DE 69 II. k 1 '(x) cos x + k '(x) (-sin x) x D(x) sin x det cos x cos x sin x 1 D D (x) 0 cos x D1(x) det x cos x k1'(x) x cos x x sin x D(x) 1 (x) sin x 0 D (x) det x sin x k '(x) x sin x cos x x D(x)

66 DE 70 D (x) D1(x) k '(x) x sin x k1'(x) x cos x D(x) D(x) D1(x) k1(x) dx x cos x dx x cos x + (x D(x) )sin x D (x) k (x) dx x sin x dx x sin x + (x D(x) ) cos x y p (x) k 1 (x) y 1 (x) + k (x) y (x) [xcos x + (x -)sin x]sin x + [-xsin x + (x -)cos x]cos x (x -) y IH (x) y H (x)+y p (x) c 1 sinx + c cosx + x -, c 1,c.

67 Példa: harmonikus rezgés DE 71 Határozzuk meg egy D rugóállandójú rugóhoz rögzített m tömegű test rezgésének kitérés-idő függvényét! Jelölje y az egyensúlyi helyzettől való kitérést, t az időt! A D rugóállandójú rugó a testre az y kitéréssel arányos húzóerőt fejt ki: F -Dy. Így a Newton-egyenlet alakja: y"(t) Dy(t) D y "(t) + y(t) 0 m m ami egy másodrendű lineáris konstansegyütthatós d.e.

68 A karakterisztikus egyenlet λ + D m melynek D/m>0 miatt nincs valós gyöke. 0 DE 7 u 0, v D m így az egyenlet általános megoldása: D D (t) c + 1 sin t c cos t m m yh

69 DE 73 Ha a t0 időpillanatbeli kitérés y 0, a sebesség v 0, azaz a k.é.p. megoldása: y(0) y 0, y'(0) v 0, m c1 v0 c D y 0 m D D y(t) v + 0 sin t y0 cos t D m m

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény. 8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Differenciálegyenlet rendszerek

Differenciálegyenlet rendszerek Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján

Részletesebben

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés)

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)

4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta) 4. Konzultáció: Periodikus jelek soros és tagokon, komplex ellenállás észlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 203. november 3. A jegyzetről Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza.

Részletesebben

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

Analízis 1. tárgyban tanult ismeretekre épül, tehát ismertnek tekintjük

Analízis 1. tárgyban tanult ismeretekre épül, tehát ismertnek tekintjük Ismertető A Matematika 2. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis 2. tárgyához

Részletesebben

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax) III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

3. Elsőrendű differenciálegyenletek

3. Elsőrendű differenciálegyenletek 32 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009 3. Elsőrendű differenciálegyenletek 3.1. Alapvető fogalmak Differenciálegyenleten egy olyan egyenletet értünk, amelyben a keresett ismeretlen egy függvény, és a függvény

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

MATEK-INFO UBB verseny április 6.

MATEK-INFO UBB verseny április 6. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja

2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés............................. Alapintegrálok...............................

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Fourier sorok február 19.

Fourier sorok február 19. Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható

Részletesebben

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................

Részletesebben