Lineáris algebra mérnököknek
|
|
- Erzsébet Szekeres
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK
2 Vektorok
3 Vektorok A 2- és 3-dimenziós tér vektorai
4 Célkitűzések E lecke befejezése után a hallgató különbséget tud tenni irányított szakasz és vektor között, ki tudja számolni vektorok vektori szorzatát, és alkalmazni tudja elemi geometriai feladatokban, meg tudja határozni 2 síkbeli vagy 3 térbeli vektor orientációját, ki tudja számolni paralelepipedon (előjeles) térfogatát, paralelogramma (előjeles) területét. fel tudja írni egy egyenes vagy sík explicit és implicit egyenlet(rendszer)ét megadott adatokból vagy a másik alakjából. 2
5 Irányított szakasz kötött vektor (a) (b) (a) elmozdulásvektor, (b) rugalmas testen alakváltozást okozó erő vektora. 3
6 Irányított szakasz vektor - Irányított szakaszon olyan szakaszt értünk, melynek végpontjait megkülönböztetjük: egyiküket kezdő-, másikukat végpontnak nevezzük. Az A kezdőpontú, B végpontú irányított szakaszt AB jelöli. - Vektoron a párhuzamosan egymásba tolható irányított szakaszok egy osztályát értjük. Tehát egy irányított szakasz csak reprezentál egy vektort, de ugyanazt a vektort reprezentálja bármely párhuzamos eltoltja is. Jelölések: a, a, a, a. 4
7 Szabad vektor vektor ekvivalencia reláció - Ha az irányított szakasz a hal, a vektor a halraj. D Ekvivalencia reláció L! R a H halmaz rendezett elempárjainak egy részhalmaza. a az R relációban van b-vel ha (a, b) R, jelölés: a R b. Az R reláció ekvivalencia reláció, ha minden a, b, c H elemre (1) a R b (reflexív), (2) ha a R b, akkor b R a (szimmetrikus), (3) ha a R b, b R c, akkor a R c (tranzitív). D Vektor L! két irányított szakasz ekvivalens, ha egyik a másikba tolható. Ekkor a vektorok az ekvivalenciaosztályok. 5
8 Vektor a fizikában - A fizikában használt kötött vektor és szabad vektor fogalmak megfelelnek a fenti irányított szakasz és vektor fogalmaknak: Fizika kötött vektor szabad vektor Matematika irányított szakasz vektor 6
9 Origó - A közös kezdőpont P OP O - A sík pontjai és vektorai közti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés: egy P pontnak az OP vektor felel meg, az origónak a nullvektor. - Míg egy irányított szakasz megadásához két pont rendezett párjának megadása szükséges, addig egy vektor megadásához elegendő egyetlen pont megadása, ha van origó. 7
10 A vektor jellemzői D D Vektor hossza, abszolút értéke, euklideszi normája Vektor hosszán egy reprezentánsa két végpontjának távolságát értjük. A 0 hosszúságú vektort zérusvektornak nevezzük. Az a vektor hosszát a, illetve a jelöli. Vektor állása Két nemzérus vektor kollineáris párhuzamos azonos állású, ha az őket tartalmazó egyenesek párhuzamosak. Jelölés: a b. Nemzérus vektorok állásán az azonos állású vektorok osztályát értjük. A zérusvektor állása tetszőleges. 8
11 A vektor jellemzői D Vektor iránya Két nemzérus kollineáris vektor azonos irányú, ha a kezdőpontjukból induló és a végpontjukat tartalmazó félegyenesek párhuzamosan egymásba tolhatók. Nemzérus vektorok irányán az azonos irányú vektorok osztályát értjük. 0 iránya tetszőleges. 9
12 Vektorok szöge D Szög, irányított szög Két nem párhuzamos síkbeli a és b vektor (a, b) -vel jelölt szöge megegyezik a közös pontból induló, velük párhuzamos két félegyenes szögével, mely egy [0, π] intervallumba eső szám. Ha a és b sorrendjét is megadjuk, két eset lehetséges: ha az a-val párhuzamos félegyenes a b-vel párhuzamos félegyenesbe az óramutató járásával ellentétes forgatással vihető át, akkor a két vektor szögét pozitív, ellenkező esetben negatív előjellel látjuk el. E szöget a két vektor irányított szögének nevezzük és (a, b) -vel jelöljük. a a b + b 10
13 Orientáció a síkban D Jobbrendszer, balrendszer Két nem párhuzamos síkbeli a és b vektor jobbrendszert alkot, ha (a, b) > 0, és balrendszert, ha (a, b) < 0. a a b + b Míg (a, b) = (b, a), addig (a, b) = (b, a), és ha (a, b) = π/2, akkor (a, b) = π/2. 11
14 Bal, jobb? - Vektorok szögének előjele, illetve vektorok orientációja valójában nem definiálható, csak annyi, hogy két vektorpár előjele azonos vagy különböző, és ha az egyiket pozitívnak (jobbrendszernek) nevezzük akkor a másik negatív (balrendszer) lesz. Az óramutató járására hivatkozás egy külső nézőpontot definiál, ha a síkra a másik oldaláról nézünk, minden az ellenkezőjére változik. D Jobbrendszer, balrendszer 3D-ben Három nem egy síkba eső a, b és c vektor jobbrendszert alkot, ha c iránya felől nézve (a, b) > 0, és balrendszert, ha (a, b) < 0. 12
15 Orientáció a térben c c c a b a b a b c c c b a b a b a 13
16 Vektorok Vektori szorzás
17 A vektori szorzás fogalma D Vektori szorzat A 3-dimenziós tér két vektorának vektori szorzatán azt a vektort értjük, melynek 1. abszolút értéke a két vektor abszolút értékének és közbezárt szöge szinuszának szorzata, 2. állása merőleges mindkét vektorra, 3. ha a szorzat nem a nullvektor, akkor iránya olyan, hogy az első tényező, a második tényező és a szorzat ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. 14
18 A vektori szorzás fogalma (cross product) - Az a és b vektorok vektori szorzatát a b jelöli, amit a kereszt b -nek olvasunk. Képletekkel megfogalmazva: a b egy vektor, melyre a b = a b sin(a, b), a b a, a b b, továbbá a, b és a b ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, ha a b = 0. - A vektor abszolút értékére a fenti képlet valóban nem negatív számot ad, mert a szinusz függvény a [0, π] intervallumon nem negatív. - E definíció bármely két 3-dimenziós vektor vektori szorzatát egyértelműen definiálja, ugyanis minden olyan esetben, amikor nem dönthető el, hogy a vektorok jobbrendszert alkotnak-e, a szorzat a nullvektor. 15
19 P Példa Tegyük fel, hogy a tér két vektora 2 illetve 5 hosszú, az általuk bezárt szög koszinusza 4 5. Mit tudunk a vektori szorzatról? M Számítsuk ki a vektorok hajlásszögének szinuszát! - Ha cos γ = 4 5 1, akkor sin γ = ( 4 5 )2 = 3 5. Mennyi a vektorok szorzatának hossza? - A vektori szorzat hossza a b sin(a, b) = = 6. - A szorzat merőleges mindkét vektorra és a, b, a b ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Így a következőképp ábrázolható: a b a b 16
20 P i, j, k vektori szorzatai Legyen i, j, k három, egymásra páronként merőleges, ebben a sorrendben jobbrendszert alkotó egységvektor. Készítsünk művelettáblát vektori szorzataikról! M Mik e vektorok önmagukkal vett szorzatai? - Mivel (i, i) = 0, ezért i i = 0, így i i = 0. Hasonlóan j j = k k = 0. - Mivel i = j = 1 és (i, j) = 90, ezért i j = 1. i j merőleges i-re és j-re, és i, j valamint i j jobbrendszert alkotnak épp úgy, mint i, j és k i j = k. i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0 i k j 17
21 Vektori szorzat tulajdonságai T T Mikor 0 a vektori szorzat? Két térbeli vektor vektori szorzata pontosan akkor zérusvektor, ha a két vektor párhuzamos. Vektori szorzat abszolút értékének geometriai jelentése Két vektor vektori szorzatának abszolút értéke a két vektor által kifeszített paralelogramma területének mérőszámával egyenlő. b m a 18
22 Vektori szorzás műveleti tulajdonságai T Vektori szorzás műveleti tulajdonságai Tetszőleges a, b és c vektorokra, valamint tetszőleges r valós számra igazak az alábbi összefüggések: 1. a b = b a (alternáló tulajdonság) 2. (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c (disztributivitás) 3. r(a b) = (ra) b = a (rb) 4. a b = a 2 b 2 a b 2 5. a (b c) = (a c)b (a b)c = b(a c) c(a b) 4. a b = a b sin(a, b) = a b 1 cos 2 (a, b) = a 2 b 2 a 2 b 2 cos 2 (a, b) = a 2 b 2 a b 2 19
23 Vektori szorzás műveleti tulajdonságai - A tétel első pontja szerint a vektori szorzás nem kommutatív! - A vektori szorzás nem is asszociatív. Az i, j, k vektori szorzatai című példa eredményét használva könnyen látható, hogy (i j) j i (j j), ugyanis (i j) j = k j = i, másrészt i (j j) = i 0 = 0. 20
24 Vektori szorzat kiszámítása koordinátás alakból T Vektori szorzat kiszámítása A térbeli a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok vektori szorzata derékszögű koordináta-rendszerben a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ). B Kihasználva, hogy i i = j j = k k = 0, i j = k, j i = k,, a következőt kapjuk: a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 2 b 3 j k + a 3 b 2 k j + a 3 b 1 k i + a 1 b 3 i k + a 1 b 2 i j + a 2 b = a 2 b 3 i a 3 b 2 i + a 3 b 1 j a 1 b 3 j + a 1 b 2 k a 2 b 1 k = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ). 21
25 Két séma a kiszámításra m Első séma: a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 m Második séma: i j k i j a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 b 1 b 2 (a 2 b 3 a 3 b 2 )i + (a 3 b 1 a 1 b 3 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k 22
26 P Példa Számítsuk ki az a = (0, 1, 2) és a b = (3, 4, 5) vektorok vektori szorzatát! M Bármelyik fenti sablon használható: i j k i j (0, 1, 2) (3, 4, 5) = ( , , ) = ( 3, 6, 3) 23
27 Paralelepipedon térfogata T Paralelepipedon térfogata Az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata (a b) c. A (a b) c kifejezés értéke pozitív, ha a vektorok jobbrendszert, negatív, ha balrendszert alkotnak, és nulla, ha egy síkba esnek. B Az a és b által kifeszített paralelogramma területe a b, és mivel a b merőleges a paralelogramma síkjára, ezért a paralelepipedon magassága c-nek az a b egyenesére eső merőleges vetületi hosszával egyenlő. - Kell az a b irányú egységvektor: a magasság e c. e = a b a b, 24
28 Előjeles térfogat - Így a térfogat (azaz az alapterületszer magasság) értéke a b a b a b c = (a b) c. - Tehát a paralelepipedon térfogata (a b) c. A (a b) c skalár pontosan akkor negatív, ha a c vektor a b egyenesére eső merőleges vetülete és a b ellenkező irányú. Vagyis ha a c vektor az a és b síkjának másik oldalán van, mint az a b vektor, azaz ha a, b és c balrendszert alkot! Végül (a b) c = 0 pontosan akkor teljesül, ha a b c, azaz ha a három vektor egy síkba esik. D Paralelepipedon előjeles térfogata A (a b) c skalárt az a, b és c vektorok által kifeszített paralelelpipedon előjeles térfogatának nevezzük. 25
29 T Paralelepipedon térfogatának kiszámítása L! a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) és c = (c 1, c 2, c 3 ). Ekkor (a b) c = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1 (a b) c = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) (c 1, c 2, c 3 ) = a 2 b 3 c 1 a 3 b 2 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 + a 1 b 2 c 3 a 2 b 1 c 3 = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1 m A korábban használt sablon átültethető: a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 26
30 P Paralelepipedon térfogata Számítsuk ki a (2, 1, 2), (1, 2, 2) és (2, 2, 1) vektorok alkotta paralelepipedon előjeles térfogatát és térfogatát! M A sablonba helyettesítjük a számokat: Kifejtve: = 5, tehát az előjeles térfogat 5. A három vektor tehát balrendszert alkot, és az általuk kifeszített paralelepipedon térfogata 5. D Az (a b) c szorzatot nevezik vegyes szorzatnak is, Jelölés abc. Á (a b) c = a (b c) = abc = bca = cab = cba = bac = acb. 27
31 Paralelogramma területe T Paralelogramma területe Az (a 1, a 2 ) és (b 1, b 2 ) vektorok által kifeszített paralelogramma területe a 1 b 2 a 2 b 1. Ha a 1 b 2 a 2 b 1 > 0 a két vektor jobb-, ha < 0 balrendszert alkot. - Ötlet: (a 1, a 2, 0) (b 1, b 2, 0) = (0, 0, a 1 b 2 a 2 b 1 ) a 1 a 2 0 a 1 a 2 b 1 b 2 0 b 1 b 2 - A terület (0, 0, a 1 b 2 a 2 b 1 ) = a 1 b 2 a 2 b 1 - Ha a (0, 0, a 1 b 2 a 2 b 1 ) és k egyirányúak, azaz a 1 b 2 a 2 b 1 > 0, akkor jobb-, ha < 0 balrendszert alkotnak. m Sablon: a 1 a 2 b 1 b 2 28
32 Paralelogramma előjeles területe D P Paralelogramma előjeles területe Két síkbeli vektor által kifeszített paralelogramma előjeles területe megegyezik területével, ha a két vektor jobbrendszert alkot, és a terület 1-szeresével, ha balrendszert. Példa Mekkora az a = ( 19, 20) és b = (20, 21) vektorok által kifeszített paralelogramma területe és jobb vagy balrendszert alkotnak e vektorok? M Az előjeles terület ( 19) ( 21) = 1, balrendszer:
33 Másod és harmadrendű determináns D 2 2-es és 3 3-as mátrix, determináns Egy négyzetes mátrix (számtáblázat) n-edrendű, ha n n-es, azaz n sorból és n oszlopból áll. A másod- és harmadrendű mátrixhoz az alábbi képlettel rendelt számot a mátrix determinánsának nevezzük. [ ] a b a b det = = ad bc, c d c d a b c a b c det d e f = d e f = aei + bfg + cdh ceg afh bdi. g h i g h i Ez megegyezik a paralelogramma/paralelepipedon előjeles területével/térfogatával. 30
34 Másod és harmadrendű determináns Sarrus-szabály Sarrus-szabály: n = 2, n = 3 esetén a determináns kiszámolható a főátló-sodrásúak mellékátló-sodrásúak képlettel, de ez nagyobb rendű determinánsokra nem érvényes. 3-adrendűre az alábbi ábra jelent segítséget: azonos alakúak szorzatainak összegéből az azonos színűek szorzatait kell kivonni. a b c d e f g h i 31
35 Vektorok Egyenes és sík egyenletei
36 Geometriai alakzat implicit egyenlet(rendszer)e D Alakzat implicit egyenletrendszere Egy (geometriai) alakzat egy adott koordináta-rendszerre vonatkozó (implicit) egyenlet(rendszer)én olyan, a koordinátákra felírt egyenletrendszert értünk, melynek egyszerre minden egyenletét kielégítik az alakzathoz tartozó pontok koordinátái, de más pontokéhoz tartozók nem. Az egyenletrendszer pontokba mutató vektorokra felírt alakját (implicit) vektoregyenlet(rendszer)nek nevezzük. 32
37 P P Az origó közepű egységsugarú kör implicit egyenlete x 2 + y 2 = 1, míg implicit vektoregyenlete r = 1. Tekintsük a térben a a z = 1 síkban fekvő, egységsugarú kört, amelynek középpontja a z-tengelyre esik! - Ennek implicit egyenletrendszere x 2 + y 2 = 1, - Implicit vektoregyenlet-rendszere z = 1, r = 2, r k = 1, minden pont 2 távolságra van az origótól ez a z = 1 egyenlet vektoros alakja. 33
38 Geometriai alakzat explicit egyenlet(rendszer)e D Alakzat explicit egyenletrendszere Egy alakzat egy adott koordináta-rendszerre vonatkozó explicit vagy paraméteres egyenletrendszerén olyan egyenletrendszert értünk, melyben az egyenletek bal oldalán a pontok koordinátáit megadó változók, jobb oldalán adott paraméterek függvényei szerepelnek. Az alakzat explicit vektoregyenletén olyan egyenletet értünk, melynek bal oldalán az alakzat pontjaiba mutató r vektor, jobb oldalán paraméterektől függő vektorértékű függvény szerepel. 34
39 P Írjuk fel az y = x 2 egyenletű parabola explicit egyenletrendszerét és explicit vektoregyenletét! M Válasszuk paraméternek a parabola egy pontjának első koordinátáját, azaz legyen t = x! - Az explicit egyenletrendszer: x = t, y = t 2. - Az explicit vektoregyenlet: az előző lépés paraméterválasztása most is megfelel! - r = ti + t 2 j. 35
40 Irányvektor, normálvektor D D Irányvektor A sík vagy a tér egy egyenesével párhuzamos tetszőleges nemzérus v vektort az egyenes irányvektorának nevezzük. Normálvektor Egy síkbeli egyenesre merőleges, illetve a tér egy síkjára merőleges nemzérus vektort az egyenes, illetve a sík normálvektorának nevezzük. 36
41 Egyenes explicit egyenlet(rendszer)ei T Egyenes explicit vektoregyenlete A sík vagy a tér minden egyenesének van r = r 0 + tv, t R alakú vektoregyenlete, és minden ilyen alakú egyenlet egy egyenes egyenlete, ahol v 0 az egyenes egy irányvektora, és r 0 az egyenes egy tetszőleges, de rögzített pontjába mutató vektor. r 0 O v Q e r tv 37
42 B Mutasson r 0 az egyenes egy tetszőleges pontjába. Világos, hogy az e egyenes bármely pontjába mutató r vektorra r r 0 = tv valamilyen t valós számra, azaz r előáll r 0 + tv alakban. - Másrészt ha Q a sík egy tetszőleges, nem az e egyenesre eső pontja, akkor OQ r 0 nem párhuzamos v-vel, tehát nem is konstansszorosa, azaz OQ r 0 tv semmilyen t-re sem, így OQ nem áll elő r 0 + tv alakban. - Tehát az e tetszőleges pontjába mutató r vektor felírható r = r 0 + tv alakban, és ez csak e pontjaira igaz. 38
43 T Egyenes explicit egyenletrendszere A sík minden egyenesének van x = x 0 + at y = y 0 + bt alakú egyenletrendszere, ahol (a, b) 0 az egyenes egy irányvektora, és (x 0, y 0 ) az egyenes egy tetszőleges rögzített pontja. Hasonlóképp a tér minden egyenesének van x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct alakú egyenletrendszere, ahol (a, b, c) 0 az egyenes egy irányvektora, és (x 0, y 0, z 0 ) az egyenes egy tetszőleges rögzített pontja. 39
44 Síkbeli egyenes implicit egyenlet(rendszer)ei T Síkbeli egyenes implicit vektoregyenlete A sík minden egyenesének van n (r r 0 ) = 0,és vele ekvivalens n r = C alakú vektoregyenlete, és minden ilyen alakú egyenlet egy egyenes egyenlete, ahol n 0 az egyenes egy normálvektora, r 0 az egyenes egy tetszőleges, de rögzített pontjába mutató vektor és C konstans. n O r e r 0 r r 0 40
45 - Az alábbi ábráról leolvasható, hogy ha az n normálvektor egységvektor, akkor az C szám geometriai jelentése az, hogy az egyenes bármely pontjába mutató vektornak az n egyenesére eső merőleges vetületének C a hossza, azaz C az origónak a síktól való előjeles távolsága. (Az előjel azt mondja meg, hogy az origó a sík melyik oldalán van.) O r e C n r 0 r r 0 41
46 T Síkbeli egyenes (implicit) egyenlete A sík minden egyenesének van Ax + By = C (1) alakú egyenlete, és minden ilyen alakú egyenlet egy egyenes egyenlete, ahol A és B közül nem mindkettő nulla, és ( B, A) az egyenes egy irányvektora. P Síkbeli egyenes egyenletei Írjuk fel a (2, 3) és az (1, 1) koordinátájú pontokon átmenő egyenes összes egyenlet(rendszer)ét! 42
47 M Számítsuk ki az egyenes irányvektorát és válasszunk ki egy pontot az egyenesen! - v = (2, 3) (1, 1) = (1, 2), r 0 = (1, 1). - Az explicit vektoregyenletre vonatkozó képletbe helyettesítve: r = (1, 1) + t(1, 2). - Az explicit egyenletrendszer: x = 1 + t y = 1 + 2t. - Az irányvektor (1, 2), amiből a normálvektor (A, B) = ( 2, 1). Innen az egyenes implicit vektoregyenlete ( 2, 1) (r r 0 ) = 0, azaz ( 2, 1) (x 1, y 1) = 0 vagy ( 2, 1) (x, y) = ( 2, 1) (1, 1), amiből az (implicit) egyenlete 2x y = 1. 43
48 Sík egyenlet(rendszer)ei T Sík explicit egyenletei Bármely síknak van r = r 0 + su + tv alakú explicit vektoregyenlete, és minden ilyen alakú egyenlet egy sík egyenlete, ahol u = (a 1, b 1, c 1 ) és v = (a 2, b 2, c 2 ) a sík két nem párhuzamos vektora és r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) a sík egy tetszőleges, de rögzített pontjába mutató vektor. A fenti egyenlet ekvivalens alakja a sík explicit egyenletrendszere: x = x 0 + sa 1 + ta 2 y = y 0 + sb 1 + tb 2 z = z 0 + sc 1 + tc 2 44
49 v tv r 0 u su r r 0 r O B Az r helyvektor végpontján át az u és v vektorokkal párhuzamos egyenesek berajzolásából, hogy megfelelő t és s konstansokkal az r r 0 vektor előáll tu + sv alakban, így r = r 0 + su + tv. E formula koordinátákra fölírt alakja adja a tétel második képletét. 45
50 T Sík implicit vektoregyenlete A háromdimenziós térben minden síknak van n (r r 0 ) = 0, és a vele ekvivalens n r = D alakú vektoregyenlete, és minden ilyen alakú egyenlet egy sík egyenlete, ahol n a sík egy normálvektora, r 0 a sík egy tetszőleges, de rögzített pontjába mutató vektor és D konstans. B L! n = u v. Mivel n u és n v, ezért n u = n v = 0. Így n (r r 0 ) = n (su + tv) = sn u + tn v = = = 0 46
51 T Sík implicit egyenlete A háromdimenziós térben minden síknak van Ax + By + Cz = D alakú egyenlete, és minden ilyen alakú egyenlet egy sík egyenlete, ha A, B és C legalább egyike nem nulla, és D = Ax 0 + By 0 + Cz 0, ahol (x 0, y 0, z 0 ) a sík valamely pontja. B Az n = (A, B, C) jelöléssel a sík egyenlete az implicit vektoregyenletből A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 alakra hozható, vagy ami vele ekvivalens, Ax + By + Cz = D alakra. 47
52 P Sík egyenletei Írjuk fel a (0, 1, 2) ponton átmenő, az u = (2, 2, 2) és v = ( 1, 1, 5) vektorokkal párhuzamos sík egyenleteit! M A sík explicit vektoregyenlete és explicit egyenletrendszere x = 2s t (x, y, z) = (0, 1, 2)+s(2, 2, 2)+t( 1, 1, 5), ill. y = 1 + 2s + t z = 2 + 2s + 5t - A normálvektor: (2, 2, 2) ( 1, 1, 5) = (8, 12, 4). - 8(x 0) 12(y ( 1)) + 4(z 2) = 0, azaz 4-gyel való osztás és átrendezés után 2x 3y + z = 5. - (2, 3, 1) (x, y, z) = 5, vagy (2, 3, 1) (x, y + 1, z 2) = 0. 48
53 Térbeli egyenes implicit egyenletrendszere T Térbeli egyenes implicit egyenletrendszere A tér minden egyenesének van két egyenletből álló implicit egyenletrendszere. Legyen (a, b, c) (0, 0, 0) az egyenes egy irányvektora. Az alábbi három egyenlet közül bármelyik két különböző, amelyik nem 0 = 0 alakú az egyenes egy egyenletrendszerét adja: b(x x 0 ) = a(y y 0 ) c(x x 0 ) = a(z z 0 ) c(y y 0 ) = b(z z 0 ) 49
54 B Az egyenes paraméteres egyenletrendszeréből küszöböljük ki a paramétert. - Szorozzuk be az első egyenletet b-vel, a másodikat a-val, majd vonjuk ki a második egyenletet az elsőből, kapjuk, hogy bx ay = bx 0 ay 0. Hasonlóképp adódik cx az = cx 0 az 0 és cy bz = cy 0 bz 0. Átrendezzük.? Mi történik, ha a normálvektor két koordinátája 0? - Mivel (a, b, c) (0, 0, 0), így legalább az egyik koordináta nem 0. Ha pl. a 0, b = c = 0, akkor az egyenletrendszer y = y 0 z = z 0 alakú: ez két nem párhuzamos sík egyenlete. Metszetük egyenes. (A harmadik egyenlet 0 = 0 alakú, ami elhagyható.) 50
55 ? Mi történik, ha a normálvektor egy koordinátája 0? - Ekkor két egyenlet azonos, egyikük elhagyható. Ha például ha a 0, b 0 de c = 0, akkor az egyenletek alakja b(x x 0 ) = a(y y 0 ) z = z 0 z = z 0.? Mit mondhatunk, ha az irányvektor egyik koordinátája sem 0? - Ekkor három sík egyenletét kapjuk, melyek közül semelyik kettő sem párhuzamos a bennük szereplő változók különbözősége miatt, így bármelyik kettő metszete ugyanaz az egyenes: bármelyik két egyenlet megtartható. m Ha egyik koordináta sem 0, akkor a fenti egyenletrendszert egy átrendezett alakban adják meg: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c 51
56 P A (0, 2, 4) ponton átmenő, (1, 3, 0) irányvektorú egyenes - explicit egyenletrendszere x = t y = 2 + 3t z = 4, - implicit egyenletrendszere y 2 = 3x z = 4. 52
57 P Az (1, 2, 3) ponton átmenő, (4, 5, 6) irányvektorú egyenes - explicit egyenletrendszere x = 1 + 4t y = 2 + 5t z = 3 + 6t, - egy implicit egyenletrendszere 5(x 1) = 4(y 2) 6(x 1) = 4(z 3). 53
58 Egyenes és sík P Két sík metszésvonala Az S 1 sík három pontja P(1, 1, 1), Q(2, 3, 1), R(1, 1, 2), az S 2 sík egyenlete x + y + z = 1. Írjuk fel a két sík metszésvonalának explicit egyenletrendszerét. M Írjuk fel az S 1 egyenletét! - Az S 1 sík két vektora PQ = (1, 2, 0) és PR = (0, 0, 1). Ezek vektori szorzata n = (1, 2, 0) (0, 0, 1) = (2, 1, 0). - Az S 1 egy pontja P, a P-n átmenő n normálvektorú sík egyenlete (2, 1, 0) (x 1, y 1, z 1) = 0, azaz 2x y = 1. 54
59 - Írjuk fel a metszet explicit egyenletrendszerét a két sík egyenleteiből álló egyenletrendszer megoldásával! - Az egyenletrendszer x + y + z = 1 2x y = 1. Az összes megoldás megtalálásához válasszuk az egyik változót paraméternek. Pl. legyen x = t. A második egyenletből y = 2t 1. Az első egyenletbe való helyettesítés után z = 2 3t. Összefoglalva: x = t y = 1 + 2t z = 2 3t 55
Lineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
Lineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Analitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Analitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
Az egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Koordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai 5. 1 Vektorok 9. 2 Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 53. Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 9
Tartalomjegyzék I. A lineáris algebra forrásai 5 1 Vektorok 9 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 9 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 9 Vektor magadása egy irányított szakasszal 10 Vektor megadása
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
I. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai 7. 1 Vektorok Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 51
Tartalomjegyzék I. A lineáris algebra forrásai 7 1 Vektorok 11 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 11 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 11 Vektor magadása egy irányított szakasszal 12 Vektor
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],
(megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Koordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat
6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
A kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Néhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.
1. Vektorok, lineáris algebra 1.1. Mátrixok 1.1.1. Fogalmak, tételek Definíció A mátrix elemek általában számok táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybetűvel jelölik ezen felül nyomtatásban
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Tartalomjegyzék. 1 Vektorok Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben Távolság, szög, orientáció Vektorok koordinátás alakban 20
Tartalomjegyzék Vektorok Vektorok a - és -dimenziós térben Vektorok, Vektor magadása, Vektorműveletek a - és -dimenziós térben, 4 Lineáris kombináció, 6 Lineáris függetlenség, 8 Speciális lineáris kombinációk,
GEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Geometriai példatár 2.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi
Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
Haladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:
1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500