Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
|
|
- Kornélia Gabi Patakiné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az egyenletek megoldására különféle technikákat ismertünk meg, amelyek mindegyike az egyenletek egy-egy speciális csoportjára alkalmazható. A vizsgált egyenletek közös jellemzője, hogy a kiszámítandó ismeretlen minden esetben számot jelöl. Az egyenlet megoldása éppen azt jelenti, hogy meghatározzuk azt a számot (azokat a számokat), amelye(ke)t az ismeretlen helyére írva igaz ősszefüggést kapunk. Példa: Az 5x=15 egyenletnek megoldása a 3, mert x helyére írva az 5 3=15 egyenlőséghez jutunk, ami helyes. Ugyanennek az egyenletnek nem megoldása a 4, mert azt x helyére írva az 5 4 = 15 egyenlőséget kapjuk, ami nyilván nem helyes. Most olyan egyenletekkel ismerkedünk meg, amelyekben az ismeretlen nem szám: Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény. Példák: 2y+6x=5x (1) x+ f (x) x = 2 x (2) Megjegyzés: A fenti két függvényegyenletben az x nem ismeretlen, hanem a keresett függvény változója. Tehát nem x-et, hanem y-t, illetve f (x)-et kell az egyenletből kifejezni. Egyszerű számolással adódik, hogy az első egyenlet megoldása y= 5 2 x2 3x+1, a második egyenlet megoldása f (x)= x 3 + 2x 2 4x+6. A megoldásként kapott függvényeket ábrázolhatjuk a szokott módon Descartes-féle koordinátarendszerben: y graf(y) x y graf( f ) x Készítette: Vajda István 109
2 A továbbiakban a függvényegyenletek egy speciális fajtájával, a differenciálegyenletekkel foglakozunk: Az olyan függvényegyenletet, amelyben az ismeretlen függvény valamely (első vagy magasabbrendű) deriváltja(i) is szerepel(nek), differenciálegyenletnek nevezzük. A differenciálegyenleteknek sokféle típusa van. A könnyebb eligazodás kedvéért bevezetünk néhány fogalmat, amelyekkel jellemezhetjük őket. Közönséges differenciálegyenletnek nevezzük az olyan differenciálegyenletet, amelyben az ismeretlen függvény egyváltozós. Ha az ismeretlen függvény többváltozós, parciális differenciálegyenletről beszélünk. Megjegyzés: A továbbiakban csak közönséges differenciálegyenletekkel foglalkozunk. A differenciálegyenlet rendje a benne szereplő deriváltak rendjének maximuma. Példák Az y = 2y 2 +x 3 differenciálegyenlet elsőrendű, mert benne az ismeretlen y függvénynek csak az első deriváltja szerepel. y Az y = differenciálegyenlet másodrendű, mert szerepel benne az ismeretlen y x függvény második deriváltja, de annál magasabbrendű deriváltja nem. Az y ( x ) y + y=x 4 x 2 differenciálegyenlet harmadrendű, mert szerepel benne az ismeretlen y függvény harmadik deriváltja, de annál magasabbrendű deriváltja nem. Készítette: Vajda István 110
3 8.2. A differenciálegyenlet megoldásai Egy f függvényt a differenciálegyenlet megoldásának nevezünk, ha deriváltjaival együtt azonosan kielégíti a differenciálegyenletet. Példák: Az y=xe x függvény megoldása az y + 2y=e x + 3xe x differenciálegyenletnek, mert y deriváltfüggvénye y = e x + xe x és y + 2y=e x + xe x + 2xe x = e x + 3xe x, tehát y kielégíti a differenciálegyenletet a deriváltjával együtt. Az y=sin x függvény nem megoldása az y + 3y=cos x differenciálegyenletnek, mert y = cos x y = sin x, tehát y + 3y=2 sin x cos x. Egy f függvényt az n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldásának nevezünk, ha deriváltjaival együtt azonosan kielégíti a differenciálegyenletet és pontosan n db egymástól függetlenül megválasztható szabad paramétert tartalmaz. Egy f függvényt az n-edrendű differenciálegyenlet partikuláris megoldásának nevezünk, ha deriváltjaival együtt azonosan kielégíti a differenciálegyenletet és legfeljebb n 1 db egymástól függetlenül megválasztható szabad paramétert tartalmaz. Megjegyzés: A szabad paraméterek helyébe egy-egy (valós) számot helyettesítve a differenciálegyenlet valamely megoldását kapjuk. Készítette: Vajda István 111
4 Példák: Az y +2y=e x +3xe x differenciálegyenlet általános megoldása y=ce 2x +xe x. Valóban: y = 2C 2x + e x + xe x. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: y + 2y= 2C 2x + e x + xe x + 2Ce 2x + 2xe x = e x + 3xe x, tehát y a deriváltjával együtt kielégíti a differenciálegyenletet, és pontosan 1 szabad paramétert (C) tartalmaz. Ha C helyére konkrét számot írunk, akkor a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását kapjuk, pl. C = 0 esetén az előző pontban felírt partikuláris megoldást, C=1 esetén az y p = e 2x + xe x partikuláris megoldást stb. Az y + 4y = 3 cos x differenciálegyenletnek az y = C 1 cos 2x+C 2 sin 2x+cos x függvény általános megoldása. Valóban: tehát y = 2C 1 sin 2x+2C 2 cos 2x sin x y = 4C 1 cos 2x 4C 2 sin 2x cos x, y +4y= 4C 1 cos 2x 4C 2 sin 2x cos x+4c 1 cos 2x+4C 2 sin 2x+4 cos x=3 cos x, vagyis y a deriváltjaival együtt kielégíti a differenciálegyenletet és pontosan két függetlenül megválasztható szabad paramétert tartalmaz. A diferenciálegyenlet néhány partikuláris megoldása: y 1 = 3 cos 2x+C 2 sin 2x+cos x y 2 = C 1 cos 2x 2 sin 2x+cos x y 3 = cos 2x 8 sin 2x+cos x Megjegyzés: A differenciálegyenlet partikuláris megoldásait legtöbbször az általános megoldásból kapjuk, annak szabad paramétereit konkrét számmal helyettesítve, de előfordulhat olyan partikuláris megoldás is, amely nem áll elő így. Készítette: Vajda István 112
5 8.3. Elsőrendű differenciálegyenletek Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Legyen y az ismeretlen f és g pedig ismert egyváltozós függvények. Az y = f (x) g ( y ) alakra hozható differenciálegyenletet szétválasztható változójú differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyzés: Az elnevezés onnan ered, hogy az ilyen differenciálegyenletek átrendezhetők úgy, hogy az y változó csak az egyik, az x változó pedig csak a másik oldalon forduljon elő. Példák: Az y = x 2 y szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Az y = ln ( x ) e 3y 1 szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Az y = x2 + x 2y alakba írható. szétválasztható változójú differenciálegyenlet, mert y = ( x 2 + x ) 1 2y Az y x+ y y 2 + 2y=0szétválasztható változójú differenciálegyenlet, mert y = y2 2y x+1 =( y 2 2y ) 1 alakba írható. x+1 Az y = 2x szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Itt g ( y ) konstans függvény. Az y = sin y szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Itt f (x) konstans függvény. Az y = x 2 y differenciálegyenlet nem szétválasztható változójú. Készítette: Vajda István 113
6 A szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldása Először oldjuk meg a g ( y ) = 0 egyenletet! Ha létezik megoldás, akkor y-ra konkrét számértéke(ke)t kapunk, ami a differenciálegyenlet konstans megoldása. Ezután keressük meg a differenciálegyenlet további megoldásait: Írjuk át y -t dx alakba: Válasszuk szét a változókat: dx = f (x) g( y ) g ( )= f (x) dx y Integráljuk a baloldalt az y, a jobboldalt az x változó szerint: g ( y )= f (x) dx Ha mindkét oldalon el tudjuk végezni az integrálást, akkor egy G ( y ) = F (x)+c alakú összefüggéshez jutunk, ahol G ( y ) = g ( y ) és F (x)= f (x) dx és az összefüggés a differenciálegyenlet megoldásának implicit alakja. Megjegyzés: A C konstans az integrálási konstansok összevonásából adódik. Példák: Oldjuk meg az y = xy differenciálegyenletet! A differenciálegyenlet konstans megoldása az y 0(konstans 0) függvény. Keressük a további megoldásokat: dx = xy y = xdx y = xdx ln y = x ln C y=ce x2 2 Megjegyzés: Bár a levezetés során C=0 nem volt megengedve (a 0 logaritmusa nem értelmezett), a Ce x2 2 általános megoldásba C=0-t helyettesítve jó megoldást kapunk éppen a korábban megkapott konstans megoldást. Készítette: Vajda István 114
7 Ábrázoljunk néhány megoldást a Descartes-féle koordinátarendszerben: y 15 C= C=1 C= x Megjegyzés: Az egyes szabad paramétert nem tartalmazó megoldások függvénygörbéit szokás integrálgörbének is nevezni. Oldjuk meg az y = y x differenciálegyenletet! A differenciálegyenlet konstans megoldása az y 0(konstans 0) függvény. Keressük a további megoldásokat: Megjegyzések: dx = y x y = dx x dx y = x ln y =ln x +ln C y=cx Az általános megoldás most is tartalmazza az elején meghatározott konstans megoldást. Az integrálgörbék ebben az esetben origón áthaladó egyenesek. Készítette: Vajda István 115
8 Partikuláris megoldás meghatározása feltétel alapján Előfordul, hogy egy adott feltételnek megfelelő partikuláris megoldást keresünk. A feltétel lehet pl. az, hogy az integrálgörbének át kell mennie egy megadott ponton. Gyakori, hogy a megadott pont éppen az integrálgörbe y-tengellyel való metszéspontja. Előfordulhat olyan feltétel is, amikor az ismeretlen függvény deriváltfüggvényének értékét adjuk meg egy helyen. Példa: Határozzuk ( meg az y = x cos 2 y differenciálegyenlet azon megoldását, amelynek grafikonja átmegy az 1, π ) ponton! (Másképpen fogalmazva azt a megoldást keressük, amely x=1-ben 4 y= π 4 értéket vesz fel.) A konstans megoldások a cos y=0 egyenlet megoldásai, azaz az y= π 2 + kπ konstans függvények, ahol k Z. Mivel ezek egyike sem veszi fel a π -et, ezért Meghatározzuk az általános 4 megoldást a változók szétválasztásával: dx = x cos2 y cos 2 y = xdx cos 2 y = xdx tg y= x2 2 + C Most úgy kell megválasztanunk C értékét, hogy a feltételt kielégítő partikuláris megoldást kapjunk. Ehhez behelyettesítjük az x=1-et és az y= π 4 -et: tg π 4 = C 1= C C= 1 2 Ezt visszehelyettesítve az általános megoldásba: ( ) x y p = arctg 2 Készítette: Vajda István 116
9 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen y az ismeretlen g és h pedig ismert egyváltozós függvények. Az y + g (x) y=h (x) alakra hozható differenciálegyenletet elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyzés: A lineáris jelző arra utal, hogy y és y mindegyike csak első hatványon szerepel a differenciálegyenletben. Példák: y + (x 2) y=x 2 3x+2 elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. y + y sin x=0elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. y + 3y=12x 4 elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. y 6 sin x 2 cos x y = 2x + 1 elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, mert y + (2x+1) y=6 sin x+2 cos x alakra hozható. y + 2y 2 = x 3 1 nem lineáris. y y+2y=12x nem lineáris. y + 2y=e x nem elsőrendű. Készítette: Vajda István 117
10 Elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet homogénnek nevezzük, ha y + g (x) y=0 alakra hozható. Megjegyzések: Úgy is mondhatjuk, hogy az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet homogén, ha az egyenlet jobb oldalán szereplő h (x) függvény (úgynevezett zavaró függvény) azonosan 0. Ha a differenciálegyenlet nem homogén, akkor inhomogénnek nevezzük. Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenlet mindig szétválasztható változójú, ezért alkalmazható rá az előző részben megismert megoldási módszer. Példák: Oldjuk meg az y 2xy=0elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletet! Az egyenletet y = 2xy alakra hozva látható, hogy ez egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet. A jobboldalt 0-val egyenlővé téve kapjuk az y 0 konstans megoldást. A további megoldásokat megkaphatjuk a változók szétválasztásával: dx = 2xy y = 2xdx y = 2xdx ln y =x 2 + ln C y=ce x2 A kapott általános megoldás a konstans megoldást is tartalmazza. Készítette: Vajda István 118
11 Oldjuk meg az y y cos x=0elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletet! A konstans megoldás az y 0. dx = y cos x = cos xdx y y = cos xdx ln y =sin x+ln C y=ce sin x A kapott általános megoldás a konstans megoldást is tartalmazza. Megjegyzés: A megoldást általánosan is végiggondolhatjuk: Induljunk ki az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenlet y + g (x) y=0 általános alakjából. Az y 0 függvény minden ilyen differenciálegyenletnek megoldása, tehát az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenlet konstans megoldása mindig ez. Határozzuk most meg az általános megoldást: y = g (x) y = g (x) y dx = g (x) dx y y = g (x) dx ln y = g (x) dx+ln C y=ce g(x)dx Látható, hogy az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenleteknél az általános megoldás mindig tartalmazza a konstans megoldást. Nem követünk el tehát hibát, ha az ilyen típusú differenciálegyenleteknél a továbbiakban nem foglalkozunk külön a konstans megoldással. Készítette: Vajda István 119
12 Állandó együtthatós, elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatójú, ha a differenciálegyenlet y + g (x) y=h (x) alakjában a g (x) függvény konstans, azaz az egyenlet alakú. y + ky=h (x) Természetesen az elsőrendű állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet is lehet homogén vagy inhomogén attól függően, hogy h (x) 0vagy nem. Tétel: Az y +ky=0 elsőrendű állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása y=ce kx. Bizonyítás: Ha y=ce kx, akkor y = kce kx, tehát y +ky= kce kx +kce kx = 0. Mivel y egy szabad paramétert tartalmaz, ez a differenciálegyenlet általános megoldása. Példa: Az y + 3y=0 differenciálegyenlet általános megoldása y=ce 3x. Készítette: Vajda István 120
13 Elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek Mint korábban láttuk, az ilyen egyenlet általános alakja y + g (x) y=h (x) és mivel az egyenlet inhomogén h (x) 0. Előfordulhat, hogy egy ilyen differenciálegyenlet is szétválasztható változójú és alkalmazhatjuk rá az eddig megismert megoldási módszert. Példa: Oldjuk meg az y xy=xelsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet! y = xy+x y = x ( y+1 ) Látható, hogy a differenciálegyenlet szétválasztható változójú, a konstans megoldás az y 1. Határozzuk meg az általános megoldást a változók szétválasztásával: dx = x( y+1 ) y+1 = xdx y+1 = xdx ln y+1 = x 2 y+1=ce x ln C y=ce x2 2 1 Ez a módszer azonban nem mindig alkalmazható. Pl. az y xy=e x2 2 differenciálegyenlet elsőrendű lineáris inhomogén, de nem szétválasztható változójú. Az ilyen differenciálegyenletek megoldására a következő módszert alkalmazhatjuk: Először megoldjuk azt az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletet, amit úgy kapunk, hogy az eredeti differenciálegyenletben szereplő zavaró függvény helyére 0-t írunk. A homogén egyenlet általános megoldásához hozzáadjuk az eredeti differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását. Készítette: Vajda István 121
14 Tehát az y + g (x) y=h (x) egyenletet úgy oldjuk meg, hogy először meghatározzuk az Y + g (x) Y=0 homogén egyenlet nagy Y-nal jelölt általános megoldását, majd ehhez hozzáadjuk az (eredeti) y + g (x) y=h (x) egyenlet egy y p partikuláris megoldását. Az eredeti egyenlet általános megoldása így: y=y+ y p Példák: Oldjuk meg ismét az y xy=xdifferenciálegyenletet! A homogén egyenlet Y xy=0 Ezt az egyenletet korábban már megoldottuk, általános megoldása: Y=Ce x2 2 Az y xy=x differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása az y p 1 konstans megoldás. Tehát a differenciálegyenlet általános megoldása: y=y+ y p = Ce x2 2 1 Ez megegyezik a korábban kapott megoldással. Oldjuk meg az y xy=e x2 2 differenciálegyenletet! A homogén egyenlet ugyanaz, mint az előző feladatban, általános megoldása: Y=Ce x2 2 Az eredeti egyenlet egy partikuláris megoldása y p = xe x2 2, ami behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető. Először határozzuk meg y p-t a szorzatfüggvény differenciálási szabálya alapján: Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: y p= e x2 2 + x 2 e x2 2 y p xy p= e x2 2 + x 2 e x2 2 x 2 e x2 2 = e x2 2 Tehát y p valóban partikuláris megoldás, az általános megoldás pedig: y=y+ y p = Ce x2 2 + xe x2 2 Készítette: Vajda István 122
15 Az előző feladat általános megoldását tehát megtaláltuk, de jogos kifogásként merülhet fel, hogy az ehhez szükséges partikuláris megoldás felírása egyáltalán nem volt magától értetődő. A kérdés tehát az, hogy hogyan lehet meghatározni egy partikuláris megoldást. A következő pontban egy ilyen módszert fogunk megismerni. Elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek partikuláris megoldásának meghatározása az állandó variálás módszerével. Ezt a módszert használva a homogén egyenlet általános megoldásából indulunk ki, melynek C szabad paraméterét egy k függvénnyel helyettesítjük. A k függvény alkalmas megválasztásával az eredeti differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását kapjuk. Példa: Határozzuk meg az előző feladatbeli y xy=e x2 2 differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását az állandó variálás módszerével! A homogén egyenlet általános megoldása: Y=Ce x2 2 Ha a C állandót a k függvénnyel helyettesítjük, akkor az y p = k (x) e x2 2 függvényt kapjuk. Szeretnénk k-t úgy meghatározni, hogy y p a differenciálegyenlet partikuláris megoldása legyen. Ha k-t jól választjuk, akkor y p -t a differenciálegyenletbe helyettesítve igaz összefüggést kapunk. A szorzatfüggvény differenciálási szabály szerint y p = k (x) e x2 2 + x k (x) e x2 2, tehát Tehát y p = k (x) e x2 2 használtunk. k (x) e x2 2 + x k (x) e x2 2 x k (x) e x2 2 = e x2 2 k (x) e x2 2 = e x2 2 k (x)=1 k (x)=x = xe x2 2. Ez pontosan az a partikuláris megoldás, amit az előzőekben már Megjegyzés: A levezetés során a k (x)=1 összefüggésből arra következtettünk, hogy k (x)=x. Természetesen a k integrálásával más megoldásokat is kapunk (k (x)=x+b, ahol B tetszőleges valós szám), de nekünk csak egy partikuláris megoldást kellett meghatároznunk, ezért k egy primitív függvényére volt csak szükségünk, amit k-val egyenlővé tettünk. Készítette: Vajda István 123
16 Elsőrendű állandó együtthatós lineáris inhomogén differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény módszerrel. A próbafüggvény módszert ugyancsak a differenciálegyenlet partikuláris megoldásának meghatározására használjuk, de ez csak akkor alkalmazható, ha a lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatós. Ennek lényege, hogy a partikuláris megoldást olyan függvény formájában keressük, amely a zavaró függvénnyel azonos típusú bár annál általánosabb. Példa: Oldjuk meg az y 2y=e x differenciálegyenletet! A homogén egyenlet megoldása Y=Ce 2x. Mivel a zavaró függvény h (x)=e x, a partikuláris megoldást y p = Ae x alakban keressük, ahol A tetszőleges valós szám. (Azt is mondjuk, hogy y p = Ae x a próbafüggvény.) Az A paraméter értékék a differenciálegyenletbe való behelyettesítéssel határozhatjuk meg. Mivel y p = Aex behelyettesítve: Ae x 2Ae x = e x Ae x = e x amelyből már leolvasható, hogy A= 1. Tehát a partikuláris megoldás y p = e x. Adifferenciálegyenlet megoldása: y=y+ y p = Ce 2x e x. Hogyan válasszunk próbafüggvényt? Ha a zavarófüggvény e x vagy e x konstansszorosa, akkor mint az előző példában láttuk e x konstansszorosa lesz a partikuláris megoldás is. Tehát pl. e x Ae x 2e x Ae x Ha a zavarófüggvény polinom, akkor ugyanannyiadfokú polinomot választunk próbafüggvénynek általános együtthatókkal: Ha a zavarófüggvény trigonometrikus: x Ax 2 + Bx+C x Ax+B 3 A sin x A sin x+b cos x cos 2x A sin 2x+B cos 2x 2 sin 3x+5 cos 3x A sin 3x+B cos 3x Készítette: Vajda István 124
17 Ha a zavarófüggvény az előző típusokból összeadással, kivonással, vagy szorzással jön létre, akkor a próbafüggvényeiket is ugyanezen műveletekkel kepcsoljuk össze: 2e x + 3e 2x Ae x + Be 2x e x + 2x 1 Ae x + Bx+C sin 2x x 2 A sin 2x+B cos 2x+Cx 2 + Dx+E x 2 e 3x ( Ax 2 + Bx+C ) e 3x x cos x (x+a) (B sin x+c cos x) A próbafüggvény módszert némileg bonyolítja a rezonancia jelensége. Ha a próbafüggvény valamely tagja az általános megoldástól csak konstans szorzóban tér el, akkor rezonanciában vannak. Ilyenkor a próbafüggvénynek ezt a tagját x-szel megszorozva juthatunk helyes próbafüggvényhez. Előfordulhat az is, hogy így a próbafüggvénynek ez a tagja a próbafüggvény más tagjával kerül rezonanciába és újabb szorzásara van szükség. Példák: Oldjuk meg az y + y=x 2 differenciálegyenletet! A homogén egyenlet megoldása: Y=e x. A próbafüggvény y p = Ax 2 + Bx+C y p = 2Ax+B Visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe: 2Ax+B+Ax 2 + Bx+C=x 2 Hasonlítsuk össze az azonos fokszámú tagok együtthatóit: x 2 x x 0 A=1 2A+B=0 B+C=0 B= 2 C=2 A partikuláris megoldás tehát y p = x 2 2x+2. A differenciálegyenlet általános megoldása y=y+ y p = e x + x 2 2x+2. Készítette: Vajda István 125
18 Határozzuk meg az y 3y=4 sin x differenciálegyenlet y (0)= 8 5 tartozó partikuláris megoldását! A homogén egyenlet megoldása: Y=Ce 3x. A próbafüggvény y p = A sin x+b cos x y p= A cos x B sin x Visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe: kezdeti feltételhez A cos x B sin x 3 (A sin x+b cos x)=4 sin x (A 3B) cos x+( B 3A) sin x=4 sin x Hasonlítsuk össze a cos x-et, illetve sin x-et tartalmazó tagok együtthatóit: A 3B=0 B 3A=4 Az egyenletrendszerből A= 6 5, B= 2 5 y p= 6 5 sin x 2 cos x. 5 A differenciálegyenlet általános megoldása y=y+ y p = Ce 3x 6 5 sin x 2 cos x. 5 Behelyettesítve x=0-t és y= 8 5 -öt a 8 5 = C 2 összefüggés adódik,amelyből C=2. 5 A kezdeti feltételeknek megfelelő partikuláris megoldás tehát y 0 = 2e 3x 6 5 sin x 2 cos x. 5 Oldjuk meg az y 2y=6e 2x differenciálegyenletet! A homogén egyenlet megoldása: Y=Ce 2x. Nem választhatjuk próbafüggvénynek az Ae 2x függvényt, mert rezonanciában van az általános megoldással, ezért y p = Axe 2x y p= Ae 2x + 2Axe 2x. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: Ae 2x + 2Axe 2x 2Axe 2x = 6e 2x. A=6adódik, tehát y p = 6xe 2x, az általános megoldás pedig y=y+ y p = Ce 2x + 6xe 2x Készítette: Vajda István 126
19 8.4. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen y az ismeretlen p, q és h pedig ismert egyváltozós függvények. Az y + p (x) y + q (x) y=h (x) alakra hozható differenciálegyenleteket másodrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Példa: Az y + y cos x+ y tg x=e x + x 2 2 differenciálegyenlet másodrendű, lineáris. A következőkben a másodrendű lineáris differenciálegyenletek közül csak az állandó együtthatósak megoldásával foglalkozunk Állandó együtthatós másodrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen y az ismeretlen, h ismert egyváltozós függvény, a, b és c pedig valós számok. Az ay + by + cy=h (x) alakra hozható differenciálegyenleteket másodrendű állandóegyütthatós lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Példa: A 4y + 3y 6y=ln x differenciálegyenlet másodrendű állandó együtthatós lineáris. Készítette: Vajda István 127
20 Állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek Ha az ay + by + cy=0 alakra hozható differenciálegyenleteket másodrendű állandóegyütthatós lineáris homogén differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyzés: Tehát az állandó együtthatós másodrendű lineáris differenciálegyenletet akkor nevezzük homogénnek, ha az egyenlőség jobb oldalán álló h (x) zavarófüggvény azonosan 0. Állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek megoldása Az ay + by + cy=0 differenciálegyenlethez hozzárendeljük az aλ 2 + bλ+c=0 valósegyütthatós másodfokú egyenletet, az úgynevezett karakterisztikus egyenletet. A differenciálegyenlet megoldását a karakterisztikus egyenlet megoldása(i) alapján írjuk fel: Tétel: Ha az ay + by + cy = 0 differenciálegyenlethez tartozó aλ 2 + bλ+c=0 karakterisztikus egyenletnek két különböző valós gyöke van (λ 1 ésλ 2 ), akkor a differenciálegyenlet általános megoldása y=c 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x. Példa: Írjuk fel a y 5y + 6y=0 állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását! Mivel aλ 2 5λ+6=0 karakterisztikus egyenlet megoldásaiλ 1 = 2 ésλ 2 = 3, a differenciálegyenlet általános megoldása: y=c 1 e 2x + C 2 e 3x. Ellenőrzés: Az általános megoldás első, illetve második deriváltja y = 2C 1 e 2x + 3C 2 e 3x, y = 4C 1 e 2x + 9C 2 e 3x. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: y 5y + 6y=4C 1 e 2x + 9C 2 e 3x 5 ( 2C 1 e 2x + 3C 2 e 3x) + 6 ( C 1 e 2x + C 2 e 3x) = 0 Készítette: Vajda István 128
21 Tétel: Ha az ay + by + cy = 0 differenciálegyenlethez tartozó aλ 2 + bλ+c=0 karakterisztikus egyenletnek két egybeeső valós gyöke van (λ 0 ), akkor a differenciálegyenlet általános megoldása y=c 1 e λ 0x + C 2 xe λ 0x. Megjegyzés: Szokás azt is mondani, hogy a karakterisztikus egyenletnek egy valós gyöke van. Példa: Írjuk fel a y 4y + 4y=0 állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását! Mivel aλ 2 4λ+4=0 karakterisztikus egyenlet egyetlen megoldásaλ 0 = 2, a differenciálegyenlet általános megoldása: y=c 1 e 2x + C 2 xe 2x. Tétel: Ha az ay + by + cy = 0 differenciálegyenlethez tartozó aλ 2 + bλ+c=0 karakterisztikus egyenletnek két nem valós komplex gyöke van (λ 1,2 =α±βj), akkor a differenciálegyenlet általános megoldása y=e αx( C 1 cos ( βx ) + C 2 sin ( βx )). Példák: Írjuk fel a y 4y + 5y=0 állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását! Mivel aλ 2 4λ+5=0 karakterisztikus egyenlet megoldásaiλ 1,2 = 2± j, a differenciálegyenlet általános megoldása: y=e 2x (C 1 cos x+c 2 sin x). Írjuk fel a y + 4y=0 állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását! Mivel aλ 2 + 4=0 karakterisztikus egyenlet megoldásaiλ 1,2 =±2j, a differenciálegyenlet általános megoldása: y=c 1 cos 2x+C 2 sin 2x. Készítette: Vajda István 129
22 Állandó együtthatós másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek megoldása A másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek megoldására ugyanazt a módszert alkalmazhatjuk, amit az elsőrendű lineáris differenciálegyenletnél megismertünk: Először megoldjuk azt a másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletet, amit úgy kapunk, hogy az eredeti differenciálegyenletben szereplő zavaró függvény helyére 0-t írunk. A homogén egyenlet általános megoldásához hozzáadjuk az eredeti differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását. Ha a másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet állandó együtthatós, akkor a partikuláris megoldás meghatározásához használhatjuk az elsőrendű differenciálegyenleteknél megismert próbafüggvénymódszert. Példák: Oldjuk meg az y y 2y=2x 2 differenciálegyenletet! Először megoldjuk az Y Y 2Y=0homogén differenciálegyenletet. Ennek karakterisztikus egyenlete:λ 2 λ 2=0, melynek megoldásai:λ 1 = 2, illetve λ 2 = 1. Mivel ezek valósak és egymástól különbözőek, a homogén egyenlet megoldása: Y=C 1 e 2x + C 2 e x. A következő lépésben a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását keressük. Próbafüggvénynek válasszuk az y p = Ax 2 +Bx+C másodfokú függvényt. Ekkor y p = 2Ax+B és y p = 2A. Visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe: 2A 2Ax B 2Ax 2 2Bx 2C=2x 2 Hasonlítsuk össze az azonos fokszámú tagok együtthatóit: x 2 x x 0 2A=2 2A 2B=0 2A B 2C=0 A= 1 B= A=1 C= 2A B = Tehát a differenciálegyenlet általános megoldása: y=y+ y p = C 1 e 2x + C 2 e x x 2 + x 3 2 Készítette: Vajda István 130
23 Oldjuk meg az y 6y + 9y=12 sin x differenciálegyenletet! Először megoldjuk az Y 6Y + 9Y=0 homogén differenciálegyenletet. Ennek karakterisztikus egyenlete:λ 2 6λ+9=0, melynek egyetlen megoldása:λ 0 = 3. A homogén egyenlet megoldása: Y=C 1 e 3x + C 2 xe 3x. Határozzuk meg a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását! Próbafüggvénynek válasszuk az y p = A sin x+b cos x függvényt. Ekkor y p = A cos x B sin x és y p = A sin x B cos x. Visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe: A sin x B cos x 6 (A cos x B sin x)+9 (A sin x+b cos x)=12 sin x (8A+6B) sin x+( 6A+8B) cos x=12 sin x A megfelelő tagok összehasonlításával a következő egyenletrendszer adódik: 8A+6B = 12 6A+8B = 0 Ebből A= 24 18, B= A differenciálegyenlet általános megoldása: y=y+ y p = C 1 e 3x + C 2 xe 3x sin x cos x Oldjuk meg az y + 4y=sin 2 x+4x+ 1 2 differenciálegyenletet! Először megoldjuk az Y + 4Y=0homogén differenciálegyenletet. Ennek karakterisztikus egyenlete:λ 2 + 4=0, melynek megoldásai:λ 1,2 =±2j. A homogén egyenlet megoldása: Y=C 1 sin 2x+C 2 cos 2x. Határozzuk meg a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását! Ehhez először linearizáljuk a zavarófüggvényben szereplő sin 2 x tagot. h (x)=sin 2 x+4x+ 1 2 = 1 cos 2x 2 + 4x+ 1 2 = 1 cos 2x+4x+1 2 Figyelve a rezonanciára próbafüggvénynek az y p = Ax sin 2x+Bx cos 2x+Cx+D függvényt választjuk. Ekkor y p = A sin 2x+2Ax cos 2x+B cos 2x 2Bx sin 2x+C y p= 4A cos 2x 4Ax sin 2x 4B sin 2x 4Bx cos 2x Visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe, majd összehasonlítva az együtthatókat A= 1 8, B=0, C=1és D= 1 4 A differenciálegyenlet általános megoldása: y=y+ y p = C 1 sin 2x+C 2 cos 2x 1 8 x sin 2x+x+ 1 4 Készítette: Vajda István 131
24 8.5. Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása Laplacetranszformációval Ezt a módszert az állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. Elsősorban akkor szokták alkalmazni, ha egy partikuláris megoldást keresünk, amelynek megadott kezdeti feltétel(eke)t kell kielégíteni. A megoldás fő lépései a következők: Az egyenlet mindkét oldalának meghatározzuk a Laplace-transzformáltját és ezeket egyenlővé tesszük egymással. A kapott (elsőfokú) egyenletet megoldjuk, így megkapjuk a keresett függvény Laplace-transzformáltját. Inverz laplace-transzformációval meghatározzuk a keresett függvényt. A megoldás végrehajtásához meg kell tudnunk határozni a fügvények deriváltjainak Laplacetranszformáltját: Tétel: Ha az f (t) függvény Laplace-transzformáltja f (s), akkor L [ f (t) ] = s f (s) f (0). Megjegyzés: Tehát f Laplace-transzformáltjának meghatározásához ismernünk kell az f függvény t=0helyen vett helyettesítési értékét. Tétel: Ha az f (t) függvény Laplace-transzformáltja f (s), akkor L [ f (t) ] = s 2 f (s) s f (0) f (0). Megjegyzés: Itt tehát már az f deriváltfüggvény t=0 helyen vett helyettesítési értékére is szükség van. Példák: Készítette: Vajda István 132
25 Határozzuk meg az f (t) = sin t függvény deriváltfüggvényének Laplace-transzformáltját. 1. Mivel f (t)=cos t, L [ f (t) ] s = s L [ f (t) ] = s f (s) f (0)=s 1 s sin 0= s s Határozzuk meg az f (t)=te t függvény második deriváltfüggvényének Laplace-transzformáltját. 1. Mivel f (t)=e t + te t f (t)=2e t + te t, L [ f (t) ] = 2 s s 1 (s 1) 2= (s 1) 2 2. L [ f (t) ] = s 2 f (s) s f (0) f (0)=s 2 1 (s 1) 2 s 0 ( e ) = = s 2 1 2s 1 (s 1) 2 1= (s 1) 2 Készítette: Vajda István 133
26 A példákban a fenti tételek segítségével ugyanazt az eredményt kaptuk, mint a deriváltfüggvények közvetlen táblázat alapján történő transzformálásával, de úgy tűnik, mintha ezekre a tételekre nem is lenne szükség. Fontossá akkor válnak, ha a differenciálegyenletben az ismeretlen függvény deriváltjait kell transzformálnunk. Példák: Határozzuk meg az y y=2x+2 differenciálegyenlet y (0)= 2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! Alkalmazzunk az egyenletre Laplace-transzformációt: sȳ y (0) ȳ= 2 s 2+2 s Helyettesítsük be y (0) értékét és oldjuk meg a kapott elsőfokú egyenletet: sȳ+2 ȳ= 2 s 2+2 s ȳ (s 1)= 2s2 + 2s+2 s 2 ȳ= 2s2 + 2s+2 (s 1) s 2 Bontsuk az egyenlet jobboldalán szereplő kifejezést résztörtekre: 2s 2 + 2s+2 = A (s 1) s 2 s + B C s 2+ s 1 2s 2 + 2s+2=As (s 1)+B (s 1)+Cs 2 s=1: s=0 s 2 : 2=C 2= B 2=A+C C=2 B= 2 A= 4 2s 2 + 2s+2 (s 1) s 2 = 4 s 2 s 2+ 2 s 1 Tehát ȳ= 4 s 2 2 s 2+ s 1 Inverz Laplace-transzformációt alkalmazva megkapjuk a megoldást: y= 4 2x+2e x Készítette: Vajda István 134
27 Határozzuk meg az y + 2y 8y=18 sin x 4 cos x differenciálegyenlet y (0)=3 és y (0)=4kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! Alkalmazzunk az egyenletre Laplace-transzformációt: s 2 ȳ sy (0) y (0)+2 ( sȳ y (0) ) 8ȳ= 18 s s s Helyettesítsük be y (0) és y (0) értékét majd oldjuk meg a kapott elsőfokú egyenletet: s 2 ȳ 3s 4+2 ( sȳ 3 ) 8ȳ= 4s+18 s ȳ ( s 2 + 2s 8 ) = 4s+18 s s+10 ȳ ( s 2 + 2s 8 ) = 3s3 + 10s 2 s+28 s ȳ= 3s3 + 10s 2 s+28 (s 2) (s+4) (s 2 + 1) Bontsuk az egyenlet jobboldalán szereplő kifejezést résztörtekre: 3s s 2 s+28 (s 2) (s+4) (s 2 + 1) = A s 2 + B s+4 + Cs+D s s s 2 s+28=a (s+4) ( s ) + B (s 2) ( s ) + Cs (s+4) (s 2)+D (s+4) (s 2) s=2: s= 4 : s=0: s 3 : 90=30A 0= 102B 28=12 8D 3=3+0+C A=3 B=0 D= 2 C=0 3s s 2 s+28 (s 2) (s+4) (s 2 + 1) = 3 s 2 2 s Tehát ȳ= 3 s 2 2 s Inverz Laplace-transzformációt alkalmazva megkapjuk a megoldást: y=3e 2x 2 sin x Készítette: Vajda István 135
Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenElhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenReakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenElérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont
Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenFüggvényegyenletek 1. feladat megoldása
Függvényegyenletek 1. feladat megoldása Először is vegyük észre, hogy f(x) = x megoldás, hiszen x y = (x y)(x + y). (Triviális megoldás.) Másodszor vegyük észre, hogy f(x) = cx is megoldás, hiszen c(x
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenAnalízis 1. tárgyban tanult ismeretekre épül, tehát ismertnek tekintjük
Ismertető A Matematika 2. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis 2. tárgyához
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
RészletesebbenFeladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
Részletesebben