14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:"

Átírás

1 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban félkövér betűt használhatunk: b. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. A vektor hosszát a vektor abszolútértékének is nevezzük: a. Nullvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0. A nullvektor iránya tetszőleges. Bármilyen meglepő, minden vektorral párhuzamosnak, minden vektorra merőlegesnek tekinthetjük. Két vektor egymás ellentettje, ha abszolútértékük egyenlő, irányuk ellentétes. Jelölés: az a vektor ellentettje a. Két vektor összegét az ábra szerint háromszög-szabállyal vagy paralelogramma módszerrel szerkeszthetjük meg. 1

2 Ha a háromszög-szabályt használjuk, akkor egyszerre több vektort is összeadhatunk egymás után felmérve őket az összegvektor az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutat. A paralelogramma módszert például fizikában, az erők összegzése során alkalmazzuk. Két vektor különbségét az ábra szerint szerkesztjük meg. Az a és b vektor különbségét úgy is megkaphatjuk, ha az a vektorhoz hozzáadjuk a b vektort. Vektor szorzása számmal: λ R ha λ = 0, akkor λ a = 0; ha λ > 0, akkor a λ a vektor iránya megegyezik az a vektor irányával és λ a = λ a ; ha λ < 0, akkor a λ a vektor iránya ellentétes az a vektor irányával és λ a = λ a. Vektorok skaláris szorzata: Ha az a és b vektorok szöge φ (0 φ π), akkor az a és b vektorok skaláris szorzata: a b = a b cos φ. Tétel (vektorműveletek tulajdonságai): A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív: a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c). 2

3 A vektorok számmal való szorzására teljesülnek az alábbi összefüggések: α (a + b) = α a + α b; α (β a) = (α β) a; (α + β) a = α a + β a. A skaláris szorzat tulajdonságai: a b = b a; (a + b) c = a c + b c; α (a b) = (α a) b = a (α b); a = a. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Tétel: Ha a és b a sík két nem párhuzamos vektora, akkor a sík tetszőleges v vektora egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: v = α a + β b ; α; β R. Ezt az előállítást az a és b vektorok lineáris kombinációjának is nevezzük. Ha a, b és c a tér három nem egysíkú vektora, akkor a tér tetszőleges v vektora egyértelműen felbontható az a, b és c vektorokkal párhuzamos összetevőkre: v = α a + β b + γ c ; α; β; γ R. Síkban az a; b, térben az a; b; c vektorokat bázisvektoroknak, az α; β illetve α; β; γ számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. A vektorok koordinátáival és a vektorműveletek koordinátákkal való kifejezésével a 15. témakörben foglalkozunk részletesen. Ha a síkban (térben) egy O pontot rögzítünk, akkor az O pontból a sík(tér) tetszőleges P pontjához vezető OP vektort a P pont helyvektorának, az O pontot vonatkoztatási pontnak nevezzük A helyvektort szokás a megfelelő kisbetűvel jelölni: OP = p. 3

4 Tétel: Ha az AB szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok a és b, akkor AB = b a. az AB szakasz F felezőpontjába mutató helyvektor: a + b f = 2. az AB szakasz A-hoz közelebbi H harmadolópontjába mutató helyvektor: 2a + b h =. 3 az AB szakaszt m: n arányban osztó P pontba mutató helyvektor: na + mb p = m + n. Tétel: Ha az ABC háromszög csúcspontjaiba mutató helyvektorok a, b, c, akkor a háromszög S súlypontjába mutató helyvektor: a + b + c s =. 3 Ha az ABCD tetraéder csúcspontjaiba mutató helyvektorok a, b, c, d, akkor a tetraéder S súlypontjába mutató helyvektor: a + b + c + d s =. 4 II. Kidolgozott feladatok 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat! a) a + 2b b) a c c) a + b c 4

5 a) b) c) 2. Bontsuk fel a v vektort az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre! a) b) 5

6 a) A v vektor végpontján keresztül párhuzamost húzunk az a illetve b vektorokkal. Így a v vektort egy paralelogrammába foglaljuk. v = a + b a vektorok összeadásának szabálya szerint. a = 1,5 a, b = 2,5 b, így v = 1,5 a + 2,5 b. b) Hasonlóan szerkesztünk, mint az előző esetben. Most az összetevők az a és b vektorokkal ellentétes irányúak, ezért negatív számokat használunk az összetevők kifejezésére: v = a + b = a 1,5 b. 3. Az ABC háromszög S súlypontjából a csúcsokhoz mutató vektorok: a, b, c. Határozzuk meg az a, b, c vektorok összegét! I. 6

7 Az F pont az AB oldal felezőpontja, ezért SF = ab. A súlypont a súlyvonalnak a csúcstól távolabbi harmadoló pontja, ezért c = 2 SF = (a + b). Innen átrendezés után kapjuk: a + b + c = 0. II. A fenti bizonyítás a súlyvonal és a súlypont geometriai tulajdonságára épít. Érdemes azonban vektorosan is gondolkozni. Legyen a vonatkoztatási pont S. Ekkor a, b, c a csúcsok helyvektorai. A súlypont helyvektorára fel tudjuk írni: 0 = SS = Innen is megkapjuk az a + b + c = 0 összefüggést. a + b + c Az ABCD paralelogramma síkjának egy tetszőleges pontja O. Bizonyítsuk be, hogy OA + OC = OB + OD! I. AB = OB OA és DC = OC OD. A paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ezért AB = DC OB OA = OC OD. Ezt az összefüggést átrendezve megkapjuk az OA + OC = OB + OD bizonyítandó állítást. II. A paralelogramma átlói felezve metszik egymást, ezért az M pont az AC és BD szakasznak is felezőpontja, vektorokkal kifejezve: 7

8 OM = OA + OC = OB + OD 2 2 ezzel megkaptuk a bizonyítandó állítást. OA + OC = OB + OD, 5. Az ABCD négyszög szemközti oldalaira vektorokat illesztünk:ab = a; DC = b. Az AD oldal Ahoz közelebbi negyedelő pontja E, a BC oldal B-hez közelebbi negyedelő pontja F. Határozzuk meg az EF vektort az a és b vektorok segítségével! I. Az ábra szerint az AD = 4 x; BC = 4 y. Az EF vektort kifejezzük kétféle módon: EF = x + a + y EF = 3 x + b 3 y. Az első egyenlet háromszorosához hozzáadjuk a második egyenletet: 4 EF = 3a + b II. EF = 3a + b 4. Húzzuk be a BD átlót és osszuk fel négy egyenlő részre. A párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt EG AB, a párhuzamos szelőszakaszok tétele miatt EG = AB, tehát EG = a. Hasonlóan kapjuk, hogy GF = b. A vektorösszeadás szabálya szerint EF = a + ab b =. 8

9 6. Az ABC háromszög köré írható körének középpontja O. Ebből a pontból a csúcsokhoz mutató vektorok: a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy az O pontból felmért a + b + c vektor a háromszög magasságpontjába mutat! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének a középpontja egy egyenesen van (Euler-egyenes)! Az ábra szerint legyen OM = a + b + c. CM = OM OC = a + b. BA = a b. a = b, mert az O pont a háromszög körülírható körének a középpontja, így (a + b)(a b) = a b = a b = 0. A két vektor skaláris szorzata 0, így merőlegesek egymásra. Ezzel bizonyítottuk, hogy CM AB, tehát az M pont rajta van a C csúcsból induló magasságvonalon. Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy a másik két magasságvonalon is rajta van M, tehát M a háromszög magasságpontja. A háromszög S súlypontjába mutató vektor OS = = OM. Ezzel beláttuk, hogy az M, S, O pontok egy egyenesen vannak, az S pont az O-hoz közelebbi harmadoló pontja az MO szakasznak. Ezt az egyenest Euler-egyenesnek nevezzük. 7. A ABC háromszög oldalainak a hossza a, b, c; a szemközti csúcsok helyvektorai a, b, c. Határozzuk meg a háromszögbe írt kör középpontjának helyvektorát! Az ábrán a helyvekorokat az áttekinthetőség miatt nem jelöltük. A szokásnak megfelelően az adott pontba a megfelelő kisbetűvel adjuk meg a helyvektort. A háromszög beírt körének középpontja a 9

10 szögfelezők metszéspontja, az ábrán a K pont. A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, ezért: p = ab és az AP szakasz hossza háromszögben AK szögfelező, erre is alkalmazzuk az előbb említett tételt: bp + k = bc a + b c = bc a + b + b aa + bb b a + b + bc a + b c = bc a + b + b aa + bb + cc b a + b b a + b + c a + b = c =. Az APC aa + bb + cc a + b + c. A beírt kör középpontjának helyvektora ezek szerint a csúcsok helyvektorainak az oldalak hosszával súlyozott közepe. 8. Határozzuk meg az a és b vektorok szögét, ha a = 7; b = 12 és ab = 60! ab = a b cos φ, ahol φ a két vektor szöge. Innen cos φ = = φ = 135, Az ABCDEF szabályos hatszög oldalainak a hossza 10, a hatszög középpontja O. Számítsuk ki az AB AO ; AB AC ; BC EF ; FC BD ; FC EF skaláris szorzatok értékét! AB AO = cos 60 = 100 0,5 = 50; AB AC = cos 30 = = 150; BC EF = cos 180 = 100; FC BD = cos 90 = 0 ; FC EF = cos 120 = 200 ( 0,5) = Bizonyítsuk be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalainak négyzetösszegével! 10

11 A paralelogramma oldalaira és az átlókra az ábra szerint vektorokat illesztünk. A szakaszok hosszát kisbetűvel, a vektorokat félkövér betűkkel jelöljük. A megoldás során kihasználjuk, hogy egy vektor négyzete egyenlő a hosszának a négyzetével: e + f = e + f = (a + b) + (a b) = 2 a + 2 b = 2a + 2b. 11. Szerkesszük meg az ABC háromszög AC és BC oldalára kifelé az ACPQ és CBRS négyzeteket. Bizonyítsuk be, hogy a PS szakasz kétszer akkora, mint a háromszög C-hez tartozó súlyvonala! Az AB oldal felezőpontja O, a CB oldal felezőpontja E, az AC oldal felezőpontja F. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: OE = FC = a; OF = EC = b. 11

12 Az a 1 vektor az a vektornak, a b 1 vektor az b vektornak a 90 -os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja. Így CS = 2a ; PC = 2b. A vektorösszeadás szabálya szerint a háromszög súlyvonalára illesztett vektor: s = a + b; a PS szakaszra illesztett vektor: v = 2a + 2b = 2(a + b ). Ez az eredmény azt mutatja, hogy a v vektor az s vektor 90 -os elforgatottjának a 2- szerese. Tehát beláttuk, hogy a PS szakasz kétszer olyan hosszú, mint a súlyvonal, továbbá azt is, hogy merőleges rá. III. Ajánlott feladatok 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a + 2b b) a c c) a + b c 2. Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. A HG él felezőpontja P, a BCGF lap középpontja O. Fejezzük ki az AH, BD, AP, AO vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! 3. Az OBMA paralelogramma OA és BM oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk az ábra szerint a C és D pontokat. Osszuk fel a CD szakaszt is három egyenlő részre, a P pont a CD szakasz D-hez közelebbi harmadoló pontja. Írja fel az OP vektort az OA = a és az OB = b vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) 12

13 4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S, a CFH háromszög súlypontja S. Fejezzük ki az AG, AS, AS vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja! 5. Az ABC háromszög A csúcsát tükrözzük a B csúcsra, így az A pontot kapjuk. Hasonlóan a B csúcsnak a C-re vonatkozó tükörképe B, C-nek az A-ra vonatkozó tükörképe C. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög és az A B C háromszög súlypontja azonos! 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! 7. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán lévő két belső pont úgy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felezőpontját E, a PQ szakasz felezőpontját F. Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40 -os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? 9. Mekkora az a és b egységvektorok szöge, ha (2a b)(3a + 4b) = 0,5? 10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! 11. Az OABC tetraéder OA, OB, OC élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hegyesszögű! 12. Adott egy ABCD paralelogramma és egy O pont. Bizonyítsuk be, hogy : OA + OC OB + OD = 2AB AD! 13. Az ABC háromszög BC és CA oldalára kifelé szerkesszük meg a BCD, illetve a CAG szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! 13

14 Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! d) a + 2b e) a c f) a + b c 14

15 2. Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. A HG él felezőpontja P, a BCGF lap középpontja O. Fejezzük ki az AH, BD, AP, AO vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! AH = b + c; BD = b a; AP = b + c + 0,5a; AO = a + 0,5b + 0,5c. 3. Az OBMA paralelogramma OA és BM oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk a C és D pontokat. Osszuk fel a CD szakaszt is három egyenlő részre, így kapjuk a P pontot. Az ábrának megfelelően rajzolt OP vektort írja fel az OA = a és az OB = b vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) OD = b + a; OC = a. A P pont a CD szakasz D-hez közelebbi harmadoló pontja, ezért OP = b a a = a + b. 4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S, a CFH háromszög súlypontja S. Fejezzük ki az AG, AS, AS vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja! 15

16 AG = a + b + c. S pont a DBE háromszög súlypontja, ezért AS = abc. AC = a + b; AH = b + c; AF = a + c és S a CFH háromszög súlypontja, ezért AS = abbcac = (a + b + c). Ebből látható, hogy az A, S, S, G pntok egy egyenesre esnek és a két háromszög síkja harmadolja a paralelepipedon átlóját. 5. Az ABC háromszög A csúcsát tükrözzük a B csúcsra, így az A pontot kapjuk. Hasonlóan a B csúcsnak a C-re vonatkozó tükörképe B, C-nek az A-ra vonatkozó tükörképe C. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög és az A B C háromszög súlypontja azonos! Az adott pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A B pont az AA szakasz felezőpontja, ezért b = aa. Innen átrendezve azt kapjuk, hogy a = 2b a. Hasonlóan 16

17 b = 2c b; c = 2a c. Az ABC háromszög súlypontjába mutató helyvektor s = abc. Az A B C háromszög S súlypontjába mutató helyvektor s = bacbac beláttuk, hogy a két háromszög súlypontja azonos. = abc = s. Ezzel 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! Most is válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírható kör O középpontját. A 6. kidolgozott feladatban bizonyítottuk, hogy ha a körülírható kör középpontjából a csúcsokba mutató helyvektorok a, b, c, akkor a magasságpontba mutató helyvektor a + b + c. Jelöljük az AB oldal felezőpontját F-el, ekkor f = ab. A tükrözés miatt F az MM szakasz felezőpontja is. Ebből az M pont helyvektora kiszámítható: f = a + b 2 = m + m 2 a + b = a + b + c + m. Tehát m = c. Ez azt jelenti, hogy az M pont a C pontnak az O körközéppontra vonatkozó tükörképe, tehát rajta van a körülírható körön. 7. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán lévő két belső pont úgy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felezőpontját E, a PQ szakasz felezőpontját F. Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 17

18 I. Az ábra szerint bevezetjük a következő jelöléseket: AB = c; AC = b; a b vektorral párhuzamos egységvektor b ; a c vektorral párhuzamos egységvektor c. Alkalmas k valós számmal felírható: PB = kc ; QC = kb. Ezeket használva kifejezhető: AE = bc ; AF = bb cc. Majd meghatározzuk: FE = AE AF = b + c b + kb c + kc 2 = k(b + c ). 2 b és c egyenlő hosszú vektorok, ezért az összegük a szögfelező irányába mutat, mert egy rombusz átlója. Ebből látható, hogy (b c ) párhuzamos a b c vektorral, így a szögfelezővel. AB = AC esetén EF a szögfelezőre esik, ezt a párhuzamosság speciális esetének tekintjük. Ezzel beláttuk a feladat állítását. II. Az első megoldás szerint bevezetjük az AB = c; AC = b vektorokat; az ezekkel párhuzamos b és c egységvektorokat, a k valós számot, amellyel felírható: PB = kc ; QC = kb. A PQ szakasz felezőpontja F, a BCszakasz felezőpontja E. A PC és BC szakaszokra az ábra szerint vektorokat illesztünk: FP = x; FQ = x; BE = y; CE = y, ezekkel az FE vektort kétféle módon kifejezzük: 18

19 FE = x + kc + y FE = x + kb y A két egyenletet összeadjuk és az eredményt megfelezzük: FE = kb + kc = k(b + c ) 2 2 Innen az első megoldásnak megfelelően fejezzük be a megoldást. 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40 -os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? Ha F erőt fejtünk ki és eközben az elmozdulást az s vektor adja meg, akkor a fizikai munkavégzést az erő és az elmozdulás skaláris szorzatával számoljuk ki: W = F s = 30N 50m cos 40 = 1149 J. 9. Mekkora az a és b egységvektorok szöge, ha (2a b)(3a + 4b) = 0,5? A skaláris szorzat tulajdonságai alapján felbontjuk a zárójelet és felhasználjuk, hogy a és b vektorok hossza egységnyi: (2a b)(3a + 4b) = 6a 3ab + 8ab 4b = 6 + 5ab 4 = 2 + 5ab = 0,5. Ebből ab = 0,5 adódik. Ha a két vektor szöge φ, akkor cos φ = 0,5, tehát φ = Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! Tegyük fel, hogy az e egyenes merőleges a sík f és h egyenesére, amelyek nem párhuzamosak. Legyen g a sík tetszőleges egyenese. Az e, f, h, g egyenesek egy-egy irányvektora n, b, a, v. A v 19

20 vektor felírható az a és b vektorok lineáris kombinációjaként; v = αa + βb alakban, ahol α, β valós számok. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Így n a = 0; n b = 0. Ekkor: n v = n (αa + βb) = α(n a) + β(n b) = 0 is teljesül, amiből következik, hogy n v, tehát az e egyenes merőleges a g egyenesre is. A fenti ábra közös ponton átmenő egyenesekre mutatja a bizonyítást a jobb áttekinthetőség miatt, de meggondolható, hogy a bizonyítás általános esetben ugyanígy igaz, az egyenesek szöge nem változik, ha közös pontba toljuk el őket. 11. Az OABC tetraéder OA, OB, OC élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hegyesszögű! A tetraéder éleire vektorokat illesztünk: OA = a, OB = b, OC = c. ab = ac = bc = 0 az élek merőlegessége miatt. AB AC = (b a)(c a) = bc ba ac + a = a > 0. Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, akkor a két vektor hegyesszöget zár be, tehát az ABC háromszögben az A csúcsnál hegyesszög van. Ugyanígy bizonyítható, hogy a másik két szög is hegyesszög, így a háromszög hegyesszögű. 12. Adott egy ABCD paralelogramma és egy O pont. Bizonyítsuk be, hogy OA + OC OB + OD = 2AB AD! 20

21 OA + OC OB + OD = OA OB + OC OD = = OA OB OA + OB + OC OD OC + OD = = BA OA + OB + DC OC + OD = AB OA OB + AB OC + OD = = AB OC OB + OD OA = AB BC + AD = AB AD + AD = 2AB AD. Az átalakítások során felhasználtuk, hogy a paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlőek, továbbá alkalmaztuk a vektorműveletek tulajdonságait. Megjegyzés: Ha ABCD téglalap, akkor AB AD = 0, mert a téglalap oldalai merőlegesek egymásra. Ezért igaz a következő állítás: A téglalap alapú gúla két-két szemben lévő oldalélének négyzetösszege egyenlő. 13. Az ABC háromszög BC és CA oldalára kifelé szerkesszük meg a BCD, illetve a CAG szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! Az AB oldal felezőpontja O. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: OE = FC = a; OF = EC = b. Az a 1 vektor az a vektornak, a b 1 vektor az b vektornak a 60 -os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja, így GC = 2b ; FI = a. A GCD háromszögben HI középvonal, ezért IH = b.vektorműveleteket használva FE = a b; FH = a b. Ez az eredmény azt mutatja, hogy ha az FE szakaszt az F pont körül 60 -al elforgatjuk, akkor az FH szakaszt kapjuk, tehát az EFH háromszög szabályos. Megjegyzés: Ha az ABC háromszög γ szögét határesetként 180 -nak választjuk, akkor is igaz a feladat állítása: Legyen az AB szakasz belső pontja a C pont. Az AC és CB szakaszra szerkesszük meg az ACG, illetve a CBD szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! 21

22 A bizonyítás erre az esetre is a fent leírt módon alkalmazható.. IV. Ellenőrző feladatok 1. Adottak az a, b, c egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a 2(b + c) b) ab + c c) a bc 2. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen α és β valós számokra teljesül az alábbi egyenlőség? (α + β)a + (β 2)b = (2α β)(a b) 3. Határozza meg az a + b és az a b vektorok hosszát, ha a = 12, b = 10 és a két vektor szöge 80! 4. Az ABCD négyszög oldalvektorai: AB = a; BC = b; CD = c. Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! 5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! 6. Az ABCD húrnégyszög BCD, ACD, ABD, ABC részháromszögeinek magasságpontjai P, R, S. Q. Bizonyítsa be, hogy a PQRS négyszög egybevágó az ABCD négyszöggel! 7. Mekkora az a és b vektor szöge, ha a = 10; b = 8; ab = 60? 8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Adottak az a, b, c egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a 2(b + c) b) ab Alkalmazzuk a vektorműveletek szabályait! 22 + c c) a bc

23 2. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen α és β valós számokra teljesül az alábbi egyenlőség? (α + β)a + (β 2)b = (2α β)(a b) Bármely vektor egyértelműen bontható fel a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre, ezért az egyenlet két oldalán az a és b vektorok együtthatói egyenlőek: α + β = 2α β β 2 = β 2α Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: α = 1; β = 0,5. 3. Határozza meg az a + b és az a b vektorok hosszát, ha a = 12, b = 10 és a két vektor szöge 80! A paralelogramma szomszédos szögei 180 -ra egészítik ki egymás, ezért β = 100. Az ABD háromszögre a koszinusztételt felírva megkapjuk az a + b vektor hosszát. AD = cos 100 = 285,68 a + b = 285,68 = 16,9 Az ABC háromszögre felírva a koszinusztételt megkapjuk az a b vektor hosszát. BC = cos 80 = 202,32 a b = 202,32 = 14,2 4. Az ABCD négyszög oldalvektorai: AB = a; BC = b; CD = c. Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! I. 23

24 Az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Ezt felhasználva: AC = a + b AE = AD = a + b + c AF = EF = a + b 2 a + b + c + a. 2 a + b + c + a a + b a + c = Megjegyzés: Az eredményből látható, hogy az EF vektort a BC = b vektor nélkül ki tudjuk fejezni. Arra is tudunk következtetni, hogy ha az ABCD négyszög trapéz (AB CD), akkor EF párhuzamos a trapéz AB és CD alapjával. II., Az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Az ábra szerint bevezetjük az EA = x és BF = y vektorokat, így EC = x és DF = y. Az EF vektort kétféle módon kifejezzük: EF = x + a + y EF = x + c y 2 EF = a + c a + c EF = 2 Ebből a levezetésből az is érthetővé válik, hogy miért nincs szükségünk a b vektorra az EF vektor kifejezéséhez. 5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! Egy rögzített O pontból a pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. E és F oldalfelező pontok, ezért e = ab ab cd ; f =. az EF szakasz felezőpontja K: k = cd = abcd. Ez éppen a tetraéder súlypontjának helyvektora, tehát beláttuk a feladat állítását. 24

25 6. Az ABCD húrnégyszög BCD; ACD; ABD; ABC részháromszögeinek magasságpontjai P; Q; R; S. Bizonyítsuk be, hogy a PQRS négyszög egybevágó az ABCD négyszöggel! A körülírható kör középpontját választjuk vonatkoztatási pontnak, az ebből a pontból induló helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A 6. kidolgozott feladat eredménye alapján megadjuk a magasságpontokba mutató helyvektorokat: p = b + c + d; q = a + c + d; r = a + b + d; s = a + b + c. Ez alapján: AB = b a; QP = p q = b + c + d (a + c + d) = b a. Tehát az AB oldal párhuzamos és egyenlő a QP oldallal. Hasonlóan tudjuk belátni a többi oldalról is, hogy az ABCD négyszög megfelelő oldalával párhuzamos és egyenlő. Így a PQRS négyszög valóban egybevágó az ABCD négyszöggel. 7. Mekkora az a és b vektor szöge, ha a = 10; b = 8; ab = 60? cos(a, b) = ab a b = = 0,75 (a, b) = 41,41 a két vektor szöge. 25

26 8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! A tetraéder O csúcsából induló éleire illesztjük az a, b, c vektorokat. Egy vektor négyzete megegyezik a hosszának a négyzetével. A feladat feltételét vektorokkal így írhatjuk le: OA + BC = OB + AC a + (c b) = b + (a c) a + c 2cb + b = b + a 2ac + c 0 = 2cb 2ac 0 = 2c(b a) A skaláris szorzat csak akkor lehet nulla, ha a két vektor merőleges egymásra, tehát a tetraéder OC és AB kitérő élei merőlegesek egymásra. A másik két élpárra a bizonyítás ugyanilyen módon történik. 26

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka MAGYARÁZAT Az ajánlott Mértan 0 osztály feladatgyűjtemény a középiskolák 0-es tanulóinak általános iskolai tudásszintjének felmérését szolgálja. A felmérés célja a tízedikes tanulók általános iskolában

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály 40 rózsát el lehet-e osztani 5 lány között úgy, hogy mindegyik lánynak páratlan számú rózsa jusson? Nem lehet.(1 pont) Öt darab páratlan szám összege páratlan, a 40 páros (1 pont). Hogyan tudnátok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint Matematika Gyakorló feladatok vizsgára. évf. emelt szint Egyenletek, egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 4 c) d) e) 4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! = c) =8 d)

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők!

oldalhoz van közelebb. Igazold, hogy a BDE és EDC szögek egyenlők! 1980. évi verseny 1. Kilenc egyforma könyv még nem kerül 100 Ft-nál többe, de tíz ilyen könyv már 110 Ft-nál is többe kerül. Mennyi az ára egy könyvnek? (A könyvek árát 10 fillérre kerekítve adják meg.)

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2005. október 25., 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ

MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ 5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =

Részletesebben

Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger

Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés: A matematikai tehetséggondozás egyik alapja a tehetségek felkutatása. Ahhoz pedig, hogy matematikai tehetségeket találjunk, olyan

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Fodor Csaba, Szeged Név:..... Iskola:. Beküldési határidő:

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon

1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon 1. Halmazok, halmazműveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon Halmazok megadása A halmazt alapfogalomnak tekintjük, így nincs definíciója. A halmazokat általában nagybetűkkel

Részletesebben