, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

Átírás

1 Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van K( ), a sugár r = K = 8 <, tehát a körön belül van Az ábra szerint A = KA K, a legrövidebb húr hossza: AB= A húr egyenesének egyenlete: x+ y= 9 A kör középpontja az AB szakasz felezômerôlegesére illeszkedik Ennek egyenlete 7x+ y= A középpontja: K( ) A sugár r= AK= egység A kör egyenlete: ( x ) + ( y ) = A C csúcs koordinátáit a kör és az y x= 7 egyenletû egyenes közös pontjai adják C ( 9), C ( ) 9 x + y + x 7y= 0 96 Számítsuk ki a K( 7) középpontú, r = egység sugarú kör és az x+ y= 7 egyenletû egyenes közös pontjainak koordinátáit ( ), ( ) 97 egyen A( ), B( ) Ekkor az átfogó egyenes egyenlete x y= 7 Mivel a Tt (, ) illeszkedik az átfogóra, azért t $, = 7, innen t = 06, Az ABC derékszögû háromszög köré írható Thalészkör egyenlete: K( ), r =, ( x+ ) + ( y ) = A T ponton átmenô magasságegyenes egyenlete: x+ y= 8 C( ), C 9 9 N K O 98 A kör középpontja az origó, O(0 0), az érintési pont az E(6 8) pont A keresett kör középpontja rajta van az OE egyenesen, és az E ponttól egység távolságra van OE egyenes egyenlete: x+ y= 0 EK = vagyis ( x 6) + ( y+ 8) = K( ), K ( 0 ), és a sugár r = Két megoldás van: ( x+ ) + ( y ) = és ( x ) + ( y+ 0) = 99 Az ábra szerint CD = Mivel KE = CD, ezért ED = A CD egyenes normálegyenlete: x y + 8 = 0 A k kör K( u v) középpontjának a CD egyenestôl mért távolsága: 9 d = u v 8 A k kör középpontja rajta van az AB szakasz felezômerôlegesén, az f egyenesen f egyenlete: 7x+ y=, tehát 7u+ v= A keresett 99 kör r= AK sugarára felírhatjuk a következô egyenletet: ( u+ ) + ( v ) = r Másrészt r = KE + ED, tehát () ( u+ ) + ( v) u v 8 = + +b l A k kör egyen lete: ( x ) + ( y 7) =, a k kör egyenlete ( x 7) + + ( y + 0) = 0 90 Az origón átmenô kör egyenlete: x + y + ax+ by = 0 alakú A szögfelezô origótól különbözô pontja p ( p, ) ahol p =Y 0 Mivel rajta van a körön, azért p + p + ap+ bp = 0

2 8 A kör p =Y 0val egyszerûsítve: p+ a+ b= 0, tehát a+ b= p A körnek a tengelyekkel való metszéspontjai: O(0 0) és A( a 0), illetve O(0 0) és B( b 0) OA + OB = ( a + b) = p Tehát a kérdéses összeg csak a pont megválasztásától függ 9 x+ y= 9 Az adott kör abszcisszájú pontjai: b l, b l A pontokban az érintôk egyenletei: e : x + y = 6 és e : x y = 6 Írjuk fel a normálvektorok skaláris szorzatát 6$ 6cos{ =, cos{ = { = 67, Mivel a { nem tom 6 paszög, azért a két érintô hajlásszöge 67, 0 0 N 9 Az érintôk metszéspontja K 7 7 O { = 6, 6 9 Az érintôk egyenletei: y =, x =, y = és xx+ yy=, ahol 0< x < A trapéz + y N csúcsai: A( ), B K x O, C y N + K x O, D( ) A B csúcs koordinátáit az xx+ yy= y = egyenletrendszer, a C csúcs koordinátáit az xx + yy = egyenletrendszer gyökei adják A trapéz AC átlójának egyenlete: () x + y = + A trapéz BD y = x y x y x x x y x y átlójának egyenlete: () x y = + + () és () egyenlet megfelelô oldalait összeadva y = adódik y értékét behelyettesítve ()ben az x helyére és figyelembe vé x x y x + y N ve, hogy x + y =, x = 0 adódik M 0 K x+ O A nem párhuzamos oldalak érintési pontjai: ^ 0 h, ^ x y h A egyenes egyenlete: yx+ _ x+ i y= y Ha x = 0, akkor y y =, tehát a x + egyenes átmegy az M ponton 9 a) (0 0) ponton átmenô egyenesek egyenlete y= mx 0m Az m paramétert úgy kell megválasztani, hogy a körnek és az egyenesnek egy közös pontja legyen Ez akkor teljesül, ha az x y + = egyenletrendszerbôl adódó x + ( mx 0m) = másodfokú y= mx0m egyenlet diszkriminánsa 0 `+ m j x 0m x + 00m = 0 = egyenletbôl a diszkri mináns D: m = Tehát m =! Két megoldás van Az érintôk egyenletei: N N K O x! y= 0 Az érintési pontok koordinátái: K O, K O Az érintôszakasz K O hossza: egység Az érintôk hajlásszögét a normálvektorok segítségével számítjuk ki n b l, n b l, n = n = cos{ =, { = 0 Az egyenes hajlásszöge hegyesszög: ~ = 80 0 b) x y=, x y=, ^ h, ^ h, egység, 90

3 Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 9 c) y =, x y= 0, ^ 0 h, ^,, h, 8 egység,, d) x+ y=, x y=, ^ h, ^ h, egység, Tekintsük azt a derékszögû háromszöget, amelynek befogói a kör sugara és a (8 0) pontból a körhöz húzott érintôszakasz Az átfogó hossza 8 egység Ekkor sina =, a = 0, 8 a = Az A(,) pontból az x + y = 00 egyenletû körhöz húzott érintôk egyenletei 7x+ y=0 és x y= 0 A ( 0) ponton átmenô és az x + y = 00 egyenletû kört érintô egyenesek egyenlete y = 0, 60x y= 60 A hiányzó csúcsok koordinátái: 0 N K 0 O, 0 0 N K O 98 a) A K(0 0) ponton át húzzunk merôleges egyenest a x y= 7 egyenletû egyenesre Ennek egyenlete: x+ y= 0 Ez az egyenes kimetszi a körbôl a keresett érintôk pontjait x + y = Innen y x+ y= 0 =, y =! x = " Az érintési pontok koordinátái: E b l, E b l Az érintôk egyenletei: x y= és x y= b) x y = x y = c) x y = 69, x y =69 d) Az y= x7 egyenletû egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x+ y= b alakú A b értékét úgy kell megválasztani, hogy az egyenesnek a körrel pontosan egy közös pontja legyen A diszkrimináns: D= 6b 0 `b j = 0, ha b =! 0 Az érintôk egyenletei: x+ y= 0 és x+ y= 0 99 A pont abszcisszáját a QO derékszögû háromszög segítségével számíthatjuk ki, ahol O a kör középpontja (az origó) OQ =, Q =, O = +, O = 7 Az érintési pont koordinátáit az x + y = egyenletû kör és az O átmérô fölé rajzolt Thalészkör közös 0 N pontjai adják E K 7 7 O, E 7 0 N K 7 O Az érintôk egyenletei: x+ y= és x+ y= 90 Az alappal szemközti C(6 8) csúcson és a beírt kör O(0 0) középpontján átmenô egyenes a beírt kört az alap C felezôpontjában metszi és merôleges az alap egyenesére Az OC _ 8 x + y = 6 b egyenes egyenlete: y= x A C 6 pont koordinátáit az 8 ` egyenletrendszer gyökei y= x 6 b a adják: (,8 6,) és (,8 6,) Mivel a kör a háromszögbe írt kör, azért a C koordinátái az ábra szerint (,8 6,) Az AB alapegyenes egyenlete: x+ y= 0 A C pontból a körhöz húzott egyik száregyenes egyenlete: y = 8 A csúcs koordinátái: x + =0 egyenletbôl x = = A B 7 csúcs koordinátáit megkapjuk, ha az A pontot tükrözzük a C pontra B(, 0,8) 90

4 0 A kör 9 9 Az AOC háromszögben tg0 = OC a Innen a =, a szabályos háromszög oldala egység hosszú Az A csúcs koordinátái Ab6 l, B b6 l, C b0 l Az oldalak egyenletei: y= x+, y= x+, y = 9 Az adott k kör középpontján át húzzunk merôleges egyenest az adott e egyenesre álasszuk ezt az egyenest x tengelynek, az e egyenest y tengelynek A K kör középpontjának rögzített koordinátái (u, 0), az y tengely változó pontjának koordinátái (0 p) A középpontú kör egyenlete: x + ( y p) = u + p r Innen leolvasha tó, hogy ptôl függetlenül a Qc u r 0m rajta van mindegyik körön megoldás van, ha u > r, megoldás, ha u = r, nincs megoldás, ha u < r 9 a) x+ y= (K a kör középpontja, a kör adott pontja) b) x y+ 9= 0 c) x y+ 9= 0 és x+ y = 0 9 Az érintési pontok koordinátái: E^ h, E ^ h Az e érintô normálvektora: n^ h, e normálvektora: n^ h Az érintôk egyenletei: e : x y =, e : x y= 7 7 N e és e Q metszéspontjának koordinátái: Q K O 9 A kör a tengelyeket a (0 0), (0 8), (6 0) pontokban metszi Ezekben a pontokban a kör érintôinek egyenletei rendre x+ y=, x y= 8, x+ y= 6 A hajlásszögek az érintôk és a tengelyek által beárt szöggel egyenlôk:, és 6,6 96 A pálya egyenletét a ( ) pontban a körhöz húzható érintô egyenlete adja: xy = 0 97 A kör középpontjának koordinátái: K( ) A x y= 0 egyenessel párhuzamos körérintôk érintési pontjait úgy kapjuk meg, ha a K középponton átmenô, és a x= y egyenesre merôleges egyenesnek és a körnek a közös pontjait határozzuk meg Az érintési pontok koordinátái: E^ h, E^ h Az érintôk egyenletei: e : x y 77 = 0, e : x y+ = 0 98 Az érintô egyenlete: y= x+ b alakú A bt úgy kell meghatározni, hogy az egyenesnek és a körnek egy közös pontja legyen Ekkor a kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D= ( 6b6) 0`b b+ j D = 0, ha b = 9! Két érintô létezik Egyenletük: y= x 9! 99 Két érintôt kapunk: x+ y 7= 0, x+ y= 90 a) Az érintô egyenlete: y = mx alakú met úgy kell meghatározni, hogy az y = mx egyenletû egyenesnek az x + y 0x y+ = 0 egyenletû körrel egy közös pontja legyen 0 Az egyenletrendszer diszkriminánsa: D= 80m 8m D = 0, ha m = 0, m = Két érintôt kapunk Egyenleteik: y = 0 és 0x y= 0 b) x y+ = 0, x y7 = 0 c) x =, x y = 0 d) 9x + 0y = 8, x =

5 Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 9 A kör egyenlete: ( x ) + ( y+ ) = 6 A (0 ) pont a kör K( ) középpontjától egység távolságra van A pontból a körhöz húzható érintôszakasz olyan derékszögû háromszögnek a befogója, amelynek átfogója egység, a másik befogó egység Az érintôszakasz hossza rajta van a körön, belsô pont re 0 9 Két megoldás van (0, 8,8), (6 ) Ugyanis a ( 0) ponton átmenô körérintôk egyenlete: x+ y=, x+ y= 9 Tekintsük az ábrát A KA felezi az Anál fekvô derékszöget A KAE 9 derékszögû háromszög átfogója 0 egység Így ( a ) + = 0 Innen a =! Két megoldás van A b 0l, A b 0l + 9 a) A közös külsô és belsô érintôk átmennek a körök külsô, illetve belsô hasonlósági pontjain, a Q és a Q ponton A két kör olyan helyzetû, hogy az egyik külsô érintô egyenlete: y = A Q pont koordinátáit úgy számítjuk N ki, hogy elôször felírjuk K K centrális egyenletét y= x K O, azután a Q pont koordinátái egyszerûen adódnak Q ( ), N Q K O Ezután kiszámítjuk a Q és a Q ponton átmenô, például az ( x ) + ( y ) = egyenletû kör y = egyenestôl különbözô érintôjének egyenletét: x y= 0 A Q ponton átmenô másik érintô egyenlete: x+ y= b) A két kör metszi egymást Csak külsô érintôik vannak Egyenleteik: x+ y= 7 és x y= 7 c) Csak közös külsô érintôk léteznek Egyenleteik: x+ y= b! l 9 9 A közös érintô egyenlete: x+ y= 96 A harmadik csúcs rajta van a körön és az AB oldal felezômerôlegesén Két megoldás van: C (6 8), C (, 0,) 97 Az A( ) csúccsal szemközti oldal A felezôpontjának koordinátái A ( 7) A szabályos háromszög magassága: AA = egység A szabályos háromszög oldala legyen a hosszúságú a = 6 A BC oldal egyenlete: x+ y= 8 A szabályos háromszög B(b b ) csúcsa raj ta van a BC oldal egyenesén, másrészt az A csúcstól 6 egység távolságra van A keresett csúcsok koordinátái: B b 7+ l, C b+ 7 l 98 A négyszög csúcsai: A, B, C, D Az A csúcs koordinátáit a x+ y= 0, x y+ = 0 egyenesek közös pontja adja A( ) Az A átló egyenlete: y = BD átló egyenlete: x =

6 A kör x = A B csúcs koordinátáit az x y+ = 0 egyenletrendszer, a D csúcs koordinátáit az x = x+ y= 0 egyenletrendszer megoldása adja B( 6), D( ) Írjuk fel az A, B, D pontokon átmenô kör egyenletét: ( x ) + ( y ) = A C csúcs koordinátáit a kör és az A átló egyenleteibôl álló egyenletrendszer gyökei adják C( 9) N 99 Két megoldás van, mert két érintô húzható K O, 7 9 N K O 960 A K( 0) középpontú r = 0 egység sugarú kör 0 egység hosszúságú húrjai a középponttól d = egység távolságra vannak A húrok felezôpontjai egy ( x ) + ( y+ 0) = egyenletû körön vannak Az origón átmenô y = mx egyenletû egyenesek közül azt az egyenest kell kiválasztani, amely érinti az ( x ) + ( y+ 0) = egyenletû kört Az egyik érintô egyenlete x = 0 (az y tengely) A másik érintô egyenletét az y= mx ( x ) ( y 0) egyenletrendszerbôl adódó diszkriminánsból számíthatjuk ki + + = m = 0, m = Az x = 0 egyenletû egyenes az ( x ) + ( y+ 0) = 0 egyenletû kört a (0 ) és a (0 ) pontokban, az y= x egyenletû egyenes a kört a Q ( ) és a Q ( 9) pontokban metszi = QQ = 0 egység 96 A kör középpontja rajta van az y= x egyenletû egyenesen, tehát a középpont koordinátái: u= v, a sugár r = u, mert a kör érinti az origóban az y=x egyenletû egyenest A kö zéppont r távolságra van az x y + = 0 normálegyenletû egyenestôl is Tehát u = Két megoldás van: ( x ) + ( y ) = 8, vagy ( x+ ) + ( y+ ) = 8 96 k : xb le + yb le = b l és k : xb le + y b+ le = b+ l 96 Meg kell keresni az adott körnek azt a pontját, amelyik legközelebb van az AB egyeneshez Ezt a pontot a K(8 ) ponton átmenô, és az AB egyenesre merôleges e egyenes metszi ki a körbôl Megoldás ( ) 96 A (6 ) ponton átmenô e egyenes egyenlete: y= mx+ 6m alakú e normálegyen mx y + 6m lete: = 0 met úgy kell meghatározni, hogy m+ + 6m = legyen m + m + Megoldás: y = és x y= 96 ( x ) + ( y 7) = 0 A ponthalmaz kör, a kör minden pontja hozzátartozik a felté telt kielégítô ponthalmazhoz 966 Az ABCD paralelogramma A csúcsának koordinátái (0 0), a C csúcs koordinátái (p q) Az AC átló felezôpontja: F p N K O F illeszkedik az x+ = egyenletû egyenesre, tehát

7 Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje () p + $ q = Másrészt C rajta van a körön, ezért () ( p 8) + ( q ) = () és () egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják a C csúcspont koordinátáit Két megoldás van C (8 0) és C ( 8) Az AC átló felezôpontja: F ( ) A paralelogramma B és D csúcsait úgy számíthatjuk ki, hogy felírjuk a KF egyenesre merôleges, és az F ponton átmenô szelô egyenletét (Ugyanis F felezi a B D húrt, ezért a K(8 ) középpontból a húr felezôpontjához húzott szakasz merôleges a húrra) A szelô kimetszi a körbôl a B és a D csúcsokat A szelô egyenlete: x =, B és D koordinátái: B ( ), D ( 8) Hasonló meggondolással kapjuk a C ( 8) pont felhasználásával a B, D csúcsok koordinátáit B (8 0), D ( 8) Az AB C D és az AB C D négyszögek valóban paralelogrammák és eleget tesznek a feladat követelményeinek 967 Két megoldás van ( ), (8 0) 968 A kör középpontjának koordinátái: K(u u), az érintési pont koordinátái E( ) Az adott egyenes irányvektora: v( ), a KE ( u u) KE = v KE $ v = 0 Innen u = A kör egyenlete: ( x ) + ( y ) = 969 olyan kör van, amely megfelel a feladat követelményeinek Ezek közül legkisebb az A(0 0), B b 0l, C(0 ) csúcsokkal kifeszített háromszögbe írt kör Ennek a K középpontja rajta van az y = x egyenletû egyenesen, tehát K(u u), r = u Az adott egyenes normálegyenlete: x+ y = 0 A beírt körre felírhatjuk a következô egyenletet: u + u = u N N N K O K O K O A kör egyenlete: x + y = K O K O K O Az oldalak egyenletei: y=! x, x = A kerület 9 egység, a terület területegység 97 egyenek a téglalap csúcsainak koordinátái: A(0 0), B(a 0), C(a a), D(0 a) Az E koordinátái: a a N K O AE $ BD = 0 97 Az origón átmenô érintô egyenlete y= mx Az egyenes akkor érinti a kört, ha az x + y 8x+ y + a= 0 egyenletrendszerbôl adódó diszkrimináns 0 y= mx D:( 8 a) m 8m+ 8 a= 0 Két m érték, két érintô van Ha ezek merôlegesek egymásra, akkor az iránytangenseik szorzata 8 a 97 m$ m= =, a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján, a = 8 97 Az A( ) csúccsal szemközti BC oldal A 8 a felezôpontja azonos az adott kör K( ) középpontjával Ebbôl következik, hogy a BC oldal a kör átmérôje égtelen sok megoldás van 97 Tekintsük az ábrát Az érintônégyszög egyenlô szárú trapéz, mert két szemközti oldala párhuzamos és a trapéz tengelyesen szimmetrikus Az alapok összege 0, mert a szárak összege $ AD = 0 egység A má

8 A kör sik szár irányvektorát úgy számíthatjuk ki, ha elôször kiszámítjuk az M pont koordinátáit _ úgy, hogy MD = AD = 0 egység legyen Az M(p q) pontra () q= p b ` () p + ( q 6) = 0b a 8 6 ()() egyenletrendszerbôl: p =, q = A trapéz BC szára párhuzamos az MD szakaszszal MD egyenes irányvektora v K O, illetve v MD ( 7) egyen a B(b b ), a C(c c ) 8 N Ekkor B és C koordinátáira felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () b= b () c= c 6 () b + _ b+ i + c + _ c+ 6i = 0, mert az érintônégyszög szemközti oldalainak összege egyenlô és (6) =, mert BC egyenes iránytangense b b c 7 c egyenlô az MD egyenes iránytangensével ()(6) egyenletrendszer megoldása, mivel 6 b, b, c, c > 0, b = b 8 = c 6 = c = 97 A rajta van a körön, mert a koordinátái kielégítik az adott kör egyenletét ( x ) + ( y ) = 69 egyenletbôl K( ) A C csúcsot úgy kapjuk, hogy az A pontot tükrözzük a K középpontra C( ) KA( ) Elforgatva! 90 kal, B( 7), D(9 ) 976 A és B valóban a k:( x ) + y = 6 kör pontjai Igazoljuk! A C pont koordinátái _ c+ i + _ c+ i 9 (c c ) Ekkor () = és () _ c i + c = 6 Két megoldás van C c 6 c ( ), _ i + _ i 0 N C K O 977 Az egyenes egyenlete: y= x+ a, ahol a > 0 Az egyenes érinti az x + y = N K O egyenletû kört, ha a = Az érintési pont: E K O Ábrázoljuk a deltoidot A beírt kör O középpontja az y tengelyre esik, mert az y tengely szimmetriatengely Másrészt O rajta van az ABC szög szögfelezôjén x+ y AB egyenes normálegyenlete: = 0 xy 8 A BC egyenes normálegyenlete: = 0 A O(0 v) középpontra felírhatjuk a következô egyenletet: v v 8 = A deltoidba írható kör középpontjának koordinátái O(0 )

9 Körök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása Az OB egyenesre merôleges, és a B ponton átmenô egyenes egyenlete: 7x+ y= 9 A pont 7 N koordinátái: 7x + = 9 egyenletbôl K 8 O, illetve N K O A Q pont koordinátái: Q K O 8 N A QRS egyenlô szárú trapéz, ezért R 8 N K O, S N K O A R átló egyenlete: x y=, az SQ átlóegyenlete: x+ y= Mindkét átló átmegy az O ponton, mert O koordinátái mindkét egyenletet kielégítik x y 979 Az origónak az + = egyenletû egyenesre esô merôleges vetülete legyen koordinátái x =, y = ahol ab =Y 0 Ekkor x + y = = állandó A mér a b ab a b a + b a + b + a b tani hely origó középpontú kör A kör sugarának négyzete r = A kör tengelypontjai ( pont) nem tartoznak a mértani + a b helyhez Körök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 980 a) A két körnek egy közös pontja van, érintik egymást a ( 0) pontban N N K 8+ O b) K O, 8 + K O N, c) ( ) d) K O K O 98 ( ) az érintési pont A keresett kör középpontja rajta van az y= x egyenletû egyenesen, mivel mindkét koordinátatengelyt érinti Ezért u= v és r= u A kör egyenlete: (x u) + (y u) = u Mivel a pont illeszkedik a keresett körre, azért ( u) + ( u) = u Innen u = 7! 6 Megoldás: x b7! 6lE + y b7! 6lE = b7! 6l 98 a) A körök közös pontjainak koordinátái: ( 00 ), ( ) A keresett kör Kuv ( ) középpontjára K= K és a sugár r = u + v = és ( u ) + ( v ) = Két megoldás van: x + y x+ y= 0 és x + y + x y= 0 b) A kör középpontja a (0 0) és az ( ) pontokat összekötô szakasz felezôpontja Megoldás: x + y x y= 0 8 N 98 A körök közös pontjainak koordinátái: ( ), K O A keresett kör K középpontja az x tengelyen van, tehát a K koordinátái: K(u 0), másrészt K= K 8 N 96 7 N 7 ( u + ) + = K u + O Innen u =, r = A kör egyenlete: x + y 6 K O = 6 98 A két kör közös pontjainak koordinátái: ( ), ( ), és az adott ( ) pontok derékszögû háromszöget feszítenek ki A kör egyenlete: x + y x+ y+ = 0 98 ( ), ( )