Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög."

Átírás

1 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való szorzás: Legyen a (7; 3), akkor a kétszeres szorzata 2 a (14; 6) 2 2 Vektor hossza: Legyen a (7; 3), akkor a hossza a , 62 Két pont távolsága: Legyen A(2; 5) és B(3; 4), ekkor AB , 41 Skaláris szorzat: a b a b a és a b a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög b2 1.) Adottak a következő vektorok: a (3; 5), b ( -1; 6), c (,5; - 7), d ( 2; - 4), e (; 5) a) Határozd meg a vektorok hosszát! b) Határozd meg a következő műveletekkel megadott vektorok koordinátáit! a +b + c + d ; 2 a + 3 c ; b d ; 5 e c + 6b Kék FGY: 266.o./ ) Számítsd ki a következő pontok távolságát az origótól! A(2; 4) B(- 6; - 4) C( - 5; 7) D( - 9; - 8) E( 1; -15) F( - 2; - 65) Kék FGY: 266.o./ 4398., 3.) Számítsd ki a következő pontok távolságát! a) (1; 3) és (2; 5) b) (4; 6) és ( - 2; 5) c) (- 6; - 8) és (8; - 7) KÉK FGY: 266.o./35. a-f., 358. a., (+)352., Szakasz felezőpontja: Legyen A(5; 7) és B (4; 3), ekkor a felezőpont F ( ; ) (4,5;5 ) 2 2 Példa osztópontra: A(5; 7) és B (4; 3), és 2 : 8 arányban osztjuk fel a az AB szakaszt úgy, hogy a kisebbik rész legyen A végpont felé, ekkor az osztópont koordinátája: P ( ; ) (4,8;6,2) Legyen A(1; 2), B(7; 6) és C(3; 8) egy háromszög három csúcsának koordinátái A háromszög súlypontjának koordinátái: S ( ; ) ( ; ) ) A következő pontpárok egy szakasz két végpontját jelölik. Számítsd ki a felezőpont koordinátáit! a) (6; 7) és ( -2; 4) b) ( -7; 5) és ( -5; 9) c) (1; ) és ( -12; 13) d) ( 15; 1) és ( 4; 3) 5.) Legyen A és B egy szakasz végpontja, F pedig a felezőpontjuk. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a) A( 4; 8) és F(1; 6) B(?); b) A( -2; 3) és F( -3; 5) B(?); c) B( 5; 9) és F( -2; 4) A(?). Kék FGY: 263.o./ 3462., (+) 3465., 3468., *6.) Számítsd ki az A( -2; 1), B(4; -3) és C(2; 3) csúcsú háromszög középvonalaiból alkotott háromszög kerületét!

2 2 7.) Legyen A, B és C egy háromszög csúcspontja, S a súlypont. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a) A(8; 2) B(4; 6) C(; -2) S(?) b) A(5; -3) B(6; -8) C( -2; -1) S(?) c) A( -5; 4) B( -6; 5) C(2; 8) S(?) d) A(4; 2) B(5; 1) S(3; 5) C(?) e) A( -2; -1) C( 2; 6) S( 1; 4) B(?) Kék FGY: 264.o./ Egyenes normálvektoros egyenlete, egyenes irányvektoros egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete 1.) Adott az e egyenes egy pontja: P ( x; y ) és normálvektora: n ( A; B). e: A x B y A x B y például: P (2;7 ) és n (5;8), ekkor e egyenes egyenlete: e: 5 x 8 y , vagyis e: 5x + 8y = 66 2.) Adott az f egyenes egy pontja: P ( x; y ) és irányvektora: v ( v 1 ; v2 ) f: v2 x v1 y v2 x v1 y például: P (3;6 ) és v (2;9), ekkor f egyenes egyenlete: f: 9 x 2 y , vagyis f: 9x 2y = 9 3.) Adott a g egyenes két pontja: A( x 1, y1) és ( x 2 ; y2 ) x2 x1 y y1 y 2 y1 x x1 példa: A(4, 5) és B(6; 8), g egyenes egyenlete: g: (5 4)(y 6) = (8 6)(x 4), vagyis g: - 2x + y = - 2 B g: 8.) Írd fel a következő egyenesek egyenletét, ha P az egyenes egy pontja, és n az egyenes normálvektora! a) P (; ) n ( 2; 7) b) P (; ) n ( - 2; 3) c) P (1; 2) n (3; 4) d) P (2; 5) n (3; - 4) e) P ( - 2; 3) n ( - 9; 7) f) P ( - 3; 6) n ( 8; - 5) g) P (4; 3) n ( 1; 1) h) P ( -1; - 2) n ( -1; - 2) 9.) Írd fel a következő egyenesek egyenletét, ha P az egyenes egy pontja, és v az egyenes irányvektora! a) P (; ) v (1; 2) b) P (; ) v ( 2; 3) c) P (- 1; 2) v (2; -3) d) P (3; -2) v ( -5; -6) e) P (4; -3) v ( -8; -5) f) P ( 9; 1) v (; - 8 ) g) P ( -7; - 2) v ( - 6; - 5) h) P ( ; 2) v ( 5; 1) 1.) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy A és B ponton! a) A( 1; 3) és B( 2; 5) b) A( - 1; 2) és B( - 3; 4) c) A( 5; -3) és B(; -8) d) A(; 2) és B( -3; -7) e) A(5; ) és B( - 9 ; - 6) f) A( 4; - 5) és B( - 6; 7) g) A( ; ) és B(55; 22) h) A( 1; -2) és B(5; - 1) i) A(- 1; - 2) és B( - 5; - 4) Kék FGY: 269.o./ 3538., 3539., 354., 11.) Állapítsd meg, hogy rajta van-e A, B, C, D pont az e egyenesen! a) e: 2x + 5y = 7 A(1; 1) B( - 2; 11/5) C(; 7/5) D(2; 3) b) e: 4x + y = 6 A(1; 2) B( 2; - 1) C(4; - 1) D(5; -1/2) Kék FGY: 271.o./ 3546., 3547., 3549., 355., 3551., (+) 3555., 12.) Mely pontokban metszik a következő egyenesek az x és y tengelyeket? a) x y = 1 b) 2x + y = - 5 c) 3x + 4y = 5 d) 4x + 3 y 5 = e) 6y 2x = 5 f) 7y + 4x - 3 = g) 5 x + 3y = 4 h) 5x + 4y = 7

3 3 13. Mekkora szakaszt vágnak le a tengelyek az a) 12x 5y + 6 = ; b) 3x 2y + 4 = ; c) 5x 3y + 4 = egyenesekből? 14. Határozd meg az alábbi egyenesek normálvektorát, és irányvektorát! a) y x = b) x y = - 3 c) 2x y = 4 d) 3x y = 1 e) 2x + y = - 1 f) 7y 2x = 5 g) 5y = x + 3 Két egyenes metszéspontja 15. Számítsd ki az alábbi egyenesek metszéspontját! a) e: y = x + 3 és f: y = - x 8 b) e: x + 2y = 12 és f: 5x 3y = - 5 c) e: 3x + y + 7 = és f: x 4y 2 = d) e: x = - 3 és f: y = 5 e) e: 2x + 7y 8 = és f: 9x 4y + 35 = f) e: x = 5 + y és f: y = 1 + x Kék FGY: 276.o./ 361., 16. Számítsd ki a háromszög csúcsainak koordinátáit, ha oldalainak egyenese: a) 4x 5y = - 13; 7x + 2y = 31; 3x + 7y = 1 b) 3x y 4 = ; x 4y 4 = ; 2x + y = 3 Kék FGY: 277.o./ 363., (+) 3636., Párhuzamosság, és merőlegesség feltétele 17. Állapítsd meg, hogy mely egyenesek párhuzamosak, illetve melyek merőlegesek egymásra! a) x + 2y = 6 és x + 2y = 4 b) 2x y = 4 és 2x y = - 1 c) x + 2y = 6 és 2x + y = 3 d) 3x + 5y = 1 és 5x 3y = Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely áthalad a megadott ponton, és párhuzamos a megadott e egyenessel! a) P(3; 4) és e: y = 2x -3 b) P(2; -3) és e: 3x 5y = 15 c) P(3,5; -2,1) és e: 2x 3y = 4 d) P( 1; 5) és e: -3x 5 = Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a megadott ponton, és merőleges a megadott e egyenesen! a) P(; ) és e: 7y = 5x 25 b) P(2; 3) és e: y = x 4 c) P(5; 2) és e : 3y 2x = 3 d) P(; - 4) és e: 3x + 4y = 12 Kék FGY: 281.o./ 3669., 3674.c,d., a, c, d, f, g., 3679., 3685., (+) 368., Pont és egyenes távolsága 2. Milyen messze van az adott pont az adott egyenestől? a) P(1; 2) és e: y = - 2x +2 b) P(-1; 3) és e: x y = 2 c) P(4; -19) és e: 3x + 17y = 1 d) P(4; -2) és e: 8x 15y - 11 = Kék FGY: 3756., 3757., 3758., 3759., 3764.

4 4 A háromszög nevezetes vonalai 21. Adott egy háromszög három csúcsa: A(7;1), B( 3;5) és C(1; 3). Határozd meg a következőket: a) a c oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges egyenletét b) az a oldalhoz tartozó súlyvonal egyenletét. 22. Adott egy háromszög három csúcsa: A( 6;4), B(6;2) és C(;6). Határozd meg a következőket: a) a b oldalhoz tartozó magasságvonal egyenletét b) a c oldallal párhuzamos középvonal egyenletét 23. Egy háromszög csúcsai: A(5 ; 1), B( 3 ; 7), C(9 ; 5). Határozd meg az s a súlyvonal egyenletét! Írd fel a b oldallal párhuzamos középvonal egyenletét! 24. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(4 ; 5) ; B( 2 ; 3) ; C(7 ; 1). Írd fel a C csúcson átmenő súlyvonal egyenletét! Határozd meg a súlypont koordinátáit! Milyen távol van a súlypont a B csúcstól? 25. Egy háromszög csúcspontjának koordinátái: A(-4 ; 1), B(2 ; 3), C( ; 5). Írd fel az A csúcsból kiinduló súlyvonal egyenletét! 26. Írd fel az A(-8 ; -2), B(6 ; 4) és C( ; 1) csúcsok alkotta háromszög BC oldalával párhuzamos középvonal egyenletét! 27. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(;); B(-2;3); C(4;6). Írd fel az A csúcsból induló magasságvonal, majd a súlyvonal egyenletét! 28. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-2;-1); B(4;-3); C(4;5). Számítsd ki a B csúcsból induló súlyvonal és az AC oldal metszéspontját! 29. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-2; ); B(3; 3); C(-2; 4). Hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordinátatengelyeket? Egyenesek metszéspontja 3. A 4x 3y = 6 egyenes mely pontja van egyenlő távol a P( 2 ; 5) és Q(1 ; 2) pontoktól? 31. A 3x + 4y = 22 egyenes mely pontja van egyenlő távol az A(-3 ; 2) és a B(-1 ; 6) pontoktól? 32. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-3 ; 2), B(6 ; ) és C( ; 8). Számítsd ki a háromszög magasságpontjának koordinátáit! 33. Határozd meg annak a háromszögnek a magasságpontját, amelynek csúcsai: A( 1 ; 3), B(8 ; 1) és C(2 ; 9)! 34. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(-3;-3) ; B(15;3) ; C(3;15). Határozd meg a köré írható körének középpontját! Mekkora a köré írható körének sugara? 35. Egy háromszög csúcspontjai: A(-2 ; -1), B(4 ; -3) és C(4 ; 5). Számítsd ki a b oldal és az m b magasságvonal metszéspontját! Milyen távol van ez a pont a B csúcstól? 36. Milyen hosszú az e : 8x 3y = 48 egyenesnek az f : 2x 3y = 6 és a g : 2x 3y = 12 egyenesek közé eső darabja? 37. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai A(5 ; 2) és B(7 ; 6). Harmadik csúcsa a 3x 4y = 14 egyenesen van. Mekkora a háromszög kerülete? 38. Egy háromszög csúcsai A( 5 ; 6), B(7 ; 3) és C( 3 ; 8). Hol metszi a c oldalhoz tartozó magasság a c oldalt? Kör egyenlete 39. Írd fel a kör egyenletét, ha adott a középpontja, és a sugara a) (4;5) és r = 3 b) (3;3) és r = 5 c) (-1; 3) és r = 4 d) (-2; 5) és r = 1 e) (2; ) és r = 4 f) (-2; 1) és r = 3 g) (-3; -5) és r = 2 h) (5; -7) és r = 7 Kék FGY: 294.o./ 3822., 3823., 3824., 3825.,

5 5 4. Egy kör átmérőjének végpontjai a következők. Írd fel a kör egyenletét! a) (1; 1) és (5; -1) b) (4; 1) és (2; 3) c) (-5; 4) és (3, 2) d) (-1; 5) és (2; -1) Kék FGY: (+) Határozd meg a következő köregyenletekből a középpontok koordinátáit és sugarát! a) x² + y² = 25 b) x² + y² = 1 c) (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 25 d) (x + 7) 2 + (y 1) 2 = 49 e) x² + y² -2x - 4y + 1 = f) x² + y² - 6x + 4y + 12 = g) x² + y² + 1x = Kör és egyenes helyzete 42. Határozd meg a következő körök és egyenesek közös pontjainak a számát! a) k: x² + y² = 25 és e: 2x + y = 1 b) k: x² + y² = 1 és e: 3x + y =1 e) k: x² +y² -5x = és e: y = x 2 f) k: x² + y² - 2x = és e: 3x y = g) k: x² + y² - 2x 2y + 1 = és e: 2y x 1 = h) k: x² + y² + 4x 4y 18 = és e: x y = 2 Kék FGY: 32.o./ 3919., 392., 3921., 3922., Kör érintőjének egyenlete 43. Írja fel a) az (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25 kör (5; 5) pontjához tartozó érintőjének egyenletét; b) az x 2 + y 2 2x 3y = kör (; 3) pontjához tartozó érintőjének egyenletét; c) az x 2 + y 2 4x 1y + 4 = kör 1 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének az egyenletét. 44. Írd fel a következő körhöz az adott pontból húzott érintők egyenletét! a) k: x² + y² = 25 és P (1; ) b)k: x² + y² = 25 és P (7; 1) c) k: x² + y² = 16 és P (8; 4) d) k: x² + y² = 5 és P (-1; 3) e) k: (x 1)² +(y 2)² = 25 és P (5; 5) f) k: x² + y² - 2x 3y = és P (; 3) Kör egyenlete 45. Egy kör átmérőjének végpontjai A( 5 ; 1) és B(1 ; 7). Írd fel a kör egyenletét. Határozd meg az előző átmérőre merőleges átmérő és a kör metszéspontját! 46. Egy kör egyik átmérőjének végpontjai: A( 4 ; 2) és B(8 ; 18). Írd fel a kör egyenletét! 47. Egy kör középpontja az e: 5x 3y = 15 és az f: 4x + 6y = 54 egyenesek metszéspontja. A P(3 ; 1) pont illeszkedik a körvonalra. Írd fel a kör egyenletét! 48. Határozd meg az A(1 ; 6), B(12 ; -8) és C(-6 ; -2) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! 49. Határozd meg az A(6 ; 2), B(8 ; 12) és C( 1 ; 6) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! 5. Határozd meg az A(9 ; 5), B(11 ; 9) és C( 7 ; 3) pontok által meghatározott háromszög köré írható kör egyenletét! 51. Egy kör egyenlete x2 + y2 6x + 2y 7 =. a) Határozd meg a középpontját és a sugarát! b) Hol metszi a kört a 2x + y = 5 egyenletű egyenes?

6 6 52. a) Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát: x² + y² 2x + 8y +1 = b) Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² 8x +1y + 5 = c) Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² 6x + 4y 68 = 53. Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² + 6x 12y +16 =. Írd fel az ( 1 ; 1) pontra illeszkedő érintő egyenletét! 54. Határozd meg az alábbi kör középpontját és sugarát! x² + y² + 4x 8y 14 =. Írd fel az (1 ; 1) pontra illeszkedő érintő egyenletét! 55. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K( 3 ; 2) pont és érinti a 2x + y = 3 egyenletű egyenest! 56. Egy kör középpontja az e: 2x + 3y = 23 és az f: 5x 6y = 17 egyenesek metszéspontja. A P(1 ; 5) pont illeszkedik a körvonalra. Írd fel a kör egyenletét! 57. Egy kör középpontja az e: 5x 3y = 15 és az f: 4x + 6y = 54 egyenesek metszéspontja. A P(3 ; 1) pont illeszkedik a körvonalra. Írd fel a kör egyenletét! Kör és egyenes metszéspontja 58. Írd fel az (x 4)² + (y + 5)² = 1 egyenletű kör (7 ; 6) pontján átmenő átmérőjére merőleges érintőinek egyenletét! 59.Az (x 4)² + y² = 25 egyenletű kör mely pontja van egyenlő távol az A( 6 ; 4) és a B(1 ; 11) pontoktól? 6. Milyen hosszúságú húrt metsz ki (x 4)² + (y+5)² = 25 egyenletű körből az y = 2x 8 egyenletű egyenes? 61. Egy kör átmérőjének végpontjai : A( 2 ; 5) és B(1 ; 11). a) Írd fel az egyenletét! b) Hol metszi a kör a 4x + 3y = 25 egyenletű egyenest? 62. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának koordinátái A( 3 ; 5) és B(3 ; 1). A háromszög köré írt kör egyenlete x2 + y2 4,5x 8,5y 5 =. Számítsd ki a hiányzó csúcs koordinátáit! 63. Egy kör egyenlete (x + 2)² + (y 1)² = 2. a) Írd fel a P( ; 2) ponton átmenő átmérő egyenletét! b) Hol metszi ez az átmérő a kört? 64. Egy kör egyenlete: (x 3)² + (y + 4)² = 2. a) Írd fel a P(5 ; -3) ponton átmenő átmérő egyenletét! b) Hol metszi ez az átmérő a kört? 65. Egy kör egyenlete x² + y² - 6x + 2y 7 =. a) Határozd meg a középpontját és a sugarát! b) Hol metszi a kört a 2x + y = 5 egyenletű egyenes? 66. Egy kör középpontja O(-2 ; 4), a körvonal egy pontja P(1 ; 9). Írd fel a kör egyenletét! Hol metszi a kört az x y = 13 egyenletű egyenes? 67. Adott az A(-4; 4) és a B(2; -4) pont. Határozd meg az x tengelyen az M pontot úgy, hogy az AM és BM szakaszok merőlegesek legyenek egymásra! 68. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A (4; 1) és B (- 2; - 1) pontokat összekötő szakasz felezőpontján, és merőleges az e: 3x 5y + 1 = egyenletű egyenesre. 69. Egy derékszögű háromszög átfogójának két végpontja A (-3; 1) és B (5; 3). Az egyik befogó egyenesének egyenlete y = - x + 8. Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit! 7. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az e: x 2y = 2 és az f: 3x + 2y = 14 egyenletekkel megadott egyenesek metszéspontján és párhuzamos a g: 4x 5y = egyenletű egyenessel! 71. (+)Az ABC háromszög A csúcsának koordinátái (- 4; 2), két súlyvonalának egyenlete: 3x + 5y 12 = és 3x y + 2 =. Számítsd ki a háromszög B és C csúcsainak koordinátáit!

7 7 72. Írd fel az A(-2;5) és B(6;7) pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének az egyenletét! 73. (+)Egy háromszög egyik csúcsa A(-3; -1). A C csúcsból induló magasságvonal egyenlete 2x + y = 3, és az ugyanonnan induló súlyvonal egyenlete x y = 1. Számítsd ki a hiányzó csúcsok koordinátáit! 74. Egy háromszögben az AB oldal egyenes egyenlete x + 5y = 18. Az A csúcsból induló magasságvonal egyenlete y = 3, a B csúcsból induló magasságvonalé pedig 5x + 3y = 2. Számítsd ki a háromszög kerületét! 75. Számítsd ki annak a húrnak a hosszát, amelyet az x² + y² - 14x 4y 15 = kör metsz ki a 2y 3x + 12 = egyenletű egyenesből! 76. Határozd meg azokat a pontokat, amelyek az x + 2y = 7 egyenesre illeszkednek, és a (3; 7) ponttól 5 egység távolságra vannak! Egy kis levezetés a végére: Teszt a. Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik azonosak b. Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik merőlegesek egymásra c. Ha két egyenes párhuzamos, akkor irányvektoraik azonosak d. Ha két egyenes párhuzamos, akkor irányvektoraik merőlegesek egymásra e. Ha két egyenes párhuzamos, akkor meredekségeik azonosak f. Ha két egyenes merőleges, akkor normálvektoraik azonosak g. Ha két egyenes merőleges, akkor normálvektoraik merőlegesek egymásra h. Ha két egyenes merőleges, akkor az egyik normálvektora a másik egyenes normálvektora reciprokának ellentettje i. Ha két egyenes merőleges, akkor irányvektoraik azonosak j. Ha két egyenes merőleges, akkor irányvektoraik merőlegesek egymásra k. Ha két egyenes merőleges, akkor meredekségeik azonosak l. Az 5x 2y = 1 egyenessel párhuzamos az 5x 2y = 2 egyenes m. Az 5x 2y = 1 egyenesre merőleges az 5x 2y = 1 egyenes n. Az 5x 2y = 1 egyenes normálvektora (5 ; -2) o. Az 5x 2y = 1 egyenes normálvektora (2 ; 5) p. Az 5x 2y = 1 egyenes irányvektora (2 ; 5) q. Az 5x 2y = 1 egyenes irányvektora (5 ; -2) r. Az 5x 2y = 1 egyenes az -5-nél metszi az y tengelyt s. Az 5x 2y = 1 egyenes a 1-nél metszi az y tengelyt 1. Írd fel az A(3 ; 2) és B(7 ; 4) pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! 2. Adott ponton átmenő, adott egyenesre merőleges, vagy azzal párhuzamos egyenes egyenlete 3. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a P( 4 ; 2) pontra és merőleges a 2x 5y = 1 egyenesre. 4. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos a 2x 3y = 6 egyenessel, és illeszkedik a P( 3;4) pontra! 5. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges az x 4y = 1 egyenessel, és illeszkedik a P(5; 1) pontra! 6. Egy e egyenes átmegy a P(2 ; 5) és a Q(-1 ; 4) pontokon. A vele párhuzamos f egyenes pedig illeszkedik az R(6 ; -3) pontra. Írd fel az f egyenes egyenletét! 7. Az e egyenes illeszkedik a (6 ; -3) pontra és merőleges a P(-1 ; 4) ill. Q(2 ; 5) pontokra illeszkedő egyenesre! Írd fel az e egyenes egyenletét!

8 8 8. Mekkora távolságra van a P(-7;15) pont a 2x 3y = 6 egyenestől? 9. Milyen távol van a P( 3 ; 7) pont az x 3y = 6 egyenestől? 1. Mekkora távolságra van egymástól az e: 3x - 4y = 16 és az f: 3x - 4y = 9 egyenes? 11. Mekkora távolságra van egymástól az e: 3x - 4y = 1 és az f: 3x - 4y = 4 egyenes? 12. Mekkora távolságra van a P(-3 ; 19) pont a 2x 3y = 2 egyenestől MINTA.MINTA.MINTA. 1. Adott A(; 1); B(3; 2) és C(3; 6) pont. a) Határozd meg az B és C pont távolságát! b) Számítsd ki az ABC háromszög súlypontjának koordinátáit! c) Írd fel az AB oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges egyenletét! d) Írd fel a C csúcsból induló magasságvonal egyenletét! e) Írd fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletét! 2.) Adott az e: 11 3x = 3y egyenletű egyenes. a) Határozd meg az irányvektorát, és a normálvektorát! b) Hol metszi ez az egyenes a koordinátatengelyeket? c) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy P(7; 12) ponton, és párhuzamos az e egyenessel! d) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P(8; -1) ponton, és merőleges az e egyenessel! 3.a) Adott egy kör átmérőjének két végpontja: A(4; 8) és B(14; 1). Írd fel a kör egyenletét! b) Adott a k: x² + y² - 6x + 1y +25 = kör egyenlete, határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, és a sugarának hosszát! Választható feladatok: 4.) Adott az A(4; 9); B(1; 5) és C(; 1) csúcspontú háromszög. Számítsd ki az AB oldalfelező merőlegesének és az A csúcsból induló súlyvonal egyeneseinek a metszéspontját! 5.) Egy kör átmérőjének két végpontja: A(5; 9) és B( - 5; 11.) a) Írd fel a kör egyenletét! b) Számítsd ki a kör és az e: y = 3 + x egyenletű egyenes metszéspontjainak koordinátáit! 6.) Adott a k: (x+1)² + (y 4)² = 25 egyenletű kör. a) Határozd meg a kör E(1; 8) pontbeli érintőjének az egyenletét! b) Az így kapott érintő hol metszi a koordinátatengelyeket? Mekkora ennek a két pontnak a távolsága?

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben