= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;"

Átírás

1 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $ b =Y 0-val & x y & + =. a b. a = y= x+ 7 y= x+ 7 y =-x + 7 y = 7.. a) n( ) (0 ) v(- ) tga =- a = -687 b) n( -) ( 0) v( ) tg a = a = 796 c) n( -) ( 0) v( ) tga = a = d) n b - l (0 -) a =60 e) x + y = n( ) ( 0) a = -687 f) n( 0) ( 0) a =90 g) n(0 ) (0 -) a =0 6. a) 7-6 = rajta van b) $ - =Y nincs az egyenesen c) rajta van d) egyik sincs rajta e) a(- 0) (7 6) (0 8) pontok rajta vannak. 7. koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve = a & a =-. 8. a)! e & a + b =! e 7a+ b= a b & =- = b) a= b=- 7 ca ) = 0 b=. 9. A feltétel szerint y = x & x + = 0 x = - (- -). 0 N 0. y=. O. ( ) (- -) (- -).. (x 6) (x -6) x + 8 = 6 & x =- x - 8 = 6 & x = 6 (- 6) (6-6). a. bx + ay = ab b+ a= ab& b= a =Y. a -. Az átlók egyenlete: x = 0 y = 0. A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) x! y = 0 x! y =-0. A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) & x! y = 0 illetve x! y =-0.. Húzzuk meg az egyeneseket az adott pontokon át. a) A( 0) B (0 ) b) ( 0) (0 ) N c) 0 O (0 ) d) ( 0) (0 ) e) ( 0) (0 8) f) ( 0) (0 ) g) (0 0) (0-8) a) t = területegység b) t = c) területegység N 7 N 7. n ( ) F ( 9) a felezô merôleges egyenlete: x + y = 7 0 Q 0. O O 8. Az ABC háromszög középvonalainak egyenesei felelnek meg. A (9 -) B ( ) C ( -) x + 8y = 9 B C ( -6) x + y = x - y = Ha x = 0 y = ezért a legtávolabbi pont ordinátája lehet. x<00 miatt x = 0 (0 ). 60. y= x. Ha x! R akkor y irracionális.

2 Az egyenes egyenletei 99 x y 6. Az A(a 0) B (0 b) pontokon átmenô egyenes egyenlete + = & + = a b a b b & b+ a= ab a= = + b lehetséges értékei: 7. b - b - b = a =-8 b = a = 0 b = 7 a = 7 x - y =-8 x + y = 0 x + y = A-ból induló szögfelezô: 7x+ y= 7. C-bôl induló szögfelezô: b + l x+ b + l y= + 8. & B-bôl: b - l x+ b + l y= Tükrözzük az A pontot az y tengelyre A (- ). A + B = A + B ami akkor lesz N minimális ha az A B egyenesen van. AB (8-7) n(7 8) 7x + 8y = 0 x = 0 & 0 O. 6. Tükrözzük az A-t az x tengelyre. Az A ( ) pontot kapjuk. A C + CB = AC + CB minimális ha C az A B-n van. AB ( ) n( -) x - y = y = 0 C( 0). 6. B csúcsot az x tengelyre tükrözve Bl-t kapjuk. Bl az AC oldalegyenesre illeszkedik. Bl( ) AB( ) n( -) x - y =- y = 0 C(- 0). 66. Az adott egyenes egy pontját ( -)-t eltolva Q(8 -) n( -) & x - y = _ x+ i + y -<_ x- i + _ y- 6i F = 0 & x+ y=. 68. Tükrözzük az y tengelyt a pontra & x = 6. Q(6 0). Q( -7) n(7 ) & 7x - y =. x y = & - = & 6b- a= 6 b = + a = b -l. a b a b x y = & + = és ab a b a b &b - 6b + 6 = 0. b = a = b = a =. Innen: x + y = illetve x + 9y =. 7. y = x ha x! [ ] y =-x ha x! [- -] illetve N 7. 0 O. 7. a) y= x-. A keresett egyenes egy pontja (0 -) m =- y=- x-. x + b) Tükrözzük pl. a ( ) pontot C-re. = & x =- y = 0 & l(- 0). Mivel ele x - y = -6. = 8. b + a = ab & b + a = 6 & b(6 - b) = 6 & 7. e: y - = m(x - 7) ha x =- & y = - 8m F(- - 8m). Az e egyenes x tengelyre esô pontja Q N m O. F a Q felezôpontja m =- & m = & & e: x - y + 9 = 0.

3 00 Az egyenes egyenletei 7. ABb- l n b l AB: x + y = 6. DE AB x + y =- 6 BC: y = EF: y =- DC b l n b - l x- y=- 6 FA DC: x - y = 6. 9 N 7. a) A O B N O C ( ). A súlyvonalak egyenlete: AA 7 N - O n(7 ). s a :7x + y = 7 s b : x - 9y + 8 = 0 s c : x + y = 0. A középvonalak: AB_ - -6i n( -) 7 N x- y= + = x + 7y = 8 x + y = b) A ( -) B - O N C - - O. A súlyvonalak: 7x - y = x - 6y = 8 x + y =-6 A középvonalak: x - 6y = 9 9x + y =-7 x + 0y =. 76. a) ( -9) Q(7 6) R( -). R_ i RQ_ 0i RQ = $ R ezért egy egyenesen vannak. b) R a Q egyenesen van. a- b a+ b 77. v (b - a a - b) v (a - b -b - a). =- & a= b. b- a a - b 78. e l BC BC_ i& n _ - i e :x-y = - BC: x - y - =0 $ -6- d A= = = _. m i. Az ábrán látható derékszögû háromszögek egybevágósága miatt e is megfelel. F( ) AF_ - i n( ) & e : x + y = d= d = + - = = _. 6 mi A b-6 -l B b6 - l. A száregyenesek: y=! x k á 7 egység. m b = 6 egység így tga = a = tgc = c = 06 b = Tükrözzük B-t az x tengelyre: B (- -). B A_ 7 7i n( -) a beesô fénysugár x - y =. ( 0) B_ - i n( ) a visszavert fénysugár x + y =. 8. c =- arányú O középpontú hasonlóság a B ( -) pontot A-ba viszi. (0 0). 8. Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0. y= x vagy y = x + vagy y= x+ egyenesek pontjai elégítik ki a feltételt.

4 Az egyenes egyenletei 0 8. Egyenespárt akkor kaphatunk ha a bal oldal két lineáris kifejezés szorzata. Ha m = akkor (x + y) - (x + y) - = 0 ahonnan (x + y - )(x + y - ) = 0 tehát x + y = vagy x + y =. 8. a) n ( -) n ( -) n $ n = + = 7 n = n = 7= n$ n 7 = $ cos_ n$ ni& cos~ = cosn$ n = = & ~ = 9 7 n $ n $ b) 9 c) d) 6 e) 90 f) 787. g) n (A B ) n (A B ) n = A + B A A+ BB n = A + B n $ n = A A + B B cos~ =. A + B $ A + B 86. AC felezôpontja F ( ) BD felezôpontja F ( ) ezért a négyszög paralelogramma. AC_ 8 8i& n_ - 9i BD_ - 8i& n_ i n = 97 n = n $ n = cos~ = & ~ = 7 6. $ Ha az egyenesek irányszöge a és b a két egyenes hajlásszöge { = a - b m = tg a m- m m- m m = tg b. tg{ = tg_ a- b i = & tg~=. + mm + mm 88. a) a = 8 b = c = 08. b) a = 676 b = 0 c = ~ = ~ = tga = tg b =- tg -- ~ = =. { = b - ~ tg { = = y = x tga = m tg 9 7 & x y 9 = _ a + i = = 7 - = m tg 9 7 = _ a - i = =- & x+ 7y= tg a =- tg_ a + 60 i = = - = tg_ a - 60 i = = +. y= b+ l x- -6 illetve - y= b- l x a) ~ = 7. b) 6.

5 0 Az egyenes egyenletei 9. m = m =- m = m + =-. tg e e 9 _ i = =- - $ + tg e e 9 _ i = =. tg(a + c) = 0 & a + c = Ha a csúcsok egész koordinátájú pontok akkor az oldal négyzete: a pozitív egész a & t = irracionális. Másrészt a háromszög befoglalható olyan téglalapba amelynek oldalai a koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak csúcsai egész számok így területe is egész. A téglalapnak a szabályos háromszögön kívüli részeinek területe racionális számok így a szabályos háromszög területe is racionális lenne ami ellentmondás. Így nem lehet minden csúcs egész koordinátájú. 97. x = + t y = 7 - t. 98. A (0 i j k) koordináta-rendszerben az egyenes egyenletét egyértelmûen meghatározza egy adott 0 (x 0 y 0 z 0 ) pontja és egy v(a b c) irányvektora. Egy (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a 0 ponton átmenô v irányvektorú egyenesre ha 0 = r - r 0 vektor ahol r a pont és r 0 a 0 pont helyvektora párhuzamos a v vektorral. Ennek szükséges és elégséges feltétele hogy r - r 0 = mv legyen ahol m! R. Innen r = r 0 + mv. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = x 0 + ma y = y 0 + mb z = z 0 + mc. a) x = + m y =- + m z = - m b) x = m y = m z =-m c) x = y = + m z = + m d) x = 7 y =- z = + m. 99. a) v( - ) A( -). x = + m y = -m z =- + m b) v(- - ) A(0 ). x =-m y = - m z = + m a) A 0 ( - 7) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + m y =- + m z = 7 + 6m. v( 6). b) 0 (0 - ) v( 7 ) c) 0 (0 0 0) v( ). + y z = és =. 0 ( ). 60. A hajlásszög az irányvektorok hajlásszögével egyenlô. v ( ) v ( ). 6 v $ v = qv q $ qv q cos { cos{ = + + { = 96. $ egyen az s sík egy adott pontja 0 (x 0 y 0 z 0 ) a 0 helyvektora r 0. egyen a sík egyik normálvektora n(a B C) (n nem nullvektor!) 0 és n a síkot egyértelmûen meghatározzák. Az r helyvektorú (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a síkra ha r - r 0 vektor merôleges az n vektorra. Ekkor n(r - r 0 ) = 0. A felírt skaláris szorzatot kifejezhetjük az n vektor és az r - r 0 vektor (x - x 0 y - y 0 z - z 0 ) koordinátáival: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + + C(z - z 0 ) = 0. Innen Ax + By + Cz + D = 0 ahol D =-(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ). a) A = B =- C = x 0 = y 0 = x 0 =-7. x - y + z + 8 = 0. b) x + y + z - 9 = ( ) n(0 0 ) z - = 0.

6 Az egyenes egyenletei Elôször meg kell határozni például az A( 0 ) B( -) D( - ) nem egy egyenesre illeszkedô pontok által kifeszített síkot. épezzük az AB_ - i és az AD_ - i vektorok vektoriális szorzatát. (álasszuk egyszerûség kedvéért az AB vektorral egyirányú ( -) koordinátájú vektort és az AD vektorral egyirányú ( - ) koordinátájú vektort.) Ekkor # = 0$ i-j- k. Tehát az ABD síkra merôleges egyik nor- AB AD málvektor koordinátáit: (0 - -) illetve (0 - -). Az ABD sík egyenlete az A( 0 ) pont és az n(0 - -) normálvektor segítségével felírható: y + z =. Ezt az egyenletet a C csúcs koordinátái is kielégítik mert 0 $ = igaz egyenlôség a) n( -) (- 0) b) n( - 0) (0 z) z! R c) n(6 0 0) vagy N például n*( 0 0) y z 6 O y z! R a) A sík normálvektora lehet az AB vektor AB_ - - 0i a sík egyik pontja az AB szakasz felezôpontja: F(0 0 ). A sík egyenlete: x + y = 0. b) n(-8-6 -) vagy n*( ) a felezôpont F(- ). A sík egyenlete: x + y + z = AB_ 7 - -i AC _- -6 -i. n = AB # AC n(- -6) mert a # b = (a b - a b )i + (a b - a b )j + (a b - a b )k. Itt a = 7 a =- a =- b = - b =-6 b =-. A sík egyenlete: -x + y - 6z =. A D( z) pontra z = innen z = Az egyenesnek a síkkal bezárt szögét azzal a { szöggel mérjük amelyet az egyenes a síkra esô merôleges vetületével bezár. (609. ábra). Az ábra szerint látjuk hogy ez a { szög az egyenes irányvektorának (v-nek) és a sík normálvektorának (n-nek) a segítségével kiszámítható! { = 90 - ~ (609/I.) ábra) ahol ~ a v és az n vektorok hajlásszöge. ~-t az n $ v skaláris szorzattal határozzuk meg. n( 7) v( ) n = 78 v = 9 0 n $ v = = 0 másrészt n$ v= 78 $ 9 cos~. Innen cos~ =. 78 $ 9 ~ = 7 { = 78. Ha cos ~ < 0 akkor az (609/II.) ábra szerint ~*-gal számolunk. 609/I. 609/II.

7 0 Az egyenes egyenletei ét egyenes metszéspontja. ont távolsága egyenestôl síktól N 60. a) (- ) b) ( 8) c) O d) N - O e) ( ) f) (- ) 6 6 N g) O h) ( ) i) x bc - bc ac - ac a b a b c = y = ha =Y. Ha = =Y ab - ab ab - ab a b a b c a b c akkor nincs megoldás. Ha = = akkor végtelen sok közös pont van. a b c 6. a) B _- i A_ - i C( ) 8 N b) - O 7 N O 6 N O c) N N O O 60 0 N O. 0 N 6. AC + CC & C _ - 6i AC + AA& A_ 8i AA+ CC& S 0 O. + b b- 6 = & b=- = 0& b =- B _- -i. b 6. AB + AC = A A( ) AC + CC = C C( ) CC + AB = C C ( ) + = b + = B( 8) BC: x - y =. N 6. BB+ CC= S& S O. AA harmadolópontja: S. A ( ). Tükrözzük S-t A -re: 6 N S* O S* C BB miatt S * C: x + y = 6 CC + S * C = C & C _ i. C-t A -re tükrözve: B( 0). 6. A(- ) A-t F-re tükrözve B(7 -) x- 0y= N AC BD & n( -0) x - 0y =. & D _ 7 i y =. AD felezôpontja A O B-t A -re tükrözve: C(8 )

8 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól e + e = B(-6-6). S a BB szakasz B -hez közelebb esô harmadolópontja: B (6 9) B-t B -re tükrözve: D(8 ). ABCD paralelogramma AB CD m= & CD: x - y =-. y= x+ 8 BC + CD = C & C _ 0 8i x- y=-. BC felezôpontja A (- 6) AA harmadolópontja S. _ - i+ x $ 6+ y = = & A _ 0 i. N 67. A és B pontok koordinátái kielégítik az adott egyenes egyenletét: A( ) B O. + + c + + c = 9 N = 6& C O. AB = 8 BC = 98 AC = 8. AC _ 78 i AB_ - i AC $ AB = $ - 78 $ 8 = = 98 $ 78 $ cos a & a = 8. b = 60 c = B-t tükrözve a szögfelezô egyenesére B az AC egyenesére illeszkedik. BB : n( -) x y N - = N x - y =. & F - x+ y= O. BB felezôpontja F& B O. AB _ 6-7 i 7x 6y 9 N + = n(7 6) AB : 7x + 6y = 9. & C - - x+ y= O. x+ y= 69. & x- y=-8 C( 8) x+ z= x- y=-9 & B( 6) x- y=-8 x- y=-9 & & A(- ). Az ABC háromszög súlypontja és az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög súlypontja azonos. S 6 O. N - x+ y+ x- y+ 60. I. megoldás: Az egyenesek normálegyenlete: = 0 illetve = 0 - x+ y+ x- y+ = & y= x. II. megoldás. Az adott egyenesek és az x tengely meghatározzák az A( ) B(- 0) C( 0) háromszöget. Az A-tól induló szögfelezô AB : AC arányban osztja a BC szakaszt. AB : BC = : = : 6. B: A = : & (0 0) A: y = x. 6. ( 0) Q(0 -). 6. M( ) AM = egység. x+ y= 6 6. e + f: & x- y=-8 M 0 N - O 0 $ t $ = = t = = t = + = területegység. v e (- ) v f ( ). ~ = 76.

9 06 Az egyenes egyenletei 6. e + e A(-6-6). egyen ( -) az e egy pontja. Határozzuk meg Q-t úgy hogy H a Q -hez közelebbi harmadolópontja legyen. q + 6 q = 8-6 = 6& Q(8 ). Q ponton át írjuk fel az e -gyel párhuzamos g egyenes egyenletét: x - y =-. e + g = B y= x+ 8 c 0 & B _ 0 8i x- y=- BC szakasz C-hez közelebbi harmadolópontja H. + = 8 c + 8 = 6& C( 0) e : y= x- e : y= x- > $ - és > $ -. az e és az e fölött van tehát nincs a háromszögben e : y = x + e : y =-x + e : y=- x+ 6 c >c + és c > - c + és c < - c c> + c< - c> c< - - < c <. Így - < c < AB egyenlete y = 0. CD egyenlete x + yb- l = AB + CD: ( 0) A =. 68. AC + AE = A A(0 ). A-t tükrözve -ra: D( ). AC + CE = C C( 0) C-t tükrözve -ra F( 6). CE + AE = E E(6 ) E-t tükrözve -ra B(- ). 6$ 69. A háromszög csúcsai: A( 0) B(8 0) C( ). t ABC= = 9 területegység. Mindkét keletkezô kúp sugara magassága. Alkotója: a = + = = ra= 8 r területegység. = $ = 8r térfogategység. r $ a) e + e = M & x=- 7& x=- behelyettesítve: - + y + = 0 & 7 N & y=- M O e -ba behelyettesítve 7 N N $ ! 0 O 0 O ezért a három egyenesnek nincs közös pontja. b) e N + e = M M - O koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: = 0 a három egyenes közös pontja M. c) Mindhárom egyenes áthalad az M( ) ponton. d) Nincs közös pont. x y 6. e : y = x e : + = e 6 : x -y=- e + e = M M( ). M koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: - 6 =- így mindhárom egyenes áthalad az M ponton. 6. s a : x - y =-9 s b : x = C (- 6) CC (-6 ) n( ) s c : x + y = Mindhárom egyenes átmegy a háromszög S( ) súlypontján. 6. A ( 8 ) B( ) D ( 7) O(0 0) OA( 8 ) DB( - 6) OA $ DA = 8 8 OA = 80 = DB = 0 = 0. cos{ = = $ 0 0

10 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól 07 7 $ 0 $ 9 7 OA $ DB $ sin{ sin{ = - = = t = = = 8 te Q(x y) Q (- ) Q ( ). x- y= - 6. a) x+ y= M 7 N - 7 O. x- 8y=-. b) 8x - 7y = a) x - y = 6 x+ y= 0 & 9x + y =-6. b) x - y + 0 =0. 0 N c) - - O Q( 0) Q( 6 9) 9x- 6y= 8. x- y=- 67. & x y 9 M( 9) m 9 0& m. x- y=- - = = - + = = tg a - tg 68. y= x- & m= m = tg(a - c) m = tg(a + c) m= = + tg a $ tg tg a + tg m = = =- v - tg a $ tg - ( ) n = ( -) x - y =-0 v ( -) n = ( ) x + y = 0. x+ y= b b 6 b & y b 6& y x - x+ y= 6 + = + = + - b- 6 b+6 N =. O x+ y= b b b & 6x b & x y. x- y= + = + = + - = 6 6 b- 6 b+ N b 6 b Q = & Q = N + = 6 O 6 O b- N - bn b - N b - + = 6 O 6 O = 6 O =! b =!. 6 x- y= b b N x b - y= 0 b & y=- x+ b ` 8 O Q b b N &. b y=- x+ b ` O Q = & Q = & b a a bn b bn & b = & b =! 8. O 8 O 6. e :x-y = 6 f :x + y + 6 = 0. Az e egyenest tükrözzük az origóra. ( 0) az e egy pontja ennek az origóra vonatkozó tükörképe (- 0) n( -) x - y =-6. x y N + =- 6 6 N e + f : & M - x- y=-6 O OM - & n( 6) & x + 6y = 0. O 6. Tükrözzük az e egyenest -re. Az e egy pontja Q(0 ) Q (6-6). e : n( ) 7 N N Q(6 6) & x + y =-. e + f = M & M - M & n( -). 7 7 O 7 7 O n( -). A keresett egyenes: x - y = 87.

11 08 Az egyenes egyenletei 6. együnk fel az egyik egyenesen egy pontot a másik egyenesen olyan pontokat amelyekre a feltétel teljesül. A keresett egyenesek a illetve a egyenesekkel párhuzamos az adott ponton átmenô egyenesek. egyen (0 8) ekkor ( ) (- 7). ( - ) n( ) x + y = ( - - ) n( -) x - y =. 6. egyen (0 ) az e tetszôleges pontja. A feltételnek megfelelô e -n levô pontok: (- 7) ( ) A keresett -n áthaladó egyenesek párhuzamosak -vel illetve -mal. ( -) n( ) x + y = 6 ( -) n( ) x + y =. 6 illetve -nak az y tengelyre esô vetülete ahol az e egyenesre az e & & egyenesre illeszkedik. (- ) (8 0) ( ). ( -9 ) n ( 9) & x + 9y = 0 ( 6 ) & n ( -) & x - y =-. & 66. egyen (0 ) az e egyenes pontja (0 7) (-9 ) az e pontjai. ( 0 ) & & n( 0) x = ( 9 ) & n( -) x - y = egyen Q( 0) az egyik egyenes egy pontja. Q : Q = : & Q ( ). Q -en áthaladó az elôbbi egyenessel párhuzamos kimetszi a másik egyenesbôl az M pontot. n( -) x- y=- Q ( ) & x - y =-. - x+ y= & M ( ) M ( )& n( -) & x - y =. 68. egyen Q az e egyenes egy pontja. Meghatározzuk azt a Q pontot amelyre Q : Q = :. A Q -re illeszkedô e e egyenes egyenletét felírva meghatározzuk N e + f = M-et. A megoldás a M egyenes. Q( -) Q O e : n( ) & x + y =. 8x+ y= 7 e + f : & M (- ) x+ y= M( - )& n( ) x + y =. 69. A: S = :. 60. AB + DNl DNl: AB = D : B = : D = BD. AB + DN DN : AB = D : B = : D = BD. Hasonló módon kapjuk: B = BD BQ = BD. Így: Q = BD = BD& D : : Q: Q: B = : : : :

12 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól C(c9-c) ahol 0 < c < 9. R c - c N O Q c c N O c 9 - c N O ( ) M c c N 6 6 O N c c + - N c N 9 c c 8c. 6 6 O = N = O O c- 6 N c c 8c MN= + - N - + =. 6 O 6 O : MN= : = : AC:6x + y = 8 a keresett egyenes: y = m(x + 6). Ha x = 0 y = 6m & AE = 6-6m. 8-8m AC + e: 6x + m( x + 6) = 8& x =. T m + 6 ABC = T AED =. 8-8m 68 ( - m) T ( 6 6 = = - m) $ = &( 8- m) = ( m+ 6) & AED m + 6 m + 6 & m = m =. Mivel AE > 0 m = nem megoldás. e:x-y + = AC = 0. Bb- + l B b+ - l. 6. egyen a rögzített pont (a a) Írjuk fel a -n átmenô n(n n ) illetve m(m m ) normálvektorú egyenesek egyenletét. Innen: n+ n N A a 0 n O B n+ n N 0 a n O A m+ m N a 0 m O B m+ m N 0 a m O. m+ m n n n n m m A B egyenlete: x + + y = + $ + a m n n m n+ n m+ m n n m m A B egyenlete: x + y = + $ + a. Az elsô egyenletet n n m n m $ m -vel a második egyenletet n m -gyel beszorozva összeadjuk: x + y = m(x- ) + (y - ) = 0 akkor teljesül minden m-re ha x - = 0 és y - = 0. Így N O. 66. Átalakítva az egyenletet: (x - y )m + (x - 6y - )m + (x - y + ) = 0. Minden valós m-re akkor igaz ha van olyan (x y) számpár amely kielégíti a következô egyenletet: N x - y = 0 x - 6y - = 0 x - y + = 0. Ez a - O Az átfogóhoz tartozó magasság egyenlete: x = 0. CB = OB -OC 90c-os elforgatottja BD( c b). & OD = OB + BD OD ( b + c b) D(b + c b). Hasonlóan: OE( a-c - a) Ea ( -c - a) AD( b+ c- a b) n(b a - b - c) AD: bx + (a - b - c) y = ab. BE( a-b-c -a) n(a a - b - c) BE: ax + (a - b - c)y = = ab. A két egyenletet kivonva egymásból: x = 0 (a =Y b).

13 0 Az egyenes egyenletei 68. a) b) c) d) e) f) 68. a) Ha (x y) kielégíti akkor a (-x y) (x -y) (-x -y) is kielégíti így az ábra mindkét tengelyre és az origóra is szimmetrikus x $ 0 y $ 0 & x + y =. b) qxu- qyu= 0 qxu- qyq= =-. c) Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0. qxu- = 0 q yu- = 0 x =! y =!. d) e) Ha q xu + q yu # -re v(- -) vektorú eltolást alkalmazunk kapjuk a megoldást. f) Elegendô az elsô negyedet vizsgálni mert pl. (-x y)-ra -x- + - x+ + y = x+ + x- + y. Ha x $ és y $ 0 x - + x + + y # & & x + y #. Ha 0 # x # és y $ 0 - x + x + + y # & y #. & 69. a) x $ + y $ x - b) y$ - x+ y$ x+ ( x< + - x+ $ y+ y$ ) ( < x+ # y# x+ ) c) y # x + y # - x & x # 0 y # x x > 0 y # - x 69. a) b) c)

14 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól d) e) f) g) h) i) N d) y> - x+ + y< x- M x> 7 7 O és - x+ < y< x N 6 e) y> - x+ + y< x+ M x> O és - x+ < y< x+ 7 f) x# + x- < y< < x< + x-< y< - x+. g) A szorzat értéke pozitív ha mindkét tényezô pozitív vagy mindkét tényezô negatív y $ + y # x - y # + y $ x -. Ebbôl: x # 6 + x - # y # vagy x >6+ <y # x h) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y # + y $ - x + y $ + y # - x +. Ebbôl: x# + # y#- x+ x> + - x+ # y#. i) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y# x-+ y# - x+ vagy y$ x-+ y$ - x+.eb- bôl ha x # akkor y # x - y $ -x + ha x > akkor y # - x + y $ x y $ - x + 6 y$ - x+ y $ x $ 0 k = x + 6y x+ 6y= 0& y=- x. k minimális ha az el 6 egyenes áthalad a ( ) ponton. Ekkor k = $ + 6 $ =.

15 Az egyenes egyenletei egyen x darab az A típusú szendvicsbôl y db a B típusúból. Ekkor x + y # 0 x + y # 00 x + y # 00 x y + # 0 x $ 0 y $ 0. eressük az x + y = d maximumát. Az egyenesek metszéspontjai: _ x+ y= 0 b x y & x= 0 y= 0 + = 0 ` b a x+ y= 0 80 & x y 0 x+ y= 00 = =. Az x + y = 0 egyenessel párhuzamos egyenest legfeljebb a D pontig tolhatjuk. Így d max = = Ha az A típusú ruha elkészítéséhez x perc a B típusúéhoz y perc kell akkor x $ 0 y $ 0 x + y # 0 x + y # 0 x # 80. a) 600x + 00y = a maximális ha x = 80 y = 60 a max = Ft b) 00x + 000y = b maximális ha x = 0 y = 00 b max = Ft c) 600x + 00y = a és x + y = c maximális ha x = 80 y = 60. Mindhárom követelményt egyszerre kielégítô program nem létezik. 66. egyen x db A típusú y db B típusú munkadarab. Ekkor 0 # x # 0 # y # 0 x + y # 00 x + y # 60. A nyereség: 0x + 00y = a maximális ha x = 0 y = 0. A maximális nyereség: a) Állítsuk elô az adott egyeneseket paraméteres alakban. Az elsô egyenletbôl x = + t y =- + t z = + t. A második egyenes paraméteres egyenlete: x =- + t y =- z =-. A két egyenes pontosan akkor metszi egymást ha létezik olyan t és t amelyre a + t=- + t *- + t=- egyenletrendszernek van megoldása. + t=-. A harmadik egyenletbôl t =- a második egyenletbôl t = 0 tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása. A két egyenes kitérô. b) A paraméteres egyenletrendszerekbôl 8 - t = + t + t = - t t =- - t. A felírt egyenletrendszernek van megoldása: t = t =-8. A két egyenes metszi egymást. Az M metszéspont koordinátái: x =- y = 8 z =. c) A két egyenes kitérô. 66. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + t y =- + t z = t. Innen leolvashatjuk az egyenes irányvektorának koordinátáit: v( ). A sík normálvektorának koordinátái: n( - ). n $ v = =Y 0 az egyenes nem párhuzamos a síkkal tehát metszi a síkot. t-re felírhatjuk a következô egyenletet: (+t) - (- + t) + (t) = 0. Innen t =-. Az egyenes a síkot az M(- - -) pontban metszi.

16 árhuzamos és merôleges egyenesek 666. Az egyenes a síkot az M( 9-7) koordinátájú pontban metszi a) Az adott síkok normálvektorai n ( - ) n ( - ) nem párhuzamosak azért a síkok sem párhuzamosak tehát van metszésvonaluk. A metszésvonal v irányvektora merôleges mindkét sík normálvektorára azért v-nek választhatjuk a normálvektorok vektoriális szorzatát. n # n =-i-8j-k a v vektor koordinátái: (- -8 -) vagy v(- - -). A metszésvonal egyik pontját úgy kapjuk meg ha keresünk olyan pontot amelynek koordinátái mindkét sík x- y= egyenletét kielégítik. egyen például a z = 0. Akkor ( Innen x = y =. b) A metszésvonal irányvektora: v(- - -) egyik pontja: ( 0). A metszésvonal paraméteres x- y= 0. y egyenlete: x = - t y = - t z =-t innen - x = - =- z Oldjuk meg az adott síkok egyenleteibôl álló egyenletrendszert N M O. árhuzamos és merôleges egyenesek 669. a) n ( ) n ( ) & párhuzamosak b) párhuzamosak c) n ( ) n (- ) n $ n = 0 & merôlegesek d) n b l n b l n $ n = 0 & merôlegesek - e) m =- m =- & párhuzamosak f) m =- m = m $ m =- & merôlegesek g) n ( -) n (8-0) n = $ n & párhuzamosak h) n ( -6) n ( 0) n $ n = 0 &&merôlegesek a) p = 8 a = 76. b) p! 6 a =! c) p =- a = 8. 0 d) p =- a =. e) p= p=-. = a a =-. b b b+ b b b 67. m=- m = m m m m a a =- = = & =. a + a a a a + a m=- m=. A két egyenes párhuzamos ha m a + b + a+ b- = m és a + - =Y - és a + b +! 0 a + b -! 0 & - =Y a + b + a + b - a+ b+ a + = Y & a =- b! R\ *- 6 vagy b=- ( a+ ) ahol a! R\ * továbbá a + b - ha a + b + = 0 a+ b- = 0 a b & = =-. Egybeesik a két egyenes ha a =- b =. 67. a) p =- b) $ (- p) =- & p= c) p=- d) n (p + - p) n (p - p + ) n $ n = (p + )(p - ) + ( - p)(p + ) = 0 & p = 0 p = e) p.

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8], (megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)

b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont) 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés

1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés 1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,

Részletesebben

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat

Fizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Analitikus geometria c. gyakorlat

Analitikus geometria c. gyakorlat matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások ) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben