Egybevágóság szerkesztések

Átírás

1 Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes tükrözés egyenese az AA szakasz felezőmerőlegese. Erre tükrözve a trapéz pontjait megkapjuk a tükörképét. 1. adatok felvétele: ABCD trapéz, A a BC oldal felezőpontja; 2. t az AA felezőmerőlegese; 3. B, C, D rendre a B, C, D pontok t tengelyre vonatkoztatott tükörképe; 4. az A B C D trapéz. 2. Szerkesszük meg az egyenlő oldalú ABC háromszöget, ha adott a háromszög beírt k köre és a háromszög egyik oldalának M pontja (M pont nem illeszkedik a k körre). 1. adatok felvétele: M pont és a k (S; r) kör; 2. O az MS szakasz középpontja; 3. k 1 (O; r 1 = OS) kör; 4. T a k 1 és k körök metszéspontja; 5. c = MT egyenes; 6. a, ill b a c egyenes S pont körüli 120, ill os elforgatotja; 7. A, B, C pont rendre a b és c, c és a, a és b metszéspontja; 8. ABC háromszög. A megoldások száma 2. A háromszög beírt körének középpontja a szögfelezők metszéspontja. Mivel a háromszög szabályos, ezért az oldalakra merőleges sugarak egymással 120 -os szöget zárnak be. Így ha az AB oldalt az S pont körül 120 -os szöggel mindkét irányba elforgatjuk, akkor a kapott egyenesre a háromszög oldalai illeszkedni fognak. Elegendő márcsak az AB oldalt megszerkeszteni. Az AB egyenes érinti a k beírt kört és áthalad a az M ponton. A T pontból az AS szakasz derékszög alatt látszik, ezért Thálész-tétele miatt illeszkedik az MS fölé szerkesztett körre, valamint a k körre is. 3. A koordinátarendszerben adott a k (S; r) kör és a T pont. Szerkesszük meg az egyenlőszárú ABC háromszöget úgy, hogy a T pont a súlypontja legyen, az AB alap párhuzamos legyen a második negyed p szögfelezőjével, az A csúcs az x tengelyen, B csúcs pedig a k körön legyen. S [ 2; 5 2], T [ 0; 3 2], r = 3 2.

2 Mivel az ABC egyenlő szárú, alapja AB, ezért az AB szakasz felezőmerőlegesére szimmetrikus. Tudjuk, hogy a B pont a k körre, A pont bedig az x tengelyre illeszkedik, ezért az x tengely szögfelezőjére vonatkozó tükörképe áthalad a B pontton. Tehát ahol metszi az x tengely tükörképe a k kört ott lesz a B csúcspont 1. adatok felvétele: k (S; r) kör, T pont és a második negyed e szögfelezője; 2. t a T ponton áthaladó e egyenesre merőleges; 3. x egyenes az x tengely t egyenere vonatkoztatott tükörképe; 4. B a k kör és az x egyenes metszéspontja; 5. A a B pont t egyenesre vonatkoztatott tükörképe; 6. D a t és az AB egyenes metszéspontja; 7. C illeszkedik a DT félegyenesre és DC = 3 DT (T súlypont harmadolja a súlyvonalat); 8. ABC háromszög. A feladatnak két megoldása van. 4. Adott az MP N = 45. A P N félegyenes belsejében adott az A és a B pont úgy, hogy P A = 4 cm, P B = 14 cm. Szerkesszük meg a P M félegyenesen úgy az X, Y pontokat, hogy az AXY B négyszögben teljesüljenek a következő összefüggések: AXY = XY B, valamint XY = 3 cm. Ha az A pontot a P M egyenesre tükrözzük, majd d hosszúsággal P M egyenessel párhuzamosan jobbra eltoljuk, akkor a kapott A és a B pontot összekötő szakasz az MP egyenest Y pontban metszi, mivel az Y ponttál bejelölt szögek egyenlők és így csúcsszögek. Ez azért van mert a feltétel miatt AXY = BY X és a tükrözés, illetve az eltolás a szög nagyságát nem változtatja meg. Ezek után már nyilvánvaló a szerkesztés.

3 (a) adatok felvétele: MP N = 45 szög, A és B pont a feltételnek megfelelően, d = 3 cm hosszú szakasz; (b) A az A pont P M egyenesre vonatkozó tükörképe; (c) A az A pont d hosszúságú, P M irányú jobbra való eltoltja; (d) Y az A B és P M egyenes metszéspontja; (e) X a P Y belső pontja és XY = d; (f) AXY B négyszög. A feladatnak egy megoldása van. 5. Adott a P CQ háromszög és a belsejében egy T pont. Szerkesszünk ABC háromszöget úgy, hogy a T pont a súlypontja legyen, az A pont a CP, a B pont pedig a CQ félegyenesen feküdjék. 6. Adott három nem egy egyenesen fekvő A, B, S pont. Szerkesszünk MNP Q négyzetet úgy, hogy középpontja az S pont legyen, MN egyenes áthalad az A ponton, a P Q egyenes pedig a B ponton. Ha az A pontot tükrözöm az S középpontra, akkor a képe a QP egyenesre illeszkedik. Ha viszont a B pontot tükrözöm az S középpontra, akkor a képe az MN egyenesre illeszkedik. Ezt tudva már a szerkesztés könnyen véghez vihető. 1. az adatok felvétele: A, B, S nem illeszkednek egy egyenesre; 2. az A, B pont rendre az A, B pont S pontra vonatkozó tükörképe; 3. a, b rendre az AB, A B egyenes; 4. a, illetve a egyenes az a egyenes S pont körüli 90, illetve 90 -os elforgatotja; 5. M, N, P, Q pont rendre az a és a, az a és a, a b és a, a b és a metszéspontja; 6. MNP Q négyzet. A feladatnak csak egy megoldása van. 7. Adott az S középpontú r sugarú k kör, a p egyenes és egy d hosszúságú szakasz. Szerkesszünk a k körbe olyan húrt, amely a p egyenessel párhuzamos és hossza egyenlő d-vel.

4 Ha az A pontot d hosszúsággal, p egyenessel párhuzamosan az ábrán látható irányban eltoljuk, akkor a a képe a B pont lesz. Emiatt a k kör k képe áthalad a B ponton, ami a két kör metszéspontja. Ezek után már könnyen megszerkeszthető az AB húr. 1. adatok felvétele: k (S; r) kör, p egyenes, d hosszúságú szakasz; 2. k kör a k kör d hosszúsággal p-vel párhuzamosan felfelé irányban való eltoltja; 3. B a k és k kör metszéspontja; 4. A a B pont d hosszúsággal p-vel párhuzamosan lefelé való eltoltja; 5. AB húr. Jelen esetben a megoldások száma Adott három koncentrikus kör. Szerkesszünk egyenlő oldalú ABC háromszöget úgy, hogy a csúcsai egy-egy körre illeszkedjenek. 1. adatok felvétele: k 1, k 2, k 3 koncentrikus körök; 2. A a k 2 körre illeszkedik; 3. k 3 a k 3 kör A pont körüli 60 -os elforgatottja; 4. C a k 1 és k 3 metszéspontja; 5. B pont a C pont A körüli 60 -os elforgatottja; 6. ABC szabályos háromszög. A feladatnak két megoldása van. Ha a B pontot az A pont körül pzitív irányba 60 -os szöggel elforgatjuk a képe a C pont lesz, mivel az ABC háromszög szabályos.ha ugyanígy elforgatjuk a k 3 kört, akkor a kapott k 3 kör a k 1 kört a C pontban metszi. Vagyis nincs más dolgunk, mint az A pont körül elforgatni a k 3 kört és megkeresni a metszéspontot. Ezután már egyszerű megszerkeszteni a szabályos ABC háromszöget. 9. Adott három egymással párhuzamos egyenes. Szerkesszük meg az ABC egyenlő oldalú háromszöget úgy, hogy csúcsai egy-egy egyenesre illeszkedjenek.

5 Forgassuk el az A pontot a C pont körül 60 -os szöggel. Ekkor képe a B pontba kerül. Ez azt jelenti, hogy ha az e egyenest a C pont körül szintén elforgatjuk 60 -os szöggel, akkor a kapott e egyenes a p egyenest éppen a B ponban metszi. Vagyis nincs más teendőnk, mint az e egyenest elforgatni az S körül 60 -os szöggel, megkeresni a metszéspontot, majd megszerkeszteni az ABC szabályos háromszoget. 1. adatok felvétele: e, f, p párhuzamos egyenesek; 2. C pont az f egyenesre illeszkedik; 3. e egyenes az e egyenes C körüli 60 -os elforgatottja; 4. B pont az e és a p egyenes metszéspontja; 5. A pont a B C pont körüli 60 -os elforgatottja; 6. ABC szabályos háromszög. A feladatnak két egoldása van. 10. Adott két metsző a és b egyenes, valamint az MN szakasz. Szerkeszd meg az XY ZU négyzetet úgy, hogy az XY MN, XY = MN és az X pont az a, Y pont pedig a b egyenesen feküdjék. Toljuk el az a egyenest MN irányában. Ekkor az eltolt a egyenes a b egyenest Y pontban metszi. Ezt visszatolva megkapjuk az X pontot. Az XY ismeretében már könnyen megszerkeszthetjük az XY ZU négyzetet. 1. adatok felvétele: a és b metsző egyenes, MN szakasz; 2. a egyenes az a egyenes MN irányában eltolt képe; 3. Y az a és a b egyenes metszéspontja; 4. X az Y pont NM szakasszal való eltoltja; 5. XY ZU négyzet; 11. Adott az S középpontú r sugarú k kör és két tetszőleges egymással párhuzamos t 1, t 2 érintője. Szerkesszük meg az ABC egyenlő oldalú háromszöget úgy, hogy az egyik csúcspontja a t 1, a másik csúcspontja a t 2 érintőre, a harmadik csúcspontj pedig a k körre illeszkedjen.

6 A t 2 érintöt az A pont körül 60 -kal elforgatva a képe a t 1 egyenest C pontban metszi. Az A és a C pont ismeretében már megszerkeszthető a szabályos háromszög. 1. adatok felvétele: k kör, t 1 és t 2 párhuzamos érintők; 2. A a k körre illeszkedik; 3. t 2 a t 2 A pont körüli 60 -os elforgatottja; 4. C a t 1 és t 2 metszéspontja; 5. B a C pont A pont körüli 60 -os elforgatottja; 6. ABC háromszög. 12. Adott a p, q metsző egyenes és a metszésponttól különböző F pont. Szerkesszük meg az F középpontú ABCD négyzetet úgy, hogy az A pont a p egyenesre, C pedig a q-ra illeszkedjen. Az A pont F pontra vonatkozó tükörképe éppen a C pont. Ez azt jelenti, hoy a p egyenest az F pontra tükrözve, a képe áthalad a C ponton. Így a megadott adatokkal könnyen megszerkeszthető az ABCD négyzet. 1. adatok felvétele: p és q egyenesek, valamint az F pont; 2. p a p egyenes F pontra vonatkoztatott tükörképe; 3. C a q és a p egyenes metszéspontja; 4. A pont a CF és a p egyenes metszéspontja; 5. e az F ponton áthaladó AC szakaszra merőleges egyenes; 6. k (F ; r = F C) kör; 7. B és D pont a k kör és az e egyenes metszéspontja; 8. ABCD négyzet. 13. Adott az s egyenes, a k körvonal és a Z pont. Szerkesszük meg az összes Z középpontú MN szakaszt úgy, hogy az M pont az s egyenesre, N pont pedig a k körre illeszkedjen. Az s egyenest tükrözzük a Z pontra. A képe legyen s. Az s áthalad az N ponton, mivel Z az M N szakasz középpontja. N ismeretében már könnyen megszerkeszthető az M N szakasz.

7 1. adatok felvétele: k (S; r) kör, s egyenes,z pont; 2. s az s egyenes Z pontra vonatkoztatott tükörképe; 3. N pont az s és a k kör metszéspontja; 4. M pont az N pont Z pontra vonatkoztatott tükörképe. Ebben az esetben a megodások száma kettő. 14. Adott a k körvonal, a t háromszög, a w szakasz, a p egyenes és az S pont. Szerkesszük meg az S középpontú ABCD paralelogrammát úgy, hogy annak egyik csúcsa a k körre, a másik csúcsa a t háromszög kerületére, harmadik csúcsa a w szakaszra és a negyedik csúcsa pedig a p egyenesre illeszkedjen. A D, illetve a C pont S pontra vonatkoztatott tükörképe A, illetve B pont. Emiatt a p egyenes, illetve a w szakasz S pontra vonatkoztatott tükörképe áthalad az A, illetve a B pontot. Ezt fogjuk kihasználni a szarkesztésünk során. 1. adatok felvétele: k (S; r) kör, p egyenes,s pont és a w szakasz; 2. w szkasz, illetve a p egyenes a w szakasz, illetve a p egyenes Z pontra vonatkoztatott tükörképe; 3. a B, illetve az A pont a w és a t háromszög, illetve a p egyenes és a k kör metszéspontja; 4. D az A, illetve C a B Z pontra vett tükörképe; 5. ABCD paralelogramma. Több megoldás is lehetséges. 15. Adott a b egyenes, valamint a p és q körvonal. Szerkesszük meg az összes XY szakaszt, amelynek felezőmerőlegese a b egyenes, X pontja a p körre, Y pontja pedig a q körre illeszkedik. Az X pont b tengelyre vonatkoztatott tükörképe Y, ezért a p kör b egyenesre vonatkoztattt tükörképe áthalad az Y ponton, ezt ismerve könnyen megszerkeszthetjük az XY szakaszt.

8 1. adatok felvétele: p (S p ; r p ) és q (S q ; r q ) kör, b egyenes; 2. p kör a p kör b egyenesre vonatkozó tükörképe; 3. Y a p és a q kör metszéspontja; 4. X az Y pont b egyenesre vonatkoztatott tükörképe; 5. XY szakasz. Jelen esetben két megoldásunk van.