= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

Átírás

1 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $ b =Y 0-val & x y & + =. a b. a = y= x+ 7 y= x+ 7 y =-x + 7 y = 7.. a) n( ) (0 ) v(- ) tga =- a = -687 b) n( -) ( 0) v( ) tg a = a = 796 c) n( -) ( 0) v( ) tga = a = d) n b - l (0 -) a =60 e) x + y = n( ) ( 0) a = -687 f) n( 0) ( 0) a =90 g) n(0 ) (0 -) a =0 6. a) 7-6 = rajta van b) $ - =Y nincs az egyenesen c) rajta van d) egyik sincs rajta e) a(- 0) (7 6) (0 8) pontok rajta vannak. 7. koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve = a & a =-. 8. a)! e & a + b =! e 7a+ b= a b & =- = b) a= b=- 7 ca ) = 0 b=. 9. A feltétel szerint y = x & x + = 0 x = - (- -). 0 N 0. y=. O. ( ) (- -) (- -).. (x 6) (x -6) x + 8 = 6 & x =- x - 8 = 6 & x = 6 (- 6) (6-6). a. bx + ay = ab b+ a= ab& b= a =Y. a -. Az átlók egyenlete: x = 0 y = 0. A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) x! y = 0 x! y =-0. A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) & x! y = 0 illetve x! y =-0.. Húzzuk meg az egyeneseket az adott pontokon át. a) A( 0) B (0 ) b) ( 0) (0 ) N c) 0 O (0 ) d) ( 0) (0 ) e) ( 0) (0 8) f) ( 0) (0 ) g) (0 0) (0-8) a) t = területegység b) t = c) területegység N 7 N 7. n ( ) F ( 9) a felezô merôleges egyenlete: x + y = 7 0 Q 0. O O 8. Az ABC háromszög középvonalainak egyenesei felelnek meg. A (9 -) B ( ) C ( -) x + 8y = 9 B C ( -6) x + y = x - y = Ha x = 0 y = ezért a legtávolabbi pont ordinátája lehet. x<00 miatt x = 0 (0 ). 60. y= x. Ha x! R akkor y irracionális.

2 Az egyenes egyenletei 99 x y 6. Az A(a 0) B (0 b) pontokon átmenô egyenes egyenlete + = & + = a b a b b & b+ a= ab a= = + b lehetséges értékei: 7. b - b - b = a =-8 b = a = 0 b = 7 a = 7 x - y =-8 x + y = 0 x + y = A-ból induló szögfelezô: 7x+ y= 7. C-bôl induló szögfelezô: b + l x+ b + l y= + 8. & B-bôl: b - l x+ b + l y= Tükrözzük az A pontot az y tengelyre A (- ). A + B = A + B ami akkor lesz N minimális ha az A B egyenesen van. AB (8-7) n(7 8) 7x + 8y = 0 x = 0 & 0 O. 6. Tükrözzük az A-t az x tengelyre. Az A ( ) pontot kapjuk. A C + CB = AC + CB minimális ha C az A B-n van. AB ( ) n( -) x - y = y = 0 C( 0). 6. B csúcsot az x tengelyre tükrözve Bl-t kapjuk. Bl az AC oldalegyenesre illeszkedik. Bl( ) AB( ) n( -) x - y =- y = 0 C(- 0). 66. Az adott egyenes egy pontját ( -)-t eltolva Q(8 -) n( -) & x - y = _ x+ i + y -<_ x- i + _ y- 6i F = 0 & x+ y=. 68. Tükrözzük az y tengelyt a pontra & x = 6. Q(6 0). Q( -7) n(7 ) & 7x - y =. x y = & - = & 6b- a= 6 b = + a = b -l. a b a b x y = & + = és ab a b a b &b - 6b + 6 = 0. b = a = b = a =. Innen: x + y = illetve x + 9y =. 7. y = x ha x! [ ] y =-x ha x! [- -] illetve N 7. 0 O. 7. a) y= x-. A keresett egyenes egy pontja (0 -) m =- y=- x-. x + b) Tükrözzük pl. a ( ) pontot C-re. = & x =- y = 0 & l(- 0). Mivel ele x - y = -6. = 8. b + a = ab & b + a = 6 & b(6 - b) = 6 & 7. e: y - = m(x - 7) ha x =- & y = - 8m F(- - 8m). Az e egyenes x tengelyre esô pontja Q N m O. F a Q felezôpontja m =- & m = & & e: x - y + 9 = 0.

3 00 Az egyenes egyenletei 7. ABb- l n b l AB: x + y = 6. DE AB x + y =- 6 BC: y = EF: y =- DC b l n b - l x- y=- 6 FA DC: x - y = 6. 9 N 7. a) A O B N O C ( ). A súlyvonalak egyenlete: AA 7 N - O n(7 ). s a :7x + y = 7 s b : x - 9y + 8 = 0 s c : x + y = 0. A középvonalak: AB_ - -6i n( -) 7 N x- y= + = x + 7y = 8 x + y = b) A ( -) B - O N C - - O. A súlyvonalak: 7x - y = x - 6y = 8 x + y =-6 A középvonalak: x - 6y = 9 9x + y =-7 x + 0y =. 76. a) ( -9) Q(7 6) R( -). R_ i RQ_ 0i RQ = $ R ezért egy egyenesen vannak. b) R a Q egyenesen van. a- b a+ b 77. v (b - a a - b) v (a - b -b - a). =- & a= b. b- a a - b 78. e l BC BC_ i& n _ - i e :x-y = - BC: x - y - =0 $ -6- d A= = = _. m i. Az ábrán látható derékszögû háromszögek egybevágósága miatt e is megfelel. F( ) AF_ - i n( ) & e : x + y = d= d = + - = = _. 6 mi A b-6 -l B b6 - l. A száregyenesek: y=! x k á 7 egység. m b = 6 egység így tga = a = tgc = c = 06 b = Tükrözzük B-t az x tengelyre: B (- -). B A_ 7 7i n( -) a beesô fénysugár x - y =. ( 0) B_ - i n( ) a visszavert fénysugár x + y =. 8. c =- arányú O középpontú hasonlóság a B ( -) pontot A-ba viszi. (0 0). 8. Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0. y= x vagy y = x + vagy y= x+ egyenesek pontjai elégítik ki a feltételt.

4 Az egyenes egyenletei 0 8. Egyenespárt akkor kaphatunk ha a bal oldal két lineáris kifejezés szorzata. Ha m = akkor (x + y) - (x + y) - = 0 ahonnan (x + y - )(x + y - ) = 0 tehát x + y = vagy x + y =. 8. a) n ( -) n ( -) n $ n = + = 7 n = n = 7= n$ n 7 = $ cos_ n$ ni& cos~ = cosn$ n = = & ~ = 9 7 n $ n $ b) 9 c) d) 6 e) 90 f) 787. g) n (A B ) n (A B ) n = A + B A A+ BB n = A + B n $ n = A A + B B cos~ =. A + B $ A + B 86. AC felezôpontja F ( ) BD felezôpontja F ( ) ezért a négyszög paralelogramma. AC_ 8 8i& n_ - 9i BD_ - 8i& n_ i n = 97 n = n $ n = cos~ = & ~ = 7 6. $ Ha az egyenesek irányszöge a és b a két egyenes hajlásszöge { = a - b m = tg a m- m m- m m = tg b. tg{ = tg_ a- b i = & tg~=. + mm + mm 88. a) a = 8 b = c = 08. b) a = 676 b = 0 c = ~ = ~ = tga = tg b =- tg -- ~ = =. { = b - ~ tg { = = y = x tga = m tg 9 7 & x y 9 = _ a + i = = 7 - = m tg 9 7 = _ a - i = =- & x+ 7y= tg a =- tg_ a + 60 i = = - = tg_ a - 60 i = = +. y= b+ l x- -6 illetve - y= b- l x a) ~ = 7. b) 6.

5 0 Az egyenes egyenletei 9. m = m =- m = m + =-. tg e e 9 _ i = =- - $ + tg e e 9 _ i = =. tg(a + c) = 0 & a + c = Ha a csúcsok egész koordinátájú pontok akkor az oldal négyzete: a pozitív egész a & t = irracionális. Másrészt a háromszög befoglalható olyan téglalapba amelynek oldalai a koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak csúcsai egész számok így területe is egész. A téglalapnak a szabályos háromszögön kívüli részeinek területe racionális számok így a szabályos háromszög területe is racionális lenne ami ellentmondás. Így nem lehet minden csúcs egész koordinátájú. 97. x = + t y = 7 - t. 98. A (0 i j k) koordináta-rendszerben az egyenes egyenletét egyértelmûen meghatározza egy adott 0 (x 0 y 0 z 0 ) pontja és egy v(a b c) irányvektora. Egy (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a 0 ponton átmenô v irányvektorú egyenesre ha 0 = r - r 0 vektor ahol r a pont és r 0 a 0 pont helyvektora párhuzamos a v vektorral. Ennek szükséges és elégséges feltétele hogy r - r 0 = mv legyen ahol m! R. Innen r = r 0 + mv. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = x 0 + ma y = y 0 + mb z = z 0 + mc. a) x = + m y =- + m z = - m b) x = m y = m z =-m c) x = y = + m z = + m d) x = 7 y =- z = + m. 99. a) v( - ) A( -). x = + m y = -m z =- + m b) v(- - ) A(0 ). x =-m y = - m z = + m a) A 0 ( - 7) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + m y =- + m z = 7 + 6m. v( 6). b) 0 (0 - ) v( 7 ) c) 0 (0 0 0) v( ). + y z = és =. 0 ( ). 60. A hajlásszög az irányvektorok hajlásszögével egyenlô. v ( ) v ( ). 6 v $ v = qv q $ qv q cos { cos{ = + + { = 96. $ egyen az s sík egy adott pontja 0 (x 0 y 0 z 0 ) a 0 helyvektora r 0. egyen a sík egyik normálvektora n(a B C) (n nem nullvektor!) 0 és n a síkot egyértelmûen meghatározzák. Az r helyvektorú (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a síkra ha r - r 0 vektor merôleges az n vektorra. Ekkor n(r - r 0 ) = 0. A felírt skaláris szorzatot kifejezhetjük az n vektor és az r - r 0 vektor (x - x 0 y - y 0 z - z 0 ) koordinátáival: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + + C(z - z 0 ) = 0. Innen Ax + By + Cz + D = 0 ahol D =-(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ). a) A = B =- C = x 0 = y 0 = x 0 =-7. x - y + z + 8 = 0. b) x + y + z - 9 = ( ) n(0 0 ) z - = 0.

6 Az egyenes egyenletei Elôször meg kell határozni például az A( 0 ) B( -) D( - ) nem egy egyenesre illeszkedô pontok által kifeszített síkot. épezzük az AB_ - i és az AD_ - i vektorok vektoriális szorzatát. (álasszuk egyszerûség kedvéért az AB vektorral egyirányú ( -) koordinátájú vektort és az AD vektorral egyirányú ( - ) koordinátájú vektort.) Ekkor # = 0$ i-j- k. Tehát az ABD síkra merôleges egyik nor- AB AD málvektor koordinátáit: (0 - -) illetve (0 - -). Az ABD sík egyenlete az A( 0 ) pont és az n(0 - -) normálvektor segítségével felírható: y + z =. Ezt az egyenletet a C csúcs koordinátái is kielégítik mert 0 $ = igaz egyenlôség a) n( -) (- 0) b) n( - 0) (0 z) z! R c) n(6 0 0) vagy N például n*( 0 0) y z 6 O y z! R a) A sík normálvektora lehet az AB vektor AB_ - - 0i a sík egyik pontja az AB szakasz felezôpontja: F(0 0 ). A sík egyenlete: x + y = 0. b) n(-8-6 -) vagy n*( ) a felezôpont F(- ). A sík egyenlete: x + y + z = AB_ 7 - -i AC _- -6 -i. n = AB # AC n(- -6) mert a # b = (a b - a b )i + (a b - a b )j + (a b - a b )k. Itt a = 7 a =- a =- b = - b =-6 b =-. A sík egyenlete: -x + y - 6z =. A D( z) pontra z = innen z = Az egyenesnek a síkkal bezárt szögét azzal a { szöggel mérjük amelyet az egyenes a síkra esô merôleges vetületével bezár. (609. ábra). Az ábra szerint látjuk hogy ez a { szög az egyenes irányvektorának (v-nek) és a sík normálvektorának (n-nek) a segítségével kiszámítható! { = 90 - ~ (609/I.) ábra) ahol ~ a v és az n vektorok hajlásszöge. ~-t az n $ v skaláris szorzattal határozzuk meg. n( 7) v( ) n = 78 v = 9 0 n $ v = = 0 másrészt n$ v= 78 $ 9 cos~. Innen cos~ =. 78 $ 9 ~ = 7 { = 78. Ha cos ~ < 0 akkor az (609/II.) ábra szerint ~*-gal számolunk. 609/I. 609/II.

7 0 Az egyenes egyenletei ét egyenes metszéspontja. ont távolsága egyenestôl síktól N 60. a) (- ) b) ( 8) c) O d) N - O e) ( ) f) (- ) 6 6 N g) O h) ( ) i) x bc - bc ac - ac a b a b c = y = ha =Y. Ha = =Y ab - ab ab - ab a b a b c a b c akkor nincs megoldás. Ha = = akkor végtelen sok közös pont van. a b c 6. a) B _- i A_ - i C( ) 8 N b) - O 7 N O 6 N O c) N N O O 60 0 N O. 0 N 6. AC + CC & C _ - 6i AC + AA& A_ 8i AA+ CC& S 0 O. + b b- 6 = & b=- = 0& b =- B _- -i. b 6. AB + AC = A A( ) AC + CC = C C( ) CC + AB = C C ( ) + = b + = B( 8) BC: x - y =. N 6. BB+ CC= S& S O. AA harmadolópontja: S. A ( ). Tükrözzük S-t A -re: 6 N S* O S* C BB miatt S * C: x + y = 6 CC + S * C = C & C _ i. C-t A -re tükrözve: B( 0). 6. A(- ) A-t F-re tükrözve B(7 -) x- 0y= N AC BD & n( -0) x - 0y =. & D _ 7 i y =. AD felezôpontja A O B-t A -re tükrözve: C(8 )

8 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól e + e = B(-6-6). S a BB szakasz B -hez közelebb esô harmadolópontja: B (6 9) B-t B -re tükrözve: D(8 ). ABCD paralelogramma AB CD m= & CD: x - y =-. y= x+ 8 BC + CD = C & C _ 0 8i x- y=-. BC felezôpontja A (- 6) AA harmadolópontja S. _ - i+ x $ 6+ y = = & A _ 0 i. N 67. A és B pontok koordinátái kielégítik az adott egyenes egyenletét: A( ) B O. + + c + + c = 9 N = 6& C O. AB = 8 BC = 98 AC = 8. AC _ 78 i AB_ - i AC $ AB = $ - 78 $ 8 = = 98 $ 78 $ cos a & a = 8. b = 60 c = B-t tükrözve a szögfelezô egyenesére B az AC egyenesére illeszkedik. BB : n( -) x y N - = N x - y =. & F - x+ y= O. BB felezôpontja F& B O. AB _ 6-7 i 7x 6y 9 N + = n(7 6) AB : 7x + 6y = 9. & C - - x+ y= O. x+ y= 69. & x- y=-8 C( 8) x+ z= x- y=-9 & B( 6) x- y=-8 x- y=-9 & & A(- ). Az ABC háromszög súlypontja és az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög súlypontja azonos. S 6 O. N - x+ y+ x- y+ 60. I. megoldás: Az egyenesek normálegyenlete: = 0 illetve = 0 - x+ y+ x- y+ = & y= x. II. megoldás. Az adott egyenesek és az x tengely meghatározzák az A( ) B(- 0) C( 0) háromszöget. Az A-tól induló szögfelezô AB : AC arányban osztja a BC szakaszt. AB : BC = : = : 6. B: A = : & (0 0) A: y = x. 6. ( 0) Q(0 -). 6. M( ) AM = egység. x+ y= 6 6. e + f: & x- y=-8 M 0 N - O 0 $ t $ = = t = = t = + = területegység. v e (- ) v f ( ). ~ = 76.

9 06 Az egyenes egyenletei 6. e + e A(-6-6). egyen ( -) az e egy pontja. Határozzuk meg Q-t úgy hogy H a Q -hez közelebbi harmadolópontja legyen. q + 6 q = 8-6 = 6& Q(8 ). Q ponton át írjuk fel az e -gyel párhuzamos g egyenes egyenletét: x - y =-. e + g = B y= x+ 8 c 0 & B _ 0 8i x- y=- BC szakasz C-hez közelebbi harmadolópontja H. + = 8 c + 8 = 6& C( 0) e : y= x- e : y= x- > $ - és > $ -. az e és az e fölött van tehát nincs a háromszögben e : y = x + e : y =-x + e : y=- x+ 6 c >c + és c > - c + és c < - c c> + c< - c> c< - - < c <. Így - < c < AB egyenlete y = 0. CD egyenlete x + yb- l = AB + CD: ( 0) A =. 68. AC + AE = A A(0 ). A-t tükrözve -ra: D( ). AC + CE = C C( 0) C-t tükrözve -ra F( 6). CE + AE = E E(6 ) E-t tükrözve -ra B(- ). 6$ 69. A háromszög csúcsai: A( 0) B(8 0) C( ). t ABC= = 9 területegység. Mindkét keletkezô kúp sugara magassága. Alkotója: a = + = = ra= 8 r területegység. = $ = 8r térfogategység. r $ a) e + e = M & x=- 7& x=- behelyettesítve: - + y + = 0 & 7 N & y=- M O e -ba behelyettesítve 7 N N $ ! 0 O 0 O ezért a három egyenesnek nincs közös pontja. b) e N + e = M M - O koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: = 0 a három egyenes közös pontja M. c) Mindhárom egyenes áthalad az M( ) ponton. d) Nincs közös pont. x y 6. e : y = x e : + = e 6 : x -y=- e + e = M M( ). M koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: - 6 =- így mindhárom egyenes áthalad az M ponton. 6. s a : x - y =-9 s b : x = C (- 6) CC (-6 ) n( ) s c : x + y = Mindhárom egyenes átmegy a háromszög S( ) súlypontján. 6. A ( 8 ) B( ) D ( 7) O(0 0) OA( 8 ) DB( - 6) OA $ DA = 8 8 OA = 80 = DB = 0 = 0. cos{ = = $ 0 0

10 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól 07 7 $ 0 $ 9 7 OA $ DB $ sin{ sin{ = - = = t = = = 8 te Q(x y) Q (- ) Q ( ). x- y= - 6. a) x+ y= M 7 N - 7 O. x- 8y=-. b) 8x - 7y = a) x - y = 6 x+ y= 0 & 9x + y =-6. b) x - y + 0 =0. 0 N c) - - O Q( 0) Q( 6 9) 9x- 6y= 8. x- y=- 67. & x y 9 M( 9) m 9 0& m. x- y=- - = = - + = = tg a - tg 68. y= x- & m= m = tg(a - c) m = tg(a + c) m= = + tg a $ tg tg a + tg m = = =- v - tg a $ tg - ( ) n = ( -) x - y =-0 v ( -) n = ( ) x + y = 0. x+ y= b b 6 b & y b 6& y x - x+ y= 6 + = + = + - b- 6 b+6 N =. O x+ y= b b b & 6x b & x y. x- y= + = + = + - = 6 6 b- 6 b+ N b 6 b Q = & Q = N + = 6 O 6 O b- N - bn b - N b - + = 6 O 6 O = 6 O =! b =!. 6 x- y= b b N x b - y= 0 b & y=- x+ b ` 8 O Q b b N &. b y=- x+ b ` O Q = & Q = & b a a bn b bn & b = & b =! 8. O 8 O 6. e :x-y = 6 f :x + y + 6 = 0. Az e egyenest tükrözzük az origóra. ( 0) az e egy pontja ennek az origóra vonatkozó tükörképe (- 0) n( -) x - y =-6. x y N + =- 6 6 N e + f : & M - x- y=-6 O OM - & n( 6) & x + 6y = 0. O 6. Tükrözzük az e egyenest -re. Az e egy pontja Q(0 ) Q (6-6). e : n( ) 7 N N Q(6 6) & x + y =-. e + f = M & M - M & n( -). 7 7 O 7 7 O n( -). A keresett egyenes: x - y = 87.

11 08 Az egyenes egyenletei 6. együnk fel az egyik egyenesen egy pontot a másik egyenesen olyan pontokat amelyekre a feltétel teljesül. A keresett egyenesek a illetve a egyenesekkel párhuzamos az adott ponton átmenô egyenesek. egyen (0 8) ekkor ( ) (- 7). ( - ) n( ) x + y = ( - - ) n( -) x - y =. 6. egyen (0 ) az e tetszôleges pontja. A feltételnek megfelelô e -n levô pontok: (- 7) ( ) A keresett -n áthaladó egyenesek párhuzamosak -vel illetve -mal. ( -) n( ) x + y = 6 ( -) n( ) x + y =. 6 illetve -nak az y tengelyre esô vetülete ahol az e egyenesre az e & & egyenesre illeszkedik. (- ) (8 0) ( ). ( -9 ) n ( 9) & x + 9y = 0 ( 6 ) & n ( -) & x - y =-. & 66. egyen (0 ) az e egyenes pontja (0 7) (-9 ) az e pontjai. ( 0 ) & & n( 0) x = ( 9 ) & n( -) x - y = egyen Q( 0) az egyik egyenes egy pontja. Q : Q = : & Q ( ). Q -en áthaladó az elôbbi egyenessel párhuzamos kimetszi a másik egyenesbôl az M pontot. n( -) x- y=- Q ( ) & x - y =-. - x+ y= & M ( ) M ( )& n( -) & x - y =. 68. egyen Q az e egyenes egy pontja. Meghatározzuk azt a Q pontot amelyre Q : Q = :. A Q -re illeszkedô e e egyenes egyenletét felírva meghatározzuk N e + f = M-et. A megoldás a M egyenes. Q( -) Q O e : n( ) & x + y =. 8x+ y= 7 e + f : & M (- ) x+ y= M( - )& n( ) x + y =. 69. A: S = :. 60. AB + DNl DNl: AB = D : B = : D = BD. AB + DN DN : AB = D : B = : D = BD. Hasonló módon kapjuk: B = BD BQ = BD. Így: Q = BD = BD& D : : Q: Q: B = : : : :

12 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól C(c9-c) ahol 0 < c < 9. R c - c N O Q c c N O c 9 - c N O ( ) M c c N 6 6 O N c c + - N c N 9 c c 8c. 6 6 O = N = O O c- 6 N c c 8c MN= + - N - + =. 6 O 6 O : MN= : = : AC:6x + y = 8 a keresett egyenes: y = m(x + 6). Ha x = 0 y = 6m & AE = 6-6m. 8-8m AC + e: 6x + m( x + 6) = 8& x =. T m + 6 ABC = T AED =. 8-8m 68 ( - m) T ( 6 6 = = - m) $ = &( 8- m) = ( m+ 6) & AED m + 6 m + 6 & m = m =. Mivel AE > 0 m = nem megoldás. e:x-y + = AC = 0. Bb- + l B b+ - l. 6. egyen a rögzített pont (a a) Írjuk fel a -n átmenô n(n n ) illetve m(m m ) normálvektorú egyenesek egyenletét. Innen: n+ n N A a 0 n O B n+ n N 0 a n O A m+ m N a 0 m O B m+ m N 0 a m O. m+ m n n n n m m A B egyenlete: x + + y = + $ + a m n n m n+ n m+ m n n m m A B egyenlete: x + y = + $ + a. Az elsô egyenletet n n m n m $ m -vel a második egyenletet n m -gyel beszorozva összeadjuk: x + y = m(x- ) + (y - ) = 0 akkor teljesül minden m-re ha x - = 0 és y - = 0. Így N O. 66. Átalakítva az egyenletet: (x - y )m + (x - 6y - )m + (x - y + ) = 0. Minden valós m-re akkor igaz ha van olyan (x y) számpár amely kielégíti a következô egyenletet: N x - y = 0 x - 6y - = 0 x - y + = 0. Ez a - O Az átfogóhoz tartozó magasság egyenlete: x = 0. CB = OB -OC 90c-os elforgatottja BD( c b). & OD = OB + BD OD ( b + c b) D(b + c b). Hasonlóan: OE( a-c - a) Ea ( -c - a) AD( b+ c- a b) n(b a - b - c) AD: bx + (a - b - c) y = ab. BE( a-b-c -a) n(a a - b - c) BE: ax + (a - b - c)y = = ab. A két egyenletet kivonva egymásból: x = 0 (a =Y b).

13 0 Az egyenes egyenletei 68. a) b) c) d) e) f) 68. a) Ha (x y) kielégíti akkor a (-x y) (x -y) (-x -y) is kielégíti így az ábra mindkét tengelyre és az origóra is szimmetrikus x $ 0 y $ 0 & x + y =. b) qxu- qyu= 0 qxu- qyq= =-. c) Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0. qxu- = 0 q yu- = 0 x =! y =!. d) e) Ha q xu + q yu # -re v(- -) vektorú eltolást alkalmazunk kapjuk a megoldást. f) Elegendô az elsô negyedet vizsgálni mert pl. (-x y)-ra -x- + - x+ + y = x+ + x- + y. Ha x $ és y $ 0 x - + x + + y # & & x + y #. Ha 0 # x # és y $ 0 - x + x + + y # & y #. & 69. a) x $ + y $ x - b) y$ - x+ y$ x+ ( x< + - x+ $ y+ y$ ) ( < x+ # y# x+ ) c) y # x + y # - x & x # 0 y # x x > 0 y # - x 69. a) b) c)

14 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól d) e) f) g) h) i) N d) y> - x+ + y< x- M x> 7 7 O és - x+ < y< x N 6 e) y> - x+ + y< x+ M x> O és - x+ < y< x+ 7 f) x# + x- < y< < x< + x-< y< - x+. g) A szorzat értéke pozitív ha mindkét tényezô pozitív vagy mindkét tényezô negatív y $ + y # x - y # + y $ x -. Ebbôl: x # 6 + x - # y # vagy x >6+ <y # x h) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y # + y $ - x + y $ + y # - x +. Ebbôl: x# + # y#- x+ x> + - x+ # y#. i) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y# x-+ y# - x+ vagy y$ x-+ y$ - x+.eb- bôl ha x # akkor y # x - y $ -x + ha x > akkor y # - x + y $ x y $ - x + 6 y$ - x+ y $ x $ 0 k = x + 6y x+ 6y= 0& y=- x. k minimális ha az el 6 egyenes áthalad a ( ) ponton. Ekkor k = $ + 6 $ =.

15 Az egyenes egyenletei egyen x darab az A típusú szendvicsbôl y db a B típusúból. Ekkor x + y # 0 x + y # 00 x + y # 00 x y + # 0 x $ 0 y $ 0. eressük az x + y = d maximumát. Az egyenesek metszéspontjai: _ x+ y= 0 b x y & x= 0 y= 0 + = 0 ` b a x+ y= 0 80 & x y 0 x+ y= 00 = =. Az x + y = 0 egyenessel párhuzamos egyenest legfeljebb a D pontig tolhatjuk. Így d max = = Ha az A típusú ruha elkészítéséhez x perc a B típusúéhoz y perc kell akkor x $ 0 y $ 0 x + y # 0 x + y # 0 x # 80. a) 600x + 00y = a maximális ha x = 80 y = 60 a max = Ft b) 00x + 000y = b maximális ha x = 0 y = 00 b max = Ft c) 600x + 00y = a és x + y = c maximális ha x = 80 y = 60. Mindhárom követelményt egyszerre kielégítô program nem létezik. 66. egyen x db A típusú y db B típusú munkadarab. Ekkor 0 # x # 0 # y # 0 x + y # 00 x + y # 60. A nyereség: 0x + 00y = a maximális ha x = 0 y = 0. A maximális nyereség: a) Állítsuk elô az adott egyeneseket paraméteres alakban. Az elsô egyenletbôl x = + t y =- + t z = + t. A második egyenes paraméteres egyenlete: x =- + t y =- z =-. A két egyenes pontosan akkor metszi egymást ha létezik olyan t és t amelyre a + t=- + t *- + t=- egyenletrendszernek van megoldása. + t=-. A harmadik egyenletbôl t =- a második egyenletbôl t = 0 tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása. A két egyenes kitérô. b) A paraméteres egyenletrendszerekbôl 8 - t = + t + t = - t t =- - t. A felírt egyenletrendszernek van megoldása: t = t =-8. A két egyenes metszi egymást. Az M metszéspont koordinátái: x =- y = 8 z =. c) A két egyenes kitérô. 66. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + t y =- + t z = t. Innen leolvashatjuk az egyenes irányvektorának koordinátáit: v( ). A sík normálvektorának koordinátái: n( - ). n $ v = =Y 0 az egyenes nem párhuzamos a síkkal tehát metszi a síkot. t-re felírhatjuk a következô egyenletet: (+t) - (- + t) + (t) = 0. Innen t =-. Az egyenes a síkot az M(- - -) pontban metszi.

16 árhuzamos és merôleges egyenesek 666. Az egyenes a síkot az M( 9-7) koordinátájú pontban metszi a) Az adott síkok normálvektorai n ( - ) n ( - ) nem párhuzamosak azért a síkok sem párhuzamosak tehát van metszésvonaluk. A metszésvonal v irányvektora merôleges mindkét sík normálvektorára azért v-nek választhatjuk a normálvektorok vektoriális szorzatát. n # n =-i-8j-k a v vektor koordinátái: (- -8 -) vagy v(- - -). A metszésvonal egyik pontját úgy kapjuk meg ha keresünk olyan pontot amelynek koordinátái mindkét sík x- y= egyenletét kielégítik. egyen például a z = 0. Akkor ( Innen x = y =. b) A metszésvonal irányvektora: v(- - -) egyik pontja: ( 0). A metszésvonal paraméteres x- y= 0. y egyenlete: x = - t y = - t z =-t innen - x = - =- z Oldjuk meg az adott síkok egyenleteibôl álló egyenletrendszert N M O. árhuzamos és merôleges egyenesek 669. a) n ( ) n ( ) & párhuzamosak b) párhuzamosak c) n ( ) n (- ) n $ n = 0 & merôlegesek d) n b l n b l n $ n = 0 & merôlegesek - e) m =- m =- & párhuzamosak f) m =- m = m $ m =- & merôlegesek g) n ( -) n (8-0) n = $ n & párhuzamosak h) n ( -6) n ( 0) n $ n = 0 &&merôlegesek a) p = 8 a = 76. b) p! 6 a =! c) p =- a = 8. 0 d) p =- a =. e) p= p=-. = a a =-. b b b+ b b b 67. m=- m = m m m m a a =- = = & =. a + a a a a + a m=- m=. A két egyenes párhuzamos ha m a + b + a+ b- = m és a + - =Y - és a + b +! 0 a + b -! 0 & - =Y a + b + a + b - a+ b+ a + = Y & a =- b! R\ *- 6 vagy b=- ( a+ ) ahol a! R\ * továbbá a + b - ha a + b + = 0 a+ b- = 0 a b & = =-. Egybeesik a két egyenes ha a =- b =. 67. a) p =- b) $ (- p) =- & p= c) p=- d) n (p + - p) n (p - p + ) n $ n = (p + )(p - ) + ( - p)(p + ) = 0 & p = 0 p = e) p.