MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm. Számítsa ki a háromszög területét! A háromszög területe 30 cm. 3) Egy vállalat Ft-ért vásárol egy számítógépet. A gép egy év alatt 10%-ot veszít az értékéből. Mennyi lesz a gép értéke 1 év elteltével? Írja le a számítás menetét! A gép értékének 10%-a: , (Ft) Egy év múlva: Ft 5000 Ft VAGY: Egy év után 90%-ra csökken az érték: 0, A gép értéke: Ft lesz. Összesen: 3 pont 4) Számítsa ki az szög nagyságát az alábbi derékszögű háromszögben! sin 5 3, 58.

2 5) a) Rajzolja fel a 3; 3 intervallumon értelmezett x x 1 függvény grafikonját! b) Mennyi a legkisebb függvényérték? a) b) A legkisebb függvényérték: 1. Összesen: 3 pont 6) Melyik az az x természetes szám, amelyre log 81 x? x 4 3 7) Egy dobozban 50 darab golyó van, közülük 10 darab piros színű. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy golyót véletlenszerűen kihúzva pirosat húzunk? (Az egyes golyók húzásának ugyanakkora a valószínűsége.) vagy 1 5 vagy 0, vagy 0 % 8) Adja meg azoknak a 0 és 360 közötti szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! cos Összesen: pont

3 9) Melyik az ábrán látható egyenes egyenlete az alábbiak közül? A : y x 3 B : y x 3 C : y x 1, 5 D : y x 3 A helyes válasz betűjele: A. 10) Egy álláshirdetésre négyen jelentkeznek: Aladár, Béla, Cecil és Dénes. Az adott időben megjelennek a vállalatnál, s akkor kiderül, hogy közülük hárman, Aladár, Béla és Cecil osztálytársak voltak. Dénes csak Aladárt ismeri, ők régebben egy kosárlabdacsapatban játszottak. Szemléltesse az ismeretségeket gráffal! (Az ismeretségek kölcsönösek.) 11) Egy henger alakú bögre belsejének magassága 1 cm, belső alapkörének átmérője 8 cm. Belefér-e egyszerre 1 liter kakaó? Válaszát indokolja! (4 pont) V r m V 603 cm 1 liter=500 cm 3, tehát belefér a bögrébe. Összesen: 4 pont

4 1) Három tömör játékkockát az ábrának megfelelően rakunk össze. Mindegyik kocka éle 3 cm. Mekkora a keletkező test a) felszíne, b) térfogata? Számítását írja le! a) Egy lap területe 9 cm. A felszín 14 lap területének összege. A 14 9 cm 16 cm. 3 3 b) A keletkező test térfogata 3 3 cm 81 cm 3. Összesen: 4 pont

5 13) I/A. a) Melyik xy ; valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? x 6y 4 (6 pont) 3x 5y 0 b) Oldja meg az alábbi egyenletet! x x (6 pont) a) 1 x 6y 4 3x 5y 0 1 x 4 6y x 3y 3 3y 5y 0 6 9y 5y 0 y 1 x 3y 5 Ellenőrzés. 51 ;. b) x x x x x x x1, x 1 x 1 Ellenőrzés: x 1 hamis gyök. x 1 megoldása az egyenletnek. Összesen: 1 pont

6 14) Egy osztályban a következő háromféle sportkört hirdették meg: kosárlabda, foci és röplabda. Az osztály 30 tanulója közül kosárlabdára 14, focira 19, röplabdára 14 tanuló jelentkezett. Ketten egyik sportra sem jelentkeztek. Három gyerek kosárlabdázik és focizik, de nem röplabdázik, hatan fociznak és röplabdáznak, de nem kosaraznak, ketten pedig kosárlabdáznak és röplabdáznak, de nem fociznak. Négyen mind a háromféle sportot űzik. a) Írja be a megadott halmazábrába (1. ábra) a szövegnek megfelelő számokat! (4 pont) b) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását! A focira jelentkezett tanulók közül mindenkinek van testvére. c) A focira jelentkezett 19 tanulóból öten vehetnek részt egy edzőtáborban. Igazolja, hogy több, mint féleképpen lehet kiválasztani az öt tanulót! d) Az iskolák közötti labdarúgóbajnokságra jelentkezett 6 csapat között lejátszott mérkőzéseket szemlélteti a. ábra. Hány mérkőzés van még hátra, ha minden csapat minden csapattal egy mérkőzést játszik a bajnokságban? (Válaszát indokolja!) a) (4 pont)

7 b) A focira jelentkezettek között van olyan, akinek nincs testvére. VAGY: A focira jelentkezettek közül nem mindenkinek van testvére. c) Az öt tanulót féleképpen lehet kiválasztani. 5 5! d) A mérkőzések száma összesen: Eddig lejátszottak 9 mérkőzést. 6 mérkőzés van még hátra. Összesen: 1 pont 15) Egy számtani sorozat első tagja 5, második tagja 8. a) Adja meg a sorozat 80. tagját! b) Tagja-e a fenti sorozatnak a 005? (Válaszát számítással indokolja!) c) A sorozat első n tagját összeadva az összeg Határozza meg n értékét! (7 pont) a) a1 5 és a 8 d a a1 3 a a d a80 4. b) Ha 005 a sorozat n-edik tagja, akkor 000 n 1 3 azaz Mivel n 1 3 n, a 005 nem tagja a sorozatnak. c) 5 5 n 1 3 Az első n tag összege: Sn n 1550 Ebből 10 3n 3 n 3100, azaz 3n 7n n1, 6 n n 6 Mivel n, n1 31 lehet csak a válasz. Ellenőrzés: , tehát 31 tagot kell összeadni. Összesen: 1 pont

8 II/B. 16) Tekintsük a koordinátarendszerben adott A6; 9, B5; 4 és C 1 ; pontokat! a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írja fel az AB oldalegyenes egyenletét! (4 pont) c) Igazolja (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van! (6 pont) d) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (5 pont) a) AC 8; 8 AC AC , 31 b) AB v 11; 5 n 5;11 5 m 11 Az AB egyenes egyenlete: 5x 11y 69 vagy y 5 69 x c) A CB 3;3 CA 8;8 A vektorok skaláris szorzata: CB CA Mivel a két vektor skaláris szorzata 0, a két vektor merőleges egymásra, azaz a C csúcsnál derékszög van. d) Mivel derékszögű a háromszög, Thalész tétele alapján a körülírt kör középpontja az átfogó felezőpontja, a kör sugara pedig az átfogó fele. F 0,5;6,5 A kör sugara: AB 146 R 6,04 A kör egyenlete: x y 0, 5 6, 5 36, 5 Összesen: 17 pont

9 17) Budapestről reggel 7 órakor egy tehervonat indul Debrecenbe, amely megállás nélkül egyenletes sebességgel halad. A koordinátarendszerben a tehervonat által megtett utat ábrázoltuk az idő függvényében. a) Mekkora utat tett meg a tehervonat az első órában? b) Számítsa ki, hogy hány óra alatt tesz meg a tehervonat 108 kilométert? Budapestről reggel 7 óra 30 perckor egy gyorsvonat is indul ugyanazon az útvonalon Debrecenbe, amely megállás nélkül 70 km/h állandó nagyságú sebességgel halad. c) Rajzolja be a fenti koordinátarendszerbe a gyorsvonat út-idő grafikonját a 7 óra 30 perc és 9 óra 30 perc közötti időszakban! d) Számítsa ki, hogy mikor és mekkora út megtétele után éri utol a gyorsvonat a tehervonatot! (11 pont) a) 40 km. b),7 óra.

10 c) d) A tehervonat 0,5 óra alatt 0 km-t tesz meg. A gyorsvonat 1 óra alatt 30 km-rel tesz meg többet, mint a tehervonat, azaz percenként 0,5 km-t hoz be a hátrányából. A tehervonat 0 km-es előnyét a gyorsvonat 40 perc alatt hozza be, tehát 8 óra 10 perckor éri utol. (4 pont) , A gyorsvonat kb. 46,7 km úton éri utol a tehervonatot. Ellenőrzés. Összesen: 17 pont

11 18) Anna, Béla, Cili és Dénes színházba megy. Jegyük a bal oldal 10. sor 1.,., 3., 4. helyére szól. a) Hányféle sorrendben tudnak leülni a négy helyre? b) Hányféleképpen tudnak leülni a négy helyre úgy, hogy Anna és Béla egymás mellé kerüljenek? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Anna és Béla jegye egymás mellé szól, ha a fenti négy jegyet véletlenszerűen osztjuk ki közöttük? (4 pont) A színház 100 személyes. A szombati előadásra az összes jegy elkelt. Az eladott jegyek 40%-a 800 Ft-os, 5%-a 1000 Ft-os, 0%-a 100 Ft-os, 15%-a 1500 Ft-os jegy volt. d) Ábrázolja kördiagramon az eladott jegyek jegyárak szerinti százalékos megoszlását! e) Számítsa ki, hogy átlagosan mennyibe kerül egy színházjegy! (5 pont) a) 4! 4. b) Anna és Béla egymás mellett ülnek, ezért egy elemnek tekinthetjük őket, azaz 3 elemet kell permutálnunk: 3!. Anna és Béla bármelyik fenti sorrendben helyet cserélhetnek egymással, ezért azon esetek száma, amikor Anna és Béla egymás mellett ülnek: 3! 1 kedvező esetek száma 3! c) összes esetek száma 4! A kérdezett valószínűség: 4 vagy 05, vagy 50 %. d) A megadott százalékértékeknek megfelelő szögek: 800Ft, 40%: 144, 1000 Ft, 5%: 90, 100 Ft, 0%: 7, 1500 Ft, 15%: 54.

12 e) Kiszámolható, hogy a különböző árú jegyekből hány darab fogyott: 480 db 800 Ft-os jegy; 300 db 1000 Ft-os jegy; 40 db 100 Ft-os jegy; 180 db 1500 Ft-os jegy Az átlagár tehát 1035 Ft. Összesen: 17 pont