Függvények Megoldások

Átírás

1 Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény képét eltoljuk az y tengely mentén két egységgel fölfelé, így az x x + függvény képét kapjuk. Függvények - megoldások ) Határozza meg az. feladatban megadott, ; intervallumon értelmezett függvény értékkészletét! ( pont) Az értékkészlet a felvett függvényértékek halmaza. f( x) 6 ) Ábrázolja az f ( x) = 0, 5x 4 függvényt a ; vagy ;6 (pont) 0 intervallumon! 4) A ;6 ] [ -on értelmezett f ( x) függvény hozzárendelési szabályát a grafikonjával adtuk meg. Határozza meg az f ( x) 0egyenlőtlenség megoldását! Adja meg f ( x) legnagyobb értékét! ( pont) - 7 -

2 005-0XX Középszint x 6 f x legnagyobb értéke: ( ) Összesen: pont 5) Az f és g függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük a következő képletek szerint: f ( x) = ( x + ) ; g ( x) = x a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f függvényt! (Az ábrán szerepeljen a grafikonnak legalább a, 5 x intervallumhoz tartozó része.) (4 pont) b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! c) Oldja meg az ( x ) a) f ( x ) ábrázolása (4 pont) b) Ábra c) ( x + ) + x x egyenlőtlenséget! (6 pont) x + x 0 Az egyenlőség teljesül, ha x = vagy x = 0. A megoldás: x 0 A feladat grafikusan is megoldható. Összesen: pont 6) Az f függvényt a ; 6 intervallumon a grafikonjával értelmeztük. Mekkora f legkisebb, illetve legnagyobb értéke? Milyen x értékekhez tartoznak ezek a szélsőértékek? (4 pont) f legkisebb értéke. Ez az x = értékhez tartozik. f legnagyobb értéke 7. Ez az x = 6 értékhez tartozik. Összesen: 4 pont 7) Adott a következő egyenletrendszer: lg ( y + ) = lg ( x + ) y = x a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azokat a P( x; y ) pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! b) Milyen x, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! ( pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben!

3 a) Ábra b) Az () egyenlet miatt y és x c) lg ( y ) lg ( x ) + = + ( x ) ( x ) lg + = lg + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ( x ) ( x ) Függvények - megoldások + = + 4x + x 0 = 0 5 x = és x = 4 5 y = és y = A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: ; 4 illetve ( ; 4) amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. 5 5 d) A ; 4 pont bejelölése. Összesen: 7 pont 8) Adja meg az 5x y = egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! 9) A metszéspont: 0; a) Ábrázolja a ; 4-on értelmezett, x ( x ), 5 + 0, 75 hozzárendeléssel megadott függvényt! b) Állapítsa meg a fenti függvény minimumának helyét és értékét! c) Oldja meg a valós számok halmazán a x x + = x egyenletet! (8 pont) a) Ábrázolás b) A minimum helye: x = 5, Értéke: 0,75-7 -

4 005-0XX Középszint c) Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve: x x + = 4x + 4x Rendezve x x = 0 Gyökei: x = illetve x = De x = nem megoldás (nem teszi igazzá az eredeti egyenletet) Az x = esetén mindkét oldal értéke 7, ezért ez megfelelő valós gyök. Összesen: pont 0) A valós számok halmazán értelmezett x ( x ) + 4 függvénynek minimuma vagy maximuma van? Adja meg a szélsőérték helyét és értékét! ( pont) Maximuma van, szélsőérték helye: ; értéke: 4. Összesen: pont ) Adjon meg egy olyan zárt intervallumot, ahol a grafikonjával megadott alábbi függvény csökkenő! Például: 0; vagy ; 8 ) Adott az :, ( ) f 0 f x = x függvény. Határozza meg az értelmezési tartománynak azt az elemét, amelyhez tartozó függvényérték 4. x = 6 ) Adja meg a ; intervallumon értelmezett ( ) értékkészletét! f x = x + függvény ( pont) A függvény legkisebb értéke az, az adott intervallum végpontjaiban a függvény értéke 5, illetve 0, a függvény értékkészlete az ; 0 intervallum. Összesen: pont

5 Függvények - megoldások 4) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett az x x 5 x másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az, helyen! ( pont) Zérushelyek: 0 és 5. A helyettesítési érték 4, 56. 5) Mennyi az f ( x) = x + 0 ( x ) veszi fel ezt az értéket? 6) A legnagyobb érték: 0. Ezt az x = 0 helyen veszi fel. a) Fogalmazza meg, hogy az ( ) Összesen: pont függvény legnagyobb értéke, és hol Összesen: pont f : f x = x + függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : f0( x) = x, függvény grafikonjából! Ábrázolja az f függvényt a 6; 6 intervallumon! (5 pont) A 4 ; és B ( 54 ; ) pontokon áthaladó egyenes egyenletét! Mely pontokban metszi az AB egyenes az f függvény grafikonját? (Válaszát számítással indokolja!) (7 pont) b) Írja fel az ( ) a) Ha az f 0 = x grafikonját előbb a ( ; 0 ), majd a ( 0; ) vektorral eltoljuk, az f függvény grafikonját kapjuk. Helyes grafikon. ( pont) b) Az AB egyenes egyenlete: x y = 7 ( pont) Az egyik közös pont: A ( 4 ; ) Az egyik közös pont: B ( ; ) Összesen: pont 7) Adja meg a x + y = 8 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! ( 09 ; )

6 005-0XX Középszint 8) A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a g : g( x) = x függvény grafikonját a v ( ; 4, 5 ) vektorral eltoltuk. a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel! ( pont) b) Határozza meg f zérushelyeit! (4 pont) c) Ábrázolja f grafikonját a [ ; 6] intervallumon! (4 pont) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! d) 5 x x + (6 pont) a) A függvény hozzárendelési szabálya: f ( x ) = ( x ) 4, 5 ( pont) b) A 0,5 ( x ) 4,5 = 0 egyenletet kell megoldani. 0,5 ( x ) 4,5 = 0 x = 5 x = c) Ábra (4 pont) d) Átrendezve az egyenlőtlenséget, éppen az f ( x) 0 alakhoz jutunk. ( pont) Ennek az egész megoldásai: ; 0; ; ; ; 5. ( pont) A feladat megoldható grafikusan is. 9) A valós számok halmazán értelmezett x x függvényt transzformáltuk. Az alábbi ábra az így kapott f függvény grafikonjának egy részletét mutatja. Adja meg f hozzárendelési utasítását képlettel! ( pont) A hozzárendelési utasítás: x x + 5 ( pont) A hozzárendelési utasítás megadható a függvény két részre bontásával is. 0) Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, f ( x ) = sin x. Mennyi az f függvény helyettesítési értéke, ha x =? Írja le a számolás menetét! Összesen: 7 pont ( pont)

7 Függvények - megoldások f = sin = sin = 6 = Összesen: pont + ) Az, x + log x függvény az alább megadott függvények közül melyikkel azonos? + A:, x log x + B:, x log ( 8x) + C:, x log ( x) + D:, x log ( x ) ) A helyes válasz betűjele: B a) Rajzolja meg derékszögű koordinátarendszerben a 6 ; intervallumon értelmezett, x x + hozzárendelésű függvény grafikonját! (4 pont) b) Állapítsa meg a függvény értékkészletét, és adja meg az összes zérushelyét! ( pont) c) Döntse el, hogy a P (,;,58 ) pont rajta van-e a függvény grafikonján! Válaszát számítással indokolja! d) Töltse ki az alábbi táblázatot, és adja meg a függvényértékek (a hét szám) mediánját! ( pont) a) Ábra (4 pont) ; intervallum, b) Az értékkészlet az a függvény zérushelye az ( ) x = 5 c) P nincs a grafikonon, mert pl., + =,8 d) x -0,5 0,7,0 4 5,5 x + 0,5,7,98-0,5 Sorba rendezés: 0,5; 0,5; ; ;,7;,98;. A medián. Összesen: pont

8 005-0XX Középszint ) Milyen valós számokat jelöl az a, ha tudjuk, hogy a valós számok x halmazán értelmezett x a függvény szigorúan monoton növekvő? a 4) Adja meg képlettel egy olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési utasítását, amelynek (abszolút) maximuma van! A megadott függvénynek állapítsa meg a maximumhelyét is! ( pont) Például: f : x x x Abszolút maximuma van x = helyen. Összesen: pont 5) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: f ( x) = sin x ; g ( x) = sinx. Adja meg mindkét függvény értékkészletét! f értékkészlete: f ; g értékkészlete: ; 6) Az ábrán a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x + a + b függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét! a = b = R = R = g Összesen: pont 7) István az x log x ( x 0) függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye. Összesen: pont

9 b). 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x ) ( x + ) Függvények - megoldások = + 4függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és értékét! A minimum helye: - A minimum értéke: 4 Összesen: 9) Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük. Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától? a) x sin ( x) b) x sin x c) x cos x A helyes válasz betűjele: a) 0) Az alábbi hozzárendelési utasítással megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül kettőnek egy-egy részletét ábrázoltuk. Adja meg a grafikonokhoz tartozó hozzárendelési utasítások betűjelét! A) x x + B) x x C) x x D) x x + ) párja C) ) párja A) Összesen: pont

10 005-0XX Középszint ) Adja meg az x x + x + x másodfokú függvény minimumhelyét és minimumának értékét! Válaszát indokolja! (4 pont) ( ) 0 ( ) x + 0x + = x A minimumhely 5. A minimum értéke 4. Összesen: 4 pont ) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: f ( x) = 5x + 5, 5 és g ( x ) = x + x +, 5 a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! ( pont) x x f ( x ) g( x ),5 b) Adja meg a g függvény értékkészletét! ( pont) c) Oldja meg az 5x + 5, 5 x + x +, 5 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont) a) f ( ) = 0, 5 x + x +,5 =,5 x = b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: x x ( x ) + +,5 = + +,5 A függvény minimuma a,5. Az értékkészlet: 5, ; c) Rendezés után: x x, Az x x,75 = 0 egyenlet gyökei: x = és x =. Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x. Összesen: pont ) Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét! f x = x ( ) sin ( ) cos g x f értékkészlete: ; g értékkészlete: ; = x Összesen: pont

11 Függvények - megoldások 4) Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) A valós számok halmazán értelmezett f ( x ) = 4 hozzárendelési szabállyal megadott függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. b) Nincs két olyan prímszám, amelyek különbsége prímszám. c) Az cm sugarú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer akkora, mint területének cm -ben mért számértéke. d) Ha egy adathalmaz átlaga 0, akkor a szórása is 0. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis Összesen: 4 pont 5) a) Rajzolja fel a ; intervallumon értelmezett x x függvény grafikonját! b) Mennyi a legkisebb függvényérték? a) b) A legkisebb függvényérték:. Összesen: pont 6) Melyik az ábrán látható egyenes egyenlete az alábbiak közül? A: y = x + B: y = x + C: y = x, 5 D: y = x A helyes válasz betűjele: A. ( - 8 -

12 005-0XX Középszint 7) Az ábrán egy -4;4 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, hogy melyik formula adja meg helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x + b) x x + c) x x + d) x x + b) x x + Összesen: pont 8) Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x 4 függvény. Mely x értékek esetén lesz f ( x ) = 6? x =, x = 0 9) Az ábrán az x m x + b lineáris függvény grafikonjának egy részlete látható. Határozza meg m és b értékét! ( pont) b = 40 m = 0 40) Az ábrán az : ; ; ( ) f f x a Összesen: pont x = függvény grafikonja látható. a) Adja meg az f függvény értékkészletét! b) Határozza meg az a szám értékét! Az f értékkészlete 0,5;4. a = 0,5. Összesen: pont 4) Válassza ki az f függvény hozzárendelési szabályát az A, B, C, D lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak! D x - 0 f ( x ) A: f ( x) = x B: f ( x) = x C: f ( x) = x D: f ( x) = x - 8 -

13 4) Az ábrán a ;5 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x + B: x x + + C: x x + D: x x + Függvények - megoldások C 4) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? (4 pont) 0; intervallumon a következő egyenletet! b) Oldja meg a ( x ) cos x =. (6 pont) 4 c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! I) Az f :, f ( x) = sin x függvény páratlan függvény. g, g ( x) = cosx függvény értékkészlete a ; II) Az : intervallum. III) A : h, h ( x) cos a ; 4 4 intervallumon. zárt = x függvény szigorúan monoton növekszik a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: 7 = cos Ebből cos =, azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) = 60 b) Ha cos x =, akkor a megadott intervallumon x = 5, vagy x =. Ha cos x =, 4 akkor a megadott intervallumon x =, vagy x =. c) I) igaz II) hamis III) hamis Összesen: pont - 8 -

14 005-0XX Középszint 44) Adott a valós számok halmazán értelmezett x ( x ) függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? A helyes válasz: C ) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x + cos x függvény értékkészletét! A függvény értékkészlete: 0; 46) Az ábrán látható függvény értelmezési tartománya a ; intervallum, két zérushelye a és. Az értelmezési tartományának mely részhalmazán vesz fel a függvény pozitív értéket? A kérdéses intervallum: ; 47) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x ( x ) függvény minimumának helyét és értékét! A minimum helye:. A minimum értéke: 0. Összesen: pont 48) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x = x. (7 pont) Az f : R ; f ( x) = a x + b lineáris függvény zérushelye -4. Tudjuk továbbá, hogy az x = 4 helyen a függvényérték 6. b) Adja meg a és b értékét! (6 pont) a) Az egyenlet alakja x esetén: x = x, amiből x =, ami nem megoldása az eredeti egyenletnek. Az egyenlet alakja x = x, x esetén: ( ) amiből x =. Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalenciára hivatkozva.

15 b) A megadott feltételek szerint a ( ) Függvények - megoldások 4 + b = 0, továbbá a 4+ b = 6. Az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezve és a másik egyenletbe helyettesítve vagy a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy b =, a = 0, 75. Összesen: pont 49) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = + sin x függvény értékkészletét! Felírjuk a sinx függvény értékkészletét. sin x Ha az így kapott egyenlőtlenség minden oldalához hozzáadunk egyet, megkapjuk az + sin x függvény értékkészletét. 0 + sin x Tehát a megoldás 0;. Összesen: pont 50) Az alábbi függvények a pozitív számok halmazán értelmezettek: f x = x ( ) 5 ( ) = 5 g x x 5 h( x) = x i x = x ( ) 5 Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amelyik fordított arányosságot ír le! Egy függvény akkor ír le fordított arányosságot, ha x és y értékek szorzata állandó, így a h( x ) függvény a megoldás. Összesen: pont 5) Ábrázolja a ; 6 intervallumon értelmezett x x függvényt! (4 pont) A függvény grafikonja az abszolútérték függvény grafikonjából származik. Az abszolút értéken belüli x miatt vízszintesen pozitív irányba, az abszolút értéken kívüli x miatt pedig függőlegesen negatív irányba toljuk az eredeti függvényt. Végül a függvényt a megadott intervallumra szűkítjük. Összesen: 4 pont

16 005-0XX Középszint 5) a) Az ABC háromszög két csúcsa A ( ; ) és B ( ;7), súlypontja az origó. Határozza meg a C csúcs koordinátáit! ( pont) b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, amely -hoz -et és -hoz 7 -et rendel! (A hozzárendelési utasítást x ax + b alakban adja meg!) (5 pont) c) Adott az A ( ; ) és a B ( ;7) pont. Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz! (9 pont) a) A háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak C c ; c pont koordinátáira felírhatóak az alábbi számtani közepe, a ( ) egyenletek. + + c 0 =, amelyre c = c 0 =, amelyre c = 6 b) A függvény képe egy egyenes, meredeksége 7 ( ) 4 m = =. ( ) A ( ;7 ) ponton átmenő 4 meredekségű egyenes 4 egyenlete pedig y 7 = ( x ), így a hozzárendelés szabálya x 4 x +. ( pont) c) Jelöljük a kérdéses pontot P -vel! Mivel a P pont az x tengelyen van, így a második koordinátája 0. PA x; PB = x;7. Ha ( ;0) P x, akkor = ( ) és ( ) PA és PB vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha PA és PB vektorok skaláris szorzata 0. x x + 7 x 8 7 = 0, amelynek gyökei x = 4 és x = 4. ( ) ( ) ( ) (4 pont) Tehát a feladatnak két megoldása van, P ( 4;0 ) és ( ) 4;0 P. Összesen: 7 pont 5) Az alábbi hozzárendelési utasítások közül adja meg annak a betűjelét, amely a 0-hoz 4-et, a -höz pedig 0-t rendel! A : x x + 4 B : x x 4 C : x x + 4 D : x x 4 f f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = = 4 = + 4 = 0 tehát a megoldás a C : x x + 4 Összesen: pont

17 54) Az alábbi ábrán a ; Függvények - megoldások intervallumon értelmezett x x + függvény grafikonja látható. Adja meg a függvény értékkészletét! A függvény értékkészlete: 5; Összesen: pont 55) Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény: f : x ( x ) 4. a) Számítsa ki az f függvény x = 5 helyen felvett helyettesítési értékét! b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét! (5 pont) c) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: ( x ) 4 = x. (5 pont) a) f ( 5) = ( 5 ) 4 = b) Az ábrázolt függvény grafikonja az x x függvény grafikonjából eltolással származik tengelypontjának első koordinátája, második koordinátája -4. A függvénynek az x = helyen van szélsőértéke (minimuma), melynek értéke -4. c) A g : x x függvény helyes ábrázolása (ugyanabban a koordinátarendszerben) A metszéspontok első koordinátáinak leolvasása: x = x =. A kapott értékek ellenőrzése behelyettesítéssel. Összesen: pont