9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;"

Átírás

1 Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra; { x y + z + = 0 d) párhuzamos az e: 5x + y z 7 = 0 e) párhuzamos az Ox tengellyel egyenessel; Határozzuk meg az A(,, ), B(,, ) pontokon átmenő egyenesnek a koordinátasíkokkal való metszéspontjait E:(0, 5, 0 ), ( 5, 0, 5), (0, 5, 0) Adottak az u : x + y + z = 0, x y z + = 0, u : x egyenesek Határozzuk meg: a)annak feltételét, hogy az u és u metsző egyenesek legyenek b)az egyenesek merőlegességének feltételét l = y+ m c) Az a) és b) feltételek mellett határozzuk meg a metszéspont koordinátáit d) A P (,, ) u pont u -re vonatkoztatott szimmetrikusának koordinátáit = z n Az Oxyz derékszögű koordináta-rendszerhez viszonyítva adottak az A(,, ), B(,, ) és C(, 0, ) pontok Igazoljuk, hogy ezek a pontok lehetnek egy kocka csúcspontjai és határozzuk meg a többi csúcspont koordinátáit E: D(,, 0), E (,, ), F (, 5, 0), G (,, ), H (0,, ), E (6,, ), F (5,, ), G (,, 5), H (,, ) 5 Igazoljuk, hogy a térben elhelyezkedő P i(x i, y i, z i ), (i =,, ) pontok akkor és csak akkor kollineárisok, ha x x x x = y y y y = z z z z 6 Igazoljuk, hogy két párhuzamos egyenes közötti d távolság kiszámítható a d = r u u összefüggés segítségével, ahol r e két egyenes egy-egy pontját összekapcsoló tetszőleges vektor, u pedig az adott egyenesekkel párhuzamos vektor Alkalmazás: a két párhuzamos egyenes legyen u : x = y = z és u : x = y = z E: 7 7 Legyenek A(,, ), B(,, ), C(5,, 0) az AB alapú egyenlő szárú trapéz csúcspontjai Határozzuk meg a D, negyedik csúcspont koordinátáit 8 E: D( 7, 0 7, 5 7 ) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét különböző formákban, amely átmegy az A(,, ), B(,, 5), C(0,, 0) pontokon E: x + 6y + 0z 6 = 0 9 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és párhuzamos a v (,, 0), v (,, ) vektorokkal E: x + y + z + = 0 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az Ox, Oy, Oz koordinátatengelyeket az A, B, C pontokban metszi, ahol A(, 0, 0)B(0,, 0), C(0, 0, ) E: 6x y + z + 6 = 0

2 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P (7, 5, ) ponton és a koordinátatengelyeken ugyanakkora pozitív szakaszokat határoz meg E: x+y +z = 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az A(,, ) ponton és párhuzamos a x + y z + 5 = 0 síkkal E: x + y z + = 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely a) átmegy az M (,, ) és M (,, ) pontokon és merőleges a x y + z + = 0 síkra; { x y + z = 0 b) átmegy a P (,, 6) ponton és tartalmazza a d: egyenest; x + z = 0 { x + z = 0 c) átmegy az A(,,-) ponton és merőleges a d: x y + z = 0 egyenesre E: a) 6x + y 6z + = 0; b) 5x + y + 0z 9 = 0; c) x + y z 8 = 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P : x + y z = 0, P : x y + z + = 0, P : x + y + z = 0 síkok metszéspontján és párhuzamos a P : x + y + z = 0 síkkal 5 E: x + y + z = 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az A(,, ) és B(, 5, ) pontok által meghatározott szakasz felezőmerőleges síkja E: x + y z 9 = 0 6 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely tartalmazza a d: { x + y z = 0 x y + z + = 0 egyenest és a) átmegy az origón; b) párhuzamos az Oy tengellyel E: a)x 5y + z = 0; b) 7x z 5 = 0 7 Igazoljuk, hogy az a paralelepipedon, amelynek nempárhuzamos oldallapjai a x + y z + 6 = 0, x y + z + 8 = 0 és x + y + z + 0 = 0 síkokban vannak, derékszögű 8 Az Oxyz derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(α, 0, ), B( α, 0, ), C(0, β, ), D(0, β, ) pontok a)írjuk fel az ABCD tetraéder lapjainak és magasságainak egyenleteit b) Határozzuk meg annak feltételét, hogy ez a tetraéder szabályos legyen c) Ezen utóbbi esetben határozzuk meg egy lap területét E: b)α, β = ±, c) 9 Adottak a P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pont és a d i : l i = y y i m i = z z i n i, (i =, ) egyenesek Határozzuk meg az adott egyenesekre támaszkodó és adott ponton áthaladó egyenes egyenleteit Alkalmazás: adottak a P 0 (,, ) pont és a d : x = y+ = z+, illetve d : x y = 0, x z = 0 egyenesek E: x = y = z x x i

3 x 5 0 Legyen π a d : = z x 6 és d : = z+ egyenesek által meghatározott sík, π pedig az origón és a P (, 0, ) pontokon áthaladó x y z + = 0 síkra merőleges sík 0 = y a) Határozzuk meg a π és π síkok hajlásszögét = y b) Igazoljuk, hogy a P pont és a d, d egyenesek metszéspontjából a π síkra bocsátott merőleges által meghatározott π sík átmegy az origón E: a) 60 ; b) π : x 5y + z = 0 x x i Határozzuk meg annak feltételét, hogy az u i : l i egyenesek párhuzamosok legyenek ugyanazzal a síkkal = y y i m i = z z i n i, (i =,, ) Igazoljuk, hogy egy tetraéder oldaléleinek felezőpontjain áthaladó és a szemközti élekre merőleges síkok egy pontban találkoznak Írjuk fel azon u egyenes egyenleteit, amely áthalad a π : x + y + z = 0 síknak a d : x y + z + = 0, x + y z = 0 egyenessel való metszéspontját, a π síkban található és merőleges a d egyenesre E: x /5 = y /5 = z+/5 Adottak a P (0, 0, ), Q(,, 0) pontok és az u : x y z = 0, x y 5 = 0 egyenes a) Határozzuk meg a Q ponton és a P-ből u-ra bocsátott merőlegesen áthaladó π sík egyenletét b) Határozzuk meg az u és P Q egyenesek közös merőlegesének egyenleteit, valamint a két egyenes közötti minimális távolságot 5 Adottak a d : x + y = 0, z + = 0, d : x + z = 0, y = 0 egyenesek Az u egyenes áthalad a P (,, ) ponton és merőleges a d egyenesre, míg az u egyenes a P (, 0, 0) ponton halad át és párhuzamos d -vel Határozzuk meg: a) Az u és u egyenesek közös merőlegesének egyenleteit b) Az u és u egyenesek közötti távolságot a) x =, z = 0; b) d = 6 Adott a π : 6x 7y z 9 = 0 sík valamint a d : x y+0 = z+9 8 egyenesek a) Határozzuk meg a d és d egyenesek d közös merőlegesének egyenleteit és a két egyenes közötti távolságot = y+ = z és d : x+7 9 = b) Határozzuk meg az origóból a d = A A egyenesre bocsátott u merőleges egyenes egyenleteit valamint az origónak a d-től mért távolságát, ahol A i = π d i (i =, ) c) Számítsuk ki az A A A háromszög területét, ha A = π d E: a) d : x + y + z + = 0, x y + z + = 0, d = 5 ; b) 7 Határozzuk meg a P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ponton áthaladó és a d: l = y y m = z z n egyenesre merőleges egyenes egyenleteit Alkalmazás: határozzuk meg a P 0 (,, ) ponton áthaladó d: x+ = y = z egyenesre merőleges egyenest E: x+ = y 6 = z 9 x x

4 { 8 Adott a d : x = y 8 = z 7x y z 0 = 0 és d : x + y z = 0 egyenes Igazoljuk, hogy a két egyenes egy síkban van és írjuk fel ennek a síknak az egyenletét E: 7x y z 0 = 0 9 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely tartalmazza a d : x = y+ = z egyenest és párhuzamos a d : x+5 = y = z egyenessel E:x y = 0 0 Tekintsük az A(α,0,0), B(0,β,0), C (0,0,γ) pontokat úgy, hogy α + β + γ = Mutassuk ki, hogy az ABC sík átmegy egy rögzített ponton Egy ortonormált koordinátarendszerben adottak az M (,, ) és M (, 0, ) pontok a) Határozzuk meg az M és M pontokon átmenő síksor egyenletét b) Határozzuk meg a síksor azon P síkját, amely merőleges az xoy síkra c) Határozzuk meg a síksor azon síkját, amely merőleges a P síkra E: b) x 5y + = 0 { 9x y + z 6 = 0 Írjuk fel a d : és d 5x y + z 6 = 0 : x = y+ = z 5 egyenesek által meghatározott sík egyenletét és számítsuk ki a d és a d egyenesek közti távolságot E: x + y + z 9 = 0, 6 9 Igazoljuk, hogy az x = t, y = + t, z = és az x = + 5s, y = + s, z = + 0s egyenesek metszik egymást és határozzuk meg a metszéspont koordinátáit! E: (,, ) Az m paraméter milyen értékére a d : x = +t, y = +mt, z = t egyenesnek nincs közös pontja a π : x + y + z = 0 síkkal? E: m = 5 Az a és d paraméterek milyen értékeire helyezkedik el a d : x = z egyenes a π : ax + y z + d = 0 síkban E: a =, d = 6 Az a és c paraméterek milyen értékeire merőleges a d : { x y + z + = 0 x y + z + = 0 egyenes a π : ax + 8y + cz + = 0 síkra! E: a = 5, c = = y+ 7 Határozzuk meg a d : x = y+ = z és d : x+ = y = z egyenesek közös u merőlegesét és távolságát E: u : 5x + 8y 9z + = 0, y z + = 0, d = Írjuk fel a P (,, ) ponton átmenő és az x y + z = 0, x + y + z + = 0 síkokra merőleges sík egyenletét E: x + y + z = 0 9 Írjuk fel azon sík egyenletét, amely átmegy a P (,, ), P (,, ) pontokon és merőleges az x + y z = 0 síkra E: x y = 0 0 Írjuk fel az M (,, 5) pontból a x + y z + = 0, x y + z = 0 síkokra bocsátott merőlegesek által meghatározott síknak az egyenletét E: 5x + 7y + 9z = 0

5 Tanulmányozzuk az α : x + y z =, β : x y z =, γ : x + y 6z = 5 síkok kölcsönös helyzetét Számítsuk ki az M(,, ) pontnak az α : x + y 0z 5 = 0 síktól való távolságát E: Határozzuk meg az α : x y z + 7 = 0 és a β : x y z + 7 = 0 párhuzamos síkok közti távolságot! E: Határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a x y z 6 = 0 síkkal és 7 egységnyi távolságra van ettől a síktól! E: x y z + 5 = 0, x y z 7 = 0 5 Határozzuk meg a P ( 5,, ) pontnak az d : x + = y 5 = z egyenesre eső P vetületét, majd a P pontnak a d egyenesre vonatkozó P szimmetrikusát! E: P ( 5,, 5), P ( 5,, 5 ) 6 Határozzuk meg a P(5,,) pontnak az x + y z = 5 síkra eső vetületét! E: A ( 0,, 7 Határozzuk meg a Q(, 5, ) pont szimmetrikusát arra a síkra nézve, amely tartalmazza a { x + y + z = 0 d : x y + z = 0 ) egyeneseket! { x + z = 0 d : y = 0 E: Q (, 7, ) 8 Határozzuk meg a d egyenes vetületét a π síkra, ahol d : { x + y + z + = 0 x y z = 0 és π : x + y z = 0 E: x+ 9 = y = z+6 9 Határozzuk meg a d : x + y z = 0, x = 0 egyenesnek a π : x + y + z = 0 síkra eső merőleges vetületének egyenletét E: x+/ = y+/ 0 = z / 50 Határozzuk meg a d : x+ = y = z merőleges vetületének egyenleteit egyenesnek a π : x y + z = 0 síkra eső E: x+/6 = y /6 = z 5/ 0 5 Határozzuk meg a d egyenes π sík szerinti d szimmetrikusát, ahol d : x = y + = z és π : x + y + z + = 0 E:π d = {A}, A( 5 9, 5, 9 ), d : x 5/9 = y+5/ = z+/9 5 Határozzuk meg az M 0 (,, ) pont távolságát d : x = y+ = z egyenestől! 5

6 5 Írjuk fel a x + y z = 5 és a x + y + z + = 0 síkok által meghatározott lapszögek szögfelező síkjainak egyenletét E: x y 5z 6 = 0, x + y z = 0 5 Számítsuk ki az α : x + y + z + = 0 és β : x + y z = 6 síkok hajlásszögének mértékét E: Számítsuk ki az xoy sík és az M M egyenes által alkotott szög mértékét, ha M (,, ) és M (,, ) E: sin β= 56 Az A A A A tetraéder csúcspontjai A (,, ), A (,, 5), A (0, 7, ), A (, 9, ) Számítsuk ki annak a szögnek a mértékét, amelyet az A csúcspont az A A A háromszög súlypontja által meghatározott egyenes az (A A A ) síkkal alkot E: sin α= Határozzuk meg két összefutó egyenes által meghatározott szögek szögfelező egyeneseinek egyenleteit Alkalmazás: a két adott egyenes d : x y z + = 0, x y + z 6 = 0 és d : x+ = y+5 7 = z E: s : x = y = z, s : x 7 = y 5 = z 58 Az Ox, Oy és Oz tengelyeken felvesszük az A, B és C pontokat úgy, hogy teljesüljön az OA + OB + OC = a összefüggés Igazoljuk, hogy az ABC sík áthalad egy rögzített ponton, és határozzuk meg ennek a pontnak a mértani helyét, amikor az a értéke változik 59 Keressük meg annak feltételét, hogy négy sík áthaladjon egy közös ponton 60 Határozzuk meg az a élű kocka valamely élének távolságát egy olyan testátlótól, amellyel nincsen közös pontja E:a / 6 Adottak a d : x+y = 0, x z + = 0 és d : x 9y +8 = 0, y +z 79 = 0 egyenesek a) Igazoljuk, hogy az adott egyenesek rendelkeznek egy P 0 közös ponttal és merőlegesek egymásra b) Írjuk fel a két egyenes által meghatározott sík egyenletét és igazoljuk, hogy ez nem merőleges az OP 0 egyenesre 6 Adott a π : x + y + z + = 0 sík és a d : y z + = 0, x + z = 0 egyenes 6 a) Igazoljuk, hogy az egyenes a síkban fekszik E: P 0 (, 5, 6) b) Írjuk fel a megadott síkra, az egyenes mentén merőlegesen emelt sík egyenletét c) Írjuk fel a π sík d egyenesre merőleges egyeneseinek egyenleteit E: b) y z + = 0, c) x = x 0, y y 0 = z + z 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges a z = 0 síkra és tartalmazza az A(,, ) pontból a d : x = 0, y z + = 0 egyenesre bocsátott merőleges egyenest E: x + y + = 0 6

7 6 Írjuk fel a x y +z = 0 síkból a koordinátasíkok által kimetszett háromszög Oz tengelyen fekvő csúcsához tartozó magassága tartóegyenesének egyenleteit és számítsuk ki a magasság hosszát 65 Adottak az u : x = y+ = z λ és u : x+ = y = z egyenesek a) Határozzuk meg a λ értékét úgy, hogy a két egyenes metsse egymást 66 E: x 6 = y = z 5, 65 5 b) Ha π a fenti metsző egyenesek síkja, határozzuk meg az A(,, 0) pontnak a π szerinti szimmetrikusát c) Határozzuk meg az A pontnak az u és u egyenesekre eső merőleges vetületein áthaladó egyenes egyenleteit E: a) λ = 5 ; b) A ( 8, 9, 8 ); c) x 8 = y 6 = z 95 Írjuk fel az x + y z = 0, x y + z + = 0 és x y + z = 0, x + y z + = 0 egyeneseket metsző és az x + y + z = 0 síkkal párhuzamos egyenesek egyenleteit E: x 0 = y = z+λ 67 Adottak az u : x meg 6 = y+ = z és u : x = y+ = z egyenesek Határozzuk a) az u és u egyenesek által meghatározott szögek szögfelezőinek egyenleteit b) az A(,, ) pontnak az u és u egyenesekre eső A és A merőleges vetületeit c) a P 0 A A háromszög területét, ahol P 0 az u és u egyenesek metszéspontja 68 Adottak az u : x Határozzuk meg = y+ a) az u és u egyenesek közötti távolságot; = z és u : x = t +, y = t, z = t + egyenesek b) az u és u egyenesek által meghatározott sík egyenletét E: a), b) x z = 0 69 A π sík Ax + By + Cz + D = 0 egyenletében szereplő minden együttható nullától különböző Igazoljuk, hogy ez a sík áthalad hét nyolcadon a koordináta-síkok által meghatározott nyolcadok közül 70 Határozzunk meg egy olyan pontot az Oz tengelyen, amely egyenlő távolságra fekszik a π : x + 9y 0z 9 = 0 és π : 6x y + 5z 9 = 0 síkoktól E: A (0, 0, 8 5 ), A (0, 0, /7) 7 Határozzuk meg egy tetraéder térfogatát, ha oldallapjainak egyenletei x+y+z = 0, x y = 0, x z = 0 és z = 0 7 E: 6 Írjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely az x + y z = 0 síkban fekszik, az x = y = z egyenesre támaszkodik és merőleges a x y z = 0 síkra E: x = y = z 7

8 7 Írjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely áthalad az A(, 0, ) pont x = y = z egyenes szerinti A szimmetrikusán és merőleges a x y z = 0 síkra E: A (,, ) 7 Határozzuk meg a P 0 (, 0, 0) pontnak az x = y = z egyenesre eső vetületén áthaladó és a d : x y = 0, y z = 0 valamint d : x y = 0, x z = 0 egyenesekre támaszkodó egyenes egyenleteit 75 Határozzuk meg azon egyenes egyenleteit, amely áthalad az A(,, 0) pont x y + z = 0 sík szerinti A szimmetrikusán, párhuzamos a x + y + z = 0 síkkal és merőleges az x = y+ = z egyenesre E: x / 5 = y 5/ = z+/ 76 Adottak a d : x = y+ = z+ és d : x l = y+ m = z 5 n egyenesek a) Milyen feltételek mellett metszi egymást a két egyenes b) Határozzuk meg annak feltételét, hogy a két metsző egyenes merőleges is legyen egymásra c)határozzuk meg a metszéspont koordinátáit E: a) l + m n = 0, l m n, b) l = n, c) (,, ) 77 Adott a P (,, 0) pont és a d: x z = 0, y + z + = 0 egyenes a) Írjuk fel az origón és a P-ből d-re bocsátott merőlegesen áthaladó sík egyenletét b) Határozzuk meg a d és OP egyenesek közös merőlegesének egyenleteit E: a) x + y + z = 0, b) x = y + = z 78 Írjuk fel azon síkok általános egyenletét, amelyeknek az x = 0, y = 0 és x + y = 0 egyenletű síkok által meghatározott hasábbal való metszete egy szabályos háromszög E: x + y + z + m = 0, x + y z + n = 0, m, n R 79 Igazoljuk, hogy az origón áthaladó egyenes egyenletei felírhatók az alábbi alakban: x sin θ cos ϕ = y sin θ sin ϕ = z cos θ 80 Adottak az Ox, Oy és Oz tengelyeken elhelyezkedő A, B és C pontok Igazoljuk, hogy ha az AB egyenes áthalad egy P rögzített ponton és a BC egyenes a rögzített P ponton, akkor az AC egyenes is áthalad egy rögzített P ponton, és a P, P, P pontok kollineárisok 8 Igazoljuk, hogy egy derékszög vetülete valamely síkra akkor és csak akkor lesz derékszög, ha a szög egyik szára párhuzamos a síkkal a másik pedig nem merőleges rá 8 Ha egy tetraéderben két szembefekvő élpár élei merőlegesek egymásra, igazoljuk, hogy: a) A harmadik élpár élei is merőlegesek egymásra b) A tetraéder magasságai egy pontban találkoznak c) A szembefekvő élek közös merőlegesei a magasságok metszéspontjában futnak össze 8

9 d) A szembefekvő élek felezőpontjait összekötő szakaszok kongruensek e) Az oldallapokra azok súlypontjaiban emelt merőlegesek összefutó egyenesek f) A szembefekvő élek négyzetösszege állandó 8 Igazoljuk, hogy egy tetszőleges tetraéderben: a) A csúcspontokat a szembefekvő lapok súlypontjaival összekötő, valamint a szembefekvő élek felezőpontjait összekötő egyenesek összefutók b) Az egyes lapok belső szögfelezőin keresztül az illető lapra emelt merőleges síkok rendelkeznek egy közös egyenessel c) Valamely lap belső szögfelezőjén keresztül a lapra emelt merőleges sík és a szomszédos két lap külső szögfelezőjén keresztül az illető lapokra emelt merőleges síkok ugyancsak rendelkeznek egy közös egyenessel d) Az élek felezőmerőleges síkjai rendelkeznek egy közös ponttal 8 Legyen ABCDA B C D egy kocka, amelynek élhosszúsága AB = a Tekintjük az M (AB), N (AD) és P (AA ) úgy, hogy AM = α, AN = β és AP = γ Igazoljuk, hogy az ABCDA B C D kockába írt gömb akkor és csakis akkor érinti az (MNP ) síkot, ha fennáll a következő összefügges: αβγ αβ + βγ + γα α β + β γ + γ α = a 85 Egy V ABCD szabályos gúla alapjának az élhosszúsága AB = BC = CD = DA = a és a V A = V B = V C = V D = a A V A él M felezőpontján keresztül szerkesztünk egy a V C élre merőleges síkot, amely meghatároz egy síkmetszetet a gúlában Határozzuk meg a síkmetszet kerületét, területét, valamint a síkmetszet által meghatározott két test térfogatának arányát 86 Legyen ABCDA B C D egy AB = a élhosszúságú kocka, M és P a BC illetve AA élek felezőpontjai, O a kocka középpontja, O az A B C D alsó lap középpontja, S pedig az OO felezőpontja Határozzuk meg az (MP S) sík által meghatározott síkmetszetet a kockában és ennek a területét 87 Legyen ABCDA B C D egy a élhosszúságú kocka, M és P a BC illetve AA élek felezőpontjai,o az A B C D alsó lap középpontja Határozzuk meg az (MP O ) sík által meghatározott síkmetszetet a kockában és ennek a területét, kerületét 88 Legyen ABCDA B C D egy a élhosszúságú kocka A [CD, [CB és [CC félegyeneseken felvesszük az X, Y, Z pontokat úgy, hogy CX = a + α, CY = a + β, CZ = a + γ, ahol α, β, γ R + Igazoljuk, hogy i) az (XY Z) sík akkor és csakis akkor metszi hatszögben a kockát, ha αβ, βγ, γα (0, a ); ii) ha MNP QRS az előbbi alpontban meghatározott hatszög, akkor az MQ, NR, P S átlók akkor és csakis akkor összefutóak, ha a = a(αβ + βγ + γα) + αβγ 9

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont. 1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés 1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde) 2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok 4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2 ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - Tartalomjegyzék 1. Analitikus mértan térben 1.1. Térbeli egyenesek egyenletei Descartes-féle koordináta rendszerhez viszonyítva.........

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Geometria 1, normálszint

Geometria 1, normálszint Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály . feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Koordináta-geometria alapozó feladatok

Koordináta-geometria alapozó feladatok Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben