MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Adott két pont: A 4 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B F F 1 ) Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a egyenletét! x y , vagy 3) Írja fel a egyenletét! 7 5x 8y x 8y 46 4) Adottak az koordinátával! 6 b b 5 b 5 1 a 64 Írja fel az AB szakasz B 3 5 x y 6x 10y 18 0 ponton átmenő, és az a b 11 5 n 58 pont. írja fel a kör normálvektorú egyenes Összesen: pont vektorok. Adja meg a b vektort a Összesen: 3 pont

2 5) Az ABC háromszög két oldalának vektora és. Fejezze ki ezek segítségével az A csúcsból a szemközti oldal F felezőpontjába mutató AF vektort! AB c AC b AF b c Összesen: pont 6) Egy négyzet oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x 1, valamint az y 1 egyenletű egyenesek. a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben a négyzetet, és adja meg csúcsainak koordinátáit! b) Írja fel a négyzet köré írható kör egyenletét! (5 pont) c) Állapítsa meg, hogy a négyzet kerülete hány százaléka a kör kerületének? d) Az Számítsa ki e részek területének arányát! (8 pont) a) y 4x egyenletű egyenes a négyzetet két részre bontja. A csúcspontok koordinátái: b) A kör középpontja: c) A kör sugara: A kör egyenlete: Knégyzet 4 K 1 1 A 00, B 10, C 11, D x y. Knégyzet r 4,44 4 0,90 vagyis 90%-a. 4,44

3 d) L rajta van az Így ezért L DL 4 y 1 és az y 4x egyenesek metszéspontján., Az AEDL trapéz területe Az EBCL trapéz területe A két terület aránya 3 : 5 Összesen: 17 pont 7) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a ponton és párhuzamos a egyenletű egyenessel! 4x 5y 4x 5y 0 P Összesen: 3 pont 8) Egy rombusz átlóinak hossza 1 és 0. Számítsa ki az átlóvektorok skalárszorzatát! Válaszát indokolja! Az átlóvektorok merőlegesek egymásra, ezért a skalárszorzat értéke 0. Összesen: 3 pont

4 9) a) Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest, melynek egyenlete 4x 3y 11. Számítással döntse el, hogy a pont rajta van-e az egyenesen! Az egyenesen levő Q pont ordinátája (második koordinátája) 107. Számítsa ki a Q pont abszcisszáját (első koordinátáját)! (4 pont) b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét, ahol és. P S A 5 3 B 1 5 Számítással döntse el, hogy az pont rajta van-e a körön! (7 pont) c) Adja meg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, a) Mivel hogy az S pont a háromszög súlypontja! ezért a P pont nincs az egyenesen. Az e egyenes ábrázolása. A Q pontra: , ahonnan a Q pont abszcisszája: x 83. x b) Az AB szakasz felezőpontja F. F 1 A kör sugara: r AF A kör egyenlete: Mivel rajta van a körön. c) A C pont koordinátái: x y S koordinátáira felírható: 51 x 1 c 3 Ahonnan xc y 3 c 3 c x y 1 5 c ezért az S pont (6 pont), y 11 c Tehát C 7 11 A feladat megoldható vektorműveletekkel is azt az összefüggést felhasználva, hogy a háromszög súlypontja a súlyvonalon az oldalhoz közelebbi harmadolópont. Összesen: 17 pont

5 c a b 10) Fejezze ki az i és a j vektorok segítségével a vektort, ha és b i j! a 3i j c a b c 6i 4j i 5j 5 c 3i j i 5j c 7i 9 j Összesen: 3 pont 11) Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a KA és b KB. Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a KF vektort! a b KF 1) Adott a koordináta-rendszerben az középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y 16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! (8 pont) b) Írja fel a kör pontjában húzható érintőjének egyenletét! Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! (4 pont) P 1 a) A kör egyenlete Ebbe behelyettesítve az x 9 y y 16-ot: A 9 8 x x 15 vagy x 3 Az egyenlet megoldva: A közös pontok: és 3 16 b) Az érintő normálvektora az AP AP 86 Az érintő egyenlete Az érintő iránytangense vektor. 4x 3y ) Az A 7 1 pontot egy r vektorral eltolva a meg az r vektor koordinátáit! A keresett vektor: r Összesen: 1 pont B 58 pontot kapjuk. Adja 1 4.

6 14) Jelölje X-szel a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül melyikek adják meg a 300 -os irányszögű egységvektor koordinátáit és melyikek nem! e 1 3 e 3 1 e 1 3 e sin30 cos 30 e 1 3 e e e sin30 cos 30 IGEN NEM IGEN NEM 15) Számítsa ki a következő vektorok skaláris szorzatát! Határozza meg a két vektor által bezárt szöget! a 5 8 b 40 5 A két vektor skaláris szorzata 0. A két vektor szöge derékszög. 16) Adott az x y 6x 8y 56 0 X X X X (4 pont) (4 pont) Összesen: 3 pont egyenletű kör és az x 8, 4 0 egyenletű egyenes. a) Számítsa ki a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit! (6 pont) b) Mekkora távolságra van a kör középpontja az egyenestől? (5 pont) Egy 9 cm sugarú kört egy egyenes két körívre bont. Az egyenes a kör középpontjától 5,4 cm távolságban halad. c) Számítsa ki a hosszabb körív hosszát! (A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (6 pont)

7 a) Megoldandó az Behelyettesítés után: y amelyből x y 6x 8y 56 0 x 8,4 y 3, vagy y 11,. Két közös pont van: egyenletrendszer. 8y 35,84 0 8, 4 3,, 8, 4 11, P P 1 1 x 3 y 4 81 b) A kör egyenlete átalakítva: A kör középpontja C 3 4 (és sugara 9) Az egyenes párhuzamos az ordinátatengellyel, ezért a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontja T 8,4 4 C Az egyenes TC ,4 3, egység távolságra van a kör középpontjától. c) Helyes ábra A CFP derékszögű háromszögből: 5,4 cos 0,6 9 tehát A PQ hosszabb körívhez tartozó középponti szög A körív hossza: 53, , ,74 39,9 360 A hosszabb PQ körív hossza kb. 39,9 cm. A feladat megoldható a rövidebb PQ körívhez tartozó α középponti szög kiszámításával, majd ebből a körív hosszának meghatározásával is. Összesen: 17 pont 17) Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái: C 45 A 00, B 4. a) Írja fel az AB oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki az ABC háromszög legnagyobb szögét! A választ tized fokra kerekítve adja meg! (7 pont) c) Számítsa ki az ABC háromszög területét! 4 a) Az egyenes átmegy az origón m, Egyenlete: y x b) A háromszög legnagyobb szöge a legnagyobb oldallal szemben van (vagy mindhárom szöget kiszámolja). Az oldalhosszúságok: AB 0, AC 41, BC 37. Az AC-vel szemben levő szög legyen β. Alkalmazva a koszinusz tételt: C 9 5,4 P F Q,

8 cos cos 0,941, 7,9 c) A háromszög egy területképlete: t 0 37 sin7,9. t A háromszög területe 13 (területegység). AB BC sin Összesen: 1 pont 18) Három egyenes egyenlete a következő (a és b valós számokat jelölnek): e : y x 3 f : y ax 1 g : y bx 4 Milyen számot írjunk az a helyére, hogy az e és f egyenesek párhuzamosak legyenek? Melyik számot jelöli b, ha a g egyenes merőleges az e egyenesre? a b Összesen: 3 pont 19) Egy kör az és pontokban metszi az x tengelyt. Tudjuk, hogy a kör középpontja az y x egyenletű egyenesre illeszkedik. Írja fel a kör középpontjának koordinátáit! Válaszát indokolja! A középpont a húr felező merőlegesén van, így az első koordinátája 4. A középpont:. Összesen: 3 pont O 44 0) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái:, és. a) Számítsa ki az ABC háromszög szögeit! (5 pont) b) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (7 pont) A 3 B 3 C 00 a) Az ABC háromszög egyenlő szárú. Az AB alapon fekvő hegyesszögek tangense tehát az alapon fekvő szögek nagysága 33,7, a szárak szöge pedig 11,6. 3

9 b) A körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek közös pontja, ez a szimmetria miatt az ordinátatengelyen van. felezőponton. 1,51 Az AC oldal felezőmerőlegese átmegy a Az AC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora a CA, CA 3. Az AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete:. Ez az y tengelyt a pontban metszi (ez a körülírt kör középpontja). A kör sugara 3,5. 3x y 6,5 03,5 A körülírt kör egyenlete: x y 3,5 3,5. Összesen: 1 pont e : 5x y 14, 5, f : x 5y 14, 5. 1) Adott két egyenes: a) Határozza meg a két egyenes P metszéspontjának koordinátáit! (4 pont) b) Igazolja, hogy az e és az f egyenesek egymásra merőlegesek! (4 pont) c) Számítsa ki az e egyenes x tengellyel bezárt szögét! (4 pont) a) (A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása adja a P koordinátáit.) Az első egyenletből: y,5x 7,5. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe és rendezve. y 3,5 Tehát P 1, 5 3, 5. x 1,5 b) Az egyenesek meredeksége: m 5 e m f 5 A meredekségek szorzata 1, tehát a két egyenes merőleges. A feladat megoldható a normálvektorok skaláris szorzatát megvizsgálva is. c) Az e egyenes meredeksége,5, tehát az egyenes x tengellyel bezárt α szögére igaz, hogy tg,5. Ebből 68,. Összesen: 1 pont ) Írja fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos a egyenletű f egyenessel és áthalad a ponton! Válaszát indokolja! x y 5 P 3 Az f egyenes meredeksége, így az e egyenes meredeksége is. m x x y y 0 0 y x 8

10 x y 9 3) Adja meg az egyenletű kör K középpontjának koordinátáit és sugarának hosszát! K 0 r 3 Összesen: 4) Adja meg a egyenletű egyenes és az x tengely M metszéspontjának a koordinátáit, valamint az egyenes meredekségét! A metszéspont x y 4 M 0 Az egyenes meredeksége.. Összesen: 3 pont 5) A PQR háromszög csúcsai:, és. a) Írja fel a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal egyenesének egyenletét! (5 pont) b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát! (7 pont) P 6 1 Q 6 6 R 5 a) A kérdéses súlyvonalra a P csúcs és a vele szemközti oldal felezőpontja illeszkedik. A QR szakasz felezőpontja. A súlyvonal egy irányvektora: F 4 0,5 PF 100,5. A súlyvonal egyenlete: x y b) (A kérdéses szöget a háromszög oldalvektorai skalárszorzatának segítségével 1 5 PR lehet meghatározni.) Az oldalvektorok PQ és A két vektor skalárszorzata a koordinátákból: PQ PR Az oldalvektorok hossza PQ 13 és PR 10 A két vektor skalárszorzata a definíció szerint: cos PQ PR ahol a két vektor által bezárt szöget jelöli. Innen: cos 0,5077 (mivel 0 180) Összesen: 1 pont 59, 5,

11 6) Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A 1, B 9 3, és C 3 6 a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát! (6 pont) a) A BC oldalegyenes egy irányvektora a Ezzel az egyenes egyenlete: BC 19 9x 1y vektor.., azaz:. b) A BC oldallal párhuzamos középvonal hossza fele a BC oldal hosszának. 3x 4y 15 9x 1y 45 A BC oldal hossza: A középvonal hossza: ,. AB 15 BC 15, AC c) Az ABC háromszög oldalainak hossza:,. A C csúcsnál lévő belső szöget jelölje. Alkalmazva a koszinusztételt: cos cos 0,7071 (Mivel 0 180, így) , B Összesen: 1 pont 7) Tekintsük a koordinátarendszerben adott és pontokat! a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írja fel az AB oldalegyenes egyenletét! (4 pont) c) Igazolja (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van! (6 pont) d) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (5 pont) A C 1 a) AC 8 8

12 b) c) A AC AC , AB v 11 5 n m Az AB egyenes egyenlete: 5x 11y 69 vagy y x CA CB A vektorok skaláris szorzata: CB CA Mivel a két vektor skaláris szorzata 0, a két vektor merőleges egymásra, azaz a C csúcsnál derékszög van. d) Mivel derékszögű a háromszög, Thalész tétele alapján a körülírt kör középpontja az átfogó felezőpontja, a kör sugara pedig az átfogó fele. F 0,56,5 A kör sugara: AB 146 R 6,04 A kör egyenlete: 8) Adottak az a 4 3 x 0, 5 y 6, 5 36, 5 és b 1 vektorok. Összesen: 17 pont a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a b koordinátáit! a) b) a a b ) Adott a síkon az a) Állapítsa meg, hogy az A(77) pont illeszkedik-e a körre! b) Határozza meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! (5 pont) c) Legyenek A(77) és B (00) egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az x y x y 47 0 egyenletű körön. Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! (10 pont) x y x y 47 0 egyenletű kör. a) Tehát a pont nem illeszkedik a körre. b) x y K 11 r 7

13 c) A háromszög harmadik csúcsa az alap felezőmerőlegesén van. Az AB oldal felezőpontja: F 3,53,5 Az AB oldal felezőmerőlegesének normálvektora n 77 A felezőmerőleges egyenlete x y 7. A háromszög harmadik csúcsát a kör és a felezőmerőleges metszéspontja adja: x y C x y y 7 x 5x y 8 1 x 6 x C ) Adott a koordináta-rendszerben két pont: x y x y 6 10 A 1 3 és B Összesen: 17 pont 7 1 a) Írja fel az A és B pontokra illeszkedő e egyenes egyenletét! (4 pont) b) Számítással igazolja, hogy az A és a B pont is illeszkedik az egyenletű k körre, és számítsa ki az AB húr hosszát! (4 pont) Az f egyenesről tudjuk, hogy illeszkedik az A pontra és merőleges az AB szakaszra. c) Számítsa ki a k kör és az f egyenes (A-tól különböző) metszéspontjának koordinátáit! (9 pont) a) AB 6. Az e egyenes egy normálvektora: n 1 3, egyenlete: x 3y 10 x 3y b) A pont koordinátáinak behelyettesítésével adódik: B pont koordinátáinak behelyettesítésével adódik: Az AB húr hossza ,3, tehát az A pont illeszkedik a k körre., tehát a B pont illeszkedik a k körre.. c) Az f egyenes egy normálvektora: n 31 Az f egyenes egyenlete 3x y 0. A metszéspont koordinátáit a k kör és az f egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Az f egyenes egyenletéből y 3x. Ezt a kör egyenletébe helyettesítve: x 9x 6x 3x 10.

14 Egyszerűsítés után adódik: Ennek (az 1-től különböző) megoldása Így a keresett pont: C 13. Összesen: 17 pont 31) Adott az A 5 és a x 1. B 3 pont. x 1. a) Számítással igazolja, hogy az A és B pontok illeszkednek az egyenletű e egyenesre! b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét! (5 pont) c) Írja fel annak az f egyenesnek az egyenletét, amely az AB átmérőjű kört a B pontban érinti! (5 pont) a) x y (igaz) 1 (igaz) b) A kör középpontja az AB szakasz C felezőpontja,. 10 ennek koordinátái kör sugara az AC szakasz, ennek hossza. A 0 A kör egyenlete:. c) Az f merőleges az AB szakaszra. Az f egy normálvektora a BA vektor, ennek koordinátái Az f egyenlete: azaz x y x 1 y x 4y Összesen: 1 pont