GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a"

Átírás

1 GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel: Ha egy pont egy szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el, akkor egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától. Tétel: Ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor a szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el. merőleges egyenesek olyan egyenesek, amik derékszöget zárnak be egymással. Párhuzamos egyenesek: párhuzamos egyenesek olyan egyenesek, amik egy síkon helyezkednek el és nincsen metszéspontjuk: z olyan egyenest, aminek van metszéspontja (különböző pontokban) két vagy több, azonos síkon elhelyezkedő egyenessel, metsző egyenesnek hívjuk. Szögek szögek olyan geometriai alakzatok, amik egy közös pontból kiinduló két félegyenesből állnak. két félegyenest a szög szárainak hívjuk, és a közös pontjuk a szög csúcsa. szögeket osztályozhatjuk a nagyságuk szerint: erékszögnek hívjuk a 90 -os szögeket. Hegyes szögnek hívjuk a 0 és 90 közötti szögeket. Tompa szögnek hívjuk a 90 és 180 közötti szögeket. gyenes szögnek hívjuk a 180 -os szögeket. (szomszédos) kiegészítő szögeknek, a-nak és b-nek a közös csúcsuk O, közös száruk OZ; a másik két száruk OX és OY pedig egy egyenesbe esnek. szögek egymás kiegészítő szögei. Z b a X O Y (szomszédos) kiegészítő szögek összege 180 fok. pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. szögek egymás pótszögei. b a csúcsszögek olyan, egy közös csúccsal rendelkező szögpár, hogy a szögek szárai egymás folytatásai. csúcsszögek egyenlők: a b szögfelező egy olyan félegyenes, ami egy szöget két egyenlő részre oszt.

2 a b szögfelező tulajdonságai: a szögfelező bármely pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól. Posztulátum: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az egyállású szögek egybevágóak. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor a külső váltószögeik egyenlők. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögeik kiegészítő szögek. Tétel: Ha egy metsző egyenes merőleges két párhuzamos egyenes egyikére, akkor a másikra is merőleges. Posztulátum: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és a megfelelő szögeik egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és az ellentétes oldalon elhelyezkedő belső szögek egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egyenest elmetsz egy harmadik, és az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögek kiegészítő szögek, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egy síkon két egyenes mindegyike merőleges egy harmadikra, akkor a két egyenes párhuzamos. Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor nyolc szög keletkezik, amiket párosával a következő módon hívunk: i) egyállású szögek (1 és 5 ; 2 és 6 ; 3 és 7 ; 4 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők: (1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8 ); ii) belső váltószögek (4 és 6 ; 3 és 5 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iii) külső váltószögek (1 és 7 ; 2 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iv) azonos oldalon lévő belső szögek (3 és 6 ; 4 és 5 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (3 + 6 = 180 fok; = 180 fok); v) azonos oldalon lévő külső szögek (1 és 8 ; 2 és 7 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (1 + 8 = 180 fok; = 180 fok). párhuzamos szárú szögek vagy egyenlők, (ha mindkettő hegyesszög vagy tompaszög), vagy a két szög összege 180 fok (c + d = 180 fok).

3 a c d b merőleges szárú szögek szintén vagy egyenlők, vagy az összegük 180 fok. a c b d Thalész tétele (párhuzamos szelők tétele). Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szögszárak a következő arányos szakaszokra oszlanak: t t 2 1 ' ' l 1 l 2 ' l 3 = = ' ' ' ' ' ' Párhuzamos egyenesek tulajdonságai: gy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy párhuzamos húzható a megadott egyenessel. gy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy merőleges húzható a megadott egyenesre. Ha két egyenes mindegyike párhuzamos egy harmadik egyeneshez, akkor egymáshoz képest is párhuzamosak. Ha három párhuzamos egyenes egyenlő szakaszokat metsz ki egy őket metsző egyenesből, akkor minden metsző egyenesből egyenlő szakaszokat metszenek ki. Következmény: gy egyenes, amin rajta fekszik egy háromszög egyik oldalának a felezőpontja és párhuzamos egy másik oldallal, felezi a háromszög harmadik oldalát. Háromszögek háromszögek alapvető tulajdonságai. ármely háromszögben: leghosszabb oldallal szemben lévő szög a legnagyobb szög, és fordítva is. gyenlő oldalakkal szemben lévő szögek egyenlők és fordítva is. z egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szögei szintén mind egyenlők. gy háromszög belső szögeinek összege 180 fok. gy háromszög egyik külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

4 gy háromszög bármely oldala kisebb, mint a másik két oldal összege és nagyobb mint a másik két oldal különbsége. (a < b + c, a > b c; b < a + c, b > a c; c < a + b, c > a b ). gybevágó háromszögek Tételek a háromszögek egybevágóságáról. Két háromszög egybevágó, ha megfelelően egyenlő: a) Két oldaluk és az általuk közbezárt szög; b) Két szögük és a szögekkel határos oldaluk; c) Három oldaluk. Tételek a derékszögű háromszögek hasonlóságáról. Két derékszögű háromszög egybevágó, ha következő feltételek egyike igaz: a) a befogóik egyenlők; b) az egyik háromszög egyik befogója és az átfogója egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az átfogójával; c) az egyik háromszög átfogója és az egyik hegyesszöge egyenlő a másik háromszög átfogójával és az egyik hegyesszögével; d) az egyik háromszög egyik befogója és a vele szomszédos hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal határos hegyesszögével; e) z egyik háromszög egyik befogója és az azzal szemközti hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal szemközti hegyesszögével. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő, akkor az azokkal szemközti szögek is egyenlők. Következmény: gy egyenlőszárú háromszög csúcsszögének szögfelezője merőlegesen felezi a háromszög alapját. Tétel: Ha egy háromszög két szöge megegyezik, a velük szemközti oldalak is egyenlők. Tétel: Ha egy háromszög két szöge és az általuk nem közbezárt oldal megegyezik egy másik háromszög két szögével és az általuk nem közbezárt oldallal, akkor a két háromszög megegyezik. súlyvonal egy, a háromszög egyik csúcsát a vele szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. gy háromszög három súlyvonala egy pontban találkozik, G-ben (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a háromszög súlypontja. ( G jelölés az angol, center of gravity, azaz súlypont kifejezésből származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az S jelölés terjedt el.) z a pont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja, a csúcstól tekintve. M G L K gy háromszög magassága a háromszög egyik csúcsából az azzal szemközti oldalra (vagy annak folytatására) bocsátott merőleges. gy háromszög három magassága egy pontban, a magasságpontban találkozik. gy hegyesszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszög belsejében, egy tompaszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszögön kívül helyezkedik el; egy derékszögű háromszög magasságpontja, a H pont megegyezik a derékszögű csúccsal. ( H jelölés az angol, height, azaz magasság szóból származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az M jelölés terjedt el.)

5 Z H Z H szögfelezőszakasz a szögfelezőnek a háromszög csúcsa és a szemközti oldal közti része. gy háromszög három szögfelezője (,, F) mindig egy pontban találkozik (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a beírt kör középpontja. F O szögfelező a szemben fekvő oldalt két részre osztja, a szomszédos két oldal arányában, például, =. felezőmerőleges egy szakasz (oldal) felezőpontjába állított merőleges. z háromszög három felezőmerőlegese, mindegyik egy-egy oldal felezőpontjába állítva, egy K pontban találkozik, ami a háromszög köré írt kör (körülírt kör) középpontja. N M K L Tétel: z a szakasz, aminek végpontjai egy háromszög két oldalának felezőpontjai:

6 M N a) Párhuzamos a harmadik oldallal. b) Hossza a harmadik oldal hosszának a fele. erékszögű háromszögek Tétel: gy derékszögű háromszög átfogójának a felezőpontja egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól. Pitagorasz-tétel. gy derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor ez a háromszög derékszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög tompaszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög hegyesszögű háromszög. Tétel: ( háromszög-egyenlőtlenség): gy háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban, akkor az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé, akkor a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban. rányosság és hasonlóság Hasonló háromszögek: Posztulátum: Ha egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha egy háromszög egyik szöge egyenlő egy másik háromszög egyik szögével, és a szöget közrezáró oldalak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha két háromszög oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Háromszögek hasonlósági tétele: Ha egy háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenes elmetszi a háromszög másik két oldalát, akkor ez az egyenes arányosan osztja a háromszög oldalait. Következmény: Ha három párhuzamos egyenes két metszővel találkozik, akkor a párhuzamosok ugyanolyan arányban osztják a metsző egyeneseket. Tétel: Szögfelező-tétel: Ha egy félegyenes felezi egy háromszög szögeit, akkor a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányában osztja fel. Mértani közép: Két szám, x és z mértani közepe úgy van definiálva, hogy: x y = y z és y-t x és z mértani közepének hívjuk. Tétel: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor két, egymáshoz és az eredeti háromszöghez egyaránt hasonló háromszög keletkezik. 1. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor a magasság hossza a mértani közepe az átfogón keletkező két szakasznak.

7 2. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor mindkét befogó a mértani közepe a teljes átfogónak és az átfogón keletkező, vele szomszédos szakasznak. Kapcsolat az általános háromszög oldalhosszai között: Általános esetben ( bármely háromszögben ): c² = a² + b² 2ab cos, trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala. M N Itt //. párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a másik kettőt (-t és -t) pedig a trapéz szárainak hívjuk. z MN szakaszt, ami a szárak felezőpontjait, M-t és N-t köti össze, a trapéz középvonalának hívjuk. trapéz középvonala egyenlő a két alap összegének a felével: + MN = 2 és párhuzamos is velük: MN // //. Síkbeli alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának feltételei Háromszögek hasonlóságának feltételei. Két háromszög hasonló, ha: ha minden szögük megegyezik; minden oldaluk aránya megegyezik; ha az egyik háromszög két oldalának aránya megegyezik a másik háromszög két oldalának arányával, és az általuk közbezárt szögek is egyenlők. Két derékszögű háromszög hasonló, ha: befogóik aránya megegyezik; az egyik háromszög egyik befogójának és átfogójának aránya megegyezik a másik háromszög befogójának és átfogójának arányával; az egyik háromszög két szöge egyenlő a másik háromszög két szögével. Hasonló alakzatok területének aránya megegyezik a megfelelő szakaszaik arányának négyzetével (például, az oldalakéval). Így, a háromszögek területének aránya megegyezik átmérőik (vagy sugaraik) arányának négyzetével. KÖRÖK kör egy rögzített ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. rögzített pontot a középpontnak, a ponttól való távolságot pedig a sugárnak hívjuk. középpontot a kör egy pontjával összekötő szakaszt is sugárnak hívjuk. kör két pontját összekötő szakaszt húrnak hívjuk. középponton áthaladó húrt átmérőnek hívjuk.

8 kör átmérője a sugár kétszerese. Ha egy sokszög köré egy kört rajzolunk úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak a körön, akkor ezt a sokszög körülírt körének hívjuk. Ha egy sokszöget rajzolunk egy körbe úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak körön, akkor azt mondjuk, hogy a sokszög a körbe van írva. Érintők gy kör érintője egy olyan, a körrel azonos síkon elhelyezkedő egyenes, aminek pontosan egy metszéspontja van a körrel, amit érintési pontnak hívunk. Tétel: Ha egy egyenes érint egy kört, akkor az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Tétel: Ha egy egyenes a kör egyik sugarát a végpontjában merőlegesen metszi, akkor az egyenes érinti a kört. z olyan egyenest, ami két, azonos síkon elhelyezkedő kört egyszerre érint, közös érintőnek hívjuk. Ívek gy kör középponti szöge egy olyan szög, aminek a csúcspontja a kör középpontja. Minden középponti szöghöz két körív, egy nagyobb és egy kisebb tartozik (kivéve az egyenes szög esetét, amikor a két körív éppen egyenlő). Ha nem jelöljük másként, akkor a kisebb körívet szokás a középponti szöghöz tartozónak venni.

9 gy kis ív nagysága megegyezik középponti szögének nagyságával. Ívek és húrok Tétel: gybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) gyenlő ívekhez egyenlő húrok tartoznak. ii) gyenlő húrokhoz egyenlő ívek tartoznak. Tétel: gy átmérő, ami merőleges egy húrra, felezi a húrt és a hozzá tartozó ívet. Tétel: gybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) középponttól egyenlő távolságra lévő húrok egyenlők. ii) gyenlő húrok egyenlő távolságra vannak a középponttól. Szögek és szakaszok kerületi szögek olyan szögek, amelyeknek a csúcsa a körön helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjai. Tétel: gy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Következmény: z azonos ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Következmény: Ha egy négyszöget írunk egy körbe, akkor a négyszög szemközti szögei egymás kiegészítő szögei. Következmény: z átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. Tétel: gy érintő és az érintési pontból induló húr által meghatározott szög fele húr által meghatározott ív mértékének. Tétel: Két, egymást a kör belsejében metsző húr által meghatározott szög mértéke fele az általuk meghatározott ívek összegének. Szögek és szakaszok Tétel: Ha két húr metszi egymást egy kör belsejében, akkor az egyik húron keletkező szakaszok szorzata megegyezik a másik húron keletkezett szakaszok szorzatával. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból két metsző egyenest húzunk, akkor az egyenesek metszéspontja és a körrel közös pontjaik közti szakaszok szorzata állandó. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt is húzunk, akkor az érintő hosszának négyzete megegyezik a külső metszéspont és a körrel közös pontok által meghatározott szakaszok szorzatával (az előbbi tétel határesete). S S T S S S = S S S S = S S S S = ST 2 z érintő tulajdonságai. gy, a körön kívül elhelyezkedő pontból két érintő húzható a körhöz, hosszaik megegyeznek.

10 Kerületi szög egy olyan szög, amit két, egy közös pontból induló húr határoz meg. Kapcsolat a kör elemei között. gy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Minden, azonos ívhez tartozó kerületi szög egyenlő. ármely kerületi szög fele annak az ívnek, amihez tartozik. ármely, egy átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. x O K K 2x O gy húr és egy érintő szöge is kifejezhető. Ha az érintő áthalad a húr végpontján, akkor az általuk bezárt szög mértéke egyenlő a húrhoz tartozó körív mértékének a felévell, ha az érintő a húr tartóegyenesét a körön kívül metszi, akkor a közrezárt szög mértéke a húr végpontjai és az érintési pont által meghatározott körívek mértékének fél különbsége. Θ Θ Két, egy külső ponton áthaladó szelő által bezárt szög fele a két kimetszett ív különbségének. O 1 2 ( ) Ê = + Speciális esetek Ptolemaiosz-tétele: Legyen egy beírt négyszög! kkor + = (, az átlók) Tétel (Simson-egyenes): egy háromszög és P pont (ami nem, vagy ) rajta van a körülírt körén. kkor a P pontból, és oldalakra (vagy meghosszabbításukra) bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesbe esnek.

11 R P S T uler-tétele ( kilenc pont köre): ármely háromszögben meghatározható egy olyan kör, ami áthalad a háromszög oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain és a csúcsokat a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjain. Z P M H L Q R K eva-tétele: Legyen egy háromszög, és P, Q, R pontok rendre a,, egyeneseken. kkor az P, Q és R egyenesek akkor és csakis akkor találkoznak egy pontban, ha: P Q R P Q R =1 Menelaosz-tétel: Legyen egy háromszög és P, Q, R pontok a rendre,, egyeneseken. kkor a P, Q, R pontok akkor és csakis akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha: P Q R P Q R = 1 Gyakorlatok 1. Feladat lenti ábra szerint, találjuk meg az α + β + γ + δ összeget a két párhuzamos egyenes között.

12 β α γ δ α + β + γ + δ =3π 2. Feladat Legyen M az ( > ) háromszög oldalának felezőpontja és legyen L az csúcsnál lévő szög szögfelezője. z M-ből induló, L-re merőleges 1 egyenes az oldalt pontban metszi. izonyítsuk be, hogy = ( + )! 2 M L P M egyenes az egyenest K pontban metszi. Így az K háromszög egyenlőszárú =K. Rajzoljuk be a P egyenest úgy, hogy P//(P a pont, ahol az egyenes metszi K-t). M háromszög egybevágó MP háromszöggel =P. PK = P PK háromszög egyenlőszárú P = K =P=K =K=+K =+ =+- 2=+ = ½ (+) K 3. Feladat gy négyzetben (az ábra szerint), α = π 12. izonyítsuk be, hogy szabályos háromszög! α α Rajzoljuk be a F egyenlőszárú háromszöget, ahogy az ábra mutatja.

13 = ( egyenlőszárú háromszög) π π = = (1) és = ( = ) (2), aztán 2 12 F és is egyenlőszárú háromszög, ezért F a szakasz felezőmerőlegese. F = π 2 a = π 2 π 12 = 5π ( 3 ) 12 z (1) és (3) állításból = F = = F = = (4) (2) és (4) állítás szerint az háromszög szabályos háromszög. α α F 4. Feladat (Kanadai Matematikai Olimpia, 1975). z ábrán,,, négy pont egy körvonalon és P, Q, R, S szintén a körvonalon helyezkedik el, ezek rendre az ΑΒ,,, ívek felezőpontjai. izonyítsuk be, hogy PR merőleges QS-re! P S T O Q Legyen PR és QS metszéspontja T, és legyen O a kör középpontja = 2π 2P + 2Q + 2R + 2S = 2π ( P + Q) + ( R + S ) = π PQ + RS = π (1) PST ( ) 1 ( ) 1 π PTS = π PST + SPT = π POQ + ROS = π π = R

14 Így QS és PR merőlegesek egymásra. 5. Feladat gy háromszög beírt köre az oldalt pontban érinti. Mutassuk meg, hogy = 1 2 ( + )! ocsássunk merőlegest a kör középpontjából a háromszög oldalaira. I = + = + = + = F + = ( F) + F = + F + = +2 = 1 ( + ) 2 6. Feladat egy paralelogramma. és Z pontok rendre az és oldalán helyezkednek el úgy, hogy Z=. H és F pontok rendre az és oldalán helyezkednek el úgy, hogy F=H. izonyítsuk be, hogy négyszög átlóinak metszéspontja megegyezik az FZH négyszög átlóinak metszéspontjával! ebizonyítjuk, hogy az FZH négyszög egy paralelogramma. ZF = H H = ZF (1) = Z, F = H ZH = F HZ = F (2) (1) és (2) együtt azt eredményezi, hogy FZH egy paralelogramma. (3) // = Z Z egy paralelogramma az és Z átlók metszéspontja legyen az O pont. H F Z O az szakasz felezőpontja O pont az paralelogramma átlóinak közös pontjai. Hasonlóan O az Z szakasz felezőpontja, így pont az FZH négyszög átlóinak is a közös pontja.

15 7. Feladat Legyen az háromszög ( < ) oldalának felezőpontja a pont! félegyenesen jelöljünk ki egy szakaszt úgy, hogy = 2. izonyítsuk be, hogy az -ből induló, az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére merőleges egyenes átmegy a oldal felezőpontján. z -ből az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott egyenes az szakaszt Z pontban metszi, és a -ből az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott merőleges pedig H pontban metszi az oldalt. z H, Z háromszögek egyenlőszárúak Z =, H =. Z H = HZ = + = HZ = 2 (1) H Z M H = H H = (2) Z = H HZ = = 2 2 Z = (3) 2 z (1) és (3) állításból HZ = Z. Így a H háromszögben Z a H oldal felezőpontja és Z // H. Z szakasz áthalad a oldal felezőpontján. 8. Feladat Legyen egy négyszög! gy egyenes (l), ami a és átlók felezőpontjait, H-t és F-t köti össze, az és oldalt és Z pontokban metszi. izonyítsuk be, hogy: = Z Z Rajzoljuk be az I és K egyeneseket, amik párhuzamosak a átlóval!

16 Z K I H F z I, H háromszögek illetve ZK, ZH háromszögek páronként hasonlóak = I Z K, = H Z H H=H, I = K = Z Z 9. Feladat dott egy háromszög, ahol 2 = +. izonyítsuk be, hogy az csúcsnál lévő szög szögfelezője merőleges a beírt és körülírt kör középpontját összekötő egyenesre. I O Legyen I és O rendre a beírt és körülírt kör középpontja. z I szögfelező a körülírt kört pontban metszi. (Ptolemaiosz-tétel) ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) = ( )( + ) = ( ) 2( ) ( ) = 2 ( ). Továbbá = I ( I = I ) ( ) =2(I) I az szakasz felezőpontja OI merőleges -re. 10. Feladat Legyen egy paralelogramma. gy kör, ami áthalad ponton is, az, oldalakat és az átlót rendre a ', ', ' pontokban metszi. izonyítsuk be, hogy: (')() + (')() = ()(')

17 ' ' ' ''' (Ptolemaiosz-tétel) ( ')('') + (')('') = (')(') (1) ''' és hasonlóak ' = '' = '' '' = '' (2), '' = '' (3) (1), (2), (3) ( ')() + (')() = ()(') 11. Feladat dott egy háromszög úgy, hogy = 2θ. Legyen I az háromszög beírt körének középpontja. Ha + I =, határozzuk meg a csúcsnál lévő szöget θ függvényében. θ θ I I az csúcsnál lévő szög szögfelezője I = I = θ Jelöljük be a pontot az egyenesén úgy, hogy = I. I egy egyenlőszárú háromszög I = I. θ szög az I háromszög egyik külső szöge: I = 1 2 θ (1) + I =, = I = + = I = I I = I I = I = 1 2 θ =2 I = θ

18 12. Feladat Legyen egy konvex négyszög úgy, hogy >90 o, >90 o. Legyen az a pont, ahol az egyenes metszi az vel párhuzamos, -n keresztül húzott egyenest, illetve legyen F a egyenes és a vel párhuzamos, ponton keresztül húzott egyenes metszéspontja. izonyítsuk be, hogy F párhuzamos -vel! Legyen P pont az és átlók metszéspontja! P F P PF F // F PF P = = (1) P P P P // P P = = (2) P P (1) (2) P P PF P P PF = = (a Thalész-tételből) //F P P P P P P 13. Feladat Legyen négyszög egy paralelogramma és P pont egy pont a belsejében úgy, hogy P + P = 180 o. izonyítsuk be, hogy P = P. Rajzoljunk egy, az -vel párhuzamos ST egyenest a P ponton át, ami illetve oldalakkal rendre a T és S pontokban találkozik. Hosszabbítsuk meg -t Q pontig úgy, hogy TQ=. Hosszabbítsuk meg -t R-ig úgy, hogy SR=. XP négyszög egy paralelogramma. ( //= PX) z PX négyszög egy parallelogramma ( //= PX) Y S P T R X Q PY = XP, YP = PX, mivel egyállású szögek. P = PY + Y P = XP + PX = X.

19 o P + X = 180 PX egy húrnégyszög (kör írható köré). P = XP (azonos húrhoz tartozó kerületi szögek) XP = XQ (váltószögek), XQ = P (egyállású szögek) P = P 14. Feladat dott háromszög és M pont, a oldal felezőpontja. Tegyük fel, hogy M = és M = 15 o. Határozzuk meg -t! Legyen O az M háromszög körülírt körének középpontja! M = M = θ MO = 30 o. M = M a kör (O,O) érintője. Legyenek, pontok a, M pontokból O-re bocsátott merőlegesek talppontjai! OM M =, =2M =2M=OM=O O egy téglalap. 2 O θ 15 0 M θ O = 45 o 0 = = = = = Feladat dott egy XY egyenes és rajta az, pontok, ebben a sorrendben úgy, hogy = 2. Szerkesszük meg az XY egyenes ugyanazon oldalán az és szabályos háromszögeket! és egyenesek a Z pontban metszik egymást, a és egyenesek pedig G pontban. G = 2 G. izonyítsuk be, hogy( ) ( )

20 G = = 60 o ( és szabályos háromszögek) // (1) = = = (2) 2 2 ( 1) ( 2) // = az Z szakasz felezőpontja és a Z szakasz 2 felezőpontja. és az Z háromszög súlyvonalai Z G az Z háromszög súlypontja G = 2G. Z 16. Feladat dott egy háromszög és a és pontok úgy helyezkednek el rendre az és oldalakon, hogy =. Legyen M a szakasz felezőpontja, P pedig a oldal felezőpontja. izonyítsuk be, hogy PM párhuzamos az csúcsnál lévő szög szögfelezőjével! H Z M G K P X ocsássunk merőlegeseket a, pontokból az X szögfelezőre! (lásd az ábrán) G egy egyenlőszárú háromszög (H a szögfelezője és magassága is) H súlyvonal is egyben H=HG. G H a G szakasz felezőpontja, M a szakasz felezőpontja HM // = (1) 2 K Hasonlóan bizonyítjuk, hogy ZP // = (2) 2 HM // és ZP // HM // ZP (3) ( 1) ( 2)

21 K, G egyenlőszárú háromszög =K és =G = K G = GK = GK K + K = G+ K K = G (4) () 1 ( 2) ( 3) ( 4) HM // = ZP HMPZ egy paralelogramma HZ = MP PM // X 17. Feladat dott két pont, és egy átmérőjű félkörön (c). Szerkesszük meg az paralelogrammát! izonyítsuk be, hogy és egyenesek párhuzamosak! Rajzoljuk be a és egyeneseket, H pontot, a és metszéspontját, valamint G pontot, és metszéspontját! O az átmérő = 90 o G, // G a háromszög magassága. Hasonlóan H a háromszög magassága. zért, G, H a háromszög két magassága a háromszög magasságpontja 18. Feladat Legyen adott egy egyenlőszárú háromszög és a körülírt köre (c). M a ív felezőpontja. Helyezzünk el egy tetszőleges K pontot a oldalon, és szerkesszünk merőlegest az MK-ra a K ponton keresztül, ami az és szárakat rendre a és pontban metszi. izonyítsuk be, hogy K=K. H G Z O M M M M = = M a szakasz felezőmerőlegese M átmérő M = M = 90 MK és M az MK négyszög húrnégyszög (kör írható kör) MK = MK (1) M K

22 MK és M az MK négyszög húrnégyszög MK = MK (2). M = M M = M (3) (1), (2), (3) MK = MK, ezért MK az M egyenlőszárú háromszög magassága és súlyvonala is egyben K = K. 19. Feladat Legyen háromszög olyan, hogy = 60, = 40 és O pont a 0 0 háromszög belsejében úgy, hogy O = 20 és O = 30. izonyítsuk be, hogy: (i) O = (ii) O = O K O Legyen K pont az egyenesen úgy, hogy: K= K szabályos háromszög. O = 30 O szögfelező O magasság és a K szakasz felezőmerőleges O=OK (1). z OK egyenlőszárú háromszögből OK = OK = 40 K = 180 K + KO + O = 80 K ( ) O O = 180 ( O + O) = 80 O = O O egyenlőszárú háromszög O = (2) z és K háromszögek egybevágóak (=K, OK = = 40, O = = 80 ) = (3) (2) és (3) állításból O = O O = O = 70. O egyenlőszárú háromszög O = O = 10, O = O = 10 O = O O egy egyenlőszárú háromszög, így O = O c ( ) 20. Feladat dott két kör ( ), a K és L középpontokkal rendre. két kör az és 1 c 2 pontokban metszi egymást úgy, hogy K L. Legyen pont a ( c1 ) körön! Továbbá az és egyenesek a ( kört rendre a Z és H pontokban metszik. izonyítsuk be, hogy ZH a ( ) c 2 c 2 kör átmérője! )

23 X Y Z K L H Rajzoljuk be az LZ, L, L, LH sugarakat! z LZ, L és LH háromszögek egyenlőszárúak. z L egyenes érinti a ( ) 1 c kört (L K). Legyen ZL=2a, Z=2b és LH=2c. X = 90 - a (húr és érintő). =90 -a, L=90 b és LH=90 -c + L + LH = 180, a + b + c = 90. zért 2a + 2b + 2c = 180, így Z, L, H pontok egy egyenesbe esnek.

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Harmadik epochafüzet

Harmadik epochafüzet Harmadik epochafüzet Matematika 9. évfolyam Tulajdonos:... HARMADIK EPOCHAFÜZET GEOMETRIA Tartalomjegyzék Kurzus leírás...2 Alapfogalmak...3 Szögszámítás, nevezetes szögpárok...5 A háromszög...8 Összefüggések

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka MAGYARÁZAT Az ajánlott Mértan 0 osztály feladatgyűjtemény a középiskolák 0-es tanulóinak általános iskolai tudásszintjének felmérését szolgálja. A felmérés célja a tízedikes tanulók általános iskolában

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL Ha már ismerjük a szerkesztés szabályait, és ezeket a gyakorlatban is jól tudjuk alkalmazni, akkor érdemes megismerkedni a számítógépes lehetőségekkel. Így olyan eszköz áll rendelkezésünkre,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. a nyelvi előkészítő osztály számára

Kőszegi Irén MATEMATIKA. a nyelvi előkészítő osztály számára Kőszegi Irén MATEMATIKA a nyelvi előkészítő osztály számára 2014 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak VILLÁMKÉRDÉSEK 300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak 1. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold ki a szorzatukat, ha x = 18. 2. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Feladatok megoldása. Sorozatok

Feladatok megoldása. Sorozatok Feladatok megoldása Sorozatok I /.. a = 5, a =, a = -, a = -7, a 5 = -, a 6 = -6 b =, b =, b = 5, b =, b5 = 5 7, b6 = I /. c =, c = d = -, d =, d =, c = 0, c = -, c5 = - c6 = 0 8, d =,6, d 5 = 7 e =, e

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők!

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők! 1980. évi verseny 1. Kilenc egyforma könyv még nem kerül 100 Ft-nál többe, de tíz ilyen könyv már 110 Ft-nál is többe kerül. Mennyi az ára egy könyvnek? (A könyvek árát 10 fillérre kerekítve adják meg.)

Részletesebben

Feladatok 7. osztály

Feladatok 7. osztály Feladatok 7. osztály 1. Egy ruha árának ötöde a kereskedő haszna. Ha megemelné az árat 200 Ft-tal, akkor már csak az ár harmada lenne a haszna? Mennyi a ruha ára? 2. Egy iskolában kémiát, angolt, franciát,

Részletesebben

Matek szóbeli érettségi tételek

Matek szóbeli érettségi tételek Matek szóbeli érettségi tételek 1. Halmazok, halmazműveletek Halmazok, részhalmazok A halmazt alapfogalomnak tekintjük. Képezhetünk halmazt a kétjegyű pozitív számokból, személyekből stb. Ezeket a halmaz

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök Szalóki Dezső matematika, fizika, ábrázoló-geometria és biológia szakos vezetőtanár Lektorálta:

Részletesebben

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR EGYENES ÚT AZ EGYETEMRE 11 FELADATSOR 11 FELADATSOR I rész Felhasználható idő: 45 perc 6x 1 111) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet

Részletesebben

A FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY 10 ÉVE

A FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY 10 ÉVE A FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY 10 ÉVE BOLYAI TEHETSÉGGONDOZÓ GIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM ZENTA, 013 Szerkesztette: dr. Péics Hajnalka A feladatokat válogatták és lektorálták: Béres Zoltán Csikós Pajor Gizella,

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? A kisebb szám az összeg egyharmada, ezért értéke 11, és így a nagyobb szám a 22 (1 pont). A két

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon

1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon 1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon Halmazok megadása A halmazt alapfogalomnak tekintjük, így nincs definíciója. A halmazokat általában nagybetűkkel

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

A húrnégyszögek meghódítása

A húrnégyszögek meghódítása A húrnégyszögek meghódítása A MINDENTUDÁS ISKOLÁJA Gerőcs lászló A HÚRNÉGYSZÖGEK MEGHÓDÍTÁSA Akadémiai Kiadó, Budapest ISBN 978 963 05 8969 7 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)!

4. A d és az e tetszőleges valós számot jelöl. Adja meg annak az egyenlőségnek a betűjelét, amelyik biztosan igaz (azonosság)! 005. október. Egyszerűsítse a következő törtet! (x valós szám, x 0 ) x x x. Peti felírt egy hárommal osztható hétjegyű telefonszámot egy cédulára, de az utolsó jegy elmosódott. A barátja úgy emlékszik,

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben