14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:"

Átírás

1 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban félkövér betűt használhatunk: b. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. A vektor hosszát a vektor abszolútértékének is nevezzük: a. Nullvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0. A nullvektor iránya tetszőleges. Bármilyen meglepő, minden vektorral párhuzamosnak, minden vektorra merőlegesnek tekinthetjük. Két vektor egymás ellentettje, ha abszolútértékük egyenlő, irányuk ellentétes. Jelölés: az a vektor ellentettje a. Két vektor összegét az ábra szerint háromszög-szabállyal vagy paralelogramma módszerrel szerkeszthetjük meg. 1

2 Ha a háromszög-szabályt használjuk, akkor egyszerre több vektort is összeadhatunk egymás után felmérve őket az összegvektor az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutat. A paralelogramma módszert például fizikában, az erők összegzése során alkalmazzuk. Két vektor különbségét az ábra szerint szerkesztjük meg. Az a és b vektor különbségét úgy is megkaphatjuk, ha az a vektorhoz hozzáadjuk a b vektort. Vektor szorzása számmal: λ R ha λ = 0, akkor λ a = 0; ha λ > 0, akkor a λ a vektor iránya megegyezik az a vektor irányával és λ a = λ a ; ha λ < 0, akkor a λ a vektor iránya ellentétes az a vektor irányával és λ a = λ a. Vektorok skaláris szorzata: Ha az a és b vektorok szöge φ (0 φ π), akkor az a és b vektorok skaláris szorzata: a b = a b cos φ. Tétel (vektorműveletek tulajdonságai): A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív: a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c). 2

3 A vektorok számmal való szorzására teljesülnek az alábbi összefüggések: α (a + b) = α a + α b; α (β a) = (α β) a; (α + β) a = α a + β a. A skaláris szorzat tulajdonságai: a b = b a; (a + b) c = a c + b c; α (a b) = (α a) b = a (α b); a = a. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Tétel: Ha a és b a sík két nem párhuzamos vektora, akkor a sík tetszőleges v vektora egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: v = α a + β b ; α; β R. Ezt az előállítást az a és b vektorok lineáris kombinációjának is nevezzük. Ha a, b és c a tér három nem egysíkú vektora, akkor a tér tetszőleges v vektora egyértelműen felbontható az a, b és c vektorokkal párhuzamos összetevőkre: v = α a + β b + γ c ; α; β; γ R. Síkban az a; b, térben az a; b; c vektorokat bázisvektoroknak, az α; β illetve α; β; γ számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. A vektorok koordinátáival és a vektorműveletek koordinátákkal való kifejezésével a 15. témakörben foglalkozunk részletesen. Ha a síkban (térben) egy O pontot rögzítünk, akkor az O pontból a sík(tér) tetszőleges P pontjához vezető OP vektort a P pont helyvektorának, az O pontot vonatkoztatási pontnak nevezzük A helyvektort szokás a megfelelő kisbetűvel jelölni: OP = p. 3

4 Tétel: Ha az AB szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok a és b, akkor AB = b a. az AB szakasz F felezőpontjába mutató helyvektor: a + b f = 2. az AB szakasz A-hoz közelebbi H harmadolópontjába mutató helyvektor: 2a + b h =. 3 az AB szakaszt m: n arányban osztó P pontba mutató helyvektor: na + mb p = m + n. Tétel: Ha az ABC háromszög csúcspontjaiba mutató helyvektorok a, b, c, akkor a háromszög S súlypontjába mutató helyvektor: a + b + c s =. 3 Ha az ABCD tetraéder csúcspontjaiba mutató helyvektorok a, b, c, d, akkor a tetraéder S súlypontjába mutató helyvektor: a + b + c + d s =. 4 II. Kidolgozott feladatok 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat! a) a + 2b b) a c c) a + b c 4

5 a) b) c) 2. Bontsuk fel a v vektort az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre! a) b) 5

6 a) A v vektor végpontján keresztül párhuzamost húzunk az a illetve b vektorokkal. Így a v vektort egy paralelogrammába foglaljuk. v = a + b a vektorok összeadásának szabálya szerint. a = 1,5 a, b = 2,5 b, így v = 1,5 a + 2,5 b. b) Hasonlóan szerkesztünk, mint az előző esetben. Most az összetevők az a és b vektorokkal ellentétes irányúak, ezért negatív számokat használunk az összetevők kifejezésére: v = a + b = a 1,5 b. 3. Az ABC háromszög S súlypontjából a csúcsokhoz mutató vektorok: a, b, c. Határozzuk meg az a, b, c vektorok összegét! I. 6

7 Az F pont az AB oldal felezőpontja, ezért SF = ab. A súlypont a súlyvonalnak a csúcstól távolabbi harmadoló pontja, ezért c = 2 SF = (a + b). Innen átrendezés után kapjuk: a + b + c = 0. II. A fenti bizonyítás a súlyvonal és a súlypont geometriai tulajdonságára épít. Érdemes azonban vektorosan is gondolkozni. Legyen a vonatkoztatási pont S. Ekkor a, b, c a csúcsok helyvektorai. A súlypont helyvektorára fel tudjuk írni: 0 = SS = Innen is megkapjuk az a + b + c = 0 összefüggést. a + b + c Az ABCD paralelogramma síkjának egy tetszőleges pontja O. Bizonyítsuk be, hogy OA + OC = OB + OD! I. AB = OB OA és DC = OC OD. A paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ezért AB = DC OB OA = OC OD. Ezt az összefüggést átrendezve megkapjuk az OA + OC = OB + OD bizonyítandó állítást. II. A paralelogramma átlói felezve metszik egymást, ezért az M pont az AC és BD szakasznak is felezőpontja, vektorokkal kifejezve: 7

8 OM = OA + OC = OB + OD 2 2 ezzel megkaptuk a bizonyítandó állítást. OA + OC = OB + OD, 5. Az ABCD négyszög szemközti oldalaira vektorokat illesztünk:ab = a; DC = b. Az AD oldal Ahoz közelebbi negyedelő pontja E, a BC oldal B-hez közelebbi negyedelő pontja F. Határozzuk meg az EF vektort az a és b vektorok segítségével! I. Az ábra szerint az AD = 4 x; BC = 4 y. Az EF vektort kifejezzük kétféle módon: EF = x + a + y EF = 3 x + b 3 y. Az első egyenlet háromszorosához hozzáadjuk a második egyenletet: 4 EF = 3a + b II. EF = 3a + b 4. Húzzuk be a BD átlót és osszuk fel négy egyenlő részre. A párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt EG AB, a párhuzamos szelőszakaszok tétele miatt EG = AB, tehát EG = a. Hasonlóan kapjuk, hogy GF = b. A vektorösszeadás szabálya szerint EF = a + ab b =. 8

9 6. Az ABC háromszög köré írható körének középpontja O. Ebből a pontból a csúcsokhoz mutató vektorok: a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy az O pontból felmért a + b + c vektor a háromszög magasságpontjába mutat! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének a középpontja egy egyenesen van (Euler-egyenes)! Az ábra szerint legyen OM = a + b + c. CM = OM OC = a + b. BA = a b. a = b, mert az O pont a háromszög körülírható körének a középpontja, így (a + b)(a b) = a b = a b = 0. A két vektor skaláris szorzata 0, így merőlegesek egymásra. Ezzel bizonyítottuk, hogy CM AB, tehát az M pont rajta van a C csúcsból induló magasságvonalon. Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy a másik két magasságvonalon is rajta van M, tehát M a háromszög magasságpontja. A háromszög S súlypontjába mutató vektor OS = = OM. Ezzel beláttuk, hogy az M, S, O pontok egy egyenesen vannak, az S pont az O-hoz közelebbi harmadoló pontja az MO szakasznak. Ezt az egyenest Euler-egyenesnek nevezzük. 7. A ABC háromszög oldalainak a hossza a, b, c; a szemközti csúcsok helyvektorai a, b, c. Határozzuk meg a háromszögbe írt kör középpontjának helyvektorát! Az ábrán a helyvekorokat az áttekinthetőség miatt nem jelöltük. A szokásnak megfelelően az adott pontba a megfelelő kisbetűvel adjuk meg a helyvektort. A háromszög beírt körének középpontja a 9

10 szögfelezők metszéspontja, az ábrán a K pont. A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, ezért: p = ab és az AP szakasz hossza háromszögben AK szögfelező, erre is alkalmazzuk az előbb említett tételt: bp + k = bc a + b c = bc a + b + b aa + bb b a + b + bc a + b c = bc a + b + b aa + bb + cc b a + b b a + b + c a + b = c =. Az APC aa + bb + cc a + b + c. A beírt kör középpontjának helyvektora ezek szerint a csúcsok helyvektorainak az oldalak hosszával súlyozott közepe. 8. Határozzuk meg az a és b vektorok szögét, ha a = 7; b = 12 és ab = 60! ab = a b cos φ, ahol φ a két vektor szöge. Innen cos φ = = φ = 135, Az ABCDEF szabályos hatszög oldalainak a hossza 10, a hatszög középpontja O. Számítsuk ki az AB AO ; AB AC ; BC EF ; FC BD ; FC EF skaláris szorzatok értékét! AB AO = cos 60 = 100 0,5 = 50; AB AC = cos 30 = = 150; BC EF = cos 180 = 100; FC BD = cos 90 = 0 ; FC EF = cos 120 = 200 ( 0,5) = Bizonyítsuk be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalainak négyzetösszegével! 10

11 A paralelogramma oldalaira és az átlókra az ábra szerint vektorokat illesztünk. A szakaszok hosszát kisbetűvel, a vektorokat félkövér betűkkel jelöljük. A megoldás során kihasználjuk, hogy egy vektor négyzete egyenlő a hosszának a négyzetével: e + f = e + f = (a + b) + (a b) = 2 a + 2 b = 2a + 2b. 11. Szerkesszük meg az ABC háromszög AC és BC oldalára kifelé az ACPQ és CBRS négyzeteket. Bizonyítsuk be, hogy a PS szakasz kétszer akkora, mint a háromszög C-hez tartozó súlyvonala! Az AB oldal felezőpontja O, a CB oldal felezőpontja E, az AC oldal felezőpontja F. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: OE = FC = a; OF = EC = b. 11

12 Az a 1 vektor az a vektornak, a b 1 vektor az b vektornak a 90 -os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja. Így CS = 2a ; PC = 2b. A vektorösszeadás szabálya szerint a háromszög súlyvonalára illesztett vektor: s = a + b; a PS szakaszra illesztett vektor: v = 2a + 2b = 2(a + b ). Ez az eredmény azt mutatja, hogy a v vektor az s vektor 90 -os elforgatottjának a 2- szerese. Tehát beláttuk, hogy a PS szakasz kétszer olyan hosszú, mint a súlyvonal, továbbá azt is, hogy merőleges rá. III. Ajánlott feladatok 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a + 2b b) a c c) a + b c 2. Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. A HG él felezőpontja P, a BCGF lap középpontja O. Fejezzük ki az AH, BD, AP, AO vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! 3. Az OBMA paralelogramma OA és BM oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk az ábra szerint a C és D pontokat. Osszuk fel a CD szakaszt is három egyenlő részre, a P pont a CD szakasz D-hez közelebbi harmadoló pontja. Írja fel az OP vektort az OA = a és az OB = b vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) 12

13 4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S, a CFH háromszög súlypontja S. Fejezzük ki az AG, AS, AS vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja! 5. Az ABC háromszög A csúcsát tükrözzük a B csúcsra, így az A pontot kapjuk. Hasonlóan a B csúcsnak a C-re vonatkozó tükörképe B, C-nek az A-ra vonatkozó tükörképe C. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög és az A B C háromszög súlypontja azonos! 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! 7. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán lévő két belső pont úgy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felezőpontját E, a PQ szakasz felezőpontját F. Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40 -os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? 9. Mekkora az a és b egységvektorok szöge, ha (2a b)(3a + 4b) = 0,5? 10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! 11. Az OABC tetraéder OA, OB, OC élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hegyesszögű! 12. Adott egy ABCD paralelogramma és egy O pont. Bizonyítsuk be, hogy : OA + OC OB + OD = 2AB AD! 13. Az ABC háromszög BC és CA oldalára kifelé szerkesszük meg a BCD, illetve a CAG szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! 13

14 Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! d) a + 2b e) a c f) a + b c 14

15 2. Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. A HG él felezőpontja P, a BCGF lap középpontja O. Fejezzük ki az AH, BD, AP, AO vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! AH = b + c; BD = b a; AP = b + c + 0,5a; AO = a + 0,5b + 0,5c. 3. Az OBMA paralelogramma OA és BM oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk a C és D pontokat. Osszuk fel a CD szakaszt is három egyenlő részre, így kapjuk a P pontot. Az ábrának megfelelően rajzolt OP vektort írja fel az OA = a és az OB = b vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) OD = b + a; OC = a. A P pont a CD szakasz D-hez közelebbi harmadoló pontja, ezért OP = b a a = a + b. 4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S, a CFH háromszög súlypontja S. Fejezzük ki az AG, AS, AS vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja! 15

16 AG = a + b + c. S pont a DBE háromszög súlypontja, ezért AS = abc. AC = a + b; AH = b + c; AF = a + c és S a CFH háromszög súlypontja, ezért AS = abbcac = (a + b + c). Ebből látható, hogy az A, S, S, G pntok egy egyenesre esnek és a két háromszög síkja harmadolja a paralelepipedon átlóját. 5. Az ABC háromszög A csúcsát tükrözzük a B csúcsra, így az A pontot kapjuk. Hasonlóan a B csúcsnak a C-re vonatkozó tükörképe B, C-nek az A-ra vonatkozó tükörképe C. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög és az A B C háromszög súlypontja azonos! Az adott pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A B pont az AA szakasz felezőpontja, ezért b = aa. Innen átrendezve azt kapjuk, hogy a = 2b a. Hasonlóan 16

17 b = 2c b; c = 2a c. Az ABC háromszög súlypontjába mutató helyvektor s = abc. Az A B C háromszög S súlypontjába mutató helyvektor s = bacbac beláttuk, hogy a két háromszög súlypontja azonos. = abc = s. Ezzel 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! Most is válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírható kör O középpontját. A 6. kidolgozott feladatban bizonyítottuk, hogy ha a körülírható kör középpontjából a csúcsokba mutató helyvektorok a, b, c, akkor a magasságpontba mutató helyvektor a + b + c. Jelöljük az AB oldal felezőpontját F-el, ekkor f = ab. A tükrözés miatt F az MM szakasz felezőpontja is. Ebből az M pont helyvektora kiszámítható: f = a + b 2 = m + m 2 a + b = a + b + c + m. Tehát m = c. Ez azt jelenti, hogy az M pont a C pontnak az O körközéppontra vonatkozó tükörképe, tehát rajta van a körülírható körön. 7. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán lévő két belső pont úgy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felezőpontját E, a PQ szakasz felezőpontját F. Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 17

18 I. Az ábra szerint bevezetjük a következő jelöléseket: AB = c; AC = b; a b vektorral párhuzamos egységvektor b ; a c vektorral párhuzamos egységvektor c. Alkalmas k valós számmal felírható: PB = kc ; QC = kb. Ezeket használva kifejezhető: AE = bc ; AF = bb cc. Majd meghatározzuk: FE = AE AF = b + c b + kb c + kc 2 = k(b + c ). 2 b és c egyenlő hosszú vektorok, ezért az összegük a szögfelező irányába mutat, mert egy rombusz átlója. Ebből látható, hogy (b c ) párhuzamos a b c vektorral, így a szögfelezővel. AB = AC esetén EF a szögfelezőre esik, ezt a párhuzamosság speciális esetének tekintjük. Ezzel beláttuk a feladat állítását. II. Az első megoldás szerint bevezetjük az AB = c; AC = b vektorokat; az ezekkel párhuzamos b és c egységvektorokat, a k valós számot, amellyel felírható: PB = kc ; QC = kb. A PQ szakasz felezőpontja F, a BCszakasz felezőpontja E. A PC és BC szakaszokra az ábra szerint vektorokat illesztünk: FP = x; FQ = x; BE = y; CE = y, ezekkel az FE vektort kétféle módon kifejezzük: 18

19 FE = x + kc + y FE = x + kb y A két egyenletet összeadjuk és az eredményt megfelezzük: FE = kb + kc = k(b + c ) 2 2 Innen az első megoldásnak megfelelően fejezzük be a megoldást. 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40 -os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? Ha F erőt fejtünk ki és eközben az elmozdulást az s vektor adja meg, akkor a fizikai munkavégzést az erő és az elmozdulás skaláris szorzatával számoljuk ki: W = F s = 30N 50m cos 40 = 1149 J. 9. Mekkora az a és b egységvektorok szöge, ha (2a b)(3a + 4b) = 0,5? A skaláris szorzat tulajdonságai alapján felbontjuk a zárójelet és felhasználjuk, hogy a és b vektorok hossza egységnyi: (2a b)(3a + 4b) = 6a 3ab + 8ab 4b = 6 + 5ab 4 = 2 + 5ab = 0,5. Ebből ab = 0,5 adódik. Ha a két vektor szöge φ, akkor cos φ = 0,5, tehát φ = Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! Tegyük fel, hogy az e egyenes merőleges a sík f és h egyenesére, amelyek nem párhuzamosak. Legyen g a sík tetszőleges egyenese. Az e, f, h, g egyenesek egy-egy irányvektora n, b, a, v. A v 19

20 vektor felírható az a és b vektorok lineáris kombinációjaként; v = αa + βb alakban, ahol α, β valós számok. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Így n a = 0; n b = 0. Ekkor: n v = n (αa + βb) = α(n a) + β(n b) = 0 is teljesül, amiből következik, hogy n v, tehát az e egyenes merőleges a g egyenesre is. A fenti ábra közös ponton átmenő egyenesekre mutatja a bizonyítást a jobb áttekinthetőség miatt, de meggondolható, hogy a bizonyítás általános esetben ugyanígy igaz, az egyenesek szöge nem változik, ha közös pontba toljuk el őket. 11. Az OABC tetraéder OA, OB, OC élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hegyesszögű! A tetraéder éleire vektorokat illesztünk: OA = a, OB = b, OC = c. ab = ac = bc = 0 az élek merőlegessége miatt. AB AC = (b a)(c a) = bc ba ac + a = a > 0. Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, akkor a két vektor hegyesszöget zár be, tehát az ABC háromszögben az A csúcsnál hegyesszög van. Ugyanígy bizonyítható, hogy a másik két szög is hegyesszög, így a háromszög hegyesszögű. 12. Adott egy ABCD paralelogramma és egy O pont. Bizonyítsuk be, hogy OA + OC OB + OD = 2AB AD! 20

21 OA + OC OB + OD = OA OB + OC OD = = OA OB OA + OB + OC OD OC + OD = = BA OA + OB + DC OC + OD = AB OA OB + AB OC + OD = = AB OC OB + OD OA = AB BC + AD = AB AD + AD = 2AB AD. Az átalakítások során felhasználtuk, hogy a paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlőek, továbbá alkalmaztuk a vektorműveletek tulajdonságait. Megjegyzés: Ha ABCD téglalap, akkor AB AD = 0, mert a téglalap oldalai merőlegesek egymásra. Ezért igaz a következő állítás: A téglalap alapú gúla két-két szemben lévő oldalélének négyzetösszege egyenlő. 13. Az ABC háromszög BC és CA oldalára kifelé szerkesszük meg a BCD, illetve a CAG szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! Az AB oldal felezőpontja O. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: OE = FC = a; OF = EC = b. Az a 1 vektor az a vektornak, a b 1 vektor az b vektornak a 60 -os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja, így GC = 2b ; FI = a. A GCD háromszögben HI középvonal, ezért IH = b.vektorműveleteket használva FE = a b; FH = a b. Ez az eredmény azt mutatja, hogy ha az FE szakaszt az F pont körül 60 -al elforgatjuk, akkor az FH szakaszt kapjuk, tehát az EFH háromszög szabályos. Megjegyzés: Ha az ABC háromszög γ szögét határesetként 180 -nak választjuk, akkor is igaz a feladat állítása: Legyen az AB szakasz belső pontja a C pont. Az AC és CB szakaszra szerkesszük meg az ACG, illetve a CBD szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! 21

22 A bizonyítás erre az esetre is a fent leírt módon alkalmazható.. IV. Ellenőrző feladatok 1. Adottak az a, b, c egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a 2(b + c) b) ab + c c) a bc 2. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen α és β valós számokra teljesül az alábbi egyenlőség? (α + β)a + (β 2)b = (2α β)(a b) 3. Határozza meg az a + b és az a b vektorok hosszát, ha a = 12, b = 10 és a két vektor szöge 80! 4. Az ABCD négyszög oldalvektorai: AB = a; BC = b; CD = c. Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! 5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! 6. Az ABCD húrnégyszög BCD, ACD, ABD, ABC részháromszögeinek magasságpontjai P, R, S. Q. Bizonyítsa be, hogy a PQRS négyszög egybevágó az ABCD négyszöggel! 7. Mekkora az a és b vektor szöge, ha a = 10; b = 8; ab = 60? 8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Adottak az a, b, c egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a 2(b + c) b) ab Alkalmazzuk a vektorműveletek szabályait! 22 + c c) a bc

23 2. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen α és β valós számokra teljesül az alábbi egyenlőség? (α + β)a + (β 2)b = (2α β)(a b) Bármely vektor egyértelműen bontható fel a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre, ezért az egyenlet két oldalán az a és b vektorok együtthatói egyenlőek: α + β = 2α β β 2 = β 2α Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: α = 1; β = 0,5. 3. Határozza meg az a + b és az a b vektorok hosszát, ha a = 12, b = 10 és a két vektor szöge 80! A paralelogramma szomszédos szögei 180 -ra egészítik ki egymás, ezért β = 100. Az ABD háromszögre a koszinusztételt felírva megkapjuk az a + b vektor hosszát. AD = cos 100 = 285,68 a + b = 285,68 = 16,9 Az ABC háromszögre felírva a koszinusztételt megkapjuk az a b vektor hosszát. BC = cos 80 = 202,32 a b = 202,32 = 14,2 4. Az ABCD négyszög oldalvektorai: AB = a; BC = b; CD = c. Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! I. 23

24 Az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Ezt felhasználva: AC = a + b AE = AD = a + b + c AF = EF = a + b 2 a + b + c + a. 2 a + b + c + a a + b a + c = Megjegyzés: Az eredményből látható, hogy az EF vektort a BC = b vektor nélkül ki tudjuk fejezni. Arra is tudunk következtetni, hogy ha az ABCD négyszög trapéz (AB CD), akkor EF párhuzamos a trapéz AB és CD alapjával. II., Az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Az ábra szerint bevezetjük az EA = x és BF = y vektorokat, így EC = x és DF = y. Az EF vektort kétféle módon kifejezzük: EF = x + a + y EF = x + c y 2 EF = a + c a + c EF = 2 Ebből a levezetésből az is érthetővé válik, hogy miért nincs szükségünk a b vektorra az EF vektor kifejezéséhez. 5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! Egy rögzített O pontból a pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. E és F oldalfelező pontok, ezért e = ab ab cd ; f =. az EF szakasz felezőpontja K: k = cd = abcd. Ez éppen a tetraéder súlypontjának helyvektora, tehát beláttuk a feladat állítását. 24

25 6. Az ABCD húrnégyszög BCD; ACD; ABD; ABC részháromszögeinek magasságpontjai P; Q; R; S. Bizonyítsuk be, hogy a PQRS négyszög egybevágó az ABCD négyszöggel! A körülírható kör középpontját választjuk vonatkoztatási pontnak, az ebből a pontból induló helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A 6. kidolgozott feladat eredménye alapján megadjuk a magasságpontokba mutató helyvektorokat: p = b + c + d; q = a + c + d; r = a + b + d; s = a + b + c. Ez alapján: AB = b a; QP = p q = b + c + d (a + c + d) = b a. Tehát az AB oldal párhuzamos és egyenlő a QP oldallal. Hasonlóan tudjuk belátni a többi oldalról is, hogy az ABCD négyszög megfelelő oldalával párhuzamos és egyenlő. Így a PQRS négyszög valóban egybevágó az ABCD négyszöggel. 7. Mekkora az a és b vektor szöge, ha a = 10; b = 8; ab = 60? cos(a, b) = ab a b = = 0,75 (a, b) = 41,41 a két vektor szöge. 25

26 8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! A tetraéder O csúcsából induló éleire illesztjük az a, b, c vektorokat. Egy vektor négyzete megegyezik a hosszának a négyzetével. A feladat feltételét vektorokkal így írhatjuk le: OA + BC = OB + AC a + (c b) = b + (a c) a + c 2cb + b = b + a 2ac + c 0 = 2cb 2ac 0 = 2c(b a) A skaláris szorzat csak akkor lehet nulla, ha a két vektor merőleges egymásra, tehát a tetraéder OC és AB kitérő élei merőlegesek egymásra. A másik két élpárra a bizonyítás ugyanilyen módon történik. 26

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Feladatok 7. osztály

Feladatok 7. osztály Feladatok 7. osztály 1. Egy ruha árának ötöde a kereskedő haszna. Ha megemelné az árat 200 Ft-tal, akkor már csak az ár harmada lenne a haszna? Mennyi a ruha ára? 2. Egy iskolában kémiát, angolt, franciát,

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93

+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93 . Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL Ha már ismerjük a szerkesztés szabályait, és ezeket a gyakorlatban is jól tudjuk alkalmazni, akkor érdemes megismerkedni a számítógépes lehetőségekkel. Így olyan eszköz áll rendelkezésünkre,

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső

Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök. Szalóki Dezső Térgeometriai taneszközök síkba összenyomható és zsinóros térbeli modellek (9 10. évfolyam) Tanári eszközök Szalóki Dezső matematika, fizika, ábrázoló-geometria és biológia szakos vezetőtanár Lektorálta:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak

300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak VILLÁMKÉRDÉSEK 300 válogatott matematikafeladat 7 8. osztályosoknak 1. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold ki a szorzatukat, ha x = 18. 2. Adottak az 1 x, 2 x, 3 x,..., 100 x számok. Számold

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. Matematika KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. I. Időtartam: 45 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Harmadik epochafüzet

Harmadik epochafüzet Harmadik epochafüzet Matematika 9. évfolyam Tulajdonos:... HARMADIK EPOCHAFÜZET GEOMETRIA Tartalomjegyzék Kurzus leírás...2 Alapfogalmak...3 Szögszámítás, nevezetes szögpárok...5 A háromszög...8 Összefüggések

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben