V. Koordinátageometria

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "V. Koordinátageometria"

Átírás

1 oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O& = $ & & BA A B Hasonlóan BC= CB AC= C A a+ b a b 6 a) = b + b _ = b a+ b= b b b b b c b c b c a + b + =- + + = ` b =- `& b = `& = b c a 8 + = b b c = c+ a b a a b c c a + + = + b = = b b a a Innen: a = 8 b =- c = 0 A( 8 ) B( - ) C( 0 ) b) (- 6) (7 ) ( -) x+ 0 y O (0 0) Ha O (x y ) akkor = = 7& O ( ) 0 b = + 0 = 6 b = + = & B( 6 ) OB felezôpontja: F ( 6) AC felezôpontja F ( 6) OB( 6 ) AC( - ) OB $ AC= 0 Az átlók merôlegesen felezik egymást 67 M( ) O( 7 0 ) +90 -kal elforgatva O( 0 7) O ( - ) -90 -kal elforgatva O ( - - ) ( - - 0) OM ( - ) OM $ = 0 & OM = OM = 6 = 0 = 6 így = OM $ N 9 N N N 68 A AA - BB -6 - CC 9 O O O O

2 90 Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 69 -n túl meghosszabbítva (-6 ) O-n túl meghosszabítva ( -) Ha (a b) akkor (a b) (-a -b) 70 B (6 ) C (6 -) $ + $ 0 ( ) $ 7 a) A : B = : & p= = p = - + = & ( ) N N AQ: QB = : & Q ( 8 8) b) 7 7 O 7 7 O 8 N 7 N 7 a) ( ) ( 6) ( 0) b) O O 7 AB( - ) AB= $ AB( - 6) OB= OA + AB OB( 7 -) B( 7 -) Hasonlóan: A ( ) N 7 N 7 F ( ) F 0 FF - O O 7 Egyenlô magasságú háromszögek területének 7 aránya megegyezik a közös magassághoz tartozó oldalak arányával Az ABC háromszög területe legyen t tab= t tbc= t _ t t+ t= b b t t t ` & t= t= tabq= t= t b 7 t+ t= b a t tbq = AQ: Q t : t t : t = ABQ BQ= = 7 : t t CQ: Q = tbcq: tbq= : = : = 6: 7 76 egyen az OAB háromszög területe t taeo= t tabd= t 76 _ t t+ t= b b t ` & t= t= toa : tae= t b t+ t= b a t = t: t= : tabq= O : E = : a+ b a+ b O = OE OE = O = O( ) O =

3 Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 9 N N 77 a) S( ) b) S 0 O a+ b a-bn O c) - d) O 8 8 O 78 S ABC ( ) S DEF (7 7) SS ( 6 ) AD + BE + CF( 8 ) SS( 8 ) a + b+ c d + e+ f s= s= SS = s-s SS d e f ( a b c) = AD + BE + C = d- a+ e-b+ f-c N 9 N 79 Az ABC háromszög súlypontja S 0 & S O O A BCD háromszög súlypontja S N 9 N & Sl O O S = Sl a b c Általánosan: s = + + s + d a+ b+ c+ d s = = 80 C( -) 8 H ( 0) H (8 0) ( ) (0 ) ( 8) (7 7) M ( ) M ( 6) 8 N M harmadolópontjai: O 7 N O M harmadolópontjai: 6 N O N O 8 N H harmadolópontjai: O 6 N O H harmadolópontjai: 7 N O N O 6 N 8 AD( ) BC( & ) AD = BC & ABCD paralelogramma H O EF BC EG az ABH háromszög középvonala ezért EG BH BC = = így FG = BC & BHFG paralelogramma ezért M a BF és GH felezôpontja Ebbôl következik hogy M az AH negyedelô- N pontja M O N 8 a) AB( ) DC( )& AB#DC b) AB = DC O c) AB = DC ( -6 - ) 8 a) Az AQR paralelogramma átlói felezi egymást A(- ) B( -) C( ) b) ( -) (7 -) ( 9) c) (8 ) ( 7) (- ) 8 C(-7 ) D( 9) 86 A rombusz középpontja ( 9) D ( ) A a D +90 -os elforgatottjának kétszerese: A( - 8) OA = O + A OA( - 7) A(- 7) C( ) 8 87 ( 0) A( ) +90 -kal elforgatva B( - ) B(- ) D( -) 88 uabu = uacu = 0 ubcu = Az f a messe a BC oldalt -ben f b az AC oldalt Q-ban f c az AB oldalt R-ben

4 9 Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 0 7 N B : C = : 0= : & O AQ : QC = : = : N - O Q = 6- O AR : RB = 0 : = : R b l $ 6+ m $ 0 89 egyen (p 0) és AB : B = m : n = m = & m = tehát AB : B = : + m p N = 8& p = 0 6 O Hasonlóan: R 0 N O 90 uabu = 0 A magasság talppontja T A befogótétel szerint AO = AT $ AB 6 = 0 $ AT N AT = BT= AT : BT= : = 9 : 6 T = O 9 E HO + E HO 9 HO : HO = : 7& 7$ HO = $ HO HO ( -x - y) HO ( 7-x 0- y) 7 7 ( - x) = 7 ( - x) & x= 7 N 7 ( - y) = 0 ( - y) & y= H - O N 9 AB BC CD DA felezôpontjai rendre: F O F N O F N 6 O F (- 9) 9 N F F illetve F F felezôpontjai: O 9 N O F F F F paralelogramma 9 egyen az S súlypont az origó a súlyponton átmenô egyenes az x tengely S(0 0) A(a a ) B(b b ) C(c c ) A feltétel szerint a + b + c = 0 Ebbôl a + b =-c qa + b q = q-c q 9 Az ABC háromszög AB oldalát a B csúcs felé hosszabbítjuk meg és így tovább A csúcspontokhoz vezetô vektorok a b c AB = b- a BC = c- b CA = a- c legyen m > 0 m! R A keletkezett háromszög csúcsaihoz vezetô vektorok a b c _ AB= m$ AB = m( b- a) b= a+ m( b-a) b BC= m$ BC = m( c- b) c= b+ m( c-b) ` + CA= m$ CA = m( a- c) a= c+ m( a-c) b a a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c= a+ b+ c = & s= s& S = S 9 Az olyan háromszögeket kell megkeresni amelyeknél a súlypont koordinátái különbözô eseteket jelölnek az origótól való távolságot tekintve A (- 0) B( 0 ) C( - ) N S( 0 0 ) OS = 0 A (- 0) B( 0 ) C( 0 ) S 0 O OS = A (- - )

5 ét pont távolsága 9 N B( 0 ) C( 0 ) S 0 O OS N = A ( 0 0 ) B( 0 ) C( 0 ) S O OS = N A ( 0 0 ) B( 0 ) C( ) S O OS N = A ( 0 ) B( ) C( 0 ) S O OS = Ha S koordinátáinak elôjelét változtatjuk a távolság változatlan marad így értéke a felsorolt 6 lehetôség valamelyike lehet 96 AB( ) CD( 6 ) 96 $ AB = CD& AB CD H B : H D = AB : CD = : H B= H D HB_ 7-x -yi HD_ 9-x -yi H (6 ) ABH + CDH AH : H D = AB : CD = : AH= HD AH^x- y-h N HD_ 9-x -yi & H O 97 AB( - ) $ AB( 9 - ) +90 -os elforgatottja AD ( 9) BC ( 9) d = a + AD 9 N c= b+ BC& D 0 O C N 9 O $ AB -90 -os elforgatottja: AD= BC( - - 9) innen D - N -8 O C N -9 O 9 N O N - O AB Megoldható a feladat úgy is ha BC = ét pont távolsága 98 O = O = O = O = 8 O = 6 O6 = O 7 = O a 8= = a $ O9 = `a + b j 99 a = b = 9 c = 09 d = 8 00 a) d = b) d = 6 c) 6 d) e) 7 f) h) = 70 g) 0 a) c = b = 0 a = k = + 0+ = + = b + l b) c) + + d) a + b + a + b

6 9 ét pont távolsága 07 0 a) CA = CB = 0 AB = F ( 0) mc = t $ = = területegység b) 6 területegység AB 0 C(c 0) ( c- ) + = ( c- 6) + c= 7 C(7 0) AB = FAB ( ) mc t = területegység 0 a) CA( - 6) CB( 9 ) CA $ CB = 0 AB 6 AB = 0 r = t = r területegység 69r b) t = területegység 0 AB felezôpontja: (- ) A( - ) +90 -os elforgatottja C( ) & C( 0 ) A +90 -os elforgatottja (- -) C (- -) N 06 egyen A( 0) B(0 ) AB 6 O N O S = + = 6 6 6$ $ 6$ 07 t ADBE = 6 $ = t= = t= = t= = T ABC = - ( + + ) =7 területegység CA( - ) CA = 0 CB( - ) CB = 6 CA $ CB =- 8= 0 $ 6 $ cosc c = 9 7 b = a =8 08 a) T = 9 területegység k = egység b) területegység & & 09 a) AD( ) BC( & ) AD=BC AB( -) AB $ BC = =Y 0 tehát paralelogramma b) AB( 0 ) DC( 0 )& AB DC AD = BC = 0 tehát szimmetrikus trapéz c) AC( - - ) BD( - ) AC = BD = AC $ BD = 0 tehát négyzet d) Négyzet e) Négyzet 0 C(x y) qabu = qacu = qbcu = qacu = qbcu = N N ( x- ) + ( y- ) = + + O -& C ( x- 8) + y = O - - O O Mivel a kör érinti az x tengelyt r = Ha (x y) rajta van a körön x + (y + ) = 69 ( -6) + (-6 + ) = + 9 =Y 69 ezért nem illeszkedik a körre illeszkedik a körre a) C = + = r = C + = r = b) r = a) (x y) A = B & A = B (x - ) + (y - ) = (x +) + (y - ) 7x - y = b) x + 7y = 7

7 ét pont távolsága 9 A szabályos hatszög középpontja és két szomszédos csúcsa szabályos háromszöget alkot ABb l tg a= & a = 60 AB = 6 Ezért ( + 6 0) (8 0) b 6 l - b latovábbi csúcsok: b l ( 0) b - l - b - l illetve b 6 l b- 6 l b-7 l (- 0) O = A & O = A (x 0) x = (x - 9) + & & x = ( 0) 6 (x0) A = B & A = B (x - ) + = (x - 6) + & x = 7 (7 0) 7 Q(0 y) Q = & + (y + 9) = & Q b l Q b0-9-0 l 8 Az érintés miatt a kör középpontja ( r) ha a sugara r Ekkor A = r ( + ) + (r - ) = r & r = 0 ( 0) 9 Mivel ( ) az elsô negyedben van a kör középpontja (r r) = r (r - ) + (r - ) = r & r = 0 r = (0 0) ( ) 0 egyen (x y) olyan pont amelyre A9 B A( x + y - ) B( x - 8 y + 6) A $ B = ( x+ )( x- 8) + ( y- )( y+ 6) = 0 & x + y - x+ y- = 0 Ha y = 0 akkor b+ 0l b- 0l Ha x = 0 akkor Q b0 - + l Q b0 -- l (x 0) A9 B A( x + - ) B( x -7 - ) A $ B = ( x+ )( x- 7) + 9= 0 b 7 0l b 7 0l + - (x 0) A( x -6 - a) B( x + - ) A = B A $ B = ( x- 6)( x+ ) + a= 0& & x - x+ a- = 0 Egy megoldás van ha a diszkrimináns 0 D = 6 - (a - ) = 0 a = 6 A(6 6) ( 0) B(0 y) AB = CB& AB $ CB = 0 AB( 6 y) CB( - y + ) -6 + y(y + ) = 0 B (0 ) B (0 -) A középpontos szimmetriát felhasználva D (- -) D (- ) B(0 y) AB( - y + ) CB( - y - 6) AB $ CB = 8+ ( y+ )( y- 6) = 0 & & B b0 l B b0 l D b6 l D b6 l AB = 7+ BC = 0- T = 7+ b0- l = b6+ l = b6+ l AB = 7- BC = 0+ T = b 6 - l megoldás van aszerint hogy az AB oldal a hosszabb vagy a rövidebb Ha BC = = AB AB( 9 ) BC ( ) - BC ( - ) c= b+ BC c= b+ BC C ( 9)

8 96 ét pont távolsága N C ( ) az AC felezôpontja: O 9 7 N O Ha BC = $ AB BC (- 6 7 ) C( - 9 ) BC ( 6-7 ) 7 N C( - ) Így - O 7 N - O 6 AB = 0 BC = egyen D(x y) & & AD = AB AD = AB ( x - 8) + ( y - ) = 0 D ( 7 ) CD BC& CD BC & & = = ( x - ) + ( y - ) = AC = BD = 0 T = területegység 9 $ BD 7 AC( 9 9 ) AC = 9 T = 7 = & BD = N Az AC felezôpontja F - O FD illetve FB az FD 90 -os elforgatottja 9 9 N FC O FD N - O FB N - O d= f+ FD D (- ) & & b= f+ FB B( - ) 8 A rombusz átlói felezik a rombusz szögeit tehát az ABC háromszög szabályos B(x y) ( x- ) + ( y- ) = 0 AC = 0 AD = BC = 0 & x + y = 0 B b+ - l D b- + l 9 (a j) = (b j) = { a = b = + b j(0 ) a$ j= $ $ cos { = b$ j= + b $ $ = b& b = + b & b=! Mivel b > 0 B(- ) 0 A(x y) AB = AC = & AB = AC = ( ) ( ) x+ + y+ = -& ( x- 8) + ( y- ) = A ( -) A ( ) BC = 7 N 0 BC felezôpontja F O m AF 0 = = T = 7 területegység a) egyen (u v) A = B A = B illetve A = C A = C (u - ) + (v - ) = (u - 8) + (v - ) illetve (u - ) + (v - ) = (u + 6) + (v + ) 9 9 N v =- u = - O r 9 N N 7 = = O O 9 N b) - - O r 0 9 N = c) (- -) r = d) ( ) r = e) - 0 O r = 877 0

9 Az egyenes egyenletei 97 Az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög hasonló az eredetihez öré írt körének sugara fele az eredeti háromszög köré írható körének A = B A = B illetve A = C A = C (u + 7) + (v + ) = (u + ) + (v - 9) illetve (u + 7) + (v + ) = 77 N = (u - ) + (v + ) - 6 O r A 7 N 77 N = O 6 O = 8 R á 7 $ R = r T = R r = $ r r = 678 területegység Ilyen háromszög nem létezik C (x y) A = B & A = B illetve C : D = : = D 9 ( ) (-6 -) S(- 7) AB + BC + CA = = 68 AS + BS + CS = = = 6 Mivel $ 6 = 68 ezért az állítás igaz Az általános megoldáshoz válasszuk a koordináta-rendszert úgy hogy a súlypont az origóba essen 6 egyen az e egyenes az x tengely (x 0) A(a a ) B(b b ) C(c c ) A A + B + C = (x - a ) + a + (x - b ) + b + (x - c ) + c = a b c a b c = x N _ + + i - + a + b + c + a + b + c O kifejezés minimális ha a b c x = + + a + b + c N 0 O a súlypontnak az x tengelyre esô merôleges vetülete 7 egyen A(0 0) B( 0) C( ) D(0 ) (x x) S= x + y + ( x- ) + y + ( x- ) + ( y- ) + x + ( y- ) = x + y -x- y+ = N N = x- + y- + O O # S # S min = ekkor a négyzet középpontjában van S max = ekkor a négyzet csúcsaiban van Az egyenes egyenletei 8 a) x + y = 6 b) x + y + = 0 c) -x + y + 8 = 0 d) x + y = 0 e) y = f) x = -0 g) x + y = 9 a) - y = 0 b) x- y=- - c) x + y= d) x - y = e) x - y = f) x + y = 8 g) 8x + 0y = 0 h) x = 0 a) x - y = 7-0 & x - y =- b) x - y =- c) x - y = 7 d) x - y = 0 e) 9x - y =- f) x + y = 6 g) x = 0 h) 8x - y =- i) n (a - b b - a) (a - b) x + (b - a) y = 0 ha a =Y b akkor x - y = 0 ha a = b akkor x = a vagy y = b vagy n x + n y = (n + n ) a j) x+ b - l y= 6+ 6 _ x-x y-yi n(y - y -x + y )(y - y ) x + (-x + x ) y = = (y - y ) x + (-x + x ) y rendezve kiemelve: (x - y )(x - x ) = (x - x )(y - y ) Ha x = x és y =Y y & x = x ha x =Y x és y = y & y = y

10 98 Az egyenes egyenletei a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $ b =Y 0-val & x y & + = a b a = y= x+ 7 y= x+ 7 y =-x + 7 y = 7 a) n( ) (0 ) v(- ) tga =- a = -687 b) n( -) ( 0) v( ) tg a = a = 796 c) n( -) ( 0) v( ) tga = a = d) n b - l (0 -) a =60 e) x + y = n( ) ( 0) a = -687 f) n( 0) ( 0) a =90 g) n(0 ) (0 -) a =0 6 a) 7-6 = rajta van b) $ - =Y nincs az egyenesen c) rajta van d) egyik sincs rajta e) a(- 0) (7 6) (0 8) pontok rajta vannak 7 koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve = a & a =- 8 a)! e & a + b =! e 7a+ b= a b & =- = b) a= b=- 7 ca ) = 0 b= 9 A feltétel szerint y = x & x + = 0 x = - (- -) 0 N 0 y= O ( ) (- -) (- -) (x 6) (x -6) x + 8 = 6 & x =- x - 8 = 6 & x = 6 (- 6) (6-6) a bx + ay = ab b+ a= ab& b= a =Y a - Az átlók egyenlete: x = 0 y = 0 A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) x! y = 0 x! y =-0 A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) & x! y = 0 illetve x! y =-0 Húzzuk meg az egyeneseket az adott pontokon át a) A( 0) B (0 ) b) ( 0) (0 ) N c) 0 O (0 ) d) ( 0) (0 ) e) ( 0) (0 8) f) ( 0) (0 ) g) (0 0) (0-8) 0 6 a) t = területegység b) t = c) területegység 99 7 N 7 N 7 n ( ) F ( 9) a felezô merôleges egyenlete: x + y = 7 0 Q 0 O O 8 Az ABC háromszög középvonalainak egyenesei felelnek meg A (9 -) B ( ) C ( -) x + 8y = 9 B C ( -6) x + y = x - y = 9 9 Ha x = 0 y = ezért a legtávolabbi pont ordinátája lehet x<00 miatt x = 0 (0 ) 60 y= x Ha x! R akkor y irracionális

11 Az egyenes egyenletei 99 x y 6 Az A(a 0) B (0 b) pontokon átmenô egyenes egyenlete + = & + = a b a b b & b+ a= ab a= = + b lehetséges értékei: 7 b - b - b = a =-8 b = a = 0 b = 7 a = 7 x - y =-8 x + y = 0 x + y = 7 6 A-ból induló szögfelezô: 7x+ y= 7 C-bôl induló szögfelezô: b + l x+ b + l y= + 8 & B-bôl: b - l x+ b + l y= -8 6 Tükrözzük az A pontot az y tengelyre A (- ) A + B = A + B ami akkor lesz N minimális ha az A B egyenesen van AB (8-7) n(7 8) 7x + 8y = 0 x = 0 & 0 O 6 Tükrözzük az A-t az x tengelyre Az A ( ) pontot kapjuk A C + CB = AC + CB minimális ha C az A B-n van AB ( ) n( -) x - y = y = 0 C( 0) 6 B csúcsot az x tengelyre tükrözve Bl-t kapjuk Bl az AC oldalegyenesre illeszkedik Bl( ) AB( ) n( -) x - y =- y = 0 C(- 0) 66 Az adott egyenes egy pontját ( -)-t eltolva Q(8 -) n( -) & x - y = 6 67 _ x+ i + y -<_ x- i + _ y- 6i F = 0 & x+ y= 68 Tükrözzük az y tengelyt a pontra & x = 6 Q(6 0) Q( -7) n(7 ) & 7x - y = x y = & - = & 6b- a= 6 b = + a = b -l a b a b x y 70 + = & + = és ab a b a b &b - 6b + 6 = 0 b = a = b = a = Innen: x + y = illetve x + 9y = 7 y = x ha x! [ ] y =-x ha x! [- -] illetve N 7 0 O 7 a) y= x- A keresett egyenes egy pontja (0 -) m =- y=- x- x + b) Tükrözzük pl a ( ) pontot C-re = & x =- y = 0 & l(- 0) Mivel ele x - y = -6 = 8 b + a = ab & b + a = 6 & b(6 - b) = 6 & 7 e: y - = m(x - 7) ha x =- & y = - 8m F(- - 8m) Az e egyenes x tengelyre esô pontja Q N m O F a Q felezôpontja m =- & m = & & e: x - y + 9 = 0

12 00 Az egyenes egyenletei 7 ABb- l n b l AB: x + y = 6 DE AB x + y =- 6 BC: y = EF: y =- DC b l n b - l x- y=- 6 FA DC: x - y = 6 9 N 7 a) A O B N O C ( ) A súlyvonalak egyenlete: AA 7 N - O n(7 ) s a :7x + y = 7 s b : x - 9y + 8 = 0 s c : x + y = 0 A középvonalak: AB_ - -6i n( -) 7 N x- y= + = x + 7y = 8 x + y = b) A ( -) B - O N C - - O A súlyvonalak: 7x - y = x - 6y = 8 x + y =-6 A középvonalak: x - 6y = 9 9x + y =-7 x + 0y = 76 a) ( -9) Q(7 6) R( -) R_ i RQ_ 0i RQ = $ R ezért egy egyenesen vannak b) R a Q egyenesen van a- b a+ b 77 v (b - a a - b) v (a - b -b - a) =- & a= b b- a a - b 78 e l BC BC_ i& n _ - i e :x-y = - BC: x - y - =0 $ -6- d A= = = _ m i Az ábrán látható derékszögû háromszögek egybevágósága miatt e is megfelel F( ) AF_ - i n( ) & e : x + y = d= d = + - = = _ 6 mi A b-6 -l B b6 - l A száregyenesek: y=! x k á 7 egység m b = 6 egység így tga = a = tgc = c = 06 b = Tükrözzük B-t az x tengelyre: B (- -) B A_ 7 7i n( -) a beesô fénysugár x - y = ( 0) B_ - i n( ) a visszavert fénysugár x + y = 8 c =- arányú O középpontú hasonlóság a B ( -) pontot A-ba viszi (0 0) 8 Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0 y= x vagy y = x + vagy y= x+ egyenesek pontjai elégítik ki a feltételt

13 Az egyenes egyenletei 0 8 Egyenespárt akkor kaphatunk ha a bal oldal két lineáris kifejezés szorzata Ha m = akkor (x + y) - (x + y) - = 0 ahonnan (x + y - )(x + y - ) = 0 tehát x + y = vagy x + y = 8 a) n ( -) n ( -) n $ n = + = 7 n = n = 7= n$ n 7 = $ cos_ n$ ni& cos~ = cosn$ n = = & ~ = 9 7 n $ n $ b) 9 c) d) 6 e) 90 f) 787 g) n (A B ) n (A B ) = A + B n A A+ BB n = A + B n $ n = A A + B B cos~ = A + B $ A + B 86 AC felezôpontja F ( ) BD felezôpontja F ( ) ezért a négyszög paralelogramma AC_ 8 8i& n_ - 9i BD_ - 8i& n_ i n = 97 n = n $ n =-9-9 cos~ = & ~ = 7 6 $ Ha az egyenesek irányszöge a és b a két egyenes hajlásszöge { = a - b m = tg a m- m m- m m = tg b tg{ = tg_ a- b i = & tg~= + mm + mm 88 a) a = 8 b = c = 08 b) a = 676 b = 0 c = 7 89 ~ = ~ = tga = tg b =- tg -- ~ = = { = b - ~ tg { = = y = x tga = m tg 9 7 & x y 9 = _ a + i = = 7 - = m tg 9 7 = _ a - i = =- & x+ 7y= tg a =- tg_ a + 60 i = = - = tg_ a - 60 i = = + y= b+ l x- -6 illetve - y= b- l x a) ~ = 7 b) 6

14 0 Az egyenes egyenletei 9 m = m =- m = m + =- tg e e 9 _ i = =- - $ + tg e e 9 _ i = = tg(a + c) = 0 & a + c = Ha a csúcsok egész koordinátájú pontok akkor az oldal négyzete: a pozitív egész a & t = irracionális Másrészt a háromszög befoglalható olyan téglalapba amelynek oldalai a koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak csúcsai egész számok így területe is egész A téglalapnak a szabályos háromszögön kívüli részeinek területe racionális számok így a szabályos háromszög területe is racionális lenne ami ellentmondás Így nem lehet minden csúcs egész koordinátájú 97 x = + t y = 7 - t 98 A (0 i j k) koordináta-rendszerben az egyenes egyenletét egyértelmûen meghatározza egy adott 0 (x 0 y 0 z 0 ) pontja és egy v(a b c) irányvektora Egy (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a 0 ponton átmenô v irányvektorú egyenesre ha 0 = r - r 0 vektor ahol r a pont és r 0 a 0 pont helyvektora párhuzamos a v vektorral Ennek szükséges és elégséges feltétele hogy r - r 0 = mv legyen ahol m! R Innen r = r 0 + mv Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = x 0 + ma y = y 0 + mb z = z 0 + mc a) x = + m y =- + m z = - m b) x = m y = m z =-m c) x = y = + m z = + m d) x = 7 y =- z = + m 99 a) v( - ) A( -) x = + m y = -m z =- + m b) v(- - ) A(0 ) x =-m y = - m z = + m 600 a) A 0 ( - 7) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + m y =- + m z = 7 + 6m v( 6) b) 0 (0 - ) v( 7 ) c) 0 (0 0 0) v( ) + y z + 60 = és = 0 ( ) 60 A hajlásszög az irányvektorok hajlásszögével egyenlô v ( ) v ( ) 6 v $ v = qv q $ qv q cos { cos{ = + + { = 96 $ egyen az s sík egy adott pontja 0 (x 0 y 0 z 0 ) a 0 helyvektora r 0 egyen a sík egyik normálvektora n(a B C) (n nem nullvektor!) 0 és n a síkot egyértelmûen meghatározzák Az r helyvektorú (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a síkra ha r - r 0 vektor merôleges az n vektorra Ekkor n(r - r 0 ) = 0 A felírt skaláris szorzatot kifejezhetjük az n vektor és az r - r 0 vektor (x - x 0 y - y 0 z - z 0 ) koordinátáival: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + + C(z - z 0 ) = 0 Innen Ax + By + Cz + D = 0 ahol D =-(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) a) A = B =- C = x 0 = y 0 = x 0 =-7 x - y + z + 8 = 0 b) x + y + z - 9 = ( ) n(0 0 ) z - = 0

15 Az egyenes egyenletei 0 60 Elôször meg kell határozni például az A( 0 ) B( -) D( - ) nem egy egyenesre illeszkedô pontok által kifeszített síkot épezzük az AB_ - i és az AD_ - i vektorok vektoriális szorzatát (álasszuk egyszerûség kedvéért az AB vektorral egyirányú ( -) koordinátájú vektort és az AD vektorral egyirányú ( - ) koordinátájú vektort) Ekkor # = 0$ i-j- k Tehát az ABD síkra merôleges egyik nor- AB AD málvektor koordinátáit: (0 - -) illetve (0 - -) Az ABD sík egyenlete az A( 0 ) pont és az n(0 - -) normálvektor segítségével felírható: y + z = Ezt az egyenletet a C csúcs koordinátái is kielégítik mert 0 $ = igaz egyenlôség 606 a) n( -) (- 0) b) n( - 0) (0 z) z! R c) n(6 0 0) vagy N például n*( 0 0) y z 6 O y z! R 607 a) A sík normálvektora lehet az AB vektor AB_ - - 0i a sík egyik pontja az AB szakasz felezôpontja: F(0 0 ) A sík egyenlete: x + y = 0 b) n(-8-6 -) vagy n*( ) a felezôpont F(- ) A sík egyenlete: x + y + z = 608 AB_ 7 - -i AC _- -6 -i n = AB # AC n(- -6) mert a # b = (a b - a b )i + (a b - a b )j + (a b - a b )k Itt a = 7 a =- a =- b = - b =-6 b =- A sík egyenlete: -x + y - 6z = A D( z) pontra z = innen z = Az egyenesnek a síkkal bezárt szögét azzal a { szöggel mérjük amelyet az egyenes a síkra esô merôleges vetületével bezár (609 ábra) Az ábra szerint látjuk hogy ez a { szög az egyenes irányvektorának (v-nek) és a sík normálvektorának (n-nek) a segítségével kiszámítható! { = 90 - ~ (609/I) ábra) ahol ~ a v és az n vektorok hajlásszöge ~-t az n $ v skaláris szorzattal határozzuk meg n( 7) v( ) n = 78 v = 9 0 n $ v = = 0 másrészt n$ v= 78 $ 9 cos~ Innen cos~ = 78 $ 9 ~ = 7 { = 78 Ha cos ~ < 0 akkor az (609/II) ábra szerint ~*-gal számolunk 609/I 609/II

16 0 Az egyenes egyenletei ét egyenes metszéspontja ont távolsága egyenestôl síktól N 60 a) (- ) b) ( 8) c) O d) N - O e) ( ) f) (- ) 6 6 N g) O h) ( ) i) x bc - bc ac - ac a b a b c = y = ha =Y Ha = =Y ab - ab ab - ab a b a b c a b c akkor nincs megoldás Ha = = akkor végtelen sok közös pont van a b c 6 a) B _- i A_ - i C( ) 8 N b) - O 7 N O 6 N O c) N N O O 60 0 N O 0 N 6 AC + CC & C _ - 6i AC + AA& A_ 8i AA+ CC& S 0 O + b b- 6 = & b=- = 0& b =- B _- -i b 6 AB + AC = A A( ) AC + CC = C C( ) CC + AB = C C ( ) + = b + = B( 8) BC: x - y = N 6 BB+ CC= S& S O AA harmadolópontja: S A ( ) Tükrözzük S-t A -re: 6 N S* O S* C BB miatt S * C: x + y = 6 CC + S * C = C & C _ i C-t A -re tükrözve: B( 0) 6 A(- ) A-t F-re tükrözve B(7 -) x- 0y= N AC BD & n( -0) x - 0y = y = & D _ 7 i AD felezôpontja A O B-t A -re tükrözve: C(8 ) 6 6

17 ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól 0 66 e + e = B(-6-6) S a BB szakasz B -hez közelebb esô harmadolópontja: B (6 9) B-t B -re tükrözve: D(8 ) ABCD paralelogramma AB CD m= & CD: x - y =- y= x+ 8 BC + CD = C x- y=- & C _ 0 8i BC felezôpontja A (- 6) AA harmadolópontja S _ - i+ x $ 6+ y = = & A _ 0 i N 67 A és B pontok koordinátái kielégítik az adott egyenes egyenletét: A( ) B O + + c + + c = 9 N = 6& C O AB = 8 BC = 98 AC = 8 AC _ 78 i AB_ - i AC $ AB = $ - 78 $ 8 = = 98 $ 78 $ cos a & a = 8 b = 60 c = 6 68 B-t tükrözve a szögfelezô egyenesére B az AC egyenesére illeszkedik BB : n( -) x y N - = N x - y = x+ y= & F - O BB felezôpontja F& B O AB _ 6-7 i 7x 6y 9 N + = n(7 6) AB : 7x + 6y = 9 x+ y= & C - - O x+ y= 69 x- y=-8 & C( 8) x+ z= x- y=-9 & B( 6) x- y=-8 x- y=-9 & & A(- ) Az ABC háromszög súlypontja és az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög súlypontja azonos S 6 O N - x+ y+ x- y+ 60 I megoldás: Az egyenesek normálegyenlete: = 0 illetve = 0 - x+ y+ x- y+ = & y= x II megoldás Az adott egyenesek és az x tengely meghatározzák az A( ) B(- 0) C( 0) háromszöget Az A-tól induló szögfelezô AB : AC arányban osztja a BC szakaszt AB : BC = : = : 6 B: A = : & (0 0) A: y = x 6 ( 0) Q(0 -) 6 M( ) AM = egység x+ y= 6 6 e + f: x- y=-8 & M 0 N - O 0 $ t $ = = t = = t = + = területegység v e (- ) v f ( ) ~ = 76

18 06 Az egyenes egyenletei 6 e + e A(-6-6) egyen ( -) az e egy pontja Határozzuk meg Q-t úgy hogy H a Q -hez közelebbi harmadolópontja legyen q + 6 q = 8-6 = 6& Q(8 ) Q ponton át írjuk fel az e -gyel párhuzamos g egyenes egyenletét: x - y =- e + g = B y= x+ 8 c 0 x- y=- & B _ 0 8i BC szakasz C-hez közelebbi harmadolópontja H + = 8 c + 8 = 6& C( 0) e : y= x- e : y= x- > $ - és > $ - az e és az e fölött van tehát nincs a háromszögben 6 66 e : y = x + e : y =-x + e : y=- x+ 6 c >c + és c > - c + és c < - c c> + c< - c> c< - - < c < Így - < c < - 67 AB egyenlete y = 0 CD egyenlete x + yb- l = AB + CD: ( 0) A = 68 AC + AE = A A(0 ) A-t tükrözve -ra: D( ) AC + CE = C C( 0) C-t tükrözve -ra F( 6) CE + AE = E E(6 ) E-t tükrözve -ra B(- ) 6$ 69 A háromszög csúcsai: A( 0) B(8 0) C( ) t ABC= = 9 területegység Mindkét keletkezô kúp sugara magassága Alkotója: a = + = = ra= 8 r területegység = $ = 8r térfogategység r $ a) e + e = M & x=- 7& x=- behelyettesítve: - + y + = 0 & 7 N & y=- M O e -ba behelyettesítve 7 N N $ ! 0 O 0 O ezért a három egyenesnek nincs közös pontja b) e N + e = M M - O koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: = 0 a három egyenes közös pontja M c) Mindhárom egyenes áthalad az M( ) ponton d) Nincs közös pont x y 6 e : y = x e : + = e 6 : x -y=- e + e = M M( ) M koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: - 6 =- így mindhárom egyenes áthalad az M ponton 6 s a : x - y =-9 s b : x = C (- 6) CC (-6 ) n( ) s c : x + y = Mindhárom egyenes átmegy a háromszög S( ) súlypontján 6 A ( 8 ) B( ) D ( 7) O(0 0) OA( 8 ) DB( - 6) OA $ DA = 8 8 OA = 80 = DB = 0 = 0 cos{ = = $ 0 0

19 ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól 07 7 $ 0 $ 9 7 OA $ DB $ sin{ sin{ = - = = t = = = 8 te Q(x y) Q (- ) Q ( ) x- y= - 6 a) x+ y= M 7 N - 7 O x- 8y=- b) 8x - 7y =-9 66 a) x - y = 6 x+ y= 0 & 9x + y =-6 b) x - y + 0 =0 0 N c) - - O Q( 0) Q( 6 9) 9x- 6y= 8 x- y=- 67 x- y=- - & x = y = 9 M( 9) m = 0& m = tg a - tg 68 y= x- & m= m = tg(a - c) m = tg(a + c) m= = + tg a $ tg tg a + tg m = = =- v - tg a $ tg - ( ) n = ( -) x - y =-0 v ( -) n = ( ) x + y = 0 x+ y= b b 6 b x+ y= 6 + & y = b + 6& y = + - b- 6 b+6 N x = O x+ y= b b b x- y= + & 6x = b + & x = + - y = 6 6 b- 6 b+ N b 6 b Q = & Q = N + = 6 O 6 O b- N - bn b - N b - + = 6 O 6 O = 6 O =! b =! 6 x- y= 0 60 b b N x- y= 0 b b & y=- x+ b ` 8 O Q b b N & y=- x+ b ` b O Q = & Q = & b a a bn b bn & b = & b =! 8 O 8 O 6 e :x-y = 6 f :x + y + 6 = 0 Az e egyenest tükrözzük az origóra ( 0) az e egy pontja ennek az origóra vonatkozó tükörképe (- 0) n( -) x - y =-6 x y N + =- 6 6 N e + f : x- y=-6 & M - O OM - & n( 6) & x + 6y = 0 O 6 Tükrözzük az e egyenest -re Az e egy pontja Q(0 ) Q (6-6) e : n( ) 7 N N Q(6 6) & x + y =- e + f = M & M - M & n( -) 7 7 O 7 7 O n( -) A keresett egyenes: x - y = 87

20 08 Az egyenes egyenletei 6 együnk fel az egyik egyenesen egy pontot a másik egyenesen olyan pontokat amelyekre a feltétel teljesül A keresett egyenesek a illetve a egyenesekkel párhuzamos az adott ponton átmenô egyenesek egyen (0 8) ekkor ( ) (- 7) ( - ) n( ) x + y = ( - - ) n( -) x - y = 6 egyen (0 ) az e tetszôleges pontja A feltételnek megfelelô e -n levô pontok: (- 7) ( ) A keresett -n áthaladó egyenesek párhuzamosak -vel illetve -mal ( -) n( ) x + y = 6 ( -) n( ) x + y = 6 illetve -nak az y tengelyre esô vetülete ahol az e egyenesre az e & & egyenesre illeszkedik (- ) (8 0) ( ) ( -9 ) n ( 9) & x + 9y = 0 ( 6 ) & n ( -) & x - y =- & 66 egyen (0 ) az e egyenes pontja (0 7) (-9 ) az e pontjai ( 0 ) & & n( 0) x = ( 9 ) & n( -) x - y =-8 67 egyen Q( 0) az egyik egyenes egy pontja Q : Q = : & Q ( ) Q -en áthaladó az elôbbi egyenessel párhuzamos kimetszi a másik egyenesbôl az M pontot n( -) x- y=- Q ( ) & x - y =- x+ y= - & M ( ) M ( )& n( -) & x - y = 68 egyen Q az e egyenes egy pontja Meghatározzuk azt a Q pontot amelyre Q : Q = : A Q -re illeszkedô e e egyenes egyenletét felírva meghatározzuk N e + f = M-et A megoldás a M egyenes Q( -) Q O e : n( ) & x + y = 8x+ y= 7 e + f : x+ y= & M (- ) M( - )& n( ) x + y = 69 A: S = : 60 AB + DNl DNl: AB = D : B = : D = BD AB + DN DN : AB = D : B = : D = BD Hasonló módon kapjuk: B = BD BQ = BD Így: Q = BD = BD& D : : Q: Q: B = : : : : 69 60

21 ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól 09 6 C(c9-c) ahol 0 < c < 9 R c - c N O Q c c N O c 9 - c N O ( ) M c c N 6 6 O N c c + - N c N 9 c c 8c 6 6 O = N = O O c- 6 N c c 8c MN= + - N - + = 6 O 6 O : MN= : = : AC:6x + y = 8 a keresett egyenes: y = m(x + 6) Ha x = 0 y = 6m & AE = 6-6m 8-8m AC + e: 6x + m( x + 6) = 8& x = T m + 6 ABC = T AED = 8-8m 68 ( - m) T ( 6 6 = = - m) $ = &( 8- m) = ( m+ 6) & AED m + 6 m + 6 & m = m = Mivel AE > 0 m = nem megoldás e:x-y + = 0 6 AC = 0 Bb- + l B b+ - l 6 egyen a rögzített pont (a a) Írjuk fel a -n átmenô n(n n ) illetve m(m m ) normálvektorú egyenesek egyenletét Innen: n+ n N A a 0 n O B n+ n N 0 a n O A m+ m N a 0 m O B m+ m N 0 a m O m+ m n n n n m m A B egyenlete: x + + y = + $ + a m n n m n+ n m+ m n n m m A B egyenlete: x + y = + $ + a Az elsô egyenletet n n m n m $ m -vel a második egyenletet n m -gyel beszorozva összeadjuk: x + y = 0 6 m(x- ) + (y - ) = 0 akkor teljesül minden m-re ha x - = 0 és y - = 0 Így N O 66 Átalakítva az egyenletet: (x - y )m + (x - 6y - )m + (x - y + ) = 0 Minden valós m-re akkor igaz ha van olyan (x y) számpár amely kielégíti a következô egyenletet: N x - y = 0 x - 6y - = 0 x - y + = 0 Ez a - O Az átfogóhoz tartozó magasság egyenlete: x = 0 CB = OB -OC 90c-os elforgatottja BD( c b) & OD = OB + BD OD ( b + c b) D(b + c b) Hasonlóan: OE( a-c - a) Ea ( -c - a) AD( b+ c- a b) n(b a - b - c) AD: bx + (a - b - c) y = ab BE( a-b-c -a) n(a a - b - c) BE: ax + (a - b - c)y = = ab A két egyenletet kivonva egymásból: x = 0 (a =Y b)

22 0 Az egyenes egyenletei 68 a) b) c) d) e) f) 68 a) Ha (x y) kielégíti akkor a (-x y) (x -y) (-x -y) is kielégíti így az ábra mindkét tengelyre és az origóra is szimmetrikus x $ 0 y $ 0 & x + y = b) qxu- qyu= 0 qxu- qyq= =- c) Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0 qxu- = 0 q yu- = 0 x =! y =! d) e) Ha q xu + q yu # -re v(- -) vektorú eltolást alkalmazunk kapjuk a megoldást f) Elegendô az elsô negyedet vizsgálni mert pl (-x y)-ra -x- + - x+ + y = x+ + x- + y Ha x $ és y $ 0 x - + x + + y # & & x + y # Ha 0 # x # és y $ 0 - x + x + + y # & y # & 69 a) x $ + y $ x - b) y$ - x+ y$ x+ ( x< + - x+ $ y+ y$ ) ( < x+ # y# x+ ) c) y # x + y # - x & x # 0 y # x x > 0 y # - x 69 a) b) c)

23 ét egyenes metszésponja ont távolsága egyenestôl síktól d) e) f) g) h) i) N d) y> - x+ + y< x- M x> 7 7 O és - x+ < y< x N 6 e) y> - x+ + y< x+ M x> O és - x+ < y< x+ 7 f) x# + x- < y< < x< + x-< y< - x+ g) A szorzat értéke pozitív ha mindkét tényezô pozitív vagy mindkét tényezô negatív y $ + y # x - y # + y $ x - Ebbôl: x # 6 + x - # y # vagy x >6+ <y # x h) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y # + y $ - x + y $ + y # - x + Ebbôl: x# + # y#- x+ x> + - x+ # y# i) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y# x-+ y# - x+ vagy y$ x-+ y$ - x+ Eb- bôl ha x # akkor y # x - y $ -x + ha x > akkor y # - x + y $ x y $ - x + 6 y$ - x+ y $ x $ 0 k = x + 6y x+ 6y= 0& y=- x k minimális ha az el 6 egyenes áthalad a ( ) ponton Ekkor k = $ + 6 $ =

24 Az egyenes egyenletei egyen x darab az A típusú szendvicsbôl y db a B típusúból Ekkor x + y # 0 x + y # 00 x + y # 00 x y + # 0 x $ 0 y $ 0 eressük az x + y = d maximumát Az egyenesek metszéspontjai: _ x+ y= 0 b x y & x= 0 y= 0 + = 0 ` b a x+ y= 0 80 x+ y= 00 & x= y= 0 Az x + y = 0 egyenessel párhuzamos egyenest legfeljebb a D pontig tolhatjuk Így d max = = 0 66 Ha az A típusú ruha elkészítéséhez x perc a B típusúéhoz y perc kell akkor x $ 0 y $ 0 x + y # 0 x + y # 0 x # 80 a) 600x + 00y = a maximális ha x = 80 y = 60 a max = Ft b) 00x + 000y = b maximális ha x = 0 y = 00 b max = Ft c) 600x + 00y = a és x + y = c maximális ha x = 80 y = 60 Mindhárom követelményt egyszerre kielégítô program nem létezik 66 egyen x db A típusú y db B típusú munkadarab Ekkor 0 # x # 0 # y # 0 x + y # 00 x + y # 60 A nyereség: 0x + 00y = a maximális ha x = 0 y = 0 A maximális nyereség: a) Állítsuk elô az adott egyeneseket paraméteres alakban Az elsô egyenletbôl x = + t y =- + t z = + t A második egyenes paraméteres egyenlete: x =- + t y =- z =- A két egyenes pontosan akkor metszi egymást ha létezik olyan t és t amelyre a + t=- + t *- + t=- egyenletrendszernek van megoldása + t=- A harmadik egyenletbôl t =- a második egyenletbôl t = 0 tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása A két egyenes kitérô b) A paraméteres egyenletrendszerekbôl 8 - t = + t + t = - t t =- - t A felírt egyenletrendszernek van megoldása: t = t =-8 A két egyenes metszi egymást Az M metszéspont koordinátái: x =- y = 8 z = c) A két egyenes kitérô 66 Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + t y =- + t z = t Innen leolvashatjuk az egyenes irányvektorának koordinátáit: v( ) A sík normálvektorának koordinátái: n( - ) n $ v = =Y 0 az egyenes nem párhuzamos a síkkal tehát metszi a síkot t-re felírhatjuk a következô egyenletet: (+t) - (- + t) + (t) = 0 Innen t =- Az egyenes a síkot az M(- - -) pontban metszi

25 árhuzamos és merôleges egyenesek 666 Az egyenes a síkot az M( 9-7) koordinátájú pontban metszi 667 a) Az adott síkok normálvektorai n ( - ) n ( - ) nem párhuzamosak azért a síkok sem párhuzamosak tehát van metszésvonaluk A metszésvonal v irányvektora merôleges mindkét sík normálvektorára azért v-nek választhatjuk a normálvektorok vektoriális szorzatát n # n =-i-8j-k a v vektor koordinátái: (- -8 -) vagy v(- - -) A metszésvonal egyik pontját úgy kapjuk meg ha keresünk olyan pontot amelynek koordinátái mindkét sík x- y= egyenletét kielégítik egyen például a z = 0 Akkor ( x- y= 0 Innen x = y = b) A metszésvonal irányvektora: v(- - -) egyik pontja: ( 0) A metszésvonal paraméteres y egyenlete: x = - t y = - t z =-t innen - x = - =- z 668 Oldjuk meg az adott síkok egyenleteibôl álló egyenletrendszert N M O árhuzamos és merôleges egyenesek 669 a) n ( ) n ( ) & párhuzamosak b) párhuzamosak c) n ( ) n (- ) n $ n = 0 & merôlegesek d) n b l n b l n $ n = 0 & merôlegesek - e) m =- m =- & párhuzamosak f) m =- m = m $ m =- & merôlegesek g) n ( -) n (8-0) n = $ n & párhuzamosak h) n ( -6) n ( 0) n $ n = 0 &&merôlegesek 670 a) p = 8 a = 76 b) p! 6 a =! 67 8 c) p =- a = 8 0 d) p =- a = e) p= p=- = a a =- b b b+ b b b 67 m=- m = m m m m a a =- = = & = a + a a a a + a + 67 m=- m= A két egyenes párhuzamos ha m a + b + a+ b- = m és a + - =Y - és a + b +! 0 a + b -! 0 & - =Y a + b + a + b - a+ b+ a + = Y & a =- b! R\ *- 6 vagy b=- ( a+ ) ahol a! R\ * továbbá a + b - ha a + b + = 0 a+ b- = 0 a b & = =- Egybeesik a két egyenes ha a =- b = 67 a) p =- b) $ (- p) =- & p= c) p=- d) n (p + - p) n (p - p + ) n $ n = (p + )(p - ) + ( - p)(p + ) = 0 & p = 0 p = e) p

26 Az egyenes egyenletei 8 67 a) m = n( -) & x - y = b) x - y = c) n( ) & x+ y=- d) n( -) x- y= 7 67 a) m= & y= x b) n(b a) nl(a - b) & ax - by = 0 c) n( -) & nl( ) & 7 N & x + y = 7 d) x - y = e) x - 9y = f) x + y = g) x =- h) - O 77 n( ) & nl( -) & x - y = a) = & p = Ebbôl a két egyenes: x - 8y = illetve x - 8y =-q ét 8 p különbözô egyenest kapunk ha q! R\{-} b) $ =- & p=- q! R 8 p T(a b) 678 n$ n= a + a= 0& a =- az a = 0 nem felel meg a feladat feltételeinek 679 a) AB( & ) n( -) & x - y = 0 b) n= BA( 8 7) & 8x + 7y =- c) AB( 0 8 )& n( 0) & x = továbbá n(0 ) & y = 680 v = AB( x - 9) & n(9 - x) nl( ) n $ nl = 6 + ( - x) = 0 & x = AB( 0 y - ) n( ) AB = n& AB $ n= ( y- ) = 0& y=- 68 x - y =- x + y = 6 x- y=- 68 a) e: x - y =- f: x + y = 0 e + f: x+ y= 0 & M( 7 7 ) a = 6 N b) e: x+ y= 0 f:x + y =- e+ f: N - O nn $ = $ + $ = 9 n = 9 nl = 9= 9 $ $ cosa& a = 6 9 N 68 a) F AB - O b) F 0 N AB O 68 a) F( - ) AB( 6) & n( ) & x+ y=- b) x- 8 y= 7 c) x + = 0 d) y = AB felezômerôlegese: 8x + y = amelyet a pont koordinátái kielégítenek tehát igaz az állítás 687 Az AB felezômerôlegesének és az adott egyenesnek a metszéspontja adja a megálló x+ y= 7 helyét AB felezômerôlegese: x + y = 7 x- y= M & N O AM km 688 Az elsô egyenes az y tengelyt az E (0 -) pontban a második egyenes az E (0 -) pontban metszi F(0 -) A középpárhuzamos: x - y = 9 ( ) 689 A feladat feltételeinek két egyenes felel meg: e Q és e = AF Q Q( - 6) & & n( ) & e : x + y = 7 FQ( ) AF( - 6) & n( ) & e : x + y =

27 árhuzamos és merôleges egyenesek 690 a) ét ilyen egyenes van: x - 6y + 9 = 0 illetve x- y= 69 b) x - y + = 0 illetve x - y + = 0 69 CB( ) CA( - 0) CB $ CA = 0& a háromszög derékszögû eressünk többféle megoldást is 69 n(8 ) egyen O az origó (0 8) az átfogó felezôpontja Ekkor OC = O + n& & OC( 8 ) C( 8 ) nl(- 8) az n 90c-os elforgatottja OA = O + nl OA( - 6) A(- 6) A-t -ra tükrözve kapjuk a B( 0) csúcsot AC egyenlete: AC( -) n( )& & x+ y= 9 BC egyenlete: BC( ) n( -)& x - y = 6 C csúcsot -ra tükrözve is megoldást kapuk égtelen sok megoldás létezik mert OC = OA + k $ n is megoldást ad ahol k! R\{0} 69 I megoldás: AM egyenes egyenlete y - = m(x + ) BM egyenes egyenlete: y 6 + =- ( - ) y= mx+ m+ B( 0 m+ ) & m x m y m m x N + = + 6 & = & B m + m- = 0 m m O 6 m= & Mc0 b 6 - lm m= - - & Mc0 - b 6 + lm II megoldás: BM( - y + 6) AM $ BM= 0 egyenlet megoldásával kapjuk B koordinátáit III megoldás: AM = + (y - ) BM = + (y + 6) AB = itagorasz tételét alkalmazva AM + BM = AB Az egyenlet megoldásával megkapjuk M koordinátáit 69 x + y = 69 Az adott pont és az adott befogó egyenes távolsága adja a befogó hosszát amelybôl a kívánt magasság kiszámítható A befogó egyenlete: x + y = BC + AC = C C( - ) AC = m = 0 6 N 696 C O 697 A( ) B(8 b) C(- c) CA( 6 - c) CB( 0 b- c) CA= CB& CA$ CB= = 60 + ( -c)( b- c) = 0& c -( b+ ) c+ b+ 60 = 0 Akkor létezik a feltételnek megfelelô háromszög ha az egyenletnek legalább egy valós megoldása van vagyis D $ 0 & D= ( b+ ) - ( b+ 60) $ 0 b $ + vagy b # Ha a kocka éle a akkor a befogók: a és a egyen A(a 0) Bb0 a l C(0 0) N a Ekkor A C a a N AA a a N 0 CC a a N O O O O - O O O O a a AA$ CC=- + = 0& AA= CC N a O 699 egyen Ab0 a l B(-a 0) C(a 0) S 0 SC felezôpontja O F a a N O 6 O

28 6 Az egyenes egyenletei f : F a a N a O n b - l i & x- y= a y= 0& x= H a N 6 O 0 O a BC oldal harmadolópontja Ugyanígy f egyenletét kielégítik a másik harmadolópont koordinátái 700 A(9 0) B(- -6) 70 egyen A(0 a) B(b 0) C(-b0)& D(0 0) AC( b a ) n(a -b) AC: ax - by =-ab ax- by=-ab / $ a a x- aby=-a b DE: bx + ay = 0 DE + AC = E bx+ ay= 0 & + & / $ b b x+ aby= 0 a b ab a b ab N N & x =- & y = E - O a + b a b a + b a + b O F a b a b ab O - + a + b ` j ` j O a b+ b ab N N EB - O a + b a + b O FA a b a b a + ab O EB + a + b ` j ` j O $ FA = 0& EB = FA 70 AT egyenlete y = Mivel BC 9 AT BC egyenlete x = 6 Ezért F(6 ) B(6 b) C(6 c) F a BC felezôpontja: c= 6 - b AB = BC & b -b + 7 = 0 & & B b6 7 + l C b6 9 - l B b6 7 - l C b6 9 + l 70 kielégíti a szimmetriatengely egyenletét tehát Q = R QR a háromszög alapja T 6 7 N legyen az alap felezôpontja QR: x+ y=- QR + T = T T - O Az egyenlô szárú QT $ T Q $ m háromszög száraihoz tartozó magasságai egyenlôk $ t QT = t QR $ = 6 QT = T = Q = m 9 70 (-0 -) 70 Mivel Q párhuzamos az adott egyenessel Q felezômerôlegese metszi ki az egyenesbôl a keresett pontot M( - ) 7 N 706 a) - O b) _ - i 707 a) mb : x= BA( 6-6 )& n( -) C(0 0) mc: x- y= 0 mb+ mc= M x = x- y= 0 & M( ) b) M(- - ) c) M( -6) d) m b : x = 0 CB = n(c b) & x ac N = 0 & m a : cx + by = ac cx+ by = 0 & M 0 b O e) AB( - ) m c : n( - ) C( ) & & x - y = BC( - ) m a : n( - ) A( ) & x - y =-7 m a + m c = M x- y = / $ N x- y=-7 & x = y= & M O N 708 a) S O A körülírt kör középpontja az oldalfelezô merôlegesek metszéspontja AC felezômerôlegese: x + y = AB felezômerôlegese: x = ( ) m b : x + y =

29 árhuzamos és merôleges egyenesek 7 N m c : x = M( ) MS - O N S - O ebbôl: MS = $ S a három pont N egy egyenesen van b) S O ( ) M( ) & & a három pont az y = egyenletû egyenesre illeszkedik c) S N 7 N N O O M O N N N SM = $ S d) S 6 O O M - O 70 SM = $ S 709 Mivel a három nevezetes pont egy egyenesen van ezért közülük kettô meghatározza az Euler-egyenest x - y = 70 AB + m a = A A (--) AB + m b = B B( ) BC : x + y = AC : x - 7y = BC + AC = C C( 6) N 7 a) BC : x = AC : x - y =- BC + AC = C C( ) b) C - O c) C(67 -) 7 a) Az adott pont koordinátái nem elégítik ki egyik magasságvonal egyenletét sem ezért legyen: A( - ) m b :7x-y = m c :x-7y = 6 AC 9 m b AC:x + 7y =- AC + m c = C C( --) AB 9 m c AB:7x + y = AB + m b = B B( ) b) B(- -) C(7-7) c) B(- -7) C(-0 9) 7 A A egyenlete: x + y = T az A F-re vonatkozó tükörképe T( - 6 ) TA CB & & TA egyenlete: x - y =- TA + A A = A A (- 6 ) A-t F-re tükrözve kapjuk a B(- -) csúcsot BM 9 AC AC: x + y = 6 BC: x - y = 6 AC + BC = C C( 0 ) x 7 egyen C(x y ) Ekkor () x - y = 0 S(x y) = x& x = x + és + 0+ y = y& y y = - Behelyettesítve ()-be (x + ) - (y - ) = 0 & 6x - 9y =-8 7 N kivéve az egyenesnek azt a Q pontját amely AB egyenesére illeszkedik ahol Q O 7 AS : SA = : & A (9 0) BC 9 AM BC egyenlete: x - y = 8 AC 9 BM BM( b- b+ ) AC egyenlete: (b - )x + (b + )y = 0 BC felezôpontja A innen b + c = = 8 b + c = 0 B koordinátái kielégítik BC egyenletét: b - b = 8 C koordinátái kielégítik AC egyenletét: (b 7 - )c + (b + )c = 0 Z b+ c= 8 ] b+ c= 0 A kapott [ b- b= 8 egyenlet- ]( b- ) c+ ( b+ ) c= 0 \ rendszert megoldva kapjuk: B( 6) C(6-6) A feladatnak egy megoldása van

30 8 Az egyenes egyenletei 76 x = y =- 7 7 N N 77 a) I megoldás: egyen A( ) C( ) A négyzet középpontja O C - O N kal elforgatva D O OD= O + D OD( ) D( ) D-t tükrözve -ra: B( ) II megoldás: A keresett B illetve D pont rajta van AC felezômerôlegesén és D = B = C = A AC felezômerôlegese: x - y =-7 A = D & A = D & 7 N 7 N 0 & x- + y- = x + y -7x- 7y+ = 0 O O & y - 7y+ = 0 y x= y-7 = y = D( ) B( ) 7 N N b) O - O 78 C(- - ) B( - 6 ) D(6 0) 79 -ból AD-re állított merôleges kimetszi AD felezôpontját F-et F egyenlete: x- y=- n( ) x + y = AD + F = F x+ y= & F (- ) F( - ) kal elforgatva: E ( ) E = FD miatt OD = OF + FD OD ( 0) D ( 0) D-t F-re tükrözve: & A(- 0) A-t -ra tükrözve C( ) D-t -ra tükrözve: B( -) 70 e : x + y + = 0 e :6x-y = e :x-y = e :x + 8y + 7 = 0 n ( ) n (6 - ) n ( - ) n ( 8) n n illetve n n n $ n = 0 & n 9 n illetve n $ n = 0 & & n 9 n alóban téglalapot határolnak 7 D ( ) C(7 - ) 7 AC egyenlete: y = 6 AC + AB = A A ( 6) A-t M-re tükrözve: C( 6) AB 9 BC BC: x + y = 0 AB + BC = B B( ) B-t M-re tükrözve: D(0 0) 7 A ( ) D (-- ) B( ) 7 AB egyenlete: x - y =- C! y = x - & C(c c - ) AC = AC = 0 & (c - ) + (c - - ) = 0 & (c - ) = & c - =! C (7 6) C (- -) CB 9 AB C B: n( ) x + y = 7 C B: n( ) x + y =- AB + C B = B B ( 8) 9 7 N AB + C B = B B (--) AC felezôpontja: O C -t -re tükrözve: D ( ) N AC felezôpontja: - - O C -t -re tükrözve: D ( -) 7 B( ) D(- 6) 76 BD átló egyenlete y = x - A-t M-re tükrözve: C( 6) egyen B(b b ) b = b - AB( b b - 6) CB( b - b - 8) AB = CB & AB $ CB = 0 b (b - ) + (b - 6) (b - 8) = 0 & B ( 0) B ( 0) Mivel B = D és B = D a feladatnak egy megoldása van

31 árhuzamos és merôleges egyenesek 9 7 N 77 A téglalap középpontja: O A = A = B & A = B egyen B(x y) 7 N N ahol x = y & B(y y) y- + ( y- ) = O Így B (6 ) B O B-t -ra tükrözve 7 N kapjuk D-t D ( ) D O 78 egyenek a téglalap csúcsaihoz vezetô helyvektorok rendre: a b c d Ekkor AB = b- a AB( - ) $ AB( 9 - ) AB 90 -os elforgatottja BC ( 9) illetve BC ( - - 9) c = b + BC c= b+ BC d= a+ AD d= a+ AD ahol AD= BC N N 9 N N AD= BC Innen: C 9 O C - 9 O D 0 O D - -8 O 79 egyenek a téglalap csúcsaihoz illetve az adott felezôponthoz vezetô helyvektorok rendre a b c d e f FE = ( e-f)( 9 - ) FE( - ) FE kal elforgatva: N BA = CD( ) BA = EA O a= e+ EA & A ( 0) d= f+ FD ahol FD = EA Innen D(- ) A-t E-re D-t F-re tükrözve: B( -) C(-6 0) 70 egyen A(0 0) B(b 0) C(b a) D(0 a) A + C = x + y +(x - b) +(y-a) B + D = (x - b) + y + x + (y - a) 7 egyen A(a 0) B(a b) C(0 b) D(0 0) & a b N O e e e e és e 9 e e : y = mx e : y =- ( ) m x - a a ma N e + e = A A m + m + O e : y - b = m(x - a) & & y = mx - ma + b e : y=- m x + b e + e = C C ( m a m + ) b-am N O m + m + O R S am a a A C felezôpontja (x y ) x= m + + W S m + W = R T X S ( m + ) b- am+ am W b y= = a b N S m + W O T X 7 7 egyen A(0 0) B(b 0) C(b a) D(0 a) A szögfelezô egyenlete: y = x & (b b) BD egyenlete: ax + by = ab ab ab N BD + A = M M a + b a+ bo AC egyenlete: ax - by = 0 ab b b ab N y = & x = N O DB( b - a) a + b a + b a + b a+ bo ab b N N O DB $ N = 0 & DB = N a + b a+ bo

32 0 Az egyenes egyenletei 7 A(6 6) illeszkedik az x - y =- egyenletû egyenesre A-t -ra tükrözve: C( ) DB 9 AC BD egyenlete: x + y = 8 AB + BD = B B( ) B-t -ra tükrözve: D( ) 7 AC egyenlete: x - y =- BD egyenlete x + y = 7 AB( - a b) kal elforgatva A( b a ) p= a+ A (a + b a) B felezôpontja a + b a + b N O CB( a b ) +90 -kal elforgatva CS( - b a) s= c+ CS S(-a -b a) SB a b a b felezôpontja: N O - Hasonlóan: M a+ b - a+ b N O N a + b a + b N - O Innen M( a + b a+ b) N( -( a + b) a + b) tehát M $ N = 0 és M = N & & MN négyzet 76 A (- - ) C( ) B( - - 6) D(-6 8) 7 N 77 BD átló x - y = AC : x + y = 9 AC + BD = O A-t -ra tükrözve: C( ) a = 9 AB = : BD: 9 ( x- 7) + _ y- i = 9 Innen B(9 7) D( 0) x- y= BD = AC = a (a > 0) BC = a + BD $ AC t = = BC $ m a= $ a + a + = a a= A ( 0 ) C( - 0) AB egyenlete: y= x- BC egyenlete: y=- x- CD egyenlete: y= x+ AD egyenlete: y=- x+ 79 AB( ) & CD( ) CD:x-y =-7 B( ) & n BC( - ) BC: x - y = 9 N CB + CD = C C( 9) AC felezôpontja O B-t -ra tükrözve: D( ) AB = 9 BC = 0 innen k = ( 9 + 0) 9 N 70 E 8 0 O 7 A-t Q-ra tükrözve: C( ) BQ egyenlete: x - y = 0 AB: x + y = AB + BQ = B N 0 B O AC = BQ = BD = t = $ $ = területegység 7 Az AC egyenlete y = AB = C(c ) BC = ( c - ) + = & & & & & ( c- ) + = 0 ( c- ) = 6 c = c =- C ( ) C (- ) B-t AC felezôpontjára tükrözve kapjuk a D pontot Így D (6 ) D (- )

33 árhuzamos és merôleges egyenesek 7 BD = AC = 9 N 7 E O F ( 99) AE: y= x AF: y = x 8 BD :x + y = 0 AE + BD = ( 8) AF + BD = Q Q ( 66) BD harmadolópontjai: H ( 8) H ( 66) tehát = H Q = H 7 CE: dx + cy = d(d + b) + c E dx+ cy= d + db+ c & x= 0 c + d + bd N & E 0 O c O ED d d bd - + N O c AC( b + d c) ED $ AC = bd + d -d - bd = 0 & O & ED = AC Ha a paralelogramma téglalap akkor E = D A feladat állítása elemi úton is könnyen belátható Az ACE háromszögben CD illetve AD magasságvonalak metszéspontja D a háromszög magasságpontja Így ED a harmadik magasságvonal c C(c ) D(- d) A(-7 ) B( -7) = & c= & C( ) d = & d= & D( - ) E (- ) F ( 8 - ) EF( - ) & n( ) EF: x + y =- egyenesre tükrözzük a paralelogramma csúcsait EF-re merôleges egyenesek x- y =-8/ $ normálvektora: n( -) AT :x-y =-8 AT + EF = T & x+ y=- & N & T - O A-t T -re tükrözve: A (- 6) A -t E-re tükrözve kapjuk a D (- -) pontot Mivel A D 9 az x tengelyre B C is merôleges ezért B C egyenlete: x = 8 DC( - )& & n( ) CD: x + y = & B (8 ) B -et F-re tükrözve: C (8-8) 7 77 AB( 8) & n( - ) GH egyenlete: x - y =- BC egyenlete: x = 8 AD egyenlete N N x = 0 Innen: G 0 O H 8 O AB egyenlete: x - y = 0 DC egyenlete: x - y =- EF N 7 N egyenlete x = Innen: F O E O FH( ) & n( - ) FH egyenlete: x- y= AC( 80) & n( - ) AC egyenlete: x - y = 0 76 GE( 7) & n( 7- ) GE egyenlete: 7x- y= _ 7x- y=- b =- GE + FH = M & b ` -& x- y= / $ b a N & M -0- O AC egyenletébe behelyettesítve: $ = 0 így mindhárom egyenes át- megy az M ponton

34 Az egyenes egyenletei N 78 Tükrözzük a C pontot az AB felezômerôlegesére a) F -- O AB( - 67& ) N & n( - 67 ) A felezômerôleges f: - 6x+ 7y= e 9 f e: 7x + 6y =- T O 6 N C-t T-re tükrözve: D O b) D N - O c) D( -6) AC $ BD 79 I megoldás: AC = 6 = t = = & BD = N N AM : MC = : & M 6 O MC = $ = MB = MC & MC 8 8 O N os elforgatottja MB - O os elforgatottja MD N - O OB = OM + MB OD = OM + MD Innen B(7 ) D( 8) N II megoldás: MB= M 6 O B illetve D az AC-re M-ben állított merôlegesre illeszkedik x+ y= 6 N O illetve egység távolságra van M-tôl Így B-t illetve D-t az _ N b x- + ( y- 6) = O b ` egyenletrendszer megoldása adja 6 b x+ y= b a 70 a) egyen A(-a 0) B(a 0) M(m 0) Ekkor D(-a a + m) C(a a - m) CD felezôpontja F(0 a) DC(a -m) & n(a -m) CD felezômerôlegese: ax - my =-am AB felezômerôlegese: x = 0 & (0 a) ha m! 0 Ha m = 0 akkor a két felezômerôleges egybeesik b) CD( a - m) & n( m a) CD: mx + ay = a MN: n(a -m) ax - my = am CD + MN = N ax - my= am a m a - a m N & N O a m+ a + am a - a m N AN O mx+ ay = a a m + a + m O a + m a + m O a m-a -am a - a m N BN O a + m a + m O 7 ( a m) -( a + am ) + ( a -a m) AN $ BN= = ( a + m ) a m - a m = = 0 ( a + m ) 7 egyen 0 < p < a (p a - p) ( p p- a) - bôl -re bocsátott merôleges egyenlete: px + (p - a)y = = p - (p - a) & px + (p - a)y = pa - a Bármely p-re Q(a a) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét

35 ont és egyenes távolsága Területszámítás 7 egyen O az origó (k k ) (l l ) 7 M k + l k + l N O (- k k ) (l - l ) [( l+ k) ( l+ k)] OM -nak a os elforgatottja k+ l k l - + N O ennek kétszerese Ebbôl következik hogy = $ OM és = OM M + N = x + y 7 & M + N = O O akkor minimális ha O 9 AB O = x + y ab AB $ m ab Az OAB háromszög területe: t = = & m = ahol AB = a + b Így a keresett minimum: m = AB ab a + b 7 egyen A(a0) B(b0) C(0 c) (x y) B + C = $ A & (x - b) + y + x + + (y - c) = (x - a) + y & (a - b)x - cy = a - b - c ami egyenes egyenlete ont és egyenes távolsága Területszámítás x+ y+ 0 6x- 8y+ 7 a) A + B = 9+ 6 = = 0 b) = 0 0 x+ 7 y- x- y+ c) = 0 d) = 0 76 a) Az origón átmenô az adott egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x - y = 0 M : x + y = x- y= 0 + & x = & x = y N = M O N N d= MO= + = = O O 0 $ 0 b) d = - + c = c) d = d) d = e) d = 0 A + B f) x y = 0& d = = 77 n( ) A(- ) & m :x + y = 7 x- y=-6/ $ 9x- y=-8 x+ y= 7/ $ & 6x+ y= 8 + &x = 00 x = y = 7 M( 7 ) d= MA= 6 + (- 8) = 00 = 0

36 Az egyenes egyenletei 78 a) ( ) f 9 e f : y- = ( x- ) & y= x+ _ y=- x+ b 8 N N N 0 M : & M y= x+ ` O d= M= + = = b O O a $ (-)-$ b) d = = = c) d = d) d = 7 e) d = f) d = 8 0 g) d = d = Az A(7 ) B( ) pontok kielégítik az egyenes egyenletét Ezért: 7a+ b = a+ b= -& a=- & a=- = Innen y=- x+ & x+ y- = 0 d = ( 6) = = 76 S( ) AB egyenlete: x - y = d = -0 - = 6 BC egyenlete: 9 9 x - y =- d = 0 = 6 AC egyenlete: x - y = 8 d = 6 8 = N 76 S - O m b egyenlete: x + y = d = = 76 A ( ) B( 0 0 ) C( 0 ) ma = m b = m 6 c = 76 A(- 6) B(- -) C( ) ma = 7 m 70 b = m 70 c = a) A(0 0) B( ) C(7 -) AB = AB( ) & n( - ) x- y= 0 8 mc = + $ = t = = területegység b) Foglaljuk az ABC háromszöget a 6$ 7 $ 6 8$ CQR téglalapba Ekkor t = t CQR - t CB - t BQA - t CRA t = 7$ = = = területegység c) 7 területegység

37 ont és egyenes távolsága Területszámítás d p e = = > 0 dq e = + + > 0& a két pont az egyenes ugyanazon oldalán van a) álasszuk ki az A(0-6) pontot a x - y = 6 egyenletû egyenesen és számítsuk ki A távolságát a másik egyenestôl v( -) & n( ) x + y =-8 a merôleges egyenlete x y 8 N - = 9 0 x+ y=-8 & M - 0 O d= MA= + = b)! e (- 0) d e = = = c) d) 768 A két egyenes távolsága adja a négyzet oldalának hosszát A x - y = 0 egyenletû 0 ( ) 6 egyenes egy pontja: (0 -) d = = & t = = területegység 7 l- l+ 769 (k l) kl! Z d =! Q 770 a) Ax + y + = 0 egyenletû egyenes egy pontja: (- -) Az adott egyenessel c párhuzamos egyenes egyenlete: x + y + c = = & c - = & c = 0 c = 0 A keresett egyenesek: x + y + 0 = 0 x + y + 0 = 0 b) x + y + 6 = 0 illetve x + y - = 0 c) x - y - 8 = 0 illetve x - y - = 0 77 a) x - y = 6 egyenletû egyenessel párhuzamos egyenes egyenlete f : x - y + c = c O(0 0) d0 f = - + = 6& c = 6 & c=! 6 f : x- y! 6 = 0 Ha d = 6 akkor x- y! = 0 b) x + y + = 0 illetve x + y + = 0 c) x + y + = 0 illetve x + y - = 0 d) y= x+! x+ ny+ -n 77 egyen n( n) & x+ ny=- + n& = 0 - n = & n + n + & n 0 =- & 7 x + = 0 illetve 7x- y+ 00 = 0 x+ ny+ -n 6+ n+ -n 77 egyen n( n) & = 0 = & n x y n + n = & + = = - + & x+ y= n =- & x- y= - - & x+ y=- x- y+ p (p 0) x- y+ = 0& = 0 = 0& p = p =- 9 N N = 0 O =- 0 O

38 6 Az egyenes egyenletei 77 Az A( ) és B( -) pontoktól egyenlô távolságra a felezômerôleges pontjai vannak 9 f : x- 7y= & x- y= 9 A x - y - = 0 egyenes egy pontja ( -) e: a x - y - = 0 egyenestôl egységre haladó párhuzamos egyenesek e:x- y + c = c = & c + = c = =- : - y = - N e : x- y= + e+ f= x- y= O & x- y= 9 O N e+ f= x- y= O & x- y= 9 O 776 Ha N = 0 N = 0 a két egyenes normálegyenlete akkor azon pontok mértani helye amelyek a két egyenestôl egyenlô távolságra vannak: N = N & (N - N )(N + N ) = 0 x+ y- N - N = 0 illetve N + N = 0 a szögfelezôk egyenlete a) x+ y- = 0& = 0 x- y+ 0 x+ y- x- y+ 0 x- y+ 0= 0& = 0 + = 0& 9x+ y+ 7= 0 x+ y- x- y+ 0 - = 0& x- 9y+ = 0 b) b- l x+ b -l y- = 0 b- l x- b+ l y+ = 0 c) x-y- = 0 -x- y+ 0= 0 d) x + y - 8 = 0 vagy x - y + = Az egyenes és az x tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x - y + + y = x- y+ = 0& x+ y+ = 0 - y = 0& x - 8y + = 0 Az egyenes és az y tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x- y+ x- y+ + x = 0& 9x - y + = 0 illetve - x = 0 & x + y - = AB: x - y =- 60 Mivel AB normálvektora a háromszög belsejébe mutat ezért a belsô pontok távolsága AB-re is AC-re is pozitív x y 6 AC egyenlete: y = 0 BC( 9 - ) & n(- -) BC egyenlete: = 0 x- y+ 60 x- y+ 60 x y 6 fa : = y& x- y+ 0= 0 f : = b & -x- y+ 6 & 8x+ y- = 0 fc : = y& x+ y- 9= 0 fa+ fb x- y=-0 8x+ y= & O ( ) és ez kielégíti f c egyenletét A beírható kör középpontja O( ) r = A belsô és külsô szögfelezôk merôlegesek f bl : n( -8) & x - 8y =-96 x- 8y=-96 f cl :x-y = 8 fbl+ fcl x- y= 8 & ( 6 ) ez a pont kielégíti f a egyenletét &

39 ont és egyenes távolsága Területszámítás A ( ) ponton átmenô egyenes normálvektora legyen n( n) egyenlete: x+ ny-n- x+ ny= + n& = 0 dae = $ d BE & n + + n-n- = $ --n - & - n+ = $ -n- & (-n - ) =-n + n + n + 9 vagy (-n - ) = n - ahonnan: n =- vagy n =- Így e 8 :8x-8y =-9 vagy e :x-y = 780 x-y- 6 x-y- e : = 0 e : = 0 ( b) x-y- 6 = -b - & & 78 egyen n( n) x+ ny= + n - b = - b & - b= Y -b - b = b - & b = & x+ ny-n- = 0 n + + n-n- --n - $ = $ & n - = n + n + n + n =- 9 n =- e :9x-y = e :x-y =- 78 Mivel e e a keresett pont az adott e: x + y = 6 egyenletû egyenes és az e e középpárhuzamosának: k-nak a metszéspontja e : x- y=- e : x- y= 8 E ( 0 - & E( 0 ) N & 0 O k: x - y =- k + e = 7 0 N 7 O x- y+ 8 x-y e : = 0 e : = 0 ( 0) d: = > 0 d : = 7 x- y+ 8 x-y- = - < 0 ezért a szögfelezô: =- & x- y= Az alap egyenese: n( ) & x + y = A csúcsok: x- y=-8 x y 7 N - = x+ y= + & (- 6) x+ y= -& - O x y 8/ 8 N - = $ x- y= -& - - O 78 l^ -h 78 A visszavert fénysugár egyenlete: 8x - y =-76 A beesô fénysugár egyenlete: x - 7y = A visszavert fénysugár: 9x - y + = e: x - y = Tükrözzük A-t e-re a tükörkép legyen A A B szakasz a két pont között a legrövidebb A B messe e-t M-ben Mivel A M = AM így M a keresett pont M ^ -h

40 8 Az egyenes egyenletei T= $ p$ p$ sin( b-a ) = = p$ p( sinbcosa- cosbsina ) = = $ ( psinb$ p$ cosa- pcosb$ p$ sina ) Mivel p $ sin b = y p $ cos a = x p $ cos b = x p $ sin a = y ezért T= x$ y- x$ y 789 A háromszög területe t = a# b ahol a(x - x y - y 0) b(x - x y - y 0) Alkalmazzuk a vektoriális szorzat i j k együtthatóinak kiszámítására vonatkozó összefüggést Ekkor a bizonyítandó területképletet kapjuk 790 a) (- -) (6 ) ( 6) t = - ( - 6) + 66 ( + ) + $ (-- ) = 0 = = területegység b) 0 területegység c) A(0 0) B( ) C(7 -) AC^7 -h 9 AC = 0 BC^ h BC = 9 - = 0 $ 9 cosa cosa = & 0 $ & sina = & t = $ 0 $ 9 $ = területegység d) területegység e) A( 0) B(- 0) C( 8) t = = = területegység f) területegység 0 $ 9 0 $ 9 AB $ m 8$ ma = m b = m c = 7 79 A( ) B(- ) C(c 0) t = 0 0 = ( -0 ) -0 ( - ) + c ( - ) & & - c = 0 c = c =-8 C = ( 0) C = (-8 0) AB $ mc 79 A(- -) B( ) AB = = t = = & mc= A harmadik csúcs az AB-vel párhuzamos A-tól illetve B-tôl távolságra levô egyenesen van: x- y+ c c = 0 = & c + = 0& c = 9 c =- e : x - y + 9 = 0 e : x - y - = 0 A C csúcs a kapott egyeneseken ( )-tôl egységnyire van C = & & C = ( x ) ( y ) = x- y+ 9= 0 & C ^ 7h C ^ h illetve ( x ) ( y ) = x-y- = 0 & & C^9 -h C ^ -h mc 6 79 AB = = 8& mc= AB^ - h& n( ) x+ y= & x + y - = 0 x N = & x + 8 = 6 & x = x =- 8 A feltétel miatt C O

41 ont és egyenes távolsága Területszámítás 9 79 a) területegység b) 9 területegység 797 c) 7 területegység d) 0 területegység e) 7 területegység 796 AC = BD = 0 AB = AD = AB = AD és AC 9 BD & a négyszög deltoid AC $ BD t = = 7 területegység 797 Mivel toa= toab az AB szakasz A-hoz közelebb esô harmadolópontja: a bn O t OQ = t b N BQ & Q az OB szakasz felezôpontja: Q 0 O 798 A háromszög csúcsai: C _ i B_ -0 0i A_ 0 0 i AC = 0 6 mb= 0 - & t = $ $ = területegység c & = c= c =- A(- ) B( ) C ( 0) t = területegység A(- ) B( ) C (- 0) egy egyenesre esnek ilyen háromszög nem létezik 800 Az m c az y tengely ezért AB párhuzamos az x tengellyel egyenlete y = 9 AC egyenlete: y= mx- 7 ( m> 0 )& mb: y=- m x 6 A f 9p m 6 6 B^-9m 9h AB = + 9m $ $ 9 m m m = 6 AB $ Minimuma akkor van ha = 9m & m = m A( 9) B(- 9) AB = m c = 6 t = 9 területegység 80 a) Q t ABCD + t CDE = = területegység b) Q R t BDF + t AEC - t ADM = = 6 területegység c) R t ABCD + t BDF - t ABCD= + 8 = területegység 80 AB^ - h & n AB( )& AB e& mc= d A e 0 9 d A e = = AB = = 80 = 9 t = $ $ = 8 területegység 80 AB = AB: y = C(c7)& C rajta van az y = 7 egyenletû egyenesen & m c = t =Y 9 Ilyen háromszög nem $ c ( c 6 ) létezik 6c = & c =

42 0 Az egyenes egyenletei q q ( ` - j+ + d) `q - j+ ( + d)( -q) = 00 q d - dq + d = 00 (q - ) d = 00 = $ $ $ 9 miatt (q - ) = & q = vagy q = 0 de a feladat feltételeinek ez utóbbi nem felel meg q = d = 00 B(00 ) C(800 ) 80 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y - 6 = m(x - ) A háromszög csúcsai: x - y =- y = 0 & y= mx- m+ 6 m - 6 N & A (- 0) y = 0 & B 0 m O mx- y = m -6 ( m - ) m - 6 N x- y=- & C m - m - O AB m 6 m 6 = - - m 6 + = m c m m = - m - ( m - 6) $ = & 7m + 9m- 6 = 0 m m( m- ) = m 7 =- A keresett egyenesek: x + y = 9 illetve x - 7y + 90 = AD = 9 - d 0< d < 9 AC: x + y = : 9 D x y + d = AC + D = M 9 _ y= 9- x b b dx 9x ( -6d) dx `& d- = 9- & x= t ABC y= d- 7- d = 8 t ADM = 9 = b a ( - 6d) = $ $ ( 9 - d) & d - d+ 8= 0 d 7 - d = d = ami nem megoldás DM egyenlete: x + y = 807 A ( 0 0 ) B( 0 0) C(0 0) Az átfogóra merôleges egyenes a hosszabbik befogót _ x+ y= 0 b 0 ( - b) metszi egyenlete: y= x+ b ahol 0 < b < 0 M: y= x+ b ` & x = b a 0 $ 0 ( 0 - b) $ ( 0 - b) t = $ = & ( 0 - b) = 0 b = 0-0 a feltétel miatt A keresett egyenes: y= x+ 0-0 x + 0 y S az AA szakasz harmadolópontja: = = 6 &A (6 6) B(b 0) A a BC felezôpontja & C(c ) Az AA B háromszög területének a kétszerese az ABC háromszög területe t ABC = 6 területegység

43 ont és egyenes távolsága Területszámítás 809 t ABC = t ADC - t BEC - t ADEB = = 9` + j` -j-` 999 -j` 000 -j-` j$ C = = ` - $ + j= területegység 80 A háromszög harmadik csúcsa C(c -c) AB párhuzamos az x tengellyel & m c = c + CA messe az x tengelyt A -ben CB pedig m t c B -ben CAB + CAB & = = & = & m t ( c ) + c & c + = & c = + b l C cb + l - b + lm 8 egyen AC irányvektora v (7 6) AC :6x-7y =-0 BC irányvektora v ( ) BC :x-y = 0 AC + BC = C C( 0 0 ) AB = m c = 6 & t = területegység Ha AC irányvektora v ( ) & & AC: x - y = BC irányvektora v (7 6) & BC :6x-7y = C( 0 - ) Innen m c = 6 t = területegység 8 A(0 6) B(b 0) AB = 0 & b +6= 00 b =!8 B (8 0) B (-8 0) C (0 ) Hasonlóan C (6 ) t AB C = 0 területegység t ABC = 8 területegység 8 A( ) S( ) B(b 0) C(0 c) & B( 0) C(0 ) t = 9 területegység 8 sa+ sb= S S( ) tabc= $ tabs= területegység 9 8 9$ 8 tabc= tabcd- tacd = + _ $ - = területegység AC: y = b x= k 9x ` & b y k = 9 a E k k N 9 O Gk ( ) 0< k < 9 t CGE = ( k) k N = 9 O & ( 9- k) = k =!6 & & k = k = ami a feltételt nem elégíti ki Tehát az egyenes: x = 86 AD( - 6) AB( 8 )& AD $ AB = 0 & AD = AB AD = AD = CD t = $ = & CD = AD = CD ezért CD az AD -90c-os elforgatottja: CD( 6 )& C( 0 ) 0 $ mc 87 AB = 0 = 0 & mc 8 = C rajta van az AB-vel párhuzamos A-tól 8 egység távolságra levô e egyenesen e: = 0 8 x- y+ c 6 $ - 8 $ + c = 8 & c- = 0 & c = c =-6 e : x - y + = 0 e : x - y - 6 = 0 C( - 0 6) C ( 6 - ) D

44 Az egyenes egyenletei _ M: y =- x y mx + b ` = b M 8 m 8m N + m + O a 8 N N 0 m + O t 8 8m OMN = $ m $ + m + = m m + m+ = = mert m > 0 m + $ m $ = & m m m + + m & m + + $ 8 & # Egyenlôség akkor áll m m + + m fenn ha m = & m = m b$ d b$ p b$ d 89 tab= tbc= tac= tabc egyen (p p ) t ABC= t AB= = $ & d & p = AC( c d )& AC : dx - cy = 0 & dx- cy bd = 0 mb= AC háromszög d + c d + b bd pd - pc d c b -bôl induló magassága: $ = & bd = pd - $ c / $ d =Y 0 p d + b d + b = + b + c d N O S b + c d N O & = S 80 A (0 0) B (a a) C (a + b a - b) D (b -b) AB ( a a) CD ( a a) & & AB # CD$ AD( b - b) AB $ AD = ab- ab= 0 & A B 9 A D & A B C D téglalap AB = a AD = b t ABCD = AB ta B C D= a$ $ b$ = ab 8 t : t : t = :: Az ABC háromszög területe t 8 Ekkor: t = t 6 t = t t = t Mivel t = t rajta van az AC-vel párhuzamos középvonalon t = t rajta van a súlyponton átmenô BC-vel párhuzamos egyenesen A két egyenes metszéspontja S(7 8) BC felezôpontja A (9 ) AC( - 9) & n( ) e :x + y = 9 CB( 8 6 ) & n( -) e : x - y =-7 = e + e : ( 0 9)

45 A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y = 6 b) x + y = c) 6x + 6y = d) x + y = 9 8 a) x + y = b) x + y = c) x + y = a + b 8 a) (x - ) + (y - ) = 9 rendezve x + y - 8x - 0y + = 0 b) x + y - 6x - 6y + = 0 c) x + y + x - 6y - = 0 d) x + y - x - 8 = 0 e) x + y + 6y - = 0 f) x + y + 0x + 6y + = 0 8 a) x + y - 8x - 6y = 0 b) x + y + 6y - 8y = 0 c) x + y - ax - by = 0 d) x + y - 0x + y + = 0 e) x + y + x-6y-0 - = 0 (A kör középpontjának koordinátái C(- )) 86 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) = egyen x =- y = 7 y =- Az ordináták rendre: + és és és - 8 és és és - Az abszcisszák rendre: y = esetén + és - y = 0 esetén x = 6 x =- y =- esetén nincs megoldás 87 a) x - 6x + y + = 0 b) x + y - 6x - y + = 0 c) x + y + x - 6y - 7 = 0 d) x + y + 8x - 7y - 9 = 0 88 x + y = 0 Belsô pont az A mert + 0 < 0 A többi pont a körön kívül van mert például a B pontra + 0 > 0 89 (x + ) + (y - ) = Az A pontra (- + ) + (- ) = 8< tehát A a körön belül van C E F a körön van B és D a körön kívül van 80 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) = x- y=! Ha y= x+ akkor a y - x + = egyenletben az y helyére x + -et helyettesítve: x + x + = adódik Innen N x = 0 Ekkor y = A 0 O külsô pont mert ( 0 N - ) + - > O Ha y= x- N akkor ( x ) + 9 $ x - 6 = 0 Innen x= y= A Q O pont a kör belsô pontja mert N ( - ) + - < O N N 9 8 A kör egyenlete: x- + y = O A x- y+ = O egyenletbôl x- y+ =! Ha y = x + akkor az egyenletrendszer gyöke (0 ) amely a körön kívül van Ha y = x - akkor a megoldás ( ) 8 (x + ) + y = 9 8 x + (y - ) =

46 A kör 8 8 Az egybevágósági transzformációknál a sugár hossza nem változik a) r = 6 (6 ) b) r = 6 (- 6 -) c) r = 6 (-6 ) d) egyen az origó az O pont a kör középpontja a pont Ekkor az O vektor koordinátái (6 -) Az eltolt kör középpontjának koordinátáit az O +v vektor koordinátái adják: (8 -) e) r = 6 ( -) f) O( 6 - ) 90 -kal elforgatva O ( 6 ) r = 6 g) (- -6) r = 6 h) { + qfu = 60 tg`{ + tg{ + tg f f j = - tg{ $ tg f tg{ + - = egyenletbôl tg{ = - tg{ (8 ábra) O = O = Oldjuk v - meg az u + v = és a = egyenletrendszert: u= + u v= - A kör egyenlete: bx-- l + by- + l = 6 i) r = ( -8) j) r = ( -) 8 a) (x - ) + y = b) (x + ) + y = c) x + (y - ) = d) x + (y + ) = 86 a) ( ) ( -) r = ét megoldás van: (x - ) + (y - ) = (x - ) + (y + ) = b) (x! ) + (y + 6) = c) Négy megoldás van: (x! ) + (y - ) = vagy (x! ) + (y + ) = 87 A középpont koordinátái: (!r r) vagy (!r -r) a sugár r Négy megoldás van: x + y! rx - ry + r =0 és x + y! rx + ry + r =0 88 a) A középpont koordinátái (aa) a sugár qau A kör egyenlete (x - a) + (x - a) = a b) (a a) r = qau x + y - ax - ay + a = 0 c) A kör sugara: r = a + a = a itagorasz tétele szerint Egyenlete: x + y - ax - ay = 0 89 a) ( 9) Mivel a kör mindkét tengelyt érinti a középpontjának koordinátái: (r r) és sugara r A kör egyenlete: (x - r) + (y - r) = r Ekkor ( - r) + (9 - r) = r Innen r = r = 7 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) = és (x - 7) + (y - 7) = 89 b) (x - ) + (y - ) = 9 és (x - ) + (y - ) = c) (x - 0) + (y - 0) = 00 és (x - ) + (y - ) = d) bx+ 8+ 0l + by+ 8+ 0l = b8+ 0l és bx + 8-0l + by + 8-0l = b8-0l 80 a) (6 7) r = 6 $ -7 $ - + = 6(x-6) + (y - 7) = 6 b) ( x- ) + ( y- ) = 7 8 a) (9 9) r = (u ) (x - u) + (y - v) = r Mivel rajta van a körön azért (9 - u) + (9 - ) = Innen u = u = 6 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) = és (x - 6) + (y - ) = b) (x - ) + (y - ) = és (x - ) + (y - 6) =

47 A kör egyenlete 8 a) Az AB szakasz felezômerôlegesének egyenlete: x - y = Ha y = 0 x = N 0 O r A N N 7 = = Akör egyenlete: x- + y = 9 O b) x + y+ 9 = O 8 N 8 8 a) x- + y = O b) x + (y + 8) = 9 8 a) (x - ) + (y - ) = b) (x + 6) + (y + ) = 6 c) (x + ) + (y - ) = 00 8 N 9 N 669 d) x- + y- = O O 7 8 a) ( -) (- -) a kör (u v) középpontja illeszkedik a szakasz felezômerôlegesére a 7x + y = egyenletû egyenesre r = qvu Felírhatjuk a következô egyenletrendszert: ( u ) 7u+ v= ( v ) = v ét megoldás van: u = v =- u = v =- A körök egyenletei: (x - ) + (y + ) = és (x - ) + (y + ) = b) x- b+ le + + y - b+ le = b+ l és x-b- le + y-b- le = b- l c) (x - ) + y = 69 és (x - ) + (y - 8) = 86 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) E-ben az y = x - egyenletû egyenesre emelt merôleges egyenlete: y =-x + A kör középpontja az y =-x + egyenletû egyenes és a (0 ) E( ) szakaszt felezô merôleges egyenes közös pontja A felezômerôleges egyenlete 9 N 6 N 9 N 6 x- y= r = = O A kör egyenlete: x- + y- = 98 O O 98 b) (x - ) + (y + ) = 87 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) r = (87 ábra) Az x + y = egyenletû N 0 egyenes normálvektora: n( ) Az egységvektor: n O Akör sugara: r O = = N = E Mivel E = n 0 O ezért E vektor koordinátái: = ( ) A középpontra O = OE + E ezért a pont koordinátái ( + + ) O ( ) A -nak E-re vonatkozó tükörképe is megoldás: (0 ) 87 A körök egyenletei: (x - ) + (y - ) = és x + (y - ) = b) x + (y + ) = és (x + ) + y = 88 a) ( - ) ( ) r= 0 A kör (u v) középpontja rajta van a szakasz felezômerôlegesén amelynek egyenlete: y = x Másrészt = 0 azaz (u + ) + (v - ) = 0 és v = u Ebbôl az egyenletrendszerbôl u = 0 v = 0 u = v = 6 adódik ét megoldás van: x + y = 0 és (x - ) + (y - 6) = 0

48 6 A kör 8 b) (x - 8) + (y - ) = és (x - ) + (y + 6) = c) (x - ) + (y - ) = 0 és (x + ) + (y - 6) = 0 89 egyen e : y = x + és e : y = x - 6 e e a középpárhuzamos egyenlete: e: y = x + Az e egyik pontja Q( 0) Q pontnak az e egyenestôl mért távolsága a keresett kör sugara: r = A kör középpontjának (u v) koordinátáira a következô egyenletrendszert írhatjuk fel felhasználva az adott ( ) pont koordinátáit: rajta van a körön ezért ( - u) + ( - v) = 0 másrészt a kör középpontja illeszkedik az e középvonalra ezért v = u + Az egyenletrendszerbôl két megoldást kapunk: (x + ) + (y - ) = 0 és (x - ) + (y - 8) = 0 80 együk észre hogy az adott egyenesek párhuzamosak ét megoldás van: x + y - x - y + = 0 és x + y + x - = 0 8 r = 0 = Megoldások: (x - ) + (y - 8) = 80 és (x + ) + (y + 8) = 80 8 ( ) r = (x - ) + (y - ) = 8 A háromszög köré írható kör sugara r = 8 A( ) pont a háromszög súlypontja is A BC oldal A felezôpontja az A és a pont felhasználásával kiszámítható mert A : A = : A ( ) A BC oldal egyenlete: x + y = 7 a háromszög köré írható kör egyenlete: (x - ) + (y - ) = 8 A BC oldal és a kör közös pontjai adják a szabályos háromszög csúcspontjait: Bb+ - l Cb- + l 8 egyen u > 0 u > 0 u > 0 u > 0 Ekkor r = u r = u r = u és r = u Az egyenes normálegyenlete: = 0 ahol az egységvektor n O x+ y-0 N 0 Alkalmazva a távolságképletet és figyelembe véve hogy az egységvektor a pontokat tartalmazó félsíkba mutat-e vagy sem a 8 ábra alapján felírhatjuk a következô egyenleteket: u+ u-0 u+ u-0 u+ u-0 u u 0 = u - = u = u = u Innen kapjuk a körök középpontjainak koordinátáit és a körök sugarait ( ) r = N r 6 6 = N O 6 ( -) r = - r= O 8 ( ) r = (x - ) + (y - ) = 86 A Q pont koordinátái: (0 y) Ekkor Q = 0 a következôképpen írható fel: 9 + (y - ) = 90 Innen y = y = 8 A Q (0 ) és a (9 ) pontok meghatározta szakasz felezômerôlegesére másrészt az y = egyenletû egyenesre illeszkedik a keresett kör középpontja A x + y = 7 y = egyenletrendszerbôl ( ) r = adódik Hasonlóképpen számítható ki a Q (0 8) pontban érintô kör középpontjának koordinátái és a kör sugara ( 8) r = Megoldások: (x - ) + (y - ) = és (x - ) + (y - 8) =

49 A kör egyenlete 7 N 87 A kör középpontja az AB átfogó szakasz felezôpontja: O Az AC oldal egyenlete: -x + y = 7 A BC befogó egyenes egyenlete: -x + y =-6 A C csúcs koordinátái: N C( -) A kör egyenlete: x- + ( y- ) = O 88 (x - ) + (y - ) = 0 89 Az érintô kör középpontja rajta van az y = x egyenletû egyenesen: (x x) -nak az origótól való távolsága: O = x az x = egyenletû egyenestôl q x - q távolságra van Ekkor x = (x - ) Innen x =- + x =-- ét megoldás van r = -b- + l = - r = -b- - l = + A körök egyenletei: x -- b + le + y -b- + le = b- l : x+ + D + : y+ + D = b+ l 860 Ábrázoljuk az y= x egyenletû egyenest és az x + y = 9 egyenletû kört ét pont felel meg: (0 ) (0 ) 86 Elegendô a téglalapot az egyik átlójával megfelezni Megoldás: négyzet t = r 86 Az érintési pont: (- ) Az adott egyenes normálvektora: n( -) a normálvektor N 0 hossza n = = Az egységvektor koordinátái: n - O Ekkor a vektor koordinátái: 0 $ n 0 (8-6) O = O + innen O( 6 - ) Akeresett kör középpontja: (6 -) Még egy megoldást kapunk ha -t a -re tükrözzük A körök egyenletei: (x - 6) + (y + ) = 00 és (x + 0) + (y - 0) = q) s) w) nem kör egyenlete v) pontkör (r = 0) a többi kör egyenlete izsgáljuk például a j) egyenletét: x + x + y - y = 6 Innen (x + ) + (y - ) = (x + ) + (y - ) = 6 (- ) r = pl: c) (0 0) r = 0 h) (0 ) r = N k) 0 O r = l) N N O r = m) Osszuk el az egyenletet -mal O r 8 = N n) O r 0 a bn a + b = o) (a 0) r = qau t) - - r = O 86 a) A (- ) középpontú r = sugarú kör külsô pontjainak koordinátái b) (x - ) + (y + ) =- Ilyen pont nem létezik c) ( -) pont d) (x - y)(x + y - ) = 0 Az x - y = 0 és az x + y - = 0 egyenletû egyenesek pontjainak koordinátái 86 a) (x - ) + (y + ) = és (x + ) + (y - ) = körök egyenletei ( -) r = (- ) r = egyenes egyenlete: x + y =- b) 7x + 8y = B N C N B + C - AD 866 x + + y + = A O A O Szükséges és elégséges hogy A! 0 és A B + C >AD legyen a) A! 0 és D = 0 b) A! 0 és C = 0 c) A! 0 és B = 0 d) Szüksé-

50 8 A kör ges és elégséges hogy y = 0 esetén az AX + BX + D = 0 egyenletnek pontosan egy gyöke legyen B = AD és A! 0 e) A! 0 és C = AD f) B = AD B = C A! ( ) r = = 0 x + y - 0x + 6y + = 0 N 868 b x- l + y- = r O Tegyük fel hogy a (x y ) és a (x y ) rácspontok rajta N N vannak a fenti körön Ekkor bx- l + y - = bx - + y - O l O Innen x - x + y -y - _ y- yi= _ x-xi Ha x! x akkor a bal oldal racionális a jobb oldal irracionális miatt! Tehát x = x y -y - _ y- yi = 0 innen N _ y- yi y+ y- = 0 O y = y vagy y+ y= Utóbbi nem lehetséges mert y y! Z Ellentmondásra jutottunk ezért igaz a feladat állítása N 869 b x- l + y- = r O egyen (x y ) (x y ) rácspontok Ekkor x - x + y -y - _ y- yi= _ x-xi Innen adódik hogy x = x és y = y 870 egyen Q(0 ) Q rajta van az x + y = egyenletû körön Tekintsük a Q ponton átmenô y = mx + egyenletû egyeneseket Az egyenesnek és a körnek közös pontját az x + y = y = mx + egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyöke (i) adja x + (mx + ) = Innen m (m + )x + mx = 0 x = 0 y = x=- m + y - m = Minden racionális m-re m + x és y is racionális A feladat állítása igaz 87 a) Az x tengely pontjainak második koordinátája 0 az y tengely pontjainak elsô koordinátája 0 Ha y = 0 M (6 0) M (- 0) ha x = 0 M b0 l M b0 l + - b) M ( 0) M (- 0) M 0 M b 0 - l c) Mb 0l M 0 M (0 ) M (0 -) N N + O - O 87 ( 0) (- 0) Q 0 Q 0 egyen az origó az O pont O O - Ekkor O $ O =- OQ$ OQ= =- Az origó a kör belsô pontja Az origó a húrt és a Q Q húrt két részre osztja A részek szorzata egyenlô a évfolyamon igazolt tétel szerint 87 A húr végpontjai A és B AB = 0 AB felezôpontja legyen F Ekkor AF = F = és A = r ( a kör középpontja) AF derékszögû háromszögben r = + r = b l ét megoldás van a körök egyenletei x + y - 0x! 0 y+ = 0

51 A kör egyenlete 9 87 ét megoldás van: (x - ) + (y! ) = 87 AB = 8 r = 0 (u v) (0 8) F 9 AB ezért F pont felezi az AB húrt F = v Az AF derékszögû háromszögben v + = 0 innen v = 8 = u + (8-8) 0 = u + 0 innen u =!0 ét megoldás van: x + y! 60x - 96y + 70 = 0 $ -$ ( -) r = d = = 877 ( ) r = (- -6) r = 6 A keresett kör középpontja ( -) az átmérô: = 0 r = egyenlete: (x - ) + (y + ) = A tengelypontok: b! 0l és 87 b0 -! 6lAnégyszög átlói merôlegesek egymásra és a hosszuk és 6 Anégy- szög területe: területegység a b b 878 A kör átmérôje AB = a + ( b -) a sugara r = a középpontja a b + N a N b a b b O az egyenlete: x - + y - + N = O O Rendezve a kör egyenletét: () x + y - ax - (b + )y + b = 0 Az x tengelyt olyan pontban metszi a kör amelynek második koordinátája: y = 0 Ekkor () szerint () x - ax + b = 0 Ha () diszkriminánsa a - b > 0 akkor valóban a kör olyan két pontban metszi amelyek abszcisszái () valós gyökei 879 A középpontok koordinátái: ( 9) (- -7) A centrális egyenlete: y = x + a = ( ) r = A négyszög csúcsai: x = 0 A(0 ) C(0 -) y = 0 B b- 0l T Db+ 0l T= T= 6 6 = 9 9% T 88 ( ) r = (- ) r = x + y + x - 8y + = 0 88 A keresett koncentrikus kör egyenlete: () x + y - x + y + k = 0 ()-nek az x tengellyel való metszéspontjai: b+ -k 0l és b- -k 0l () az y tengelyt a b0 + -k l és a b0 - -k l pontokban metszi A négyszög átlóinak hossza: - k és - k A négyszög területe: -k $ - k = 6 6 Innen k =- és k = 0 A feladatnak a k =- felel meg Megoldás: (x - ) + (y + ) = 0 88 A kör középpontja az x - y =- és az y = x vagy az x - y =- és az y =-x egyenletû egyeneseken van Megoldás: (x - ) + (y - ) = 0 és (x + ) + (y - ) = 80 C N C 88 A = B = 0 kell legyen Ekkor ( x- ) + y+ = O Innen C =! ét 6 megoldás van: (x - ) + (y! ) =

52 0 A kör 88 a) Meg kell oldani a következô egyenletrendszert: + + a+ b= 0 ( ) a+ b= a= b= b) a= b=- 886 a) A kör egyenlete x + y + ax+ by + c = 0 alakú Ezért + - a+ b+ c= a+ b+ c= a- b+ c= 0 egyenletrendszer gyökei: a=- b= c=- 8 _ x- i + _ y+ i = Afeladatot úgy is megoldhatjuk hogy kiszámítjuk az ABC háromszögben az oldalfelezô merôlegesek közös pontját azután a kör sugarát N b) ( x- ) + ( y+ ) = 00 c) ( x- ) + ( y- ) = d) ( x- ) + y- = O 9 N 6 e) ( x- ) + y- = O 887 A körív olyan kör része amely áthalad az A(- 0 0) B(0 0) C(0 0) pontokon A kör egyenlete: x + ( y+ 0) = 0 Ha x =- 0 y = 0 ha x =- 0 y = 8 és így tovább akkor a tartórudak hossza rendre méter 888 a) Elôször számítsuk ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit: A ( ) B( - ) + + = Feltételezve hogy az egyenesek m n Ugyanis például az és egyene- = és = 0 Hasonlóképpen és illetve és közös pontjai is kielégítik () egyenletet () ( x-y-)( 7x-y- ) + + m( 7x-y- ) $ ( x+ y+ 8) + n ( x+ y+ 8)( x-y- ) = 0 A () másodfokú egyenlet akkor és csakis akkor kör egyenlete ha az x y együtthatói egyenlôk az xy tag együtthatója 0 és r > 0 Így m-ra és n-re felírhatjuk () rendezése után a következô egyenletrendszert: 9m+ 7n=- m- n = Innen m= n =- Helyettesítsük m és n értékét ()-ben a m és a n helyére Ekkor ( x ) ( y ) = valóban kör egyenlete b) 7x + 7y - 9x+ y- 6 = 0 Megjegyzés: Ha a m és n paraméterekre kapott egyenletek nem függetlenek egymástól akkor nincs megoldás Ekkor az adott egyenesek közül kettô párhuzamos 890 A metszéspontok koordinátái: A( -) B(6-0) C( 0) A x+ y- = 0 egyenletû egyenes merôleges a x-y- = 0 egyenletû egyenesre mert $ - $ = 0! AB r = = egység 8 N 8 N 6 07 C( - ) A kör egyenlete: x- + y- = 86 O 86 O 698 N C( 6 6 ) ( x- ) + ( y- ) = c) A (- ) B O N 0 N x- + y+ = O 7 O 889 Az adott egyeneseket jelöljük a következôképpen: : x-y- = 0 : 7x-y- = 0 : x y 8 0 páronként metszik egymást: () + + = 0 sek metszéspontjának koordinátáira = 0 = 0 0 b) A ( ) O C 7 0 N O - B( - - )

53 A kör egyenlete 89 A csúcsok koordinátái: A(- -) B(- 6 ) 89 C( -) A körülírt kör egyenlete: ( x+ ) + y = Az A(- -) csúcson átmenô belsô szögfelezô egyenlete: x+ y+ 9 - x+ y+ 8 = innen () y= x+ A C csúcsnál fekvô c szög szögfelezô egyenesének egyenlete: - x+ y+ 8 x+ y+ 6 =- Innen () b- l x+ b + l y=-6-8 A beírható kör O középpontjának koordinátáit az ()-() egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják x =- + és y =- + A beírható kör sugara a x+ y+ 9 = 0 normálegyenlet felhasználásával számítható ki u = - 89 A körök középpontjai: ( 0-6) ( 0) Aháromszög egyik oldala 6 egység a hozzá tartozó magasság egység t = területegység a kerület hossza 08 egység 89 Az ABC háromszög derékszögû mert AC( - 9 ) BC( - 6) és AB 6 6 $ (- 9) + $ (- 6) = 0 t = területegység r = = k = r egység 89 A háromszög derékszögû B = 90 (89 ábra) a) b) ( ) ( ) 0 0 N ( ) c) S O d) ( ) e) M( ) f) A háromszögbe írható kör sugara: AB + BC -AC u = = - O( + u -u) Ob- + l N 89 A B pont koordinátái ( b 0 )a C pont koordinátái c c O Ekkor c: = 6 és b+ c = Innen B( 0) C(8 ) A kör egyenlete: ( x - 7) + ( y - ) = I megoldás Írjuk fel az ABC háromszög köré írható kör egyenletét és ellenôrizzük hogy a D pont illeszkedik-e a körre? II megoldás AB( - 7) AD() 7 AB $ AD = 7-7= 0 tehát AB = AD BC( 8 ) CD( - ) BC $ CD = = 0 tehát BC = CDAnégy pont az AD átmérô fölé rajzolt körön van a) Az A( -) B(8 ) C( ) pontokon átmenô 9 N N 0 kör egyenlete: x O y + = 0 O egyen x = 0 00 Ekkor y= y=- 9 Megoldás: D(0-9) N + 89 O N 89 b) D 0 adódik az x- + y = 6 O 6 O 6 egyenletbôl

54 A kör A skaláris szorzat segítségével számítsuk ki az a és a c szögeket AB( - ) AD( 8) AB = AD = 68 AB $ AD = 6-0=- Másrészt - = $ 68 cos a Innen cosa=- =- a = Hasonlóképpen számíthatjuk ki a cosc értékét cosc= c = Mivel a+ c = 80 azért az ABCD négyszög húrnégyszög 899 A négyszög ABC pontjain átmenô kör egyenlete: ( x- ) + y = A D( ) pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét! 900 Az ABD pontokon átmenô kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) = A C pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét 90 A( ) C( -) A négyzet középpontja az AC szakasz felezôpontja ( 0) (90 ábra) C( - ) Forgassuk el a C vektort kal D ( ) Ekkor OD = O + D D( ) B(0 -) 90 A B csúcs koordinátáit úgy számítjuk ki hogy az A( -) pontot tükrözzük a x+ y= egyenletû szimmetriatengelyre AB egyenes egyenlete: x- y= Az AB szakasz F felezôpontjának koordinátáit a x+ y= x- y= egyenletrendszer gyökei adják F( ) B(7 ) A szimmetrikus 90 trapéz köré írható kört egyértelmûen meghatározzák az A B D pontok A középpontját a x+ y= egyenletû egyenes és az AD szakasz f felezô merôlegesének közös pontja adja f egyenlete x+ y=- 0 (96-7) r = A = = 9 A trapéz köré írható kör egyenlete: ( x - 96 ) + + ( y + 7 ) = 9 90 A téglalap B csúcsának koordinátái: B(- -9) Ugyanis AD( - ) AD( - 9 ) Elforgatva +90 -kal kapjuk az AB vektort AB( - - 9) Ekkor OB= OA+ AB OB( - - 9) AB csúcs koordinátái (- -9) A téglalap köré írható kör középpontja azonos a BD szakasz felezô-

55 A kör egyenlete pontjával (- -) a kör sugara: r = egyenlete: k:( x+ ) + ( y+ ) = A B csúcsot tükrözve az A pontra még egy téglalapot kapunk: B*( 9 ) Az AB* C* D téglalap köré írható kör egyenlete: k:( x- ) + ( y- ) = A k kör a tengelyeket a ( 0) (- 0) b l b0 -- 6l koordinátájú pontokban metszi A k kör a tengelyeket a ( 0) b0 + l b0 - l koordinátájú pontokban érinti illetve metszi A kimetszett húrok hossza: 6 6 egység 90 A háromszöget helyezzük el az ábrán látható módon a koordináta-rendszerben egyen A(-a 0) B(a 0) ekkor C(0 a) Az ABC háromszög így valóban egyenlô szárú és derékszögû háromszög A CB( a - a) kal elforgatva CC ( a a) Így az OC= OC + CC az OC és a C koordinátái ( a a) Hasonló meggondolással kapjuk hogy B ( a a) a szimmetria miatt A ( a a) ( - a A szóbanforgó csúcsok az origótól a + a = a egység távolságra vannak és így az x + y = a egyenletû körön vannak 90 Az egyenesek párhuzamosak Ebbôl következik hogy a kör (u v) középpontja az x = egyenletû egyenesre illeszkedik és a sugara r = A középpont rajta van a x- y= 6 egyenletû egyenesen is Mivel u = v = 9 Megoldás: ( x- ) + ( y- 9) = x-b- le + y-b- le = b- l egyen e : x+ y- = 0 e : x+ y- = 0 és e : y= x- e e ezért az érintôkör középpontja rajta van a középpárhuzamoson amelynek egyenlete k: x+ y= Másrészt rajta van az e és e egyenesek által bezárt szögek szögfelezôin f és f egyenleteit az e és e egyenesek normálegyenleteivel illetve a d = Ax + By+ C távolságképlettel írhatjuk fel A + B N f egyenlete: x- y= Az f egyenlete: x+ y= 9 A k kör középpontja a O pont a sugár r N N kör egyenlete: x- + y- 907 = O O A k kör középpontjának koordinátáit a k és f egyenesek metszéspontja adja ( 0) r egyenlete: ( x- ) + y = 908 a) egyen e: x- y= 0 e : x+ y- = 0 és e : x+ y= A középpont rajta van az e és e egyenesek szögfelezôin másrészt az e egyenesen A szögfelezôk egyenletei:

56 A kör 909 f : x+ y= f: x- y= A k kör középpontjának koordinátái kielégítik az f és e egyenleteket Innen: ( - ) a sugár r 0 egység A k kör középpontjának koordinátáit az f és e egyenletrendszer gyökei adják N O a sugár: r = A körök egyenletei: 0 N N ( x- ) + ( y+ ) = és x- + y- = O O 90 N 9 N b) ( x- ) + ( y- ) = és x+ + y- = O O 909 A k kör középpontja rajta van az x = 6 egyenletû egyenesen másrészt egyenlô távol van az x+ y- = 0 egyenletû egyenestôl és a ( ) illetve ( 0 ) koordinátájú pontoktól ( = ) A ( 6 v) pontra felírhatjuk a következô egyenletet: 6 v () ( 6- ) + ( v - ) = + - () egyenlet gyökei: v= 9 v= 7 Mindkét gyök megoldás Az egyik kör középpontjának koordinátái: (6 7) a sugara egység a másik kör kö- zéppontja: (6 9) a sugara egység 90 egyen x $ 0 és y $ 0 Ekkor a kettôs egyenlôtlenség a következôképpen írható: # x + y # x+ y Az x + y $ egyenlôtlenséget kielégítô ( x y) számpárok az origó középpontú egység sugarú körvonal vagy a körön kívül fekvô pontok koordinátái Az x + y # x+ y illetve az ( x- ) + ( y-) egyenlettel megadott ponthalmaz az elsô síknegyedben az ( ) középpontú r = sugarú körön vagy annak belsejében helyezkedik el A kettôs egyenlôtlenséggel megadott síkidomot az ábrán az I síknegyedben bevonalkáztuk Ha x # 0 és y $ 0 akkor a II síknegyedbeli holdacskát kapjuk És így tovább A négy bevonalkázott holdacska egybevágó Egyik területe: 9 b l r r $ N t = - - O= T = $ = 8 területegység O 9 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y= mx+ b alakú 6= m+ b ezért y= mx+ 6- m Az egyenesek normálegyenlete: = 0 Az ábra alapján mx- y + 6-m m + állítjuk hogy két egységsugarú érintôkör létezhet: (- ) r = ( - ) r = Ekkor pontra: ()

57 A kör egyenlete N -m- + 6-m m+ + 6-m -m O = pontra: () = () egyenletbôl = m + m + + m O m = m = A feladat követelményeinek az m = felel meg Az egyenes egyenlete: x- y+ = 0 A ()-es egyenletbôl kapjuk a második megoldást: y= 6 x- 8 9 Az A(0 0) B( ) C( 0) csúcsokon átmenô kör egyenlete: N 6 N k:( x- ) + y- = O A kör 6 O középpontja a D( -) ponttól d 97 = egység 6 távolságra van A keresett kör R sugarát úgy kapjuk hogy a k kör sugarát -et a felével megnöveljük R = + - = Helyezzük el az ABC háromszöget a koordináta-rendszerben úgy hogy a csúcsok koordinátái a következô számpárok legyenek: A( - a 0) B( a 0) C( c d) ahol a> 0 d=y 0 Ekkor a x ( y) pontra A + B + C = ( x + a) + y + ( x - a) + y + ( x - c) + ( y - d) Ren- c N d N 8c 8d 8c + 8d dezve: A + B + C = x - + y - + a + + $ a + O O c d A négyzetösszeg akkor a legkisebb ha x = y = Ekkor a pont az ABC háromszög súlypontja 9 álasszuk meg a koordináta-rendszert úgy hogy a háromszög csúcspontjainak koordinátái: A - c N 0 O B c N 0 O Cx ( y ) legyen ( C > 0 y=y 0 ) Ekkor t c y = és 8t= c y (t jelenti az ABC háromszög területét) Az oldalak négyzetösszegére felírhatjuk a következô egyen- c N c N c letet: () c + x+ + y + x- + y = c y O O Ha y > 0 akkor ()-bôl x + ( y- c) = c c adódik ha y < 0 akkor x + ( y+ c) = A mértani hely két kör: ( 0 c) r = c ( 0 - c) r= Mindkét kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 9 egyen x ( y ) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y + x + ( y- 6) = k Innen rendezéssel: x + ( y- ) = `k -j adódik Ha k < akkor a mértani hely üres halmaz Ha k = akkor a mértani hely egy pont: (0 ) Ha k > akkor a mértani hely kör amelynek középpontja a (0 ) koordinátájú pont a sugara egység A kör minden pontja megfelel k -

58 6 A kör 96 A keresett kör középpontja egyrészt rajta van az origó körül rajzolt egységsugarú körön másrészt az x+ y= egyenletû egyenesre a ( ) pontban emelt merôleges egyenesen A körök egyenletei: ( x ) y - + = 8 és x + ( y+ ) = 8 97 egyen a szabályos háromszög oldala a hosszúságú Ekkor a magassága a álasszuk a N meg a koordináta-rendszert úgy hogy a csúcsok koordinátái a következôk legyenek: B - 0 O C a N N N 0 O A a O 0 O A feladat szerint: x y a a N a N O + - = x+ + y + x- + y O O O Innen rendezéssel az x + y+ = egyenletet kapjuk A mértani hely olyan kör amely- N a a O O N a O a nek középpontja a 0 - pont a sugara egység A kör minden pontja megfelel O ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje a 98 a) ( ) ( 0) b) ( ) c) ét közös pont van ha r > N a a r mr O egy közös pont van ha r = nincs közös pont ha r < d) m + m + O N r mr O - - e) ét közös pont van ha m + m + O r b > egy közös pont van m + b b ha r = nincs közös pont ha r < m + m + 99 a) ét közös pont van b) ét közös pont c) Egy közös ponton van d) Nincs közös pont D =- 868 < 0 N N 90 a) ( ) és - O b) (0 0) és O c) (9 ) és (0 0) d) ( ) és (- -) e) ( -6) 9 N 9 a) ét közös pont van: ( ) és - O b) Egy közös pont van: ( -) c) Az egyenes egyenlete: x+ y= Az egyenesnek és az x + y = egyenletû körnek egy közös pontja van: ( ) Az egyenes az x + y = 6 egyenletû kört két pontban metszi N N O O és O O

59 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a szakaszra ahol az adott kör középpontja feltéve hogy a kör belsejében van (- ) a sugár r = = 8 < tehát a körön belül van Az ábra szerint A = A - a legrövidebb húr hossza: AB= A húr egyenesének egyenlete: x+ y= 9 A kör középpontja az AB szakasz felezômerôlegesére illeszkedik Ennek egyenlete 7x+ y= A középpontja: ( ) A sugár r= A= egység A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = A C csúcs koordinátáit a kör és az y- x= 7 egyenletû egyenes közös pontjai adják C ( 9) C ( - ) 9 x + y + x- 7y= 0 96 Számítsuk ki a ( 7) középpontú r = egység sugarú kör és az x+ y= 7 egyenletû egyenes közös pontjainak koordinátáit ( - ) ( ) 97 egyen A( ) B(- -) Ekkor az átfogó egyenes egyenlete x- y=- 7 Mivel a Tt ( ) illeszkedik az átfogóra azért t - $ =- 7 innen t =- 06 Az ABC derékszögû háromszög köré írható Thalész-kör egyenlete: (- ) r = ( x+ ) + ( y- ) = A T ponton átmenô magasságegyenes egyenlete: x+ y= 8 C( - ) C 9 9 N - O 98 A kör középpontja az origó O(0 0) az érintési pont az E(6-8) pont A keresett kör középpontja rajta van az OE egyenesen és az E ponttól egység távolságra van OE egyenes egyenlete: x+ y= 0 E = vagyis ( x- 6) + ( y+ 8) = ( - ) ( - 0 ) és a sugár r = ét megoldás van: ( x+ ) + ( y- ) = és ( x- ) + ( y+ 0) = 99 Az ábra szerint CD = Mivel E = CD ezért ED = A CD egyenes normálegyenlete: x - y + 8 = 0 A k kör ( u v) középpontjának a CD egyenestôl mért távolsága: 9 d = u v 8 A k kör középpontja rajta van az AB szakasz felezômerôlegesén az f egyenesen f egyenlete: 7x+ y= tehát 7u+ v= A keresett 99 kör r= A sugarára felírhatjuk a következô egyenletet: ( u+ ) + ( v- ) = r Másrészt r = E + ED tehát () ( u+ ) + ( v-) u v 8 = - + +b l A k kör egyen- lete: ( x- ) + ( y- 7) = a k kör egyenlete ( x - 7) + + ( y + 0) = 0 90 Az origón átmenô kör egyenlete: x + y + ax+ by = 0 alakú A szögfelezô origótól különbözô pontja p ( p ) ahol p =Y 0 Mivel rajta van a körön azért p + p + ap+ bp = 0

60 8 A kör p =Y 0-val egyszerûsítve: p+ a+ b= 0 tehát a+ b=- p A körnek a tengelyekkel való metszéspontjai: O(0 0) és A( - a 0) illetve O(0 0) és B( - b 0) OA + OB =- ( a + b) = p Tehát a kérdéses összeg csak a pont megválasztásától függ 9 x+ y= 9 Az adott kör - abszcisszájú pontjai: b- l b- - l A pontokban az érintôk egyenletei: e : - x + y = 6 és e : - x - y = 6 Írjuk fel a normálvektorok skaláris szorzatát 6$ 6cos{ = - cos{ = { = 67 Mivel a { nem tom- 6 paszög azért a két érintô hajlásszöge N 9 Az érintôk metszéspontja O { = Az érintôk egyenletei: y = x =- y =- és xx+ yy= ahol 0< x < A trapéz + y N csúcsai: A(- -) B - x O C - y N + x O D(- ) A B csúcs koordinátáit az xx+ yy= y =- egyenletrendszer a C csúcs koordinátáit az xx + yy = egyenletrendszer gyökei adják A trapéz AC átlójának egyenlete: () - x y = + - A trapéz BD y = x y x y x x x y x y átlójának egyenlete: () x y = () és () egyenlet megfelelô oldalait összeadva y = adódik y értékét behelyettesítve ()-ben az x helyére és figyelembe vé- x x y x + y N ve hogy x + y = x = 0 adódik M 0 x+ O A nem párhuzamos oldalak érintési pontjai: ^- 0 h ^ x y h A egyenes egyenlete: - yx+ _ x+ i y= y Ha x = 0 akkor y y = tehát a x + egyenes átmegy az M ponton 9 a) (0 0) ponton átmenô egyenesek egyenlete y= mx- 0m Az m paramétert úgy kell megválasztani hogy a körnek és az egyenesnek egy közös pontja legyen Ez akkor teljesül ha az x y + = egyenletrendszerbôl adódó x + ( mx- 0m) = másodfokú y= mx-0m egyenlet diszkriminánsa 0 `+ m j x - 0m x + 00m - = 0 = egyenletbôl a diszkri- mináns D: m = Tehát m =! ét megoldás van Az érintôk egyenletei: N N O x! y= 0 Az érintési pontok koordinátái: O O Az érintôszakasz O hossza: egység Az érintôk hajlásszögét a normálvektorok segítségével számítjuk ki n b l n b - l n = n = cos{ = - { = 0 Az egyenes hajlásszöge hegyesszög: ~ = 80-0 b) x- y= x- y= ^ -h ^ h egység 90

61 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 c) y = x- y= 0 ^ 0 h ^ - h 8 egység d) x+ y= x- y=- ^ h ^ - h egység Tekintsük azt a derékszögû háromszöget amelynek befogói a kör sugara és a (8 0) pontból a körhöz húzott érintôszakasz Az átfogó hossza 8 egység Ekkor sina = a = 0 8 a = Az A(- ) pontból az x + y = 00 egyenletû körhöz húzott érintôk egyenletei 7x+ y=-0 és x- y=- 0 A ( 0) ponton átmenô és az x + y = 00 egyenletû kört érintô egyenesek egyenlete y = 0 60x- y= 60 A hiányzó csúcsok koordinátái: 0 N - 0 O 0 0 N - O 98 a) A (0 0) ponton át húzzunk merôleges egyenest a x- y= 7 egyenletû egyenesre Ennek egyenlete: x+ y= 0 Ez az egyenes kimetszi a körbôl a keresett érintôk pontjait x + y = Innen y x+ y= 0 = y =! x = " Az érintési pontok koordinátái: E b- l E b - l Az érintôk egyenletei: x- y=- és x- y= b) x - y = x - y =- c) x - y = 69 x - y =-69 d) Az y= x-7 egyenletû egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x+ y= b alakú A b értékét úgy kell megválasztani hogy az egyenesnek a körrel pontosan egy közös pontja legyen A diszkrimináns: D= 6b -0 `b - j = 0 ha b =! 0 Az érintôk egyenletei: x+ y= 0 és x+ y= A pont abszcisszáját a QO derékszögû háromszög segítségével számíthatjuk ki ahol O a kör középpontja (az origó) OQ = Q = O = + O = 7 Az érintési pont koordinátáit az x + y = egyenletû kör és az O átmérô fölé rajzolt Thalész-kör közös 0 N pontjai adják E 7 7 O E 7 0 N - 7 O Az érintôk egyenletei: x+ y= és x+ y=- 90 Az alappal szemközti C(6 8) csúcson és a beírt kör O(0 0) középpontján átmenô egyenes a beírt kört az alap C felezôpontjában metszi és merôleges az alap egyenesére Az OC _ x + y = 6 8 b egyenes egyenlete: y= x A C 6 pont koordinátáit az 8 ` egyenletrendszer gyökei y= x 6 b a adják: (8 6) és (-8-6) Mivel a kör a háromszögbe írt kör azért a C koordinátái az ábra szerint (-8-6) Az AB alapegyenes egyenlete: x+ y=- 0 A C pontból a körhöz húzott egyik száregyenes egyenlete: y = 8 A csúcs koordinátái: x + =-0 egyenletbôl x =- =- A B 7 csúcs koordinátáit megkapjuk ha az A pontot tükrözzük a C pontra B( -08) 90

62 0 A kör 9 9 Az AOC háromszögben tg0 = OC a Innen a = a szabályos háromszög oldala egység hosszú Az A csúcs koordinátái Ab-6 - l B b6 - l C b0 l Az oldalak egyenletei: y= x+ y=- x+ y =- 9 Az adott k kör középpontján át húzzunk merôleges egyenest az adott e egyenesre álasszuk ezt az egyenest x tengelynek az e egyenest y tengelynek A kör középpontjának rögzített koordinátái (u 0) az y tengely változó pontjának koordinátái (0 p) A középpontú kör egyenlete: x + ( y- p) = u + p - r Innen leolvasha- tó hogy p-tôl függetlenül a Qc u - r 0m rajta van mindegyik körön megoldás van ha u > r megoldás ha u = r nincs megoldás ha u < r 9 a) x+ y= ( a kör középpontja a kör adott pontja) b) x- y+ 9= 0 c) x- y+ 9= 0 és x+ y- = 0 9 Az érintési pontok koordinátái: E^ h E ^- -h Az e érintô normálvektora: n^ -h e normálvektora: n^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y = e : x- y= 7 7 N e és e Q metszéspontjának koordinátái: Q - O 9 A kör a tengelyeket a (0 0) (0 8) (6 0) pontokban metszi Ezekben a pontokban a kör érintôinek egyenletei rendre x+ y=- x- y=- 8 x+ y= 6 A hajlásszögek az érintôk és a tengelyek által beárt szöggel egyenlôk: és A pálya egyenletét a ( ) pontban a körhöz húzható érintô egyenlete adja: x-y- = 0 97 A kör középpontjának koordinátái: ( -) A x- y= 0 egyenessel párhuzamos körérintôk érintési pontjait úgy kapjuk meg ha a középponton átmenô és a x= y egyenesre merôleges egyenesnek és a körnek a közös pontjait határozzuk meg Az érintési pontok koordinátái: E^ -h E^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y - 77 = 0 e : x- y+ = 0 98 Az érintô egyenlete: y= x+ b alakú A b-t úgy kell meghatározni hogy az egyenesnek és a körnek egy közös pontja legyen Ekkor a kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D= ( 6b-6) -0`b - b+ j D = 0 ha b =- 9! ét érintô létezik Egyenletük: y= x- 9! 99 ét érintôt kapunk: x+ y- 7= 0 x+ y= 90 a) Az érintô egyenlete: y = mx alakú m-et úgy kell meghatározni hogy az y = mx egyenletû egyenesnek az x + y -0x- y+ = 0 egyenletû körrel egy közös pontja legyen 0 Az egyenletrendszer diszkriminánsa: D= 80m- 8m D = 0 ha m = 0 m = ét érintôt kapunk Egyenleteik: y = 0 és 0x- y= 0 b) x- y+ = 0 x - y-7 = 0 c) x = x -y- = 0 d) 9x + 0y = 8 x =

63 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 A kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) = 6 A (0 -) pont a kör ( -) középpontjától egység távolságra van A pontból a körhöz húzható érintôszakasz olyan derékszögû háromszögnek a befogója amelynek átfogója egység a másik befogó egység Az érintôszakasz hossza rajta van a körön belsô pont -re 0 9 ét megoldás van (-0 88) (6 ) Ugyanis a (- 0) ponton átmenô körérintôk egyenlete: - x+ y= - x+ y= 9 Tekintsük az ábrát A A felezi az A-nál fekvô derékszöget A AE 9 derékszögû háromszög átfogója 0 egység Így ( a - ) + = 0 Innen a =! ét megoldás van A b 0l A b 0l a) A közös külsô és belsô érintôk átmennek a körök külsô illetve belsô hasonlósági pontjain a Q és a Q ponton A két kör olyan helyzetû hogy az egyik külsô érintô egyenlete: y = A Q pont koordinátáit úgy számítjuk N ki hogy elôször felírjuk centrális egyenletét y= x O azután a Q pont koordinátái egyszerûen adódnak Q ( ) N Q O Ezután kiszámítjuk a Q és a Q ponton átmenô például az ( x- ) + ( y- ) = egyenletû kör y = egyenestôl különbözô érintôjének egyenletét: x- y= 0 A Q ponton átmenô másik érintô egyenlete: x+ y= b) A két kör metszi egymást Csak külsô érintôik vannak Egyenleteik: x+ y= 7 és x- y= 7 c) Csak közös külsô érintôk léteznek Egyenleteik: x+ y= b! l 9 9 A közös érintô egyenlete: x+ y= 96 A harmadik csúcs rajta van a körön és az AB oldal felezômerôlegesén ét megoldás van: C (6 8) C (- -0) 97 Az A( ) csúccsal szemközti oldal A felezôpontjának koordinátái A ( 7) A szabályos háromszög magassága: AA = egység A szabályos háromszög oldala legyen a hosszúságú a = 6 A BC oldal egyenlete: x+ y= 8 A szabályos háromszög B(b b ) csúcsa raj- ta van a BC oldal egyenesén másrészt az A csúcstól 6 egység távolságra van A keresett csúcsok koordinátái: B b- 7+ l C b+ 7- l 98 A négyszög csúcsai: A B C D Az A csúcs koordinátáit a x+ y= 0 x- y+ = 0 egyenesek közös pontja adja A(- ) Az A átló egyenlete: y = BD átló egyenlete: x =

64 A kör x = A B csúcs koordinátáit az x- y+ = 0 egyenletrendszer a D csúcs koordinátáit az x = x+ y= 0 egyenletrendszer megoldása adja B( 6) D( -) Írjuk fel az A B D pontokon átmenô kör egyenletét: ( x- ) + ( y- ) = A C csúcs koordinátáit a kör és az A átló egyenleteibôl álló egyenletrendszer gyökei adják C( 9) N 99 ét megoldás van mert két érintô húzható O 7 9 N - - O 960 A ( -0) középpontú r = 0 egység sugarú kör 0 egység hosszúságú húrjai a középponttól d = egység távolságra vannak A húrok felezôpontjai egy ( x- ) + ( y+ 0) = egyenletû körön vannak Az origón átmenô y = mx egyenletû egyenesek közül azt az egyenest kell kiválasztani amely érinti az ( x- ) + ( y+ 0) = egyenletû kört Az egyik érintô egyenlete x = 0 (az y tengely) A másik érintô egyenletét az y= mx ( x ) ( y 0) egyenletrendszerbôl adódó diszkriminánsból számíthatjuk ki = -m - = 0 m =- Az x = 0 egyenletû egyenes az ( x- ) + ( y+ 0) = 0 egyenletû kört a (0 -) és a (0 -) pontokban az y=- x egyenletû egyenes a kört a Q ( -) és a Q ( -9) pontokban metszi = QQ = 0 egység 96 A kör középpontja rajta van az y= x egyenletû egyenesen tehát a középpont koordinátái: u= v a sugár r = u mert a kör érinti az origóban az y=-x egyenletû egyenest A kö- zéppont r távolságra van az x - y + = 0 normálegyenletû egyenestôl is Tehát u = ét megoldás van: ( x- ) + ( y- ) = 8 vagy ( x+ ) + ( y+ ) = 8 96 k : x-b - le + y-b- le = b -l és k : x-b-- le + y- b+ le = b+ l 96 Meg kell keresni az adott körnek azt a pontját amelyik legközelebb van az AB egyeneshez Ezt a pontot a (8 ) ponton átmenô és az AB egyenesre merôleges e egyenes metszi ki a körbôl Megoldás ( -) 96 A (6 ) ponton átmenô e egyenes egyenlete: y= mx+ -6m alakú e normálegyen- mx- y + -6m lete: = 0 m-et úgy kell meghatározni hogy - m+ + -6m = legyen m + m + Megoldás: y = és x- y= 96 ( x- ) + ( y- 7) = 0 A ponthalmaz kör a kör minden pontja hozzátartozik a felté- telt kielégítô ponthalmazhoz 966 Az ABCD paralelogramma A csúcsának koordinátái (0 0) a C csúcs koordinátái (p q) Az AC átló felezôpontja: F p N O F illeszkedik az x+ = egyenletû egyenesre tehát

65 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje () p + $ q = Másrészt C rajta van a körön ezért () ( p- 8) + ( q- ) = () és () egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják a C csúcspont koordinátáit ét megoldás van C (8 0) és C ( 8) Az AC átló felezôpontja: F ( ) A paralelogramma B és D csúcsait úgy számíthatjuk ki hogy felírjuk a F egyenesre merôleges és az F ponton átmenô szelô egyenletét (Ugyanis F felezi a B D húrt ezért a (8 ) középpontból a húr felezôpontjához húzott szakasz merôleges a húrra) A szelô kimetszi a körbôl a B és a D csúcsokat A szelô egyenlete: x = B és D koordinátái: B ( ) D ( 8) Hasonló meggondolással kapjuk a C ( 8) pont felhasználásával a B D csúcsok koordinátáit B (8 0) D ( 8) Az AB C D és az AB C D négyszögek valóban paralelogrammák és eleget tesznek a feladat követelményeinek 967 ét megoldás van ( ) (8 0) 968 A kör középpontjának koordinátái: (u u) az érintési pont koordinátái E( ) Az adott egyenes irányvektora: v(- ) a E ( -u - u) E = v E $ v = 0 Innen u = A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = 969 olyan kör van amely megfelel a feladat követelményeinek Ezek közül legkisebb az A(0 0) B b 0l C(0 ) csúcsokkal kifeszített háromszögbe írt kör Ennek a középpontja rajta van az y = x egyenletû egyenesen tehát (u u) r = u Az adott egyenes normálegyenlete: x+ y- = 0 A beírt körre felírhatjuk a következô egyenletet: u + u - =- u N N N - O - O - O A kör egyenlete: x- + y- = O O O Az oldalak egyenletei: y=! x x = A kerület 9 egység a terület területegység 97 egyenek a téglalap csúcsainak koordinátái: A(0 0) B(a 0) C(a a) D(0 a) Az E koordinátái: a a N O AE $ BD = 0 97 Az origón átmenô érintô egyenlete y= mx Az egyenes akkor érinti a kört ha az x + y - 8x+ y- + a= 0 egyenletrendszerbôl adódó diszkrimináns 0 y= mx D:( 8 -a) m - 8m+ 8 - a= 0 ét m érték két érintô van Ha ezek merôlegesek egymásra akkor az iránytangenseik szorzata a 97 m$ m= =- a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján a = 8 97 Az A( -) csúccsal szemközti BC oldal A 8 - a felezôpontja azonos az adott kör ( ) középpontjával Ebbôl következik hogy a BC oldal a kör átmérôje égtelen sok megoldás van 97 Tekintsük az ábrát Az érintônégyszög egyenlô szárú trapéz mert két szemközti oldala párhuzamos és a trapéz tengelyesen szimmetrikus Az alapok összege 0 mert a szárak összege $ AD = 0 egység A má-

66 A kör sik szár irányvektorát úgy számíthatjuk ki ha elôször kiszámítjuk az M pont koordinátáit _ úgy hogy MD = AD = 0 egység legyen Az M(p q) pontra () q= p- b ` () p + ( q- 6) = 0b a 8 6 ()-() egyenletrendszerbôl: p = q = A trapéz BC szára párhuzamos az MD szakaszszal MD egyenes irányvektora v O illetve v MD ( -7) egyen a B(b b ) a C(c c ) 8 N Ekkor B és C koordinátáira felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () b= b- () c= c- 6 () b + _ b+ i + c + _ c+ 6i = 0 mert az érintônégyszög szemközti oldalainak összege egyenlô és (6) =- mert BC egyenes iránytangense b b- c 7 - c egyenlô az MD egyenes iránytangensével ()-(6) egyenletrendszer megoldása mivel 6 b b c c > 0 b = b 8 = c 6 = c = 97 A rajta van a körön mert a koordinátái kielégítik az adott kör egyenletét ( x- ) + ( y- ) = 69 egyenletbôl ( ) A C csúcsot úgy kapjuk hogy az A pontot tükrözzük a középpontra C(- ) A( - ) Elforgatva! 90 -kal B( 7) D(-9 -) 976 A és B valóban a k:( x- ) + y = 6 kör pontjai Igazoljuk! A C pont koordinátái _ c+ i + _ c+ i 9 (c c ) Ekkor () = és () _ c - i + c = 6 ét megoldás van C c 6 c ( ) _ - i + _ - i 0 N C - O 977 Az egyenes egyenlete: y=- x+ a ahol a > 0 Az egyenes érinti az x + y = N O egyenletû kört ha a = Az érintési pont: E O Ábrázoljuk a deltoidot A beírt kör O középpontja az y tengelyre esik mert az y tengely szimmetriatengely Másrészt O rajta van az ABC szög szögfelezôjén x+ y- AB egyenes normálegyenlete: = 0 x-y- 8 A BC egyenes normálegyenlete: = 0 A O(0 v) középpontra felírhatjuk a következô egyenletet: v- v 8 = - - A deltoidba írható kör középpontjának koordinátái O(0 -)

67 örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása Az OB egyenesre merôleges és a B ponton átmenô egyenes egyenlete: 7x+ y= 9 A pont 7 N koordinátái: 7x + = 9 egyenletbôl 8 O illetve N O A Q pont koordinátái: Q - O 8 N A QRS egyenlô szárú trapéz ezért R 8 N - - O S N - O A R átló egyenlete: x- y= az SQ átlóegyenlete: x+ y=- Mindkét átló átmegy az O ponton mert O koordinátái mindkét egyenletet kielégítik x y 979 Az origónak az + = egyenletû egyenesre esô merôleges vetülete legyen koordinátái x = y = ahol ab =Y 0 Ekkor x + y = = állandó A mér- a b ab a b a + b a + b + a b tani hely origó középpontú kör A kör sugarának négyzete r = A kör tengelypontjai ( pont) nem tartoznak a mértani + a b helyhez örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása 980 a) A két körnek egy közös pontja van érintik egymást a ( 0) pontban N N 8+ - O b) O 8- + O N c) (- ) d) - O O 98 ( ) az érintési pont A keresett kör középpontja rajta van az y= x egyenletû egyenesen mivel mindkét koordinátatengelyt érinti Ezért u= v és r= u A kör egyenlete: (x - u) + (y - u) = u Mivel a pont illeszkedik a keresett körre azért ( - u) + ( - u) = u Innen u = 7! 6 Megoldás: x- b7! 6lE + y- b7! 6lE = b7! 6l 98 a) A körök közös pontjainak koordinátái: ( 00 ) ( ) A keresett kör uv ( ) középpontjára = és a sugár r = u + v = és ( u- ) + ( v- ) = ét megoldás van: x + y - x+ y= 0 és x + y + x- y= 0 b) A kör középpontja a (0 0) és az ( ) pontokat összekötô szakasz felezôpontja Megoldás: x + y -x- y= 0 8 N 98 A körök közös pontjainak koordinátái: ( - ) O A keresett kör középpontja az x tengelyen van tehát a koordinátái: (u 0) másrészt = 8 N 96 7 N 7 ( u + ) + = u - + O Innen u = r = A kör egyenlete: x- + y 6 O = 6 98 A két kör közös pontjainak koordinátái: ( -) ( - ) és az adott ( -) pontok derékszögû háromszöget feszítenek ki A kör egyenlete: x + y - x+ y+ = 0 98 ( ) ( )

68 6 A kör A keresett kör középpontja u ( v ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: ( ) és a sugara r = az adott pont ( ) Ekkor = és = () ( u- ) + ( v- ) = () ( u- ) + ( v- ) = ()-() egyenletrendszer gyökei: u = v = u = 8 v = 0 A keresett körre két megoldást kaptunk ( x- ) + ( y- ) = és ( x- 8 ) + ( y- 0 ) = 987 Ha két kör kívülrôl vagy belülrôl érinti egymást akkor az érintési pontok a középpontokon átmenô egyenesekre illeszkednek A keresett kör középpontjai ( 6 ) az adott kör középpontja ( 0 ) A centrális egyenes egyenlete: y= x- 8 Ez az egyenes az adott kört két pontban metszi E( ) E ( - ) A sugarak hossza E= E= egység A körök egyenletei: ( x - 6) + + ( y - ) = és ( x- 6) + ( y- ) = Utóbbi kör az adott kört belülrôl érinti 988 Adott kör középpontja (- - ) a sugara r = egység A keresett kör középpontja u ( v) a sugara r = 8 egység A pontnak két feltételt kell kielégítenie = 8 + és = 8 7 N N A keresett kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = 8 0 x+ + v- = 8 O O 989 Az adott körök kívülrôl érintik egymást mert a középpontjaik távolsága a sugaraik hosszának összegével egyenlô ( - - ) r= 0 ( 0 6) r = = A keresett kör középpontja rajta van a egyenesen másrészt az x tengelyre illeszkedik egyenlete: x- y= 6 A középpont koordinátái ( 0) a sugara r = + = az egyenlete ( x- ) + y = 990 Az adott kör középpontja (- ) a sugara r = 0 az adott pontja (7 8) A keresett kör középpontjának koordinátái u és v a sugara r= v mert érinti az x tengelyt rajta van a egyenesen és = r A keresett kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) = 99 A keresett kör középpontjának koordinátái ( u u) és a sugara r= u Felírhatjuk u-ra a következô egyenletet (figyelembevéve hogy az adott kör középpontja (- -) a sugara r = : ( u+ ) + ( u+ ) = ( + u) Innen u= A keresett kör egyenlete: ( x- ) + _ y- i = 99 Az adott körök középpontjainak koordinátái: ( 0 0) ( ) a sugaraik r = r = egység A keresett kör középpontja u ( v) a sugara egység -ra felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u + v = 00 l( ) 0 ll ( ) ()( u- ) + ( v- ) = 8 99 Az adott körök sugarai megegyeznek Ezért elegendô meghatározni a ( 9) ( ) és a ( 9 8) középpontokon átmenô k kör egyenletét azután a k kör sugarát egységgel csökkentve illetve növelve megkapjuk a keresett körök egyenletét ( x- ) + ( y- ) = 9 és ( x- ) + ( y- ) = 9 99 ét egymást metszô kör hajlásszögét a metszéspontban húzott érintôk hajlásszögével definiáljuk Az adott körök metszéspontjai: ( ) ( - ) A pontbeli érintôk

69 örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása 7 egyenletei: e : x+ y= 6 és e: - 8 x + y = 0 e normálvektora n ( ) e normálvektora n ( - 8 ) n $ n = 0 a hajlásszög 90 pontban a hajlásszög szintén 90 mert és a centrális egyenesre szimmetrikus pontok 99 A keresett kör egyenlete ( x- u) + ( y- v) = r Mivel a kör átmegy az ( 0) és a (0 ) koordinátájú pontokon azért u= v Ekkor ( - u) + u = r illetve u - u+ = r Másrészt a metszéspont a u ( v) pont és az adott kör ( - 0) középpontja egy derékszögû háromszög csúcsai mivel a két kör merôlegesen metszi egymást Így alkalmazva itagorasz tételét: ( u- ) + u = + r A két egyenletbôl: u= r = A keresett kör egyenlete: 8 N N x- + y- = O O A keresett kör egyenlete: ( x- u) + ( y- v) = 9 A ( ) pont rajta van a körön ezért ( - u) + ( - v) = 9 Az E metszéspont a u ( v) pont és az O(0 0) pont derékszögû háromszög csúcsai mert a keresett kör az adott kört derékszögben metszi Ezért u + v = + 9 A felírt egyenletek megoldá- N sai: (- ) és O ét megoldás van: ( x + ) + ( y - ) = 9 N N és x- + y- = 9 O O 997 A k- k= 0 valóban egyenes egyenlete: 6x- y+ = 0 A centrális egyenes egyenlete: x+ y= 7 A két egyenes merôleges egymásra mert $ 6+ $ (- ) = 0 A feladat könnyen általánosítható egyen a két kör egyenlete: x + y = r ( xa) + y = r 998 a) Oldjuk meg az egyenletrendszert: () x + y = 9 () 9-6x- 8y = 0 & x 7! 9 = 0 9 8! y = - A húr hossza d = egység b) 8 00 egység c) egység 97 d) egység e) 0 egység A keresett pont koordinátái: ( x y ) Az adott körök adatai: ( ) r = 6 ( ) r = az érintési pontok E és E Ekkor a E háromszög és a E háromszög derékszögû (Az átfogók és ) A következô egyenleteket írhatjuk fel alkalmazva a itagorasz tételét: () ( x- ) + ( y- ) = 6+ 9 () ( x ) ( y ) = 6+ 9 ()-() egyenletrendszer gyökei adják a pont koordinátáit ( - ) ( - 6 6) 000 A közös húr végpontjainak koordinátáit az x + y = 0 egyenletrendszer gyökei adják ( - ) (- ) A húr egyenlete: x + y = x + y -6x- 6y+ = 0 A háromszög területe területegység 00 Az adott k kör középpontja (- ) a sugara r = 0 egység A keresett k kör középpontja ( u v) a sugara r= v mert a kör érinti az x tengelyt (A sugár merôleges az érintôre) Mivel k érinti a k kört a (7 8) pont-

70 8 A kör ban azért a pont rajta van a egyenesen egyenlete: - x+ y= A k kör egyenlete: ( x- u) + ( y- v) = v A pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét a kör ( u v) koor- dinátái kielégítik a egyenletét Ekkor () - u+ v= ()-() egyenletrendszer gyökei: u= v= u= v= 0 A keresett kör egyenlete: () ( x- ) + ( y- ) = () ( 7- u) + ( 8- v) = v = vagy () ( x- ) + ( y- 0) = 00A()-as kör belülrôl a ()-es kör kívülrôl érinti az adott kört a (7 8) pontban 00 A ( - 8 ) középpontú és r = 0 egység sugarú kör érinti a ( - ) középpontú és r = 0 egység sugarú kört mert az egyenletrendszert egyetlen ( x+ 8) + ( y- ) = 00 ( x- ) + ( y+ ) = 00 számpár az E(- ) számpár elégíti ki A keresett k kör középpontjának koordinátái ( u v ) a sugara r= v mert a kör érinti az x tengelyt Másrészt a pont rajta van a egyenesen amelynek egyenlete x+ y= A kör átmegy az E(- ) ponton ezért E koordinátái kielégítik a k kör egyenletét ét érintôkör N 0 N 00 van: ( x+ ) + ( y- 0) = 00 és x+ + y- = O 9 O 8 00 ( x- 0) + ( y- ) = 00 és ( x- ) + ( y- ) = 00 észítsünk ábrát A k kör középpontjának koordinátái ( - - ) a sugara r = 0 egység A k kör középpontjának koordinátái ( 8 ) a sugara r = egység = a két kör érinti egymást Az E érintési pont koordinátái E(7 ) A k kör u ( v) középpontja rajta van a 00 egyenesen és a E szakasz felezômerôlegesén mert k érinti a k kört belülrôl a k kört kívülrôl az E pontban és átmegy a ponton u-ra v-re felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () u- v= () u- v= () a E szakasz felezômerôlegesének egyenlete () a egyenes egyenlete Innen u = v = a sugár egység k egyenlete: ( x - ) + + ( y - ) = 00 Az ( x+ ) + ( y+ ) = r egyenletû kör amely az adott körrel koncentrikus az x tengelyt az 006 A r c m és a Cc-- r - 0m az y tengelyt a B 0 r c m és a Dc0 -- r -9m pontokban metszi ahol r > Az ABCD négyszög átlói merôlegesek egymásra és a területe: AC $ BD r -9 $ r - = = 8 Innen r = A k kör egyenlete: ( x+ ) + ( y+ ) = 006 Az adott k kör középpontja az origó ( 0 0) a sugara r = egység a k kör középpontjának koordi-

71 örök kölcsönös helyzete közös pontjaik meghatározása 9 nátái ( ) a sugara r = egység = egység A centrális egyenlete y= x A két körhöz közös érintô a külsô illetve a belsô hasonlósági pontból húzható A külsô hasonlósági pont koordinátái legyenek (a b) -nek az origótól való távolságát a M és a N hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki M + = & = Innen N = és = egység Ekkor az (a b) koordinátákra a következô egyenletrendszert írhatjuk fel: b= a és N O a + b = O Innen a 6 b = = A S és a R hasonló derékszögû háromszögek segítségével számíthatjuk ki a N belsô hasonlósági pont koordinátáit O 007 Tegyük fel hogy a ( a b) pontból húzható egyenlô d hosszúságú érintô az adott körökhöz Ekkor a pont a körök ( - ) és ( 9 ) középpontja és az E E érintési pontok a E és a E derékszögû háromszögeket feszítik ki E= E= d E = E = ( a ) = + + = ( a - 9) + d = ( a+ ) + - és d = ( a- 9) + N + + Ezekbôl az egyenletekbôl a = Az x tengely 0 O pontjából húzhatók egyenlô hosszúságú érintôk az adott körökhöz (Az egyenlô érintôk 06 egység hosszúak) 008 elöljük az x tengely azon pontjának koordinátáit (a 0)-val amelybôl a N k : x- + ( y- 8) = 6 O egyenletû körhöz kétszer olyan hosszú érintô húzható mint a k:( x+ ) + ( y+ ) = körhöz A pont a körök középpontjai és az érintési pontok egy-egy derékszögû háromszöget határoznak meg egyen a k körhöz húzott érintô hossza l Ekkor a N következô egyenleteket írhatjuk fel itagorász tétele szerint: l= a- + ( 0-8) -6 O l = ( a + ) + ( 0+ ) - ét megoldás van ( 0) - ( 0) 009 A keresett k kör u ( v) középpontja rajta van az Q szakasz felezômerôlegesén az x+ y= egyenletû egyenesen Másrészt R = + = = Q + Ennek alapján az (u v) koordinátákra a következô egyenleteket írhatjuk fel: () u+ v= 6 () u + v = = u + ( v- ) + ( 8 77 ) és ( 7) A feladatnak a felel meg A középpontú sugarú körnek az R ( 0 0) pont belsô pontja A keresett kör sugara méter A tó átmérôje méter pontossággal méter

72 60 A parabola A parabola A parabola egyenlete 00 és 0 A feladatok megoldását az olvasóra bízzuk 0 A parabola egyenlete: y p x = Ha a ( x y) pont rajta van a parabolán akkor y p x = álasszunk olyan ( x y) pontot amely a parabola külsô pontja Húzzunk a ponton át a parabola tengelyével párhuzamos egyenest Ez egy ( x y) pontban metszi a parabolát Ekkor x= x és y< y Ezért y > p x p x = = y Hasonlóan igazolható hogy ha a x ( y) pont a parabola belsô pontja akkor < p x y 0 Az ( ) pont belsô pont mert > A (6 ) parabolapont (- ) belsô a (- 7 ) külsô pont 0 a) y p x = egyenletbe helyettesítsük be a ( 6) pontot Ekkor 6 = Innen p p = Tehát a parabola egyenlete: y= x Ha a parabola tengelye az x tengely akkor az y = px egyenletbôl 6 = p $ y = x b) y x 9 = y = x c) y= x y =- x 6 9 d) y=- x y =- x 0 a) y= x b) y=- x c) y= x d) y=- x e) y = 6x 6 8 f) y =- 0x 06 a) y =- 8xb) y= x 6 07 a) A parabola paramétere p = Az y= x egyenletû parabolát eltoljuk a v( ) 8 vektorral Az eltolt parabola egyenlete y= ( x- ) + Innen x -8x- 8y+ = 0 (07 8 ábra) b) x - x+ y+ = 0 c) x - 6x+ 6y- = 0 d) y -y- 6x+ 9= 0 e) y -6y-6x- 6= 0 f) x + x- 8y+ 7= 0 07 g) y -y- 6x+ 68= 0 h) ét megoldás van: x - 6y + = 0 vagy x + 6 y - 60 = 0 i) ét megoldás van: y -y- 8x+ 6= 0 vagy y - y+ 8x- 60= 0 08 a) c = 0 b) A ( ) pont koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: a+ b+ c- = 0 c) 6a- b+ c= 0 d) 9a+ b+ c+ = 0

73 A parabola egyenlete 6 09 A parabola tengelypontjának koordinátái: C(u ) a paramétere: p = Az egyenlete: y= ( x- u) + Mivel a parabola átmegy a (0 8) ponton azért 8 = (- u) + Innen 6 6 u =! 6 ét megoldás van: y= ( x- 6) + vagy y= ( x+ 6) ét eset lehetséges A parabola az x tengely pozitív irányában vagy negatív irányában nyílik szét p = tehát ( y- v) = x-u az egyenlete vagy ( y- v) =-( x- u) Figyelembe véve az adott parabolapontok koordinátáit: a következô egyenletrendszereket írhatjuk fel: ( - v) =-6-u () ( - v) = 9-u és () ( - v) =-( -6-u) Az ()-es egyenletrendszerbôl ( - v) =-( 9-u) ( y- ) = x+ 7 a ()-es egyenletrendszerbôl y =- ( x- 0) egyenleteket kapjuk 0 a) A tengelypont koordinátái (0 v) a parabola egyenlete ( y- v) =- px Az adott pontok koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: ( ) -- v = p Innen v ( - v) =-8p =- p = v =- p = ét parabolát kapunk ( ) 9 y + =- x N és y+ =- x O 9 b) y= ( x-) és ( x- ) = y 0 A keresett parabolák egyenletei: y= ( x-6) vagy y= ( x+ 6) 0 A parabola tengelyesen szimmetrikus A keresett parabola szimmetriatengelye az x = egyenletû egyenes A parabola átmegy a ( 0) ponton és ezen pontnak az x = egyenletû egyenesre vonatkozó tükörképén a (0 0) ponton is Felírhatjuk a b c-re a következô egyenletrendszert: 0= a+ b+ c Innen a = b =- c = 0 0= 0$ a+ 0$ b+ c - = a+ b+ c 0 A közös fókuszú parabolák vezéregyeneseit úgy kapjuk meg hogy a parabola definícióját figyelembe véve a és pontok körül F és F sugarú köröket rajzolunk és meghatározzuk ezen körök közös külsô érintôit Az érintôk egyik-egyik parabola vezéregyenesét adják F = F = < F + F A két kör metszi egymást A centrális egyenlete x+ y= 8 Az egyik külsô érintô az x tengely a másik külsô érintô egyenlete: y=- x+ Az egyik parabola paramétere a másik 0 parabola paramétere az F( ) pontnak a x+ y- = 0 egyenletû egyenestôl mért távolsága: 6 egység 0 Mivel mindkét egyenletben az x együtthatója azonos a két parabola egybevágó (mindkét parabola felfelé nyílik szét) A csúcspontjaik koordinátái: C `p - p j C`-p -p -j A CC vektor koordinátái: `-p p -6j N 7 CC = ( p) + `p- 6j = p- + O

74 6 A parabola 00 Az eltolásvektor hossza akkor a legkisebb ha 6 9 p = p =! CC = egység min 06 a) x -x- y= 0 b) y= x 9 c) y= x - x+ d) 7x - x+ 6y+ = 0 e) x -x- y+ 76 = 0 07 A parabola egyenlete: ( y- v) = p( x-u) alakú Itt v= 0 u=- és a (0 6) pont a parabolára illeszkedik A parabola egyenlete y 6x ay + b x - ab = 0 09 bx + a y - a b = Az ábra szerint a CQ szabályos háromszög CC magassága = egység A C egyenes egyenlete y- = tg0 ( x- ) illetve y- = _ x-i A pont abszcisszá- ja + az ordinátája a C egyenletbôl y - = b+ -l y = A keresett parabola átmegy a C( ) b+ lés a Q b+ -l pontokon A parabola egyenlete: ( y- v) = p( x- u) ahol ( u v) a C csúcspont (tengelypont) koordinátái u= v= Helyettesítsük a parabola egyenletébe a pont koordinátáit Ekkor ( - ) = p b+ -l Innen p = A CQ pontokon átmenô parabola egyenlete: ( y- ) = ( x- ) (Szimmetria miatt a Q pont koordinátái is kielégítik a parabola egyenletét) Még egy megoldást kapunk ha a CQ háromszöget az x = egyenletû egyenesre tükrözzük A C( ) b- l Qb- -l csúcspontokon átmenô parabola egyenlete: - ( y - ) = ( x - ) 0 Helyezzük el a parabolát a koordináta-rendszerben úgy hogy a híd tartószerkezetének két végpontja A(-0 0) B(0 0) és a legmagasabb pontja C(0 ) legyen A parabolaív egyenlete: y p x =- + Ekkor 0 = innen p = 60 A parabola egyenlete: p y=- x + ahol - 0 # x # 0 A függôleges tartóvasak hossza méterben rendre: ha az x helyére rendre behelyettesítjük a értékeket A szimmetria miatt az elsô öt hosszúság a másik oldalon is érvényes

75 A parabola egyenlete 6 0 A parabola átmegy az A(0 0) B(6 0) és a 0 C(8 ) pontokon a tengelye párhuzamos az y tengellyel a tengelypontja a C pont Az egyenlete: () y ( ) p x u =- - + v alakú ahol u= 8 v= és x= y= 0 Ezeket az adatokat behelyettesítve az ()-es egyenletbe p = 7 A röppálya egyenlete: y=- ( x- 8) + ahol 0 # x # Induljon a vízsugár az A(- 0) pontból és a B( 0) pontba érkezzen vissza a talajra p = A parabolaív egyenlete: y 0 p x =- + v Ekkor 0 =- + v N A vízsugár v = méter magasra emelkedik O 0 Tekintsük az ábrát A parabola fókusza az A(0 0) pont és a parabola átmegy a p N T - 0 O tengelyponton és a háromszög B a a N O - O és C a a N O csúcsain Ekkor a parabola egyenlete: y = p O p N x+ O alakú Behelyettesítve a B vagy a C csúcs koordinátáit p-re a a a b- l következô egyenletet kapjuk: p + ba l p- = 0 Innen mivel p > 0 p = N a a adódik A parabola egyenlete: y O = ab- l x+ - Ha a tengelypont T p N 0 O O N a a akkor az egyenlet: y O =- ab+ l x- - O 0 A parabola tengelye az y tengely az (r 0) r b c - bm c- r -b bm (-r 0) pontok rajta vannak a parabolán Egyenlete: y p x =- + v alakú egyen y = 0 x= r ekkor r = pv A c r - b bm pont is illeszkedik a parabolára Ezért b p r b =- ` - j + v Az r = pv r egyenletrendszerbôl p= b és v = Aparabola egyenlete: pb = b - r + pv b x r y =- + illetve x + by- r = 0 b b N 06 a) p = F(0 6) y + 6 = 0 b) p = F(0 -) y - = 0 c) p = F 0 O N y + = 0 d) p = F 0 - O y - = 0 e) p= F(0 -) y - = 0 f) p =

76 6 A parabola F(-6 7) y - = 0 g) p = F(- ) y - = 0 h) p = 6 F(0 ) x + 6 = 0 i) p = N F(0-7) y + 9 = 0 j) Az egyenlet y =- 6 x- O alakban is felírható Innen p = 6 p N = F - 0 O F N O x 7 N = + x = k) p = F 0 6 O y - = 0 7 N l) p = F 0 O y 9 - = 0 m) A parabola egyenlete: y= `x + x+ j + y= ( x+ ) + alakban is felírható Hasonlítsuk össze a parabola egyenletét az y ( ) p x u = - + v egyenlettel p = u =- v = A tengelypont koordinátái C(- ) F(- ) a vezéregyenes egyenlete: y = 0 n) y=- `x - x+ 6j - 6 N y=- _ x- 6i - p= F 6-6 O y =- + y = o) ( y- ) = 0( x+ ) egyenletbôl p = F O x 9 9 N N + = 0 p) p = F - O y + = 0 q) p = F( ) N y - 8 = 0 r) p = F O x 9 N + = 0 s) ( y- ) =- x- 00 O egyenletbôl N p = F(- ) y + = 0 t) p = F O y N - = 0 u)p= F O y + = 0 07 y = x ha x = ( x - ) Megoldás: ( ) 08 Az egyenlôtlenség átalakítható: y> ( x- ) + 9 Az egyenlôtlenséget a parabola belsô (a fókuszt tartalmazó tartomány) pontjainak koordinátái elégítik ki 09 A szorzat pontosan akkor nulla ha valamelyik tényezôje 0 Tehát y= x vagy x =! vagy ( y-)( y- ) = 0-ból y = vagy y = A ponthalmaz a normál parabola az x = x =- y = y = egyenletû egyenesek pontjainak uniója Ezen halmaz pontjainak koordinátái és csakis ezek elégítik ki az adott egyenlôtlenséget 0 00 Az egyenlettel ekvivalens az `x - yj = illetve az x - y=! egyenlet Innen y= x - vagy y= x + Az adott egyenlet az y= x - és az y= x + egyenletû parabolák pontjainak koordinátái elégítik ki 0 A megoldást az ábrán látható zárt síktartomány belsô pontjainak koordinátái adják 0 ( y-x) `y- x + x-j < 0 ha a) y< x és y> N N x- - O b) y> x és y< x- - O

77 A parabola egyenlete 6 N Az y = x egyenes és az y= x- - O parabola közös pontjainak koordinátái: x= y = x= y = - 06 Az a) - b) feltételeket kielégítô pontok halmazát az ábrán vázoltuk 0 Ha x $ 0 akkor x -x- xy# 0 illetve x`x --yj# 0 Ez az egyenlôtlenség csak úgy teljesülhet ha y$ x - Ha pedig x < 0 akkor y$ - x + A ponthalmazt az ábrán vázoltuk 0 egyen a Q_ x yi pont az y= x egyenletû parabola pontja és a Q_ x yi a Q pontnak a ( ) pontra vonatkozó tükörképe Ekkor x + x y+ y = = Innen x = - x 0 y= - y y= x tehát - y= _ -xi y=- x + x- Az y= x egyenletû parabola tükörképe az y=- x + x- y=- ( x- ) + egyenletû parabola 0 egyen a Q_ x yi pont az y=- x + x- egyenletû parabola pontja a Q_ x yi a Q pont tükörképe Ekkor x= -x és y= - y Helyettesítve az adott parabola egyenletébe és rendezve az egyenletet: y= _ x-i - Az y=- ( x+ ) + egyenletû parabolát tükrözve a ( ) pontra a tükörkép parabola amelynek egyenlete: y= ( x-) - 06 Ismeretes hogy ha a _ x yi pontot az y= x egyenletû egyenesre tükrözzük akkor a pont a Q_ x yi pontba megy át a) Az y= x - x+ egyenletû parabola az x= y - y+ egyenletû görbébe megy át amely egyenlet a következôképpen is írható: () ( y- ) = ( x+ ) () olyan parabola egyenlete amelynek tengelye párhuzamos az x tengellyel a tengelypontja C(- ) a paramétere a fókuszának koordinátái: F - O 9 N b) C(- -) F(- -) 07 A parabola pontjai a következôk: ( ) ( - ) ( 6 ) (- 6 ) A lehetséges húr közül - egyenlô hosszúságú = 8-0 = 8 + N 08 (6 6) F 0 O F = 09 ( 6 6 ) F ( 0 ) F = 9

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek.

45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek. Az egyenes egyenletei 8 67 a), n( -) x - y b) x - y c) n( ) x+ y- d) n( -), x- y 7 67 a) y x b) n(b a), nl(a - b) ax - by 0 c) n( -) nl( ) 7 x + y 7 d) x - y e) x - 9y f) x + y g) x - h) - O, 77 n( ) nl(

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés 1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben