2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

Átírás

1 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok

2 Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe visz, tetszőleges síkot vele párhuzamos síkba visz, tetszőleges félegyenest vele egyirányú félegyenesbe visz tetszőleges A és B pontok esetén ha képeik A és B, akkor d(a,a )=d(b,b ).

3 Forgatás Síkon pont körül. Térben egyenes körül.

4 Forgatás Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha valamely pont, illetve tengely körüli tetszőleges szögű forgatás önmagába viszi. Egy alakzat n-edrendben forgásszimmetrikus, ha valamely pont, illetve tengely körüli 2π/n szögű forgatás önmagába viszi.

5 Tükrözések Pontra.. Egyenesre P P - síkon, v - térben. Síkra. Ha a V valamire tükrözünk, akkor tetszőleges P pontot a P képével összekötő szakasz felezőpontja V-n van, továbbá a PP egyenes merőleges V-re.

6 Tükrözés Egyenesen a pontra vonatkozó, síkon az egyenesre vonatkozó, térben pedig a síkra vonatkozó tükrözés irányításváltó transzformáció, azaz felcseréli a két lehetséges irányítást.

7 Tükrözés A síkon három nem kollineáris ponttal adhatjuk meg az irányítást. C B A A B C

8 Az adott A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye V: Egyenesen: V az AB szakasz felezőpontja; Síkon: V egyenes, az AB szakaszra merőleges és átmegy a felezőpontján, ez az AB szakaszfelező merőlegese. Térben: V sík, az AB szakaszra merőleges és átmegy a felezőpontján, ez az AB szakaszfelező merőleges síkja. Tükrözés

9 Tükrözés A V-re vonatkozó tükrözés felcseréli az A és B pontokat. A V által meghatározott két nyílt félvalami (-egyenes, -sík, -tér) közül az A-t tartalmazó félvalami tetszőleges P pontjára PA<PB, míg a B-t tartalmazó félvalami tetszőleges Q pontjára QB<QA teljesül.

10 Tükrözés Adott konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a szögfelező félegyenes. A síkban két metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két szögfelező egyenes uniója. A térben két metsző síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két szögfelező sík uniója

11 Tükrözés A síkban két metsző egyenest felcserél a két szögfelező egyenesük közül bármelyikre vonatkozó tengelyes tükrözés. A térben két metsző síkot felcserél a két szögfelező síkjuk közül bármelyikre vonatkozó tükrözés.

12 Tükrözések Egy alakzat középpontosan, tengelyesen, illetve síkra szimmetrikus, ha van olyan pontra, egyenesre, illetve síkra vonatkozó tükrözés, ami önmagába viszi. (A tengelyes szimmetriát általában síkban használjuk).

13 Egybevágóság Az n-dimenziós tér (n=1: egyenes, n=2: sík, n=3: tér) pontjainak egy permutációját egybevágóságnak nevezzük, ha bármely két pont távolsága megegyezik képeik távolságával. Az egybevágóságok egyenes-, sík-, szög-, körés gömbtartók. Minden egybevágóság előállítható legfeljebb n+1 tükrözés egymásutáni alkalmazásával.

14 Egybevágóság Minden mozgás egybevágóság. Vannak olyan egybevágóságok, amik nem mozgások. Ez függ a dimenziótól. A síkban a tengelyes tükrözés nem mozgás, a térben viszont igen.

15 Hasonlóság Az n-dimenziós tér (n=1: egyenes, n=2: sík, n=3: tér) pontjainak egy permutációját hasonlóságnak nevezzük, ha bármely két pont távolsága és képeik távolságának aránya megegyezik. A hasonlóságok egyenes-, sík-, szög-, kör- és gömbtartók. Minden hasonlóság előállítható egy egybevágóság és egy középpontos hasonlóság egymásutáni alkalmazásával.

16 Hasonlóság Középpontos nagyítás (középpontos hasonlóság): Egyértelműen meghatározza az O pont és a 0<λ=A 2 B 2 /A 1 B 1 arány.

17 Kör, gömb Adott az O pont és az r>0 valós szám. Az O ponttól r távolságra lévő pontok halmaza a térben gömb, a síkon pedig kör. O az alakzat középpontja, r pedig a sugara. A kör elnevezést a körvonalra használjuk. A körlap jelenti az O-tól legfeljebb r távolságra lévő pontok halmazát.

18 Kör, gömb A T pont a kör vagy gömb belső pontja, ha OT<r, külsö pontja, ha OT>r. Ha az e egyenes és O távolsága d, akkor az e egyenes és a kör vagy gömb közös pontjainak száma 0,1 vagy 2, attól függően, hogy d>r, d=r vagy d<r. Az e egyenest a kör vagy gömb érintőjének nevezzük, ha pontosan egy közös pontjuk van.

19 Kör, gömb Ha az S sík és O távolsága d, akkor az S sík és a gömb metszete üres halmaz, 1 pont vagy egy körvonal, attól függően, hogy d>r, d=r vagy d<r. Az S síkot a gömb érintősíkjának nevezzük, ha pontosan egy közös pontjuk van. Az érintősíkban lévő, az érintési ponton átmenő egyenesek a gömb érintői.

20 Kör, gömb Két kör közös pontjainak száma 0,1 vagy 2. Ha két kör egy síkban van, akkor egymáshoz viszonyított helyzetük 6-féle lehet:

21 SZÜNET

22 Háromszög Három nem kollineáris pont páronkénti összekötő szakaszai által határolt síkrész. Szokásos jelölések és elnevezések: A, B, C: csúcsok a, b, c: oldalak α, β, γ: szögek

23 Háromszög Háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik: a+b>c, b+c>a, c+a>b. Másik változat: bármely két oldal különbsége kisebb, mint a harmadik. Nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. (Egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak.) a>b pontosan akkor, ha α>β. Szögek összege: α+β+γ=π. Bármely külső szög egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

24 Háromszög Két háromszög egybevágó, ha Megfelelő oldalaik páronként egyenlőek; Két-két oldaluk és az azok által közrefogott szög páronként egyenlőek; Egy oldaluk és az azon fekvő két-két szögük páronként egyenlőek; Két-két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szögük páronként egyenlőek.

25 Háromszög Két háromszög hasonló, ha Megfelelő oldalaik aránya páronként egyenlő; Két-két oldaluk aránya és az azok által közrefogott szög páronként egyenlő; Két-két szögük páronként egyenlő; Két-két oldaluk aránya és a nagyobbikkal szemközti szögük páronként egyenlő.

26 Háromszög Nevezetes vonalak és pontok: Az oldalfelező merőlegesek egy ponton mennek át. Ez a háromszög köré írható kör középpontja.

27 Háromszög Nevezetes vonalak és pontok: A belső szögfelezők egy ponton mennek át. Ez a háromszögbe írható kör középpontja. Bármely két külső szögfelező metszéspontján átmegy egy belső szögfelező. Ezek a hozzáírható körök középpontjai.

28

29 Háromszög Nevezetes vonalak és pontok: A csúcsokból a szemközti oldalra állított merőlegesek egy ponton mennek át. Ez a háromszög magasságpontja. A csúcsokat a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenesek egy ponton mennek át. Ez a háromszög súlypontja

30 Háromszög Nevezetes vonalak és pontok: Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok a háromszög középvonalai. Bármely középvonal párhuzamos a megfelelő oldallal és fele olyan hosszú. AB 1 A 1 C 1 paralelogramma.

31 Speciális négyszögek Paralelogramma Egy négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha Két-két szemközti oldala párhuzamos; Két-két szemközti oldala egyenlő; Két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő; Két-két szemközti szöge egyenlő; Bármely két szomszédos szögének összege π; Átlói felezik egymást; Középpontosan szimmetrikus.

32 Speciális négyszögek Rombusz: minden oldala egyenlő (paralelogramma, melynek átlói merőlegesek egymásra); Téglalap: minden szöge egyenlő (paralelogramma, melynek átlói egyenlőek); Négyzet: minden oldala és minden szöge egyenlő.

33 Speciális négyszögek Trapéz: van két párhuzamos oldala (a trapéz alapjai); Szimmetrikus trapéz: az alapok felezőmerőlegese egybeesik (húrtrapéz); Deltoid: két-két szomszédos oldala egyenlő (szimmetrikus az egyik átlójára).

34 Speciális négyszögek Húrnégyszög: csúcsai egy körön vannak. Egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege π. Érintőnégyszög: oldalai egy kört érintenek. Érintőnégyszög szemközti oldalpárjainak összege egyenlő. (Megfordítás nem igaz!)