Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Átírás

1 Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = = 7 6,08.. Határozd meg az A ( ; ), B ( 5; 7) és C (; 4) csúcsokkal rendelkező háromszög kerületét és területét! A háromszög kerületéhez számoljuk ki az oldalak hosszát: a = BC = ( ( 5)) + (4 7) = = 7 b = AC = ( ( )) + (4 ( )) = = 85 c = AB = ( 5 ( )) + (7 ( )) = = 104 A háromszög kerülete: K = ,96. Ezt követően számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: ( 7) = ( 85) + ( 104) cos α α 51,9 Ezek alapján a háromszög területe: T = sin 51,9 7.. Határozd meg azt a P pontot az ordinátatengelyen, amelynek az A (; 1) ponttól való távolsága 5 egység! A P pont illeszkedik az y - tengelyre, így koordinátákkal felírva: P (0; y). 1

2 Mivel az AP = 5, így felírhatjuk a következő egyenletet: 5 = (0 ) + (y 1). Rendezzük az egyenletet a következőképpen: y y 15 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai y 1 = 5 és y =. Ezek alapján két megoldás adódik: P 1 (0; 5) és P (0; ). 4. Határozd meg az x - tengelynek azt a P pontját, amely az A (0; 0) és a B (9; ) koordinátájú pontoktól egyenlő távolságra van! A P pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: P (x; 0). Mivel az AP = BP, így felírhatjuk a következő egyenletet: (x 0) + (0 0) = (x 9) + (0 ( )). Ebből azt kapjuk, hogy x = 5. Ezek alapján a megoldás: P (5; 0). 5. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, ha a kör áthalad a P ( 4; ) ponton és az x - tengelyt az E (; 0) pontban érinti! Mivel a sugár merőleges az érintőre (ebben az esetben az x - tengelyre), így a középpont koordinátái: K (; r). Mivel r = KE = KP, így felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) + (0 r) = ( 4 ) + ( r). Ebből azt kapjuk, hogy r = 10. Ezek alapján a kör középpontja: K (; 10).

3 6. Számítsd ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha a csúcsainak koordinátái: A (0; ), B (1; 1) és C (; )! Legyen a kör középpontja: K (u; v). Mivel r = KA = KB és r = KA = KC, így felírhatjuk a következő egyenleteket: (0 u) + ( v) = (1 u) + (1 v) (0 u) + ( v) = ( u) + ( v) Négyzetre emelések után a következő egyenletrendszert kapjuk: u + v 4v + 4 = u + v u v + } u + v 4v + 4 = u + v 4u + 4v + 8 Az első egyenletből kivonva a másodikat, átrendezés után a következőt kapjuk: u = v +. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy v =. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy u = ( ) + =. Ezek alapján a kör középpontja K ( ; ). A kör sugara: r = d KA = (0 ( )) + ( ( )) = 5 = Határozd meg a PQ szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha a szakasz végpontjai: P ( 5; 7) és a Q (1; 1)! Legyen a PQ szakasz felezőpontja az F (x; y) pont. A felezőpont koordinátáit kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: x = = y = 7 ( 1) = 10 Ezek alapján a megoldás: F ( ; 10).

4 8. Határozd meg az A pont koordinátáit, ha B (; ) és az AB szakasz felezőpontja F ( 1; 4)! Mivel az F pont az AB felezőpontja, így felírhatjuk a következőket: 1 = a 1 + a 1 = 4 4 = a + a = 5 Ezek alapján az A csúcs koordináti: A ( 4; 5). 9. Az ABCD négyszög csúcsai A ( 6; ), B (5; 1), C (6; 4) és D (; 6). Határozd meg a négyszög középvonalainak felezőpontjait! Mivel a négyszög középvonalai az oldalak felezőpontjait kötik össze, így először határozzuk meg az oldalfelező pontokat: F AB ( 1 ; ) F BC ( 11 ; ) F CD ( 9 ; 5) F AD ( ; ). Ezek alapján a középvonalak felezőpontjai: F AB CD (; 7 4 ) és F BC AD (; 7 4 ). Ebből adódik, hogy a felezőpontok egybeesnek, vagyis a középvonalak felezik egymást. 10. Egy téglalap két csúcsa A ( ; ) és B (; ). Átlói metszéspontjának ordinátája 0. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, és számítsd ki a téglalap területét! A téglalap AB oldala a koordináták alapján párhuzamos az x tengellyel. Mivel a téglalap oldalai merőlegesek egymásra, így a két hiányzó pont első koordinátája megegyezik a megadott pontok első koordinátájával: C (; c ) és D ( ; d ). A téglalap átlói felezik egymást, így felírhatjuk a következőket: 0 = + c c = 0 = + d d = Ebből a hiányzó csúcsok koordinátái: C (; ) és D ( ; ). Ezek alapján a téglalap oldalai 5 és 6 egység hosszúak, vagyis a területe: T = 5 6 = 0. 4

5 11. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának csúcsai az A (; 1) és a B (6; 5) koordinátájú pontok. A harmadik C csúcsa az x - tengelyen van. Mekkora a háromszög területe? Mivel a C pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: C (x; 0). A háromszög egyenlő szárú, vagyis AC = BC, így felírhatjuk a következő egyenletet: (x ) + (0 1) = (x 6) + (0 5). Ebből azt kapjuk, hogy x = 7, vagyis a C csúcs koordinátái: C (7; 0). Az AB oldal hossza: AB = (6 ) + (5 1) =. Az AB oldal felezőpontja: x = + 6 = 4 y = = F (4; ) Ebből az m c magasság hossza: MC = (7 4) + (0 ) = 18. Ezek alapján a háromszög területe: T = 18 = Adott egy paralelogramma A ( ; ), B (; ) és C ( 5; 4) csúcsa. Határozd meg a negyedik csúcs koordinátáit! Mennyi megoldás van? A paralelogramma átlói felezik egymást, így először számítsuk ki az átlók felezőpontjának koordinátáit. Mivel az ABC bármely oldala lehet a paralelogramma átlója, így három megoldás adódik: F AB (0; 1 ) F AC ( 7 ; 1) F BC ( ; 7 ). Ezt követően a felezőpontoknak megfelelően számítsuk ki a hiányzó csúcs koordinátáit: F AB (0; 1 ) a CD átló felezőpontja is 0 = 5 + d 1 d 1 = 5 1 = 4 + d d = 5

6 F AC ( 7 ; 1) a BD átló felezőpontja is 7 = + d 1 d 1 = 9 1 = + d d = 1 F BC ( ; 7 ) az AD átló felezőpontja is = + d 1 d 1 = 1 7 = + d d = 9 Ezek alapján a paralelogramma keresett csúcsa: D 1 (5; ), vagy D ( 9; 1), vagy D ( 1; 9). 1. Adott egy háromszög oldalfelező pontjai: F AB ( ; ), F AC (5; 1) és F BC (; 4). Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit! Az oldal felezőpontok segítségével felírhatjuk a következő egyenleteket: = a 1 + b1 4 = a 1 + b 1 = a + b 4 = a + b 5 = a 1 + c 1 10 = a 1 + c 1 1 = a + c = a + c = b 1 + c 1 6 = b 1 + c 1 4 = b + c 8 = b + c Először számítsuk ki a csúcsok első koordinátáit. Az első egyenletből azt kapjuk, hogy a 1 = 4 b 1. 6

7 Ezt helyettesítsük a harmadik egyenletbe: c 1 = 14 + b 1. Végül ezt behelyettesítve az ötödik egyenletbe, azt kapjuk, hogy b 1 = 4. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: a 1 = 0 és c 1 = 10. Ezt követően számítsuk ki a csúcsok második koordinátáit. A második egyenletből azt kapjuk, hogy a = 4 b. Ezt helyettesítsük a negyedik egyenletbe: c = 6 + b. Végül ezt behelyettesítve a hatodik egyenletbe, azt kapjuk, hogy b = 1. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: a = 5 és c = 7. Ezek alapján a háromszög csúcsai: A (0; 5), B ( 4; 1) és C (10; 7). 14. Adott egy paralelogramma A (0; 5) és B ( 1; 1) csúcsa, továbbá az átlók M (; ) metszéspontja. Számítsd ki a paralelogramma hiányzó csúcsinak koordinátáit! A paralelogramma átlói felezik egymást, így az M pont az AC és BD szakaszok felezőpontja. = 0 + c 1 c 1 = 4 = 5 + c c = 1 = 1 + d 1 d 1 = 5 = 1 + d d = 5 Ezek alapján a hiányzó pontok koordinátái: C (4; 1) és D (5; 5). 7

8 15. Az A ( 4; 7) pontot tükrözzük a B (5; ) pontra. Számítsd ki az A koordinátáit! Mivel az A pontot tükrözzük a B pontra, így a B pont éppen az AA szakasz felezőpontja. 5 = 4 + a 1 a 1 = 14 = 7 + a a = 11 Ezek alapján a képpont koordinátái: A (14; 11). 16. Az A (0; 0), B (; 6), C (8; ) csúcsokkal megadott háromszöget az A pontból kétszeresére nagyítjuk. Számítsd ki a kapott A B C háromszög B és C csúcsainak koordinátáit! Mivel az A csúcsból kétszeresére nagyítunk, így a B csúcs éppen az AB szakasz felezőpontja, a C csúcs pedig az AC szakasz felezőpontja. = 0 + b 1 b 1 = 6 6 = 0 + b b = 1 8 = 0 + c 1 c 1 = 16 = 0 + c c = 4 Ezek alapján a képháromszög csúcsainak koordinátái: A (0; 0), B (6; 1) és C (16; 4). 17. A koordináta rendszer O kezdőpontjának tükörképe az A (5; 5) pontra O 1, az O 1 tükörképe a B pontra O, az O tükörképe a C (1; 7) pontra ismét az O. Számítsd ki a B pont koordinátáit, és bizonytasd be, hogy az OABC négyszög rombusz! Mivel az OO 1 szakasz felezőpontja A, így felírhatjuk a következőket: 5 = 0 + x x = 10 5 = 0 + y y = 10 Ebből az O 1 pont koordinátái: O 1 (10; 10). Mivel az OO szakasz felezőpontja C, így felírhatjuk a következőket: 1 = 0 + x x = 7 = 0 + y y = 14 Ebből az O pont koordinátái: O (; 14). 8

9 Mivel az O 1 O szakasz felezőpontja B, így felírhatjuk a következőket: b 1 = 10 + = 6 b = = 1 Ezek alapján a B pont koordinátái: B (6; 1). Mivel OA = AB = BC = CO = 50, így a négyszög rombusz. 18. Adott az A (; 4) és B (6; 1) pontok által meghatározott szakasz. Számítsd ki az A - hoz, illetve B - hez közelebbi harmadoló pontok koordinátáit! Az A - hoz közelebbi harmadoló pont koordinátái: x 1 = = 4 y 1 = = H 1 (4; ) A B - hez közelebbi harmadoló pont koordinátái: x = = 5 y = = H (5; ) 19. Írd fel az A ( 6; ) és B (5; 4) pontok által meghatározott szakasz azon P pontjának koordinátáit, amelyre AP PB = 5! A szakaszt adott arányban osztó P pont koordinátái: x = ( 6) = 1 7 y = + 5 ( 4) 5 + = P ( 1 7 ; ) 0. Írd fel az AB szakasz B végpontjának koordinátáit, ha A ( ; 0), továbbá AP PB = és P (1; )! Az osztópont segítségével felírhatjuk a következőket: 1 = ( ) + b 1 + b 1 = 7 = 0 + b + b = 5 Ezek alapján a keresett pont koordinátái: B (7; 5). 9

10 1. Adott az A (; 5) és B (9; ) pont. Az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk. Számítsd ki az osztópontok koordinátáit! Egy szakaszt öt egyenlő részre négy ponttal oszthatunk fel. Ezen pontok koordinátái az arányoknak megfelelően a következők lesznek: 1 4 P 1 ( ; ) P 5 1 ( 1 ; ) 5 5 P ( ; 5 + ) P 5 ( 7 ; 19 ) 5 5 P ( ; 5 + ) P 5 ( ; 16 ) P 4 ( ; ) P 5 4 ( 9 ; 1 ) 5 5. Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái A (6; 6), B (1; 4) és C ( ; 5). A háromszöget az O ( 4; 4) pontból nagyítjuk a háromszorosára. Határozd meg a képháromszög csúcspontjainak koordinátáit! Mivel a háromszöget a háromszorosára nagyítjuk, így az A pont az OA szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja, a B pont az OB szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja, a C pont pedig az OC szakasz O hoz közelebbi harmadoló pontja. 6 = ( 4) + 1 a 1 a 1 = 6 6 = ( 4) + 1 a a = 6 1 = ( 4) + 1 b 1 b 1 = 11 4 = ( 4) + 1 b b = 4 = ( 4) + 1 c 1 c 1 = 5 = ( 4) + 1 c c = Ezek alapján a képháromszög csúcsainak koordinátái: A (6; 6), B (11; 4) és C (; ). 10

11 . Adott az A ( 1; 4) és B (; 5) pont. Határozd meg a A pontnak a B középpontú λ = 5 arányszámú középpontos hasonlóságával kapott A képét! A középpontos hasonlóság alapján az A pont az A B szakaszt 4 1 arányban osztó pontja. 1 = 1 x x = 1 4 = 1 y y = 0 Ezek alapján a keresett képpont koordinátái: A ( 1; 0). 4. Milyen arányban osztja a P (; 1) pont az AB szakaszt, ha a szakasz végpontjai: A ( ; 1) és B (1; 4)? Az arány kiszámításához elegendő az osztópont első koordinátáját felhasználnunk: = n ( ) + m 1 m + n m + n = 1m n m n = A második koordinátával ellenőrizhetjük a számításunkat: 1 = n ( 1) + m 4 m + n m + n = 4m n m n = Ezek alapján a P pont arányban osztja az AB szakaszt. 5. Milyen arányban osztja ketté a P (; 4) pont az A ( 1; ) és B (; 7) pontok által meghatározott szakaszt? Az arány kiszámításához elegendő az osztópont első koordinátáját felhasználnunk: = n ( 1) + m m + n m + n = m n m n = A második koordinátával ellenőrizhetjük a számításunkat: 4 = n + m 7 m + n 4m + 4n = 7m + n m n = Ezek alapján a P pont nem pontja az AB szakasznak, így nem osztja azt. 11

12 6. Adott az A (; 7) és a B (6; 5) pont. Határozd meg az AB egyenesén azt a P pontot, melyre AP PB = 7 4 teljesül! A feladatnak két megoldása van aszerint, hogy a keresett pont a szakaszhoz képest hol helyezkedik el. Tekintsük először azt az esetet, amikor a P 1 (x; y) pont a szakasz belső pontja. A szakaszt adott arányban osztó P 1 pont koordinátái: x = = y = 4 ( 7) = 7 11 P 1 ( ; 7 11 ). Tekintsük most azt az esetet, amikor a P (x; y) pont a szakasz külső pontja. Ekkor a B pont az AP szakaszt : 4 arányban osztó pontja. 6 = 4 + x + 4 x = 4 5 = 4 ( 7) + y + 4 y = 1 Ezek alapján a keresett P külső csúcs koordinátái: P ( 4 4 ; 1). 7. Az A (; ) és B (7; ) pontokat összekötő szakaszt hosszabbítsuk meg a B ponton túl a felével. Határozd meg az így kapott C pont koordinátáit! A B pont az AC szakasz C hez közelebbi harmadolópontja, így felírhatjuk a következőket: 7 = + x x = 9 = + y y = 11 Ezek alapján a keresett C pont koordinátái: C (9; 11 ). 8. Számítsd ki az A ( ; 0), B (5; 4) és C (1; 1) pontok által meghatározott háromszög súlypontjának koordinátáit! Az ABC súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: x = = 4 y = ( 1) = 1 S ( 4 ; 1) 1

13 9. Határozd meg az ABC háromszög AB oldalának felezőpontját, ha adott a C csúcsa és az S súlypontja: C ( 1; 1) és S (1; )! A súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja. 1 = 1 ( 1) + x x = = y y = 5 Ezek alapján az AB oldal felezőpontjának koordinátái: F AB (; 5 ). 0. Az ABC háromszög C csúcsa az ordinátatengelyre, az S súlypontja az abszcisszatengelyre esik. Határozd meg a C és S pontok koordinátáit, ha a háromszög másik két csúcsa A (4; 1) és B (5; )! Mivel a C pont illeszkedik az y - tengelyre, így koordinátákkal felírva: C (0; y). Mivel az S pont illeszkedik az x - tengelyre, így koordinátákkal felírva: S (x; 0). x = = 0 = y y = Ezek alapján a keresett pontok koordinátái: C (0; ) és S (; 0). 1. Adott egy háromszög A (5; ) és B ( ; ) csúcsa, továbbá az S (4; 7) súlypontja. Számítsd ki a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! A C csúcs koordinátáit a súlypont koordinátáinak segítségével számíthatjuk ki: 4 = 5 + ( ) + c 1 c 1 = 10 7 = + + c c = Ezek alapján a háromszög harmadik csúcsának koordinátái: C (10; ). 1

14 . Az ABC háromszög A csúcsának helyvektora a ( ; ), AB = 7i j és CB = i 6j. Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! Az a helyvektor alapján az A csúcs koordinátái: A ( ; ). A bázisvektorokkal adott vektorok koordinátái: AB (7; ) és CB (; 6). Az AB vektor alapján a B csúcs koordinátái: B (5; 1). A CB vektor alapján a C csúcs koordinátái: C (; 7). A háromszög súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: x = = 5 y = = 11 S ( 5 ; 11 ).. Bizonyítsd be, hogy az A (10; 4), B (; 5), C (1; 1) koordinátájú pontok derékszögű háromszöget feszítenek ki! Számítsd ki a háromszög köré írt körének területét! Először számítsuk ki a CB (; 6) és CA (9; ) vektor skaláris szorzatát: a b = 9 + ( 6) = 0. Mivel két vektor skaláris szorzata akkor 0, ha a két vektor merőleges, így a háromszög derékszögű háromszög. A derékszögű háromszög köré írt körének sugara éppen az átfogó fele. Ebből felírhatjuk a következőt: AB = ( 10) + (( 5) 4) 11,4 r = 5,7 Ezek alapján a kör területe: T = 5,7 π 10,1. 14

15 4. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának végpontjai: A (; 1) és B ( 4; ). Számítsd ki a harmadik csúcs koordinátiát! Először számítsuk ki az AB átfogó F felezőpontjának koordinátái: F ( 1; ). Két megoldás lehetséges aszerint, hogy a hiányzó csúcs a szakasz melyik oldalán található. Az első esetben az FA (; 1) os elforgatottja az FC (1; ). 1 = c 1 ( 1) c 1 = 0 = c c = 5 A második esetben az FA (; 1) 90 - os elforgatottja az FD ( 1; ). 1 = d 1 ( 1) d 1 = = d d = 1 Ezek alapján a hiányzó csúcs koordinátái: C (0; 5), vagy D ( ; 1). 5. Egy rombusz két szemközti csúcsának koordinátái: B ( ; 7), D (5; 11). Az AC átló a BD átló kétszerese. Határozd meg az A és a C csúcsok koordinátáit! Először számítsuk ki a rombusz K középpontját, amely a BD átló felezőpontja: K (1; 9). Mivel a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, így a KD (4; ) os elforgatottjának kétszerese éppen a KA ( 4; 8). 4 = a 1 1 a 1 = 8 = a 9 a = 17 Ezek alapján az A csúcs koordinátái: A ( ; 17). A K középpont, az AC átló felezőpontja, így felírhatjuk a következőket: 1 = + c 1 c 1 = 5 9 = 17 + c c = 1 Ezek alapján a C csúcs koordináti: C (5; 1). 15

16 6. Egy deltoid három csúcsának koordinátái: A (8; 5), B (5; 6) és C (; ), a szimmetriatengelye az AC egyenes. Számítsd ki a deltoid negyeidk csúcsának koordinátáit! Mekkora a deltoid területe? Legyen a negyedik csúcs a D (x; y) pont. Mivel AD = AB és CD = CB, így felírhatjuk a következő egyenletrendszert: (x 8) + (y 5) = (5 8) + (6 5) (x ) + (y ) = (5 ) + (6 ) } Az egyenletek rendezése után az egyenletrendszer megoldása x = 7 és y =. Ezek alapján a negyedik csúcs a D (7; ) pont. Ezt követően számítsuk ki az átlók hosszát: AC = ( 8) + ( 5) 6,71 BD = (7 5) + ( 6) 4,47 Ezek alapján a deltoid területe: T = 6,71 4, Egy kör középpontja a K (0; 1) pont és érinti az x tengelyt. Áthalad e a kör a P 1 (11; 6) és a P ( 5; 1) pontokon? Mivel a középpont illeszkedik az y tengelyre, s a kör érinti az x tengelyt, így r = 1. Mivel egy körre illeszkedő P (x; y) pont esetén KP = r, így felírhatjuk a következőket: (11 0) + ( 6 ( 1)) = ( 5 0) + ( 1 ( 1)) = = 169 Ezek alapján a P 1 pont nincs rajta a körön, míg a P illeszkedik a körre. 16

17 8. Számítsd ki annak a paralelogrammának a területét, amelynek három egymást követő csúcsa pozitív körüljárási irányban: A ( ; 4), B ( ; 1) és C (; 1)! A paralelogrammát az átlója két egybevágó háromszögre bontja, így területét megkaphatjuk, ha kiszámítjuk az egyik háromszög területét. Számítsuk ki a c oldal hosszát: c = AB = (( ) ( )) + (( 1) 4) = 6. Számítsuk ki az a oldal hosszát: a = BC = ( ( )) + (1 ( 1)) = 9. A B csúcsnál levő β szög megegyezik az BA ( 1; 5) és BC (5; ) vektorok hajlásszögével. Számítsuk ki skaláris szorzat segítségével a BA és BC vektorok által bezárt szöget: cos β = ( 1) β 79,5. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 6 9 sin 79,5 1,5. Ezek alapján a paralelogramma területe: T = 1,5 = Határozd meg annak a körnek a sugarát, amelynek középpontja a C (; 1) pont és a 6 hosszúságegységnyi húrját a P (6; 5) pont felezi! Legyen a húr egyik végpontja a Q pont, s így tekintsük a derékszögű CPQ - et. Először számítsuk ki a CPQ befogóinak hosszát: PQ = 6 = CP = (6 ) + (5 1) = 5 = 5. Mivel a kör sugara a CPQ átfogója, így számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével: CQ = + 5 r = CQ 5,8 17

18 40. Adottak az ABC háromszög csúcsai: A (5; ), B (8; 6) és C ( ; 8). Számítsd ki annak a P pontnak a koordinátáit, amelyet az A pontból induló szögfelező metsz ki a szemközti oldalból! Először számítsuk ki a háromszög két oldalának hosszát: AB = (8 5) + (6 ) = 5 = 5 AC = ( 5) + (8 ) = 100 = 10 A szögfelező tétel szerint a keresett P pont a szomszédos oldalak arányában osztja ketté a szemközti oldalt. Ebből adódik, hogy a P pont a BC oldalt 5 10 = 1 arányban osztó (harmadoló) pontja, vagyis felírhatjuk a következőket: x = ( ) 1 + = 1 y = = 0 Ezek alapján a keresett P pont koordinátái: P ( 1 ; 0 ). 18