Geometriai transzformációk
|
|
|
- Gábor Pap
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor október 6.
2 Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 2 / 87
3 Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 2 / 87
4 Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 2 / 87
5 Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Párhuzamos eltolás 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 2 / 87
6 Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Párhuzamos eltolás Középpontos hasonlóság 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 2 / 87
7 Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Párhuzamos eltolás Középpontos hasonlóság Forgatva nyújtás: S(E, FED, ED EF ) 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 2 / 87
8 1. Feladat z DEF hatszög oldalai párhuzamosak. izonyítsuk be, hogy ha EF = ED = F D > 0, akkor a hatszög szögei egyenlők. F D E 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 3 / 87
9 Megoldás P R Q F D E EF -et eltoljuk F -ral P -t eltoljuk -ral Q D -t eltoljuk DE -ral R 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 4 / 87
10 P R Q F D E z eltolások miatt EF = PQ, F D = PR és ED = RQ. Ezekről tudjuk, hogy egyenlőek PQR szabályos 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 5 / 87
11 P R Q F D E a kék szögek 60 -osak a dupla szögek (külső szögek) 120 -osak DE = 120 és DR = DER = 60. Ugyanígy a többi paralelogrammában. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 6 / 87
12 P R Q F D E Tehát a hatszög minden szöge 120 -os. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 7 / 87
13 2. Feladat D konvex négyszögben D =. Legyen D oldal felezőpontja E, oldalé F. D és FE egyenesek metsszék egymást H pontban, és FE egyenesek G pontban. Mutassuk meg, hogy: HF = GF 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 8 / 87
14 Megoldás D négyszög: D H G E F I 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október 6. 9 / 87
15 E és F felezőpont: D H G E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
16 Toljuk el szakaszt vektorral I. H D G E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
17 I paralelogramma. F felezőpontja szakasznak, így I -nek is. D H G E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
18 DI -ben EF középvonal EF DI H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
19 EF DI és I GF = ID H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
20 I = = D ID = DI H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
21 EF DI HF = DI = ID = GF H G D E I F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
22 3. Feladat D négyszögben legyen D oldal felezőpontja M, oldalé N. Ha 2MN = + D, akkor bizonyítsuk be, hogy D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
23 Megoldás M és N felezőpont: D M N 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
24 Indirekt: Tegyük fel, hogy: 2MN = + D, de D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
25 Tükrözzük az ábrát N pontra. D M N 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
26 2MN = MM + D = D + > D M D N M D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
27 4. Feladat Egy szabályos háromszögben van egy P pont úgy, hogy P = 3, P = 4 és P = 5 Mekkora a háromszög kerülete? 4 5 P és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
28 1. Megoldás Szabályos háromszög Ha egy szabályos háromszögnek tudjuk a oldalát, akkor a háromszög területe a m 2 = a Ha a területe T, akkor meg az oldala 3 4 T. m D f a 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
29 Forgassuk el P -et pont körül 60 -kal.. Így keletkezett egy P szabályos, és egy 3, 4, 5 oldalú háromszög. 4 5 P és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
30 Úgyanígy 60 -kal forgassuk el P -et, körül, és P -et körül. Így keletkezik egy hatszög, aminek a területe az eredeti háromszög területének kétszerese P és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
31 Keletkezett három szabályos, és három 3,4,5 oldalú, melyeknek egyenként tudjuk a területét = 3 3 = = és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
32 T = a = = = = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
33 4 = = = = 3 = K = és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
34 2. Megoldás 4 P -et elforgatjuk körül 60 -kal P 3 P és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
35 2. Megoldás P 3 P 5 4 P -et elforgatjuk körül 60 -kal. PP = 60 a forgatás miatt PP szabályos PP = és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
36 60 P P M PP -ben PP = 3, P = 4 és P = 5 PP = 90 (Pitagoraszi számhármas) 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
37 60 P P M PP -ben PP = 3, P = 4 és P = 5 PP = 90 (Pitagoraszi számhármas) Álĺıtsunk merőlegest P -re -ből M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
38 P P M P P = 60 és PP = 90 P M = 30 P M egy szabályos fele M = 2, P M = és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
39 P P M P P = 60 és PP = 90 P M = 30 P M egy szabályos fele M = 2, P M = 2 3 M -ben alkalmazva a Pitagorasz-tételt 2 = ( ) és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
40 = = 6, 7664 P P M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
41 P = = 6, 7664 Ker = 3 = 3 6, 7664 = 20, P M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
42 5. Feladat D egy egység oldalú négyzet. P, Q, M és N pontok,, D és D oldalakon helyezkednek el úgy, hogy P + N + Q + M = 2. izonyítsuk be, hogy PM QN 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
43 Megoldás P + N + Q + M = 2 D N M Q P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
44 90 -os forgatás után. Q D M M N P Q D N P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
45 feladat meghatározása miatt tudjuk, hogy: P + N + Q + M = 2 P + N = 2 Q M z ábrárol látszik, hogy: MQ = 2 Q M Q D M M N P Q D N P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
46 Tehát P + N = MQ és párhuzamosak is. Vagyis Q MPN egy paralelogramma,ezért Q N MP Q D M M N P Q D N P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
47 Tehát a 90 -os forgatás előtt: PM QN Q D M M N β = 90 α = 90 P Q D N PF 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
48 6. Feladat háromszögben,. külső szögfelezője E pontban metszi körüĺırt körét. Legyen E-ből -ra álĺıtott merőleges talppontja F. izonyítsuk, hogy: 2F = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
49 Megoldás 2F = E F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
50 Mérjük fel -t -re D. E D F 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
51 Tehát tudjuk, hogy = D és E = E valamint, E = ET = E = E E = E E F D T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
52 ED = E T E F D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
53 E = ED ED egyenlőszárú. Tehát EF magasság felezi az alapot. Vagyis: 2F = E F D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
54 2. Megoldás E D F Tükrözzük -t az F-re D.Kellene, hogy D =. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
55 E D F Ha E -t E körül elforgatjuk, akkor ED -t kellene kapnunk, mert akkor = D. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
56 E D F Ha E -t E körül elforgatjuk, akkor ED -t kellene kapnunk, mert akkor = D. Kellene, hogy = E = DE. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
57 E D = E, mert -n lévő kerületi szögek. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
58 E D = E, mert -n lévő kerületi szögek. DE egyenlőszárú ED = ED DE = 180 2ED = 180 2ED 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
59 7. Feladat z O középpontú kör áthalad és csúcsán és elmetszi és oldalakat K és N pontokban. és KN körül írt körei és M pontokban metszik egymást. izonyítsuk be, hogy OM = és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
60 O K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
61 Megoldás Legyen t egy O-n áthaladó M-re egyenes t O K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
62 Ha M pont a t egyenesre esik OM = 90 t O K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
63 , K pontokat tükrözzük t tengelyre, K t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
64 t, KK t, M t KK M t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
65 Legyen α = K = α mert K az egyenesen fekszik t α O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
66 K és K kerületi szögek K = α t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
67 NK = 180 α, NK és MK is kerületi szögek, ezért NK = MK = α t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
68 M és MK = K K és MK váltószögek, K, M egy egyenesre esik t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
69 K tükörképe t-re K K = K t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
70 M = 180 α mivel M húrnégyszög t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
71 MT = α, mert M = 180 α t O K K N M T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
72 M = α mert egyállású szög MT -gel t O K K N M T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
73 M = 180 2α M egy egyenlőszárú M csúccsal és t szimmetriatengellyel, tehát t átmegy M-en t O K K N M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
74 t O K K N M T 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
75 8. Feladat ED = 20,D = 60 DE = 30,E = 50 ED =? E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
76 Megoldás Tükrözzük D-t az szögfelezőjére F E G D M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
77 Megoldás Tükrözzük D-t az szögfelezőjére F E G D G és DGF egyenlő oldalú. Kellene, hogy FE = EG, mert akkor FED DEG. M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
78 G = = E EG egyenlőszárú EG = 80. F D E G M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
79 G = = E EG egyenlőszárú EG = 80. E F G D EGF = FG EG = = 40. FEG = 180 GE = 100. M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
80 GFE = 40 = FGE EF = EG ez kellett. F D E G M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
81 GFE = 40 = FGE EF = EG ez kellett. ED = FD 2 = 30. F D E G M 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
82 9. Feladat Egy háromszögben, = 60. O pont úgy helyezkedik el, hogy O = O = O. E és F pontok és oldalak felezőpontjai. izonyítsuk be, hogy, E, O és F pontok egy körön helyezkednek el. 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
83 E 120 O F és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
84 Megoldás O = O 60 O O 60 O 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
85 O és O hasonló 60 O 120 O O 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
86 O -t nagyítjuk/kicsinyítjük / aránnyal E E O 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
87 z O -t elforgatjuk +120 kal O pont körül ekkor O = O és E = F E O = F=E = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
88 EOF = 120, és mivel = 60 következik, hogy O,E, és F pontok egy körön vannak. E s O = 120 t F=E 60 = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
89 EOF = 120, és mivel = 60 következik, hogy O,E, és F pontok egy körön vannak. E s O = 120 t F=E 60 = 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
90 10. Feladat egy szabályos, és oldalakon úgy helyezkednek el M és P pontok, hogy MP -vel. MP súlypontja D és P felezőpontja E. Határozzuk meg DE szögeit. M E D P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
91 Megoldás D K M E H P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
92 Megoldás D K Forgatva kicsinyítsük P szakaszt D körül M E H P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
93 Megoldás D K Forgatva kicsinyítsük P szakaszt D körül M E H P K, H és E egy egyenesre esik P = M = KE KH 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
94 D K -ből E ED = 60 & DE = 1 2 D M E H P 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
95 E D DE egy szabályos fele 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
96 E D DE egy szabályos fele Szabályos D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
97 11. Feladat Legyen DEF egy konvex hatszög, amiben teljesül, hogy + D + F = 360 és D DE EF F = 1. izonyítsd be, hogy E EF FD D = 1? 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
98 F D DE EF F = 1 Kéne: E E EF FD D = 1 D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
99 Mivel + D + F = 360 ezért, hogyha megcsináljuk a következő két forgatást: S(E, FED, ED/EF ) és S(, D, D/) akkor D, és egy egyenesre esnek. F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
100 forgatás miatt D = F ED EF D = D F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
101 Ha ezt a kettőt egyenlővé teszem, és leosztok F ED EF -fell, akkor kijön, hogy F D EF ED = 1 amiről tudjuk, hogy igaz. Tehát F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
102 Hasonlóságok miatt: EF = ED DEF = E ; DE/FE = E/E DEF E F E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
103 Ugyanígy D Tehát = D = FD E EF Ebből az következik, hogy E EF FD F D = 1 E D 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk október / 87
104 Köszönjük a figyelmet! arta Gergely, Formanek alázs, Gáll Péter, Horváth ndor, Kiss Mária, Kovács Máté, Szendi Ágoston, Telek enjámin Felkészített: Groma Tanárnő Forrás: Mathematical Excalibur 13/ október 6.
Egybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Középpontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z
146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
Geometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
Síkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
![VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]](/thumbs/88/117769211.jpg "VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]")
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
Geometriai transzformációk
Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
Egy geometria feladat margójára
Egy geometria feladat margójára Erdős Gábor 019. június. A feladat Az ABC szabályos háromszög AB oldalának felezőpontja F. A CF szakasz azon belső pontja a D pont, amelyre az ADB szög 90 fokos. A CF szakasz
Bevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
Komplex számok a geometriában
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Komplex számok a geometriában Szakdolgozat Készítette: Varga Bettina Matematika Bsc Matematika tanári szakirány Témavezető: Ágoston István egyetemi
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
11. Geometriai transzformációk
11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció
ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező
ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Számítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
11. Geometriai transzformációk
11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció
8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
A vektor fogalma (egyszer
Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
KOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
Geometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
A kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Matematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
Programozási nyelvek 2. előadás
Programozási nyelvek 2. előadás Logo forgatás tétel Forgatás tétel Ha az ismétlendő rész T fok fordulatot végez és a kezdőhelyére visszatér, akkor az ismétlések által rajzolt ábrák egymás T fokkal elforgatottjai
Koordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Koordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
Geometriai alapfogalmak
Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
Egybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés
1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését