GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a"

Átírás

1 GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel: Ha egy pont egy szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el, akkor egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától. Tétel: Ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor a szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el. merőleges egyenesek olyan egyenesek, amik derékszöget zárnak be egymással. Párhuzamos egyenesek: párhuzamos egyenesek olyan egyenesek, amik egy síkon helyezkednek el és nincsen metszéspontjuk: z olyan egyenest, aminek van metszéspontja (különböző pontokban) két vagy több, azonos síkon elhelyezkedő egyenessel, metsző egyenesnek hívjuk. Szögek szögek olyan geometriai alakzatok, amik egy közös pontból kiinduló két félegyenesből állnak. két félegyenest a szög szárainak hívjuk, és a közös pontjuk a szög csúcsa. szögeket osztályozhatjuk a nagyságuk szerint: erékszögnek hívjuk a 90 -os szögeket. Hegyes szögnek hívjuk a 0 és 90 közötti szögeket. Tompa szögnek hívjuk a 90 és 180 közötti szögeket. gyenes szögnek hívjuk a 180 -os szögeket. (szomszédos) kiegészítő szögeknek, a-nak és b-nek a közös csúcsuk O, közös száruk OZ; a másik két száruk OX és OY pedig egy egyenesbe esnek. szögek egymás kiegészítő szögei. Z b a X O Y (szomszédos) kiegészítő szögek összege 180 fok. pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. szögek egymás pótszögei. b a csúcsszögek olyan, egy közös csúccsal rendelkező szögpár, hogy a szögek szárai egymás folytatásai. csúcsszögek egyenlők: a b szögfelező egy olyan félegyenes, ami egy szöget két egyenlő részre oszt.

2 a b szögfelező tulajdonságai: a szögfelező bármely pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól. Posztulátum: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az egyállású szögek egybevágóak. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor a külső váltószögeik egyenlők. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögeik kiegészítő szögek. Tétel: Ha egy metsző egyenes merőleges két párhuzamos egyenes egyikére, akkor a másikra is merőleges. Posztulátum: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és a megfelelő szögeik egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és az ellentétes oldalon elhelyezkedő belső szögek egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egyenest elmetsz egy harmadik, és az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögek kiegészítő szögek, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egy síkon két egyenes mindegyike merőleges egy harmadikra, akkor a két egyenes párhuzamos. Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor nyolc szög keletkezik, amiket párosával a következő módon hívunk: i) egyállású szögek (1 és 5 ; 2 és 6 ; 3 és 7 ; 4 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők: (1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8 ); ii) belső váltószögek (4 és 6 ; 3 és 5 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iii) külső váltószögek (1 és 7 ; 2 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iv) azonos oldalon lévő belső szögek (3 és 6 ; 4 és 5 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (3 + 6 = 180 fok; = 180 fok); v) azonos oldalon lévő külső szögek (1 és 8 ; 2 és 7 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (1 + 8 = 180 fok; = 180 fok). párhuzamos szárú szögek vagy egyenlők, (ha mindkettő hegyesszög vagy tompaszög), vagy a két szög összege 180 fok (c + d = 180 fok).

3 a c d b merőleges szárú szögek szintén vagy egyenlők, vagy az összegük 180 fok. a c b d Thalész tétele (párhuzamos szelők tétele). Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szögszárak a következő arányos szakaszokra oszlanak: t t 2 1 ' ' l 1 l 2 ' l 3 = = ' ' ' ' ' ' Párhuzamos egyenesek tulajdonságai: gy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy párhuzamos húzható a megadott egyenessel. gy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy merőleges húzható a megadott egyenesre. Ha két egyenes mindegyike párhuzamos egy harmadik egyeneshez, akkor egymáshoz képest is párhuzamosak. Ha három párhuzamos egyenes egyenlő szakaszokat metsz ki egy őket metsző egyenesből, akkor minden metsző egyenesből egyenlő szakaszokat metszenek ki. Következmény: gy egyenes, amin rajta fekszik egy háromszög egyik oldalának a felezőpontja és párhuzamos egy másik oldallal, felezi a háromszög harmadik oldalát. Háromszögek háromszögek alapvető tulajdonságai. ármely háromszögben: leghosszabb oldallal szemben lévő szög a legnagyobb szög, és fordítva is. gyenlő oldalakkal szemben lévő szögek egyenlők és fordítva is. z egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szögei szintén mind egyenlők. gy háromszög belső szögeinek összege 180 fok. gy háromszög egyik külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

4 gy háromszög bármely oldala kisebb, mint a másik két oldal összege és nagyobb mint a másik két oldal különbsége. (a < b + c, a > b c; b < a + c, b > a c; c < a + b, c > a b ). gybevágó háromszögek Tételek a háromszögek egybevágóságáról. Két háromszög egybevágó, ha megfelelően egyenlő: a) Két oldaluk és az általuk közbezárt szög; b) Két szögük és a szögekkel határos oldaluk; c) Három oldaluk. Tételek a derékszögű háromszögek hasonlóságáról. Két derékszögű háromszög egybevágó, ha következő feltételek egyike igaz: a) a befogóik egyenlők; b) az egyik háromszög egyik befogója és az átfogója egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az átfogójával; c) az egyik háromszög átfogója és az egyik hegyesszöge egyenlő a másik háromszög átfogójával és az egyik hegyesszögével; d) az egyik háromszög egyik befogója és a vele szomszédos hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal határos hegyesszögével; e) z egyik háromszög egyik befogója és az azzal szemközti hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal szemközti hegyesszögével. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő, akkor az azokkal szemközti szögek is egyenlők. Következmény: gy egyenlőszárú háromszög csúcsszögének szögfelezője merőlegesen felezi a háromszög alapját. Tétel: Ha egy háromszög két szöge megegyezik, a velük szemközti oldalak is egyenlők. Tétel: Ha egy háromszög két szöge és az általuk nem közbezárt oldal megegyezik egy másik háromszög két szögével és az általuk nem közbezárt oldallal, akkor a két háromszög megegyezik. súlyvonal egy, a háromszög egyik csúcsát a vele szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. gy háromszög három súlyvonala egy pontban találkozik, G-ben (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a háromszög súlypontja. ( G jelölés az angol, center of gravity, azaz súlypont kifejezésből származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az S jelölés terjedt el.) z a pont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja, a csúcstól tekintve. M G L K gy háromszög magassága a háromszög egyik csúcsából az azzal szemközti oldalra (vagy annak folytatására) bocsátott merőleges. gy háromszög három magassága egy pontban, a magasságpontban találkozik. gy hegyesszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszög belsejében, egy tompaszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszögön kívül helyezkedik el; egy derékszögű háromszög magasságpontja, a H pont megegyezik a derékszögű csúccsal. ( H jelölés az angol, height, azaz magasság szóból származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az M jelölés terjedt el.)

5 Z H Z H szögfelezőszakasz a szögfelezőnek a háromszög csúcsa és a szemközti oldal közti része. gy háromszög három szögfelezője (,, F) mindig egy pontban találkozik (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a beírt kör középpontja. F O szögfelező a szemben fekvő oldalt két részre osztja, a szomszédos két oldal arányában, például, =. felezőmerőleges egy szakasz (oldal) felezőpontjába állított merőleges. z háromszög három felezőmerőlegese, mindegyik egy-egy oldal felezőpontjába állítva, egy K pontban találkozik, ami a háromszög köré írt kör (körülírt kör) középpontja. N M K L Tétel: z a szakasz, aminek végpontjai egy háromszög két oldalának felezőpontjai:

6 M N a) Párhuzamos a harmadik oldallal. b) Hossza a harmadik oldal hosszának a fele. erékszögű háromszögek Tétel: gy derékszögű háromszög átfogójának a felezőpontja egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól. Pitagorasz-tétel. gy derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor ez a háromszög derékszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög tompaszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög hegyesszögű háromszög. Tétel: ( háromszög-egyenlőtlenség): gy háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban, akkor az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé, akkor a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban. rányosság és hasonlóság Hasonló háromszögek: Posztulátum: Ha egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha egy háromszög egyik szöge egyenlő egy másik háromszög egyik szögével, és a szöget közrezáró oldalak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha két háromszög oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Háromszögek hasonlósági tétele: Ha egy háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenes elmetszi a háromszög másik két oldalát, akkor ez az egyenes arányosan osztja a háromszög oldalait. Következmény: Ha három párhuzamos egyenes két metszővel találkozik, akkor a párhuzamosok ugyanolyan arányban osztják a metsző egyeneseket. Tétel: Szögfelező-tétel: Ha egy félegyenes felezi egy háromszög szögeit, akkor a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányában osztja fel. Mértani közép: Két szám, x és z mértani közepe úgy van definiálva, hogy: x y = y z és y-t x és z mértani közepének hívjuk. Tétel: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor két, egymáshoz és az eredeti háromszöghez egyaránt hasonló háromszög keletkezik. 1. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor a magasság hossza a mértani közepe az átfogón keletkező két szakasznak.

7 2. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor mindkét befogó a mértani közepe a teljes átfogónak és az átfogón keletkező, vele szomszédos szakasznak. Kapcsolat az általános háromszög oldalhosszai között: Általános esetben ( bármely háromszögben ): c² = a² + b² 2ab cos, trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala. M N Itt //. párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a másik kettőt (-t és -t) pedig a trapéz szárainak hívjuk. z MN szakaszt, ami a szárak felezőpontjait, M-t és N-t köti össze, a trapéz középvonalának hívjuk. trapéz középvonala egyenlő a két alap összegének a felével: + MN = 2 és párhuzamos is velük: MN // //. Síkbeli alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának feltételei Háromszögek hasonlóságának feltételei. Két háromszög hasonló, ha: ha minden szögük megegyezik; minden oldaluk aránya megegyezik; ha az egyik háromszög két oldalának aránya megegyezik a másik háromszög két oldalának arányával, és az általuk közbezárt szögek is egyenlők. Két derékszögű háromszög hasonló, ha: befogóik aránya megegyezik; az egyik háromszög egyik befogójának és átfogójának aránya megegyezik a másik háromszög befogójának és átfogójának arányával; az egyik háromszög két szöge egyenlő a másik háromszög két szögével. Hasonló alakzatok területének aránya megegyezik a megfelelő szakaszaik arányának négyzetével (például, az oldalakéval). Így, a háromszögek területének aránya megegyezik átmérőik (vagy sugaraik) arányának négyzetével. KÖRÖK kör egy rögzített ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. rögzített pontot a középpontnak, a ponttól való távolságot pedig a sugárnak hívjuk. középpontot a kör egy pontjával összekötő szakaszt is sugárnak hívjuk. kör két pontját összekötő szakaszt húrnak hívjuk. középponton áthaladó húrt átmérőnek hívjuk.

8 kör átmérője a sugár kétszerese. Ha egy sokszög köré egy kört rajzolunk úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak a körön, akkor ezt a sokszög körülírt körének hívjuk. Ha egy sokszöget rajzolunk egy körbe úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak körön, akkor azt mondjuk, hogy a sokszög a körbe van írva. Érintők gy kör érintője egy olyan, a körrel azonos síkon elhelyezkedő egyenes, aminek pontosan egy metszéspontja van a körrel, amit érintési pontnak hívunk. Tétel: Ha egy egyenes érint egy kört, akkor az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Tétel: Ha egy egyenes a kör egyik sugarát a végpontjában merőlegesen metszi, akkor az egyenes érinti a kört. z olyan egyenest, ami két, azonos síkon elhelyezkedő kört egyszerre érint, közös érintőnek hívjuk. Ívek gy kör középponti szöge egy olyan szög, aminek a csúcspontja a kör középpontja. Minden középponti szöghöz két körív, egy nagyobb és egy kisebb tartozik (kivéve az egyenes szög esetét, amikor a két körív éppen egyenlő). Ha nem jelöljük másként, akkor a kisebb körívet szokás a középponti szöghöz tartozónak venni.

9 gy kis ív nagysága megegyezik középponti szögének nagyságával. Ívek és húrok Tétel: gybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) gyenlő ívekhez egyenlő húrok tartoznak. ii) gyenlő húrokhoz egyenlő ívek tartoznak. Tétel: gy átmérő, ami merőleges egy húrra, felezi a húrt és a hozzá tartozó ívet. Tétel: gybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) középponttól egyenlő távolságra lévő húrok egyenlők. ii) gyenlő húrok egyenlő távolságra vannak a középponttól. Szögek és szakaszok kerületi szögek olyan szögek, amelyeknek a csúcsa a körön helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjai. Tétel: gy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Következmény: z azonos ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Következmény: Ha egy négyszöget írunk egy körbe, akkor a négyszög szemközti szögei egymás kiegészítő szögei. Következmény: z átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. Tétel: gy érintő és az érintési pontból induló húr által meghatározott szög fele húr által meghatározott ív mértékének. Tétel: Két, egymást a kör belsejében metsző húr által meghatározott szög mértéke fele az általuk meghatározott ívek összegének. Szögek és szakaszok Tétel: Ha két húr metszi egymást egy kör belsejében, akkor az egyik húron keletkező szakaszok szorzata megegyezik a másik húron keletkezett szakaszok szorzatával. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból két metsző egyenest húzunk, akkor az egyenesek metszéspontja és a körrel közös pontjaik közti szakaszok szorzata állandó. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt is húzunk, akkor az érintő hosszának négyzete megegyezik a külső metszéspont és a körrel közös pontok által meghatározott szakaszok szorzatával (az előbbi tétel határesete). S S T S S S = S S S S = S S S S = ST 2 z érintő tulajdonságai. gy, a körön kívül elhelyezkedő pontból két érintő húzható a körhöz, hosszaik megegyeznek.

10 Kerületi szög egy olyan szög, amit két, egy közös pontból induló húr határoz meg. Kapcsolat a kör elemei között. gy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Minden, azonos ívhez tartozó kerületi szög egyenlő. ármely kerületi szög fele annak az ívnek, amihez tartozik. ármely, egy átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. x O K K 2x O gy húr és egy érintő szöge is kifejezhető. Ha az érintő áthalad a húr végpontján, akkor az általuk bezárt szög mértéke egyenlő a húrhoz tartozó körív mértékének a felévell, ha az érintő a húr tartóegyenesét a körön kívül metszi, akkor a közrezárt szög mértéke a húr végpontjai és az érintési pont által meghatározott körívek mértékének fél különbsége. Θ Θ Két, egy külső ponton áthaladó szelő által bezárt szög fele a két kimetszett ív különbségének. O 1 2 ( ) Ê = + Speciális esetek Ptolemaiosz-tétele: Legyen egy beírt négyszög! kkor + = (, az átlók) Tétel (Simson-egyenes): egy háromszög és P pont (ami nem, vagy ) rajta van a körülírt körén. kkor a P pontból, és oldalakra (vagy meghosszabbításukra) bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesbe esnek.

11 R P S T uler-tétele ( kilenc pont köre): ármely háromszögben meghatározható egy olyan kör, ami áthalad a háromszög oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain és a csúcsokat a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjain. Z P M H L Q R K eva-tétele: Legyen egy háromszög, és P, Q, R pontok rendre a,, egyeneseken. kkor az P, Q és R egyenesek akkor és csakis akkor találkoznak egy pontban, ha: P Q R P Q R =1 Menelaosz-tétel: Legyen egy háromszög és P, Q, R pontok a rendre,, egyeneseken. kkor a P, Q, R pontok akkor és csakis akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha: P Q R P Q R = 1 Gyakorlatok 1. Feladat lenti ábra szerint, találjuk meg az α + β + γ + δ összeget a két párhuzamos egyenes között.

12 β α γ δ α + β + γ + δ =3π 2. Feladat Legyen M az ( > ) háromszög oldalának felezőpontja és legyen L az csúcsnál lévő szög szögfelezője. z M-ből induló, L-re merőleges 1 egyenes az oldalt pontban metszi. izonyítsuk be, hogy = ( + )! 2 M L P M egyenes az egyenest K pontban metszi. Így az K háromszög egyenlőszárú =K. Rajzoljuk be a P egyenest úgy, hogy P//(P a pont, ahol az egyenes metszi K-t). M háromszög egybevágó MP háromszöggel =P. PK = P PK háromszög egyenlőszárú P = K =P=K =K=+K =+ =+- 2=+ = ½ (+) K 3. Feladat gy négyzetben (az ábra szerint), α = π 12. izonyítsuk be, hogy szabályos háromszög! α α Rajzoljuk be a F egyenlőszárú háromszöget, ahogy az ábra mutatja.

13 = ( egyenlőszárú háromszög) π π = = (1) és = ( = ) (2), aztán 2 12 F és is egyenlőszárú háromszög, ezért F a szakasz felezőmerőlegese. F = π 2 a = π 2 π 12 = 5π ( 3 ) 12 z (1) és (3) állításból = F = = F = = (4) (2) és (4) állítás szerint az háromszög szabályos háromszög. α α F 4. Feladat (Kanadai Matematikai Olimpia, 1975). z ábrán,,, négy pont egy körvonalon és P, Q, R, S szintén a körvonalon helyezkedik el, ezek rendre az ΑΒ,,, ívek felezőpontjai. izonyítsuk be, hogy PR merőleges QS-re! P S T O Q Legyen PR és QS metszéspontja T, és legyen O a kör középpontja = 2π 2P + 2Q + 2R + 2S = 2π ( P + Q) + ( R + S ) = π PQ + RS = π (1) PST ( ) 1 ( ) 1 π PTS = π PST + SPT = π POQ + ROS = π π = R

14 Így QS és PR merőlegesek egymásra. 5. Feladat gy háromszög beírt köre az oldalt pontban érinti. Mutassuk meg, hogy = 1 2 ( + )! ocsássunk merőlegest a kör középpontjából a háromszög oldalaira. I = + = + = + = F + = ( F) + F = + F + = +2 = 1 ( + ) 2 6. Feladat egy paralelogramma. és Z pontok rendre az és oldalán helyezkednek el úgy, hogy Z=. H és F pontok rendre az és oldalán helyezkednek el úgy, hogy F=H. izonyítsuk be, hogy négyszög átlóinak metszéspontja megegyezik az FZH négyszög átlóinak metszéspontjával! ebizonyítjuk, hogy az FZH négyszög egy paralelogramma. ZF = H H = ZF (1) = Z, F = H ZH = F HZ = F (2) (1) és (2) együtt azt eredményezi, hogy FZH egy paralelogramma. (3) // = Z Z egy paralelogramma az és Z átlók metszéspontja legyen az O pont. H F Z O az szakasz felezőpontja O pont az paralelogramma átlóinak közös pontjai. Hasonlóan O az Z szakasz felezőpontja, így pont az FZH négyszög átlóinak is a közös pontja.

15 7. Feladat Legyen az háromszög ( < ) oldalának felezőpontja a pont! félegyenesen jelöljünk ki egy szakaszt úgy, hogy = 2. izonyítsuk be, hogy az -ből induló, az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére merőleges egyenes átmegy a oldal felezőpontján. z -ből az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott egyenes az szakaszt Z pontban metszi, és a -ből az csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott merőleges pedig H pontban metszi az oldalt. z H, Z háromszögek egyenlőszárúak Z =, H =. Z H = HZ = + = HZ = 2 (1) H Z M H = H H = (2) Z = H HZ = = 2 2 Z = (3) 2 z (1) és (3) állításból HZ = Z. Így a H háromszögben Z a H oldal felezőpontja és Z // H. Z szakasz áthalad a oldal felezőpontján. 8. Feladat Legyen egy négyszög! gy egyenes (l), ami a és átlók felezőpontjait, H-t és F-t köti össze, az és oldalt és Z pontokban metszi. izonyítsuk be, hogy: = Z Z Rajzoljuk be az I és K egyeneseket, amik párhuzamosak a átlóval!

16 Z K I H F z I, H háromszögek illetve ZK, ZH háromszögek páronként hasonlóak = I Z K, = H Z H H=H, I = K = Z Z 9. Feladat dott egy háromszög, ahol 2 = +. izonyítsuk be, hogy az csúcsnál lévő szög szögfelezője merőleges a beírt és körülírt kör középpontját összekötő egyenesre. I O Legyen I és O rendre a beírt és körülírt kör középpontja. z I szögfelező a körülírt kört pontban metszi. (Ptolemaiosz-tétel) ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) = ( )( + ) = ( ) 2( ) ( ) = 2 ( ). Továbbá = I ( I = I ) ( ) =2(I) I az szakasz felezőpontja OI merőleges -re. 10. Feladat Legyen egy paralelogramma. gy kör, ami áthalad ponton is, az, oldalakat és az átlót rendre a ', ', ' pontokban metszi. izonyítsuk be, hogy: (')() + (')() = ()(')

17 ' ' ' ''' (Ptolemaiosz-tétel) ( ')('') + (')('') = (')(') (1) ''' és hasonlóak ' = '' = '' '' = '' (2), '' = '' (3) (1), (2), (3) ( ')() + (')() = ()(') 11. Feladat dott egy háromszög úgy, hogy = 2θ. Legyen I az háromszög beírt körének középpontja. Ha + I =, határozzuk meg a csúcsnál lévő szöget θ függvényében. θ θ I I az csúcsnál lévő szög szögfelezője I = I = θ Jelöljük be a pontot az egyenesén úgy, hogy = I. I egy egyenlőszárú háromszög I = I. θ szög az I háromszög egyik külső szöge: I = 1 2 θ (1) + I =, = I = + = I = I I = I I = I = 1 2 θ =2 I = θ

18 12. Feladat Legyen egy konvex négyszög úgy, hogy >90 o, >90 o. Legyen az a pont, ahol az egyenes metszi az vel párhuzamos, -n keresztül húzott egyenest, illetve legyen F a egyenes és a vel párhuzamos, ponton keresztül húzott egyenes metszéspontja. izonyítsuk be, hogy F párhuzamos -vel! Legyen P pont az és átlók metszéspontja! P F P PF F // F PF P = = (1) P P P P // P P = = (2) P P (1) (2) P P PF P P PF = = (a Thalész-tételből) //F P P P P P P 13. Feladat Legyen négyszög egy paralelogramma és P pont egy pont a belsejében úgy, hogy P + P = 180 o. izonyítsuk be, hogy P = P. Rajzoljunk egy, az -vel párhuzamos ST egyenest a P ponton át, ami illetve oldalakkal rendre a T és S pontokban találkozik. Hosszabbítsuk meg -t Q pontig úgy, hogy TQ=. Hosszabbítsuk meg -t R-ig úgy, hogy SR=. XP négyszög egy paralelogramma. ( //= PX) z PX négyszög egy parallelogramma ( //= PX) Y S P T R X Q PY = XP, YP = PX, mivel egyállású szögek. P = PY + Y P = XP + PX = X.

19 o P + X = 180 PX egy húrnégyszög (kör írható köré). P = XP (azonos húrhoz tartozó kerületi szögek) XP = XQ (váltószögek), XQ = P (egyállású szögek) P = P 14. Feladat dott háromszög és M pont, a oldal felezőpontja. Tegyük fel, hogy M = és M = 15 o. Határozzuk meg -t! Legyen O az M háromszög körülírt körének középpontja! M = M = θ MO = 30 o. M = M a kör (O,O) érintője. Legyenek, pontok a, M pontokból O-re bocsátott merőlegesek talppontjai! OM M =, =2M =2M=OM=O O egy téglalap. 2 O θ 15 0 M θ O = 45 o 0 = = = = = Feladat dott egy XY egyenes és rajta az, pontok, ebben a sorrendben úgy, hogy = 2. Szerkesszük meg az XY egyenes ugyanazon oldalán az és szabályos háromszögeket! és egyenesek a Z pontban metszik egymást, a és egyenesek pedig G pontban. G = 2 G. izonyítsuk be, hogy( ) ( )

20 G = = 60 o ( és szabályos háromszögek) // (1) = = = (2) 2 2 ( 1) ( 2) // = az Z szakasz felezőpontja és a Z szakasz 2 felezőpontja. és az Z háromszög súlyvonalai Z G az Z háromszög súlypontja G = 2G. Z 16. Feladat dott egy háromszög és a és pontok úgy helyezkednek el rendre az és oldalakon, hogy =. Legyen M a szakasz felezőpontja, P pedig a oldal felezőpontja. izonyítsuk be, hogy PM párhuzamos az csúcsnál lévő szög szögfelezőjével! H Z M G K P X ocsássunk merőlegeseket a, pontokból az X szögfelezőre! (lásd az ábrán) G egy egyenlőszárú háromszög (H a szögfelezője és magassága is) H súlyvonal is egyben H=HG. G H a G szakasz felezőpontja, M a szakasz felezőpontja HM // = (1) 2 K Hasonlóan bizonyítjuk, hogy ZP // = (2) 2 HM // és ZP // HM // ZP (3) ( 1) ( 2)

21 K, G egyenlőszárú háromszög =K és =G = K G = GK = GK K + K = G+ K K = G (4) () 1 ( 2) ( 3) ( 4) HM // = ZP HMPZ egy paralelogramma HZ = MP PM // X 17. Feladat dott két pont, és egy átmérőjű félkörön (c). Szerkesszük meg az paralelogrammát! izonyítsuk be, hogy és egyenesek párhuzamosak! Rajzoljuk be a és egyeneseket, H pontot, a és metszéspontját, valamint G pontot, és metszéspontját! O az átmérő = 90 o G, // G a háromszög magassága. Hasonlóan H a háromszög magassága. zért, G, H a háromszög két magassága a háromszög magasságpontja 18. Feladat Legyen adott egy egyenlőszárú háromszög és a körülírt köre (c). M a ív felezőpontja. Helyezzünk el egy tetszőleges K pontot a oldalon, és szerkesszünk merőlegest az MK-ra a K ponton keresztül, ami az és szárakat rendre a és pontban metszi. izonyítsuk be, hogy K=K. H G Z O M M M M = = M a szakasz felezőmerőlegese M átmérő M = M = 90 MK és M az MK négyszög húrnégyszög (kör írható kör) MK = MK (1) M K

22 MK és M az MK négyszög húrnégyszög MK = MK (2). M = M M = M (3) (1), (2), (3) MK = MK, ezért MK az M egyenlőszárú háromszög magassága és súlyvonala is egyben K = K. 19. Feladat Legyen háromszög olyan, hogy = 60, = 40 és O pont a 0 0 háromszög belsejében úgy, hogy O = 20 és O = 30. izonyítsuk be, hogy: (i) O = (ii) O = O K O Legyen K pont az egyenesen úgy, hogy: K= K szabályos háromszög. O = 30 O szögfelező O magasság és a K szakasz felezőmerőleges O=OK (1). z OK egyenlőszárú háromszögből OK = OK = 40 K = 180 K + KO + O = 80 K ( ) O O = 180 ( O + O) = 80 O = O O egyenlőszárú háromszög O = (2) z és K háromszögek egybevágóak (=K, OK = = 40, O = = 80 ) = (3) (2) és (3) állításból O = O O = O = 70. O egyenlőszárú háromszög O = O = 10, O = O = 10 O = O O egy egyenlőszárú háromszög, így O = O c ( ) 20. Feladat dott két kör ( ), a K és L középpontokkal rendre. két kör az és 1 c 2 pontokban metszi egymást úgy, hogy K L. Legyen pont a ( c1 ) körön! Továbbá az és egyenesek a ( kört rendre a Z és H pontokban metszik. izonyítsuk be, hogy ZH a ( ) c 2 c 2 kör átmérője! )

23 X Y Z K L H Rajzoljuk be az LZ, L, L, LH sugarakat! z LZ, L és LH háromszögek egyenlőszárúak. z L egyenes érinti a ( ) 1 c kört (L K). Legyen ZL=2a, Z=2b és LH=2c. X = 90 - a (húr és érintő). =90 -a, L=90 b és LH=90 -c + L + LH = 180, a + b + c = 90. zért 2a + 2b + 2c = 180, így Z, L, H pontok egy egyenesbe esnek.

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Elmélet 1. Mit értünk két pont, egy pont és egy egyenes, egy pont és egy sík, két metszı, két párhuzamos illetve két kitérı egyenes, egy egyenes és egy

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői

VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN. A feladatsor jellemzői VI.1. NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai: szögfelező, oldalfelező merőleges, magasság, beírt kör és középpontja, körülírt kör

Részletesebben

Geometria 1, normálszint

Geometria 1, normálszint Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás

Részletesebben

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések. Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = + ; a b y

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21. Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

Hasonlóság 10. évfolyam

Hasonlóság 10. évfolyam Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések 2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I. Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból 1 Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból Egy egyeneshez szerkessz egy adott ponton átmenő merőlegest! 1.Végy fel a síkon egy egyenest 2.Végy fel a síkon egy olyan pontot, amely nem az egyenesen

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály . feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,

Részletesebben