Matematika 8. osztály

Átírás

1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019

2 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria A kör és részei Körök, érintők szerkesztése A Thalész-tétel A Püthagorasz-tétel Feladatok Körívek hossza, körcikkek területe Szerkesztési feladatok Középpontos nagyítás, kicsinyítés Szakasz arányos felosztása A hasonlóság alkalmazásai Szerkesztési feladatok Feladatok hasonlóságra Összefoglalás Témazáró dolgozat

3 64. óra. A kör és részei óra A kör és részei Megjegyzés. Geometriai alapfogalmak: pont, egyenes, sík Def. (Kör). Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Def. (Körív). A kört két pontja két körívre bontja. Def. (Zárt/nyílt körlap). Adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb/kisebb távolságra levő pontok halmazát a síkon zárt/nyílt körlapnak nevezzük. Def. (Körcikk). A körlapot két sugara két körcikkre bontja. Def. (Körgyűrű). A sík azon pontjainak halmaza melyek egy adott ponttól r-nél nem kisebb és R-nél nem nagyobb távolságra találhatók. Állítás. Kör és egyenes kölcsönös helyzete háromféle lehet. Külső egyenes: Ha a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja. Érintő: Egy metszéspontjuk van, az egyenes összes többi pontja külső pont. Szelő: Ha a körnek és az egyenesnek két metszéspontja van. Def. (Húr). A szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza. Def. (Körszelet). A körlapot egy szelője két körszeletre bontja. 1. Tétel. A kört érintő egyenes merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Bizonyítás. Indirekten tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, tehát, hogy az e érintő nem merőleges az E érintési pontban húzott sugárra. A kör O középpontjából bocsássunk merőlegest az e érintőre, a merőleges talppontja legyen T. Ekkor az OT E háromszögnek T -nél derékszöge van, és az ezzel szemközti OE oldala a sugár. A háromszögben OE = r átfogó, az OT < r befogó lenne. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a T a kör belső pontja lenne. Az e érintőnek nem lehet belső pontja. Így a feltevés hibás, az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. 2. Tétel. Körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Bizonyítás. Az OQP és az ORP háromszögek egybevágóak, mivel OR = OQ = r, OP közös és a nagyobbik oldallal szemközti szög egyenlő (derékszög az előző tétel miatt) A két háromszög egybevágósága miatt RP = QP, vagyis a külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. 64. Házi feladat. Írj az r sugarú körbe a oldalú téglalapot! Mekkora lehet a? 64. Szorgalmi feladat. Szerkessz egy r sugarú körbe egy adott e egyenessel párhuzamos, a hosszúságú húrt!

4 óra. Körök, érintők szerkesztése 65. óra Körök, érintők szerkesztése 1. Feladat. Szerkesszünk adott sugarú kört, mely egy szög szárait érinti! 2. Feladat. Szerkessz kör belső pontján át legrövidebb és leghosszabb húrokat! 3. Feladat. Egy kör kerületének egy pontjából egy átmérőt és egy sugárral egyenlő húrt rajzolunk. Mekkorák ezek szögei? 4. Feladat. Egy negyedkör ívének felezőpontjában szerkesszünk érintőt. Mekkora ennek a határoló egyenesek közötti része, ha a kör sugara 6 cm? 5. Feladat. Szerkesszünk egy kört, amely egy egyenest adott pontban érint, és átmegy egy kitűzött ponton! Legyen e az adott egyenes, E az érintési pont, P a kitűzött pont. E-ben merőlegest állítunk e-re, ez lesz m. A P E szakaszfelező merőlegese: f P E. Legyen f P E m = K. A K középpontú, KP sugarú kör a megoldás. 0 vagy 1 megoldás lehet. 65. Házi feladat. Szerkesszünk adott sugarú kört, melynek egy adott szakasz húrja! 65. Szorgalmi feladat. Szerkesszünk egy háromszögbe olyan kört, amely mindhárom oldalától 1 cm-re halad!

5 66. óra. A Thalész-tétel óra A Thalész-tétel 3. Tétel (Thalész tétele). Ha egy kör egy átmérőjének végpontjait összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelynek átfogója az átmérő. Bizonyítás. Kössük össze a kör AB átmérőjének két végpontját a körvonal egy tetszőleges C pontjával, majd a C pontot a kör O középpontjával. Az OC sugár a két háromszögre bontja az ABC háromszöget. Mindkét háromszög egyenlő szárú, hiszen AO = OC = OB. Ebből következik, hogy ACO = CAB és BCO = ABC. Az ABC szögeinek összege 2 ACO + 2 BCO = 180, ebből adódik, hogy a keresett szög nagysága: ACB = ACO + BCO = Tétel (Thelész-tétel megfordítása). Minden derékszögű háromszögben a köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. Bizonyítás. Adott az ABC derékszögű háromszög. Tükrözzük a háromszöget az AB átfogó F felezési pontjára. A C pont tükörképe D. Az BCAD síkidom téglalap, amelynek átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást az F pontban. Az F egyenlő távol van a háromszög mindhárom csúcsától, ezért ez a háromszög köré írt körének a középpontja. 6. Feladat. Adott két pont. Szerkesszünk az egyik pont körül kört úgy, hogy a másik pontból a körhöz húzott érintőszakasz adott hosszú legyen! Legyen a két adott pont P és Q, az érintőszakasz e. Az E érintési pont rajta van P Q Thalész körén, és e távolságra van P -től. A megoldás, ha létezik, a Q középpontú, QE sugarú kör. 7. Feladat. Írjunk kört az egyenlő szárú háromszög egyik szára, mint átmérő fölé. Bizonyítsuk be, hogy ez a kör felezi a háromszög alapját! AC szár, mint átmérő fölé írt kör Q-ban metszi AB alapot. A Thalész-tétel miatt AQC = 90. A CQ az ABC egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága, tehát felezi AB-t. 8. Feladat. Egy körön kívüli P ponthoz szerkesszünk a körön olyan M pontot, amelynek P -től mért távolsága a kör átmérőjével egyenlő. Az M-en átmenő körátmérő másik végpontja N. Lássuk be, hogy a P N felezőpontja a körön van! Legyen Q a P N szakasz és a kör közös pontja. A Thalész-tétel miatt MQN = 90 Az MQ az NP M egyenlő szárú háromszög NP alaphoz tartozó magassága Q felezi NP -t. 66. Házi feladat. Szerkesszük meg egy tetszőleges kör AB átmérőjét, bármelyik AC húrját és a húr meghosszabbítására mérjük fel a CD = AC szakaszt. Igazoljuk, hogy az ABD háromszög egyenlő szárú! 66. Szorgalmi feladat. Egy d hosszúságú szakasz két végpontja egy derékszög egy-egy szárán mozog. Mit ír le a szakasz felezőpontja? (geogebra segíthet)

6 óra. A Püthagorasz-tétel 67. óra A Püthagorasz-tétel 5. Tétel (Pitagorasz). Derékszögű háromszög két befogójának a négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével, tehát: a 2 + b 2 = c 2 Bizonyítás. Kettő a + b oldalú négyzetet készítünk, melyben a és b a derékszögű háromszög befogói. Axióma miatt ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők. Kaptunk 4 db, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszöget, és egy a illetve b oldalú négyzetet, melyek területe a 2 és b 2. A másik négyzetben is megtalálható a 4 darab, az eredetivel egybevágó derékszögű háromszög, amelynek átfogója c. Így a középső síkidom minden oldala c. Mivel az eredeti háromszögben α + β = 90, ezért ennek a síkidomnak minden szögére 180 (α + β) = 90, így ez egy c 2 területű négyzet.ha mindkét négyzetből elvesszük a 4 darab derékszögű háromszöget, a maradékok területe is egyenlő, azaz a 2 + b 2 = c 2 6. Tétel (Pitagorasz-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Bizonyítás. Indirekten tegyük fel, hogy ABC nem derékszögű, de a 2 + b 2 = c 2 teljesül rá. Létezik olyan ABC derékszögű háromszög, amelynek a befogói a és b, az átfogója k és a Pitagorasztétel miatt a 2 + b 2 = k 2. Ellentmondáshoz jutottunk, mert akkor az ABC egybevágó lenne az ABC derékszögű háromszöggel, ami lehetetlen, hiszen feltettük, hogy ABC nem derékszögű. 9. Feladat. Mekkora az 5 cm oldalú négyzet átlója? 10. Feladat. Mekkora a négyzet oldala, ha átlója 5 cm? 11. Feladat. Szabályos háromszög szögfelezői 6,93 cm hosszúak. Mekkora a magassága, az oldala és a területe? 12. Feladat. Mekkora a 10 cm oldalú, szabályos háromszög köré írható kör sugara? 13. Feladat. Egyenlő szárú háromszög alapja 3 cm, szárai 5 cm-esek. Mekkora a magassága és mekkora a területe? 14. Feladat. Mekkora átmerőjű fa hengerből lehet kivágni egy olyan gerendát, mely téglalap keresztmetszetű és 36 cm hosszú, és 22 cm széles? 15. Feladat. Milyen távol van egy 4 cm sugarú kör középpontjától az 5 cm-es húrja? 67. Házi feladat. Rombusz átlóinak hossza 24 cm és 70 cm. Számítsuk ki a rombusz oldalinak hosszát! 67. Szorgalmi feladat. Egy 10 cm sugarú körbe írt téglalap oldalainak aránya 3 : 4. Mekkorák az oldalai?

7 68. óra. Feladatok óra Feladatok 16. Feladat. Egy 25 m széles úton két szem közti ház közé kifeszített huzalra lámpát rögzítettek, melynek a belógása 50 cm. Milyen hosszú a huzal? 17. Feladat. Mekkora a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonalának hossza, ha a befogók nagysága 3 és 4 egység? 18. Feladat. Milyen hosszú kötelet kell rögzítenünk egy 100 m hosszú útszakasz két végén, ha azt a karjuk, hogy a kötelet középen felem elve egy 180 cm magas ember átsétálhasson alatta? 19. Feladat. Egy téglalap alakú parkon átlósan egy 260 m hosszú sétány vezet át. Mekkora területen terül el a park, ha egyik oldalának hossza 100 m? 20. Feladat. Egy 3 m magas létrát a falnak támasztunk. Milyen magasan érintkezik a létra a fallal, ha a lábai a faltól 0,5 m-re vannak? 21. Feladat. Egy falnak támasztott létra lába 2 m távolságra van a faltól, a teteje 6 m magasan a talajtól. Milyen hosszú a létra? 22. Feladat. Egy 17 cm sugarú körbe 30 cm hosszú húrt rajzolunk. Milyen messze van a húr a kör középpontjától? 23. Feladat. Milyen messze került a hajó a kikötőtől, ha először 9 km -t délnek, majd 40 km-t keletnek haladt? 68. Házi feladat. Egy derékszögű három szög két oldalának hossza 12 cm és 13 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal? 68. Szorgalmi feladat. Két 0,5 m sugarú csövet szorosan egymás mellé helyezünk, és egy harmadikat helyezünk rájuk. Milyen magasan van a felső cső teteje?

8 óra. Körívek hossza, körcikkek területe 69. óra Körívek hossza, körcikkek területe 69. Házi feladat. 69. Szorgalmi feladat. szorgalmi

9 70. óra. Szerkesztési feladatok óra Szerkesztési feladatok 24. Feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és a köré írt kör sugara! 25. Feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalon lévő egyik szöge és a köré írt kör sugara! 70. Házi feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó súlyvonal és a köré írt kör sugara! 70. Szorgalmi feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó súlyvonal és a magasságvonal!

10 óra. Középpontos nagyítás, kicsinyítés 71. óra Középpontos nagyítás, kicsinyítés Def. (Középpontos hasonlóság). Adott a sík egy O pontja és egy λ R \ {0} szám. Megadunk egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést a sík pontjai között, mely minden P ponthoz azt a P pontot rendeli, amire teljesül az alábbi: OP = λ OP Megjegyzés. Ha λ > 1, akkor nagyításról, ha λ < 1, akkor kicsinyítésről beszélünk. Ha λ = 1, akkor az identitásról (helybenhagyásról) van szó. Állítás. A középpontos hasonlóság tulajdonságai: 1. λ 1 esetén egyetlen fixpont van, a hasonlóság O középpontja. 2. O-ra illeszkedő egyenes képe önmaga O-ra nem illeszkedő egyenes képe egy vele párhuzamos egyenes. 4. Egyenestartó, tehát bármely egyenes képe egyenes. 5. Bármely két párhuzamos egyenes képe is két párhuzamos egyenes. 6. Szögtartó, azaz szög képe egy vele azonos nagyságú szög. 7. Aránytartó, tehát bármely két szakasz aránya megegyezik képeik arányával. 8. Irányítástartó, tehát nem változtatja meg az alakzatok körüljárási irányát. 26. Feladat. Egy adott háromszöget az egyik csúcsából nagyíts a másfélszeresére! 27. Feladat. Nagyítsunk háromszorosára egy háromszöget egy súlypontjából! 28. Feladat. Kicsinyítsünk egy négyzetet oldalán egy pontjából a felére! 29. Feladat. Adott egy háromszög. Szerkessz olyan négyzetet, aminek két csúcsa a háromszög oldalára, a másik két csúcsa a háromszög másik oldalaira illeszkedik. 30. Feladat. Szerkessz körcikkbe olyan kört, ami érinti a körívet és a sugarakat! 71. Házi feladat. Végezd el a λ = 3 arányú nyújtást a háromszögön csúcsából! 71. Szorgalmi feladat. Adott egy körcikk. Szerkessz bele olyan négyzetet, aminek két csúcsa a körívre, a másik két csúcsa egy-egy sugárra illeszkedik! 1 Invariáns egyenesnek nevezzük. Pontjai nem fixpontok.

11 72. óra. Szakasz arányos felosztása óra Szakasz arányos felosztása Állítás. Adott OB szakasz és keressük azt a A pontját, ami p : q arányban osztja. Az O kezdőpontú félegyenesre felmérve egy p hosszú szakaszt kapjuk az X pontot. Az X-ből a félegyenesre felmérve q hosszú szakaszt felmérve kapjuk az Y pontot. BY pontokra illeszkedő egyenessel párhuzamos X-re illeszkedő egyenes és az OB metszéspontja lesz a keresett A pont. Bizonyítás. Tekintsük az O középpontú λ = Ez Y pontot X-be viszi. p p+q arányú középpontos hasonlóságot. Mivel Y B egyenes képe vele párhuzamos egyenes, ami átmegy X-en, de át kell mennie a B képén is. A transzformáció aránytartó, így OB OY = OB OX = b + a p + q = a p p(b + a) = a(p + q) Az így kapott egyenletben felbontjuk a zárójelet és rendezzük és következőt kapjuk: a b = p q Tehát B pont képe éppen p : q arányban osztja OB. 31. Feladat. Készítsük el tetszőleges hosszúságú szakasz 2 : 3 arányú osztópontját! 72. Házi feladat. Készítsük el egy 9 cm hosszúságú szakasz 4 : 5 arányú osztópontját! Mérjük meg a szerkesztés hibáját és adjuk meg %-ban! 72. Szorgalmi feladat. Egy szakaszt osszunk 2 : 3 : 4 arányú részekre!

12 óra. A hasonlóság alkalmazásai 73. óra A hasonlóság alkalmazásai 32. Feladat. Rajzoljunk egy derékszögű trapézt. Az egyik alapon a derékszögű csúcsból kiindulva jelöljünk ki egy szakaszt. Szerkesszünk meg a trapéz kicsinyített képét úgy, hogy az így kapott kép egyik alapja az adott szakasszal legyen egyenlő. 33. Feladat. Adott a síkon O és P pont. Szerkesszük meg egy háromszög O középpontú hasonló képét úgy, hogy egyik oldalegyenes a P ponton menjen át! 73. Házi feladat. Adott egy O pont, egy e egyenes, továbbá egy AB szakasz. Szerkesszük meg az AB szakasz O középpontú hasonló képét úgy, hogy egyik végpontja e-re essen! 73. Szorgalmi feladat. Adott egy kör, rajta kívül egy O pont, továbbá a kör belsejében egy AB szakasz. Szerkesszük meg az AB szakasz O középpontú hasonló képét, hogy egyik végpontja a körön legyen!

13 74. óra. Szerkesztési feladatok óra Szerkesztési feladatok 34. Feladat. Egy háromszög AB oldalára kifelé szerkesszünk ABP Q négyzetet. Az oldallal szemközti C csúcsból kicsinyítsük le a négyzetet úgy, hogy a csúcsai a háromszög oldalegyeneseire essenek. Megoldás 35. Feladat. Egy háromszög egyik oldalára kifelé szerkesszünk az eredetivel egybevágó háromszöget. Az oldallal szemközti csúcsból kicsinyítsük le az új háromszöget úgy, hogy csúcsai az eredeti háromszög oldalegyeneseire essenek. Meg oldás 36. Feladat. Egyenlő szárú háromszög alapjára kifelé szerkesszünk szabályos háromszöget. Az alappal szemközti csúcsból kicsinyítsük le a szabályos háromszöget úgy, hogy a csúcsai az eredeti háromszög oldalegyeneseire essenek. Megoldás 37. Feladat. Egy derékszögű háromszögbe szerkesszünk olyan egyenlő szárú háromszöget, aminek csúcsai egy-egy oldalra esnek, alapja párhuzamos az átfogóval és szára másfélszerese az alapnak. Megoldás 38. Feladat. Szerkesszünk egy adott háromszögbe négyzetet úgy, hogy a négyzet csúcsai a háromszög oldalegyenesein legyenek! Megoldás 39. Feladat. Szerkesszünk egy adott háromszögbe olyan téglalapot, amelyben az oldalak aránya 2 : 3. Hány megoldás van? Megoldás 40. Feladat. Adott egy kör és 3 irány. Szerkesszük meg azt a háromszöget, melyek az irányokkal párhuzamosak, csúcsai pedig a kör kerületére esnek. Megoldás 74. Házi feladat. Adott egy négyzet, rajta kívül két egyenes, amelyek a négyzet két szomszédos oldalával párhuzamosak. Szerkesszünk az átlóegyeneseken olyan pontot, amelyből a négyzet középpontos hasonló képét megszerkesztve a kép két szomszédos oldala az adott egyenesekre esik. Megoldás 74. Szorgalmi feladat. Konvex sokszögbe illesszünk olyan négyzetet, melynek két csúcsa a köríven, másik kettő a határoló sugarakon helyezkedik el!

14 óra. Feladatok hasonlóságra 75. óra Feladatok hasonlóságra 41. Feladat. Adott háromszöghöz szerkesszünk hasonlót úgy, hogy kerülete egy adott szakasszal legyen egyenlő. 42. Feladat. Adott körszeletbe szerkesszünk egy négyzetet úgy, hogy a két csúcsa a határoló köríven, kettő pedig a határoló húron legyen. 43. Feladat. Téglalapból vágjunk le egy egyenessel az eredetihez hasonló téglalapot! 44. Feladat. Adott egy tetszőleges négyszög. Szerkesszünk olyan rombuszt, melynek csúcsai a négyszög oldalaira esnek, oldalai pedig az átlókkal párhuzamosak! 45. Feladat. Egy háromszög oldalai 8, 12, 16 egység. Hozzá hasonló háromszög legrövidebb oldala 1 cm. Mekkorák ezen háromszög oldalai? 46. Feladat. Két repülő 180 km-re van egymástól fél órával indulás után. Milyen messze lesznek egymástól 3/4 óra elteltével? 47. Feladat. Egy tervrajzon 5 m hosszú szoba 2 cm. Hány cm felel meg a valóságban 3,6 m szélességnek a rajzon? 48. Feladat. Festőlétra szárainak alátámasztási pontjai egymástól 1 méterre vannak egymástól. A létra legmagasabb pontja 2 méter magasan van. Milyen hosszú a talajtól 60 cm távolságra lévő lánc? 49. Feladat. Háromszög oldalainak aránya 3 : 4 : 5. Határozzuk meg annak az eredetihez hasonló háromszögnek az oldalait, melynek leghosszabb oldala 3 cm-rel hosszabb a legrövidebbnél! 50. Feladat. Egy merőlegesen 10 cm mélyen földbe szúrt 2 méteres karónak az árnyéka 1,62 méter. Milyen magas a gyárkémény, ha árnyéka 35,8 méter? 51. Feladat. 50 méter széles sportpályát 2 méter magas kerítés vesz körbe. A kerítéstől 500 méterre áll egy ház, melynek minden szintje 3 méter magas. Hányadik emeletről lehet belátni a pályára? 75. Házi feladat. Ezen az oldalon lévő feladatokat mindet meg kell tudni oldani! 75. Szorgalmi feladat. Igazold, hogy minden négyzet hasonló!

15 76. óra Összefoglalás 76. óra. Összefoglalás 15.

16 óra. Témazáró dolgozat 77. óra Témazáró dolgozat

17 Irodalomjegyzék 17. Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bid=MS-2308 [3] Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné. Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva: Matematika feladatgyűjtemény 8. [4] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I.