= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;"

Átírás

1 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $ b =Y 0-val & x y & + =. a b. a = y= x+ 7 y= x+ 7 y =-x + 7 y = 7.. a) n( ) (0 ) v(- ) tga =- a = -687 b) n( -) ( 0) v( ) tg a = a = 796 c) n( -) ( 0) v( ) tga = a = d) n b - l (0 -) a =60 e) x + y = n( ) ( 0) a = -687 f) n( 0) ( 0) a =90 g) n(0 ) (0 -) a =0 6. a) 7-6 = rajta van b) $ - =Y nincs az egyenesen c) rajta van d) egyik sincs rajta e) a(- 0) (7 6) (0 8) pontok rajta vannak. 7. koordinátáit az egyenes egyenletébe helyettesítve = a & a =-. 8. a)! e & a + b =! e 7a+ b= a b & =- = b) a= b=- 7 ca ) = 0 b=. 9. A feltétel szerint y = x & x + = 0 x = - (- -). 0 N 0. y=. O. ( ) (- -) (- -).. (x 6) (x -6) x + 8 = 6 & x =- x - 8 = 6 & x = 6 (- 6) (6-6). a. bx + ay = ab b+ a= ab& b= a =Y. a -. Az átlók egyenlete: x = 0 y = 0. A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) x! y = 0 x! y =-0. A( 0) B (0 ) C (- 0) D (0 -) & x! y = 0 illetve x! y =-0.. Húzzuk meg az egyeneseket az adott pontokon át. a) A( 0) B (0 ) b) ( 0) (0 ) N c) 0 O (0 ) d) ( 0) (0 ) e) ( 0) (0 8) f) ( 0) (0 ) g) (0 0) (0-8) a) t = területegység b) t = c) területegység N 7 N 7. n ( ) F ( 9) a felezô merôleges egyenlete: x + y = 7 0 Q 0. O O 8. Az ABC háromszög középvonalainak egyenesei felelnek meg. A (9 -) B ( ) C ( -) x + 8y = 9 B C ( -6) x + y = x - y = Ha x = 0 y = ezért a legtávolabbi pont ordinátája lehet. x<00 miatt x = 0 (0 ). 60. y= x. Ha x! R akkor y irracionális.

2 Az egyenes egyenletei 99 x y 6. Az A(a 0) B (0 b) pontokon átmenô egyenes egyenlete + = & + = a b a b b & b+ a= ab a= = + b lehetséges értékei: 7. b - b - b = a =-8 b = a = 0 b = 7 a = 7 x - y =-8 x + y = 0 x + y = A-ból induló szögfelezô: 7x+ y= 7. C-bôl induló szögfelezô: b + l x+ b + l y= + 8. & B-bôl: b - l x+ b + l y= Tükrözzük az A pontot az y tengelyre A (- ). A + B = A + B ami akkor lesz N minimális ha az A B egyenesen van. AB (8-7) n(7 8) 7x + 8y = 0 x = 0 & 0 O. 6. Tükrözzük az A-t az x tengelyre. Az A ( ) pontot kapjuk. A C + CB = AC + CB minimális ha C az A B-n van. AB ( ) n( -) x - y = y = 0 C( 0). 6. B csúcsot az x tengelyre tükrözve Bl-t kapjuk. Bl az AC oldalegyenesre illeszkedik. Bl( ) AB( ) n( -) x - y =- y = 0 C(- 0). 66. Az adott egyenes egy pontját ( -)-t eltolva Q(8 -) n( -) & x - y = _ x+ i + y -<_ x- i + _ y- 6i F = 0 & x+ y=. 68. Tükrözzük az y tengelyt a pontra & x = 6. Q(6 0). Q( -7) n(7 ) & 7x - y =. x y = & - = & 6b- a= 6 b = + a = b -l. a b a b x y = & + = és ab a b a b &b - 6b + 6 = 0. b = a = b = a =. Innen: x + y = illetve x + 9y =. 7. y = x ha x! [ ] y =-x ha x! [- -] illetve N 7. 0 O. 7. a) y= x-. A keresett egyenes egy pontja (0 -) m =- y=- x-. x + b) Tükrözzük pl. a ( ) pontot C-re. = & x =- y = 0 & l(- 0). Mivel ele x - y = -6. = 8. b + a = ab & b + a = 6 & b(6 - b) = 6 & 7. e: y - = m(x - 7) ha x =- & y = - 8m F(- - 8m). Az e egyenes x tengelyre esô pontja Q N m O. F a Q felezôpontja m =- & m = & & e: x - y + 9 = 0.

3 00 Az egyenes egyenletei 7. ABb- l n b l AB: x + y = 6. DE AB x + y =- 6 BC: y = EF: y =- DC b l n b - l x- y=- 6 FA DC: x - y = 6. 9 N 7. a) A O B N O C ( ). A súlyvonalak egyenlete: AA 7 N - O n(7 ). s a :7x + y = 7 s b : x - 9y + 8 = 0 s c : x + y = 0. A középvonalak: AB_ - -6i n( -) 7 N x- y= + = x + 7y = 8 x + y = b) A ( -) B - O N C - - O. A súlyvonalak: 7x - y = x - 6y = 8 x + y =-6 A középvonalak: x - 6y = 9 9x + y =-7 x + 0y =. 76. a) ( -9) Q(7 6) R( -). R_ i RQ_ 0i RQ = $ R ezért egy egyenesen vannak. b) R a Q egyenesen van. a- b a+ b 77. v (b - a a - b) v (a - b -b - a). =- & a= b. b- a a - b 78. e l BC BC_ i& n _ - i e :x-y = - BC: x - y - =0 $ -6- d A= = = _. m i. Az ábrán látható derékszögû háromszögek egybevágósága miatt e is megfelel. F( ) AF_ - i n( ) & e : x + y = d= d = + - = = _. 6 mi A b-6 -l B b6 - l. A száregyenesek: y=! x k á 7 egység. m b = 6 egység így tga = a = tgc = c = 06 b = Tükrözzük B-t az x tengelyre: B (- -). B A_ 7 7i n( -) a beesô fénysugár x - y =. ( 0) B_ - i n( ) a visszavert fénysugár x + y =. 8. c =- arányú O középpontú hasonlóság a B ( -) pontot A-ba viszi. (0 0). 8. Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0. y= x vagy y = x + vagy y= x+ egyenesek pontjai elégítik ki a feltételt.

4 Az egyenes egyenletei 0 8. Egyenespárt akkor kaphatunk ha a bal oldal két lineáris kifejezés szorzata. Ha m = akkor (x + y) - (x + y) - = 0 ahonnan (x + y - )(x + y - ) = 0 tehát x + y = vagy x + y =. 8. a) n ( -) n ( -) n $ n = + = 7 n = n = 7= n$ n 7 = $ cos_ n$ ni& cos~ = cosn$ n = = & ~ = 9 7 n $ n $ b) 9 c) d) 6 e) 90 f) 787. g) n (A B ) n (A B ) n = A + B A A+ BB n = A + B n $ n = A A + B B cos~ =. A + B $ A + B 86. AC felezôpontja F ( ) BD felezôpontja F ( ) ezért a négyszög paralelogramma. AC_ 8 8i& n_ - 9i BD_ - 8i& n_ i n = 97 n = n $ n = cos~ = & ~ = 7 6. $ Ha az egyenesek irányszöge a és b a két egyenes hajlásszöge { = a - b m = tg a m- m m- m m = tg b. tg{ = tg_ a- b i = & tg~=. + mm + mm 88. a) a = 8 b = c = 08. b) a = 676 b = 0 c = ~ = ~ = tga = tg b =- tg -- ~ = =. { = b - ~ tg { = = y = x tga = m tg 9 7 & x y 9 = _ a + i = = 7 - = m tg 9 7 = _ a - i = =- & x+ 7y= tg a =- tg_ a + 60 i = = - = tg_ a - 60 i = = +. y= b+ l x- -6 illetve - y= b- l x a) ~ = 7. b) 6.

5 0 Az egyenes egyenletei 9. m = m =- m = m + =-. tg e e 9 _ i = =- - $ + tg e e 9 _ i = =. tg(a + c) = 0 & a + c = Ha a csúcsok egész koordinátájú pontok akkor az oldal négyzete: a pozitív egész a & t = irracionális. Másrészt a háromszög befoglalható olyan téglalapba amelynek oldalai a koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak csúcsai egész számok így területe is egész. A téglalapnak a szabályos háromszögön kívüli részeinek területe racionális számok így a szabályos háromszög területe is racionális lenne ami ellentmondás. Így nem lehet minden csúcs egész koordinátájú. 97. x = + t y = 7 - t. 98. A (0 i j k) koordináta-rendszerben az egyenes egyenletét egyértelmûen meghatározza egy adott 0 (x 0 y 0 z 0 ) pontja és egy v(a b c) irányvektora. Egy (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a 0 ponton átmenô v irányvektorú egyenesre ha 0 = r - r 0 vektor ahol r a pont és r 0 a 0 pont helyvektora párhuzamos a v vektorral. Ennek szükséges és elégséges feltétele hogy r - r 0 = mv legyen ahol m! R. Innen r = r 0 + mv. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = x 0 + ma y = y 0 + mb z = z 0 + mc. a) x = + m y =- + m z = - m b) x = m y = m z =-m c) x = y = + m z = + m d) x = 7 y =- z = + m. 99. a) v( - ) A( -). x = + m y = -m z =- + m b) v(- - ) A(0 ). x =-m y = - m z = + m a) A 0 ( - 7) pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + m y =- + m z = 7 + 6m. v( 6). b) 0 (0 - ) v( 7 ) c) 0 (0 0 0) v( ). + y z = és =. 0 ( ). 60. A hajlásszög az irányvektorok hajlásszögével egyenlô. v ( ) v ( ). 6 v $ v = qv q $ qv q cos { cos{ = + + { = 96. $ egyen az s sík egy adott pontja 0 (x 0 y 0 z 0 ) a 0 helyvektora r 0. egyen a sík egyik normálvektora n(a B C) (n nem nullvektor!) 0 és n a síkot egyértelmûen meghatározzák. Az r helyvektorú (x y z) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a síkra ha r - r 0 vektor merôleges az n vektorra. Ekkor n(r - r 0 ) = 0. A felírt skaláris szorzatot kifejezhetjük az n vektor és az r - r 0 vektor (x - x 0 y - y 0 z - z 0 ) koordinátáival: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + + C(z - z 0 ) = 0. Innen Ax + By + Cz + D = 0 ahol D =-(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ). a) A = B =- C = x 0 = y 0 = x 0 =-7. x - y + z + 8 = 0. b) x + y + z - 9 = ( ) n(0 0 ) z - = 0.

6 Az egyenes egyenletei Elôször meg kell határozni például az A( 0 ) B( -) D( - ) nem egy egyenesre illeszkedô pontok által kifeszített síkot. épezzük az AB_ - i és az AD_ - i vektorok vektoriális szorzatát. (álasszuk egyszerûség kedvéért az AB vektorral egyirányú ( -) koordinátájú vektort és az AD vektorral egyirányú ( - ) koordinátájú vektort.) Ekkor # = 0$ i-j- k. Tehát az ABD síkra merôleges egyik nor- AB AD málvektor koordinátáit: (0 - -) illetve (0 - -). Az ABD sík egyenlete az A( 0 ) pont és az n(0 - -) normálvektor segítségével felírható: y + z =. Ezt az egyenletet a C csúcs koordinátái is kielégítik mert 0 $ = igaz egyenlôség a) n( -) (- 0) b) n( - 0) (0 z) z! R c) n(6 0 0) vagy N például n*( 0 0) y z 6 O y z! R a) A sík normálvektora lehet az AB vektor AB_ - - 0i a sík egyik pontja az AB szakasz felezôpontja: F(0 0 ). A sík egyenlete: x + y = 0. b) n(-8-6 -) vagy n*( ) a felezôpont F(- ). A sík egyenlete: x + y + z = AB_ 7 - -i AC _- -6 -i. n = AB # AC n(- -6) mert a # b = (a b - a b )i + (a b - a b )j + (a b - a b )k. Itt a = 7 a =- a =- b = - b =-6 b =-. A sík egyenlete: -x + y - 6z =. A D( z) pontra z = innen z = Az egyenesnek a síkkal bezárt szögét azzal a { szöggel mérjük amelyet az egyenes a síkra esô merôleges vetületével bezár. (609. ábra). Az ábra szerint látjuk hogy ez a { szög az egyenes irányvektorának (v-nek) és a sík normálvektorának (n-nek) a segítségével kiszámítható! { = 90 - ~ (609/I.) ábra) ahol ~ a v és az n vektorok hajlásszöge. ~-t az n $ v skaláris szorzattal határozzuk meg. n( 7) v( ) n = 78 v = 9 0 n $ v = = 0 másrészt n$ v= 78 $ 9 cos~. Innen cos~ =. 78 $ 9 ~ = 7 { = 78. Ha cos ~ < 0 akkor az (609/II.) ábra szerint ~*-gal számolunk. 609/I. 609/II.

7 0 Az egyenes egyenletei ét egyenes metszéspontja. ont távolsága egyenestôl síktól N 60. a) (- ) b) ( 8) c) O d) N - O e) ( ) f) (- ) 6 6 N g) O h) ( ) i) x bc - bc ac - ac a b a b c = y = ha =Y. Ha = =Y ab - ab ab - ab a b a b c a b c akkor nincs megoldás. Ha = = akkor végtelen sok közös pont van. a b c 6. a) B _- i A_ - i C( ) 8 N b) - O 7 N O 6 N O c) N N O O 60 0 N O. 0 N 6. AC + CC & C _ - 6i AC + AA& A_ 8i AA+ CC& S 0 O. + b b- 6 = & b=- = 0& b =- B _- -i. b 6. AB + AC = A A( ) AC + CC = C C( ) CC + AB = C C ( ) + = b + = B( 8) BC: x - y =. N 6. BB+ CC= S& S O. AA harmadolópontja: S. A ( ). Tükrözzük S-t A -re: 6 N S* O S* C BB miatt S * C: x + y = 6 CC + S * C = C & C _ i. C-t A -re tükrözve: B( 0). 6. A(- ) A-t F-re tükrözve B(7 -) x- 0y= N AC BD & n( -0) x - 0y =. & D _ 7 i y =. AD felezôpontja A O B-t A -re tükrözve: C(8 )

8 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól e + e = B(-6-6). S a BB szakasz B -hez közelebb esô harmadolópontja: B (6 9) B-t B -re tükrözve: D(8 ). ABCD paralelogramma AB CD m= & CD: x - y =-. y= x+ 8 BC + CD = C & C _ 0 8i x- y=-. BC felezôpontja A (- 6) AA harmadolópontja S. _ - i+ x $ 6+ y = = & A _ 0 i. N 67. A és B pontok koordinátái kielégítik az adott egyenes egyenletét: A( ) B O. + + c + + c = 9 N = 6& C O. AB = 8 BC = 98 AC = 8. AC _ 78 i AB_ - i AC $ AB = $ - 78 $ 8 = = 98 $ 78 $ cos a & a = 8. b = 60 c = B-t tükrözve a szögfelezô egyenesére B az AC egyenesére illeszkedik. BB : n( -) x y N - = N x - y =. & F - x+ y= O. BB felezôpontja F& B O. AB _ 6-7 i 7x 6y 9 N + = n(7 6) AB : 7x + 6y = 9. & C - - x+ y= O. x+ y= 69. & x- y=-8 C( 8) x+ z= x- y=-9 & B( 6) x- y=-8 x- y=-9 & & A(- ). Az ABC háromszög súlypontja és az oldalfelezô pontok által meghatározott háromszög súlypontja azonos. S 6 O. N - x+ y+ x- y+ 60. I. megoldás: Az egyenesek normálegyenlete: = 0 illetve = 0 - x+ y+ x- y+ = & y= x. II. megoldás. Az adott egyenesek és az x tengely meghatározzák az A( ) B(- 0) C( 0) háromszöget. Az A-tól induló szögfelezô AB : AC arányban osztja a BC szakaszt. AB : BC = : = : 6. B: A = : & (0 0) A: y = x. 6. ( 0) Q(0 -). 6. M( ) AM = egység. x+ y= 6 6. e + f: & x- y=-8 M 0 N - O 0 $ t $ = = t = = t = + = területegység. v e (- ) v f ( ). ~ = 76.

9 06 Az egyenes egyenletei 6. e + e A(-6-6). egyen ( -) az e egy pontja. Határozzuk meg Q-t úgy hogy H a Q -hez közelebbi harmadolópontja legyen. q + 6 q = 8-6 = 6& Q(8 ). Q ponton át írjuk fel az e -gyel párhuzamos g egyenes egyenletét: x - y =-. e + g = B y= x+ 8 c 0 & B _ 0 8i x- y=- BC szakasz C-hez közelebbi harmadolópontja H. + = 8 c + 8 = 6& C( 0) e : y= x- e : y= x- > $ - és > $ -. az e és az e fölött van tehát nincs a háromszögben e : y = x + e : y =-x + e : y=- x+ 6 c >c + és c > - c + és c < - c c> + c< - c> c< - - < c <. Így - < c < AB egyenlete y = 0. CD egyenlete x + yb- l = AB + CD: ( 0) A =. 68. AC + AE = A A(0 ). A-t tükrözve -ra: D( ). AC + CE = C C( 0) C-t tükrözve -ra F( 6). CE + AE = E E(6 ) E-t tükrözve -ra B(- ). 6$ 69. A háromszög csúcsai: A( 0) B(8 0) C( ). t ABC= = 9 területegység. Mindkét keletkezô kúp sugara magassága. Alkotója: a = + = = ra= 8 r területegység. = $ = 8r térfogategység. r $ a) e + e = M & x=- 7& x=- behelyettesítve: - + y + = 0 & 7 N & y=- M O e -ba behelyettesítve 7 N N $ ! 0 O 0 O ezért a három egyenesnek nincs közös pontja. b) e N + e = M M - O koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: = 0 a három egyenes közös pontja M. c) Mindhárom egyenes áthalad az M( ) ponton. d) Nincs közös pont. x y 6. e : y = x e : + = e 6 : x -y=- e + e = M M( ). M koordinátáit e egyenletébe helyettesítve: - 6 =- így mindhárom egyenes áthalad az M ponton. 6. s a : x - y =-9 s b : x = C (- 6) CC (-6 ) n( ) s c : x + y = Mindhárom egyenes átmegy a háromszög S( ) súlypontján. 6. A ( 8 ) B( ) D ( 7) O(0 0) OA( 8 ) DB( - 6) OA $ DA = 8 8 OA = 80 = DB = 0 = 0. cos{ = = $ 0 0

10 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól 07 7 $ 0 $ 9 7 OA $ DB $ sin{ sin{ = - = = t = = = 8 te Q(x y) Q (- ) Q ( ). x- y= - 6. a) x+ y= M 7 N - 7 O. x- 8y=-. b) 8x - 7y = a) x - y = 6 x+ y= 0 & 9x + y =-6. b) x - y + 0 =0. 0 N c) - - O Q( 0) Q( 6 9) 9x- 6y= 8. x- y=- 67. & x y 9 M( 9) m 9 0& m. x- y=- - = = - + = = tg a - tg 68. y= x- & m= m = tg(a - c) m = tg(a + c) m= = + tg a $ tg tg a + tg m = = =- v - tg a $ tg - ( ) n = ( -) x - y =-0 v ( -) n = ( ) x + y = 0. x+ y= b b 6 b & y b 6& y x - x+ y= 6 + = + = + - b- 6 b+6 N =. O x+ y= b b b & 6x b & x y. x- y= + = + = + - = 6 6 b- 6 b+ N b 6 b Q = & Q = N + = 6 O 6 O b- N - bn b - N b - + = 6 O 6 O = 6 O =! b =!. 6 x- y= b b N x b - y= 0 b & y=- x+ b ` 8 O Q b b N &. b y=- x+ b ` O Q = & Q = & b a a bn b bn & b = & b =! 8. O 8 O 6. e :x-y = 6 f :x + y + 6 = 0. Az e egyenest tükrözzük az origóra. ( 0) az e egy pontja ennek az origóra vonatkozó tükörképe (- 0) n( -) x - y =-6. x y N + =- 6 6 N e + f : & M - x- y=-6 O OM - & n( 6) & x + 6y = 0. O 6. Tükrözzük az e egyenest -re. Az e egy pontja Q(0 ) Q (6-6). e : n( ) 7 N N Q(6 6) & x + y =-. e + f = M & M - M & n( -). 7 7 O 7 7 O n( -). A keresett egyenes: x - y = 87.

11 08 Az egyenes egyenletei 6. együnk fel az egyik egyenesen egy pontot a másik egyenesen olyan pontokat amelyekre a feltétel teljesül. A keresett egyenesek a illetve a egyenesekkel párhuzamos az adott ponton átmenô egyenesek. egyen (0 8) ekkor ( ) (- 7). ( - ) n( ) x + y = ( - - ) n( -) x - y =. 6. egyen (0 ) az e tetszôleges pontja. A feltételnek megfelelô e -n levô pontok: (- 7) ( ) A keresett -n áthaladó egyenesek párhuzamosak -vel illetve -mal. ( -) n( ) x + y = 6 ( -) n( ) x + y =. 6 illetve -nak az y tengelyre esô vetülete ahol az e egyenesre az e & & egyenesre illeszkedik. (- ) (8 0) ( ). ( -9 ) n ( 9) & x + 9y = 0 ( 6 ) & n ( -) & x - y =-. & 66. egyen (0 ) az e egyenes pontja (0 7) (-9 ) az e pontjai. ( 0 ) & & n( 0) x = ( 9 ) & n( -) x - y = egyen Q( 0) az egyik egyenes egy pontja. Q : Q = : & Q ( ). Q -en áthaladó az elôbbi egyenessel párhuzamos kimetszi a másik egyenesbôl az M pontot. n( -) x- y=- Q ( ) & x - y =-. - x+ y= & M ( ) M ( )& n( -) & x - y =. 68. egyen Q az e egyenes egy pontja. Meghatározzuk azt a Q pontot amelyre Q : Q = :. A Q -re illeszkedô e e egyenes egyenletét felírva meghatározzuk N e + f = M-et. A megoldás a M egyenes. Q( -) Q O e : n( ) & x + y =. 8x+ y= 7 e + f : & M (- ) x+ y= M( - )& n( ) x + y =. 69. A: S = :. 60. AB + DNl DNl: AB = D : B = : D = BD. AB + DN DN : AB = D : B = : D = BD. Hasonló módon kapjuk: B = BD BQ = BD. Így: Q = BD = BD& D : : Q: Q: B = : : : :

12 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól C(c9-c) ahol 0 < c < 9. R c - c N O Q c c N O c 9 - c N O ( ) M c c N 6 6 O N c c + - N c N 9 c c 8c. 6 6 O = N = O O c- 6 N c c 8c MN= + - N - + =. 6 O 6 O : MN= : = : AC:6x + y = 8 a keresett egyenes: y = m(x + 6). Ha x = 0 y = 6m & AE = 6-6m. 8-8m AC + e: 6x + m( x + 6) = 8& x =. T m + 6 ABC = T AED =. 8-8m 68 ( - m) T ( 6 6 = = - m) $ = &( 8- m) = ( m+ 6) & AED m + 6 m + 6 & m = m =. Mivel AE > 0 m = nem megoldás. e:x-y + = AC = 0. Bb- + l B b+ - l. 6. egyen a rögzített pont (a a) Írjuk fel a -n átmenô n(n n ) illetve m(m m ) normálvektorú egyenesek egyenletét. Innen: n+ n N A a 0 n O B n+ n N 0 a n O A m+ m N a 0 m O B m+ m N 0 a m O. m+ m n n n n m m A B egyenlete: x + + y = + $ + a m n n m n+ n m+ m n n m m A B egyenlete: x + y = + $ + a. Az elsô egyenletet n n m n m $ m -vel a második egyenletet n m -gyel beszorozva összeadjuk: x + y = m(x- ) + (y - ) = 0 akkor teljesül minden m-re ha x - = 0 és y - = 0. Így N O. 66. Átalakítva az egyenletet: (x - y )m + (x - 6y - )m + (x - y + ) = 0. Minden valós m-re akkor igaz ha van olyan (x y) számpár amely kielégíti a következô egyenletet: N x - y = 0 x - 6y - = 0 x - y + = 0. Ez a - O Az átfogóhoz tartozó magasság egyenlete: x = 0. CB = OB -OC 90c-os elforgatottja BD( c b). & OD = OB + BD OD ( b + c b) D(b + c b). Hasonlóan: OE( a-c - a) Ea ( -c - a) AD( b+ c- a b) n(b a - b - c) AD: bx + (a - b - c) y = ab. BE( a-b-c -a) n(a a - b - c) BE: ax + (a - b - c)y = = ab. A két egyenletet kivonva egymásból: x = 0 (a =Y b).

13 0 Az egyenes egyenletei 68. a) b) c) d) e) f) 68. a) Ha (x y) kielégíti akkor a (-x y) (x -y) (-x -y) is kielégíti így az ábra mindkét tengelyre és az origóra is szimmetrikus x $ 0 y $ 0 & x + y =. b) qxu- qyu= 0 qxu- qyq= =-. c) Szorzat akkor és csak akkor 0 ha valamelyik tényezôje 0. qxu- = 0 q yu- = 0 x =! y =!. d) e) Ha q xu + q yu # -re v(- -) vektorú eltolást alkalmazunk kapjuk a megoldást. f) Elegendô az elsô negyedet vizsgálni mert pl. (-x y)-ra -x- + - x+ + y = x+ + x- + y. Ha x $ és y $ 0 x - + x + + y # & & x + y #. Ha 0 # x # és y $ 0 - x + x + + y # & y #. & 69. a) x $ + y $ x - b) y$ - x+ y$ x+ ( x< + - x+ $ y+ y$ ) ( < x+ # y# x+ ) c) y # x + y # - x & x # 0 y # x x > 0 y # - x 69. a) b) c)

14 ét egyenes metszésponja. ont távolsága egyenestôl síktól d) e) f) g) h) i) N d) y> - x+ + y< x- M x> 7 7 O és - x+ < y< x N 6 e) y> - x+ + y< x+ M x> O és - x+ < y< x+ 7 f) x# + x- < y< < x< + x-< y< - x+. g) A szorzat értéke pozitív ha mindkét tényezô pozitív vagy mindkét tényezô negatív y $ + y # x - y # + y $ x -. Ebbôl: x # 6 + x - # y # vagy x >6+ <y # x h) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y # + y $ - x + y $ + y # - x +. Ebbôl: x# + # y#- x+ x> + - x+ # y#. i) Szorzat értéke negatív ha tényezôi ellenkezô elôjelûek: y# x-+ y# - x+ vagy y$ x-+ y$ - x+.eb- bôl ha x # akkor y # x - y $ -x + ha x > akkor y # - x + y $ x y $ - x + 6 y$ - x+ y $ x $ 0 k = x + 6y x+ 6y= 0& y=- x. k minimális ha az el 6 egyenes áthalad a ( ) ponton. Ekkor k = $ + 6 $ =.

15 Az egyenes egyenletei egyen x darab az A típusú szendvicsbôl y db a B típusúból. Ekkor x + y # 0 x + y # 00 x + y # 00 x y + # 0 x $ 0 y $ 0. eressük az x + y = d maximumát. Az egyenesek metszéspontjai: _ x+ y= 0 b x y & x= 0 y= 0 + = 0 ` b a x+ y= 0 80 & x y 0 x+ y= 00 = =. Az x + y = 0 egyenessel párhuzamos egyenest legfeljebb a D pontig tolhatjuk. Így d max = = Ha az A típusú ruha elkészítéséhez x perc a B típusúéhoz y perc kell akkor x $ 0 y $ 0 x + y # 0 x + y # 0 x # 80. a) 600x + 00y = a maximális ha x = 80 y = 60 a max = Ft b) 00x + 000y = b maximális ha x = 0 y = 00 b max = Ft c) 600x + 00y = a és x + y = c maximális ha x = 80 y = 60. Mindhárom követelményt egyszerre kielégítô program nem létezik. 66. egyen x db A típusú y db B típusú munkadarab. Ekkor 0 # x # 0 # y # 0 x + y # 00 x + y # 60. A nyereség: 0x + 00y = a maximális ha x = 0 y = 0. A maximális nyereség: a) Állítsuk elô az adott egyeneseket paraméteres alakban. Az elsô egyenletbôl x = + t y =- + t z = + t. A második egyenes paraméteres egyenlete: x =- + t y =- z =-. A két egyenes pontosan akkor metszi egymást ha létezik olyan t és t amelyre a + t=- + t *- + t=- egyenletrendszernek van megoldása. + t=-. A harmadik egyenletbôl t =- a második egyenletbôl t = 0 tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása. A két egyenes kitérô. b) A paraméteres egyenletrendszerekbôl 8 - t = + t + t = - t t =- - t. A felírt egyenletrendszernek van megoldása: t = t =-8. A két egyenes metszi egymást. Az M metszéspont koordinátái: x =- y = 8 z =. c) A két egyenes kitérô. 66. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = + t y =- + t z = t. Innen leolvashatjuk az egyenes irányvektorának koordinátáit: v( ). A sík normálvektorának koordinátái: n( - ). n $ v = =Y 0 az egyenes nem párhuzamos a síkkal tehát metszi a síkot. t-re felírhatjuk a következô egyenletet: (+t) - (- + t) + (t) = 0. Innen t =-. Az egyenes a síkot az M(- - -) pontban metszi.

16 árhuzamos és merôleges egyenesek 666. Az egyenes a síkot az M( 9-7) koordinátájú pontban metszi a) Az adott síkok normálvektorai n ( - ) n ( - ) nem párhuzamosak azért a síkok sem párhuzamosak tehát van metszésvonaluk. A metszésvonal v irányvektora merôleges mindkét sík normálvektorára azért v-nek választhatjuk a normálvektorok vektoriális szorzatát. n # n =-i-8j-k a v vektor koordinátái: (- -8 -) vagy v(- - -). A metszésvonal egyik pontját úgy kapjuk meg ha keresünk olyan pontot amelynek koordinátái mindkét sík x- y= egyenletét kielégítik. egyen például a z = 0. Akkor ( Innen x = y =. b) A metszésvonal irányvektora: v(- - -) egyik pontja: ( 0). A metszésvonal paraméteres x- y= 0. y egyenlete: x = - t y = - t z =-t innen - x = - =- z Oldjuk meg az adott síkok egyenleteibôl álló egyenletrendszert N M O. árhuzamos és merôleges egyenesek 669. a) n ( ) n ( ) & párhuzamosak b) párhuzamosak c) n ( ) n (- ) n $ n = 0 & merôlegesek d) n b l n b l n $ n = 0 & merôlegesek - e) m =- m =- & párhuzamosak f) m =- m = m $ m =- & merôlegesek g) n ( -) n (8-0) n = $ n & párhuzamosak h) n ( -6) n ( 0) n $ n = 0 &&merôlegesek a) p = 8 a = 76. b) p! 6 a =! c) p =- a = 8. 0 d) p =- a =. e) p= p=-. = a a =-. b b b+ b b b 67. m=- m = m m m m a a =- = = & =. a + a a a a + a m=- m=. A két egyenes párhuzamos ha m a + b + a+ b- = m és a + - =Y - és a + b +! 0 a + b -! 0 & - =Y a + b + a + b - a+ b+ a + = Y & a =- b! R\ *- 6 vagy b=- ( a+ ) ahol a! R\ * továbbá a + b - ha a + b + = 0 a+ b- = 0 a b & = =-. Egybeesik a két egyenes ha a =- b =. 67. a) p =- b) $ (- p) =- & p= c) p=- d) n (p + - p) n (p - p + ) n $ n = (p + )(p - ) + ( - p)(p + ) = 0 & p = 0 p = e) p.

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 2010.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008] OKTV 7/8 A öntő felaatainak megolása. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/487-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben