Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Intergrált Intenzív Matematika Érettségi"

Átírás

1 . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,. a) Számítsd ki a d determinánst, ha a, b és b c a c. b) Igazold, hogy d ( a b c ) ( a b ) ( b c ) ( c a ), bármely abc,, esetén! c) Oldd meg a valós számok halmazán a (5) 0 egyenletet!. Adott a determináns, ahol,, d ki:. b) Számítsd ki: az 0 egyenlet megoldásai. a) Számítsd. c) Számítsd ki a d determináns értékét! 4. Az M ( ) halmazban tekintsük az I, A 0 és X ( a) I aa mátriokat, a. a) Számítsd ki az A mátriot! b) Igazold, hogy X ( a) X ( b) X ( a b ab), bármely ab, esetén! c) Számítsd ki az X () X () X ()... X (009) összeget! 5. Adott az A, mátri. a) Határozd meg az értékét, ha det A 0. b) Igazold az A A I egyenlőséget! c) Határozd meg az azon értékét, amelyre A A Adottak az A, B és 0 I 0 mátriok. a) Számítsd ki a B mátriot! b) Igazold, 4 hogy A. c) Igazold, hogy 4 4 C 6 I, ahol C B A. t t 7. Adottak az X, Y mátriok. Legyen A X Y és B( a) aa I, ahol a és Y az Y mátri transzponáltja. a) Igazold, hogy A 4 6. b) Számítsd ki az A mátri determinánsát! c) 6 9 Igazold, hogy a Ba ( ) mátri invertálható, bármely a \ 4 esetén! a b 8. Az M halmazban adottak az A c d mátri. a) Számítsd ki az a, b, c, d egész számokat, ha t t AI O. b) Számítsd ki a B A A mátri determinánsát! c) Igazold, hogy ha A A I, akkor az t A A mátri determinánsa egy 4-gyel osztható szám Adott az A M ( ) mátri. a) Számítsd ki az A. mátri determinánsát! b) Igazold, hogy A A O. c) Számítsd ki az 0 A A 0 A összeget!

2 0. Adottak az U 0 0, X y X V U, akkor és v 9 V v mátriok, ahol v,, y. a) Igazold, hogy ha ( v 9) 0. b) Határozd meg a v valós szám azon értékeit, amelyekre a V mátri determinánsa zérótól különböző! c) Határozd meg a megoldását!. Adottak az Számítsd ki az. Adott a A 0, I 0 0 A és 0 0 B összeget! c) Határozd meg az y 0 9y 0 0 B A mátri inverzét! egyenletrendszer három különböző mátriok. a) Igazold, hogy A I B. b) Da ( ) 9 determináns, ahol a valós szám. a) Számítsd ki a D (9) determinánst! b) Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) 0 a a Da egyenletet! c) Oldd meg a valós számok halmazán a D egyenletet!. Adott az A 5 0 M ( ) mátri. a) Számítsd ki az A A mátriot! b) Oldd meg a 0 n n n n 5 0 det A 5 5 egyenletet, ha ismert, hogy A, n, n. c) Határozd meg a B A A... A mátri transzponáltját! 4. Az M ( ) halmazban adottak az A 4, 4 B mátriok. a) Igazold, hogy AB BA. b) Számítsd ki az A B mátriot! c) Bizonyítsd be, hogy C 5 I, ahol C A B. a) Határozd meg az A A egyenes egyenletét! a b b 0 5. Adott a G A a, b, a halmaz. a) Vizsgáld meg, hogy az I és az b a b O 0 0 mátriok elemei-e a G halmaznak! b) Határozd meg a BM ( ) mátriot, ha a b b ai bb, bármely a, b esetén! c) Igazold, hogy a G halmaz bármely mátriának az b a b inverze is a G halmaz eleme! rang, rendszer

3 m y z m 6. Adott az 5 y z egyenletrendszer, ahol m valós paraméter. a) Határozd meg az m ( m ) y z értékét, ha m 5. b) Határozd meg az m értékét, ha (,, ) megoldása az m egyenletrendszernek. c) Oldd meg az egyenletrendszert m esetén! 7. Adott az y z y z 4 m y 4z egyenletrendszer, ahol m. amelyre a (,, ) megoldása az egyenletrendszernek! b) Oldd meg az ahol m. c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha m 5. a) Határozd meg az m azon értékét, m 4 m m egyenletet, 8. Adott az y z y az egyenletrendszer, valamint az A( a) a M ( ) mátri. a) 4y a z 4 a Számítsd ki a det( A (4)) determinánst! b) Határozd meg az a azon értékeit, melyekre az Aa ( ) mátri invertálható! c) Ha a \{,}, oldd meg az egyenletrendszert! 9. Adott az b és ay a z a by b z b cy c z c egyenletrendszer, ahol abc,, páronként különböző számok. a) Ha a 0, c, oldd meg az egyenletrendszert! b) Igazold, hogy det( A) a bb cc a, ahol A az egyenletrendszer mátria! c) Igazold, hogy az egyenletrendszer megoldása nem függ az ab, és c valós számoktól! y z b 0. Adott az y az 5 egyenletrendszer, ahol a,b y 4z 4. a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátriának determinánsát! b) Ha a és b, oldd meg az egyenletrendszert! c) Határozd meg a b valós számot, ha 0 0 0, y,z az egyenletrendszer megoldása és 0 y0 z0 4. 4y 4z 5. Adott az a 4 y 5z egyenletrendszer, ahol ar. a) Ha a számítsd ki a rendszer y a z 6 mátriának a determinánsát! b) Igazold, hogy a 7,, számhármas nem lehet a rendszer megoldása, bármely a esetén! c) Határozd meg az egyenletrendszer azon,, y z megoldását, amelyre y0 z

4 y z. Adott az y z egyenletrendszer, ahol a. a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátriának y z a determinánsát! b) Ha a 0, oldd meg az egyenletrendszert! c) Határozd meg az a számot úgy, hogy az egyenletrendszer megoldása teljesítse az y z összefüggést! y z. Adott az y z 4 egyenletrendszer, ahol m egy valós paraméter. a) Igazold, hogy bármely m m y 4z valós szám esetén a 0;; számhármas megoldása az egyenletrendszernek! b) Határozd meg az m valós paramétert úgy, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen! c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha m. 5y 4z 0 4. Adott a y z, a egyenletrendszer, és jelölje A az egyenletrendszer mátriát. a) z a Számítsd ki az A mátri determinánsát! b) Oldd meg az egyenletrendszert a esetén! c) Határozd meg azt a legkisebb a természetes számot, amelyre az egyenletrendszer megoldása egy természetes számokból álló számhármas! y z 0 5. Adott az y mz 0 egyenletrendszer, ahol m valós paraméter és A az egyenletrendszer mátria. a) 4 y 5z 0 Számítsd ki az A mátri determinánsát, ha m. b) Határozd meg az m valós paramétert, ha az egyenletrendszer mátriának determinánsa nulla! c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha m. 6. Adott az a y 0, a 4 y 0 egyenletrendszer, a A az egyenletrendszer mátria, valamint az O 0 0 és az 0 I 0 mátri. Jelölje A A A. a) Oldd meg az egyenletrendszert a esetén! b) Igazold az 8 teljesíti az 7. Adott a A A a A a I O egyenlőséget! c) Határozd meg az a értékét, ha az A mátri 9I egyenlőséget! y 4z 5 y z 0 5 4y 7z 4 5 B meg az. Jelölje, egyenletrendszer, ahol,, A az egyenletrendszer mátria, valamint S a B mátri elemeinek összegét. a) Számítsd ki: S 0,0. b) Határozd és valós számokat, ha az A mátri determinánsa nulla és S,. c) Ha 0 és 0, oldd meg az egyenletrendszert! 4

5 ay z 0 a 8. Adott az 4y z 6 egyenletrendszer, ahol a és A = 4 az egyenletrendszer y z 6 mátria. a) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátri invertálható! b) Számítsd ki az A mátriot, ahol A 9. Adott az A A. c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha a. ay z a y z egyenletrendszer, ahol a és ay a z a A a az a a egyenletrendszer mátria. a) Igazold, hogy det A a 6a 5. b) Oldd meg a det A 0 egyenletet! c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert a 0 esetén! 0. Adott a ay z 0 y z 0 y z 0 egyenleterendszer, ahol a valós szám, és a A a rendszer mátria. a) Számítsd ki a 0 esetén az A mátriot, ahol A A A. b) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátri invertálható! c) Oldd meg az egyenletrenszert a valós számok halmazán, ha a \ 4.. Adott az y z 0 a y 4z 0 egyenletrendszer, ahol a a 4y 6z 0, és A a 4 a rendszer mátria. a) a 4 6 Számítsd ki az A mátri determinánsát a esetén! b) Határozd meg azon a valós számok halmazát, amelyekre det 0 a \,4. A. c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha fura feladatok. Az Oy derékszögű koordináta rendszerben adottak az O (0,0) és An ( n, ) pontok, n. a) Igazold, hogy az O, A, A pontok kollineárisak! b) Hány egyenes megy át legalább két ponton az O, A0, A, A pontok közül? c) Számítsd ki az An, An, An pontok által meghatározott háromszög területét, n.. Az Oy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az O (0,0) és An ( n,n ) pontok, ahol n. b) Számítsd ki az OA A háromszög területét! c) Bizonyítsd be, hogy az An ( n,n ), n pontok kollineárisak! n n 4. Az Oy derékszögű koordináta rendszerben tekintsük az A n log, log9 és B (, ), n n n n pontokat. a) Határozd meg a B és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! b) Igazold, hogy An Bn, bármely n esetén! c) Bizonyítsd be, hogy az A n pont rajta van az AA egyenesen bármely n esetén! 5. Az Oy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az O (0,0) és az An ( n,n ) pontok, n. a) Határozd meg az A és A pontokon átmenő egyenes egyenletét! b) Számítsd ki az OA0A háromszög területét! c) Bizonyítsd be, hogy az A, A és A n pontok kollineárisak bármely n, n esetén! n XII-es algebra 5

6 6. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 4 4y műveletet. a) Igazold, hogy y ( 4)( y 4) 4, bármely y, esetén! b) Számítsd ki az valós szám esetén az ( 4) értékét! c) Számítsd ki a ( 009) ( 008) értékét, ha a művelet asszociatív! 7. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 6 6y műveletet. a) Igazold, hogy y ( )( y ), bármely y, esetén! b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! c) Számítsd ki az 009 értékét, ha a művelet asszociatív! 8. Tekintsük a 6,, egyenletet! b) Számítsd ki a Z6 Z 0,,,, 4, 5. a) Oldd meg a Z6 halmazon a ˆ 5ˆ ˆ Z gyűrűt, ahol ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6 halmazban az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ determinánst! c) Oldd meg a Z6 halmazon a ˆ y 4ˆ ˆ y 5ˆ egyenletrendszert! 9. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y 6 műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely, y esetén! b) Igazold, hogy, Számítsd ki az E kifejezés értékét, ha a művelet asszociatív! bármely esetén! c) Tekintsük a G A R halmazt, ahol A 0 0, R a) Igazold, hogy A Ay A y, ahol 0 y,. b) A G halmaz a mátriok szorzásával csoportot alkot. Határozd meg a G, csoport semleges elemét! c) Igazold, hogy az f : R G, f ( ) A függvény csoportmorfizmus a R, és G, csoportok között! 4. A valós számok halmazán értelmezzük az y y műveletet. a) Határozd meg a művelet semleges elemét! b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! c) Adj példát olyan ab, \ számokra, amelyek esetén a b. 4. A valós számok halmazán értelmezzük az műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely valós szám esetén. b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Számítsd ki: A valós számok halmazán értelmezzük az y y 7( y) 4 műveletet. a) Számítsd ki: ( ). b) Igazold, hogy y ( 7)( y 7) 7, bármely y, esetén! c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet, ha a ismert, hogy a művelet asszociatív. 44. Adott az M [ k, ) R, k R halmaz és értelmezzük az y y k( y) k k műveletet, bármely y, esetén. a) Határozd meg a k értékét úgy, hogy. b) k esetén oldd meg az M halmazon az 6 egyenletet! c) Igazold, hogy y M, bármely, y M esetén! 6

7 45. Adott az a 0 a M A( a) ar a 0 a halmaz. a) Igazold, hogy A( a) A( b) A( ab), bármely a és b valós szám esetén! b) Igazold, hogy az A semleges elem a mátriok szorzására nézve az M halmazon! c) Számítsd ki az A() M elem inverzét a mátriok M halmazon tekintett szorzására nézve! 46. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y és y y ( ) műveleteket. a) Oldd meg az egész számok halmazán az egyenletet! b) Határozd meg az a egész számot úgy, hogy teljesüljön az egyenletrendszert, ahol y,. ( y) 4 a egyenlőség bármely egész szám esetén! c) Oldd meg az ( y) A valós számok halmazán értelmezzük az y y y y 5 y műveletet. a) Bizonyítsd be, hogy, bármely,y esetén! b) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet, ha ismert, hogy a művelet asszociatív! 48. A valós számok halmazán értelmezzük az y y műveletet. a) Oldd meg az egyenletet, ahol. b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! 49. A valós számok halmazán értelmezzük a y y m műveletet, ahol m valós szám. a) Igazold, hogy a művelet asszociatív! b) Határozd meg az m számot úgy, hogy az e 6 semleges elem legyen a műveletre nézve! c) Határozd meg az m számot úgy, hogy teljesüljön a egyenlőség! m 50. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold hogy a művelet asszociatív! b) Igazold, hogy bármely,y, esetén ha teljesül az a a egyenlőség bármely esetén! y,. c) Határozd meg az a számot, 5. Az R halmazon értelmezzük az y y y műveletet. a) Bizonyítsd be, hogy y y y számok halmazán az, bármely,y. b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Oldd meg a valós 0 egyenletet! 5. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Oldd meg a valós számok halmazán az 4 0 egyenletet! b) Határozd meg az a számot úgy, hogy teljesüljön az a a a 408 egyenlőség bármely esetén! c) Számítsd ki az értékét, ha tudjuk, hogy a művelet asszociatív! 5. A Z halmazon értelmezzük az y y, y a by műveleteket, ahol abz,, valamint az f : Z Z, f függvényt. a) Igazold, hogy, bármely Z esetén! b) 7

8 Határozd meg az abz, számokat úgy, hogy a művelet asszociatív legyen! c) Ha ab igazold, hogy az f függvény morfizmus a, csoportok között!, és 54. Adott a G a b a,b R, a b halmaz. a) Igazold, hogy G. b) Igazold, hogy y G, bármely, y G esetén! c) Igazold, hogy a G halmaz bármely elemének van inverze a G halmazban a valós számok szorzására nézve! 55. A valós számok halmazán értelmezzük az y y meg az halmazban az műveletet. a) Számítsd ki: egyenletet! c) Igazold, hogy ha y z z, akkor y.. b) Oldd 56. A R halmazon értelmezzük az művelet asszociatív! c) Igazold, hogy ha A valós számok halmazán értelmezzük az y y Igazold, hogy y y y y műveletet. a) Számítsd ki: 0. b) Igazold, hogy a R és n 0 n, bármely n N esetén, akkor R. és y y y műveleteket. a) bármely y, esetén! b) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( ) egyenletet! c) Oldd meg az egyenletrendszert! y 0 y y, y, 58. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold, hogy y ( y ), bármely, y esetén! b) Határozd meg azokat a valós számokat, amelyekre 5. c) Számítsd ki: ( 009) ( 008)... ( ) , ha a művelet asszociatív! 59. Adott a G a b a, b, a b halmaz! a) Igazold, hogy G. b) Igazold, hogy a valós számok szorzására nézve a G halmaz minden elemének van inverze a G ben! c) Igazold, hogy y G, bármely, y G esetén! 60. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 8 8y 6 műveletet. a) Igazold, hogy y 4 y 4 4, bármely, y. esetén! b) Oldd meg a valós számok halmazán az 6 egyenletet! c) Számítsd ki , ha a művelet asszociatív. 6. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y és y y y műveleteket. a) Igazold, hogy y y műveletre nézve!, bármely y, esetén! b) Számítsd ki az elem inverzét a c) Oldd meg az y y 7 6 egyenletrendszert, ahol y,. 6. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely y, esetén! b) Határozd meg az valós számot úgy, hogy teljesüljön az 5 6 egyenlőség! c) Adj példát két olyan ab, \ számra, amelyekre a b. 8

9 6. A G, halmazon értelmezzük az y y y y y,, y G y G 6 műveletet. a) Igazold, hogy. b) Igazold, hogy,, y G. c) Igazold, hogy a G halmaz minden eleme invertálható a műveletre nézve! 64. A G 0, \ halmazon értelmezzük az ln y, y, y G műveletet. a) Határozd meg az e 8 egyenlet valós megoldásainak halmazát, ahol e a természetes logaritmus alapja! b) Igazold, hogy y G,, y G. c) Igazold, hogy a művelet asszociatív a G halmazon! 65. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 6 6y műveletet. a) Igazold, hogy y y bármely y, esetén! b) Oldd meg az 5 5 egyenletet a valós számok halmazán! c) Határozd meg az invertálható elemeket a műveletre nézve! 67. Adott a G a b a, b, a b halmaznak! halmaz. a) Vizsgáld meg, hogy 0 és eleme-e a G b) Igazold, hogy y G, bármely, y G esetén! c) Igazold, hogy ha G, akkor G. 68. A halmazon értelmezzük a y y asszociatív műveletet. a) Számítsd ki a értékét! b) Oldd meg az halmazon az 0 n n n egyenlőtlenséget! c) Adott az A n n és C C C n 6 halmaz. Határozd meg az A halmaz elemeinek számát! 69. A G, halmazon értelmezzük az egyenletet! b) Igazold, hogy y bármely, y G esetén y G. y y y műveletet. a) Oldd meg G halmazban az 4 5 y y y y bármely, y G esetén! c) Igazold, hogy 70. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y 6 műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely y, esetén! b) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! c) Határozd meg az n, n számot, ha n n C C. 8,, a maradékosztályok gyűrűje modulo 8. a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az S ˆ ˆ ˆ 4ˆ 5ˆ 6ˆ 7ˆ összeget! b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát! c) Oldd 7. Legyen ˆ ˆ meg a 8 gyűrűben a 5ˆ y egyenletrendszert! ˆ ˆy 5ˆ 9

10 7. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y Oldd meg az egész számok halmazán az Oldd meg az y y 4 0 és az y y y egyenletet! b) Igazold, hogy. c) egyenletrendszert, ahol y,. műveleteket. a) 7. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y műveletet. a) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Igazold, hogy, kommutatív csoport! b) Oldd meg az... = egyenletet az egész számok halmazán! 6szor 74. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y 6 y y,, y. b) Igazold, hogy, bármely E kifejezést, ha a művelet asszociatív. 75. A G, halmazon értelmezzük az f :, 0,, f Igazold, hogy a művelet asszociatív! műveletet. a) Igazold, hogy y y műveletet. a) Számítsd ki: y esetén! c) Számítsd ki az függvény. Igazold, hogy f y f f y, bármely, 76. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y y y y műveleteket. a) Igazold, hogy,.. b) Adott az 6 és y G esetén! c) b) Ha e a semleges elem a műveletre nézve e pedig a a semleges elem a műveletre nézve, számítsd ki az e e e e összeget! c) Adott az f :, f a y, esetén! függvény. Határozd meg az a számot, ha f y f f y 77. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 4,, bármely műveletet. a) Igazold, hogy bármely ˇ esetén! b) Igazold, hogy e 4 semleges elem a műveletre nézve! c) Határozd meg az halmaz invertálható elemeit a műveletre nézve! 78. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y, y a y műveleteket, ahol a, valamint az függvényt. a) Számítsd ki: 0 f :, f 6. b) Határozd meg azt az a egész számot, amelyre a művelet asszociatív! c) Igazold, hogy a esetén az f függvény morfizmus a, és, csoportok között! 79. A valós számok halmazán értelmezzük az y y ay b, a, b műveletet. a) Határozd meg a számot úgy, hogy a művelet kommutatív legyen! b) Igazold, hogy a és b 6 esetén a műveletre nézve van semleges elem! c) Határozd meg az a és b számokat, ha ( ), bármely esetén! 0

11 80. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 4 4y műveletet. a) Igazold, hogy ( y z) ( y) z, bármely, y, z esetén! b) Bizonyítsd be, hogy ( 4) y 4, bármely y, esetén! c) Számítsd ki: ( ) ( 4) 5 ( 6). 8. Adottak az Igazold, hogy I A G, ahol I Igazold, hogy G A,, mátriok, valamint a G A ( ) a mátriok szorzásával csoportot alkot! M halmaz. a) b) Igazold, hogy A Ay A y bármely y, esetén! c) 8. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y 7 7y 4 műveletet. a) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! b) Oldd meg az egész számok halmazán az egyenlőtlenséget! c) Igazold, hogy a művelet asszociatív! 8. A pq, számok esetén értelmezzük az egész számok halmazán y p y és y y műveleteket, valamint az : f, f q függvényt. a) Határozd meg a p egész számot úgy, hogy a művelet kommutatív legyen! b) Oldd meg az egész számok halmazán az egyenletet, ha p. c) Határozd meg a q között, ha p. egész számot úgy, hogy az f függvény morfizmus legyen a, és, csoportok 84. A valós számok halmazán értelmezzük a y y y hogy y y műveletet. a) Igazold, , bármely y, esetén! b) Határozd meg a semleges elemet műveletre nézve! c) Számítsd ki: , ha a művelet asszociatív. 85. A valós számok halmazán értelmezett az y y 6 6y 4 asszociatív művelet. a) Igazold, hogy y 6 y 6 6, bármely, y esetén! b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! c) Számítsd ki: A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely y, esetén! b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Számítsd ki: Adott a 6,, egyenletet! b) Számítsd ki a gyűrű, ahol 6 0, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ 4, ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ determinánst 6 -ban! c) Oldd meg a y 4 egyenletrendszert, ˆ y 5ˆ

12 ahol y, Adottak az 4 f X ax 8X bx 96, Polinomok g X X 4 és h ( X X 4)( X 4) valós együtthatójú polinomok. a) Határozd meg a h polinom algebrai alakját! b) Határozd meg az ab, értékeket úgy, hogy az f és h polinomok egyenlők legyenek! c) Oldd meg en a egyenletet! 89. Adottak az f X ax X és g X polinomok a Z 5 [ X] gyűrűben. a) Határozd meg az a 5 értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen g polinommal! b) Igazold, hogy a esetén f ( X )( X ). c) Oldd meg a ( Z 5,, ) gyűrűben az f( ) 0 egyenletet, ha a. 90. Adottak az f, g 5[ X ], f (a b) X X a b és g X X a b polinomok. a) Határozd meg az ab, 5 értékét úgy, hogy a két polinom egyenlő legyen! b) Számítsd ki az f (0) f () f () f () f (4) összeget, ha ab. c) Oldd meg a 5 ha ab. 9. Adottak az f, g [ X ], 0 0 f ( X ) ( X ) és halmazban az f ( ) 0 egyenletet, g X X polinomok. a) Bontsd fel a g polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az X halmazon! b) Igazold, hogy az f polinom nem osztható a g polinommal! c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát! 4 9. Adott az f X mx n polinom, mn,. A polinom gyökei,,, 4. a) Határozd meg mn, értékeket, ha 0 és az f polinom gyökei! b) Határozd meg az m értékét úgy, hogy a polinom gyökeire teljesüljön az 4 összefüggés! c) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az X halmazon, ha m és n. 9. Adottak az 4 f X ax bx 5X 6 és g X X racionális együtthatójú polinomok. a) Határozd meg ab, értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal! b) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ X ] halmazon, ha a és b. c) Oldd meg a valós számok halmazán a 94. Az egyenletet! f X 9X X 9 polinom gyökei,,. a) Határozd meg az f polinomnak az X polinommal való osztási maradékát és hányadosát! b) Igazold, hogy Oldd meg a valós számok halmazán az f ( ) 0 egyenletet! 95. Adott az 9( ) 8. c) n n n f X ax 5X 4 racionális együtthatójú polinom és az Sn összeg, ahol n és,, az f polinom gyökei. a) Határozd meg az a racionális számot úgy, hogy az f

13 polinomnak az egyik gyöke legyen! b) Oldd meg az f( ) 0 egyenletet, ha a 4. c) Igazold az S 4 4S 5S egyenlőséget, ha a Az [ X ] halmazban adottak az 4 f X X X X és g X X polinomok. a) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát és maradékát! b) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor szám! 97. Adottak az y y. c) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor f( y ) nem racionális 5 f X X X 4 [ X ] és 5 g X X X [ X ] polinomok. a) Számítsd ki az f(0) f() összeget! b) Oldd meg a 5 halmazban az f( ) 0 egyenletet! c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát! 98. Adott az 7, f X f mx X X m polinom. a) Határozd meg az m értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g X polinommal! b) Határozd meg az m értékét úgy, hogy f legyen! c) Számítsd ki az f polinom gyökeinek négyzetösszegét, ha m Az 4 ( ) 6 4, f X f X ax a X X polinom gyökei,,, 4. a) Határozd meg az a értékét úgy, hogy 4 legyen! b) Határozd meg az a értékét úgy, hogy a polinom osztható legyen az X polinommal! c) a esetén bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az X halmazon! 00. Adott az ( ), f X f X m X X polinom. a) Határozd meg az m értékét úgy, hogy a polinom gyökeinek összege legyen! b) Határozd meg az m értékét úgy, hogy az gyöke legyen a polinomnak! c) Ha m 0 bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ X ] halmazon! 0. Adott az 4, f X f X ax ax polinom. a) Határozd meg az a számot úgy, hogy legyen, ahol,, az f polinom valós gyökei! b) Határozd meg az a számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az f polinomnak legyen egy pozitív racionális gyöke! 0. Adott az polinomnak! b) Ha \. 4 X polinommal! c) Határozd meg az a számot úgy, hogy az f X ax X polinom, ahol a. a) Határozd meg az a számot, ha gyöke az f 0. Adottak az f, g X a, határozd meg az f polinom valós gyökeit! c) Igazold, hogy f 0, f X és g X polinomok, valamint a H a bx cx a, b, c halmaz. a) Igazold, hogy g 5, bármely f. b) Határozd meg az f g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát és hányadosát! c) Határozd meg a H halmaz elemeinek számát!

14 04. Adott a X f Z, h X X Z polinomgyűrű. a) Ha g Z X, g X X, számítsd ki g ˆ0 f X X, igazold, hogy 0 harmadfokú polinomot, amelyekre h ˆ h ˆ h ˆ Adott az értékét! b) Ha f, bármely esetén! c) Határozd meg az összes olyan 0 0. f 4X 4mX m 7 X 4mX 4 polinom, ahol m. a) Határozd meg az m számot, ha gyöke a polinomnak! b) Határozd meg az m számot, ha a polinom gyökeinek összege 0. c) Ha m 5, oldd meg a valós számok halmazán az f 0 egyenletet! 06. Adott az f X X a polinom, ahol a. a) Ha 0 b) Igazold, hogy f X X a X X a az f polinom minden gyöke valós! a, oldd meg az f 0 egyenletet!. c) Határozd meg azon a számokat, amelyekre Adott az a a 0 egyenlet, melynek megoldásai,,, 4, ahol a. a) Határozd meg az a számot, ha 4 5. b) Ha a, határozd meg az egyenlet valós megoldásait! c) Határozd meg az a egész szám azon értékeit, amelyekre az egyenletnek legalább egy megoldása egész szám! 08. Adott az f X 4 X 5, f X polinom. a) Bizonyítsd be, hogy f X 6. b) Igazold, hogy a polinomnak nincsenek egész gyökei! c) Bontsd fel a polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az R X halmazon! 09. Adottak az 5 és 009 f X X g a X a X a X a, ahol 0,,..., 009 g X 6 X 6 polinomok. A g polinom algebrai alakja a a a. a) Számítsd ki az f 5 g5 összeget! b) Igazold, hogy az a0 a... a009 szám negatív! c) Számítsd ki a g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát! 0. Adott az f X, f X X ax 8 polinom. a) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy az f polinom egyik gyöke legyen! b) Ha a 4, számítsd ki az f polinomnak a osztási hányadosát és maradékát! c) Igazold, hogy ha a, valós!. Adott az az f polinomnak az g X X 4 polinommal való, akkor az f polinom nem minden gyöke 4 f X X ax bx c polinom, ahol abc,,. a) Ha ac és b határozd meg számokat, ha az f polinomnak az X gyel való osztási maradéka. c) Igazold, hogy ha valós! polinommal való osztási maradékát és hányadosát! b) Határozd meg az a, b, c. Adott az f X 4 X ax bx c X X -gyel való osztási maradéka X, valamint az f polinomnak X - a,, akkor az f polinomnak nem minden gyöke polinom, amelynek gyökei,,, 4. a) Számítsd ki az 4 összeget! b) Ha a, b és c 0, számítsd ki az f polinom gyökeit! c) Ha az f polinom gyökei számtani haladványt alkotnak, igazold, hogy ba. 4

15 . Az X halmazban adott az ki f p f X px polinom, ahol p. Az f gyökei,,. a) Számítsd értékét! b) Határozd meg a p számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az X polinommal! c) Számítsd ki az összeget a p függvényében! 4. Adottak az,, valós számok, amelyekre teljesülnek az ; ; és egyenlőségek. a) Számítsd ki az szorzatot! b) Határozd meg abc,, számokat úgy, hogy,, az a b c 0 egyenlet gyökei legyenek! c) Bontsd fel az 4 polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az f X X X 5. Adott az Határozd meg, számát! halmaz. a) Számítsd ki M f X f X ax b ab értékét úgy, hogy f f 6. Az X gyűrűben adott az f X halmazban! f értékét, ha ab. b) 0. c) Határozd meg az M halmaz elemeinek f X X 5 polinom, amelynek gyökei,,. a) Számítsd ki az értéket! b) Számítsd ki azt az a számot, amelyre az f polinom X a polinommal való osztási maradéka 5. c) Számítsd ki az 7. Adott az f X X mx, f X n n n n determinánst! polinom, amelynek gyökei,,. Jelölje S, ahol n. a) Számítsd ki azt az m valós számot, amelyre. b) Igazold, hogy S S ms 0. f, g X, f X X X X és g X X X polinomok. a) Igazold, hogy 8. Adottak az 4 f X g. b) Számítsd ki a g polinom valós gyökeit! c) Számítsd ki az f a értékét, ha a a g polinom egyik gyöke! 9. Adott az, f f X f X px qx r polinom, amelynek gyökei,,. a) Számítsd ki az 0 f különbséget! b) Számítsd ki az Igazold, hogy a kifejezést pqr,, függvényében! c) g X X X polinomnak nem minden gyöke valós! f, g X, f ˆ X 4ˆ X ˆ X és g X ˆ X polinomok. a) Számítsd ki 0. Adottak az f ˆ ˆ 5 g 0. b) Igazold, hogy f (ˆ X ) ˆ g ˆ X ˆ. c) Határozd meg az f polinom 5 halmazban levő gyökeinek számát!. Adott az f X X X polinom, amelynek gyökei,,, és a g X X polinom, amelynek gyökei y, y. a) Számítsd ki az S S különbséget, ha S és S y y. b) 5

16 Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát és hányadosát! c) Számítsd ki az f y f y szorzatot!. Adott az osztható a 4 f X X polinom, amelynek gyökei,,, 4. a) Igazold, hogy az f polinom g X polinommal! b) Számítsd ki az S P szorzatot, ahol S 4 és P 4. c) Számítsd ki a. Legyen T összeget! 8,, a maradékosztályok gyűrűje modulo 8. a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az S ˆ ˆ ˆ 4ˆ 5ˆ 6ˆ 7ˆ összeget! b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát! c) Oldd meg a 8 gyűrűben a ˆ5 ˆ y ˆ ˆ ˆy 5ˆ 4. A polinomok X halmazában adott az Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert! 6 és a f X mx nx hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal. c) Számítsd ki a P f f f f szorzatot, ha m 4 és n. g X X X polinom. a) 0 egyenletet. b) Határozd meg az mn, számokat úgy, 5. Adott a 6,, gyűrű. a) Számítsd ki az invertálható elemek számát a 6,, gyűrűben értelmezett szorzási műveletre nézve! b) Legyen S a ˆ ˆ 5ˆ egyenlet megoldásainak összege, és P az, 6 egyenlet megoldásainak szorzata. Számítsd ki az S P összeget! c) Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 6,, gyűrű valamely eleme megoldása legyen az ˆ0 egyenletnek! Adott az f X, f ( X ) X X polinom, amelynek algebrai alakja f a X a X a X a. a) Számítsd ki az a 0 értékét! b) Igazold, hogy f () + f ( ) páros egész szám! c) Határozd meg az f polinom valós gyökeinek számát! 7. Adottak az f, g X, f X X a és g( ) X X polinomok, ahol a. a) A valós számok halmazán oldd meg az f ( ) g( ) egyenletet a esetén! b) Számítsd ki az f polinom gyökeit, ha a polinomnak van egy kétszeres pozitív gyöke! c) Oldd meg az 8. Adott a 6,, egyenletet! b) Számítsd ki a ahol y, 6. gyűrű, ahol 6 0, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ 4, ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f ( ) 5 e g egyenletet, ha a.. a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ determinánst 6 -ban! c) Oldd meg a y 4 egyenletrendszert, ˆ y 5ˆ 6

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Oeconomicus Napocensis Verseny Március 24 és május IV. szekció Tantárgy: MATEMATIKA I

Oeconomicus Napocensis Verseny Március 24 és május IV. szekció Tantárgy: MATEMATIKA I Str. Teodor Mihali nr. 58-6 Cluj-Napoca, RO-495 Tel.: 64-4.86.5-5 Fa: 64-4.5.7 Március 4 és május 5 8 IV. szekció Tantárgy: MATEMATIKA I TEMATIKA: Valós számok; komple számok; számtani és mértani sorozatok;

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Szendrői Balázs: Algebrai síkgörbék, szerkesztette: Ádám Liliána, Ódor Gergő, Lajos Mátyás

Szendrői Balázs: Algebrai síkgörbék, szerkesztette: Ádám Liliána, Ódor Gergő, Lajos Mátyás Algebrai síkgörbék Algebrai síkgörbéknek az olyan görbéket nevezzük, amelyek pontjai egy kétváltozós polinommal jellemezhetők. Ilyenek az egyenesek (ezek az elsőfokú síkgörbék). Másodfokú síkgörbék: pl.

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Diszkrét matematika. Gyakorlati feladatsor. 1. Bevezetés: halmazok és függvények. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!

Diszkrét matematika. Gyakorlati feladatsor. 1. Bevezetés: halmazok és függvények. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat! Diszkrét matematika Gyakorlati feladatsor. Bevezetés: halmazok és függvények.. Legyen A = {x N x páros}, B = {x N x > 4}, valamint C = {x N x < 6}. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Alapvető polinomalgoritmusok

Alapvető polinomalgoritmusok Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben