Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Átírás

1 Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4), két szomszédos csúcsa A(3, 1, 5) és B(3, 2, 4). Adjuk meg a többi négy csúcs koordinátáit! 3. Az ABC D paralelogramma csúcsai A(3, 2, 5), B(0, 1, 0), C ( 5, 2, 7). Számítsuk ki a D csúcs koordinátáit! 4. Egy paralelogramma középpontja K ( 3, 2, 1), két szomszédos csúcsa A(1, 1, 3), B( 7, 0, 0). Adjuk meg a másik két csúcs koordinátáit! 5. Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, az ebből kiinduló élek végpontjai A(3, 6, 4), B( 4, 7, 0), C (9, 1, 3). Számítsuk ki a többi négy csúcs koordinátáit! 6. Egy szabályos ötszög egyik csúcsának a koordinátái A(1, 0), középpontja az origó. Adjuk meg a többi csúcs koordinátáit! 7. Döntsük el, hogy kollineárisak-e a következő vektorpárok! a) a( 3, 4, 7) és b(2, 5, 1); b) c(12, 9, 15) és d(8, 6, 10) 8. Döntsük el, hogy az alábbi ponthármasok egy egyenesen vannak-e! a) A( 4, 5, 2), B(2, 0, 3), C (14, 10, 13); b) D(0, 3, 5), E(4, 0, 7), F (4, 18, 23); 9. Az adott A(4, 1, 3), B(5, 4, 1) pontokhoz meghatározandók a C (7, y, z) pont y, z koordinátái úgy, hogy az A, B, C pontok egy egyenesen legyenek. 10. Komplanárisak-e a 3a 4b; a+7b; a+43b vektorok? Skaláris szorzat 11. Az ABC szabályos háromszög oldalhossza 2. Számítsuk ki az AB AC szorzat értékét! 12. Adottak a(3, 2, 5) és b( 1, 0, 2) vektorok. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! ab, (3a 2b)a, (a b) 2, a A szögek kiszámítása nélkül döntsük el, hogy az alábbi vektorpárok hegyes-, derék- vagy tompaszöget zárnak be egymással: a) ( 3, 2, 0), (4, 1, 5); b) (1, 1, 9), (2, 1, 3); c) (1, 1, 1), ( 10, 7, 3); d) (5, 3, 4), (1, 1, 2).

2 14. Számítsuk ki az alábbi vektorok hosszát, és adjuk meg a velük egyirányú egységvektorok koordinátáit! a(8, 14, 8); b(0, 3, 0); c(14, 10, 13); d(4, 9, 10); e(24, 7); f (1, 1). 15. Számítsuk ki a következő vektorpárok szögét! a) a(7, 1, 6), b(2, 20, 1); b) g(4, 9), h(2, 5). 16. Adottak a(3, 6, 1) és b(12, 4, z) vektorok. Határozzuk meg z értékét úgy, hogy a és b merőlegesek legyenek egymásra! 17. Bontsuk fel az a(3, 6, 9) vektort a b(2, 2, 1) vektorral párhuzamos és rá merőleges összetevőkre! 18. Bontsuk fel az c(3, 6, 2) vektort a d(5, 4, 20) vektorral párhuzamos és rá merőleges összetevőkre. 19. Mekkora a v( 9, 1, 1) vektornak az a(5, 6, 30) irányú egyenesen lévő vetülete? 20. Bontsuk fel a v(13, 56) vektort az a(2, 7) és b( 3, 0) vektorokkal párhuzamos összetevőkre! 21. Adottak az a(2, 1, 1), b( 1, 3, 0), c(1, 0, 7) vektorok. Bontsuk fel a d(9, 9, 10) vektort a, b és c irányú összetevőkre! 22. Adjunk meg olyan vektort, amely felezi az a( 1, 4, 8) és b( 5, 4, 20) vektorok szögét! Vektoriális szorzat 23. Számítsuk ki annak a paralelogrammának a területét, amelynek élvektorai a és b: a) a( 4, 1, 2), b(5, 2, 7); b) a(1, 7), b( 3, 2). 24. Számítsuk ki az ABC háromszög területét, ha a) A(0, 0, 0), B( 1, 4, 7) C (5, 2, 1); b) A(3, 6), B(2, 7) C (4, 4). 25. Számítsuk ki az ABC háromszög B csúcsához tartozó magasság hosszát és az a csúcsnál lévő szöget, ha a csúcsok koordinátái: A(1, 1, 2), B(5, 6, 2), C (1, 3, 1). 26. Adjuk meg az x és y értékeket úgy, hogy a c(x, y, 16) merőleges legyen az a(1, 5, 4) és b( 1, 3, 1) vektorokra.

3 Vegyesszorzat 27. Mekkora az a(2, 3, 4), b(2, 3, 1), c(1, 2, 3) vektorok által felfeszített paralelepipedon térfogata? 28. Számítsuk ki az ABC háromszög területét, és az ABCD tetraéder térfogatát! Határozza meg az ABCD tetraéder D csúcsához tartozó magasságát! A(2, 1, 1), B(5, 5, 4), C (3, 2, 1), D(4, 1, 3); 29. Döntsük el, hogy komplanárisak-e az alábbi vektorhármasok: (2, 3, 1), (1, 1, 3), (1, 9, 11); 30. Döntsük el, hogy egy síkban vannak-e az alábbi pontnégyesek: (1, 2, 1), (0, 1, 5), ( 1, 2, 1), (2, 1, 3); 31. Válasszuk meg z értékét úgy, hogy az a(4, 1, 2), b(1, 2, 3), c(3, 3, z) vektorok komplanárisak legyenek. 32. Döntsük el, hogy az alábbi vektorhármasok lineárisan függetlenek-e: a) ( 4, 2, 1), (0, 4, 3), ( 4, 6, 4); b) (0, 0, 0), (2, 9, 7), ( 1, 1, 0); c) ( 2, 3), (4, 1), (1, 5). 33. Döntsük el, függetlenek-e az alábbi vektorok: a( 1, 5, 19), b(17, 1, 4), c( 8, 9, 10), d(1, 0, 0). Síkok, egyenesek, metszések 34. Határozzuk meg a sík egy pontjának és egy normálvektorának a koordinátáit, ha egyenlete: a) 2x+5y 4z=11, b) 2x 11y=7, c) 6x= Határozzuk meg az egyenes egy pontjának és egy irányvektorának koordinátáit és írjuk fel egyenes vektorparaméteres előállítását, ha egyenletrendszere a) x 2 y 5 z b) 1 z+8 x 3 y Írjuk fel a P(1, 5, 7) ponton átmenő n(1, 1, 2) normálvektorú sík egyenletét! 37. Írjuk fel a P(2, 5, 5) ponton átmenő xy síkkal párhuzamos sík egyenletét! 38. Írjuk fel az A(2, 1, 3) ponton átmenő és a 2x 7y+5z=6 síkkal párhuzamos sík egyenletét! 39. Írjuk fel az A(1,2,3) és B(5, 4, 3) pontok által meghatározott szakasz felezőmerőleges síkjának az egyenletét!

4 x Írjuk fel az A(2, 4, 3) pontra és 3 y 4 z 5 egyenesre illeszkedő sík egyenletét! 41. Írjuk fel az M pontra illeszkedő, és az a és b vektorokkal párhuzamos sík egyenletét! M(1, 2, 1), a(1, 1, 1), b(2, 2, 3) 42. Írjuk fel az A(3, 2, 1) pontra illeszkedő, az a(1, 2, 1) vektorral párhuzamos és 2x+5y z=3 síkra merőleges sík egyenletét! 43. Írjuk fel az A(0, 0, 0) pontra illeszkedő, az x y+z=1 és a 2x 3y 5z=2 síkokra merőleges sík egyenletét! 44. Írjuk fel az ABC sík egyenletét, ha A(4, 0, 2) B( 1, 2, 3), C(5, 1, 3)! 45. Van-e olyan sík, amelyik illeszkedik az A(1, 2, 3), B(2, 1, 5), C(3, 4, 7), D(5, 1, 2) pontokra? x 2 y 46. Írjuk fel az z és az x 8 z y8 2 egyenesek által meghatározott sík egyenletét! 47. Az S síkra az origóból bocsátott merőleges talppontja P(2, 1, 1) pont. Írjuk fel az S sík egyenletét! 48. Az e egyenesre az origóból bocsátott merőleges talppontja P(3, 4) pont. Írjuk fel az e egyenes egyenletét! 49. Írjuk fel az A(1, 2, 3), B(2, 1, 5) pontokat összekötő egyenes paraméteres egyenletrendszerét ill. egyenletrendszerét! 50. Írjuk fel annak az egyenesnek a vektorparaméteres egyenletét illetve egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P pontra és párhuzamos a v vektorral! a) P(3, 2, 1), v(1, 3, 4) b) P(7, 2, 5), v(0, 0, 1) 51. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A( 4, 1), B(2, 3), C(0, 5). Írja fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletét! 52. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-3,0), B(5,0) és C(3,6) Számítsa ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit! x 2 y 1 z 5 egyenesek normál x 2 y Írjuk fel az z és az 4 2 transzverzálisának egyenletrendszerét! 54. Írjuk fel a 2x 5y+z=3 és a 3x y+2z=7 síkok metszésvonalának egyenletrendszerét! 55. Határozzuk meg az e egyenes és az S sík döféspontját! a) e: r(t)=(3, 2, 1)+t( 1, 3, 4) és S: 2x 5y+2z+7=0 b) e: 1 z+8 x 3 y és S: 3x y+4z=

5 Távolság, szög 56. Határozzuk meg a P(5, 7, 2) pontnak a Q( 2, 3, 4) ponton átmenő és n(1, 2, 1) normálvektorú síktól való távolságát! 57. Határozzuk meg az 54. feladatban szereplő két sík távolságát! 58. Számítsuk ki a 2x y+5z=7 és az 5x+2y z=3 síkok hajlásszögét! 59. Legyenek adottak az OA (4, 0, 2), OB ( 1, 2, 3), OC (2, 4, 5) vektorok. Határozzuk meg az OC egyenes és OAB sík hajlásszögét! 60. Számítsuk ki az P pontnak az e egyenestől való távolságát! a) P(1, 1, 2) és e: b) P( 3, 1, 4) és e: x 4 y x 1 y 1 t z Számítsuk ki az P pontnak az S síktól való távolságát! a) P(3, 4, 5) és S: x 1 4t s y 3 t 2s z 4 2t 3s b) P( 2, 2, 1) és S: 6x+5y 7z 11=0 62. Határozza meg a P(5, 6, 7) pont távolságát az A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 3) pontokon átmenő síktól! 63. Számítsa ki az x 17t y 2t egyenes és az x+2y 3z=1 sík távolságát! z 1 t 64. Határozzuk meg az e egyenes és az S sík szögét! a) e: r(t)=(3, 2, 1)+t( 1, 3, 4) és S: 2x 5y+2z+57=0 b) e: 1 z+8 x 3 y és S: 3x y+4z= Határozza meg az alábbi egyenesek szögét! a) x 1t y t z 4 t és x 1t y 3 t z 2 2t z 5

6 b) c) x 1t y 2 3t z 5 4t és x 2 y 3 z és 4 2 x 4 y z 5 x 2 y 1 z Határozzuk meg az x 2 y 3 z és az x 2 y 1 z 5 egyenesek távolságát! Határozzuk meg a 2x 5y=3 és a 3x y=7 egyenesek szögfelezőinek egyenletét! 68. Határozzuk meg a 2x 5y+z=3 és a 3x y+2z=7 síkok szögfelező síkjának (síkjainak) egyenletét!