GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a"

Átírás

1 GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel: Ha egy pont egy szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el, akkor egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától. Tétel: Ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor a szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el. merőleges egyenesek olyan egyenesek, amik derékszöget zárnak be egymással. Párhuzamos egyenesek: párhuzamos egyenesek olyan egyenesek, amik egy síkon helyezkednek el és nincsen metszéspontjuk: z olyan egyenest, aminek van metszéspontja (különböző pontokban) két vagy több, azonos síkon elhelyezkedő egyenessel, metsző egyenesnek hívjuk. Szögek szögek olyan geometriai alakzatok, amik egy közös pontból kiinduló két félegyenesből állnak. két félegyenest a szög szárainak hívjuk, és a közös pontjuk a szög csúcsa. szögeket osztályozhatjuk a nagyságuk szerint: erékszögnek hívjuk a 90 -os szögeket. Hegyes szögnek hívjuk a 0 és 90 közötti szögeket. Tompa szögnek hívjuk a 90 és 180 közötti szögeket. gyenes szögnek hívjuk a 180 -os szögeket. (szomszédos) kiegészítő szögeknek, a-nak és b-nek a közös csúcsuk O, közös száruk OZ; a másik két száruk OX és OY pedig egy egyenesbe esnek. szögek egymás kiegészítő szögei. Z b a X O Y (szomszédos) kiegészítő szögek összege 180 fok. pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. szögek egymás pótszögei. b a csúcsszögek olyan, egy közös csúccsal rendelkező szögpár, hogy a szögek szárai egymás folytatásai. csúcsszögek egyenlők: a b szögfelező egy olyan félegyenes, ami egy szöget két egyenlő részre oszt.

2 a b szögfelező tulajdonságai: a szögfelező bármely pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól. Posztulátum: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az egyállású szögek egybevágóak. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor a külső váltószögeik egyenlők. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögeik kiegészítő szögek. Tétel: Ha egy metsző egyenes merőleges két párhuzamos egyenes egyikére, akkor a másikra is merőleges. Posztulátum: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és a megfelelő szögeik egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és az ellentétes oldalon elhelyezkedő belső szögek egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egyenest elmetsz egy harmadik, és az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögek kiegészítő szögek, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egy síkon két egyenes mindegyike merőleges egy harmadikra, akkor a két egyenes párhuzamos. Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor nyolc szög keletkezik, amiket párosával a következő módon hívunk: i) egyállású szögek (1 és 5 ; 2 és 6 ; 3 és 7 ; 4 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők: (1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8 ); ii) belső váltószögek (4 és 6 ; 3 és 5 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iii) külső váltószögek (1 és 7 ; 2 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iv) azonos oldalon lévő belső szögek (3 és 6 ; 4 és 5 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (3 + 6 = 180 fok; = 180 fok); v) azonos oldalon lévő külső szögek (1 és 8 ; 2 és 7 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (1 + 8 = 180 fok; = 180 fok). párhuzamos szárú szögek vagy egyenlők, (ha mindkettő hegyesszög vagy tompaszög), vagy a két szög összege 180 fok (c + d = 180 fok).

3 a c d b merőleges szárú szögek szintén vagy egyenlők, vagy az összegük 180 fok. a c b d Thalész tétele (párhuzamos szelők tétele). Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szögszárak a következő arányos szakaszokra oszlanak: t t 2 1 ' ' l 1 l 2 ' l 3 = = ' ' ' ' ' ' Párhuzamos egyenesek tulajdonságai: gy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy párhuzamos húzható a megadott egyenessel. gy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy merőleges húzható a megadott egyenesre. Ha két egyenes mindegyike párhuzamos egy harmadik egyeneshez, akkor egymáshoz képest is párhuzamosak. Ha három párhuzamos egyenes egyenlő szakaszokat metsz ki egy őket metsző egyenesből, akkor minden metsző egyenesből egyenlő szakaszokat metszenek ki. Következmény: gy egyenes, amin rajta fekszik egy háromszög egyik oldalának a felezőpontja és párhuzamos egy másik oldallal, felezi a háromszög harmadik oldalát. Háromszögek háromszögek alapvető tulajdonságai. ármely háromszögben: leghosszabb oldallal szemben lévő szög a legnagyobb szög, és fordítva is. gyenlő oldalakkal szemben lévő szögek egyenlők és fordítva is. z egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szögei szintén mind egyenlők. gy háromszög belső szögeinek összege 180 fok. gy háromszög egyik külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

4 gy háromszög bármely oldala kisebb, mint a másik két oldal összege és nagyobb mint a másik két oldal különbsége. (a < b + c, a > b c; b < a + c, b > a c; c < a + b, c > a b ). gybevágó háromszögek Tételek a háromszögek egybevágóságáról. Két háromszög egybevágó, ha megfelelően egyenlő: a) Két oldaluk és az általuk közbezárt szög; b) Két szögük és a szögekkel határos oldaluk; c) Három oldaluk. Tételek a derékszögű háromszögek hasonlóságáról. Két derékszögű háromszög egybevágó, ha következő feltételek egyike igaz: a) a befogóik egyenlők; b) az egyik háromszög egyik befogója és az átfogója egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az átfogójával; c) az egyik háromszög átfogója és az egyik hegyesszöge egyenlő a másik háromszög átfogójával és az egyik hegyesszögével; d) az egyik háromszög egyik befogója és a vele szomszédos hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal határos hegyesszögével; e) z egyik háromszög egyik befogója és az azzal szemközti hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal szemközti hegyesszögével. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő, akkor az azokkal szemközti szögek is egyenlők. Következmény: gy egyenlőszárú háromszög csúcsszögének szögfelezője merőlegesen felezi a háromszög alapját. Tétel: Ha egy háromszög két szöge megegyezik, a velük szemközti oldalak is egyenlők. Tétel: Ha egy háromszög két szöge és az általuk nem közbezárt oldal megegyezik egy másik háromszög két szögével és az általuk nem közbezárt oldallal, akkor a két háromszög megegyezik. súlyvonal egy, a háromszög egyik csúcsát a vele szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. gy háromszög három súlyvonala egy pontban találkozik, G-ben (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a háromszög súlypontja. ( G jelölés az angol, center of gravity, azaz súlypont kifejezésből származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az S jelölés terjedt el.) z a pont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja, a csúcstól tekintve. M G L K gy háromszög magassága a háromszög egyik csúcsából az azzal szemközti oldalra (vagy annak folytatására) bocsátott merőleges. gy háromszög három magassága egy pontban, a magasságpontban találkozik. gy hegyesszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszög belsejében, egy tompaszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszögön kívül helyezkedik el; egy derékszögű háromszög magasságpontja, a H pont megegyezik a derékszögű csúccsal. ( H jelölés az angol, height, azaz magasság szóból származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az M jelölés terjedt el.)

5 Z H Z H szögfelezőszakasz a szögfelezőnek a háromszög csúcsa és a szemközti oldal közti része. gy háromszög három szögfelezője (,, F) mindig egy pontban találkozik (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a beírt kör középpontja. F O szögfelező a szemben fekvő oldalt két részre osztja, a szomszédos két oldal arányában, például, =. felezőmerőleges egy szakasz (oldal) felezőpontjába állított merőleges. z háromszög három felezőmerőlegese, mindegyik egy-egy oldal felezőpontjába állítva, egy K pontban találkozik, ami a háromszög köré írt kör (körülírt kör) középpontja. N M K L Tétel: z a szakasz, aminek végpontjai egy háromszög két oldalának felezőpontjai:

6 M N a) Párhuzamos a harmadik oldallal. b) Hossza a harmadik oldal hosszának a fele. erékszögű háromszögek Tétel: gy derékszögű háromszög átfogójának a felezőpontja egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól. Pitagorasz-tétel. gy derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor ez a háromszög derékszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög tompaszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög hegyesszögű háromszög. Tétel: ( háromszög-egyenlőtlenség): gy háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban, akkor az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé, akkor a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban. rányosság és hasonlóság Hasonló háromszögek: Posztulátum: Ha egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha egy háromszög egyik szöge egyenlő egy másik háromszög egyik szögével, és a szöget közrezáró oldalak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha két háromszög oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Háromszögek hasonlósági tétele: Ha egy háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenes elmetszi a háromszög másik két oldalát, akkor ez az egyenes arányosan osztja a háromszög oldalait. Következmény: Ha három párhuzamos egyenes két metszővel találkozik, akkor a párhuzamosok ugyanolyan arányban osztják a metsző egyeneseket. Tétel: Szögfelező-tétel: Ha egy félegyenes felezi egy háromszög szögeit, akkor a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányában osztja fel. Mértani közép: Két szám, x és z mértani közepe úgy van definiálva, hogy: x y = y z és y-t x és z mértani közepének hívjuk. Tétel: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor két, egymáshoz és az eredeti háromszöghez egyaránt hasonló háromszög keletkezik. 1. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor a magasság hossza a mértani közepe az átfogón keletkező két szakasznak.

7 2. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor mindkét befogó a mértani közepe a teljes átfogónak és az átfogón keletkező, vele szomszédos szakasznak. Kapcsolat az általános háromszög oldalhosszai között: Általános esetben ( bármely háromszögben ): c² = a² + b² 2ab cos, trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala. M N Itt //. párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a másik kettőt (-t és -t) pedig a trapéz szárainak hívjuk. z MN szakaszt, ami a szárak felezőpontjait, M-t és N-t köti össze, a trapéz középvonalának hívjuk. trapéz középvonala egyenlő a két alap összegének a felével: + MN = 2 és párhuzamos is velük: MN // //. Síkbeli alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának feltételei Háromszögek hasonlóságának feltételei. Két háromszög hasonló, ha: ha minden szögük megegyezik; minden oldaluk aránya megegyezik; ha az egyik háromszög két oldalának aránya megegyezik a másik háromszög két oldalának arányával, és az általuk közbezárt szögek is egyenlők. Két derékszögű háromszög hasonló, ha: befogóik aránya megegyezik; az egyik háromszög egyik befogójának és átfogójának aránya megegyezik a másik háromszög befogójának és átfogójának arányával; az egyik háromszög két szöge egyenlő a másik háromszög két szögével. Hasonló alakzatok területének aránya megegyezik a megfelelő szakaszaik arányának négyzetével (például, az oldalakéval). Így, a háromszögek területének aránya megegyezik átmérőik (vagy sugaraik) arányának négyzetével. KÖRÖK kör egy rögzített ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. rögzített pontot a középpontnak, a ponttól való távolságot pedig a sugárnak hívjuk. középpontot a kör egy pontjával összekötő szakaszt is sugárnak hívjuk. kör két pontját összekötő szakaszt húrnak hívjuk. középponton áthaladó húrt átmérőnek hívjuk.

8 kör átmérője a sugár kétszerese. Ha egy sokszög köré egy kört rajzolunk úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak a körön, akkor ezt a sokszög körülírt körének hívjuk. Ha egy sokszöget rajzolunk egy körbe úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak körön, akkor azt mondjuk, hogy a sokszög a körbe van írva. Érintők gy kör érintője egy olyan, a körrel azonos síkon elhelyezkedő egyenes, aminek pontosan egy metszéspontja van a körrel, amit érintési pontnak hívunk. Tétel: Ha egy egyenes érint egy kört, akkor az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Tétel: Ha egy egyenes a kör egyik sugarát a végpontjában merőlegesen metszi, akkor az egyenes érinti a kört. z olyan egyenest, ami két, azonos síkon elhelyezkedő kört egyszerre érint, közös érintőnek hívjuk. Ívek gy kör középponti szöge egy olyan szög, aminek a csúcspontja a kör középpontja. Minden középponti szöghöz két körív, egy nagyobb és egy kisebb tartozik (kivéve az egyenes szög esetét, amikor a két körív éppen egyenlő). Ha nem jelöljük másként, akkor a kisebb körívet szokás a középponti szöghöz tartozónak venni.

9 gy kis ív nagysága megegyezik középponti szögének nagyságával. Ívek és húrok Tétel: gybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) gyenlő ívekhez egyenlő húrok tartoznak. ii) gyenlő húrokhoz egyenlő ívek tartoznak. Tétel: gy átmérő, ami merőleges egy húrra, felezi a húrt és a hozzá tartozó ívet. Tétel: gybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) középponttól egyenlő távolságra lévő húrok egyenlők. ii) gyenlő húrok egyenlő távolságra vannak a középponttól. Szögek és szakaszok kerületi szögek olyan szögek, amelyeknek a csúcsa a körön helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjai. Tétel: gy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Következmény: z azonos ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Következmény: Ha egy négyszöget írunk egy körbe, akkor a négyszög szemközti szögei egymás kiegészítő szögei. Következmény: z átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. Tétel: gy érintő és az érintési pontból induló húr által meghatározott szög fele húr által meghatározott ív mértékének. Tétel: Két, egymást a kör belsejében metsző húr által meghatározott szög mértéke fele az általuk meghatározott ívek összegének. Szögek és szakaszok Tétel: Ha két húr metszi egymást egy kör belsejében, akkor az egyik húron keletkező szakaszok szorzata megegyezik a másik húron keletkezett szakaszok szorzatával. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból két metsző egyenest húzunk, akkor az egyenesek metszéspontja és a körrel közös pontjaik közti szakaszok szorzata állandó. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt is húzunk, akkor az érintő hosszának négyzete megegyezik a külső metszéspont és a körrel közös pontok által meghatározott szakaszok szorzatával (az előbbi tétel határesete). S S T S S S = S S S S = S S S S = ST 2 z érintő tulajdonságai. gy, a körön kívül elhelyezkedő pontból két érintő húzható a körhöz, hosszaik megegyeznek.

10 Kerületi szög egy olyan szög, amit két, egy közös pontból induló húr határoz meg. Kapcsolat a kör elemei között. gy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Minden, azonos ívhez tartozó kerületi szög egyenlő. ármely kerületi szög fele annak az ívnek, amihez tartozik. ármely, egy átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. x O K K 2x O gy húr és egy érintő szöge is kifejezhető. Ha az érintő áthalad a húr végpontján, akkor az általuk bezárt szög mértéke egyenlő a húrhoz tartozó körív mértékének a felévell, ha az érintő a húr tartóegyenesét a körön kívül metszi, akkor a közrezárt szög mértéke a húr végpontjai és az érintési pont által meghatározott körívek mértékének fél különbsége. Θ Θ Két, egy külső ponton áthaladó szelő által bezárt szög fele a két kimetszett ív különbségének. O 1 2 ( ) Ê = + Speciális esetek Ptolemaiosz-tétele: Legyen egy beírt négyszög! kkor + = (, az átlók) Tétel (Simson-egyenes): egy háromszög és P pont (ami nem, vagy ) rajta van a körülírt körén. kkor a P pontból, és oldalakra (vagy meghosszabbításukra) bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesbe esnek.

11 R P S T uler-tétele ( kilenc pont köre): ármely háromszögben meghatározható egy olyan kör, ami áthalad a háromszög oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain és a csúcsokat a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjain. Z P M H L Q R K eva-tétele: Legyen egy háromszög, és P, Q, R pontok rendre a,, egyeneseken. kkor az P, Q és R egyenesek akkor és csakis akkor találkoznak egy pontban, ha: P Q R P Q R =1 Menelaosz-tétel: Legyen egy háromszög és P, Q, R pontok a rendre,, egyeneseken. kkor a P, Q, R pontok akkor és csakis akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha: P Q R P Q R = 1 Gyakorlatok 1. Feladat lenti ábra szerint, találjuk meg az α + β + γ + δ összeget a két párhuzamos egyenes között.

12 β α γ δ α + β + γ + δ =3π 2. Feladat Legyen M az ( > ) háromszög oldalának felezőpontja és legyen L az csúcsnál lévő szög szögfelezője. z M-ből induló, L-re merőleges 1 egyenes az oldalt pontban metszi. izonyítsuk be, hogy = ( + )! 2 M L P M egyenes az egyenest K pontban metszi. Így az K háromszög egyenlőszárú =K. Rajzoljuk be a P egyenest úgy, hogy P//(P a pont, ahol az egyenes metszi K-t). M háromszög egybevágó MP háromszöggel =P. PK = P PK háromszög egyenlőszárú P = K =P=K =K=+K =+ =+- 2=+ = ½ (+) K 3. Feladat gy négyzetben (az ábra szerint), α = π 12. izonyítsuk be, hogy szabályos háromszög! α α Rajzoljuk be a F egyenlőszárú háromszöget, ahogy az ábra mutatja.

13 = ( egyenlőszárú háromszög) π π = = (1) és = ( = ) (2), aztán 2 12 F és is egyenlőszárú háromszög, ezért F a szakasz felezőmerőlegese. F = π 2 a = π 2 π 12 = 5π ( 3 ) 12 z (1) és (3) állításból = F = = F = = (4) (2) és (4) állítás szerint az háromszög szabályos háromszög. α α F 4. Feladat (Kanadai Matematikai Olimpia, 1975). z ábrán,,, négy pont egy körvonalon és P, Q, R, S szintén a körvonalon helyezkedik el, ezek rendre az ΑΒ,,, ívek felezőpontjai. izonyítsuk be, hogy PR merőleges QS-re! P S T O Q Legyen PR és QS metszéspontja T, és legyen O a kör középpontja = 2π 2P + 2Q + 2R + 2S = 2π ( P + Q) + ( R + S ) = π PQ + RS = π (1) PST ( ) 1 ( ) 1 π PTS = π PST + SPT = π POQ + ROS = π π = R

14 Így QS és PR merőlegesek egymásra. 5. Feladat gy háromszög beírt köre az oldalt pontban érinti. Mutassuk meg, hogy = 1 2 ( + )! ocsássunk merőlegest a kör középpontjából a háromszög oldalaira. I = + = + = + = F + = ( F) + F = + F + = +2 = 1 ( + ) 2 6. Feladat egy paralelogramma. és Z pontok rendre az és oldalán helyezkednek el úgy, hogy Z=. H és F pontok rendre az és oldalán helyezkednek el úgy, hogy F=H. izonyítsuk be, hogy négyszög átlóinak metszéspontja megegyezik az FZH négyszög átlóinak metszéspontjával! ebizonyítjuk, hogy az FZH négyszög egy paralelogramma. ZF = H H = ZF (1) = Z, F = H ZH = F HZ = F (2) (1) és (2) együtt azt eredményezi, hogy FZH egy paralelogramma. (3) // = Z Z egy paralelogramma az és Z átlók metszéspontja legyen az O pont. H F Z O az szakasz felezőpontja O pont az paralelogramma átlóinak közös pontjai. Hasonlóan O az Z szakasz felezőpontja, így pont az FZH négyszög átlóinak is a közös pontja.

15 7. Feladat Legyen az háromszög ( < ) oldalának felezőpontja a pont! félegyenesen jelöljünk ki egy szakaszt úgy, hogy = 2. izonyítsuk be, hogy az -ből induló, az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére merőleges egyenes átmegy a oldal felezőpontján. z -ből az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott egyenes az szakaszt Z pontban metszi, és a -ből az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott merőleges pedig H pontban metszi az oldalt. z H, Z háromszögek egyenlőszárúak Z =, H =. Z H = HZ = + = HZ = 2 (1) H Z M H = H H = (2) Z = H HZ = = 2 2 Z = (3) 2 z (1) és (3) állításból HZ = Z. Így a H háromszögben Z a H oldal felezőpontja és Z // H. Z szakasz áthalad a oldal felezőpontján. 8. Feladat Legyen egy négyszög! gy egyenes (l), ami a és átlók felezőpontjait, H-t és F-t köti össze, az és oldalt és Z pontokban metszi. izonyítsuk be, hogy: = Z Z Rajzoljuk be az I és K egyeneseket, amik párhuzamosak a átlóval!

16 Z K I H F z I, H háromszögek illetve ZK, ZH háromszögek páronként hasonlóak = I Z K, = H Z H H=H, I = K = Z Z 9. Feladat dott egy háromszög, ahol 2 = +. izonyítsuk be, hogy az csúcsnál lévő szög szögfelezője merőleges a beírt és körülírt kör középpontját összekötő egyenesre. I O Legyen I és O rendre a beírt és körülírt kör középpontja. z I szögfelező a körülírt kört pontban metszi. (Ptolemaiosz-tétel) ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) = ( )( + ) = ( ) 2( ) ( ) = 2 ( ). Továbbá = I ( I = I ) ( ) =2(I) I az szakasz felezőpontja OI merőleges -re. 10. Feladat Legyen egy paralelogramma. gy kör, ami áthalad ponton is, az, oldalakat és az átlót rendre a ', ', ' pontokban metszi. izonyítsuk be, hogy: (')() + (')() = ()(')

17 ' ' ' ''' (Ptolemaiosz-tétel) ( ')('') + (')('') = (')(') (1) ''' és hasonlóak ' = '' = '' '' = '' (2), '' = '' (3) (1), (2), (3) ( ')() + (')() = ()(') 11. Feladat dott egy háromszög úgy, hogy = 2θ. Legyen I az háromszög beírt körének középpontja. Ha + I =, határozzuk meg a csúcsnál lévő szöget θ függvényében. θ θ I I az csúcsnál lévő szög szögfelezője I = I = θ Jelöljük be a pontot az egyenesén úgy, hogy = I. I egy egyenlőszárú háromszög I = I. θ szög az I háromszög egyik külső szöge: I = 1 2 θ (1) + I =, = I = + = I = I I = I I = I = 1 2 θ =2 I = θ

18 12. Feladat Legyen egy konvex négyszög úgy, hogy >90 o, >90 o. Legyen az a pont, ahol az egyenes metszi az vel párhuzamos, -n keresztül húzott egyenest, illetve legyen F a egyenes és a vel párhuzamos, ponton keresztül húzott egyenes metszéspontja. izonyítsuk be, hogy F párhuzamos -vel! Legyen P pont az és átlók metszéspontja! P F P PF F // F PF P = = (1) P P P P // P P = = (2) P P (1) (2) P P PF P P PF = = (a Thalész-tételből) //F P P P P P P 13. Feladat Legyen négyszög egy paralelogramma és P pont egy pont a belsejében úgy, hogy P + P = 180 o. izonyítsuk be, hogy P = P. Rajzoljunk egy, az -vel párhuzamos ST egyenest a P ponton át, ami illetve oldalakkal rendre a T és S pontokban találkozik. Hosszabbítsuk meg -t Q pontig úgy, hogy TQ=. Hosszabbítsuk meg -t R-ig úgy, hogy SR=. XP négyszög egy paralelogramma. ( //= PX) z PX négyszög egy parallelogramma ( //= PX) Y S P T R X Q PY = XP, YP = PX, mivel egyállású szögek. P = PY + Y P = XP + PX = X.

19 o P + X = 180 PX egy húrnégyszög (kör írható köré). P = XP (azonos húrhoz tartozó kerületi szögek) XP = XQ (váltószögek), XQ = P (egyállású szögek) P = P 14. Feladat dott háromszög és M pont, a oldal felezőpontja. Tegyük fel, hogy M = és M = 15 o. Határozzuk meg -t! Legyen O az M háromszög körülírt körének középpontja! M = M = θ MO = 30 o. M = M a kör (O,O) érintője. Legyenek, pontok a, M pontokból O-re bocsátott merőlegesek talppontjai! OM M =, =2M =2M=OM=O O egy téglalap. 2 O θ 15 0 M θ O = 45 o 0 = = = = = Feladat dott egy XY egyenes és rajta az, pontok, ebben a sorrendben úgy, hogy = 2. Szerkesszük meg az XY egyenes ugyanazon oldalán az és szabályos háromszögeket! és egyenesek a Z pontban metszik egymást, a és egyenesek pedig G pontban. G = 2 G. izonyítsuk be, hogy( ) ( )

20 G = = 60 o ( és szabályos háromszögek) // (1) = = = (2) 2 2 ( 1) ( 2) // = az Z szakasz felezőpontja és a Z szakasz 2 felezőpontja. és az Z háromszög súlyvonalai Z G az Z háromszög súlypontja G = 2G. Z 16. Feladat dott egy háromszög és a és pontok úgy helyezkednek el rendre az és oldalakon, hogy =. Legyen M a szakasz felezőpontja, P pedig a oldal felezőpontja. izonyítsuk be, hogy PM párhuzamos az csúcsnál lévő szög szögfelezőjével! H Z M G K P X ocsássunk merőlegeseket a, pontokból az X szögfelezőre! (lásd az ábrán) G egy egyenlőszárú háromszög (H a szögfelezője és magassága is) H súlyvonal is egyben H=HG. G H a G szakasz felezőpontja, M a szakasz felezőpontja HM // = (1) 2 K Hasonlóan bizonyítjuk, hogy ZP // = (2) 2 HM // és ZP // HM // ZP (3) ( 1) ( 2)

21 K, G egyenlőszárú háromszög =K és =G = K G = GK = GK K + K = G+ K K = G (4) () 1 ( 2) ( 3) ( 4) HM // = ZP HMPZ egy paralelogramma HZ = MP PM // X 17. Feladat dott két pont, és egy átmérőjű félkörön (c). Szerkesszük meg az paralelogrammát! izonyítsuk be, hogy és egyenesek párhuzamosak! Rajzoljuk be a és egyeneseket, H pontot, a és metszéspontját, valamint G pontot, és metszéspontját! O az átmérő = 90 o G, // G a háromszög magassága. Hasonlóan H a háromszög magassága. zért, G, H a háromszög két magassága a háromszög magasságpontja 18. Feladat Legyen adott egy egyenlőszárú háromszög és a körülírt köre (c). M a ív felezőpontja. Helyezzünk el egy tetszőleges K pontot a oldalon, és szerkesszünk merőlegest az MK-ra a K ponton keresztül, ami az és szárakat rendre a és pontban metszi. izonyítsuk be, hogy K=K. H G Z O M M M M = = M a szakasz felezőmerőlegese M átmérő M = M = 90 MK és M az MK négyszög húrnégyszög (kör írható kör) MK = MK (1) M K

22 MK és M az MK négyszög húrnégyszög MK = MK (2). M = M M = M (3) (1), (2), (3) MK = MK, ezért MK az M egyenlőszárú háromszög magassága és súlyvonala is egyben K = K. 19. Feladat Legyen háromszög olyan, hogy = 60, = 40 és O pont a 0 0 háromszög belsejében úgy, hogy O = 20 és O = 30. izonyítsuk be, hogy: (i) O = (ii) O = O K O Legyen K pont az egyenesen úgy, hogy: K= K szabályos háromszög. O = 30 O szögfelező O magasság és a K szakasz felezőmerőleges O=OK (1). z OK egyenlőszárú háromszögből OK = OK = 40 K = 180 K + KO + O = 80 K ( ) O O = 180 ( O + O) = 80 O = O O egyenlőszárú háromszög O = (2) z és K háromszögek egybevágóak (=K, OK = = 40, O = = 80 ) = (3) (2) és (3) állításból O = O O = O = 70. O egyenlőszárú háromszög O = O = 10, O = O = 10 O = O O egy egyenlőszárú háromszög, így O = O c ( ) 20. Feladat dott két kör ( ), a K és L középpontokkal rendre. két kör az és 1 c 2 pontokban metszi egymást úgy, hogy K L. Legyen pont a ( c1 ) körön! Továbbá az és egyenesek a ( kört rendre a Z és H pontokban metszik. izonyítsuk be, hogy ZH a ( ) c 2 c 2 kör átmérője! )

23 X Y Z K L H Rajzoljuk be az LZ, L, L, LH sugarakat! z LZ, L és LH háromszögek egyenlőszárúak. z L egyenes érinti a ( ) 1 c kört (L K). Legyen ZL=2a, Z=2b és LH=2c. X = 90 - a (húr és érintő). =90 -a, L=90 b és LH=90 -c + L + LH = 180, a + b + c = 90. zért 2a + 2b + 2c = 180, így Z, L, H pontok egy egyenesbe esnek.

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka MAGYARÁZAT Az ajánlott Mértan 0 osztály feladatgyűjtemény a középiskolák 0-es tanulóinak általános iskolai tudásszintjének felmérését szolgálja. A felmérés célja a tízedikes tanulók általános iskolában

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők!

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők! 1980. évi verseny 1. Kilenc egyforma könyv még nem kerül 100 Ft-nál többe, de tíz ilyen könyv már 110 Ft-nál is többe kerül. Mennyi az ára egy könyvnek? (A könyvek árát 10 fillérre kerekítve adják meg.)

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon

1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon 1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon Halmazok megadása A halmazt alapfogalomnak tekintjük, így nincs definíciója. A halmazokat általában nagybetűkkel

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK... 9

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK... 9 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ.......................................................... 7 1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK................................. 9 Számok írása, olvasása, ábrázolása...................................

Részletesebben

MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD. Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK

MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD. Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK ELŐSZÓ Ez a könyv elsősorban középiskolás diákok és tanáraik számára készült, szakköri feldolgozásra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

4. modul Hasonlóság és alkalmazásai

4. modul Hasonlóság és alkalmazásai Matematika A 10. szakiskolai évfolyam 4. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. szakiskolai évfolyam 4. modul: Hasonlóság és alkalmazásai Tanári útmutató 2 A modul célja

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ 5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Játéktól a kutatásig. Írta: Bozóki Gergő Zoltán és Polereczki Fanni

Játéktól a kutatásig. Írta: Bozóki Gergő Zoltán és Polereczki Fanni Játéktól a kutatásig Írta: Bozóki Gergő Zoltán és Polereczki Fanni A fő témánk a Geometria és a geometriai földrajz. Diákokat 3 csoportra szedtük szét. Az első csoport Általános iskola alsó, körülbelül

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

A MATEMATIKA TARTALMI ÁTTEKINTÉSE

A MATEMATIKA TARTALMI ÁTTEKINTÉSE MATEMATIKA A MATEMATIKA TARTALMI ÁTTEKINTÉSE Az előttünk álló anyag a felnőtt alapképzés második és harmadik ciklusában a matematika programban előirányzott összes témát dolgozza fel, de nem az azonos

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok Tanárverseny 0 középiskolában tanító tanároknak vázlatok Kidolgozta: Csordásné Szécsi Jolán, Csordás Péter A verseny támogatói: Typotex Kiadó Maxim Kiadó MATEGYE Alapítvány . Mennyivel egyenlő a K E D

Részletesebben

mintásfal 60 40 2 2 mintásfal :m :sz :dbjobbra :dbfel

mintásfal 60 40 2 2 mintásfal :m :sz :dbjobbra :dbfel 6.osztály 1.foglalkozás 6.osztály 2.foglalkozás kocka kockafal :db minta Készítsd el ezt a mintát! A minta hosszú oldala 60 a rövid oldala 40 egység hosszú. A hosszú oldal harmada a négyzet oldala! A háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 4. modul Körrel kapcsolatos fogalmak Készítette: Lénárt István és Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 4. modul: Körrel kapcsolatos fogalmak Tanári útmutató A modul célja Időkeret

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok Halmazok, logika Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok 1. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Részletesebben

Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger

Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés: A matematikai tehetséggondozás egyik alapja a tehetségek felkutatása. Ahhoz pedig, hogy matematikai tehetségeket találjunk, olyan

Részletesebben

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint Matematika Gyakorló feladatok vizsgára. évf. emelt szint Egyenletek, egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 4 c) d) e) 4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! = c) =8 d)

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

TANANYAGBEOSZTÁS. Kompetencia alapú matematika 6. osztály. A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése

TANANYAGBEOSZTÁS. Kompetencia alapú matematika 6. osztály. A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése TANANYAGBEOSZTÁS TÁMOP 3.1.4. 08/2-2008-0149 A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése Mátészalkán Implementáló pedagógus: Nagy Gusztávné Implementációs terület: Kompetencia alapú matematika

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Fodor Csaba, Szeged Név:..... Iskola:. Beküldési határidő:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

MATEMATIKA B változat

MATEMATIKA B változat MATEMATIKA B változat Ez a kerettanterv heti 4+4+4+3 órára készült. Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben