8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II."

Átírás

1 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az egyenletnek két különböző gyöke van; ha D, az egyenlet két gyöke egyenlő (illetve azt is mondjuk, hogy az egyenletnek egy gyöke van); ha D <, az egyenletnek nincs valós gyöke Az egyenlet gyökeit megkapjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletével: b± b ac, a Néha magasabb fokú egyenletet is megoldhatunk a megoldóképlettel, ha az egyenletet alkalmas helyettesítéssel másodfokú egyenletre vezethetjük vissza Például az + egyenlet az y helyettesítés után az y+ A gyökök és együtthatók közötti összefüggések: b + a c a y másodfokú alakot ölti Másodfokú egyenlőtlenségnek nevezzük az a + b+ c> (vagy < ) alakú egyenlőtlenségeket Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az ismeretlen azon értékeit, melyekre az egyenlőtlenség teljesül A másodfokú egyenlőtlenséget algebrai úton is megoldhatjuk, ám sokszor egyszerűbb, ha az egyenlőtlenség geometriai tartalmát figyeljük: gondoljunk az y a + b+ c parabolára Keressük például az + < egyenlőtlen- ség megoldását Az y + parabola felfelé nyitott, zérushelyei,, a pa- rabola pontjai az < < intervallumban vannak az -tengely alatt, így ez az intervallum az egyenlőtlenség megoldása Négyzetgyökös egyenletekről beszélünk, ha az ismeretlen négyzetgyökjel alatt szerepel A megoldásnál arra törekszünk, hogy az egyenletből a négyzetgyökös kifejezéseket kiküszöböljük Ez általában úgy történik, hogy az egyenletet egyszer vagy többször négyzetre emeljük Figyelnünk kell a kapott gyökök ellenőrzésére, mert a négyzetre emelésnél általában hamis gyökökkel bővül a megoldáshalmaz Egy példa erre: az egyenlet gyöke ; ha négyzetre emeljük az egyenletet, a egyenlet gyökei, (hiszen kapott ( ) -re ( ) Kaptunk egy hamis gyököt, az eredeti egyenletnek nem megoldása teljesül) Az olyan egyenletrendszert, amelyben az ismeretlenek másodfokú kifejezései szerepelnek, és magasabb fokúak nem, másodfokú egyenletrendszernek nevezzük Általában az egyenletek és az ismeretlenek száma egyenlő Megoldásuk többnyire úgy történik, hogy az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezzük, és ezt a másik egyenletben behelyettesítjük, így csökkentjük az ismeretlenek számát

2 Kidolgozott feladatok Két egymást követő természetes szám szorzata 7 Melyek ezek a számok? Megoldás: A keresett számok n és + n Ekkor ( n+ ) 7 n, azaz n + n 7, átrendez- ± + 88 ve: n + n 7 Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai n,, n 6, n 7 Az n 7 hamis gyök, hiszen 7 nem természetes szám A keresett két szám: 6 és 7 Egy kézilabda-bajnokság tavaszi fordulójában minden csapat pontosan egyszer játszik bármelyik másik csapattal Eddig összesen 6 mérkőzést játszottak le, de még minden csapatnak hátra van két mérkőzése Hány csapat szerepel a bajnokságon? Megoldás: A csapatok száma k Minden csapatnak még két mérkőzése hátra van, így k mérkőzést játszottak le a csapatok k( k ) A lejátszott mérkőzések száma: 6 Rendezés után: k k Az egyenlet gyökei: k, k Mivel csapatok számáról van szó, csak a k megoldás lehetséges A bajnokság tavaszi fordulójában csapat vett részt + egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az ( )( + )( + )( + ) Megoldás:( + )( + ) + + és ( + )( + ) ( + + )( + + 6) Ezeket használva az y egyenletet Ennek gyökei: y, y egyenlethez jutunk Az y + + helyettesítés után kap- juk az ( y+ ), y + y Ha + +, akkor, 6 Ha + +, akkor D <, itt nem találunk gyököket Az eredeti egyenlet megoldásai:, 6 Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány ; ; ; , azaz ( )( ) ( )( ) megoldás Ha, akkor oszthatunk -el (nem veszítünk gyököt):, + 7, így 7+, 7 ( )( ) ( )( )

3 Az egyenlet megoldásai:, 7+, 7 Oldja meg a + + egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: A kifejezések értelmezve vannak minden, valós számra + Az egyenletet szorozzuk ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ), azaz + + +, -tel: 6+, + Az egyenlet a megoldásai: és ± 8,,, Oldja meg az + egyenletet a valós számok halmazán + Megoldás: Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a nevezőkkel, akkor egy negyedfokú egyenlethez jutunk Ezt jó lenne elkerülni Alakítsuk szorzattá a másodfokú polinomokat! Az + + egyenlet gyökei:,, így az egyenlet gyöktényezős alakja + + ( + )( + ) Hasonlóan kapjuk a többi szorzatot: ( + )( ), + + ( + )( + ) és + ( + ) ( + )( ) Így az egyenlet: ( + )( + ) ( + )( + ) + Értelmezési tartomány ; ;, + + ( )( ) A törteket egyszerűsítjük ( +) ( )( ) + + -gyel: + Szorozzuk az egyenletet a nevezőkkel: ( + ) + ( 6) 7+ + Ennek az egyenletnek a gyökei:, Ezek az eredeti egyenlet megoldásai, azaz 7 Az ( + ) + m+ m m egyenletnek az m valós értékű paraméter mely értékeire lesz két különböző valós gyöke? Megoldás: Ha m, akkor az egyenlet elsőfokú, és ekkor egyetlen megoldása van m esetén az egyenlet másodfokú, diszkriminánsa D ( m) ( m+ )( m) > Tehát m esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van

4 8 Határozza meg az m paraméter értékét úgy, hogy az m+ m egyenlet egyik gyöke a másik gyökének kétszerese legyen I Megoldás: ( m) ( m) m m+ ( m ) m± ( m ) D, és m esetén az egyenletnek két gyöke van, ezek,, azaz m, Ha, akkor m Ha, akkor m II Megoldás: D, és ha m az egyenletnek két gyöke van A gyökök és együtthatók közti összefüggés miatt + m és m Mivel, ezért + m, m m m Továbbá m, azaz m, m 9m+ 9, így m vagy m 9 a) Az + egyenlet gyökei a és b Mennyi b) Mennyi az + p+ q gyökei reciprokának összege? a + b értéke? Megoldás: a) A gyökök és együtthatók közti összefüggést ( a + b, ab ) használva az alábbi azonosság megadja a választ: a + b ( a+ b) ab( a+ b) 8 b) A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján: + p, q + p + q Ha b és c konstansok és az ( + )( + b) + c+ 6 teljesül, akkor mennyi c értéke? egyenlőség minden valós számra Megoldás: A zárójelek felbontása után b 6, azaz b Továbbá + b c, azaz c + b + Határozza meg a p paraméter lehetséges értékeit, ha az + p+ egyenlet gyökeinek különbsége Megoldás: Az egyenletnek akkor vannak megoldásai, ha D, ha p 8 A gyökök és együtthatók közötti összefüggések és a gyökökre elvárt feltétel:

5 Innen p, + p p p p és vagy p 7, és ekkor teljesül a D p 8 feltétel is Rendezés után: 9 p Tehát p 7 Az a paraméter mely értékeire lesz az + a+ és az + + a egyenleteknek közös gyöke? Megoldás: Mindkét egyenlet diszkriminánsa nem negatív: az a és a feltételeket az a számok teljesítik Ha mindkét egyenletnek megoldása, akkor + a + és + + a Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat: + a, ( a) a a, és a, ezért Ezt az értéket helyettesítve az egyenletbe kapjuk: a Oldja meg az egyenletet a valós számok körében Megoldás: Az Ennek gyökei: y, y 6 y helyettesítéssel másodfokú egyenlethez jutunk: 7 y+ 6 Az eredeti egyenlet megoldásai:,,, y Határozza meg a b paraméter lehetséges értékeit, ha az b+ b+ 6 egyenlet gyökei pozitívak Megoldás: Az egyenletnek akkor vannak megoldásai, ha D A gyökök akkor pozitív számok, ha + és is teljesül > > + b> b+ 6> D b b> b>6 ( b+ 6) ( ) ( 6) b b+, azaz b 6 y parabola felfelé nyitott, zérushelyei Az ( ) b Az b b 6 ( b+ )( b ) és Így ( b+ 6) b akkor teljesül, ha b vagy b feltételei akkor teljesülnek, ha b, ekkor lesznek az b+ b+ 6 egyenlet gyökei pozitívak

6 Hány olyan egész szám van, amelyre 6 teljesül? Megoldás: Az 6 ( + ) ( ) parabola zérushelyei a és a Mivel a parabola főegyütthatója pozitív, a parabola felfelé nyitott, ezért 6 a két zérushely közötti értékekre teljesül Az itteni egész számok:,,,,, Tehát 6 olyan egész szám van, amelyre 6 teljesül 6 a) Mennyi az f ( ) + 8 függvény legkisebb értéke? b) Mennyi az f ( ) függvény legnagyobb értéke? Megoldás: a) f ( ) A függvény legkisebb értéke b) Az f ( ) ( ) parabola zérushelyei és A parabola alulról nyitott, csúcspontja a két zérushely között félúton van, az helyen Az itt felvett érték lesz a függvény maimuma: 9 f 8 7 Oldja meg a egyenletet a valós számok körében Megoldás: Legyen t +, ezzel a helyettesítéssel az egyenlet: t + t+ 7 Ennek értelmezési tartománya: t >, t > t > ( t ) ( 7 t) +, t + 9 t + t, t 8, t, t Ez teljesíti a t > feltételt Innen +, +,, 8 Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok körében a) b) + + Megoldás: a) Értelmezési tartomány,, tehát az egyenlet megoldásait feltétel mellett keressük Ekkor ( ) + 6

7 + Ennek az egyenletnek a megoldása:, nem eleme, ezért az egyenlet megoldása Az értelmezési tartománynak b) Értelmezési tartomány, +, azaz Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán a) < b) Megoldás: a) Az értelmezési tartomány a négyzetgyök miatt A négyzetgyök értéke nemnegatív, ezért is teljesül Ennek megfelelően a megoldást feltétel mellett keressük Az értelmezési tartomány elemeire az egyenlőtlenség mindkét oldala nemnegatív, ezért ha mindkét oldalt négyzetre emeljük, akkor az egyenlőtlenség iránya változatlan marad: < < ( ) + + Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása < vagy > Az értelmezési tartományt is figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség megoldása < b) Értelmezési tartomány, ekkor vagy A négyzetgyökös kifejezés értéke nemnegatív, ezért az egyenlőtlenség minden olyan esetben teljesül, amikor, azaz Így esetén teljesül az egyenlőtlenség Ha,, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldala nemnegatív, így ha mindkét oldalt négyzetre emeljük, akkor az egyenlőtlenség iránya változatlan marad: ( ) ( ) 6 + 7

8 Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása: miatt 7+ 7 vagy Összefoglalva a két lehetőséget az egyenlőtlenség megoldása: vagy 7+ egyenlőtlenség megoldáshalmaza: ] ] ; ; + 7+ Az feltétel 7+, az Oldja meg az + y egyenletrendszert a valós számok körében + y Megoldás: Az első egyenletből: y, ezt helyettesítjük a második egyenletbe: ( ) + Négyzetre emelés és rendezés után: + Az egyenletrendszer megoldásai:, y és, y Ennek gyökei:, Oldja meg az + y + y+ y 9 egyenletrendszert a valós számok körében Megoldás: Vezessünk be új ismeretleneket ahogyan a változóiban szimmetrikus kifejezéseknél ez gyakori, legyen a + y b y, Ekkor y ( + y) y a b a b a+ b 9 +, és Az első egyenlet -szorosához adjuk hozzá a második egyenlet -szeresét: a + a 8 Ennek megoldásai: a, a, és a + b 9 miatt b, b 9 + y + y és y értékeit az és az y 8 egyenletrendszerekből kapjuk Az első eset- y 9 ben ( ), azaz +,, és y, y A második egyenlet- 8 8 rendszerből az egyenletet kapjuk, ám az + + egyenlet 9 9 diszkriminánsa negatív ( D ), itt nem találunk megoldást 9 Az egyenletrendszer megoldásai:, y és, y 8

9 Ajánlott feladatok Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei és Oldja meg a ( + ) 6 egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán a) A 7+ másodfokú egyenlet gyökei és Mennyi ekkor + értéke? b) Az + b+ c egyenlet gyökei az + egyenlet gyökeinek reciprokai Mennyi b+ c értéke? 7 Az + p 6 egyenlet egyik gyöke az Mekkora p értéke? 8 Határozza meg az + p+ q együtthatóit, ha az egyenlet gyökei p és q 9 Az + m egyik gyökének kétszeres gyöke az + m egyenletnek, ahol m Határozza meg az m paraméter lehetséges értékeit Az a paraméter mely értékeire lesz a ( a+ ) + ( a) egyenlet gyökeinek különbsége ugyanannyi, mint a gyökök szorzata? Az a + b+ c egyenlet gyökei -nél nagyobbak Mutassa meg, hogy a c + b+ a egyenlet gyökei -nél kisebb pozitív számok Határozza meg az a paraméter lehetséges értékeit úgy, hogy az ( a + ) a+ a 6< egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön Oldja meg a + egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán 9

10 Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán 6 Oldja meg a + > egyenlőtlenséget a valós számok körében 7 Milyen valós számokra teljesül a egyenlőtlenség? 8 Az y a + b+ c parabolának a ( ; ) pontban van a csúcsa, és a ( ; ) parabolára Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét! 9 Melyek azok az a valós számok, amelyekre ( + ) + ( a+ ) egyik gyöke esik a ( ; ) intervallumba? Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert + y+ y + y + y Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert y pont illeszkedik a a egyenletnek pontosan + y+ + y+ y Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert + y y Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) c) + d)

11 Az ajánlott feladatok megoldásai Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei és I Megoldás: Az ( )( + ) egyenletnek a és számok a gyökei Innen a zárójelek felbontásával kapjuk az + egyenletet II Megoldás: Használjuk a gyökök és együtthatók közti összefüggést! Ha az + p+ q egyenlet gyökei és egyenlet: +, akkor + ( ) p, ( ) q, azaz p, q A keresett III Megoldás: Ha az + p+ q egyenletnek gyökei a és számok, akkor + + q p és ( ) + ( ) p + q Vonjuk ki az első egyenletet a második egyenletből: 7 7 p, p Ezt helyettesítsük az első egyenletbe: 9+ + q, q A keresett egyenlet: + Megjegyzés Ha az + p+ q egyenletet megszorozzuk egy nullától különböző valós számmal, az új egyenletnek is ugyanazok a számok lesznek a gyökei, mint az eredetinek Így például a + egyenletnek is ugyanúgy a és számok a gyökei, mint az + egyenletnek Oldja meg a ( + ) Megoldás: nem megoldása az egyenletnek, oszthatunk ( + ) 6 egyenletet a valós számok halmazán -el, nem veszítünk gyö- köt: Az y helyettesítés után a 6y + 7 y egyenlethez jutunk Ennek gyökei: y, y Ha, 9 9,, A hamis gyök, hiszen az + + egyenlet csak pozitív számra teljesülhet 8 8 Ha, 9 6 6,, 8 A 8 hamis gyök, hiszen az egyenlet csak negatív számra teljesülhet + 8 Ellenőrizve a kapott értékeket, az eredeti egyenletnek megoldásai az és Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán + + Megoldás: Értelmezési tartomány b + Az a b a+ b + ± 9 ± ; Legyen a + +, 6 6 egyenletből a b, azaz + + +, + 6, + 8 Az egyenlet megoldásai:,

12 Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány ; ; 6; , azaz ( )( ) ( )( ) Ha a számlálók értéke nulla, vagyis, akkor Ha, ahonnan + 9, megoldása az egyenletnek + 7 6, akkor oszthatunk ( ) -gyel: ( )( ) ( )( ) +, Egyenletünk megoldásai:, +,, Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány ; ; ; ( + ) , és ehhez hasonlóan átírjuk a többi törtet is, így az egyenletünk: , azaz , másképpen:, innen ( ) ( ) ( ) ( ) Az megoldás, és ha, oszthatunk vele: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ), ez a ren- dezés után ,, Az egyenlet gyökei:, 6 a) A 7+ másodfokú egyenlet gyökei és Mennyi ekkor + értéke? b) Az + b+ c egyenlet gyökei az + egyenlet gyökeinek reciprokai Mennyi b+ c értéke?

13 Megoldás: a) + ( + ) ( + ) ) 7 b) A gyökök és együtthatók közti összefüggéseket használjuk Az + egyenlet gyökei, (Van két valós gyök, mert a diszkrimináns pozitív) +, és Az + b+ c egyenlet gyökei y, y Ekkor b + c( y + y ) + + ( + ) y y 7 Az + p 6 egyenlet egyik gyöke az Mekkora p értéke? Megoldás: Ha gyöke az + p 6 egyenletnek, akkor behelyettesítve teljesül az egyenlőség, tehát + p 6, p 8 Határozza meg az + p+ q együtthatóit, ha az egyenlet gyökei p és q Megoldás: Ha az + p+ q egyenletnek gyöke p és q, akkor a gyökök és együtthatók közti összefüggések szerint p+ q p és pq q Ha pq q, akkor vagy p vagy q Innen könnyű megoldani a p+ q p egyenletet Az együtthatók lehetséges értékei: p, q és p, q 9 Az + m egyik gyökének kétszeres gyöke az + m egyenletnek, ahol m Határozza meg az m paraméter lehetséges értékeit Megoldás: Az első egyenlet gyökei: m, + m, a második egyenlet m + m gyökei:, Az m paraméterre m teljesül Két esetet vizsgálunk, ha < m, illetve ha m < Ha < m, akkor m < m <, és < < < < Mivel és, ezért az és lehetőségeket kell megvizsgálnunk ± m m, ahonnan rendezés után az m m m egyenletet, majd négyzetre emelés után az m + m egyenletet kapjuk Ennek gyökei m, m nem megoldások, mert nem teljesítik a < m feltételt Ha m <, akkor < m < m, következésképpen <, <, <, <, sőt < < < < Látható, hogy és, ezért az és az

14 lehetőségeket kell megvizsgálnunk Az első eset ellentmondásra vezet, a második esetben találunk megoldást, ha m Az a paraméter mely értékeire lesz a ( a+ ) + ( a) egyenlet gyökeinek különbsége ugyanannyi, mint a gyökök szorzata? I Megoldás: A diszkrimináns ( a+ ) 8( a) a 6a+ 9 ( a ) D nem negatív Az egyenlet két gyöke, A gyökök és együtthatók közti összefüggések és az feltétel alapján: + a a+ a Ennek megoldása:, Ezekkel írjuk fel az feltételt: a a, azaz a Ez a keresett paraméter érték, ekkor az egyenlet két gyöke és, ezekre teljesül az feltétel ( a+ ) 8( a) a+ ± ( a ) a+ ± II Megoldás:,, a és A feladat szerint: vagy Tehát a a, ami nem lehetséges; vagy, ahonnan a a a A feladat feltétele a esetén teljesül, ekkor a két gyök és Az a + b+ c egyenlet gyökei -nél nagyobbak Mutassa meg, hogy a c + b+ a egyenlet gyökei -nél kisebb pozitív számok Megoldás: Mindkét egyenletnek ugyanaz a diszkriminánsa: D b ac, tehát ugyanakkor van az egyik egyenletnek két gyöke, amikor a másik egyenletnek is Megmutatjuk, hogy ha az a + b+ c egyenlet gyökei és, akkor a c + b+ a egyenlet két gyöke, b c A gyökök és együtthatók közötti összefüggések szerint: + és Ekkor a a + b a b a + és, azaz az, számok telje- c a c c a c sítik a c + b+ a egyenlet gyökei és együtthatói között fennálló összefüggéseket, így, gyökei ennek az egyenletnek

15 Ha > és >, akkor < < és < <, tehát igaz a feladat állítása Határozza meg az a paraméter lehetséges értékeit úgy, hogy az ( a + ) a+ a 6< egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön Megoldás: Ha a, akkor a 8 < egyenlőtlenséget kell megoldani, ami nem teljesül minden valós számra Ha a, akkor egy másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg, aminek akkor lesz minden valós szám a megoldása, ha a másodfokú kifejezésnek megfelelő parabola lefelé nyitott és a grafikonja az -tengely alatt helyezkedik el, tehát az ( + ) a+ a 6 nincs megoldása a valós számok között: + < a egyenletnek a és D ( a) ( a+ ) ( a 6) <, azaz a < és a a+ >, ( a )( a+ 6) >, ami akkor teljesül, ha a > vagy a <6 Minden feltétel akkor teljesül, ha a <6 Oldja meg a + egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány: az, és feltételek miatt a megoldást az, feltétel mellett keressük Négyzetre emelés és rendezés után a ( )( ) egyenletet kapjuk Az értelmezési tartomány elemeire mindkét oldal pozitív, ezért négyzetre emeléssel ekvivalens egyenletet kapunk: 9 8+ Ennek az egyenletnek a megoldásai 9 és Mindkettő valóban megoldása az eredeti egyenletnek Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Az egyenlet értelmezési tartománya: 8 +,, + Az egyenlet megoldása után behelyettesítéssel fogjuk ellenőrizni ezeknek a feltételeknek a teljesülését A megoldás során többször négyzetre emelünk, ez is szükségessé teszi majd az ellenőrzést A gyökök alatti kifejezéseket szorzattá alakítjuk: ( )( ) ( )( + ) + ( )( + ) Négyzetre emelés után: ( )( 7) ( ) ( + )( + ) Ismét négyzetre emelünk: ( ) ( ) 9 Ennek az egyenletnek a gyökei:,, Az hamis gyök, hiszen ez nem 7 megoldása az előző egyenletnek, mivel erre a számra a bal oldal negatív értéket vesz fel

16 Az eredeti egyenlet megoldásai:, Ezek valóban megoldások, mert teljesítik az értelmezési tartományra fennálló feltételeket Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Használjuk az ( a b)( a+ b) a b mindkét oldalát a kifejezéssel: ( + ) ( ) + () +, ; azonosságot, és szorozzuk az egyenlet Két eset lehetséges: () A () egyenlet megoldását négyzetre emelésekkel is kereshetjük, ennél egyszerűbb, ha ezt az egyenletet és az eredetit összeadjuk: + + +, ahonnan Ellenőrzés mutatja, hogy és is megoldása az egyenletnek 6 Oldja meg a + > egyenlőtlenséget a valós számok körében Megoldás: Az értelmezési tartomány és + feltételek miatt Az egyenlőtlenséget átrendezzük azért, hogy mindkét oldalon nemnegatív kifejezés álljon, és így a négyzetre emeléssel az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséghez jussunk: > 9> > Az egyenlőtlenség jobb oldala nemnegatív, ezért a bal oldal pozitív, tehát > feltétel mel- lett emelhetünk újra négyzetre: 6 ( ) > + 7+ > Ennek a másodfokú egyenlőtlenségnek a megoldása figyelembe vételével az egyenlőtlenség megoldáshalmaza: ] [ < vagy > Az 6 ; + > feltétel 7 Milyen valós számokra teljesül a egyenlőtlenség? Megoldás: Legyen a + 6, ekkor egyenlőtlenségünk a a alakban írható Ennek értelmezési tartománya a Ekkor négyzetre emelhetjük az egyenlőtlenség mindkét olda- lát: a a a a( a) a Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása a Tehát a + 6 egyenlőtlenséget kell megoldanunk 6

17 A + 6 ( )( ) egyenlőtlenség megoldása vagy Oldjuk meg az + 6 egyenlőtlenséget! + teljesül, ha Az + és egyenlőtlenség megoldásai: 8 Az y a + b+ c parabolának a ( ; ) pontban van a csúcsa, és a ( ; ) parabolára Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét! Megoldás: Ha az y a + b+ c + és pont illeszkedik a parabolának a ( ; ) y a( ) + ; továbbá a ( ; ) pont illeszkedik a parabolára, így ( ) +, a Ezt beírva az y a( ) + egyenletbe, y + 6 Így a, b, c 6 9 Melyek azok az a valós számok, amelyekre ( + ) + ( a+ ) egyik gyöke esik a ( ; ) intervallumba? Megoldás: Mivel D ( a+ ) + 8( a + ) > pontban van a csúcsa, akkor a azaz a egyenletnek pontosan, ezért minden valós a esetén van két megoldás Mivel <, így az egyik gyök negatív, a másik pozitív a + p parabola felfelé nyitott, és p ( ) < akkor lesz zérushelye a ( ; ) intervallumban, ha p ( ) > p ( ) a + a> akkor teljesül, ha a < vagy a > A ( ) ( a + ) + ( a+ ), így a parabolának Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert + y+ y + y + y Megoldás: Legyen a + y, b y Ezen jelölésekkel, az új ismeretlenekkel az egyenletrendszer a következő alakot ölti: ( a b) ( a+ b) ( a b) a b a+ b a b, tehát a b egyenletrendszer: a b a+ b Adjuk össze a két egyenletet: a, a Mivel a b, így b Innen adódik a következő 7

18 + y y y kifejezést helyettesítsük az y egyenletbe, és emeljünk négyzetre: ( ) Az + egyenlet gyökei: + Az egyenletrendszer gyökei:, y és Ellenőrzés mutatja, hogy ezek valóban megoldások ±, Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert + y+ y + y+ y Megoldás: Vegyük a két egyenlet összegét és különbségét ( + y) + ( + y) ( ) + ( ) y y Az első egyenletből + y vagy + y6 A második egyenletet átalakítva: ( y)( + y+ ) Két eset lehetséges: + y + y6 vagy y y A megoldások:, y és, y Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert Megoldás: Az + y y +, y a + y, b y új ismeretlenek bevezetésével az a a egyenlethez jutunk, és ennek a harmadfokú egyenletnek a megoldása nem egyszerű a+ b Legyen a, b y ( y ) miatt ab, így az egyenletrendszer Innen az ab a a+ egyenlet adódik a +, a, és b, b + Az egyenletrendszer gyökei: és +, y, y + Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b)

19 Megoldás: a) Legyen a +, ekkor + + a Ezzel a helyettesítéssel az egyenlet a 7a ( a ) 9 alakot ölti A a 7a+ egyenlet gyökei: a ; a Az +, + egyenlet gyökei, Az +, + egyenletnek nincs megoldása, mert a diszkriminánsa negatív Egyenletünknek két megoldása van:, b) A egyenletet osszuk -tel, ezt megtehetjük, mert az egyenletnek nem megoldása, így nem veszítünk gyököt: , ezt átrendezve kapjuk az előbbi egyenletet Tehát az egyenletünk azonos az előző egyenlettel, így a megoldásai:, Ha egy egyenlet együtthatóiban az itt tapasztalthoz hasonló szimmetriát fedezünk fel, akkor a középen álló hatvánnyal osztva alacsonyabb fokú (másodfokú) egyenletre tudjuk visszavezetni az egyenletet Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) c) + d) Megoldás: a) , ( ) + ( + ) az egyenletnek a megoldásánál három esetet kell vizsgálnunk Ha, azaz + + Ennek, akkor az abszolútértékek elhagyása után az egyenlet: ( ) ( + ),, ez a szám megoldás, mert eleme annak a halmaznak, amelyen az egyenletet megoldottuk Ha <, akkor az egyenlet: ( ) + ( + ), azaz, azonosságot kaptunk, ezen a tartományon minden szám megoldás Ha <, akkor az egyenlet: ( ) + ( + ), azaz, mely szám most nem megoldás, mert nem eleme annak a halmaznak, amelyen az egyenletet megoldottuk 9

20 A talált megoldások, minden olyan valós szám, amelyre teljesül b) ( + ) ( ) +, ennek az egyenletnek megoldása minden olyan valós szám, amelyre teljesül c) ( + ) +, hasonlóan átalakítjuk a másik négyzetgyököt is, így az egyenlet: +, ennek megoldása minden olyan valós szám, amelyre teljesül d) ( ) + ( ), így az egyenletünk +, és ennek az egyenletnek megoldása minden olyan valós szám, amelyre teljesül Ellenőrző feladatok Hány oldalú az a konve sokszög, amelynek -tel több átlója van, mint amennyi oldala? Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) Az egyenlet gyökeinek ismerete nélkül számítsa ki a) a gyökök különbségét; b) a gyökök négyzetének különbségét A b paraméter mely értékeire lesz a ( ) + ( b+ ) + b+ 7 gyöke? b egyenletnek pontosan egy Az a paraméter milyen értékeire lesz az ( ) ( a ) különbsége? a egyenlet két gyökének 6 Oldja meg a + + egyenletet a valós számok halmazán 7 Oldja meg az + + egyenlőtlenséget a valós számok halmazán 8 Határozzuk meg az a paraméter lehetséges értékeit úgy, hogy az ( a ) a+ a 6> egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön 9 Oldja meg az y 6 egyenletrendszert a valós számok körében + y

21 Az ellenőrző feladatok megoldásai ( n ) n Az oldalak száma legyen n Ekkor n +, n n, ennek gyökei n, n A hamis gyök A sokszög oldalainak száma a) Az y + 6 helyettesítéssel az egyenlet az y + y+ alakot ölti y + y, y, y, de y nem megoldás, hiszen y , innen, b) Legyen a + 6 Ezzel a helyettesítéssel az egyenlet: a a Ennek az értelmezési tartománya a, ennek gyökei a és a a a, a a, a( a ) Az + 6 egyenlet diszkriminánsa negatív, az egyenletnek nincs megoldása Az + 6 esetben az + egyenlet gyöke, így 8, 8 a) ( ) ( + ) b) ( )( + ) ±, azaz 6 ± Ha b ( b ), akkor elsőfokú az egyenlet, és egy gyöke van:, 6 Ha b, akkor az egyenlet másodfokú egyenlet, melynek akkor van egy gyöke, ha D D ( b+ ) ( b)( b+ 7) b 6b+, ennek két megoldása van, és Az egyenletnek a b paraméter, és értéke esetén lesz pontosan egy gyöke a, a ; 8 a > 6 9 ( ; y) lehetséges értékei: ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Négyzetgyökös egyenletek. x A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R

Négyzetgyökös egyenletek. x A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R Négyzetgyökös egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) 6 b.) 6 c.) 5 6 /( ) ÉT : 6 6 7 Bo. : 7 6 6 A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R 5 0 Vonjuk össze, amit

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Racionális és irracionális kifejezések

Racionális és irracionális kifejezések Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam

2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam 01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben