Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Átírás

1 Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: α = = 60. Az adatok kiszámításához használjuk a szinusz tételt. Először számítsuk ki a b oldal hosszát: b 10 = sin 50 sin 60 b 8,85 cm Végül számítsuk ki a c oldal hosszát: c 10 = sin 70 sin 60 c 10,85 cm 2. Egy háromszög két oldala 5 cm és 7 cm hosszú. A 7 cm - rel szemben levő szöge 50. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket, illetve a háromszög területét! Legyen a = 5 cm; b = 7 cm és β = 50. Az adatok kiszámításához használjuk a szinusz tételt. Először számítsuk ki az α szög nagyságát: sin α sin 50 = 5 7 α 1 33,17 α 2 = ,17 = 146,83 Mivel a kisebb oldallal szemben levő szöget keressük, ezért csak az α 1 lehet megoldás. A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: γ = ,17 = 96,83. 1

2 Végül számítsuk ki a c oldal hosszát: c 7 = sin 96,83 sin 50 c 9,07 cm Ezek alapján a háromszög területe: T = a b sin γ 2 = 5 7 sin 96, ,37 cm Egy háromszög két oldala 3 cm és 5 cm hosszú. A 3 cm - rel szemben levő szöge 35. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket! Legyen a = 3 cm; b = 5 cm és α = 35. Az adatok kiszámításához használjuk a szinusz tételt. Először számítsuk ki a β szög nagyságát: sin β sin 35 = 5 3 β 1 72,93 β 2 = ,93 = 107,07 Mivel a nagyobb oldallal szemben levő szöget keressük, így mindkettő jó megoldás. Tekintsük elsőként a β 1 = 72,93 szöget. A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: γ 1 = ,93 = 72,07. Ezt követően számítsuk ki a harmadik oldal hosszát is: c 1 3 = sin 72,07 sin 35 c 1 4,98 cm Tekintsük most a β 2 = 107,07 szöget. A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: γ 2 = ,07 = 37,93. Ezt követően számítsuk ki a harmadik oldal hosszát is: c 2 3 = sin 37,93 sin 35 c 2 3,21 cm 2

3 4. Egy háromszög két oldala 10 cm és 20 cm hosszú. A 10 cm - rel szemben levő szöge 30. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket! Legyen a = 10 cm; b = 20 cm és α = 30. Az adatok kiszámításához használjuk a szinusz tételt. Először számítsuk ki a β szög nagyságát: sin β = 20 sin β 90 Ebben az esetben egy megoldás adódik. A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: γ = = 60. Ezt követően számítsuk ki a harmadik oldal hosszát is: c 10 = sin 60 sin 30 c 17,32 cm 5. Egy háromszög két oldala 10 cm és 25 cm hosszú. A 10 cm - rel szemben levő szöge 40. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket! Legyen a = 10 cm; b = 25 cm és α = 40. Az adatok kiszámításához használjuk a szinusz tételt. Számítsuk ki először a β szög nagyságát: sin β = 25 sin sin β 1,6 Nincs megoldás. Nem létezik a feladat szövegének megfelelő háromszög. 6. Egy háromszög oldalai 2 cm, 6 cm és 7 cm hosszúak. Számítsd ki a szögeit! Legyen a = 2 cm; b = 6 cm és c = 7 cm. Az adatok kiszámításához használjuk a koszinusz tételt. Először számítsuk ki a háromszög β szögét: 6 2 = cos β β 52,61 3

4 Ezt követően számítsuk ki a háromszög γ szögét: 7 2 = cos γ γ 112,02 A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: α = ,02 52,61 = 15, Egy háromszög két oldala 10 cm és 12 cm. Az általuk bezárt szög 67. Számítsd ki a hiányzó oldalt és szögeket! Legyen a = 10 cm; b = 12 cm és γ = 67. Az adatok kiszámításához használjuk a koszinusz tételt. Először számítsuk ki a harmadik oldal hosszát: c 2 = cos 67 c 12,26 cm Ezt követően számítsuk ki a háromszög α szögét: 10 2 = , ,26 cos α α 48,67 A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: β = ,67 = 64, Egy háromszögben b = 7 cm, c = 9 cm és α = 100. Számítsd ki a hiányzó szögeket, a harmadik oldal meghatározása nélkül! Mivel β + γ = = 80, így felírhatjuk a tangens tételt: Ebből átrendezéssel a következő adódik: β γ = 11,97. = tg β γ tg 2. Tekintsük a következő egyenletrendszert: β + γ = 80 } β γ = 11,97 Az egyenletrendszer megoldása β = 34,02 és γ = 45,98. 4

5 9. Egy toronyóra nagymutatójának hossza 7 m, míg kis mutatójának hossza 4 m. Milyen távol lesznek a mutatók végpontjai egymástól délután 5 órakor? Először számítsuk ki az óra mutatói által bezárt szöget: = 150. Ezt követően koszinusz tétel segítségével számítsuk ki a mutatók végpontjának távolságát: x 2 = cos 150 x 10,65 m 10. Egy háromszög kerülete 23 cm, két szögének nagysága 44 és 78. Milyen hosszúak a háromszög oldalai? A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: = 58. Először a szinusz tétel segítségével írjuk fel a szögek szinuszainak arányát: sin 44 : sin 58 : sin 78 = 0,6946: 0,8480: 0,9781. Az oldalak aránya ezekkel megegyezik, így a kerület segítségével felírhatjuk a következőt: 0,6946x + 0,848x + 0,9781x = 23 x 9,12 Ezek alapján a háromszög oldalai: 6,34 cm; 7,74 cm és 8,92 cm. 11. Egy háromszög legkisebb oldala 4 cm hosszú, s az egyik szöge 70. A másik két szögének aránya Számítsd ki a háromszög területét! Először az arányok segítségével számítsuk ki a háromszög másik két szögének nagyságát: 5x + 17x = x = 5 Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy a háromszög további szögei: 25 és 85. A háromszög területét megkapjuk a megfelelő képlet segítségével: T = a2 sin β sin γ. 2 sin α A behelyettesítés során ügyelnünk kell arra, hogy a legkisebb oldalt adta meg a feladat, vagyis a legkisebb szög szinusza kerül a nevezőbe. Ezek alapján a megoldás: T = 16 sin 70 sin 85 2 sin 25 17,72 cm 2. 5

6 12. Egy háromszög két oldalának összege 12 cm, az általuk bezárt szög 30. A háromszög területe 8 cm 2. Számítsd ki a háromszög oldalait! A háromszög területképletéből kifejezhetjük az a b értékét: 8 = a b sin 30 2 a b = 32 A feladat szövege alapján a + b = 12, amiből fejezzük ki az egyik ismeretlent: a = 12 b. Ezt helyettesítsük az előző egyenletbe: (12 b) b = 32. Ebből átrendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: b 2 12b + 32 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai b 1 = 4 és b 2 = 8. Visszahelyettesítés után b = 4 esetén a = 8 és b = 8 esetén a = 4 adódik. Ezek alapján egy megoldás van, s a harmadik oldalt számítsuk ki koszinusz tétel segítségével: c 2 = cos 30 c 4,96 cm 13. Egy háromszög egyik szöge 63 - os és a szög szögfelezője a szemközti oldalt 54 cm és 38 cm es részekre osztja. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre. Ebből felírhatjuk a következőt: a = 38x; b = 54x és c = = 92 cm. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az x nagyságát: 92 2 = (38x) 2 + (54x) x 54x cos 63 x 1,84 Ezek alapján a háromszög másik két oldalának hossza: a = 69,92 cm és b = 99,36 cm. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: 69,92 2 = , ,36 cos α α 42,65 A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: β = ,65 = 74,35. 6

7 14. Egy háromszög területe 42 cm 2. Két oldala 7, 3 cm és 12, 8 cm. Mekkora a háromszög harmadik oldala és a szögei? Először a terület segítségével számítsuk ki a két oldal által bezárt szöget: 42 = 7,3 12,8 sin γ 2 γ 1 64,02 γ 2 = ,02 = 115,98 Tekintsük először azt az esetet, amikor γ 1 = 64,02. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a c oldal hosszát: c 2 = 7, , ,3 12,8 cos 64,02 c 1 11,63 cm Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: 7,3 2 = 11, , ,63 12,8 cos α α 1 34,35 A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: β 1 = ,35 64,02 = 81,63. Tekintsük most azt az esetet, amikor γ 2 = 115,98. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a c oldal hosszát: c 2 = 7, , ,3 12,8 cos 115,98 c 2 17,29 cm Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: 7,3 2 = 12, , ,8 17,29 cos α α 2 22,31 A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: β 2 = ,31 115,98 = 41,71. 7

8 15. Egy tompaszögű háromszög területe 150 cm 2, két oldala pedig 16 cm, illetve 24 cm. Mekkorák a szögei? Először a terület segítségével számítsuk ki a két oldal által bezárt szöget: 150 = sin γ 2 γ 1 51,36 γ 2 = ,36 = 128,64 Tekintsük először azt az esetet, amikor γ 1 = 51,36. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a c oldal hosszát: c 2 = cos 51,36 c 1 18,77 cm Számítsuk ki szinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: sin α = 16 sin 51,36 18,77 α 1 41,74 α 2 = ,74 = 138,26 Az α 2 nem felel meg a feltételnek (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik). A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: β 1 = ,36 41,74 = 86,9. Ezek alapján ez a háromszög nem tompaszögű. Tekintsük most azt az esetet, amikor γ 2 = 128,64. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a c oldal hosszát: c 2 = cos 128,64 c 2 36,22 cm Számítsuk ki szinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: sin α = 16 sin 128,64 36,22 α 1 20,18 α 2 = ,18 = 159,82 Az α 2 nem felel meg a feltételnek (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik). A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: β 2 = ,64 20,18 = 31,18. Ez a háromszög tompaszögű, így megfelel a feladat feltételének. 8

9 16. Milyen hosszúak az óramutatók, ha végpontjuk 9 órakor 15 cm, 4 órakor 18 cm távolságra van egymástól? Legyen a nagymutató hossza x, a kismutatóé pedig y. A két mutató által bezárt szög 4 órakor 120, 9 órakor pedig 90. Ebből felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 15 2 = x 2 + y 2 2 x y cos 90 } 18 2 = x 2 + y 2 2 x y cos 120 A második egyenletből kivonva az elsőt fejezzük ki az egyik ismeretlent: x = 99 y. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő egyenlet adódik: y 4 225y = 0. Legyen a = y 2, s ekkor a következő másodfokú egyenletet kapjuk: a 2 225a = 0. A megoldóképlet segítségével az egyenlet megoldásai a 1 165,9 és a 2 59,07. A kapott értékeket visszahelyettesítve a következők adódnak: Ha a 1 = 165,9, akkor y 2 = 165,9 adódik, amiből y 1 12,88 és y 2 12,88. Ha a 2 = 59,07, akkor y 2 = 59,07 adódik, amiből y 3 7,69 és y 4 7,69. Az y 2 és y 4 nem felel meg a feladat szövegének. Az újabb visszahelyettesítés után a következőket kapjuk: Ha y 1 = 12,88 cm, akkor x 1 = 99 7,69 cm 12,88 Ha y 2 = 7,69 cm, akkor x 1 = 99 12,88 cm. 7,69 Ezek alapján a két mutató hossza 7,69 cm és 12,88 cm. 9

10 17. Egy háromszögben két oldal hosszúságának különbsége 7, 5 cm és ezen oldalakkal szemben 34, 7 - os, illetve 76, 2 - os szög található. Mekkorák a háromszög oldalai? A feladat szövege alapján: a b = 7,5. A szinusz tétel segítségével fejezzük ki az egyik ismeretlent: sin 34,7 sin 76,2 = b a b = sin 34,7 sin 76,2 a 0,5862a Ezt helyettesítsük az előző egyenletbe: a 0,5862a = 7,5. Ebből átrendezés után a következő adódik: a 18,12 cm. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy b = 10,62 cm. A két szög ismeretében a harmadik szög nagysága: γ = ,7 76,2 = 110,9. Végül szinusz tétel segítségével számítsuk ki a harmadik oldal hosszát: sin 110,9 sin 34,7 = c 10,62 c 17,43 cm 18. Egy 15 N - os és egy 24 N os erő hat egy pontszerű testre, az erők által bezárt szög 34, 7. Mennyi az eredő erő nagysága? (2977 d kék) Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az F eredő erő nagyságát: F 2 = cos 145,3 F 37,32 N 10

11 19. Egy 250 N nagyságú erőt bontsunk fel két olyan összetevőre, amelyek 54 - os és 18 - os szöget alkotnak vele. Mekkorák az összetevők? (2949 kék) Először számítsuk ki szinusz tétel segítségével az F 1 erő nagyságát: F 1 sin 18 = 250 sin 108 F 1 81,23 N Ezt követően számítsuk ki szinusz tétel segítségével az F 2 erő nagyságát: F 2 sin 54 = 250 sin 108 F 2 212,66 N 20. Egy háromszög két oldala 8, 5 cm, illetve 14, 6 cm. A hosszabbik megadott oldalt felező súlyvonal 10, 4 cm hosszúságú. Mekkora a háromszög ismeretlen oldala? A súlyvonal felezi a szemközti oldalt, vagyis AD = DB = 14,6 = 7,3 cm. 2 Először számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a CDB = δ szög nagyságát: 8,5 2 = 7, , ,3 10,4 cos δ δ 54,02 11

12 Ebből azt kapjuk, hogy ADC = ,02 = 125,98. Végül koszinusz tétel segítségével számítsuk ki az AC oldal hosszát: AC 2 = 7, , ,3 10,4 cos 125,98 AC 15,83 cm 21. Egy háromszög három oldala 5 cm, 7 cm és 10 cm hosszú. Számítsd ki a háromszög beírható és köré írható körének területét, illetve a legkisebb oldalhoz tartozó súlyvonal hosszát! Először számítsuk ki Heron képlet segítségével a háromszög területét: s = K 2 = 11. T = s (s a) (s b) (s c) = ,25 cm 2. Ezt követően a megfelelő területképlet segítségével számítsuk ki a beírható kör sugarát: T = r s 16,25 = 11r r 1,48 cm Ezután a megfelelő területképlet segítségével számítsuk ki a köré írt kör sugarát: T = abc 4R 16,25 = R R 5,38 cm A sugarak segítségével kiszámíthatjuk a körök területeit: T R = R 2 π = 5,38 2 3,14 90,88 cm 2 T r = r 2 π = 1,48 2 3,14 6,88 cm 2 12

13 A súlyvonal hosszát többféleképpen is meghatározhatjuk. Első megoldás: A súlyvonal képletével: s c = 2a2 +2b 2 c 2 = ,26 cm. Második megoldás: A súlyvonal felezi az oldalt és legyen CFB = φ, illetve BFA = (180 φ). Írjuk fel a két kisebb háromszögben a koszinusz - tételeket: 10 2 = 2,5 2 + s 2 c 2 2,5 s c cos φ } 7 2 = 2,5 2 + s 2 c 2 2,5 s c cos (180 φ) Mivel cos (180 φ) = cos φ, így ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 10 2 = 2,5 2 + s 2 c 2 2,5 s c cos φ } 7 2 = 2,5 2 + s 2 c + 2 2,5 s c cos φ Adjuk össze a két egyenletet, s rendezés után számítsuk ki a súlyvonal hosszát: 149 = 12,5 + 2 s c 2 s c 8,26 cm Harmadik megoldás: Először számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az α szög nagyságát: 10 2 = cos α α 111,8 Ezt követően számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a súlyvonal hosszát: s b 2 = 2, ,5 7 cos 111,8 s b 8,26 cm 13

14 22. Egy trapéz két párhuzamos oldala 5, 4 cm, illetve 18, 2 cm. Egyik szára 12, 5 cm, a másik szára a hosszabbik alappal es szöget zár be. Számítsd ki a trapéz másik szárát és a területét! A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: = 71,6. A BC szárat eltolva a D csúcsba azt kapjuk, hogy AE = 18,2 5,4 = 12,8 cm. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a másik szár hosszát: 12,5 2 = AD ,8 2 2 AD 12,8 cos 71,6 Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: AD 2 8,08 AD + 7,59 = 0. A megoldóképlet alapján az egyenlet megoldásai AD 1 = 7 és AD 2 = 1,1. A derékszögű AFD - ben megfelelő szögfüggvény segítségével számítsuk ki a magasságot: sin 71,6 = m 1 7 sin 71,6 = m 2 1,1 m 1 6,64 cm m 2 1,04 cm Végül számítsuk ki a két lehetséges trapéz területét: T 1 = 5,4 + 18,2 2 6,64 = 78,352 cm 2 T 2 = 5,4 + 18,2 2 1,04 = 12,272 cm 2 14

15 23. Egy szimmetrikus trapéz átlójának hossza 34 cm. Az átló 28, 2 - os és 33, 6 - os szögekre osztja a trapéz hegyesszögét. Az utóbbi szög másik szára a trapéz hosszabbik alapja. Számítsd ki a szimmetrikus trapéz oldalainak a hosszát! A trapéz szögeinek nagysága: β = 33,6 + 28,2 = 61,8 és α = ,8 = 118,2. Először számítsuk ki a BDA nagyságát: BDA = ,6 61,8 = 84,6. Először számítsuk ki szinusz tétel segítségével a trapéz szárának hosszát: sin 33,6 = AD sin 61,8 34 AD 21,35 cm Ezt követően számítsuk ki szinusz tétel segítségével a rövidebb alap hosszát: sin 28,2 = CD sin 118,2 34 CD 18,23 cm Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a hosszabb alap hosszát: AB 2 = , ,35 cos 84,6 AB 38,41 cm 24. Egy paralelogramma területe 457, 6 cm 2, egyik oldala 14, 2 cm, egyik szöge Számítsd ki a másik oldalt és a hosszabb átlót! 15

16 A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: ,3. A paralelogramma T p = a b sin γ területképletéből számítsuk ki a másik oldal hosszát: 457,6 = a 14,2 sin 32,3 a 60,3 cm Ezt követően számítsuk ki a paralelogramma (tompa) β = ABC szögét: β = ,3 = 147,7. Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AC átló hosszát: AC 2 = 14, , ,2 60,3 cos 147,7 AC 72,7 cm 25. Egy paralelogramma egyik szöge 112. Az adott szöggel szemközti átló hossza 18 cm. Ez az átló a paralelogramma hegyesszögét 2: 3 arányban osztja. Számítsd ki a paralelogramma oldalainak a hosszát! Első lépésként készítsünk ábrát, melyben feltüntetjük a megadott adatokat. A feladat szövege alapján 2x + 3x = , amiből x = 13,6. Ebből adódnak a következő szögek: CAB = 27,2 és DAC = 40,8. Ezután számítsuk ki szinusz tétel segítségével a BC oldal hosszát: sin 27,2 = BC sin BC 8,87 cm Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AB oldal hosszát: AB 2 = 8, ,87 18 cos 40,8 AB 12,69 cm 16

17 26. Egy egyenes országútból 32 - os szög alatt egy egyenes gyalogút ágazik el. E gyalogút mentén két gazdasági épület egymástól ismeretlen távolságra fekszik. Az elágazászól 400 méterrel tovább haladva az országúton, az épületek felé mutató irányok 105, illetve 75 - os szöget zárnak be a haladás irányával. Milyen messze van egymástól a két épület? Az ábra alapján számítsuk ki a következő szögeket: BDA = = 75 ABD = = 73 CDB = = 30 DBC = = 107 BCD = = 43 Számítsuk ki szinusz tétel segítségével a BD szakasz hosszát: sin 32 = BD sin BD 221,65 m Végül számítsuk ki szinusz tétel segítségével a BC szakasz hosszát: sin 30 sin 43 = BC 221,65 BC 162,5 m 17

18 27. Egy szigeten levő A tereptárgy távolságát szeretnénk meghatározni a folyó túlsó partján levő B tereptárgytól. Ezért a folyó innenső partján az AB egyenesen felveszünk egy C pontot, majd C ből kiindulva oldalra felmérünk egy 350 méteres CD szakaszt. Megmérve, kapjuk a következő szögeket: ACD = ; CDA = ; ADB = Mekkora az AB távolság? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: , = 41, = 75,8. Az ábra alapján számítsuk ki a következő szögeket: CDB = 41,2 + 28,88 = 70,08 DBC = ,8 70,08 = 34,12 DAC = ,2 75,8 = 63 Számítsuk ki szinusz tétel segítségével a BC szakasz hosszát: sin 70,08 = BC sin 34, BC 586,63 m Számítsuk ki szinusz tétel segítségével az AC szakasz hosszát: sin 41,2 sin 63 = AC 350 AC 258,74 m Végül számítsuk ki az AB távolságot: AB = 586,63 258,74 = 327,89 m. 18

19 28. Egy útkereszteződéstől észak felé az A község van 2400 m re, míg nyugat felé a B község van 3200 m re. Milyen távol van az A tól és a B től az a C község, amelybe A ból egy olyan egyenes út vezet, amely az északi irányú úttól balra tér el es irányba, míg B ből C be olyan egyenes út vezet, amely a nyugati irányú úttól jobbra tér el es szöggel? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: = 75,7 és ,27. Számítsuk ki a derékszögű BOA - ben az AB távolságot, az OAB = α és ABO = β szöget: = AB 2 AB 4000 m cos α = cos β = α 53,13 β 36,87 Az ábra alapján számítsuk ki a következő szögeket: BAC = ,27 53,13 = 44,6 CBA = ,7 36,87 = 67,43 ACB = ,6 67,43 = 67,97 Végül számítsuk ki szinusz tétel segítségével az AC és BC távolságokat: sin 67,43 = AC sin 67, AC 3984,57 m sin 44,6 = BC sin 67, BC 3029,83 m 19

20 29. Egy egyenes főúton haladva, es szög alatt balra, egyenes mellékút ágazik el, majd 8 km - rel tovább az egyenes főúton, jobbra egy egyenes mellékút ágazik le es szöget bezárva a főúton való haladási irányunkkal. Az első mellékúton 12 km - rel az elágazás után van a B község, míg a második mellékúton a leágazástól 10 km - re van a C község. Milyen messze van egymástól légvonalban a két község? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: ,3 és = 41,4. Először számítsuk ki az ADC nagyságát: ADC = ,4 = 138,6. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AC szakasz hosszát: AC 2 = cos 138,6 AC 16,85 km Ezt követően számítsuk ki szinusz tétel segítségével az α = DAC szöget: sin α = 10 sin 138,6 16,85 α 23,1 Ebből számítsuk ki a BAC nagyságát: BAC = 34,3 + 23,1 = 57,4. Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a BC távolságot: BC 2 = , ,85 cos 57,4 BC 14,5 km 20

21 30. Kalózok elásott kincsét keresve, az A helyről észak felé haladunk 65 m - t, majd keletnek fordulunk és 82 m - t teszünk meg. Ezután jobbra eltérünk a keleti iránytól es szöggel és egyenesen haladunk 43 m - t, míg eljutunk a D pontban elásott kincshez. Mekkora az AD távolság? Mivel az északi iránytól kelet felé fordultunk, ezért ABC = 90. A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: = 35,4. Először számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével az AC szakasz hosszát: AC 2 = AC 104,64 m Ezt követően számítsuk ki megfelelő szögfüggvény segítségével a γ = ACB szöget: tg γ = γ 38,4 Ebből számítsuk ki a DCA nagyságát: DCA = ,4 38,4 = 106,2. Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AD távolságot: AD 2 = , ,64 cos 106,2 AD 123,73 m 21

22 31. Egy hegy emelkedik egy síkság fölé. A hegy csúcsa a P pont, ennek merőleges vetülete a síkra a P pont. A síkon felveszünk egy AB = 800 m hosszú alapvonalat. Majd megmérve kapjuk a következő szögeket: PAB = ; PBA = ; PAP = Milyen magasra emelkedik a hegy a síkság fölé? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: = 23, , ,58. Először számítsuk ki a BPA nagyságát: BPA = ,43 72,58 = 42,99. Ezt követően számítsuk ki szinusz tétel segítségével az AP szakasz hosszát: sin 64,43 = AP sin 42, AP 1058,33 m Végül a derékszögű BOA - ben számítsuk ki szögfüggvény segítségével a PP távolságot: sin 23,8 = PP 1058,33 PP 427,08 m 22

23 32. Egy 650 m magas hegy csúcsáról két hajót figyelünk meg a tengeren. A hajók távolságát es szög alatt látjuk. Az egyik hajót es, míg a másik hajót es lehajlási szög alatt látjuk. Mekkora a két hajó távolsága egymástól? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: , , = 74,4. Mivel a lehajlási (depresszió) szöget egy paralelogramma átlójával szemléltetjük, ezért ezeket a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. Továbbá a C pont a B és D pontok síkjában van, ezért BCA = 90 és ACD = 90. Ezek alapján számítsuk ki megfelelő szögfüggvényekkel az AC és AD szakaszok hosszát: sin 8,86 = 650 AD sin 7,26 = 650 AB AD 4220,2 m AB 5143,5 m Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a BD távolságot: BD 2 = 4220, , ,2 5143,5 cos 74,4 BD 5708,8 m 23

24 33. Egy 200 m magas torony tetejéről a torony talppontján kívüli A, illetve B pont 38 17, illetve es lehajlási szög alatt látszik. Az A, illetve a B ponthoz tartozó lehajlási szög mérése közben a távcsövet vízszintes síkban es szöggel kellett elforgatni. Milyen hosszú az AB távolság? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: , = 46, = 78,6. Mivel a lehajlási (depresszió) szöget egy paralelogramma átlójával szemléltetjük, ezért ezeket a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. A távcső elforgatását szintén jelölhetjük az ábra alsó részén is. Továbbá a C pont az A és B pontok síkjában van, ezért DCA = 90 és ACD = 90. Ezek alapján számítsuk ki megfelelő szögfüggvényekkel az AC és BC szakaszok hosszát: tg 38,28 = 200 AC tg 46,4 = 200 BC AC 253,42 m BC 190,45 m Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AB távolságot: AB 2 = 190, , ,42 253,45 cos 78,6 AB 285,3 m 24

25 34. Vízszintes terep T pontja felett lebeg egy L léggömb, s ezt az A ban álló megfigyelő 37 - os, a B beli megfigyelő 45 - os emelkedési szögben látja. Milyen magasan lebeg a léggömb, ha a megfigyelők 500 m re vannak egymástól és az ATB = 80? Mivel a lehajlási (depresszió) szöget egy paralelogramma átlójával szemléltetjük, ezért ezeket a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. Továbbá a T pont az A és B pontok síkjában van, ezért ATL = 90 és BTL = 90. A derékszögű ATL - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki AT t TL lel: tg 37 = TL AT AT 1,327 TL A derékszögű BTL - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki BT t TL lel: tg 45 = TL BT BT = TL Végül számítsuk ki koszinusz - tétel segítségével a TL magasságot: = (1,327 TL ) 2 + TL 2 2 1,327 TL TL cos 80 TL 329,7 m 25

26 35. Egy tőlünk keletre fekvő hegy csúcsát 22 emelkedési szögben látjuk. Ha a vízszintes talajon 1, 5 km t délre megyünk, akkor a hegy csúcsáról 18, 5 depressziószögben (lehajlási szögben) látszunk. Milyen magas a hegy, milyen távol vagyunk mindkét helyen a hegy csúcsától és mekkora a hegy csúcsáról az útszakasz látószöge? Mivel a lehajlási (depresszió) szöget egy paralelogramma átlójával szemléltetjük, ezért ezeket a szögeket feltüntethetjük az ábra alsó részén is váltószögként. Továbbá a C pont az A és B pontok síkjában van, ezért ACD = 90 és BCD = 90. A derékszögű ACD - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki AC t CD vel: tg 22 = CD AC AC 2,475 CD A derékszögű BCD - ben megfelelő szögfügvény segítségével fejezzük ki BC t CD vel: tg 18,5 = CD BC BC 2,9887 CD A derékszögű BCD - ben Pitagorasz - tétel segítségével számítsuk ki a CD szakasz hosszát: 1,5 2 + (2,475 CD ) 2 = (2,9887 CD ) 2 CD 0,895 km = 895 m 26

27 Ezt visszahelyettesítve számítsuk ki az AC és BC szakaszok hosszát: AC = 2, = 2215,13 m BC = 2, = 2674,89 m A derékszögű ACD - ben megfelelő szögfügvény segítségével számítsuk ki az AD hosszát: cos 22 = 2215,13 AD AD 2389,09 m A derékszögű BCD - ben megfelelő szögfügvény segítségével számítsuk ki BD hosszát: cos 18,5 = 2674,89 BD BD 2820,65 m Végül számítsuk ki koszinusz - tétel segítségével a φ = ADB látószöget: = 2389, , , ,65 cos φ φ 32, Egy konvex négyszög alakú telek oldalainak hosszúságai rendre: 50 m, 70 m, 60 m, 90 m. Az 50 és 70 m - es oldalak találkozási pontjából a telek szemközti csúcsába 95 m hosszú, egyenes út vezet. Mekkora a telek másik két sarokpontjának távolsága? Először számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a γ 1 = ACB szöget: 90 2 = cos γ 1 γ 1 68,86. 27

28 Ezt követően számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a γ 2 = ACD szöget: 60 2 = cos γ 2 γ 2 39,07 Ebből számítsuk ki a BCD nagyságát: BCD = 39, ,86 = 107,93. Végül számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a BD távolságot: BD 2 = cos 107,93 BD 97,74 m 37. Egy konvex négyszög három egymás utáni oldala 15 cm, 13 cm és 8 cm. Az első két oldal közötti szög 85 45, a második és a harmadik oldala közötti szög Mekkorák a négyszög ismeretlen szögei és oldala? A számítások előtt váltsuk át a szögeket fokokká: ,33 és = 85,75. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AC szakasz hosszát: AC 2 = cos 85,75 AC 19,11 cm Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a γ = BCA szöget: 15 2 = , ,11 cos γ γ 51,52 Ebből számítsuk ki az ACD nagyságát: ACD = 74,33 51,52 = 22,81. 28

29 Ezt követően számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AD távolságot: AD 2 = , ,11 cos 22,81 AD 12,14 cm Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a δ = CDA szöget: 19,11 2 = , ,14 cos δ δ 142,36 Végül számítsuk ki az α szög nagyságát: α = ,33 85,75 142,36 = 57, Egy körben a kör egy pontjából kiinduló 12 cm, illetve 15 cm hosszú húrok es szöget zárnak be. Mekkora a kör sugara? A számítások előtt váltsuk át a szöget fokká: ,3. Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével az AB távolságot: AB 2 = cos 42,3 AB 10,13 cm Számítsuk ki a szinusz tétel geometriai alakjának segítségével a kör sugarát: 2R = 10,13 sin 42,3 R 7,53 cm 29

30 39. Egy 10 cm sugarú körben a kör egy pontjából kiinduló két húr hossza 12 cm és 14 cm. Határozd meg a húrok végpontjainak távolságát! A szinusz tétel geometriai alakjából számítsuk ki a β = ABC és a γ = BCA szögeket: 2 10 = 14 sin β 2 10 = 12 sin γ β 1 44,43 β 2 = ,43 = 135,57 γ 1 36,87 γ 2 = ,87 = 143,13 A γ 2 nem lehet megoldás, mert kisebb oldallal szemben kisebb szögnek kell lennie. Tekintsük először azt az esetet, amikor β 1 44,43 és γ 1 36,87. Ekkor a harmadik szög: α 1 = ,43 36,87 = 98,7. Számítsuk ki a szinusz tétel geometria alakjának segítségével a BC szakasz hosszát: 2 10 = BC sin 98,7 BC 19,77 cm Tekintsük most azt az esetet, amikor β 2 135,57 és γ 1 36,87. Ekkor a harmadik szög: α 2 = ,57 36,87 = 7,56. Számítsuk ki a szinusz tétel geometria alakjának segítségével a BC szakasz hosszát: 2 10 = BC sin 7,56 BC 2,63 cm 30

31 40. Három egymást páronként kívülről érintő kör sugara 2 cm, 3 cm és 5 cm. Határozd meg a három kör közötti síkidom területét! Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a β = ABC szöget: 5 2 = cos β β 38,21 Számítsuk ki koszinusz tétel segítségével a γ = BCA szöget: 7 2 = cos γ γ 60 Ebből számítsuk ki az α = CAB nagyságát: α = ,21 60 = 81,79. Ezt követően számítsuk ki az ABC területét: T ABC = 5 8 sin ,32 cm 2. Végül számítsuk ki a három körszelet területét: T 1 = 2 2 π 81, ,85 cm 2 T 2 = 3 2 π 60 4,71 cm2 360 T 3 = 5 2 π 38, ,34 cm 2 Ezek alapján a közbezárt síkidom területe: T = 17,32 2,85 4,71 8,34 = 1,42 cm 2. 31