Matematika 8. osztály
|
|
- Liliána Balog
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019
2 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria A kör és részei Körök, érintők szerkesztése A Thalész-tétel A Püthagorasz-tétel Feladatok Körívek hossza, körcikkek területe Szerkesztési feladatok Középpontos nagyítás, kicsinyítés Szakasz arányos felosztása A hasonlóság alkalmazásai Szerkesztési feladatok Feladatok hasonlóságra Összefoglalás Témazáró dolgozat
3 64. óra. A kör és részei óra A kör és részei Megjegyzés. Geometriai alapfogalmak: pont, egyenes, sík Def. (Kör). Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Def. (Körív). A kört két pontja két körívre bontja. Def. (Zárt/nyílt körlap). Adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb/kisebb távolságra levő pontok halmazát a síkon zárt/nyílt körlapnak nevezzük. Def. (Körcikk). A körlapot két sugara két körcikkre bontja. Def. (Körgyűrű). A sík azon pontjainak halmaza melyek egy adott ponttól r-nél nem kisebb és R-nél nem nagyobb távolságra találhatók. Állítás. Kör és egyenes kölcsönös helyzete háromféle lehet. Külső egyenes: Ha a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja. Érintő: Egy metszéspontjuk van, az egyenes összes többi pontja külső pont. Szelő: Ha a körnek és az egyenesnek két metszéspontja van. Def. (Húr). A szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza. Def. (Körszelet). A körlapot egy szelője két körszeletre bontja. 1. Tétel. A kört érintő egyenes merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Bizonyítás. Indirekten tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, tehát, hogy az e érintő nem merőleges az E érintési pontban húzott sugárra. A kör O középpontjából bocsássunk merőlegest az e érintőre, a merőleges talppontja legyen T. Ekkor az OT E háromszögnek T -nél derékszöge van, és az ezzel szemközti OE oldala a sugár. A háromszögben OE = r átfogó, az OT < r befogó lenne. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a T a kör belső pontja lenne. Az e érintőnek nem lehet belső pontja. Így a feltevés hibás, az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. 2. Tétel. Körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Bizonyítás. Az OQP és az ORP háromszögek egybevágóak, mivel OR = OQ = r, OP közös és a nagyobbik oldallal szemközti szög egyenlő (derékszög az előző tétel miatt) A két háromszög egybevágósága miatt RP = QP, vagyis a külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. 64. Házi feladat. Írj az r sugarú körbe a oldalú téglalapot! Mekkora lehet a? 64. Szorgalmi feladat. Szerkessz egy r sugarú körbe egy adott e egyenessel párhuzamos, a hosszúságú húrt!
4 óra. Körök, érintők szerkesztése 65. óra Körök, érintők szerkesztése 1. Feladat. Szerkesszünk adott sugarú kört, mely egy szög szárait érinti! 2. Feladat. Szerkessz kör belső pontján át legrövidebb és leghosszabb húrokat! 3. Feladat. Egy kör kerületének egy pontjából egy átmérőt és egy sugárral egyenlő húrt rajzolunk. Mekkorák ezek szögei? 4. Feladat. Egy negyedkör ívének felezőpontjában szerkesszünk érintőt. Mekkora ennek a határoló egyenesek közötti része, ha a kör sugara 6 cm? 5. Feladat. Szerkesszünk egy kört, amely egy egyenest adott pontban érint, és átmegy egy kitűzött ponton! Legyen e az adott egyenes, E az érintési pont, P a kitűzött pont. E-ben merőlegest állítunk e-re, ez lesz m. A P E szakaszfelező merőlegese: f P E. Legyen f P E m = K. A K középpontú, KP sugarú kör a megoldás. 0 vagy 1 megoldás lehet. 65. Házi feladat. Szerkesszünk adott sugarú kört, melynek egy adott szakasz húrja! 65. Szorgalmi feladat. Szerkesszünk egy háromszögbe olyan kört, amely mindhárom oldalától 1 cm-re halad!
5 66. óra. A Thalész-tétel óra A Thalész-tétel 3. Tétel (Thalész tétele). Ha egy kör egy átmérőjének végpontjait összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelynek átfogója az átmérő. Bizonyítás. Kössük össze a kör AB átmérőjének két végpontját a körvonal egy tetszőleges C pontjával, majd a C pontot a kör O középpontjával. Az OC sugár a két háromszögre bontja az ABC háromszöget. Mindkét háromszög egyenlő szárú, hiszen AO = OC = OB. Ebből következik, hogy ACO = CAB és BCO = ABC. Az ABC szögeinek összege 2 ACO + 2 BCO = 180, ebből adódik, hogy a keresett szög nagysága: ACB = ACO + BCO = Tétel (Thelész-tétel megfordítása). Minden derékszögű háromszögben a köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. Bizonyítás. Adott az ABC derékszögű háromszög. Tükrözzük a háromszöget az AB átfogó F felezési pontjára. A C pont tükörképe D. Az BCAD síkidom téglalap, amelynek átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást az F pontban. Az F egyenlő távol van a háromszög mindhárom csúcsától, ezért ez a háromszög köré írt körének a középpontja. 6. Feladat. Adott két pont. Szerkesszünk az egyik pont körül kört úgy, hogy a másik pontból a körhöz húzott érintőszakasz adott hosszú legyen! Legyen a két adott pont P és Q, az érintőszakasz e. Az E érintési pont rajta van P Q Thalész körén, és e távolságra van P -től. A megoldás, ha létezik, a Q középpontú, QE sugarú kör. 7. Feladat. Írjunk kört az egyenlő szárú háromszög egyik szára, mint átmérő fölé. Bizonyítsuk be, hogy ez a kör felezi a háromszög alapját! AC szár, mint átmérő fölé írt kör Q-ban metszi AB alapot. A Thalész-tétel miatt AQC = 90. A CQ az ABC egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága, tehát felezi AB-t. 8. Feladat. Egy körön kívüli P ponthoz szerkesszünk a körön olyan M pontot, amelynek P -től mért távolsága a kör átmérőjével egyenlő. Az M-en átmenő körátmérő másik végpontja N. Lássuk be, hogy a P N felezőpontja a körön van! Legyen Q a P N szakasz és a kör közös pontja. A Thalész-tétel miatt MQN = 90 Az MQ az NP M egyenlő szárú háromszög NP alaphoz tartozó magassága Q felezi NP -t. 66. Házi feladat. Szerkesszük meg egy tetszőleges kör AB átmérőjét, bármelyik AC húrját és a húr meghosszabbítására mérjük fel a CD = AC szakaszt. Igazoljuk, hogy az ABD háromszög egyenlő szárú! 66. Szorgalmi feladat. Egy d hosszúságú szakasz két végpontja egy derékszög egy-egy szárán mozog. Mit ír le a szakasz felezőpontja? (geogebra segíthet)
6 óra. A Püthagorasz-tétel 67. óra A Püthagorasz-tétel 5. Tétel (Pitagorasz). Derékszögű háromszög két befogójának a négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével, tehát: a 2 + b 2 = c 2 Bizonyítás. Kettő a + b oldalú négyzetet készítünk, melyben a és b a derékszögű háromszög befogói. Axióma miatt ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők. Kaptunk 4 db, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszöget, és egy a illetve b oldalú négyzetet, melyek területe a 2 és b 2. A másik négyzetben is megtalálható a 4 darab, az eredetivel egybevágó derékszögű háromszög, amelynek átfogója c. Így a középső síkidom minden oldala c. Mivel az eredeti háromszögben α + β = 90, ezért ennek a síkidomnak minden szögére 180 (α + β) = 90, így ez egy c 2 területű négyzet.ha mindkét négyzetből elvesszük a 4 darab derékszögű háromszöget, a maradékok területe is egyenlő, azaz a 2 + b 2 = c 2 6. Tétel (Pitagorasz-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Bizonyítás. Indirekten tegyük fel, hogy ABC nem derékszögű, de a 2 + b 2 = c 2 teljesül rá. Létezik olyan ABC derékszögű háromszög, amelynek a befogói a és b, az átfogója k és a Pitagorasztétel miatt a 2 + b 2 = k 2. Ellentmondáshoz jutottunk, mert akkor az ABC egybevágó lenne az ABC derékszögű háromszöggel, ami lehetetlen, hiszen feltettük, hogy ABC nem derékszögű. 9. Feladat. Mekkora az 5 cm oldalú négyzet átlója? 10. Feladat. Mekkora a négyzet oldala, ha átlója 5 cm? 11. Feladat. Szabályos háromszög szögfelezői 6,93 cm hosszúak. Mekkora a magassága, az oldala és a területe? 12. Feladat. Mekkora a 10 cm oldalú, szabályos háromszög köré írható kör sugara? 13. Feladat. Egyenlő szárú háromszög alapja 3 cm, szárai 5 cm-esek. Mekkora a magassága és mekkora a területe? 14. Feladat. Mekkora átmerőjű fa hengerből lehet kivágni egy olyan gerendát, mely téglalap keresztmetszetű és 36 cm hosszú, és 22 cm széles? 15. Feladat. Milyen távol van egy 4 cm sugarú kör középpontjától az 5 cm-es húrja? 67. Házi feladat. Rombusz átlóinak hossza 24 cm és 70 cm. Számítsuk ki a rombusz oldalinak hosszát! 67. Szorgalmi feladat. Egy 10 cm sugarú körbe írt téglalap oldalainak aránya 3 : 4. Mekkorák az oldalai?
7 68. óra. Feladatok óra Feladatok 16. Feladat. Egy 25 m széles úton két szem közti ház közé kifeszített huzalra lámpát rögzítettek, melynek a belógása 50 cm. Milyen hosszú a huzal? 17. Feladat. Mekkora a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonalának hossza, ha a befogók nagysága 3 és 4 egység? 18. Feladat. Milyen hosszú kötelet kell rögzítenünk egy 100 m hosszú útszakasz két végén, ha azt a karjuk, hogy a kötelet középen felem elve egy 180 cm magas ember átsétálhasson alatta? 19. Feladat. Egy téglalap alakú parkon átlósan egy 260 m hosszú sétány vezet át. Mekkora területen terül el a park, ha egyik oldalának hossza 100 m? 20. Feladat. Egy 3 m magas létrát a falnak támasztunk. Milyen magasan érintkezik a létra a fallal, ha a lábai a faltól 0,5 m-re vannak? 21. Feladat. Egy falnak támasztott létra lába 2 m távolságra van a faltól, a teteje 6 m magasan a talajtól. Milyen hosszú a létra? 22. Feladat. Egy 17 cm sugarú körbe 30 cm hosszú húrt rajzolunk. Milyen messze van a húr a kör középpontjától? 23. Feladat. Milyen messze került a hajó a kikötőtől, ha először 9 km -t délnek, majd 40 km-t keletnek haladt? 68. Házi feladat. Egy derékszögű három szög két oldalának hossza 12 cm és 13 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal? 68. Szorgalmi feladat. Két 0,5 m sugarú csövet szorosan egymás mellé helyezünk, és egy harmadikat helyezünk rájuk. Milyen magasan van a felső cső teteje?
8 óra. Körívek hossza, körcikkek területe 69. óra Körívek hossza, körcikkek területe 69. Házi feladat. 69. Szorgalmi feladat. szorgalmi
9 70. óra. Szerkesztési feladatok óra Szerkesztési feladatok 24. Feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és a köré írt kör sugara! 25. Feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalon lévő egyik szöge és a köré írt kör sugara! 70. Házi feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó súlyvonal és a köré írt kör sugara! 70. Szorgalmi feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó súlyvonal és a magasságvonal!
10 óra. Középpontos nagyítás, kicsinyítés 71. óra Középpontos nagyítás, kicsinyítés Def. (Középpontos hasonlóság). Adott a sík egy O pontja és egy λ R \ {0} szám. Megadunk egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést a sík pontjai között, mely minden P ponthoz azt a P pontot rendeli, amire teljesül az alábbi: OP = λ OP Megjegyzés. Ha λ > 1, akkor nagyításról, ha λ < 1, akkor kicsinyítésről beszélünk. Ha λ = 1, akkor az identitásról (helybenhagyásról) van szó. Állítás. A középpontos hasonlóság tulajdonságai: 1. λ 1 esetén egyetlen fixpont van, a hasonlóság O középpontja. 2. O-ra illeszkedő egyenes képe önmaga O-ra nem illeszkedő egyenes képe egy vele párhuzamos egyenes. 4. Egyenestartó, tehát bármely egyenes képe egyenes. 5. Bármely két párhuzamos egyenes képe is két párhuzamos egyenes. 6. Szögtartó, azaz szög képe egy vele azonos nagyságú szög. 7. Aránytartó, tehát bármely két szakasz aránya megegyezik képeik arányával. 8. Irányítástartó, tehát nem változtatja meg az alakzatok körüljárási irányát. 26. Feladat. Egy adott háromszöget az egyik csúcsából nagyíts a másfélszeresére! 27. Feladat. Nagyítsunk háromszorosára egy háromszöget egy súlypontjából! 28. Feladat. Kicsinyítsünk egy négyzetet oldalán egy pontjából a felére! 29. Feladat. Adott egy háromszög. Szerkessz olyan négyzetet, aminek két csúcsa a háromszög oldalára, a másik két csúcsa a háromszög másik oldalaira illeszkedik. 30. Feladat. Szerkessz körcikkbe olyan kört, ami érinti a körívet és a sugarakat! 71. Házi feladat. Végezd el a λ = 3 arányú nyújtást a háromszögön csúcsából! 71. Szorgalmi feladat. Adott egy körcikk. Szerkessz bele olyan négyzetet, aminek két csúcsa a körívre, a másik két csúcsa egy-egy sugárra illeszkedik! 1 Invariáns egyenesnek nevezzük. Pontjai nem fixpontok.
11 72. óra. Szakasz arányos felosztása óra Szakasz arányos felosztása Állítás. Adott OB szakasz és keressük azt a A pontját, ami p : q arányban osztja. Az O kezdőpontú félegyenesre felmérve egy p hosszú szakaszt kapjuk az X pontot. Az X-ből a félegyenesre felmérve q hosszú szakaszt felmérve kapjuk az Y pontot. BY pontokra illeszkedő egyenessel párhuzamos X-re illeszkedő egyenes és az OB metszéspontja lesz a keresett A pont. Bizonyítás. Tekintsük az O középpontú λ = Ez Y pontot X-be viszi. p p+q arányú középpontos hasonlóságot. Mivel Y B egyenes képe vele párhuzamos egyenes, ami átmegy X-en, de át kell mennie a B képén is. A transzformáció aránytartó, így OB OY = OB OX = b + a p + q = a p p(b + a) = a(p + q) Az így kapott egyenletben felbontjuk a zárójelet és rendezzük és következőt kapjuk: a b = p q Tehát B pont képe éppen p : q arányban osztja OB. 31. Feladat. Készítsük el tetszőleges hosszúságú szakasz 2 : 3 arányú osztópontját! 72. Házi feladat. Készítsük el egy 9 cm hosszúságú szakasz 4 : 5 arányú osztópontját! Mérjük meg a szerkesztés hibáját és adjuk meg %-ban! 72. Szorgalmi feladat. Egy szakaszt osszunk 2 : 3 : 4 arányú részekre!
12 óra. A hasonlóság alkalmazásai 73. óra A hasonlóság alkalmazásai 32. Feladat. Rajzoljunk egy derékszögű trapézt. Az egyik alapon a derékszögű csúcsból kiindulva jelöljünk ki egy szakaszt. Szerkesszünk meg a trapéz kicsinyített képét úgy, hogy az így kapott kép egyik alapja az adott szakasszal legyen egyenlő. 33. Feladat. Adott a síkon O és P pont. Szerkesszük meg egy háromszög O középpontú hasonló képét úgy, hogy egyik oldalegyenes a P ponton menjen át! 73. Házi feladat. Adott egy O pont, egy e egyenes, továbbá egy AB szakasz. Szerkesszük meg az AB szakasz O középpontú hasonló képét úgy, hogy egyik végpontja e-re essen! 73. Szorgalmi feladat. Adott egy kör, rajta kívül egy O pont, továbbá a kör belsejében egy AB szakasz. Szerkesszük meg az AB szakasz O középpontú hasonló képét, hogy egyik végpontja a körön legyen!
13 74. óra. Szerkesztési feladatok óra Szerkesztési feladatok 34. Feladat. Egy háromszög AB oldalára kifelé szerkesszünk ABP Q négyzetet. Az oldallal szemközti C csúcsból kicsinyítsük le a négyzetet úgy, hogy a csúcsai a háromszög oldalegyeneseire essenek. Megoldás 35. Feladat. Egy háromszög egyik oldalára kifelé szerkesszünk az eredetivel egybevágó háromszöget. Az oldallal szemközti csúcsból kicsinyítsük le az új háromszöget úgy, hogy csúcsai az eredeti háromszög oldalegyeneseire essenek. Meg oldás 36. Feladat. Egyenlő szárú háromszög alapjára kifelé szerkesszünk szabályos háromszöget. Az alappal szemközti csúcsból kicsinyítsük le a szabályos háromszöget úgy, hogy a csúcsai az eredeti háromszög oldalegyeneseire essenek. Megoldás 37. Feladat. Egy derékszögű háromszögbe szerkesszünk olyan egyenlő szárú háromszöget, aminek csúcsai egy-egy oldalra esnek, alapja párhuzamos az átfogóval és szára másfélszerese az alapnak. Megoldás 38. Feladat. Szerkesszünk egy adott háromszögbe négyzetet úgy, hogy a négyzet csúcsai a háromszög oldalegyenesein legyenek! Megoldás 39. Feladat. Szerkesszünk egy adott háromszögbe olyan téglalapot, amelyben az oldalak aránya 2 : 3. Hány megoldás van? Megoldás 40. Feladat. Adott egy kör és 3 irány. Szerkesszük meg azt a háromszöget, melyek az irányokkal párhuzamosak, csúcsai pedig a kör kerületére esnek. Megoldás 74. Házi feladat. Adott egy négyzet, rajta kívül két egyenes, amelyek a négyzet két szomszédos oldalával párhuzamosak. Szerkesszünk az átlóegyeneseken olyan pontot, amelyből a négyzet középpontos hasonló képét megszerkesztve a kép két szomszédos oldala az adott egyenesekre esik. Megoldás 74. Szorgalmi feladat. Konvex sokszögbe illesszünk olyan négyzetet, melynek két csúcsa a köríven, másik kettő a határoló sugarakon helyezkedik el!
14 óra. Feladatok hasonlóságra 75. óra Feladatok hasonlóságra 41. Feladat. Adott háromszöghöz szerkesszünk hasonlót úgy, hogy kerülete egy adott szakasszal legyen egyenlő. 42. Feladat. Adott körszeletbe szerkesszünk egy négyzetet úgy, hogy a két csúcsa a határoló köríven, kettő pedig a határoló húron legyen. 43. Feladat. Téglalapból vágjunk le egy egyenessel az eredetihez hasonló téglalapot! 44. Feladat. Adott egy tetszőleges négyszög. Szerkesszünk olyan rombuszt, melynek csúcsai a négyszög oldalaira esnek, oldalai pedig az átlókkal párhuzamosak! 45. Feladat. Egy háromszög oldalai 8, 12, 16 egység. Hozzá hasonló háromszög legrövidebb oldala 1 cm. Mekkorák ezen háromszög oldalai? 46. Feladat. Két repülő 180 km-re van egymástól fél órával indulás után. Milyen messze lesznek egymástól 3/4 óra elteltével? 47. Feladat. Egy tervrajzon 5 m hosszú szoba 2 cm. Hány cm felel meg a valóságban 3,6 m szélességnek a rajzon? 48. Feladat. Festőlétra szárainak alátámasztási pontjai egymástól 1 méterre vannak egymástól. A létra legmagasabb pontja 2 méter magasan van. Milyen hosszú a talajtól 60 cm távolságra lévő lánc? 49. Feladat. Háromszög oldalainak aránya 3 : 4 : 5. Határozzuk meg annak az eredetihez hasonló háromszögnek az oldalait, melynek leghosszabb oldala 3 cm-rel hosszabb a legrövidebbnél! 50. Feladat. Egy merőlegesen 10 cm mélyen földbe szúrt 2 méteres karónak az árnyéka 1,62 méter. Milyen magas a gyárkémény, ha árnyéka 35,8 méter? 51. Feladat. 50 méter széles sportpályát 2 méter magas kerítés vesz körbe. A kerítéstől 500 méterre áll egy ház, melynek minden szintje 3 méter magas. Hányadik emeletről lehet belátni a pályára? 75. Házi feladat. Ezen az oldalon lévő feladatokat mindet meg kell tudni oldani! 75. Szorgalmi feladat. Igazold, hogy minden négyzet hasonló!
15 76. óra Összefoglalás 76. óra. Összefoglalás 15.
16 óra. Témazáró dolgozat 77. óra Témazáró dolgozat
17 Irodalomjegyzék 17. Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bid=MS-2308 [3] Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné. Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva: Matematika feladatgyűjtemény 8. [4] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I.
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Részletesebbena b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!
1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Részletesebben. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Részletesebben10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály IV. rész: Egyenletrendszerek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV.
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 8. osztály VI. rész: Térgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz
Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Elmélet 1. Mit értünk két pont, egy pont és egy egyenes, egy pont és egy sík, két metszı, két párhuzamos illetve két kitérı egyenes, egy egyenes és egy
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
Részletesebben8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben1.Háromszög szerkesztése három oldalból
1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
RészletesebbenA GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenSíkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög?
Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. b) Egy négyszögnek lehet 180 -nál
RészletesebbenKOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)
KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 2. félév A kiadvány KHF/4631-13/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
Részletesebben1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z
146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenTelepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
Részletesebben