Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG osztályos matematika

Save this PDF as:
Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika"

Átírás

1 Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015.

2 Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki a hiányzó (betűvel jelölt) oldalakat! a.) b.) b x c y 24 c.) d.) f 7 t s 8 e e.) f.) 6 7 h g q 8 7 p m 8 6 A párhuzamos szelők tétele 1. Egy háromszög oldalai 4; 5; 6 egység hosszúak. Kössük össze a két hosszabbik oldal közös csúcsához közelebb eső negyedelőpontjait. a.) Bizonyítsuk be, hogy ez a szakasz párhuzamos a háromszög egyik oldalával! b.) Határozzuk meg ennek a szakasznak a hosszát! c.) Határozzuk meg a háromszögből lemetszett trapéz területét! 1.H Egy háromszög oldalai 7; 8; 9 egység hosszúak. Kössük össze a két rövidebbik oldal közös csúcsához közelebb eső harmadolópontjait. a.) Bizonyítsuk be, hogy ez a szakasz párhuzamos a háromszög egyik oldalával! b.) Határozzuk meg ennek a szakasznak a hosszát! c.) Számítsuk ki a háromszögből lemetszett trapéz területét! 2. Egy háromszög oldalai 10; 12; 15 cm hosszúak. Kössük össze a két rövidebb oldal megfelelő ötödölőpontjait úgy, hogy az összekötő szakaszoknak páronként ne legyen közös pontjuk! a.) Bizonyítsuk be, hogy ezek a szakaszok párhuzamosak! b.) Számítsuk ki a négy összekötő szakasz hosszát! c.) Mekkora területű idomokra vágják szét a háromszöget ezek a szakaszok? 2.H Egy háromszög oldalai 14; 15; 17 cm hosszúak. Kössük össze a két hosszabbik oldal megfelelő hetedelőpontjait úgy, hogy az összekötő szakaszoknak páronként ne legyen közös pontjuk! a.) Bizonyítsuk be, hogy ezek a szakaszok párhuzamosak! b.) Számítsuk ki a hat összekötő szakasz hosszát! c.) Mekkora területű idomokra vágják szét a háromszöget ezek a szakaszok? 3. Egy trapéz párhuzamos oldalai 5 és 9 cm hosszúak, a trapéz magassága 4 cm. Az egyik berajzolt magasság negyedelőpontjain át húzzunk párhuzamosokat a trapéz alapjaival. a.) Mekkora a trapéz szárainak meghosszabbításával keletkező háromszögnek az 5 cm-es alaphoz tartozó magassága? b.) Határozzuk meg a párhuzamosoknak a trapéz belsejébe eső darabjait! c.) Milyen arányban osztják ezek az egyenesek a trapéz szárait? d.) Mekkora területű részekre osztják ezek az egyenesek a trapézt? 3.H Egy trapéz párhuzamos oldalai 6 és 11 cm hosszúak, a trapéz magassága 7,5 cm. Az egyik berajzolt magasság ötödölőpontjain át húzzunk párhuzamosokat a trapéz alapjaival.

3 a.) Mekkora a trapéz szárainak meghosszabbításával keletkező háromszögnek az 5 cm-es alaphoz tartozó magassága? b.) Határozzuk meg a párhuzamosoknak a trapéz belsejébe eső darabjait! c.) Milyen arányban osztják ezek az egyenesek a trapéz szárait? d.) Mekkora területű részekre osztják ezek az egyenesek a trapézt? 4. Egy szabályos háromszög oldala 5 cm. Az egyik oldaltól 1 cm-re felvett párhuzamos egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre osztja. Határozzuk meg a két rész területét! 4.H a.) Egy szabályos háromszög oldala 5 cm. Az egyik oldaltól 3 cm-re felvett párhuzamos egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre osztja. Határozzuk meg a két rész területét! b.) Egy szabályos háromszög oldala 8 cm. Az egyik oldaltól 2 cm-re felvett egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre osztja. Mekkora a négyszög kerülete és területe? 5. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 36 cm; alapja 10 cm. A háromszöget az alapjától 4 cm távolságban futó egyenessel egy kisebb háromszögre és egy négyszögre vágjuk. a.) Határozzuk meg a kisebb háromszög köré írt és beírt körének sugarát! b.) Határozzuk meg a négyszög kerületét és területét! 5.H A.) Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 42 cm; szára 17 cm. A háromszöget az alapjától 5 cm távolságban futó egyenessel egy kisebb háromszögre és egy négyszögre vágjuk. a.) Határozzuk meg a kisebb háromszög köré írt és beírt körének sugarát! b.) Határozzuk meg a négyszög kerületét és területét! B.) Egy egyenlő szárú háromszög szára 11 cm-rel hosszabb az alapjánál, kerülete 64 cm. A háromszöget az alapjától 8 cm távolságban futó egyenessel egy kisebb háromszögre és egy négyszögre vágjuk. Számítsuk ki a négyszög átlóinak hosszát! 6. Egy háromszög oldalai: 10; 17; 21 cm. A leghosszabb oldaltól 2 cm távolságban húzott párhuzamos a háromszöget két részre vágja. a.) Mekkora hosszúságú részekre osztja ez a szakasz a másik két oldalt? b.) Mekkora a keletkező háromszög és négyszög területének aránya? 6.H Egy háromszög oldalai: 17; 39; 44 cm. A leghosszabb oldaltól 5 cm távolságban húzott párhuzamos a háromszöget két részre vágja. a.) Mekkora hosszúságú részekre osztja ez a szakasz a másik két oldalt? b.) Mekkora a keletkező háromszög és négyszög területének aránya? 7. Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 12 cm. A hosszabbik befogón a derékszögű csúcstól 7 cm-re felveszünk egy pontot, majd ezen át párhuzamost húzunk a másik befogóval. Ez az egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre bontja. a.) Határozzuk meg a négyszög oldalait! b.) Határozzuk meg a kisebb háromszög köré írható körének sugarát! 7.H Egy derékszögű háromszög befogói 7 cm és 24 cm. A hosszabbik befogón a derékszögű csúcstól 9 cm-re felveszünk egy pontot, majd ezen át párhuzamost húzunk a másik befogóval. Ez az egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre bontja. a.) Határozzuk meg a négyszög oldalait! b.) Határozzuk meg a kisebb háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonalát! Hasonlóság aránypáros feladatok 11. Egy háromszög oldalai 3 cm; 5 cm és 7 cm. Egy hozzá hasonló háromszögben a leghosszabb oldal 31,5 cm. Határozzuk meg a háromszög másik két oldalának hosszát! 11.H a.) Egy háromszög oldalai 4 cm; 5 cm; 7 cm. Egy hozzá hasonló háromszögben a legrövidebb oldal 42 cm. Határozzuk meg a háromszög másik két oldalának hosszát! b.) Egy háromszög oldalai 5 cm, 8 cm, 9 cm. Egy hozzá hasonló háromszögben a leghosszabb oldal 40,5 cm. Mekkora a háromszög másik két oldala? 12. Egy ház tervrajzán egy 5 m hosszú szoba 3 cm. A szoba 3,8 méteres szélességének a tervrajzon hány cm felel meg? 12.H a.) Egy gyárkémény árnyéka 26 m, ugyanakkor a merőlegesen földbe szúrt 80 cm magas karónak az árnyéka 18 cm. Milyen magas a gyárkémény? b.) Egy szoba méretarányos alaprajzán egy 50 cm széles asztal 7,5 cm széles. Mekkorának látszik az alaprajzon az asztal 85 cm-es hosszúsága? 13. Egy térkép méretaránya 1:500. A térképen felvett háromszög oldalai 6; 8; 10 cm-esek. a.) Mekkorák ezek az oldalak a valóságban? b.) Mekkora a háromszög területe a térképen ill. a valóságban? 13.H A.) Egy térkép méretaránya 1:300. A térképen felvett háromszög oldalai 7; 24; 25 cm-esek. a.) Mekkora a háromszög kerülete a térképen ill. a valóságban? b.) Mekkora a háromszög területe a térképen ill. a valóságban? c.) Mekkora a háromszög köré írható körének területe a térképen ill. a valóságban? d.) Mekkora a háromszög leghosszabb oldalához tartozó magasság a valóságban? B.) Egy térkép méretaránya 1: A térképen felvett derékszögű háromszög befogói 4 cm és 7,5 cm. a.) Mekkora a háromszög átfogója a valóságban? b.) Mekkora a háromszög területe a térképen illetve a valóságban? Hányszorosa a térképi területnek a valóságos terület? c.) Mekkora a háromszög beírt körének sugara a térképen ill. a valóságban? 14. Egy szabályos ötszög alakú terület az 1:150 méretarányú térképen 2 cm 2. a.) Mekkora ez a terület a valóságban? b.) Mekkora az ötszög oldala a térképen? c.) Mekkora az ötszög átlója a valóságban? 14.H Egy szabályos kilencszög alakú terület az 1:100 méretarányú térképen 4 cm 2.

4 a.) Mekkora ez a terület a valóságban? b.) Mekkora a kilencszög oldala a valóságban? c.) Mekkora a kilencszög leghosszabb átlója a térképen és a valóságban? d.) Mekkora a kilencszög köré írható körének sugara a térképen ill. a valóságban? e.) Mekkora a kilencszög oldalának középponti szöge a térképen ill. a valóságban? f.) Mekkora a kilencszög beírt körének sugara a térképen ill. a valóságban? 15. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 72 cm, alaphoz tartozó magassága 24 cm. Egy hozzá hasonló háromszög szárához tartozó magassága 67,2 cm. Mekkora az utóbbi háromszögnek a szárához tartozó súlyvonala? 15.H a.) Egy egyenlő szárú háromszög szárának és alapjának különbsége 6 cm, az alaphoz tartozó magasság 12 cm. Egy hozzá hasonló háromszög beírt körének sugara 10 cm. Mekkora ez utóbbi háromszögben a szárhoz tartozó súlyvonal? b.) Egy egyenlő szárú háromszög szárának és alapjának összege 160 cm, az alaphoz tartozó magassága 40 cm. Egy hozzá hasonló háromszög körülírt körének a sugara 25 cm. Határozzuk meg az utóbbi háromszögben a beírt kör területét! 16. Egy derékszögű háromszög befogói AC = 10 cm és BC = 24 cm. A hosszabbik befogón a derékszögű csúcstól 4,5 cm-re felveszünk egy P pontot. P pontnak az AB átfogóra eső merőleges vetületét jelölje Q. a.) Határozzuk meg a PQ szakasz hosszát! b.) Mekkora a PQAC négyszög kerülete és területe? c.) Mekkora a BPQ háromszögbe írható kör sugara? 16.H Egy derékszögű háromszög befogói AC = 16 cm és BC = 30 cm. Az átfogón az A csúcstól 11,5 cm-re felveszünk egy E pontot. Az E pontban az átfogóra állított merőleges a háromszög kerületét még egy pontban, F-ben metszi. a.) A háromszög melyik oldalára esik az F pont? b.) Határozzuk meg az EF távolságot! c.) Mekkora az ACFE négyszög kerülete és területe? d.) Mekkora az EFB háromszögbe írható körnek a sugara? 17. Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 4 cm hosszúak. Húzzuk meg a háromszög köré írható körének az oldalakkal párhuzamos és a megfelelő oldalhoz közelebbi érintőit. Ezek egy újabb háromszöget határoznak meg. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a kerületét! 17.H a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, a szárai 5 cm-esek. Húzzuk meg a háromszög köré írható körének az oldalakkal párhuzamos és a megfelelő oldalhoz közelebb futó érintőit. Ezek egy újabb háromszöget határoznak meg. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a kerületét és területét! b.) Egy derékszögű háromszög befogói 8 és 15 cm hosszúak. Húzzuk meg a háromszög köré írt körének az oldalakkal párhuzamos és az megfelelő oldalhoz közelebb futó érintőit. Ezek egy újabb háromszöget határoznak meg. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a kerületét és területét! 18. Egy egyenlő szárú háromszög két oldala 18 cm és 41 cm. a.) Mekkora a harmadik oldala? b.) Mekkora a háromszög beírt körének sugara? c.) Mekkorák a háromszög szögei? d.) Húzzuk meg a beírt körnek az oldalakkal párhuzamos érintőit! Ezek az eredeti háromszögből három kisebb háromszöget vágnak le. Mekkora ezen háromszögeknek a területe? e.) Határozzuk meg a kicsi háromszögek körülírt köreinek sugarát! 18.H Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 14 cm, kerülete 24 cm. a.) Mekkora a háromszög beírt körének sugara? b.) Mekkorák a háromszög szögei? c.) Húzzuk meg a beírt körnek az oldalakkal párhuzamos érintőit! Ezek az eredeti háromszögből három kisebb háromszöget vágnak le. Mekkora ezen háromszögeknek a kerülete és területe? d.) Határozzuk meg a levágott háromszögek körülírt köreinek sugarát! 19. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szárai 9 cm-esek. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a szárakat az alap végpontjaiban érinti? 19.H a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, a szárakat az alap két végpontjában érintő kör sugara 5 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? b.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 16 cm, a szára 17 cm. Számítsuk ki a köré írt és a beírt kör sugarát a hasonlóságban tanultak segítségével! 20.H Egy háromszög oldalai 6; 7; 9 cm-esek. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete 187 cm. Mekkorák ennek a háromszögnek az oldalai? 51 cm; 59,5 cm; 76,5 cm. Tizedikes szerkesztési feladatok hasonlóság 21. Adott a rajzlapon az a és a b szakasz, valamint az egységszakasz. Szerkesszük meg az ab, az 1/a, illetve az a/b szakaszokat! 21.H Adott a rajzlapon az x és az y szakasz, valamint az egységszakasz. Szerkesszük meg a 2xy, az 1/x, a 2/y, az x/y, a az y/x, illetve az x 2 szakaszokat. 22. Adott egy háromszög három magasságvonalának hossza. Szerkesszük meg a háromszöget! 22.H a.) Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük a magasságainak arányát és a beírt kör sugarát! b.) Egy háromszög magasságainak aránya 4:5:8, a körülírt kör sugara 8 cm. Szerkesszük meg a háromszöget! 23. Adott háromszögbe szerkesszünk szabályos háromszöget úgy, hogy egy-egy csúcsa a háromszög egy-egy oldalegyenesén legyen, és az egyik oldala az adott háromszög c oldalával legyen párhuzamos! 23.H a.) Adott háromszögbe szerkesszünk félkört úgy, hogy annak átmérője legyen a b oldallal párhuzamos, és a félkör érintse a b oldalt! b.) Szerkesszünk adott háromszögbe négyzetet úgy, hogy egy-egy csúcsa a b és a c oldalra, a másik kettő pedig az a oldalegyenesre illeszkedjék! c.) Szerkesszünk adott háromszögbe rombuszt úgy, hogy egyik szöge a háromszög α szögével közös legyen, a

5 másik három csúcs pedig a háromszög egy-egy oldalegyenesére essen! 24. Szerkesszünk trapézt, ha adott a két alapja, valamint az a két szög, amit az egyik alap zár be az átlókkal! 24.H a.) Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott az alap és a szár különbsége, valamint a szárak közötti szög! b.) Szerkesszünk háromszöget, ha adott két szöge és a kerülete! c.) Szerkesszünk háromszöget, ha adott két szöge és a beírt körének sugara! Hasonlóság befogótételes feladatok 31. Egy derékszögű háromszög befogói 13 cm és 84 cm hosszúak. Határozzuk meg a befogótétel segítségével, hogy mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság! 31.H a.) Egy derékszögű háromszög befogói 15 cm és 112 cm hosszúak. Határozzuk meg a befogótétel segítségével, hogy mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság! b.) Egy derékszögű háromszög befogói 4 és 5 cm hosszúak. Határozzuk meg a befogótétel segítségével, hogy mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság! 32. Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 6 cm és 7 cm hosszú szeletekre osztja. Határozzuk meg a háromszög befogóit! 32.H a.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 2 és 8 cm hosszú szeletekre osztja. Határozzuk meg a háromszög befogóit! 20 és 80 cm hosszúak, közelítő értékük: 4,472 cm és 8,944 cm. b.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 9 és 16 cm hosszú szeletekre osztja. Mekkora a háromszög kerülete és területe? K = 60 cm; T = 150 cm Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, a másik befogónak az átfogóra eső (merőleges) vetülete 1,8 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 33.H a.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 24 cm, a másik befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete 1,96 cm. Határozzuk meg a háromszög oldalait! 7 cm; 24 cm; 25 cm. b.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 7 egység, a másik befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete 6 egység. Mekkora a háromszög köré írható körének sugara? 3,5 egység. c.) Egy derékszögű háromszögben az egyik befogó 6 cm, ennek vetülete az átfogón 4 cm. Mekkora a másik befogó? 45 cm 6,708 cm. 34. Egy 31,5 cm sugarú kör AB húrjának az A-ból induló átmérőjére eső merőleges vetülete 7 cm. Milyen hosszú a húr? Mekkora szöget zár be az A-ból induló átmérővel? 34.H a.) Egy kör AB húrjának a B-ből induló 20 cm hosszú átmérőjére eső merőleges vetülete 5 cm. Mekkora a húr és mekkora középponti szög tartozik hozzá? b.) Mekkora annak a körnek a sugara, amelyben egy 28 cm hosszú húrnak a húr egyik végpontjából induló átmérőjére eső merőleges vetülete 7 cm hosszú? c.) Egy kör kerülete 18π egység. Mekkora a kör 12 cm hosszú húrjának az egyik végpontjából induló átmérőre eső merőleges vetülete? 35. Egy deltoid két oldala 9 és 12 dm hosszú. A deltoid két szemközti szöge derékszög. Milyen arányban osztják egymást a deltoid átlói? 35.H a.) Egy deltoid két szemközti szöge derékszög. A deltoid oldalai 4 cm és 7 cm hosszúak. Milyen arányban osztják egymást az átlók? b.) Egy deltoid egyik átlója a másikat 2:7 arányban osztja. A rövidebbik oldal 4 cm hosszú. A deltoid két szemközti szögének összege 180º. Mekkora a hosszabbik oldal és a hosszabbik átló? 36. Egy kör sugara 8 egység, középpontja az O pont. A körtől 9 cm távolságban felvett P pontból érintőket húzunk a körhöz. Mekkora szeletekre osztja a PO szakaszt az érintési pontokat összekötő húr? 36.H a.) Egy kör O középpontjától 20 cm távolságra felvett P pontból a körhöz 16 cm hosszú érintőszakaszok húzhatók. Mekkora hosszúságú részekre osztja a PO szakaszt az érintési pontokat összekötő húr? b.) Egy külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz egyenként 20 cm hosszú. Az érintési pontok által meghatározott szakasz a kör középpontjától 9 cm távolságban halad. Határozzuk meg a kör sugarát! (BEADANDÓ!) c.) Egy kör 30 cm hosszú húrja a középponttól 8 cm távolságban halad. A húr végpontjaiban a körhöz húzott érintők a körtől mekkora távolságban metszik egymást? 37. Derékszögű háromszög egyik befogója a másiknak háromszorosa. Milyen arányban osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság talppontja? 37.H Derékszögű háromszög egyik befogója a másiknak a.) ötszöröse; b.) n-szerese; c.) p/q-szorosa. Hogyan aránylanak egymáshoz az átfogónak a rábocsátott magasságvonal által levágott szeletei? 38. Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 3:4. A befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek különbsége 5,6 cm. Mekkora az átfogó? 38.H a.) Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 3:2. Az átfogónak a hozzá tartozó magasságvonal által levágott szeletei közül az egyik 2 cm-rel nagyobb a másiknál. Határozzuk meg az átfogó hosszát! b.) Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 3: 7, az átfogónak a hozzá tartozó magasság talppontja által levágott szeletei közül az egyik 8 cm-rel hosszabb a másiknál. Mekkora a háromszög területe? Hasonlóság magasságtételes feladatok 41. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága az átfogót 5 és 20 cm hosszú részekre osztja. Határozzuk meg ezt a magasságot! 41.H a.) Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága az átfogót 3 és 4 cm hosszú részekre osztja. Határozzuk meg ezt a magasságot! b.) Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága a 30 cm hosszú átfogót 1:2 arányú részekre osztja. Mekkora a háromszög legrövidebb magassága? 42. Szerkesszük meg egy 4 cm és egy 5 cm hosszú szakasz mértani közepét!

6 42.H a.) Szerkesszük meg egy 3 cm és egy 8 cm hosszú szakasz mértani közepét! b.) Keressünk olyan egész számpárokat, amelyeknek a mértani közepe is egész! 43. Szerkesszük meg egy adott szakasz négyzetgyökét! (A szakasz hossza legyen 3 cm, az egységszakasz 2 cm!) 43.H a.) Adott egy 3 cm hosszú szakasz. Szerkesszük meg a négyzetgyökét, ha az egységszakasz hossza 1 cm ill. 4 cm! b.) Egy szakasz hossza 6 cm, a négyzetgyöke 4 cm hosszú. Szerkesszük meg az egységszakaszt! 44. Adott két távolság összege és mértani középarányosuk. Szerkesszük meg a távolságokat! Végezzük el a szerkesztést, ha a távolságösszeg 10 cm, a mértani középarányos pedig 4 cm. 44.H a.) Adott két távolság számtani és mértani középarányosa. Szerkesszük meg az eredeti távolságokat! Végezzük el a szerkesztést, ha a számtani közép 7 cm, a mértani középarányos pedig 6 cm! b.) Adott két távolság szorzata és összege, valamint az egységszakasz. Szerkesszük meg az eredeti távolságokat! Végezzük el a szerkesztést, ha a szorzat 12 cm, az összeg 7 cm, az egységszakasz pedig 1 cm! c.) Két távolság mértani középarányosa és az egyik távolság ismeretében szerkesszük meg a másik távolságot! A szerkesztést végezzük el, ha a mértani középarányos 5 cm, az egyik távolság 7 cm hosszú! 45. Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm, az átfogóhoz tartozó magasság 4 cm. Határozzuk meg a háromszög kerületét! 45.H a.) Egy derékszögű háromszög átfogója 30 cm, az átfogóhoz tartozó magasság 9 cm. Határozzuk meg a háromszög leghosszabb magasságát! b.) Egy derékszögű háromszög köré írt körének sugara 10 cm-rel kisebb az átfogónál, és 4 cm-rel hosszabb a háromszög legrövidebb magasságánál. Mekkorák a háromszög szögei? 46. Egy O középpontú körhöz egy külső P pontból két érintőt húzunk. Az érintési pontok által meghatározott 8 cm hosszú szakasz a PO szakaszt két részre osztja. Az egyik rész hossza 2 cm. Milyen távol van a P pont a körvonaltól? 46.H Egy O középpontú körhöz egy külső P pontból két érintőt húzunk. Az érintési pontok által meghatározott szakasz a PO szakaszt egy 4 cm és egy 25 cm hosszú szakaszra osztja. a.) Mekkora az érintési pontokat összekötő húr? b.) Mekkora az érintőszakasz hossza? c.) Mekkora a kör sugara? d.) Mekkora a húr által határolt kisebbik körszelet magassága? e.) Milyen távol van P a körvonaltól? f.) Milyen távol van PO körvonalra eső pontja az érintési pontoktól? 47. Egy téglalap átlója 26 cm hosszú. Ettől az átlótól az egyik csúcs 12 cm-re van. Határozzuk meg a téglalap kerületét! 47.H a.) Egy téglalap átlója 24,4 cm hosszú. Ettől az átlótól az egyik csúcs 12 cm-re van. Mekkora szöget zárnak be a téglalap oldalai a vizsgált átlóval? b.) Egy téglalap átlóját az egyik csúcs őrá eső merőleges vetülete 13,5 cm és 24 cm hosszú részekre osztja. Mekkorák a téglalap oldalai? 48. Egy derékszögű trapéz átlói merőlegesen metszik egymást. A rövidebbik átlót a másik átló egy 27 és egy 48 cm hosszú darabra vágja. Határozzuk meg a trapéz oldalait és szögeit! 48.H a.) Egy derékszögű trapéz átlói merőlegesen metszik egymást. A rövidebbik átlót a másik átló egy 25 cm és egy 144 cm hosszú darabra vágja. Határozzuk meg a trapéz oldalait és szögeit! b.) Egy derékszögű trapéz átlói merőlegesen metszik egymást. A rövidebbik átló a másik átlót egy 25 cm és egy 144 cm hosszú darabra vágja. Határozzuk meg a trapéz oldalait és szögeit! 49. Egy egyenlő szárú háromszögben az alap felezőpontját levetítjük az egyik szárra. Ez a pont a szárat egy 3 és egy 12 cm hosszú szakaszra bontja. Határozzuk meg az egyenlő szárú háromszög területét! 49.H a.) Egy egyenlő szárú háromszög szárát a hozzá tartozó magasság egy 4 és egy 10 cm hosszú részre bontja. Mekkora részekre bontaná ugyanezt a szárat az alap felezőpontjának a reá eső merőleges vetülete? Ezen ismeret alapján határozzuk meg a szárhoz, majd az alaphoz tartozó magasságot! b.) Egy egyenlő szárú háromszög szárához tartozó magassága 10 cm. Az alap felezőpontjának a szárra eső vetülete a szárat 1:4 arányú részekre osztja. Mekkora az alaphoz tartozó magasság? c.) Egy egyenlő szárú háromszög szárához tartozó magasságának talppontját levetítjük az alapra. Ez a pont az alapot egy 2 cm és egy 8 cm hosszú szakaszra osztja. Mekkora a háromszög kerülete és területe? Hasonlóság szögfelező tételes feladatok 51. Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 4 egység hosszúak. Határozzuk meg, hogy a szögfelezők mekkora részekre osztják a háromszög oldalait! 51.H a.) Egy derékszögű háromszög befogói 5 és 12 egység hosszúak. Határozzuk meg, hogy a szögfelezők mekkora részekre osztják a háromszög oldalait! átfogót: 3,824 és 9,176; befogókat: 2,4 és 2,6; ill. 3,333 és 8,667. b.) Egy derékszögű háromszög átfogója 2, illetve 4 cm-rel hosszabb, mint a befogók. Határozzuk meg, hogy mekkora részekre osztja a derékszög felezője a szemközti oldalt! c.*) Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek oldalai is, valamint a szögfelezők által lemetszett szeletek is mind egész számmal mérhetők? Ha nincs, bizonyítsuk be, ha van, adjuk meg egy ilyennek az oldalait! 52. Egy derékszögű háromszög befogói 6 és 8 cm hosszúak. Milyen hosszú a 6 cm-es oldallal szemközti szög felezőjének a háromszögbe eső szakasza? 52.H a.) Egy derékszögű háromszög befogói 8 és 15 cm hosszúak. Milyen hosszú a háromszögnek a legrövidebb oldallal szemközti szögfelezője? b.) Mekkora az a.) feladatban szereplő háromszög másik két szögfelezője? 53. Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 78 és 187,2 egység hosszú részekre osztja. Mekkorák a befogók? 53.H a.) Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 4 és 5 cm hosszú szakaszokra osztja. Mekkorák a befogók? 5,622 cm; 7,028 cm b.) Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 2 és 1,5 cm hosszú szakaszokra osztja.

7 Mekkora szakaszokra osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság? c.) Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 5:12 arányban osztja. A háromszög köré írt körének sugara 45,5 cm. Mekkora a háromszög beírt körének sugara? (BE) 54. Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 1,5 és 2,5 cm hosszú szakaszokra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai? 54.H a.) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 6 és 6,5 cm hosszú szakaszokra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai? b.) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 10,5 és 37,5 cm hosszú részekre osztja. Mekkora részekre osztja a másik hegyesszög szögfelezője a másik befogót? c.) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 9 és 10 cm hosszú részekre osztja. Mekkora a háromszög kerülete? 55. Egy derékszögű háromszög befogói 7 és 24 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögfelezői? 55.H a.) Egy derékszögű háromszög befogói 10 és 24 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögfelezői? b.) Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 10 cm, körülírt körének sugara 25 cm. Mekkora a háromszög három szögfelezője? 56. Egy derékszögű háromszög befogói 8 cm és 15 cm. Határozzuk meg az átfogónak a hozzá tartozó magassággal, súlyvonallal és szögfelezővel alkotott metszéspontjainak (P,Q és R pontok) távolságát! 56.H Egy derékszögű háromszög befogói 30 cm és 40 cm. Határozzuk meg az átfogónak a hozzá tartozó magassággal, súlyvonallal és szögfelezővel alkotott metszéspontjainak távolságát! 57. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, szára 9 cm. Határozzuk meg, hogy mekkora részekre osztja valamelyik szárat a vele szemközti szög felezője! 57.H a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, a hozzá tartozó magasság 3 cm. Mekkora részekre osztja a szárat a szemközti szög felezője? b.) Egy egyenlő szárú háromszög egyik szárát a szemközti szög felezője 4 cm és 6 cm hosszú részekre osztja. Mekkora lehet a háromszög alapja? 58. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 7 cm, szára 13 cm. Határozzuk meg a háromszög szögfelezőinek az oldalakkal alkotott metszéspontjai által kijelölt háromszög területét! 58.H Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, szára 9 cm. Mekkora a háromszög szögfelezőinek az oldalakkal alkotott metszéspontjai által kijelölt háromszög területe? 59. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 13 cm. Milyen hosszúak az alapon fekvő szögek felezői? 59.H a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 14 cm, az alaphoz tartozó magasság 24 cm. Milyen hosszúak az alapon fekvő szögek felezői? b.) Egy egyenlő szárú háromszög egyik oldalát a szemközti szög felezője egy 20 cm és egy 30 cm hosszú szakaszra osztja. Milyen hosszú lehet ez a szögfelező? 60. Egy egyenlő szárú háromszög egyik szögfelezője a háromszöget egy 660 és egy 792 cm 2 területű háromszögre bontja. Határozzuk meg a háromszög kerületét, ha tudjuk, hogy mérőszáma egész! 60.H Egy egyenlő szárú háromszög egyik szögfelezője a háromszöget egy 673,2 és egy 633,6 egység területű háromszögre bontja. Határozzuk meg a háromszög oldalait! 61. Egy háromszög oldalai 5 cm; 6 cm, 7 cm. Határozzuk meg, hogy mekkora szakaszokra osztják az oldalakat a szemközti szögek felezői! 61.H a.) Egy háromszög oldalai 7, 8, 9 cm-esek. Határozzuk meg, hogy mekkora szakaszokra osztják az oldalakat a szemközti szögek felezői! b.) Egy háromszög egyik oldala 8 cm-es, a rajta fekvő egyik szög felezője a szemközti oldalt egy 3 cm és egy 4 cm hosszú szakaszra vágja szét. Mekkora lehet a harmadik oldal? Hasonlóság paraméteres és bizonyítási feladatok Az alapfeladatokat órán megbeszéljük. A házi feladat mindig az illető bizonyítások szép kidolgozása (beadásra mindegyik) illetve a kapcsolódó (általában a bizonyított tételt felhasználó, vagy hasonló elven bizonyítható) feladatok megoldása. A megoldásban az alaptételre szabad hivatkozni, azt újra nem kell bizonyítani. 71. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög középvonalai párhuzamosak a megfelelő oldalakkal és fele akkorák! 71.H a.) Egy háromszög középvonalai 8, 9 és 12 cm-esek. Mekkorák az oldalak? b.) Egy háromszög két középvonala 8 és 13 cm, az egyik oldal 20 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? c.) Egy háromszög két középvonala 7 és 11 cm. Milyen határok között változhat a háromszög kerülete? 72. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög szomszédos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszok mindig parallelogrammát határoznak meg! 72.H a.) Egy konvex négyszög átlói 8 és 15 cm hosszúak. Mekkora a szomszédos oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok alkotta négyszög kerülete? Legfeljebb mekkora lehet ennek a négyszögnek a területe? b.) Bizonyítsuk be, hogy a húrtrapéz szomszédos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszok mindig rombuszt határoznak meg! c.) Bizonyítsuk be, hogy a deltoid szomszédos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszok alkotta négyszög átlói felezik egymást és egyenlő hosszúak! 73. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlói a párhuzamos oldalak arányában osztják egymást! 73.H a.) Egy trapéz rövidebbik alapja 6 cm, az átlók metszéspontja a 10 cm-es átlót 2:3 arányban osztja. Mekkora a hosszabbik alap, illetve mekkora részekre osztja az átlók metszéspontja a 7 cm-es átlót? b.) Egy trapéz alapjai 7 és 13 cm-esek, átlóinak hossza 18 és 25 cm. Mekkora hosszúságú részekre vágják egymást az átlók? Ismétlő kérdés: határozzuk meg a trapéz szögeit és területét! c.) Egy derékszögű trapéz magassága 8 cm, rövidebbik alapja 6 cm, a rövidebbik átlóból a másik által lemetszett szakaszok egyike 50/7 cm. Mekkora részekre osztja rövidebbik átló a hosszabbikat? 74. Egy derékszögű háromszög befogói fölé rajzoljunk négyzeteket. Kössük össze az átfogó két végpontját a szemközti négyzet legtávolabbi csúcsával. Igazoljuk, hogy ez a két összekötő egyenes a befogókból egyenlő darabokat metsz

8 le a derékszög csúcsa mellett. 74.H a.) Egy derékszögű háromszög befogói 8 és 13 cm hosszúak. A befogók fölé kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átfogó két végpontját a szemközti négyzet legtávolabbi csúcsával. Mekkora részekre osztja ez a két egyenes a háromszög befogóit? b.) Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogói fölé kifelé négyzeteket szerkesztünk. Az átfogó két végpontját összekötjük a szemközti négyzet távolabbi csúcsával. Ez a két nyílt szakasz a háromszög kerületét két részre osztja. A rövidebbik rész 13 cm hosszú. Mekkora a hosszabbik rész? c.) Egy szakaszt osszunk két részre, majd mindkét rész fölé mint oldal fölé azonos irányban szerkesszünk négyzetet. Kössük össze a szakasz két végpontját a tőle távolabbi négyzet legtávolabbi csúcsával. Igazoljuk, hogy ez a két összekötő vonal a közös oldalon metszi egymást! 75. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső szakaszát az átlók metszéspontja éppen felezi! 75.H a.) Egy trapéz párhuzamos oldalai 6 cm és 10 cm. Határozzuk meg az átlók metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső darabját! b.) Egy trapéz párhuzamos oldalai a és c. Határozzuk meg az átlók metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső darabját! c.) Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső szakasza egyenlő az alapok harmonikus közepével! d.) Adott két szakasz. Szerkesszük meg a harmonikus közepüket! e.) Bizonyítsuk be mértani úton, hogy két különböző hosszúságú szakasz harmonikus közepe mindig kisebb a számtani közepüknél! 76. Igazoljuk, hogy ha egy trapéz belsejében akárhol húzunk is a párhuzamos oldalakkal párhuzamos egyenest, ennek az egyenesnek az a két darabja, mely az átló és az oldal között van, egyenlő! 76.H a.) Egy trapéz párhuzamos oldalai 10 és 15 cm. A nem párhuzamos oldalakat öt egyenlő részre osztjuk. A hosszabbik oldalhoz legközelebbi ötödölő pontokat összekötő szakaszból mekkora szeletet fog közre a két átló? b.) Mutassuk meg, hogy a 76. feladatban közölt állításnak egyszerű következménye a 75. feladat állítása. c.) Hosszabbítsuk meg egy trapéz nem párhuzamos oldalait, míg metszik egymást. Ezen a metszésponton át húzzunk a párhuzamos oldalakkal párhuzamos egyenest. Mutassuk ki, hogy ennek az egyenesnek az a két szelete, amely az oldalegyenesek metszéspontja és az átlóegyenesek közé esik, egyenlő! 77. Félkörbe másik félkört rajzolunk, melynek átmérője az elsőnek OAsugara. Az ezen felvett P pontból OA-ra merőlegest állítunk, mely a kisebb félkört K-ban, a nagyobbat L-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy AL 2 = 2AK 2! 77.H a.) Egy rombusz egyik csúcsán keresztül húzzunk a rombuszon kívül haladó e egyenest. A csúccsal szemközti oldalak meghosszabbításából az e egyenes p ill. q hosszúságú szakaszokat metsz ki. Bizonyítsuk be, hogy a rombusz oldala mértani közepe a p és q szakaszoknak. b.) Egy r sugarú körben adott egy h hosszúságú húr. A húr egyik végpontjában húzzunk érintőt, a húr másik végpontjának az érintőtől való távolságát jelöljük m-mel. Bizonyítsuk be, hogy a húr mértani közepe az átmérőnek és az utóbbi m szakasznak! c.) Igazoljuk, hogy a kör AB húrja az A-ból induló átmérő és erre az átmérőre eső vetületének mértani közepe! A dolgozatban (sajnos) általában valamelyik H feladattal kell majd megbirkózni. Ilyenkor a megoldáshoz hozzátartozik az alaptétel bizonyítása is (ha azt felhasználjuk a megoldás során), mivel az nem a törzsanyagban (ill. a felelés kérdései között) szerepel. Jó munkát! A felelés kérdései 81. A párhuzamos szelők tétele és megfordítása 82. A párhuzamos szelőszakaszok tétele 83. A középpontos λ-szoros nagyítás elvégzése 84. Hasonlósági leképezések meghatározása, példák 85. Két alakzat hasonlóságának feltétele 86. Háromszögek hasonlóságának négy alapesete 87. Négyszögek, sokszögek hasonlóságának feltételei 88. Szakasz felosztása 3, 5, 7, 9, stb. egyenlő részre; szakasz felosztása m:n arányban 89. A befogótétel 90. A magasságtétel 91. A szögfelező tétel 92. Szakasz reciprokának, négyzetgyökének, négyzetének megszerkesztése az egységszakasz ismeretében 93. Két szakasz szorzatának, hányadosának, mértani ill. harmonikus közepének megszerkesztése az egységszakasz ismeretében 94. Thálész tétele 95. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség algebrai és geometriai bizonyítása 96. A háromszög nevezetes vonalai (szakaszfelező merőlegesek, szögfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak, középvonalak) és pontjai (O, Q, M, S) 97. A négyszögek osztályozása oldalaik párhuzamossága ill. egyenlősége; átlóik szép tulajdonságai alapján 98. A középvonal tétel háromszögben ill. trapézban 99. A nevezetes szögek szögfüggvényei (0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ) Jó felkészülést!

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Hasonlóság 10. évfolyam

Hasonlóság 10. évfolyam Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! 1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Elmélet 1. Mit értünk két pont, egy pont és egy egyenes, egy pont és egy sík, két metszı, két párhuzamos illetve két kitérı egyenes, egy egyenes és egy

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések 2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I. Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 2. félév A kiadvány KHF/4631-13/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Geometria 1, normálszint

Geometria 1, normálszint Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III. Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét

Részletesebben

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Síkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög?

Síkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög? Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. b) Egy négyszögnek lehet 180 -nál

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk 1. feladatsor 2013.09.13. 1. Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk kifelé a BAXY és CBZT négyzeteket, illetve a CD és DE oldalára befelé a CDP Q és DERS négyzeteket.

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben