12. Trigonometria I.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "12. Trigonometria I."

Átírás

1 Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát mérhetjük az egységsugarú kör kerületén is Az α szög ívmértéke egyenlő az egységsugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hosszával Az ívmérték egysége az radián A teljesszöghöz az egységsugarú körben tartozó körív hossza, így a teljesszög ívmértéke Tehát a és a 0 ugyanazt a szöget méri, az első esetben radiánban, a második esetben fokban mértünk Így ( rad) = 0, (rad) = 80 Ha fokban mért szöget váltunk át radiánra, akkor elegendő azt tudnunk, hogy ez a szög a 80 -nak hányszorosa, mert ugyanennyiszerese lesz a -nek is (radiánban) Például a 8 a 80 -nak tizedrésze, ezért 8 = ( rad) Ha a szög radiánban mérve, ez a -nek kilencede, így fokban mérve a szög a 80 kilenced része: ( ) = 0 9 rad 0 9 α α Az átváltások képlete: α( ) ( rad) rad = és α = Legyünk figyelemmel a fok és a radián használatára Nem ugyanazt jelenti a sin 80 és a sin 80 Hegyesszögek szögfüggvényei Ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a háromszögek hasonlók (Hiszen mindkét háromszögnek van még egy derékszöge, így a harmadik szögükben is megegyeznek) Ezért ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a két háromszögben bármely két megfelelő oldal aránya ugyanakkora, mindegy, mekkorák az oldalak Derékszögű háromszögben az oldalak aránya csak a háromszög hegyesszögétől függ Ezek az arányok csak az α szögtől függenek, ezért nevezzük ezeket az α szög szögfüggvényeinek A lehetséges hat arányból négy arányt használunk, ezek az α szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényei

2 a sin α = = c szöggel szemközti átfogó befogó a tg α = = b szöggel szemközti befogó szög melletti befogó b cos α = = c szög melletti befogó átfogó b ctg α = = a szög melletti befogó szöggel szemközti befogó A pótszögek szögfüggvényeit könnyű leolvasni az ábráról ( β = 90 α) : sin ( 90 α) = cos ( 90 α) = tg ( 90 α) = ctgα ctg ( 90 α) = tgα Nevezetes szögek szögfüggvényei Tekintsük a egység oldalú szabályos háromszöget Az ábráról leolvashatók a 0 és a 0 szögfüggvényei: sin 0 = cos0 = sin 0 = cos0 = tg 0 = ctg 0 = = tg 0 = ctg 0 =

3 Vegyünk egy derékszögű háromszöget, melynek a befogói egység hosszúak, az átfogó hoszsza ekkor hosszú Az ábráról leolvashatjuk a szögfüggvényeit: sin = cos = = tg = ctg = Gyakran használt kapcsolatok a szögfüggvények között: sin α + cos α = tg α = cos α tg α = ctg α ctg α = Szögfüggvények értelmezése forgásszögre A koordinátarendszer origója körül forgatott egységvektornak az x tengellyel bezárt szögét jelölje α A sin α és cos α szögfüggvényeket ennek az egységvektornak a koordinátáival azonosítjuk, és ezzel a derékszögű háromszögben definiált sin α, cos α szögfüggvényeket hegyesszögnél nagyobb szögekre is értelmezzük, összhangban az eddigi definíciókkal Az α szög koszinusza az egységvektor első koordinátája; az α szög szinusza az egységvektor második koordinátája

4 α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( ) Tetszőleges szögekre a tangens és kotangens függvényeket kétféle módon is definiálhatjuk, mely definíciók ekvivalensek Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak a második koordinátája, amelyet az ; 0 pontjához húzott érintőből kimetsz ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán (A metszéspont akkor létezik, ha α 90 + k 80, k Z ) α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( ) Az α szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az első koordinátája, amelyet az 0 ; pontjához húzott érintőből kimetsz ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán (A metszéspont akkor létezik, ha α 0 + k 80, k Z ) A másik értelmezés: tg α =, ahol 0, azaz α 90 + k 80, k Z cos α ctg α =, ahol 0, azaz α 0 + k 80, k Z Ha ismerjük a szögfüggvények értékeit az első síknegyedben, abból ki tudjuk számolni a szögfüggvények értékét más síknegyedben is Az α szög helyett vegyük azt az α ' hegyesszöget, amelyet az α szög az x tengellyel bezár Az α ' szöghöz tartozó függvényérték, vagy annak az ellentettje lesz az α szöghöz tartozó függvényérték Negyed Szög Hegyesszög sin α cos α tg α ctg α I 0 < α < 90 α ' = α ' II 90 < α < 80 α' = 80 α ' ' tg α' ctg α' ' tgα' ctgα' III 80 < α < 70 α ' = α 80 ' ' tg α' ctg α' IV 70 < α < 0 α' = 0 α ' ' tgα' ctgα' Példa: Mennyi sin 0 értéke? A 0 a III síknegyedben van, ez a szög az x tengellyel 0 = os hegyesszöget zár be, így a táblázat szerint sin 0 = sin 0 = A szögfüggvények értékeit 0, 90, 80, 70 szögekre a táblázat mutatja ( 0 -hoz ugyanolyan függvényértékek tartoznak, mint a 0 -hoz) sin α cos α tg α ctg α α = Nincs értelmezve α = 90 0 Nincs értelmezve 0 α = Nincs értelmezve α = 70 0 Nincs értelmezve 0

5 Összefüggések a szögfüggvények között Az egységvektor 90 -kal való elforgatása felcseréli a koordinátákat és az egyiknek megváltoztatja az előjelét Ezt használva láthatóak a következő összefüggések: ( α + 90 ) cos( α + 90 ) = ( α 90 ) = cos ( α 90 ) = ( α+ 90 ) = ctgα ctg( α+ 90 ) = tgα ( α 90 ) = ctgα ctg( α 90 ) = tgα sin = sin tg tg Az egységvektor 80 -kal való elforgatása megváltoztatja a koordináták előjelét Erre gondolva kapjuk a következő összefüggéseket: sin ( α + 80 ) = cos( α + 80 ) = ( α+ 80 ) tgα ctg ( α+ 80 ) = ctgα tg = A hegyesszögekre megismert összefüggések (például sin α + cos α =, vagy a pótszögek szögfüggvényei) érvényesek a hegyesszögnél nagyobb szögekre is Geometriai feladatokban nagy segítséget nyújthatnak a szögfüggvények Két hasznos összefüggés: Ha egy háromszög két oldala a és b, a közbezárt szög γ, akkor a háromszög területe absinγ t = Ha egy háromszög a oldalával szemközti szöge α, a köré írt kör sugara R, akkor fennáll az a = R összefüggés II Kidolgozott feladatok Töltse ki a táblázatot! Egy-egy szögnek a nagyságát megadtuk fokban, határozza meg a nagyságát radiánban, illetve fordítva: adott a szög nagysága radiánban, határozza meg, hogy az hány fokos szög! Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián

6 Megoldás: 00 a 80 -nak -szorosa, így a 00 radiánban mérve a -nek - szorosa Arányosság helyett kényelmesen számolhatunk az átváltó képletekkel is: α α α( ) ( rad) 7 rad = és α = 80 Például 7 =,9 ( rad ), illetve,( rad ) = 80 70, 7 A kitöltött táblázat: 80 80, Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián 0 0 0, 70 00,, , 0, , 7, 98 Mennyi az alábbi kifejezések értéke? sin 0 + sin + sin + K+ sin 90 a) cos0 + cos + cos + K+ cos90 b) tg tg tg K tg89 0,7,0 c) ( tg ) ( tg ) ( tg ) K ( tg89 ) d) sin 0 + sin 0 + sin 0 + K + sin 90 e) cos cos cos Megoldás: sin α = cos 90 α, így sin 0 = cos90, sin = cos89, sin = cos88, K a) ( ) A számlálóban és a nevezőben ugyanazon számok összege áll, ezért a tört értéke sin b) ( ) ( 90 α) tg α tg 90 α = = =, ezért tg tg89 =, cos 90 α ( ) tg tg88 =, tg tg87 =,, tg tg = és tg =, a szorzat értéke c) tg = 0, tehát a szorzat értéke 0 lesz d) α = cos( 90 α) sin sin sin sin és sin α + cos α = miatt 0 + sin 80 = sin 0 + cos 0 =, 0 + sin 70 = sin 0 + cos 0 =, 0 + sin 0 = sin 0 + cos 0 =, sin 0 + sin 0 = sin 0 + cos 0 = és sin 90 = Ezért az összeg = e) cos = 0, ezért a szorzat értéke 0 0

7 Mekkora lehet sin α értéke, ha ctg α =? I Megoldás: ctg α = =, azaz cos α = Mivel sin α + cos α =, így sin α + ( ) =, innen sin α =, sin α = ± 0 0 II Megoldás: Tegyük fel, hogy α hegyesszög, majd vegyünk fel egy és egység befogójú, α hegyesszögű derékszögű háromszöget Ennek átfogója a Pitagorasz-tétel alapján sin α = 0 0, innen definíció alapján leolvashatók a keresett szögfüggvényérték, A ctg = ctg( α+ 80 ) α tulajdonság miatt még a III síknegyedben is van egy megoldás, ekkor = 0 Mekkora annak a rombusznak a nagyobbik belső szöge, amelynek rövidebb átlója egység, oldala egység hosszúságú? Megoldás A nagyobbik belső szög a rombusz nagyobbik átlójával szemben fekszik cos α =, ezért α =, A rombusz legnagyobb szöge: α =, 8 7

8 Az ABCD egyenlő szárú trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei 0 -osak, a trapézba írt, az oldalakat érintő kör sugara cm Mekkora a trapéz kerülete? Megoldás: A trapéz oldalait a beírt kör négy pontban érinti, közülük hármat megneveztünk az ábrán, ezek a K, M, N pontok A BKO derékszögű háromszögben BK = OK ctg 0 = = 9 cm A CKO derékszögű háromszögben CK = OK ctg 0 = = cm AD= BC = 9 + = cm Az ABCD négyszög érintőnégyszög, ezért a szemközti oldalak összege egyenlő: AB+ CD= AD+ BC = + = cm, a trapéz kerülete + = 8 cm Egy háromszög legkisebb oldala egység Szögeinek nagysága, 0, 7 a) Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? b) Mekkora a háromszög területe? c) Mekkora a háromszög kerülete? Megoldás: a) A -os szöggel szemben van az egység hosszúságú oldal, hiszen a legkisebb oldal a legkisebb szöggel szemben van Az a= R összefüggésből (ahol a a háromszög egyik oldala, R a köré írt kör sugara, α az a-val szemközti szög) = R sin adódik R = 0, 707 egység 8

9 Ugyanezt a képletet használva a 0 -os szöggel szemközti oldal sin 0 = egység hosszú Ismét az előbbi képletet használjuk, így a 7 -os szöggel szemközti oldal hossza + sin 7 = sin( + 0 ) = egység ( sin 7 értékét számolhatjuk a megfelelő addíciós képlettel, vagy úgy, ahogyan ezt a 7 ajánlott feladatban tesz- szük Választhatjuk az egyszerűbb utat is: használjunk számológépet!) b) A háromszög területe: ( + 0 ) ab sinγ sin 7 sin + T = = = = 0,9 területegység c) A kerület K = + + = =, 9 egység 7 Egy négyzet egyik csúcsát és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötöttük, így kaptunk egy egyenlő szárú háromszöget Mekkora a háromszög szárszöge? I Megoldás: Válasszuk a négyzet oldalát egységnek A Pitagorasz-tétel segít kiszámolni az egyenlő szárú háromszög szárának hosszát: A háromszög területe: t = = A háromszög területét megkaphatjuk úgy is, hogy a négyzet területéből elhagyjuk a felesleges területrészeket: t = + + = Ezekből: t = =, így sin α = és α =, 8 (közelítőleg) 9

10 II Megoldás: Ha a négyzet oldala egység, akkor (Pitagorasz tétellel számolva) a háromszög oldalai:,, A háromszöget az alaphoz tartozó magassággal két derékszögű háromszögre bontjuk: α sin = α 0,, így = 8, (közelítőleg), és α =, 8 III Ajánlott feladatok Melyik a legnagyobb a sin, cos, tg,, számok közül? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! sin cos Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) cos sin a) b) sin tg cos + sin c) cos sin + tg ctg d) cos ctg sin e) tg 0 ctg 0 f) cos 0 sin 70 g) cos 0 + sin + sin sin 00 h) cos 0 + cos0 + cos90 + cos0 + cos70 0

11 Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) sin + sin 89 > b) sin < cos c) sin sin < cos cos d) sin 0 cos 0 < sin 0 Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) sin 0 vagy cos 0? b) cos vagy sin? Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) sin 0 + cos 0 > b) sin 0 + cos 0 > Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója? 7 Igazoljuk a sin α tgα = azonosságot, ahol 0 < α < + cos α 8 Mennyi sin 7 pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! 9 Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög tgα ctgα = = = = + tg α + ctg α + ctg α + tg α 0 Mutassa meg, hogy az r sugarú körbe írt szabályos -szög területe r Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α, egy másik B pontjából β szögben látszik Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?

12 Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög 0, az innen induló szögfelező a szemközti oldalt az E pontban metszi Mekkora az AEC háromszög területe, ha AB =, AC =? Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza α bc cos f a = b+ c

13 Az ajánlott feladatok megoldásai Melyik a legnagyobb a sin, cos, tg,, számok közül? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! sin cos Megoldás: Ha 0 < α <, akkor sin α <, így sin < cos <, és innen sin < <, továbbá tg = < cos sin cos Tehát az öt szám közül a legnagyobb szám: sin Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) cos sin a) b) sin tg cos + sin c) cos sin + tg ctg d) cos ctg sin e) tg 0 ctg 0 f) cos 0 sin 70 g) cos 0 + sin + sin sin 00 h) cos 0 + cos0 + cos90 + cos0 + cos70 Megoldás: a) cos = sin, így a tört értéke 0 b) = c) 0 ( ) + = d) ( ) = 0 e) tg α ctgα = f) 0 = sin( 90 0 ) = sin 70 cos, így a tört értéke g) + = 0 + h) cos 0 + cos70 = 0, cos 0 + cos0 = 0, cos 90 = 0, ezért az összeg értéke 0

14 Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) sin + sin 89 > b) sin < cos c) sin sin < cos cos d) sin 0 cos 0 < sin 0 Megoldás: a) IGAZ A baloldali összeg két tagja egy egység átfogójú derékszögű háromszög két befogójának hossza (ahol az egyik hegyesszög 89 ), így azok összege nagyobb - nél Másképp: sin + sin89 = sin + cos > sin + cos = (Felhasználtuk, hogy > > 0, így sin α > sin α ) b) HAMIS Ugyanis sin α >, ha < α < c) IGAZ sin sin < = cos0= cos cos d) IGAZ sin 0 cos 0 < sin0 < sin 0 Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) sin 0 vagy cos 0? b) cos vagy sin? Megoldás: a) sin 0 > sin 0 = cos0 b) cos = sin Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) sin 0 + cos 0 > b) sin 0 + cos 0 > Megoldás: Ha 0 < sin x <, akkor sin x < sin x< sin x <, ugyanígy ha 0 < cos x <, akkor cos x < cos x< cos x < Továbbá sin x + cos x= Ezeket használjuk a bizonyításban a) sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 = b) sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 =

15 Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója? Megoldás: Vegyük a kockának azt a síkmetszetét, melyen rajta van két testátló Ez a síkmetszet egy téglalap, a téglalap rövidebb oldala a kocka éle, hosszabb oldala a kocka lapátlója, átlója a kocka testátlója Ha a kocka éle egység, akkor a lapátlója, a testátlója hosszú A síkmetszet, a téglalap két szomszédos csúcsát és középpontját összekötve (lásd az ábrát) kapunk egy hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget Ennek területe a téglalap területének negyede: t =, másrészt t = =, így = =, α 70, Megjegyzés: Kényelmesen számolhatunk a szinusz definícióját felhasználva: α sin =, α,, így α 70, sin α 7 Igazoljuk a tgα = azonosságot, ahol 0 < α < + cos α Megoldás: Vegyünk fel egy egységsugarú kört, majd egyik átmérőjén a középpontból mérjünk fel α nagyságú szöget Az ábráról leolvasható az összefüggés

16 8 Mennyi sin 7 pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! Megoldás: A -os szöget tartalmazó derékszögű háromszög átfogója a Pitagorasz- tétel alapján: ( ) + = 8+ = + + Ebben a derékszögű háromszögben számolhatjuk a keresett szögfüggvényértéket: + cos = = + + = + és sin 7 = cos, így sin 7 = + = ( + ) + =, 9 Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög tgα ctgα = = = = + tg α + ctg α + ctg α + tg α I Megoldás: Vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszög melletti befogó egység Ekkor a szemközti befogó tg α, az átfogó a Pitagorasz-tétel szerint + tg α Innen tgα =, + tg α = + tg α Majd vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszöggel szemközti befogó egység Ekkor a szög melletti befogó ctg α, az átfogó a Pitagorasz-tétel szerint Innen =, + ctg α + ctg α ctgα = + ctg α

17 II Megoldás: Használjuk a tg α = azonosságot cos α tgα + tg = α = sin α + cos α cos α + sin cos α = α = cos α = Hasonló átalakítással megkapjuk a másik, igazolásra váró összefüggést is 0 Mutassa meg, hogy az r-sugarú körbe írt szabályos -szög területe r Megoldás: A sokszög területe -szerese az OAB egyenlő szárú háromszög területének A háromszög szárszöge γ = = 0 0 A háromszög területe r r sin 0 r = r r = A -szög területe: = r Megjegyzés: Kürschák József (8 9) ezt az állítást egy elegáns átdarabolással bizonyította Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α, egy másik B pontjából β szögben látszik Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony? 7

18 Megoldás: m tg α = és x+ a m tg β = a m = x+ a tg = a tg Ezekből: ( ) α β, így x tgα a = tgβ tgα x tgα tgβ A torony magassága: m = a tgβ = tgβ tgα Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög 0, az innen induló szögfelező a szemközti oldalt az E pontban metszi Mekkora az AEC háromszög területe, ha AB =, AC =? Megoldás t = t + t, azaz ABC ABE AEC sin 0 = AE sin + AE sin Ezért AE = sin t AEC = AE sin = sin =, egység sin 8

19 Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza α bc cos f a = b+ c Megoldás A háromszöget a szögfelező két kisebb háromszögre vágja Ezek területének összege egyenlő a háromszög területével, azaz α sin sin sin α α α bc α = bf a + cf a, azaz bc = bf a sin + cf a sin α α A = sin cos összefüggést használva, rendezés után kapjuk az α bc cos f a = összefüggést b+ c IV Ellenőrző feladatok Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) a) cos 0 tg b) sin 0 + cos 0 c) tg sin cos + cos 90 d) tg sin 90 e) g) sin 70 cos f) sin 0 + cos 0 tg + tg0 cos80 cos 0 cos + sin h) cos cos 9

20 Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha 0 < α < 90 sin α cos α tg α ctg α 8 Egy háromszög két szöge 0 és A -os szöggel szemközti oldal hossza egység Mekkora a 0 -os szöggel szemközti oldal? Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal egység, az AB alaphoz tartozó magasság egység Mekkora a háromszög szárszöge? Egy egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sorrendben helyezkednek el AB =, BC = Milyen hosszú az AC szakasz? Az ellenőrző feladatok megoldásai Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) a) cos 0 tg b) sin 0 + cos 0 c) tg sin cos + cos 90 d) tg sin 90 e) g) sin 70 cos f) sin 0 + cos 0 tg + tg0 cos80 cos 0 cos + sin h) cos cos Megoldás: a) = 0 b) + = 0

21 c) = + 0 d) = 0 e) ( ) 0+ + = 0 + f) ( ) = g) sin α + cos α = h) = Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha 0 < α < 90 sin α cos α tg α ctg α 8 Megoldás: sin α cos α tg α ctg α 8 8 8

22 Egy háromszög két szöge 0 és A -os szöggel szemközti oldal hossza egység Mekkora a 0 -os szöggel szemközti oldal? m Megoldás: Az ábra alapján sin 0 =, így m = m sin =, tehát x x = = Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal egység, az AB alaphoz tartozó magasság egység Mekkora a háromszög szárszöge? Megoldás Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben súlyvonal is, a súlyvonalak harmadolják egymást Így AS =, SE = A Pitagorasz-tétel alapján AE = tgcae =, CAE = 7, 7 A szárszög 0,8

23 Egy egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sorrendben helyezkednek el AB =, BC = Milyen hosszú az AC szakasz? Megoldás sin α =, így α =, 87 és sin β =, így β =, 8 Az AOC háromszög O-nál lévő szöge α+ β CD sin = CO CD Mivel α + β = 0,, így sin 0, = 0,87=, tehát AC = CD= 8, 7 Az AC húr felezőpontja D, ( α+β)

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés

1. Trigonometria. 1.1. Bevezetés . Trigonometria.. Bevezetés Elöljáróban csak annyit: A szögekkel ideje lenne megtanulni rendesen számolni. Láttuk: Két vektor, vagy ha úgy tetszik, két erő összege igen kényes arra, hogy az összegzendők

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Szóbeli érettségi gyakorló feladatok Elméleti kérdések. Definiálja egy szám n-edik gyökét! Mondja ki az n-edik gyökre vonatkozó azonosságokat!. Definiálja a logaritmus fogalmát! Mondja ki a logaritmusra

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL Ha már ismerjük a szerkesztés szabályait, és ezeket a gyakorlatban is jól tudjuk alkalmazni, akkor érdemes megismerkedni a számítógépes lehetőségekkel. Így olyan eszköz áll rendelkezésünkre,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

Feladatok 7. osztály

Feladatok 7. osztály Feladatok 7. osztály 1. Egy ruha árának ötöde a kereskedő haszna. Ha megemelné az árat 200 Ft-tal, akkor már csak az ár harmada lenne a haszna? Mennyi a ruha ára? 2. Egy iskolában kémiát, angolt, franciát,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak VILLÁMKÉRDÉSEK 300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak 1. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold ki a szorzatukat, ha x = 18. 2. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

4. modul Hasonlóság és alkalmazásai

4. modul Hasonlóság és alkalmazásai Matematika A 10. szakiskolai évfolyam 4. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. szakiskolai évfolyam 4. modul: Hasonlóság és alkalmazásai Tanári útmutató 2 A modul célja

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Lengyel Lászlóné, Nádudvar Név:........ Iskola:.. Beküldési

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT. Egy atlétika csapat alapozást tart. Robbanékonyságukat és állóképességüket 0 méteres síkfutással fejlesztik.

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka MAGYARÁZAT Az ajánlott Mértan 0 osztály feladatgyűjtemény a középiskolák 0-es tanulóinak általános iskolai tudásszintjének felmérését szolgálja. A felmérés célja a tízedikes tanulók általános iskolában

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)!

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)! 005. október. Egyszerűsítse a következő törtet! (x valós szám, x 0 ) x x x. Peti felírt egy hárommal osztható hétjegyű telefonszámot egy cédulára, de az utolsó jegy elmosódott. A barátja úgy emlékszik,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben