Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások"

Átírás

1 Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = = 7 6,08.. Határozd meg az A ( ; ), B ( 5; 7) és C (; 4) csúcsokkal rendelkező háromszög kerületét és területét! A háromszög kerületéhez számoljuk ki az oldalak hosszát: a = BC = ( ( 5)) + (4 7) = = 7 b = AC = ( ( )) + (4 ( )) = = 85 c = AB = ( 5 ( )) + (7 ( )) = = 104 A háromszög kerülete: K = ,96. Ezt követően számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: ( 7) = ( 85) + ( 104) cos α α 51,9 Ezek alapján a háromszög területe: T = sin 51,9 7.. Határozd meg azt a P pontot az ordinátatengelyen, amelynek az A (; 1) ponttól való távolsága 5 egység! A P pont illeszkedik az y - tengelyre, így koordinátákkal felírva: P (0; y). 1

2 Mivel az AP = 5, így felírhatjuk a következő egyenletet: 5 = (0 ) + (y 1). Rendezzük az egyenletet a következőképpen: y y 15 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai y 1 = 5 és y =. Ezek alapján két megoldás adódik: P 1 (0; 5) és P (0; ). 4. Határozd meg az x - tengelynek azt a P pontját, amely az A (0; 0) és a B (9; ) koordinátájú pontoktól egyenlő távolságra van! A P pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: P (x; 0). Mivel az AP = BP, így felírhatjuk a következő egyenletet: (x 0) + (0 0) = (x 9) + (0 ( )). Ebből azt kapjuk, hogy x = 5. Ezek alapján a megoldás: P (5; 0). 5. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, ha a kör áthalad a P ( 4; ) ponton és az x - tengelyt az E (; 0) pontban érinti! Mivel a sugár merőleges az érintőre (ebben az esetben az x - tengelyre), így a középpont koordinátái: K (; r). Mivel r = KE = KP, így felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) + (0 r) = ( 4 ) + ( r). Ebből azt kapjuk, hogy r = 10. Ezek alapján a kör középpontja: K (; 10).

3 6. Számítsd ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha a csúcsainak koordinátái: A (0; ), B (1; 1) és C (; )! Legyen a kör középpontja: K (u; v). Mivel r = KA = KB és r = KA = KC, így felírhatjuk a következő egyenleteket: (0 u) + ( v) = (1 u) + (1 v) (0 u) + ( v) = ( u) + ( v) Négyzetre emelések után a következő egyenletrendszert kapjuk: u + v 4v + 4 = u + v u v + } u + v 4v + 4 = u + v 4u + 4v + 8 Az első egyenletből kivonva a másodikat, átrendezés után a következőt kapjuk: u = v +. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy v =. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy u = ( ) + =. Ezek alapján a kör középpontja K ( ; ). A kör sugara: r = d KA = (0 ( )) + ( ( )) = 5 = Határozd meg a PQ szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha a szakasz végpontjai: P ( 5; 7) és a Q (1; 1)! Legyen a PQ szakasz felezőpontja az F (x; y) pont. A felezőpont koordinátáit kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: x = = y = 7 ( 1) = 10 Ezek alapján a megoldás: F ( ; 10).

4 8. Határozd meg az A pont koordinátáit, ha B (; ) és az AB szakasz felezőpontja F ( 1; 4)! Mivel az F pont az AB felezőpontja, így felírhatjuk a következőket: 1 = a 1 + a 1 = 4 4 = a + a = 5 Ezek alapján az A csúcs koordináti: A ( 4; 5). 9. Az ABCD négyszög csúcsai A ( 6; ), B (5; 1), C (6; 4) és D (; 6). Határozd meg a négyszög középvonalainak felezőpontjait! Mivel a négyszög középvonalai az oldalak felezőpontjait kötik össze, így először határozzuk meg az oldalfelező pontokat: F AB ( 1 ; ) F BC ( 11 ; ) F CD ( 9 ; 5) F AD ( ; ). Ezek alapján a középvonalak felezőpontjai: F AB CD (; 7 4 ) és F BC AD (; 7 4 ). Ebből adódik, hogy a felezőpontok egybeesnek, vagyis a középvonalak felezik egymást. 10. Egy téglalap két csúcsa A ( ; ) és B (; ). Átlói metszéspontjának ordinátája 0. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, és számítsd ki a téglalap területét! A téglalap AB oldala a koordináták alapján párhuzamos az x tengellyel. Mivel a téglalap oldalai merőlegesek egymásra, így a két hiányzó pont első koordinátája megegyezik a megadott pontok első koordinátájával: C (; c ) és D ( ; d ). A téglalap átlói felezik egymást, így felírhatjuk a következőket: 0 = + c c = 0 = + d d = Ebből a hiányzó csúcsok koordinátái: C (; ) és D ( ; ). Ezek alapján a téglalap oldalai 5 és 6 egység hosszúak, vagyis a területe: T = 5 6 = 0. 4

5 11. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának csúcsai az A (; 1) és a B (6; 5) koordinátájú pontok. A harmadik C csúcsa az x - tengelyen van. Mekkora a háromszög területe? Mivel a C pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: C (x; 0). A háromszög egyenlő szárú, vagyis AC = BC, így felírhatjuk a következő egyenletet: (x ) + (0 1) = (x 6) + (0 5). Ebből azt kapjuk, hogy x = 7, vagyis a C csúcs koordinátái: C (7; 0). Az AB oldal hossza: AB = (6 ) + (5 1) =. Az AB oldal felezőpontja: x = + 6 = 4 y = = F (4; ) Ebből az m c magasság hossza: MC = (7 4) + (0 ) = 18. Ezek alapján a háromszög területe: T = 18 = Adott egy paralelogramma A ( ; ), B (; ) és C ( 5; 4) csúcsa. Határozd meg a negyedik csúcs koordinátáit! Mennyi megoldás van? A paralelogramma átlói felezik egymást, így először számítsuk ki az átlók felezőpontjának koordinátáit. Mivel az ABC bármely oldala lehet a paralelogramma átlója, így három megoldás adódik: F AB (0; 1 ) F AC ( 7 ; 1) F BC ( ; 7 ). Ezt követően a felezőpontoknak megfelelően számítsuk ki a hiányzó csúcs koordinátáit: F AB (0; 1 ) a CD átló felezőpontja is 0 = 5 + d 1 d 1 = 5 1 = 4 + d d = 5

6 F AC ( 7 ; 1) a BD átló felezőpontja is 7 = + d 1 d 1 = 9 1 = + d d = 1 F BC ( ; 7 ) az AD átló felezőpontja is = + d 1 d 1 = 1 7 = + d d = 9 Ezek alapján a paralelogramma keresett csúcsa: D 1 (5; ), vagy D ( 9; 1), vagy D ( 1; 9). 1. Adott egy háromszög oldalfelező pontjai: F AB ( ; ), F AC (5; 1) és F BC (; 4). Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit! Az oldal felezőpontok segítségével felírhatjuk a következő egyenleteket: = a 1 + b1 4 = a 1 + b 1 = a + b 4 = a + b 5 = a 1 + c 1 10 = a 1 + c 1 1 = a + c = a + c = b 1 + c 1 6 = b 1 + c 1 4 = b + c 8 = b + c Először számítsuk ki a csúcsok első koordinátáit. Az első egyenletből azt kapjuk, hogy a 1 = 4 b 1. 6

7 Ezt helyettesítsük a harmadik egyenletbe: c 1 = 14 + b 1. Végül ezt behelyettesítve az ötödik egyenletbe, azt kapjuk, hogy b 1 = 4. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: a 1 = 0 és c 1 = 10. Ezt követően számítsuk ki a csúcsok második koordinátáit. A második egyenletből azt kapjuk, hogy a = 4 b. Ezt helyettesítsük a negyedik egyenletbe: c = 6 + b. Végül ezt behelyettesítve a hatodik egyenletbe, azt kapjuk, hogy b = 1. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: a = 5 és c = 7. Ezek alapján a háromszög csúcsai: A (0; 5), B ( 4; 1) és C (10; 7). 14. Adott egy paralelogramma A (0; 5) és B ( 1; 1) csúcsa, továbbá az átlók M (; ) metszéspontja. Számítsd ki a paralelogramma hiányzó csúcsinak koordinátáit! A paralelogramma átlói felezik egymást, így az M pont az AC és BD szakaszok felezőpontja. = 0 + c 1 c 1 = 4 = 5 + c c = 1 = 1 + d 1 d 1 = 5 = 1 + d d = 5 Ezek alapján a hiányzó pontok koordinátái: C (4; 1) és D (5; 5). 7

8 15. Az A ( 4; 7) pontot tükrözzük a B (5; ) pontra. Számítsd ki az A koordinátáit! Mivel az A pontot tükrözzük a B pontra, így a B pont éppen az AA szakasz felezőpontja. 5 = 4 + a 1 a 1 = 14 = 7 + a a = 11 Ezek alapján a képpont koordinátái: A (14; 11). 16. Az A (0; 0), B (; 6), C (8; ) csúcsokkal megadott háromszöget az A pontból kétszeresére nagyítjuk. Számítsd ki a kapott A B C háromszög B és C csúcsainak koordinátáit! Mivel az A csúcsból kétszeresére nagyítunk, így a B csúcs éppen az AB szakasz felezőpontja, a C csúcs pedig az AC szakasz felezőpontja. = 0 + b 1 b 1 = 6 6 = 0 + b b = 1 8 = 0 + c 1 c 1 = 16 = 0 + c c = 4 Ezek alapján a képháromszög csúcsainak koordinátái: A (0; 0), B (6; 1) és C (16; 4). 17. A koordináta rendszer O kezdőpontjának tükörképe az A (5; 5) pontra O 1, az O 1 tükörképe a B pontra O, az O tükörképe a C (1; 7) pontra ismét az O. Számítsd ki a B pont koordinátáit, és bizonytasd be, hogy az OABC négyszög rombusz! Mivel az OO 1 szakasz felezőpontja A, így felírhatjuk a következőket: 5 = 0 + x x = 10 5 = 0 + y y = 10 Ebből az O 1 pont koordinátái: O 1 (10; 10). Mivel az OO szakasz felezőpontja C, így felírhatjuk a következőket: 1 = 0 + x x = 7 = 0 + y y = 14 Ebből az O pont koordinátái: O (; 14). 8

9 Mivel az O 1 O szakasz felezőpontja B, így felírhatjuk a következőket: b 1 = 10 + = 6 b = = 1 Ezek alapján a B pont koordinátái: B (6; 1). Mivel OA = AB = BC = CO = 50, így a négyszög rombusz. 18. Adott az A (; 4) és B (6; 1) pontok által meghatározott szakasz. Számítsd ki az A - hoz, illetve B - hez közelebbi harmadoló pontok koordinátáit! Az A - hoz közelebbi harmadoló pont koordinátái: x 1 = = 4 y 1 = = H 1 (4; ) A B - hez közelebbi harmadoló pont koordinátái: x = = 5 y = = H (5; ) 19. Írd fel az A ( 6; ) és B (5; 4) pontok által meghatározott szakasz azon P pontjának koordinátáit, amelyre AP PB = 5! A szakaszt adott arányban osztó P pont koordinátái: x = ( 6) = 1 7 y = + 5 ( 4) 5 + = P ( 1 7 ; ) 0. Írd fel az AB szakasz B végpontjának koordinátáit, ha A ( ; 0), továbbá AP PB = és P (1; )! Az osztópont segítségével felírhatjuk a következőket: 1 = ( ) + b 1 + b 1 = 7 = 0 + b + b = 5 Ezek alapján a keresett pont koordinátái: B (7; 5). 9

10 1. Adott az A (; 5) és B (9; ) pont. Az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk. Számítsd ki az osztópontok koordinátáit! Egy szakaszt öt egyenlő részre négy ponttal oszthatunk fel. Ezen pontok koordinátái az arányoknak megfelelően a következők lesznek: 1 4 P 1 ( ; ) P 5 1 ( 1 ; ) 5 5 P ( ; 5 + ) P 5 ( 7 ; 19 ) 5 5 P ( ; 5 + ) P 5 ( ; 16 ) P 4 ( ; ) P 5 4 ( 9 ; 1 ) 5 5. Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái A (6; 6), B (1; 4) és C ( ; 5). A háromszöget az O ( 4; 4) pontból nagyítjuk a háromszorosára. Határozd meg a képháromszög csúcspontjainak koordinátáit! Mivel a háromszöget a háromszorosára nagyítjuk, így az A pont az OA szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja, a B pont az OB szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja, a C pont pedig az OC szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja. 6 = ( 4) + 1 a 1 a 1 = 6 6 = ( 4) + 1 a a = 6 1 = ( 4) + 1 b 1 b 1 = 11 4 = ( 4) + 1 b b = 4 = ( 4) + 1 c 1 c 1 = 5 = ( 4) + 1 c c = Ezek alapján a képháromszög csúcsainak koordinátái: A (6; 6), B (11; 4) és C (; ). 10

11 . Adott az A ( 1; 4) és B (; 5) pont. Határozd meg a A pontnak a B középpontú λ = 5 arányszámú középpontos hasonlóságával kapott A képét! A középpontos hasonlóság alapján az A pont az A B szakaszt 4 1 arányban osztó pontja. 1 = 1 x x = 1 4 = 1 y y = 0 Ezek alapján a keresett képpont koordinátái: A ( 1; 0). 4. Milyen arányban osztja a P (; 1) pont az AB szakaszt, ha a szakasz végpontjai: A ( ; 1) és B (1; 4)? Az arány kiszámításához elegendő az osztópont első koordinátáját felhasználnunk: = n ( ) + m 1 m + n m + n = 1m n m n = A második koordinátával ellenőrizhetjük a számításunkat: 1 = n ( 1) + m 4 m + n m + n = 4m n m n = Ezek alapján a P pont arányban osztja az AB szakaszt. 5. Milyen arányban osztja ketté a P (; 4) pont az A ( 1; ) és B (; 7) pontok által meghatározott szakaszt? Az arány kiszámításához elegendő az osztópont első koordinátáját felhasználnunk: = n ( 1) + m m + n m + n = m n m n = A második koordinátával ellenőrizhetjük a számításunkat: 4 = n + m 7 m + n 4m + 4n = 7m + n m n = Ezek alapján a P pont nem pontja az AB szakasznak, így nem osztja azt. 11

12 6. Adott az A (; 7) és a B (6; 5) pont. Határozd meg az AB egyenesén azt a P pontot, melyre AP PB = 7 4 teljesül! A feladatnak két megoldása van aszerint, hogy a keresett pont a szakaszhoz képest hol helyezkedik el. Tekintsük először azt az esetet, amikor a P 1 (x; y) pont a szakasz belső pontja. A szakaszt adott arányban osztó P 1 pont koordinátái: x = = y = 4 ( 7) = 7 11 P 1 ( ; 7 11 ). Tekintsük most azt az esetet, amikor a P (x; y) pont a szakasz külső pontja. Ekkor a B pont az AP szakaszt : 4 arányban osztó pontja. 6 = 4 + x + 4 x = 4 5 = 4 ( 7) + y + 4 y = 1 Ezek alapján a keresett P külső csúcs koordinátái: P ( 4 4 ; 1). 7. Az A (; ) és B (7; ) pontokat összekötő szakaszt hosszabbítsuk meg a B ponton túl a felével. Határozd meg az így kapott C pont koordinátáit! A B pont az AC szakasz C hez közelebbi harmadolópontja, így felírhatjuk a következőket: 7 = + x x = 9 = + y y = 11 Ezek alapján a keresett C pont koordinátái: C (9; 11 ). 8. Számítsd ki az A ( ; 0), B (5; 4) és C (1; 1) pontok által meghatározott háromszög súlypontjának koordinátáit! Az ABC súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: x = = 4 y = ( 1) = 1 S ( 4 ; 1) 1

13 9. Határozd meg az ABC háromszög AB oldalának felezőpontját, ha adott a C csúcsa és az S súlypontja: C ( 1; 1) és S (1; )! A súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja. 1 = 1 ( 1) + x x = = y y = 5 Ezek alapján az AB oldal felezőpontjának koordinátái: F AB (; 5 ). 0. Az ABC háromszög C csúcsa az ordinátatengelyre, az S súlypontja az abszcisszatengelyre esik. Határozd meg a C és S pontok koordinátáit, ha a háromszög másik két csúcsa A (4; 1) és B (5; )! Mivel a C pont illeszkedik az y - tengelyre, így koordinátákkal felírva: C (0; y). Mivel az S pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: S (x; 0). x = = 0 = y y = Ezek alapján a keresett pontok koordinátái: C (0; ) és S (; 0). 1. Adott egy háromszög A (5; ) és B ( ; ) csúcsa, továbbá az S (4; 7) súlypontja. Számítsd ki a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! A C csúcs koordinátáit a súlypont koordinátáinak segítségével számíthatjuk ki: 4 = 5 + ( ) + c 1 c 1 = 10 7 = + + c c = Ezek alapján a háromszög harmadik csúcsának koordinátái: C (10; ). 1

14 . Az ABC háromszög A csúcsának helyvektora a ( ; ), AB = 7i j és CB = i 6j. Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! Az a helyvektor alapján az A csúcs koordinátái: A ( ; ). A bázisvektorokkal adott vektorok koordinátái: AB (7; ) és CB (; 6). Az AB vektor alapján a B csúcs koordinátái: B (5; 1). A CB vektor alapján a C csúcs koordinátái: C (; 7). A háromszög súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: x = = 5 y = = 11 S ( 5 ; 11 ).. Bizonyítsd be, hogy az A (10; 4), B (; 5), C (1; 1) koordinátájú pontok derékszögű háromszöget feszítenek ki! Számítsd ki a háromszög köré írt körének területét! Először számítsuk ki a CB (; 6) és CA (9; ) vektor skaláris szorzatát: a b = 9 + ( 6) = 0. Mivel két vektor skaláris szorzata akkor 0, ha a két vektor merőleges, így a háromszög derékszögű háromszög. A derékszögű háromszög köré írt körének sugara éppen az átfogó fele. Ebből felírhatjuk a következőt: AB = ( 10) + (( 5) 4) 11,4 r = 5,7 Ezek alapján a kör területe: T = 5,7 π 10,1. 14

15 4. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának végpontjai: A (; 1) és B ( 4; ). Számítsd ki a harmadik csúcs koordinátiát! Először számítsuk ki az AB átfogó F felezőpontjának koordinátái: F ( 1; ). Két megoldás lehetséges aszerint, hogy a hiányzó csúcs a szakasz melyik oldalán található. Az első esetben az FA (; 1) os elforgatottja az FC (1; ). 1 = c 1 ( 1) c 1 = 0 = c c = 5 A második esetben az FA (; 1) 90 - os elforgatottja az FD ( 1; ). 1 = d 1 ( 1) d 1 = = d d = 1 Ezek alapján a hiányzó csúcs koordinátái: C (0; 5), vagy D ( ; 1). 5. Egy rombusz két szemközti csúcsának koordinátái: B ( ; 7), D (5; 11). Az AC átló a BD átló kétszerese. Határozd meg az A és a C csúcsok koordinátáit! Először számítsuk ki a rombusz K középpontját, amely a BD átló felezőpontja: K (1; 9). Mivel a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, így a KD (4; ) os elforgatottjának kétszerese éppen a KA ( 4; 8). 4 = a 1 1 a 1 = 8 = a 9 a = 17 Ezek alapján az A csúcs koordinátái: A ( ; 17). A K középpont, az AC átló felezőpontja, így felírhatjuk a következőket: 1 = + c 1 c 1 = 5 9 = 17 + c c = 1 Ezek alapján a C csúcs koordináti: C (5; 1). 15

16 6. Egy deltoid három csúcsának koordinátái: A (8; 5), B (5; 6) és C (; ), a szimmetriatengelye az AC egyenes. Számítsd ki a deltoid negyeidk csúcsának koordinátáit! Mekkora a deltoid területe? Legyen a negyedik csúcs a D (x; y) pont. Mivel AD = AB és CD = CB, így felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (x 8) + (y 5) = (5 8) + (6 5) (x ) + (y ) = (5 ) + (6 ) } Az egyenletek rendezése után az egyenletrendszer megoldása x = 7 és y =. Ezek alapján a negyedik csúcs a D (7; ) pont. Ezt követően számítsuk ki az átlók hosszát: AC = ( 8) + ( 5) 6,71 BD = (7 5) + ( 6) 4,47 Ezek alapján a deltoid területe: T = 6,71 4, Egy kör középpontja a K (0; 1) pont és érinti az x tengelyt. Áthalad e a kör a P 1 (11; 6) és a P ( 5; 1) pontokon? Mivel a középpont illeszkedik az y tengelyre, s a kör érinti az x tengelyt, így r = 1. Mivel egy körre illeszkedő P (x; y) pont esetén KP = r, így felírhatjuk a következőket: (11 0) + ( 6 ( 1)) = ( 5 0) + ( 1 ( 1)) = = 169 Ezek alapján a P 1 pont nincs rajta a körön, míg a P illeszkedik a körre. 16

17 8. Számítsd ki annak a paralelogrammának a területét, amelynek három egymást követő csúcsa pozitív körüljárási irányban: A ( ; 4), B ( ; 1) és C (; 1)! A paralelogrammát az átlója két egybevágó háromszögre bontja, így területét megkaphatjuk, ha kiszámítjuk az egyik háromszög területét. Számítsuk ki a c oldal hosszát: c = AB = (( ) ( )) + (( 1) 4) = 6. Számítsuk ki az a oldal hosszát: a = BC = ( ( )) + (1 ( 1)) = 9. A B csúcsnál levő β szög megegyezik az BA ( 1; 5) és BC (5; ) vektorok hajlásszögével. Számítsuk ki skaláris szorzat segítségével a BA és BC vektorok által bezárt szöget: cos β = ( 1) β 79,5. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 6 9 sin 79,5 1,5. Ezek alapján a paralelogramma területe: T = 1,5 = Határozd meg annak a körnek a sugarát, amelynek középpontja a C (; 1) pont és a 6 hosszúságegységnyi húrját a P (6; 5) pont felezi! Legyen a húr egyik végpontja a Q pont, s így tekintsük a derékszögű CPQ - et. Először számítsuk ki a CPQ befogóinak hosszát: PQ = 6 = CP = (6 ) + (5 1) = 5 = 5. Mivel a kör sugara a CPQ átfogója, így számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével: CQ = + 5 r = CQ 5,8 17

18 40. Adottak az ABC háromszög csúcsai: A (5; ), B (8; 6) és C ( ; 8). Számítsd ki annak a P pontnak a koordinátáit, amelyet az A pontból induló szögfelező metsz ki a szemközti oldalból! Először számítsuk ki a háromszög két oldalának hosszát: AB = (8 5) + (6 ) = 5 = 5 AC = ( 5) + (8 ) = 100 = 10 A szögfelező tétel szerint a keresett P pont a szomszédos oldalak arányában osztja ketté a szemközti oldalt. Ebből adódik, hogy a P pont a BC oldalt 5 10 = 1 arányban osztó (harmadoló) pontja, vagyis felírhatjuk a következőket: x = ( ) 1 + = 1 y = = 0 Ezek alapján a keresett P pont koordinátái: P ( 1 ; 0 ). 18

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az

Részletesebben

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik

Részletesebben