MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria"

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Adott két pont: A 4 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B F F 1 ) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a egyenletét! x y , vagy 3) Írja fel a egyenletét! 7 5x 8y x 8y 46 4) Adottak az koordinátával! 6 b b 5 b 5 1 a 64 Írja fel az AB szakasz B 3 5 x y 6x 10y 18 0 ponton átmenő, és az a b 11 5 n 58 pont. írja fel a kör normálvektorú egyenes Összesen: pont vektorok. Adja meg a b vektort a Összesen: 3 pont

2 5) Az ABC háromszög két oldalának vektora és. Fejezze ki ezek segítségével az A csúcsból a szemközti oldal F felezőpontjába mutató AF vektort! AB c AC b AF b c Összesen: pont 6) Egy négyzet oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x 1, valamint az y 1 egyenletű egyenesek. a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben a négyzetet, és adja meg csúcsainak koordinátáit! b) Írja fel a négyzet köré írható kör egyenletét! (5 pont) c) Állapítsa meg, hogy a négyzet kerülete hány százaléka a kör kerületének? d) Az Számítsa ki e részek területének arányát! (8 pont) a) y 4x egyenletű egyenes a négyzetet két részre bontja. A csúcspontok koordinátái: b) A kör középpontja: c) A kör sugara: A kör egyenlete: Knégyzet 4 K 1 1 A 00, B 10, C 11, D x y. Knégyzet r 4,44 4 0,90 vagyis 90%-a. 4,44

3 d) L rajta van az Így ezért L DL 4 y 1 és az y 4x egyenesek metszéspontján., Az AEDL trapéz területe Az EBCL trapéz területe A két terület aránya 3 : 5 Összesen: 17 pont 7) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a ponton és párhuzamos a egyenletű egyenessel! 4x 5y 4x 5y 0 P Összesen: 3 pont 8) Egy rombusz átlóinak hossza 1 és 0. Számítsa ki az átlóvektorok skalárszorzatát! Válaszát indokolja! Az átlóvektorok merőlegesek egymásra, ezért a skalárszorzat értéke 0. Összesen: 3 pont

4 9) a) Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest, melynek egyenlete 4x 3y 11. Számítással döntse el, hogy a pont rajta van-e az egyenesen! Az egyenesen levő Q pont ordinátája (második koordinátája) 107. Számítsa ki a Q pont abszcisszáját (első koordinátáját)! (4 pont) b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét, ahol és. P S A 5 3 B 1 5 Számítással döntse el, hogy az pont rajta van-e a körön! (7 pont) c) Adja meg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, a) Mivel hogy az S pont a háromszög súlypontja! ezért a P pont nincs az egyenesen. Az e egyenes ábrázolása. A Q pontra: , ahonnan a Q pont abszcisszája: x 83. x b) Az AB szakasz felezőpontja F. F 1 A kör sugara: r AF A kör egyenlete: Mivel rajta van a körön. c) A C pont koordinátái: x y S koordinátáira felírható: 51 x 1 c 3 Ahonnan xc y 3 c 3 c x y 1 5 c ezért az S pont (6 pont), y 11 c Tehát C 7 11 A feladat megoldható vektorműveletekkel is azt az összefüggést felhasználva, hogy a háromszög súlypontja a súlyvonalon az oldalhoz közelebbi harmadolópont. Összesen: 17 pont

5 c a b 10) Fejezze ki az i és a j vektorok segítségével a vektort, ha és b i j! a 3i j c a b c 6i 4j i 5j 5 c 3i j i 5j c 7i 9 j Összesen: 3 pont 11) Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a KA és b KB. Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a KF vektort! a b KF 1) Adott a koordináta-rendszerben az középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y 16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! (8 pont) b) Írja fel a kör pontjában húzható érintőjének egyenletét! Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! (4 pont) P 1 a) A kör egyenlete Ebbe behelyettesítve az x 9 y y 16-ot: A 9 8 x x 15 vagy x 3 Az egyenlet megoldva: A közös pontok: és 3 16 b) Az érintő normálvektora az AP AP 86 Az érintő egyenlete Az érintő iránytangense vektor. 4x 3y ) Az A 7 1 pontot egy r vektorral eltolva a meg az r vektor koordinátáit! A keresett vektor: r Összesen: 1 pont B 58 pontot kapjuk. Adja 1 4.

6 14) Jelölje X-szel a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül melyikek adják meg a 300 -os irányszögű egységvektor koordinátáit és melyikek nem! e 1 3 e 3 1 e 1 3 e sin30 cos 30 e 1 3 e e e sin30 cos 30 IGEN NEM IGEN NEM 15) Számítsa ki a következő vektorok skaláris szorzatát! Határozza meg a két vektor által bezárt szöget! a 5 8 b 40 5 A két vektor skaláris szorzata 0. A két vektor szöge derékszög. 16) Adott az x y 6x 8y 56 0 X X X X (4 pont) (4 pont) Összesen: 3 pont egyenletű kör és az x 8, 4 0 egyenletű egyenes. a) Számítsa ki a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit! (6 pont) b) Mekkora távolságra van a kör középpontja az egyenestől? (5 pont) Egy 9 cm sugarú kört egy egyenes két körívre bont. Az egyenes a kör középpontjától 5,4 cm távolságban halad. c) Számítsa ki a hosszabb körív hosszát! (A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (6 pont)

7 a) Megoldandó az Behelyettesítés után: y amelyből x y 6x 8y 56 0 x 8,4 y 3, vagy y 11,. Két közös pont van: egyenletrendszer. 8y 35,84 0 8, 4 3,, 8, 4 11, P P 1 1 x 3 y 4 81 b) A kör egyenlete átalakítva: A kör középpontja C 3 4 (és sugara 9) Az egyenes párhuzamos az ordinátatengellyel, ezért a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontja T 8,4 4 C Az egyenes TC ,4 3, egység távolságra van a kör középpontjától. c) Helyes ábra A CFP derékszögű háromszögből: 5,4 cos 0,6 9 tehát A PQ hosszabb körívhez tartozó középponti szög A körív hossza: 53, , ,74 39,9 360 A hosszabb PQ körív hossza kb. 39,9 cm. A feladat megoldható a rövidebb PQ körívhez tartozó α középponti szög kiszámításával, majd ebből a körív hosszának meghatározásával is. Összesen: 17 pont 17) Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái: C 45 A 00, B 4. a) Írja fel az AB oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki az ABC háromszög legnagyobb szögét! A választ tized fokra kerekítve adja meg! (7 pont) c) Számítsa ki az ABC háromszög területét! 4 a) Az egyenes átmegy az origón m, Egyenlete: y x b) A háromszög legnagyobb szöge a legnagyobb oldallal szemben van (vagy mindhárom szöget kiszámolja). Az oldalhosszúságok: AB 0, AC 41, BC 37. Az AC-vel szemben levő szög legyen β. Alkalmazva a koszinusz tételt: C 9 5,4 P F Q,

8 cos cos 0,941, 7,9 c) A háromszög egy területképlete: t 0 37 sin7,9. t A háromszög területe 13 (területegység). AB BC sin Összesen: 1 pont 18) Három egyenes egyenlete a következő (a és b valós számokat jelölnek): e : y x 3 f : y ax 1 g : y bx 4 Milyen számot írjunk az a helyére, hogy az e és f egyenesek párhuzamosak legyenek? Melyik számot jelöli b, ha a g egyenes merőleges az e egyenesre? a b Összesen: 3 pont 19) Egy kör az és pontokban metszi az x tengelyt. Tudjuk, hogy a kör középpontja az y x egyenletű egyenesre illeszkedik. Írja fel a kör középpontjának koordinátáit! Válaszát indokolja! A középpont a húr felező merőlegesén van, így az első koordinátája 4. A középpont:. Összesen: 3 pont O 44 0) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái:, és. a) Számítsa ki az ABC háromszög szögeit! (5 pont) b) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (7 pont) A 3 B 3 C 00 a) Az ABC háromszög egyenlő szárú. Az AB alapon fekvő hegyesszögek tangense tehát az alapon fekvő szögek nagysága 33,7, a szárak szöge pedig 11,6. 3

9 b) A körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek közös pontja, ez a szimmetria miatt az ordinátatengelyen van. felezőponton. 1,51 Az AC oldal felezőmerőlegese átmegy a Az AC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora a CA, CA 3. Az AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete:. Ez az y tengelyt a pontban metszi (ez a körülírt kör középpontja). A kör sugara 3,5. 3x y 6,5 03,5 A körülírt kör egyenlete: x y 3,5 3,5. Összesen: 1 pont e : 5x y 14, 5, f : x 5y 14, 5. 1) Adott két egyenes: a) Határozza meg a két egyenes P metszéspontjának koordinátáit! (4 pont) b) Igazolja, hogy az e és az f egyenesek egymásra merőlegesek! (4 pont) c) Számítsa ki az e egyenes x tengellyel bezárt szögét! (4 pont) a) (A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása adja a P koordinátáit.) Az első egyenletből: y,5x 7,5. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe és rendezve. y 3,5 Tehát P 1, 5 3, 5. x 1,5 b) Az egyenesek meredeksége: m 5 e m f 5 A meredekségek szorzata 1, tehát a két egyenes merőleges. A feladat megoldható a normálvektorok skaláris szorzatát megvizsgálva is. c) Az e egyenes meredeksége,5, tehát az egyenes x tengellyel bezárt α szögére igaz, hogy tg,5. Ebből 68,. Összesen: 1 pont ) Írja fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos a egyenletű f egyenessel és áthalad a ponton! Válaszát indokolja! x y 5 P 3 Az f egyenes meredeksége, így az e egyenes meredeksége is. m x x y y 0 0 y x 8

10 x y 9 3) Adja meg az egyenletű kör K középpontjának koordinátáit és sugarának hosszát! K 0 r 3 Összesen: 4) Adja meg a egyenletű egyenes és az x tengely M metszéspontjának a koordinátáit, valamint az egyenes meredekségét! A metszéspont x y 4 M 0 Az egyenes meredeksége.. Összesen: 3 pont 5) A PQR háromszög csúcsai:, és. a) Írja fel a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal egyenesének egyenletét! (5 pont) b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát! (7 pont) P 6 1 Q 6 6 R 5 a) A kérdéses súlyvonalra a P csúcs és a vele szemközti oldal felezőpontja illeszkedik. A QR szakasz felezőpontja. A súlyvonal egy irányvektora: F 4 0,5 PF 100,5. A súlyvonal egyenlete: x y b) (A kérdéses szöget a háromszög oldalvektorai skalárszorzatának segítségével 1 5 PR lehet meghatározni.) Az oldalvektorok PQ és A két vektor skalárszorzata a koordinátákból: PQ PR Az oldalvektorok hossza PQ 13 és PR 10 A két vektor skalárszorzata a definíció szerint: cos PQ PR ahol a két vektor által bezárt szöget jelöli. Innen: cos 0,5077 (mivel 0 180) Összesen: 1 pont 59, 5,

11 6) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A 1, B 9 3, és C 3 6 a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát! (6 pont) a) A BC oldalegyenes egy irányvektora a Ezzel az egyenes egyenlete: BC 19 9x 1y vektor.., azaz:. b) A BC oldallal párhuzamos középvonal hossza fele a BC oldal hosszának. 3x 4y 15 9x 1y 45 A BC oldal hossza: A középvonal hossza: ,. AB 15 BC 15, AC c) Az ABC háromszög oldalainak hossza:,. A C csúcsnál lévő belső szöget jelölje. Alkalmazva a koszinusztételt: cos cos 0,7071 (Mivel 0 180, így) , B Összesen: 1 pont 7) Tekintsük a koordinátarendszerben adott és pontokat! a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írja fel az AB oldalegyenes egyenletét! (4 pont) c) Igazolja (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van! (6 pont) d) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (5 pont) A C 1 a) AC 8 8

12 b) c) A AC AC , AB v 11 5 n m Az AB egyenes egyenlete: 5x 11y 69 vagy y x CA CB A vektorok skaláris szorzata: CB CA Mivel a két vektor skaláris szorzata 0, a két vektor merőleges egymásra, azaz a C csúcsnál derékszög van. d) Mivel derékszögű a háromszög, Thalész tétele alapján a körülírt kör középpontja az átfogó felezőpontja, a kör sugara pedig az átfogó fele. F 0,56,5 A kör sugara: AB 146 R 6,04 A kör egyenlete: 8) Adottak az a 4 3 x 0, 5 y 6, 5 36, 5 és b 1 vektorok. Összesen: 17 pont a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a b koordinátáit! a) b) a a b ) Adott a síkon az a) Állapítsa meg, hogy az A(77) pont illeszkedik-e a körre! b) Határozza meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! (5 pont) c) Legyenek A(77) és B (00) egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az x y x y 47 0 egyenletű körön. Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! (10 pont) x y x y 47 0 egyenletű kör. a) Tehát a pont nem illeszkedik a körre. b) x y K 11 r 7

13 c) A háromszög harmadik csúcsa az alap felezőmerőlegesén van. Az AB oldal felezőpontja: F 3,53,5 Az AB oldal felezőmerőlegesének normálvektora n 77 A felezőmerőleges egyenlete x y 7. A háromszög harmadik csúcsát a kör és a felezőmerőleges metszéspontja adja: x y C x y y 7 x 5x y 8 1 x 6 x C ) Adott a koordináta-rendszerben két pont: x y x y 6 10 A 1 3 és B Összesen: 17 pont 7 1 a) Írja fel az A és B pontokra illeszkedő e egyenes egyenletét! (4 pont) b) Számítással igazolja, hogy az A és a B pont is illeszkedik az egyenletű k körre, és számítsa ki az AB húr hosszát! (4 pont) Az f egyenesről tudjuk, hogy illeszkedik az A pontra és merőleges az AB szakaszra. c) Számítsa ki a k kör és az f egyenes (A-tól különböző) metszéspontjának koordinátáit! (9 pont) a) AB 6. Az e egyenes egy normálvektora: n 1 3, egyenlete: x 3y 10 x 3y b) A pont koordinátáinak behelyettesítésével adódik: B pont koordinátáinak behelyettesítésével adódik: Az AB húr hossza ,3, tehát az A pont illeszkedik a k körre., tehát a B pont illeszkedik a k körre.. c) Az f egyenes egy normálvektora: n 31 Az f egyenes egyenlete 3x y 0. A metszéspont koordinátáit a k kör és az f egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Az f egyenes egyenletéből y 3x. Ezt a kör egyenletébe helyettesítve: x 9x 6x 3x 10.

14 Egyszerűsítés után adódik: Ennek (az 1-től különböző) megoldása Így a keresett pont: C 13. Összesen: 17 pont 31) Adott az A 5 és a x 1. B 3 pont. x 1. a) Számítással igazolja, hogy az A és B pontok illeszkednek az egyenletű e egyenesre! b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét! (5 pont) c) Írja fel annak az f egyenesnek az egyenletét, amely az AB átmérőjű kört a B pontban érinti! (5 pont) a) x y (igaz) 1 (igaz) b) A kör középpontja az AB szakasz C felezőpontja,. 10 ennek koordinátái kör sugara az AC szakasz, ennek hossza. A 0 A kör egyenlete:. c) Az f merőleges az AB szakaszra. Az f egy normálvektora a BA vektor, ennek koordinátái Az f egyenlete: azaz x y x 1 y x 4y Összesen: 1 pont

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint Matematika Gyakorló feladatok vizsgára. évf. emelt szint Egyenletek, egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 4 c) d) e) 4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! = c) =8 d)

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA MI ILYENNEK KÉPZELJÜK Minta feladatsorok a középszintű MATEMATIKA érettségire való felkészüléshez II. RÉSZ Összeállították: a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium vezetőtanárai

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 4. modul Körrel kapcsolatos fogalmak Készítette: Lénárt István és Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 4. modul: Körrel kapcsolatos fogalmak Tanári útmutató A modul célja Időkeret

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7 Tartalomjegyzék Előszó 2 FELADATSOROK 3 IX. osztály......................... 3 X. osztály.......................... 4 XI. osztály......................... 5 XII. osztály......................... 7 MEGOLDÁSOK

Részletesebben