A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

Átírás

1 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) + ( v ) = ()() egyenletrendszer gyökei: u =, v =, u = 8,, v = 0, A keresett körre két megoldást kaptunk ( x ) + ( y ) = és ( x 8, ) + ( y 0, ) = 87 Ha két kör kívülrôl, vagy belülrôl érinti egymást, akkor az érintési pontok a középpontokon átmenô egyenesekre illeszkednek A keresett kör középpontjai; K ( ; ), az adott kör középpontja K ( 0 ; ) A centrális egyenes egyenlete: y= x 8 Ez az egyenes az adott kört két pontban metszi E(; 5 ), E (; ) A sugarak hossza KE= 5, KE= 5 egység A körök egyenletei: ( x ) + + ( y ) = 5 és ( x ) + ( y ) = 5 Utóbbi kör az adott kört belülrôl érinti 88 Adott kör középpontja K( ; ), a sugara r = egység A keresett kör középpontja Ku ( ; v) a sugara r = 8 egység A K pontnak két feltételt kell kielégítenie K K= 8 + és K P= 8 7 N 5 N A keresett kör egyenlete: ( x ) + ( y ) = 8 0 x+ + K v = 8 O K O 8 Az adott körök kívülrôl érintik egymást, mert a középpontjaik távolsága a sugaraik hosszának összegével egyenlô K( ; ), r= 0, K( 0; ), r = 5 K K = 5 A keresett kör középpontja rajta van a K K egyenesen, másrészt az x tengelyre illeszkedik K K egyenlete: x y= A K középpont koordinátái (; 0), a sugara r = + = 5, az egyenlete ( x ) + y = 5 0 Az adott kör középpontja K( ; ), a sugara r = 0, az adott pontja P(7; 8) A keresett kör K középpontjának koordinátái u és v, a sugara r= v, mert érinti az x tengelyt K rajta van a KP egyenesen, és K P= r A keresett kör egyenlete: ( x ) + ( y 5) = 5 A keresett kör K középpontjának koordinátái K( u; u) és a sugara r= u Felírhatjuk ura a következô egyenletet (figyelembevéve, hogy az adott kör középpontja K(; ), a sugara r = 5: ( u+ ) + ( u+ ) = ( 5+ u) Innen u= 5 A keresett kör egyenlete: ( x 5) + _ y 5i = 5 Az adott körök középpontjainak koordinátái: K( 0; 0), K ( ; ), a sugaraik r = 5, r = egység A keresett kör középpontja Ku ( ; v) a sugara 5 egység; Kra felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u + v = 00 Kl( 0, ; 7, ) 0 Kll (, ; 0, ) ()( u ) + ( v ) = 8 Az adott körök sugarai megegyeznek Ezért elegendô meghatározni a K( ; ), K (; ) és a K ( ; 8) középpontokon átmenô k kör egyenletét, azután a k kör sugarát egységgel csökkentve, illetve növelve megkapjuk a keresett körök egyenletét ( x 5) + ( y 5) = és ( x 5) + ( y 5) = Két egymást metszô kör hajlásszögét a metszéspontban húzott érintôk hajlásszögével definiáljuk Az adott körök metszéspontjai: P (, ;,), P (, ;,) A P pontbeli érintôk

2 Körök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 557 egyenletei: e :, x+, y= és e: 8, x +, y = 0 e normálvektora n (, ;,), e normálvektora n ( 8, ;, ) n $ n = 0 a hajlásszög 0 P pontban a hajlásszög szintén 0, mert P és P a centrális egyenesre szimmetrikus pontok 5 A keresett kör egyenlete ( x u) + ( y v) = r Mivel a kör átmegy az (; 0) és a (0; ) koordinátájú pontokon, azért u= v Ekkor ( u) + u = r, illetve u u+ = r Másrészt a metszéspont, a Ku ( ; v) pont és az adott kör K( ; 0) középpontja egy derékszögû háromszög csúcsai, mivel a két kör merôlegesen metszi egymást Így alkalmazva Pitagorasz tételét: ( u ) + u = + r A két egyenletbôl: u=, r = A keresett kör egyenlete: 5 8 N N 5 x + K y = O K O 8 A keresett kör egyenlete: ( x u) + ( y v) = A P(; ) pont rajta van a körön, ezért ( u) + ( v) = Az E metszéspont, a Ku ( ; v) pont és az O(0; 0) pont derékszögû háromszög csúcsai, mert a keresett kör az adott kört derékszögben metszi Ezért u + v = + A felírt egyenletek megoldá N sai: (; ) és K ; O Két megoldás van: ( x + ) + ( y ) = N N és x + y K = O K O 7 A k k= 0 valóban egyenes egyenlete: x y+ = 0 A centrális egyenes egyenlete: x+ y= 7 A két egyenes merôleges egymásra, mert $ + $ ( ) = 0 A feladat könnyen általánosítható Legyen a két kör egyenlete: x + y = r, ( xa) + y = r 8 a) Oldjuk meg az egyenletrendszert: () x + y = () x 8y = 0 & x 7! =, 50 8! y = A húr hossza d = egység b) egység; c) egység; 5 7 d) egység; e) 0 egység 7 A keresett P pont koordinátái: ( x; y ) Az adott körök adatai: K (; ), r =, K (; ), r =, az érintési pontok E és E Ekkor a PKE háromszög és a PKE háromszög derékszögû (Az átfogók PK és PK ) A következô egyenleteket írhatjuk fel, alkalmazva a Pitagorasz tételét: () ( x ) + ( y ) = +, () ( x ) ( y ) + = + ()() egyenletrendszer gyökei adják a P pont koordinátáit P (; 5 5), P ( ; ) 000 A közös húr végpontjainak koordinátáit az x + y = 0 egyenletrendszer gyökei adják P (; ), P ( ; ) A húr egyenlete: x + y = x + y x y+ = 0 A háromszög területe területegység 00 Az adott k kör középpontja K( ; ), a sugara r = 0 egység A keresett k kör középpontja K( u; v) a sugara r= v mert a kör érinti az x tengelyt (A sugár merôleges az érintôre) Mivel k érinti a k kört a P(7; 8) pont

3 558 A kör ban, azért a K pont rajta van a KP egyenesen KP egyenlete: x+ y= A k kör egyenlete: ( x u) + ( y v) = v A P pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét, a kör ( u; v) koor dinátái kielégítik a KP egyenletét Ekkor () u+ v= ()() egyenletrendszer gyökei: u=, v= 5, u=, v= 0 A keresett kör egyenlete: () ( x ) + ( y 5) = () ( 7 u) + ( 8 v) = v = 5 vagy () ( x ) + ( y 0) = 00A()as kör belülrôl a ()es kör kívülrôl érinti az adott kört a P(7; 8) pontban 00 A K( 8; ) középpontú és r = 0 egység sugarú kör érinti a K ( ; ) középpontú és r = 0 egység sugarú kört, mert az egyenletrendszert egyetlen ( x+ 8) + ( y ) = 00 ( x ) + ( y+ ) = 00 számpár, az E( ; ) számpár elégíti ki A keresett k kör K középpontjának koordinátái ( u; v ), a sugara r= v, mert a kör érinti az x tengelyt Másrészt a K pont rajta van a K K egyenesen, amelynek egyenlete x+ y= A K kör átmegy az E(; ) ponton, ezért E koordinátái kielégítik a k kör egyenletét Két érintôkör N 0 N 00 van: ( x+ ) + ( y 0) = 00 és x+ + K y = O K O 8 00 ( x 0) + ( y ) = 00 és ( x 5) + ( y ) = 5 00 Készítsünk ábrát A k kör K középpontjának koordinátái K( ; ) a sugara r = 0 egység A k kör K középpontjának koordinátái K ( ; 8 ) a sugara r = 5 egység KK = 5, a két kör érinti egymást Az E érintési pont koordinátái E(7; 5) A k kör Ku ( ; v) középpontja rajta van a 00 K K egyenesen és a PE szakasz felezômerôlegesén, mert k érinti a k kört belülrôl, a k kört kívülrôl az E pontban, és átmegy a P ponton ura, vre felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u v= () u v= () a PE szakasz felezômerôlegesének egyenlete, () a K K egyenes egyenlete Innen u =, v =, a sugár 5 egység k egyenlete: ( x ) + + ( y ) = Az ( x+ ) + ( y+ ) = r egyenletû kör, amely az adott körrel koncentrikus az x tengelyt az 00 A r c + ; 0m és a Cc r ; 0m, az y tengelyt a B 0; r c + m és a Dc0; r m pontokban metszi, ahol r > Az ABCD négyszög átlói merôlegesek egymásra és a területe: AC $ BD r $ r = = 8 5 Innen r = A k kör egyenlete: ( x+ ) + ( y+ ) = 00 Az adott k kör K középpontja az origó, K ( 0; 0), a sugara r = egység, a k kör K középpontjának koordi

4 Körök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 55 5 nátái K ( ; 5), a sugara r = egység KK = egység A centrális egyenlete y= x A két körhöz közös érintô a külsô, illetve a belsô hasonlósági pontból húzható A külsô hasonlósági P pont koordinátái legyenek (a; b) P nek az origótól való távolságát a KMP és a KNP hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki KP K M + KP = & = Innen KP KP K N KP = és K P = egység Ekkor az 5 (a; b) koordinátákra a következô egyenletrendszert írhatjuk fel: b= a és N K O a + b = K O Innen a, b 5 = = A KSP és a KRP hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki a P 5 N belsô hasonlósági pont koordinátáit P ; K O 007 Tegyük fel, hogy a P(; a b) pontból húzható egyenlô d hosszúságú érintô az adott körökhöz Ekkor a P pont, a körök K( ; 5) és K ( ; ) középpontja és az E, E érintési pontok a PK E és a PK E derékszögû háromszögeket feszítik ki PE= PE= d, KE =, KE = PK ( a ) 5 = + +, PK = ( a ) + d = ( a+ ) + 5 és d = ( a ) + N + + Ezekbôl az egyenletekbôl a = Az x tengely ; 0 K O pontjából húzhatók egyenlô hosszúságú érintôk az adott körökhöz (Az egyenlô érintôk, 05 egység hosszúak) 008 elöljük az x tengely azon P pontjának koordinátáit (a; 0)val, amelybôl a N k : x K + ( y 8) =, 5 O egyenletû körhöz kétszer olyan hosszú érintô húzható, mint a k:( x+ ) + ( y+ ) = 5 körhöz A P pont a körök középpontjai és az érintési pontok egyegy derékszögû háromszöget határoznak meg Legyen a k körhöz húzott érintô hossza l Ekkor a N következô egyenleteket írhatjuk fel Pitagorász tétele szerint: l= a K + ( 08), 5 O, l = ( a + ) + ( 0+ ) 5 Két megoldás van P ( ; 0), P ( ; 0) 00 A keresett k kör Ku ( ; v) középpontja rajta van az PQ szakasz felezômerôlegesén az x+ y= 008 egyenletû egyenesen Másrészt KR = KP + = = KQ + Ennek alapján az (u; v) koordinátákra a következô egyenleteket írhatjuk fel: () u+ v=, () u + v = = u + ( v ) + K(,; 8 77,) és K (, ;, 7) A feladatnak a K felel meg A K középpontú K P sugarú körnek az R ( 0; 0) pont belsô pontja A keresett kör sugara KP méter A tó átmérôje méter pontossággal méter

5 50 A parabola A parabola A parabola egyenlete 00 és 0 A feladatok megoldását az olvasóra bízzuk 0 A parabola egyenlete: y p x = Ha a P( x; y) pont rajta van a parabolán, akkor y p x = álasszunk olyan P(; x y) pontot, amely a parabola külsô pontja Húzzunk a P ponton át a parabola tengelyével párhuzamos egyenest Ez egy P( x; y) pontban metszi a parabolát Ekkor x= x és y< y Ezért y > p x p x = = y Hasonlóan igazolható, hogy ha a Px (; y) pont a parabola belsô pontja, akkor < p x y 0 Az (; ) pont belsô pont, mert > A (; ) parabolapont, ( ; ) belsô, a ( 7; ) külsô pont 0 a) y p x = egyenletbe helyettesítsük be a (; ) pontot Ekkor = Innen p p = Tehát a parabola egyenlete: y= x Ha a parabola tengelye az x tengely, akkor az y = px egyenletbôl = p $, y = x b) y x =, y = x ; c) y= x, y = x; d) y= x, y = x 05 a) y= x ; b) y= x; c) y= x ; d) y= x; e) y = x; 8 f) y = 0x 0 a) y = 8xb) y= x 07 a) A parabola paramétere p = Az y= x egyenletû parabolát eltoljuk a v(; ) 8 vektorral Az eltolt parabola egyenlete y= ( x ) + Innen x 8x 8y+ = 0 (07 8 ábra) b) x x+ y+ = 0; c) x x+ y = 0; d) y y x+ = 0; e) y yx = 0; f) x + x 8y+ 7= 0; 07 g) y y x+ 8= 0 h) Két megoldás van: x y + = 0 vagy x + y 0 = 0 i) Két megoldás van: y y 8x+ = 0 vagy y y+ 8x 0= 0 08 a) c = 0 b) A P(; ) pont koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: a+ b+ c = 0; c) a b+ c= 0; d) a+ b+ c+ = 0

6 A parabola egyenlete 5 0 A parabola tengelypontjának koordinátái: C(u; ), a paramétere: p = Az egyenlete: y= ( x u) + Mivel a parabola átmegy a (0; 8) ponton, azért 8 = ( u) + Innen u =! Két megoldás van: y= ( x ) + vagy y= ( x+ ) + 00 Két eset lehetséges A parabola az x tengely pozitív irányában vagy negatív irányában nyílik szét p =, tehát ( y v) = xu az egyenlete, vagy ( y v) =( x u) Figyelembe véve az adott parabolapontok koordinátáit: a következô egyenletrendszereket írhatjuk fel: ( v) =u () ( v) = u és () ( v) =( u) Az ()es egyenletrendszerbôl ( v) =( u) ( y 5) = x+ 7, a ()es egyenletrendszerbôl y = ( x 0) egyenleteket kapjuk 0 a) A tengelypont koordinátái (0; v), a parabola egyenlete ( y v) = px Az adott pontok koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: ( ) v = p Innen v ( v) =8p =, p =, v =, p = Két parabolát kapunk ( ) y + = x N és y+ K = x O b) y= ( x5) és ( x ) = y 0 A keresett parabolák egyenletei: y= ( x) vagy y= ( x+ ) 5 0 A parabola tengelyesen szimmetrikus A keresett parabola szimmetriatengelye az x = egyenletû egyenes A parabola átmegy a (; 0) ponton és ezen pontnak az x = egyenletû egyenesre vonatkozó tükörképén a (0; 0) ponton is Felírhatjuk a, b, cre a következô egyenletrendszert: 0= a+ b+ c Innen a =, b =, c = 0 0= 0$ a+ 0$ b+ c = a+ b+ c 0 A közös fókuszú parabolák vezéregyeneseit úgy kapjuk meg, hogy a parabola definícióját figyelembe véve a P és P pontok körül PF és PF sugarú köröket rajzolunk, és meghatározzuk ezen körök közös külsô érintôit Az érintôk egyikegyik parabola vezéregyenesét adják PF =, PF = 5, PP < PF + PF A két kör metszi egymást A centrális egyenlete x+ y= 8 Az egyik külsô érintô az x tengely, a másik külsô érintô egyenlete: y= x+ Az egyik parabola paramétere, a másik 0 parabola paramétere az F( ; ) pontnak a x+ y = 0 egyenletû egyenestôl mért távolsága:, egység 05 Mivel mindkét egyenletben az x együtthatója azonos, a két parabola egybevágó (mindkét parabola felfelé nyílik szét) A csúcspontjaik koordinátái: C `p; p j, C`p; p j A CC vektor koordinátái: `p; p j N 7 CC = ( p) + `p j = p K + O

7 5 A parabola 00 Az eltolásvektor hossza akkor a legkisebb, ha p =, p =! CC = egység min 0 a) x x y= 0; b) y= x ; c) y= x x+ 5; d) 7x 5x+ y+ = 0; e) x x y+ 7 = 0 07 A parabola egyenlete: ( y v) = p( xu) alakú Itt v= 0, u=5 és a P(0; ) pont a parabolára illeszkedik A parabola egyenlete 5y x ay + b x ab = 0 0 bx + a y a b = Az ábra szerint a CPQ szabályos háromszög CC magassága = egység A CP egyenes egyenlete y = tg0 ( x ), illetve y = _ xi A P pont abszcisszá ja +, az ordinátája a CP egyenletbôl y = b+ l, y = 5 A keresett parabola átmegy a C(; ), P b+ ; 5lés a Q b+ ; l pontokon A parabola egyenlete: ( y v) = p( x u), ahol ( u; v) a C csúcspont (tengelypont) koordinátái u=, v= Helyettesítsük a parabola egyenletébe a P pont koordinátáit Ekkor ( 5 ) = p b+ l Innen p = A CPQ pontokon átmenô parabola egyenlete: ( y ) = ( x ) (Szimmetria miatt a Q pont koordinátái is kielégítik a parabola egyenletét) Még egy megoldást kapunk, ha a CPQ háromszöget az x = egyenletû egyenesre tükrözzük A C(; ), Pb ; 5l, Qb ; l csúcspontokon átmenô parabola egyenlete: ( y ) = ( x ) 0 Helyezzük el a parabolát a koordinátarendszerben úgy, hogy a híd tartószerkezetének két végpontja A(0; 0), B(0; 0) és a legmagasabb pontja C(0; 5) legyen A parabolaív egyenlete: y p x = + 5 Ekkor 0 = , innen p = 0 A parabola egyenlete: p y= x + 5, ahol 0 # x # 0 A függôleges tartóvasak hossza méterben rendre: ; ; ; ; ; 5, ha az x helyére rendre behelyettesítjük a 5, 0, 5, 0, 5, 0 értékeket A szimmetria miatt az elsô öt hosszúság a másik oldalon is érvényes

8 A parabola egyenlete 5 0 A parabola átmegy az A(0; 0), B(; 0) és a 0 C(8; ) pontokon, a tengelye párhuzamos az y tengellyel, a tengelypontja a C pont Az egyenlete: () y ( ) p x u = + v alakú, ahol u= 8, v= és x= y= 0 Ezeket az adatokat behelyettesítve az ()es egyenletbe p = 7 A röppálya egyenlete: y= ( x 8) +, ahol 0 # x # 7 0 Induljon a vízsugár az A( ; 0) pontból és a B(; 0) pontba érkezzen vissza a talajra p = A parabolaív egyenlete: y 0 p x = + v Ekkor 0 = + v N A vízsugár v = 5 méter magasra emelkedik K 5 O 0 Tekintsük az ábrát A parabola fókusza az A(0; 0) pont és a parabola átmegy a p N T K ; 0 O tengelyponton és a háromszög B a ; a N K O K O és C a ; a N K O csúcsain Ekkor a parabola egyenlete: y = p K K O L P p N x+ O alakú Behelyettesítve a B vagy a C csúcs koordinátáit, pre a a a b l következô egyenletet kapjuk: p + ba l p = 0 Innen, mivel p > 0, p = N a a adódik A parabola egyenlete: y K O = ab l x+ Ha a tengelypont T p N ; 0 K O K O, L P N a a akkor az egyenlet: y K O = ab+ l x K O L P 05 A parabola tengelye az y tengely, az (r; 0), r b c ; bm, c r b ; bm (r; 0) pontok rajta vannak a parabolán Egyenlete: y p x = + v alakú Legyen y = 0, x= r, ekkor r = pv A c r b ; bm pont is illeszkedik a parabolára Ezért b p r b = ` j + v Az r = pv r egyenletrendszerbôl p= b és v = Aparabola egyenlete: pb = b r + pv b x r y = +, illetve x + by r = 0 b b N 0 a) p =, F(0; ), y + = 0; b) p =, F(0; ), y = 0; c) p =, F K 0; O, N y + = 0; d) p =, F 0; K O, y = 0; e) p=, F(0; ), y = 0; f) p =,

9 5 A parabola F(; 7), y = 0; g) p =, F(; ), y = 0; h) p =, F(0; ), x + = 0; i) p =, N F(0; 7), y + = 0; j) Az egyenlet y = x K O alakban is felírható Innen p =, p N =, F ; 0 K O, F 5 N ; 0 K O, x 7 N = +, x = k) p =, F 0; K O, y = 0; L P 7 N l) p =, F 0; K O, y = 0 m) A parabola egyenlete: y= `x + x+ j +, y= ( x+ ) + alakban is felírható Hasonlítsuk össze a parabola egyenletét az y ( ) p x u = + v egyenlettel p =, u =, v = A tengelypont koordinátái C( ; ), F( ; ), a vezéregyenes egyenlete: y = 0 n) y= `x x+ j, 5 N y= _ x i p=, F ; K O, y = +, y = o) ( y ) = 0( x+ ) egyenletbôl p = 5, F ; K O, x N N + = 0 p) p =, F ; K O, y + = 0; q) p =, F(; ), N y 8 = 0; r) p = ; F ; 0 00 K 00 O, x N + = 0; s) ( y 5) = x 00 K O egyenletbôl N p =, F(5; 5), y + = 0; t) p = ; F 8; 0 K 0 O, y 5 N = 0; u)p= 5; F ; 0 0 K 0 O, y + 5 = 0 07 y = x, ha x = ( x ) Megoldás: P(; ) 08 Az egyenlôtlenség átalakítható: y> ( x 5) + Az egyenlôtlenséget a parabola belsô (a fókuszt tartalmazó tartomány) pontjainak koordinátái elégítik ki 0 A szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezôje 0 Tehát y= x vagy x =!, vagy ( y)( y ) = 0ból y = vagy y = A ponthalmaz a normál parabola az x =, x =, y =, y =, egyenletû egyenesek pontjainak uniója Ezen halmaz pontjainak koordinátái és csakis ezek elégítik ki az adott egyenlôtlenséget 0 00 Az egyenlettel ekvivalens az `x yj =, illetve az x y=! egyenlet Innen y= x vagy y= x + Az adott egyenlet az y= x és az y= x + egyenletû parabolák pontjainak koordinátái elégítik ki 0 A megoldást az ábrán látható zárt síktartomány belsô pontjainak koordinátái adják 0 ( yx) `y x + xj < 0, ha a) y< x és y> N N K x O ; b) y> x és y< x K O

10 A parabola egyenlete 55 N Az y = x, egyenes és az y= x K O parabola közös pontjainak koordinátái: x= y =, x= y = 0, Az a) b) feltételeket kielégítô pontok halmazát az ábrán vázoltuk 0 Ha x $ 0, akkor x x xy# 0, illetve x`x yj# 0 Ez az egyenlôtlenség csak úgy teljesülhet, ha y$ x Ha pedig x < 0, akkor y$ x + A ponthalmazt az ábrán vázoltuk 0 Legyen a Q_ x; yi pont az y= x egyenletû parabola pontja és a Q_ x; yi a Q pontnak a P(; ) pontra vonatkozó tükörképe Ekkor x + x y+ y =, = Innen x = x, 0 y= y y= x, tehát y= _ xi y= x + x Az y= x egyenletû parabola tükörképe az y= x + x ; y= ( x ) + egyenletû parabola 05 Legyen a Q_ x; yi pont az y= x + x egyenletû parabola pontja a Q_ x; yi a Q pont tükörképe Ekkor x= x és y= y Helyettesítve az adott parabola egyenletébe, és rendezve az egyenletet: y= _ x5i Az y= ( x+ ) + egyenletû parabolát tükrözve a P(; ) pontra a tükörkép parabola, amelynek egyenlete: y= ( x5) 0 Ismeretes, hogy ha a P_ x; yi pontot az y= x egyenletû egyenesre tükrözzük, akkor a P pont a Q_ x; yi pontba megy át a) Az y= x x+ egyenletû parabola az x= y y+ egyenletû görbébe megy át, amely egyenlet a következôképpen is írható: () ( y ) = ( x+ 5) () olyan parabola egyenlete, amelynek tengelye párhuzamos az x tengellyel, a tengelypontja C(5; ), a paramétere, a fókuszának koordinátái: F ; K O N b) C(; ), F(; ) 07 A parabola pontjai a következôk: P ( ; ), P ( ; ), P ( ; ), P ( ; ) A lehetséges húr közül egyenlô hosszúságú PP = 8, 0 PP = 8 + N 5 08 P(; ), F 0; K, O PF = 0 P ( ; ), F (; 0 ), PF =