A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)"

Átírás

1 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) + ( v ) = ()() egyenletrendszer gyökei: u =, v =, u = 8,, v = 0, A keresett körre két megoldást kaptunk ( x ) + ( y ) = és ( x 8, ) + ( y 0, ) = 87 Ha két kör kívülrôl, vagy belülrôl érinti egymást, akkor az érintési pontok a középpontokon átmenô egyenesekre illeszkednek A keresett kör középpontjai; K ( ; ), az adott kör középpontja K ( 0 ; ) A centrális egyenes egyenlete: y= x 8 Ez az egyenes az adott kört két pontban metszi E(; 5 ), E (; ) A sugarak hossza KE= 5, KE= 5 egység A körök egyenletei: ( x ) + + ( y ) = 5 és ( x ) + ( y ) = 5 Utóbbi kör az adott kört belülrôl érinti 88 Adott kör középpontja K( ; ), a sugara r = egység A keresett kör középpontja Ku ( ; v) a sugara r = 8 egység A K pontnak két feltételt kell kielégítenie K K= 8 + és K P= 8 7 N 5 N A keresett kör egyenlete: ( x ) + ( y ) = 8 0 x+ + K v = 8 O K O 8 Az adott körök kívülrôl érintik egymást, mert a középpontjaik távolsága a sugaraik hosszának összegével egyenlô K( ; ), r= 0, K( 0; ), r = 5 K K = 5 A keresett kör középpontja rajta van a K K egyenesen, másrészt az x tengelyre illeszkedik K K egyenlete: x y= A K középpont koordinátái (; 0), a sugara r = + = 5, az egyenlete ( x ) + y = 5 0 Az adott kör középpontja K( ; ), a sugara r = 0, az adott pontja P(7; 8) A keresett kör K középpontjának koordinátái u és v, a sugara r= v, mert érinti az x tengelyt K rajta van a KP egyenesen, és K P= r A keresett kör egyenlete: ( x ) + ( y 5) = 5 A keresett kör K középpontjának koordinátái K( u; u) és a sugara r= u Felírhatjuk ura a következô egyenletet (figyelembevéve, hogy az adott kör középpontja K(; ), a sugara r = 5: ( u+ ) + ( u+ ) = ( 5+ u) Innen u= 5 A keresett kör egyenlete: ( x 5) + _ y 5i = 5 Az adott körök középpontjainak koordinátái: K( 0; 0), K ( ; ), a sugaraik r = 5, r = egység A keresett kör középpontja Ku ( ; v) a sugara 5 egység; Kra felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u + v = 00 Kl( 0, ; 7, ) 0 Kll (, ; 0, ) ()( u ) + ( v ) = 8 Az adott körök sugarai megegyeznek Ezért elegendô meghatározni a K( ; ), K (; ) és a K ( ; 8) középpontokon átmenô k kör egyenletét, azután a k kör sugarát egységgel csökkentve, illetve növelve megkapjuk a keresett körök egyenletét ( x 5) + ( y 5) = és ( x 5) + ( y 5) = Két egymást metszô kör hajlásszögét a metszéspontban húzott érintôk hajlásszögével definiáljuk Az adott körök metszéspontjai: P (, ;,), P (, ;,) A P pontbeli érintôk

2 Körök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 557 egyenletei: e :, x+, y= és e: 8, x +, y = 0 e normálvektora n (, ;,), e normálvektora n ( 8, ;, ) n $ n = 0 a hajlásszög 0 P pontban a hajlásszög szintén 0, mert P és P a centrális egyenesre szimmetrikus pontok 5 A keresett kör egyenlete ( x u) + ( y v) = r Mivel a kör átmegy az (; 0) és a (0; ) koordinátájú pontokon, azért u= v Ekkor ( u) + u = r, illetve u u+ = r Másrészt a metszéspont, a Ku ( ; v) pont és az adott kör K( ; 0) középpontja egy derékszögû háromszög csúcsai, mivel a két kör merôlegesen metszi egymást Így alkalmazva Pitagorasz tételét: ( u ) + u = + r A két egyenletbôl: u=, r = A keresett kör egyenlete: 5 8 N N 5 x + K y = O K O 8 A keresett kör egyenlete: ( x u) + ( y v) = A P(; ) pont rajta van a körön, ezért ( u) + ( v) = Az E metszéspont, a Ku ( ; v) pont és az O(0; 0) pont derékszögû háromszög csúcsai, mert a keresett kör az adott kört derékszögben metszi Ezért u + v = + A felírt egyenletek megoldá N sai: (; ) és K ; O Két megoldás van: ( x + ) + ( y ) = N N és x + y K = O K O 7 A k k= 0 valóban egyenes egyenlete: x y+ = 0 A centrális egyenes egyenlete: x+ y= 7 A két egyenes merôleges egymásra, mert $ + $ ( ) = 0 A feladat könnyen általánosítható Legyen a két kör egyenlete: x + y = r, ( xa) + y = r 8 a) Oldjuk meg az egyenletrendszert: () x + y = () x 8y = 0 & x 7! =, 50 8! y = A húr hossza d = egység b) egység; c) egység; 5 7 d) egység; e) 0 egység 7 A keresett P pont koordinátái: ( x; y ) Az adott körök adatai: K (; ), r =, K (; ), r =, az érintési pontok E és E Ekkor a PKE háromszög és a PKE háromszög derékszögû (Az átfogók PK és PK ) A következô egyenleteket írhatjuk fel, alkalmazva a Pitagorasz tételét: () ( x ) + ( y ) = +, () ( x ) ( y ) + = + ()() egyenletrendszer gyökei adják a P pont koordinátáit P (; 5 5), P ( ; ) 000 A közös húr végpontjainak koordinátáit az x + y = 0 egyenletrendszer gyökei adják P (; ), P ( ; ) A húr egyenlete: x + y = x + y x y+ = 0 A háromszög területe területegység 00 Az adott k kör középpontja K( ; ), a sugara r = 0 egység A keresett k kör középpontja K( u; v) a sugara r= v mert a kör érinti az x tengelyt (A sugár merôleges az érintôre) Mivel k érinti a k kört a P(7; 8) pont

3 558 A kör ban, azért a K pont rajta van a KP egyenesen KP egyenlete: x+ y= A k kör egyenlete: ( x u) + ( y v) = v A P pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét, a kör ( u; v) koor dinátái kielégítik a KP egyenletét Ekkor () u+ v= ()() egyenletrendszer gyökei: u=, v= 5, u=, v= 0 A keresett kör egyenlete: () ( x ) + ( y 5) = () ( 7 u) + ( 8 v) = v = 5 vagy () ( x ) + ( y 0) = 00A()as kör belülrôl a ()es kör kívülrôl érinti az adott kört a P(7; 8) pontban 00 A K( 8; ) középpontú és r = 0 egység sugarú kör érinti a K ( ; ) középpontú és r = 0 egység sugarú kört, mert az egyenletrendszert egyetlen ( x+ 8) + ( y ) = 00 ( x ) + ( y+ ) = 00 számpár, az E( ; ) számpár elégíti ki A keresett k kör K középpontjának koordinátái ( u; v ), a sugara r= v, mert a kör érinti az x tengelyt Másrészt a K pont rajta van a K K egyenesen, amelynek egyenlete x+ y= A K kör átmegy az E(; ) ponton, ezért E koordinátái kielégítik a k kör egyenletét Két érintôkör N 0 N 00 van: ( x+ ) + ( y 0) = 00 és x+ + K y = O K O 8 00 ( x 0) + ( y ) = 00 és ( x 5) + ( y ) = 5 00 Készítsünk ábrát A k kör K középpontjának koordinátái K( ; ) a sugara r = 0 egység A k kör K középpontjának koordinátái K ( ; 8 ) a sugara r = 5 egység KK = 5, a két kör érinti egymást Az E érintési pont koordinátái E(7; 5) A k kör Ku ( ; v) középpontja rajta van a 00 K K egyenesen és a PE szakasz felezômerôlegesén, mert k érinti a k kört belülrôl, a k kört kívülrôl az E pontban, és átmegy a P ponton ura, vre felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u v= () u v= () a PE szakasz felezômerôlegesének egyenlete, () a K K egyenes egyenlete Innen u =, v =, a sugár 5 egység k egyenlete: ( x ) + + ( y ) = Az ( x+ ) + ( y+ ) = r egyenletû kör, amely az adott körrel koncentrikus az x tengelyt az 00 A r c + ; 0m és a Cc r ; 0m, az y tengelyt a B 0; r c + m és a Dc0; r m pontokban metszi, ahol r > Az ABCD négyszög átlói merôlegesek egymásra és a területe: AC $ BD r $ r = = 8 5 Innen r = A k kör egyenlete: ( x+ ) + ( y+ ) = 00 Az adott k kör K középpontja az origó, K ( 0; 0), a sugara r = egység, a k kör K középpontjának koordi

4 Körök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 55 5 nátái K ( ; 5), a sugara r = egység KK = egység A centrális egyenlete y= x A két körhöz közös érintô a külsô, illetve a belsô hasonlósági pontból húzható A külsô hasonlósági P pont koordinátái legyenek (a; b) P nek az origótól való távolságát a KMP és a KNP hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki KP K M + KP = & = Innen KP KP K N KP = és K P = egység Ekkor az 5 (a; b) koordinátákra a következô egyenletrendszert írhatjuk fel: b= a és N K O a + b = K O Innen a, b 5 = = A KSP és a KRP hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki a P 5 N belsô hasonlósági pont koordinátáit P ; K O 007 Tegyük fel, hogy a P(; a b) pontból húzható egyenlô d hosszúságú érintô az adott körökhöz Ekkor a P pont, a körök K( ; 5) és K ( ; ) középpontja és az E, E érintési pontok a PK E és a PK E derékszögû háromszögeket feszítik ki PE= PE= d, KE =, KE = PK ( a ) 5 = + +, PK = ( a ) + d = ( a+ ) + 5 és d = ( a ) + N + + Ezekbôl az egyenletekbôl a = Az x tengely ; 0 K O pontjából húzhatók egyenlô hosszúságú érintôk az adott körökhöz (Az egyenlô érintôk, 05 egység hosszúak) 008 elöljük az x tengely azon P pontjának koordinátáit (a; 0)val, amelybôl a N k : x K + ( y 8) =, 5 O egyenletû körhöz kétszer olyan hosszú érintô húzható, mint a k:( x+ ) + ( y+ ) = 5 körhöz A P pont a körök középpontjai és az érintési pontok egyegy derékszögû háromszöget határoznak meg Legyen a k körhöz húzott érintô hossza l Ekkor a N következô egyenleteket írhatjuk fel Pitagorász tétele szerint: l= a K + ( 08), 5 O, l = ( a + ) + ( 0+ ) 5 Két megoldás van P ( ; 0), P ( ; 0) 00 A keresett k kör Ku ( ; v) középpontja rajta van az PQ szakasz felezômerôlegesén az x+ y= 008 egyenletû egyenesen Másrészt KR = KP + = = KQ + Ennek alapján az (u; v) koordinátákra a következô egyenleteket írhatjuk fel: () u+ v=, () u + v = = u + ( v ) + K(,; 8 77,) és K (, ;, 7) A feladatnak a K felel meg A K középpontú K P sugarú körnek az R ( 0; 0) pont belsô pontja A keresett kör sugara KP méter A tó átmérôje méter pontossággal méter

5 50 A parabola A parabola A parabola egyenlete 00 és 0 A feladatok megoldását az olvasóra bízzuk 0 A parabola egyenlete: y p x = Ha a P( x; y) pont rajta van a parabolán, akkor y p x = álasszunk olyan P(; x y) pontot, amely a parabola külsô pontja Húzzunk a P ponton át a parabola tengelyével párhuzamos egyenest Ez egy P( x; y) pontban metszi a parabolát Ekkor x= x és y< y Ezért y > p x p x = = y Hasonlóan igazolható, hogy ha a Px (; y) pont a parabola belsô pontja, akkor < p x y 0 Az (; ) pont belsô pont, mert > A (; ) parabolapont, ( ; ) belsô, a ( 7; ) külsô pont 0 a) y p x = egyenletbe helyettesítsük be a (; ) pontot Ekkor = Innen p p = Tehát a parabola egyenlete: y= x Ha a parabola tengelye az x tengely, akkor az y = px egyenletbôl = p $, y = x b) y x =, y = x ; c) y= x, y = x; d) y= x, y = x 05 a) y= x ; b) y= x; c) y= x ; d) y= x; e) y = x; 8 f) y = 0x 0 a) y = 8xb) y= x 07 a) A parabola paramétere p = Az y= x egyenletû parabolát eltoljuk a v(; ) 8 vektorral Az eltolt parabola egyenlete y= ( x ) + Innen x 8x 8y+ = 0 (07 8 ábra) b) x x+ y+ = 0; c) x x+ y = 0; d) y y x+ = 0; e) y yx = 0; f) x + x 8y+ 7= 0; 07 g) y y x+ 8= 0 h) Két megoldás van: x y + = 0 vagy x + y 0 = 0 i) Két megoldás van: y y 8x+ = 0 vagy y y+ 8x 0= 0 08 a) c = 0 b) A P(; ) pont koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: a+ b+ c = 0; c) a b+ c= 0; d) a+ b+ c+ = 0

6 A parabola egyenlete 5 0 A parabola tengelypontjának koordinátái: C(u; ), a paramétere: p = Az egyenlete: y= ( x u) + Mivel a parabola átmegy a (0; 8) ponton, azért 8 = ( u) + Innen u =! Két megoldás van: y= ( x ) + vagy y= ( x+ ) + 00 Két eset lehetséges A parabola az x tengely pozitív irányában vagy negatív irányában nyílik szét p =, tehát ( y v) = xu az egyenlete, vagy ( y v) =( x u) Figyelembe véve az adott parabolapontok koordinátáit: a következô egyenletrendszereket írhatjuk fel: ( v) =u () ( v) = u és () ( v) =( u) Az ()es egyenletrendszerbôl ( v) =( u) ( y 5) = x+ 7, a ()es egyenletrendszerbôl y = ( x 0) egyenleteket kapjuk 0 a) A tengelypont koordinátái (0; v), a parabola egyenlete ( y v) = px Az adott pontok koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: ( ) v = p Innen v ( v) =8p =, p =, v =, p = Két parabolát kapunk ( ) y + = x N és y+ K = x O b) y= ( x5) és ( x ) = y 0 A keresett parabolák egyenletei: y= ( x) vagy y= ( x+ ) 5 0 A parabola tengelyesen szimmetrikus A keresett parabola szimmetriatengelye az x = egyenletû egyenes A parabola átmegy a (; 0) ponton és ezen pontnak az x = egyenletû egyenesre vonatkozó tükörképén a (0; 0) ponton is Felírhatjuk a, b, cre a következô egyenletrendszert: 0= a+ b+ c Innen a =, b =, c = 0 0= 0$ a+ 0$ b+ c = a+ b+ c 0 A közös fókuszú parabolák vezéregyeneseit úgy kapjuk meg, hogy a parabola definícióját figyelembe véve a P és P pontok körül PF és PF sugarú köröket rajzolunk, és meghatározzuk ezen körök közös külsô érintôit Az érintôk egyikegyik parabola vezéregyenesét adják PF =, PF = 5, PP < PF + PF A két kör metszi egymást A centrális egyenlete x+ y= 8 Az egyik külsô érintô az x tengely, a másik külsô érintô egyenlete: y= x+ Az egyik parabola paramétere, a másik 0 parabola paramétere az F( ; ) pontnak a x+ y = 0 egyenletû egyenestôl mért távolsága:, egység 05 Mivel mindkét egyenletben az x együtthatója azonos, a két parabola egybevágó (mindkét parabola felfelé nyílik szét) A csúcspontjaik koordinátái: C `p; p j, C`p; p j A CC vektor koordinátái: `p; p j N 7 CC = ( p) + `p j = p K + O

7 5 A parabola 00 Az eltolásvektor hossza akkor a legkisebb, ha p =, p =! CC = egység min 0 a) x x y= 0; b) y= x ; c) y= x x+ 5; d) 7x 5x+ y+ = 0; e) x x y+ 7 = 0 07 A parabola egyenlete: ( y v) = p( xu) alakú Itt v= 0, u=5 és a P(0; ) pont a parabolára illeszkedik A parabola egyenlete 5y x ay + b x ab = 0 0 bx + a y a b = Az ábra szerint a CPQ szabályos háromszög CC magassága = egység A CP egyenes egyenlete y = tg0 ( x ), illetve y = _ xi A P pont abszcisszá ja +, az ordinátája a CP egyenletbôl y = b+ l, y = 5 A keresett parabola átmegy a C(; ), P b+ ; 5lés a Q b+ ; l pontokon A parabola egyenlete: ( y v) = p( x u), ahol ( u; v) a C csúcspont (tengelypont) koordinátái u=, v= Helyettesítsük a parabola egyenletébe a P pont koordinátáit Ekkor ( 5 ) = p b+ l Innen p = A CPQ pontokon átmenô parabola egyenlete: ( y ) = ( x ) (Szimmetria miatt a Q pont koordinátái is kielégítik a parabola egyenletét) Még egy megoldást kapunk, ha a CPQ háromszöget az x = egyenletû egyenesre tükrözzük A C(; ), Pb ; 5l, Qb ; l csúcspontokon átmenô parabola egyenlete: ( y ) = ( x ) 0 Helyezzük el a parabolát a koordinátarendszerben úgy, hogy a híd tartószerkezetének két végpontja A(0; 0), B(0; 0) és a legmagasabb pontja C(0; 5) legyen A parabolaív egyenlete: y p x = + 5 Ekkor 0 = , innen p = 0 A parabola egyenlete: p y= x + 5, ahol 0 # x # 0 A függôleges tartóvasak hossza méterben rendre: ; ; ; ; ; 5, ha az x helyére rendre behelyettesítjük a 5, 0, 5, 0, 5, 0 értékeket A szimmetria miatt az elsô öt hosszúság a másik oldalon is érvényes

8 A parabola egyenlete 5 0 A parabola átmegy az A(0; 0), B(; 0) és a 0 C(8; ) pontokon, a tengelye párhuzamos az y tengellyel, a tengelypontja a C pont Az egyenlete: () y ( ) p x u = + v alakú, ahol u= 8, v= és x= y= 0 Ezeket az adatokat behelyettesítve az ()es egyenletbe p = 7 A röppálya egyenlete: y= ( x 8) +, ahol 0 # x # 7 0 Induljon a vízsugár az A( ; 0) pontból és a B(; 0) pontba érkezzen vissza a talajra p = A parabolaív egyenlete: y 0 p x = + v Ekkor 0 = + v N A vízsugár v = 5 méter magasra emelkedik K 5 O 0 Tekintsük az ábrát A parabola fókusza az A(0; 0) pont és a parabola átmegy a p N T K ; 0 O tengelyponton és a háromszög B a ; a N K O K O és C a ; a N K O csúcsain Ekkor a parabola egyenlete: y = p K K O L P p N x+ O alakú Behelyettesítve a B vagy a C csúcs koordinátáit, pre a a a b l következô egyenletet kapjuk: p + ba l p = 0 Innen, mivel p > 0, p = N a a adódik A parabola egyenlete: y K O = ab l x+ Ha a tengelypont T p N ; 0 K O K O, L P N a a akkor az egyenlet: y K O = ab+ l x K O L P 05 A parabola tengelye az y tengely, az (r; 0), r b c ; bm, c r b ; bm (r; 0) pontok rajta vannak a parabolán Egyenlete: y p x = + v alakú Legyen y = 0, x= r, ekkor r = pv A c r b ; bm pont is illeszkedik a parabolára Ezért b p r b = ` j + v Az r = pv r egyenletrendszerbôl p= b és v = Aparabola egyenlete: pb = b r + pv b x r y = +, illetve x + by r = 0 b b N 0 a) p =, F(0; ), y + = 0; b) p =, F(0; ), y = 0; c) p =, F K 0; O, N y + = 0; d) p =, F 0; K O, y = 0; e) p=, F(0; ), y = 0; f) p =,

9 5 A parabola F(; 7), y = 0; g) p =, F(; ), y = 0; h) p =, F(0; ), x + = 0; i) p =, N F(0; 7), y + = 0; j) Az egyenlet y = x K O alakban is felírható Innen p =, p N =, F ; 0 K O, F 5 N ; 0 K O, x 7 N = +, x = k) p =, F 0; K O, y = 0; L P 7 N l) p =, F 0; K O, y = 0 m) A parabola egyenlete: y= `x + x+ j +, y= ( x+ ) + alakban is felírható Hasonlítsuk össze a parabola egyenletét az y ( ) p x u = + v egyenlettel p =, u =, v = A tengelypont koordinátái C( ; ), F( ; ), a vezéregyenes egyenlete: y = 0 n) y= `x x+ j, 5 N y= _ x i p=, F ; K O, y = +, y = o) ( y ) = 0( x+ ) egyenletbôl p = 5, F ; K O, x N N + = 0 p) p =, F ; K O, y + = 0; q) p =, F(; ), N y 8 = 0; r) p = ; F ; 0 00 K 00 O, x N + = 0; s) ( y 5) = x 00 K O egyenletbôl N p =, F(5; 5), y + = 0; t) p = ; F 8; 0 K 0 O, y 5 N = 0; u)p= 5; F ; 0 0 K 0 O, y + 5 = 0 07 y = x, ha x = ( x ) Megoldás: P(; ) 08 Az egyenlôtlenség átalakítható: y> ( x 5) + Az egyenlôtlenséget a parabola belsô (a fókuszt tartalmazó tartomány) pontjainak koordinátái elégítik ki 0 A szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezôje 0 Tehát y= x vagy x =!, vagy ( y)( y ) = 0ból y = vagy y = A ponthalmaz a normál parabola az x =, x =, y =, y =, egyenletû egyenesek pontjainak uniója Ezen halmaz pontjainak koordinátái és csakis ezek elégítik ki az adott egyenlôtlenséget 0 00 Az egyenlettel ekvivalens az `x yj =, illetve az x y=! egyenlet Innen y= x vagy y= x + Az adott egyenlet az y= x és az y= x + egyenletû parabolák pontjainak koordinátái elégítik ki 0 A megoldást az ábrán látható zárt síktartomány belsô pontjainak koordinátái adják 0 ( yx) `y x + xj < 0, ha a) y< x és y> N N K x O ; b) y> x és y< x K O

10 A parabola egyenlete 55 N Az y = x, egyenes és az y= x K O parabola közös pontjainak koordinátái: x= y =, x= y = 0, Az a) b) feltételeket kielégítô pontok halmazát az ábrán vázoltuk 0 Ha x $ 0, akkor x x xy# 0, illetve x`x yj# 0 Ez az egyenlôtlenség csak úgy teljesülhet, ha y$ x Ha pedig x < 0, akkor y$ x + A ponthalmazt az ábrán vázoltuk 0 Legyen a Q_ x; yi pont az y= x egyenletû parabola pontja és a Q_ x; yi a Q pontnak a P(; ) pontra vonatkozó tükörképe Ekkor x + x y+ y =, = Innen x = x, 0 y= y y= x, tehát y= _ xi y= x + x Az y= x egyenletû parabola tükörképe az y= x + x ; y= ( x ) + egyenletû parabola 05 Legyen a Q_ x; yi pont az y= x + x egyenletû parabola pontja a Q_ x; yi a Q pont tükörképe Ekkor x= x és y= y Helyettesítve az adott parabola egyenletébe, és rendezve az egyenletet: y= _ x5i Az y= ( x+ ) + egyenletû parabolát tükrözve a P(; ) pontra a tükörkép parabola, amelynek egyenlete: y= ( x5) 0 Ismeretes, hogy ha a P_ x; yi pontot az y= x egyenletû egyenesre tükrözzük, akkor a P pont a Q_ x; yi pontba megy át a) Az y= x x+ egyenletû parabola az x= y y+ egyenletû görbébe megy át, amely egyenlet a következôképpen is írható: () ( y ) = ( x+ 5) () olyan parabola egyenlete, amelynek tengelye párhuzamos az x tengellyel, a tengelypontja C(5; ), a paramétere, a fókuszának koordinátái: F ; K O N b) C(; ), F(; ) 07 A parabola pontjai a következôk: P ( ; ), P ( ; ), P ( ; ), P ( ; ) A lehetséges húr közül egyenlô hosszúságú PP = 8, 0 PP = 8 + N 5 08 P(; ), F 0; K, O PF = 0 P ( ; ), F (; 0 ), PF =

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

II. forduló, országos döntő május 22. Pontozási útmutató

II. forduló, országos döntő május 22. Pontozási útmutató Apáczai Nevelési és Általános Művelődési Központ 76 Pécs, Apáczai körtér 1. II. forduló, országos döntő 01. május. Pontozási útmutató 1. feladat: Két természetes szám összege 77. Ha a kisebbik számot megszorozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben