12. Trigonometria I.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "12. Trigonometria I."

Átírás

1 Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát mérhetjük az egységsugarú kör kerületén is Az α szög ívmértéke egyenlő az egységsugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hosszával Az ívmérték egysége az radián A teljesszöghöz az egységsugarú körben tartozó körív hossza, így a teljesszög ívmértéke Tehát a és a 0 ugyanazt a szöget méri, az első esetben radiánban, a második esetben fokban mértünk Így ( rad) = 0, (rad) = 80 Ha fokban mért szöget váltunk át radiánra, akkor elegendő azt tudnunk, hogy ez a szög a 80 -nak hányszorosa, mert ugyanennyiszerese lesz a -nek is (radiánban) Például a 8 a 80 -nak tizedrésze, ezért 8 = ( rad) Ha a szög radiánban mérve, ez a -nek kilencede, így fokban mérve a szög a 80 kilenced része: ( ) = 0 9 rad 0 9 α α Az átváltások képlete: α( ) ( rad) rad = és α = Legyünk figyelemmel a fok és a radián használatára Nem ugyanazt jelenti a sin 80 és a sin 80 Hegyesszögek szögfüggvényei Ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a háromszögek hasonlók (Hiszen mindkét háromszögnek van még egy derékszöge, így a harmadik szögükben is megegyeznek) Ezért ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a két háromszögben bármely két megfelelő oldal aránya ugyanakkora, mindegy, mekkorák az oldalak Derékszögű háromszögben az oldalak aránya csak a háromszög hegyesszögétől függ Ezek az arányok csak az α szögtől függenek, ezért nevezzük ezeket az α szög szögfüggvényeinek A lehetséges hat arányból négy arányt használunk, ezek az α szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényei

2 a sin α = = c szöggel szemközti átfogó befogó a tg α = = b szöggel szemközti befogó szög melletti befogó b cos α = = c szög melletti befogó átfogó b ctg α = = a szög melletti befogó szöggel szemközti befogó A pótszögek szögfüggvényeit könnyű leolvasni az ábráról ( β = 90 α) : sin ( 90 α) = cos ( 90 α) = tg ( 90 α) = ctgα ctg ( 90 α) = tgα Nevezetes szögek szögfüggvényei Tekintsük a egység oldalú szabályos háromszöget Az ábráról leolvashatók a 0 és a 0 szögfüggvényei: sin 0 = cos0 = sin 0 = cos0 = tg 0 = ctg 0 = = tg 0 = ctg 0 =

3 Vegyünk egy derékszögű háromszöget, melynek a befogói egység hosszúak, az átfogó hoszsza ekkor hosszú Az ábráról leolvashatjuk a szögfüggvényeit: sin = cos = = tg = ctg = Gyakran használt kapcsolatok a szögfüggvények között: sin α + cos α = tg α = cos α tg α = ctg α ctg α = Szögfüggvények értelmezése forgásszögre A koordinátarendszer origója körül forgatott egységvektornak az x tengellyel bezárt szögét jelölje α A sin α és cos α szögfüggvényeket ennek az egységvektornak a koordinátáival azonosítjuk, és ezzel a derékszögű háromszögben definiált sin α, cos α szögfüggvényeket hegyesszögnél nagyobb szögekre is értelmezzük, összhangban az eddigi definíciókkal Az α szög koszinusza az egységvektor első koordinátája; az α szög szinusza az egységvektor második koordinátája

4 α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( ) Tetszőleges szögekre a tangens és kotangens függvényeket kétféle módon is definiálhatjuk, mely definíciók ekvivalensek Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak a második koordinátája, amelyet az ; 0 pontjához húzott érintőből kimetsz ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán (A metszéspont akkor létezik, ha α 90 + k 80, k Z ) α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( ) Az α szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az első koordinátája, amelyet az 0 ; pontjához húzott érintőből kimetsz ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán (A metszéspont akkor létezik, ha α 0 + k 80, k Z ) A másik értelmezés: tg α =, ahol 0, azaz α 90 + k 80, k Z cos α ctg α =, ahol 0, azaz α 0 + k 80, k Z Ha ismerjük a szögfüggvények értékeit az első síknegyedben, abból ki tudjuk számolni a szögfüggvények értékét más síknegyedben is Az α szög helyett vegyük azt az α ' hegyesszöget, amelyet az α szög az x tengellyel bezár Az α ' szöghöz tartozó függvényérték, vagy annak az ellentettje lesz az α szöghöz tartozó függvényérték Negyed Szög Hegyesszög sin α cos α tg α ctg α I 0 < α < 90 α ' = α ' II 90 < α < 80 α' = 80 α ' ' tg α' ctg α' ' tgα' ctgα' III 80 < α < 70 α ' = α 80 ' ' tg α' ctg α' IV 70 < α < 0 α' = 0 α ' ' tgα' ctgα' Példa: Mennyi sin 0 értéke? A 0 a III síknegyedben van, ez a szög az x tengellyel 0 = os hegyesszöget zár be, így a táblázat szerint sin 0 = sin 0 = A szögfüggvények értékeit 0, 90, 80, 70 szögekre a táblázat mutatja ( 0 -hoz ugyanolyan függvényértékek tartoznak, mint a 0 -hoz) sin α cos α tg α ctg α α = Nincs értelmezve α = 90 0 Nincs értelmezve 0 α = Nincs értelmezve α = 70 0 Nincs értelmezve 0

5 Összefüggések a szögfüggvények között Az egységvektor 90 -kal való elforgatása felcseréli a koordinátákat és az egyiknek megváltoztatja az előjelét Ezt használva láthatóak a következő összefüggések: ( α + 90 ) cos( α + 90 ) = ( α 90 ) = cos ( α 90 ) = ( α+ 90 ) = ctgα ctg( α+ 90 ) = tgα ( α 90 ) = ctgα ctg( α 90 ) = tgα sin = sin tg tg Az egységvektor 80 -kal való elforgatása megváltoztatja a koordináták előjelét Erre gondolva kapjuk a következő összefüggéseket: sin ( α + 80 ) = cos( α + 80 ) = ( α+ 80 ) tgα ctg ( α+ 80 ) = ctgα tg = A hegyesszögekre megismert összefüggések (például sin α + cos α =, vagy a pótszögek szögfüggvényei) érvényesek a hegyesszögnél nagyobb szögekre is Geometriai feladatokban nagy segítséget nyújthatnak a szögfüggvények Két hasznos összefüggés: Ha egy háromszög két oldala a és b, a közbezárt szög γ, akkor a háromszög területe absinγ t = Ha egy háromszög a oldalával szemközti szöge α, a köré írt kör sugara R, akkor fennáll az a = R összefüggés II Kidolgozott feladatok Töltse ki a táblázatot! Egy-egy szögnek a nagyságát megadtuk fokban, határozza meg a nagyságát radiánban, illetve fordítva: adott a szög nagysága radiánban, határozza meg, hogy az hány fokos szög! Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián

6 Megoldás: 00 a 80 -nak -szorosa, így a 00 radiánban mérve a -nek - szorosa Arányosság helyett kényelmesen számolhatunk az átváltó képletekkel is: α α α( ) ( rad) 7 rad = és α = 80 Például 7 =,9 ( rad ), illetve,( rad ) = 80 70, 7 A kitöltött táblázat: 80 80, Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián 0 0 0, 70 00,, , 0, , 7, 98 Mennyi az alábbi kifejezések értéke? sin 0 + sin + sin + K+ sin 90 a) cos0 + cos + cos + K+ cos90 b) tg tg tg K tg89 0,7,0 c) ( tg ) ( tg ) ( tg ) K ( tg89 ) d) sin 0 + sin 0 + sin 0 + K + sin 90 e) cos cos cos Megoldás: sin α = cos 90 α, így sin 0 = cos90, sin = cos89, sin = cos88, K a) ( ) A számlálóban és a nevezőben ugyanazon számok összege áll, ezért a tört értéke sin b) ( ) ( 90 α) tg α tg 90 α = = =, ezért tg tg89 =, cos 90 α ( ) tg tg88 =, tg tg87 =,, tg tg = és tg =, a szorzat értéke c) tg = 0, tehát a szorzat értéke 0 lesz d) α = cos( 90 α) sin sin sin sin és sin α + cos α = miatt 0 + sin 80 = sin 0 + cos 0 =, 0 + sin 70 = sin 0 + cos 0 =, 0 + sin 0 = sin 0 + cos 0 =, sin 0 + sin 0 = sin 0 + cos 0 = és sin 90 = Ezért az összeg = e) cos = 0, ezért a szorzat értéke 0 0

7 Mekkora lehet sin α értéke, ha ctg α =? I Megoldás: ctg α = =, azaz cos α = Mivel sin α + cos α =, így sin α + ( ) =, innen sin α =, sin α = ± 0 0 II Megoldás: Tegyük fel, hogy α hegyesszög, majd vegyünk fel egy és egység befogójú, α hegyesszögű derékszögű háromszöget Ennek átfogója a Pitagorasz-tétel alapján sin α = 0 0, innen definíció alapján leolvashatók a keresett szögfüggvényérték, A ctg = ctg( α+ 80 ) α tulajdonság miatt még a III síknegyedben is van egy megoldás, ekkor = 0 Mekkora annak a rombusznak a nagyobbik belső szöge, amelynek rövidebb átlója egység, oldala egység hosszúságú? Megoldás A nagyobbik belső szög a rombusz nagyobbik átlójával szemben fekszik cos α =, ezért α =, A rombusz legnagyobb szöge: α =, 8 7

8 Az ABCD egyenlő szárú trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei 0 -osak, a trapézba írt, az oldalakat érintő kör sugara cm Mekkora a trapéz kerülete? Megoldás: A trapéz oldalait a beírt kör négy pontban érinti, közülük hármat megneveztünk az ábrán, ezek a K, M, N pontok A BKO derékszögű háromszögben BK = OK ctg 0 = = 9 cm A CKO derékszögű háromszögben CK = OK ctg 0 = = cm AD= BC = 9 + = cm Az ABCD négyszög érintőnégyszög, ezért a szemközti oldalak összege egyenlő: AB+ CD= AD+ BC = + = cm, a trapéz kerülete + = 8 cm Egy háromszög legkisebb oldala egység Szögeinek nagysága, 0, 7 a) Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? b) Mekkora a háromszög területe? c) Mekkora a háromszög kerülete? Megoldás: a) A -os szöggel szemben van az egység hosszúságú oldal, hiszen a legkisebb oldal a legkisebb szöggel szemben van Az a= R összefüggésből (ahol a a háromszög egyik oldala, R a köré írt kör sugara, α az a-val szemközti szög) = R sin adódik R = 0, 707 egység 8

9 Ugyanezt a képletet használva a 0 -os szöggel szemközti oldal sin 0 = egység hosszú Ismét az előbbi képletet használjuk, így a 7 -os szöggel szemközti oldal hossza + sin 7 = sin( + 0 ) = egység ( sin 7 értékét számolhatjuk a megfelelő addíciós képlettel, vagy úgy, ahogyan ezt a 7 ajánlott feladatban tesz- szük Választhatjuk az egyszerűbb utat is: használjunk számológépet!) b) A háromszög területe: ( + 0 ) ab sinγ sin 7 sin + T = = = = 0,9 területegység c) A kerület K = + + = =, 9 egység 7 Egy négyzet egyik csúcsát és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötöttük, így kaptunk egy egyenlő szárú háromszöget Mekkora a háromszög szárszöge? I Megoldás: Válasszuk a négyzet oldalát egységnek A Pitagorasz-tétel segít kiszámolni az egyenlő szárú háromszög szárának hosszát: A háromszög területe: t = = A háromszög területét megkaphatjuk úgy is, hogy a négyzet területéből elhagyjuk a felesleges területrészeket: t = + + = Ezekből: t = =, így sin α = és α =, 8 (közelítőleg) 9

10 II Megoldás: Ha a négyzet oldala egység, akkor (Pitagorasz tétellel számolva) a háromszög oldalai:,, A háromszöget az alaphoz tartozó magassággal két derékszögű háromszögre bontjuk: α sin = α 0,, így = 8, (közelítőleg), és α =, 8 III Ajánlott feladatok Melyik a legnagyobb a sin, cos, tg,, számok közül? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! sin cos Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) cos sin a) b) sin tg cos + sin c) cos sin + tg ctg d) cos ctg sin e) tg 0 ctg 0 f) cos 0 sin 70 g) cos 0 + sin + sin sin 00 h) cos 0 + cos0 + cos90 + cos0 + cos70 0

11 Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) sin + sin 89 > b) sin < cos c) sin sin < cos cos d) sin 0 cos 0 < sin 0 Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) sin 0 vagy cos 0? b) cos vagy sin? Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) sin 0 + cos 0 > b) sin 0 + cos 0 > Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója? 7 Igazoljuk a sin α tgα = azonosságot, ahol 0 < α < + cos α 8 Mennyi sin 7 pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! 9 Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög tgα ctgα = = = = + tg α + ctg α + ctg α + tg α 0 Mutassa meg, hogy az r sugarú körbe írt szabályos -szög területe r Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α, egy másik B pontjából β szögben látszik Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?

12 Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög 0, az innen induló szögfelező a szemközti oldalt az E pontban metszi Mekkora az AEC háromszög területe, ha AB =, AC =? Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza α bc cos f a = b+ c

13 Az ajánlott feladatok megoldásai Melyik a legnagyobb a sin, cos, tg,, számok közül? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! sin cos Megoldás: Ha 0 < α <, akkor sin α <, így sin < cos <, és innen sin < <, továbbá tg = < cos sin cos Tehát az öt szám közül a legnagyobb szám: sin Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) cos sin a) b) sin tg cos + sin c) cos sin + tg ctg d) cos ctg sin e) tg 0 ctg 0 f) cos 0 sin 70 g) cos 0 + sin + sin sin 00 h) cos 0 + cos0 + cos90 + cos0 + cos70 Megoldás: a) cos = sin, így a tört értéke 0 b) = c) 0 ( ) + = d) ( ) = 0 e) tg α ctgα = f) 0 = sin( 90 0 ) = sin 70 cos, így a tört értéke g) + = 0 + h) cos 0 + cos70 = 0, cos 0 + cos0 = 0, cos 90 = 0, ezért az összeg értéke 0

14 Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) sin + sin 89 > b) sin < cos c) sin sin < cos cos d) sin 0 cos 0 < sin 0 Megoldás: a) IGAZ A baloldali összeg két tagja egy egység átfogójú derékszögű háromszög két befogójának hossza (ahol az egyik hegyesszög 89 ), így azok összege nagyobb - nél Másképp: sin + sin89 = sin + cos > sin + cos = (Felhasználtuk, hogy > > 0, így sin α > sin α ) b) HAMIS Ugyanis sin α >, ha < α < c) IGAZ sin sin < = cos0= cos cos d) IGAZ sin 0 cos 0 < sin0 < sin 0 Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) sin 0 vagy cos 0? b) cos vagy sin? Megoldás: a) sin 0 > sin 0 = cos0 b) cos = sin Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) sin 0 + cos 0 > b) sin 0 + cos 0 > Megoldás: Ha 0 < sin x <, akkor sin x < sin x< sin x <, ugyanígy ha 0 < cos x <, akkor cos x < cos x< cos x < Továbbá sin x + cos x= Ezeket használjuk a bizonyításban a) sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 = b) sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 =

15 Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója? Megoldás: Vegyük a kockának azt a síkmetszetét, melyen rajta van két testátló Ez a síkmetszet egy téglalap, a téglalap rövidebb oldala a kocka éle, hosszabb oldala a kocka lapátlója, átlója a kocka testátlója Ha a kocka éle egység, akkor a lapátlója, a testátlója hosszú A síkmetszet, a téglalap két szomszédos csúcsát és középpontját összekötve (lásd az ábrát) kapunk egy hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget Ennek területe a téglalap területének negyede: t =, másrészt t = =, így = =, α 70, Megjegyzés: Kényelmesen számolhatunk a szinusz definícióját felhasználva: α sin =, α,, így α 70, sin α 7 Igazoljuk a tgα = azonosságot, ahol 0 < α < + cos α Megoldás: Vegyünk fel egy egységsugarú kört, majd egyik átmérőjén a középpontból mérjünk fel α nagyságú szöget Az ábráról leolvasható az összefüggés

16 8 Mennyi sin 7 pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! Megoldás: A -os szöget tartalmazó derékszögű háromszög átfogója a Pitagorasz- tétel alapján: ( ) + = 8+ = + + Ebben a derékszögű háromszögben számolhatjuk a keresett szögfüggvényértéket: + cos = = + + = + és sin 7 = cos, így sin 7 = + = ( + ) + =, 9 Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög tgα ctgα = = = = + tg α + ctg α + ctg α + tg α I Megoldás: Vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszög melletti befogó egység Ekkor a szemközti befogó tg α, az átfogó a Pitagorasz-tétel szerint + tg α Innen tgα =, + tg α = + tg α Majd vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszöggel szemközti befogó egység Ekkor a szög melletti befogó ctg α, az átfogó a Pitagorasz-tétel szerint Innen =, + ctg α + ctg α ctgα = + ctg α

17 II Megoldás: Használjuk a tg α = azonosságot cos α tgα + tg = α = sin α + cos α cos α + sin cos α = α = cos α = Hasonló átalakítással megkapjuk a másik, igazolásra váró összefüggést is 0 Mutassa meg, hogy az r-sugarú körbe írt szabályos -szög területe r Megoldás: A sokszög területe -szerese az OAB egyenlő szárú háromszög területének A háromszög szárszöge γ = = 0 0 A háromszög területe r r sin 0 r = r r = A -szög területe: = r Megjegyzés: Kürschák József (8 9) ezt az állítást egy elegáns átdarabolással bizonyította Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α, egy másik B pontjából β szögben látszik Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony? 7

18 Megoldás: m tg α = és x+ a m tg β = a m = x+ a tg = a tg Ezekből: ( ) α β, így x tgα a = tgβ tgα x tgα tgβ A torony magassága: m = a tgβ = tgβ tgα Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög 0, az innen induló szögfelező a szemközti oldalt az E pontban metszi Mekkora az AEC háromszög területe, ha AB =, AC =? Megoldás t = t + t, azaz ABC ABE AEC sin 0 = AE sin + AE sin Ezért AE = sin t AEC = AE sin = sin =, egység sin 8

19 Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza α bc cos f a = b+ c Megoldás A háromszöget a szögfelező két kisebb háromszögre vágja Ezek területének összege egyenlő a háromszög területével, azaz α sin sin sin α α α bc α = bf a + cf a, azaz bc = bf a sin + cf a sin α α A = sin cos összefüggést használva, rendezés után kapjuk az α bc cos f a = összefüggést b+ c IV Ellenőrző feladatok Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) a) cos 0 tg b) sin 0 + cos 0 c) tg sin cos + cos 90 d) tg sin 90 e) g) sin 70 cos f) sin 0 + cos 0 tg + tg0 cos80 cos 0 cos + sin h) cos cos 9

20 Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha 0 < α < 90 sin α cos α tg α ctg α 8 Egy háromszög két szöge 0 és A -os szöggel szemközti oldal hossza egység Mekkora a 0 -os szöggel szemközti oldal? Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal egység, az AB alaphoz tartozó magasság egység Mekkora a háromszög szárszöge? Egy egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sorrendben helyezkednek el AB =, BC = Milyen hosszú az AC szakasz? Az ellenőrző feladatok megoldásai Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) a) cos 0 tg b) sin 0 + cos 0 c) tg sin cos + cos 90 d) tg sin 90 e) g) sin 70 cos f) sin 0 + cos 0 tg + tg0 cos80 cos 0 cos + sin h) cos cos Megoldás: a) = 0 b) + = 0

21 c) = + 0 d) = 0 e) ( ) 0+ + = 0 + f) ( ) = g) sin α + cos α = h) = Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha 0 < α < 90 sin α cos α tg α ctg α 8 Megoldás: sin α cos α tg α ctg α 8 8 8

22 Egy háromszög két szöge 0 és A -os szöggel szemközti oldal hossza egység Mekkora a 0 -os szöggel szemközti oldal? m Megoldás: Az ábra alapján sin 0 =, így m = m sin =, tehát x x = = Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal egység, az AB alaphoz tartozó magasság egység Mekkora a háromszög szárszöge? Megoldás Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben súlyvonal is, a súlyvonalak harmadolják egymást Így AS =, SE = A Pitagorasz-tétel alapján AE = tgcae =, CAE = 7, 7 A szárszög 0,8

23 Egy egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sorrendben helyezkednek el AB =, BC = Milyen hosszú az AC szakasz? Megoldás sin α =, így α =, 87 és sin β =, így β =, 8 Az AOC háromszög O-nál lévő szöge α+ β CD sin = CO CD Mivel α + β = 0,, így sin 0, = 0,87=, tehát AC = CD= 8, 7 Az AC húr felezőpontja D, ( α+β)

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei

Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei A derékszögű háromszögekben könnyedén fel lehet írni a nevezetes szögek szögfüggvényeit. Megjegyezni viszont nem feltétlenül könnyű! Erre van egy könnyen megjegyezhető

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

1. Bevezetés a trigonometriába

1. Bevezetés a trigonometriába 1. Bevezetés a trigonometriába Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelőoldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk,

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! 1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések. Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = + ; a b y

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Fa rudak forgatása II.

Fa rudak forgatása II. Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk 1. feladatsor 2013.09.13. 1. Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk kifelé a BAXY és CBZT négyzeteket, illetve a CD és DE oldalára befelé a CDP Q és DERS négyzeteket.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). Trignmetria I A hegyes szögű deiníciók: A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti begó és az átgó hányadsát (arányát). Kszinus nak nevezzük a szög melletti begó és az átgó hányadsát (arányát). A

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés . Trigonometria.. Bevezetés Elöljáróban csak annyit: A szögekkel ideje lenne megtanulni rendesen számolni. Láttuk: Két vektor, vagy ha úgy tetszik, két erő összege igen kényes arra, hogy az összegzendők

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben