8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

Átírás

1 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az egyenletnek két különböző gyöke van; ha D, az egyenlet két gyöke egyenlő (illetve azt is mondjuk, hogy az egyenletnek egy gyöke van); ha D <, az egyenletnek nincs valós gyöke Az egyenlet gyökeit megkapjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletével: b± b ac, a Néha magasabb fokú egyenletet is megoldhatunk a megoldóképlettel, ha az egyenletet alkalmas helyettesítéssel másodfokú egyenletre vezethetjük vissza Például az + egyenlet az y helyettesítés után az y+ A gyökök és együtthatók közötti összefüggések: b + a c a y másodfokú alakot ölti Másodfokú egyenlőtlenségnek nevezzük az a + b+ c> (vagy < ) alakú egyenlőtlenségeket Az egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megkeressük az ismeretlen azon értékeit, melyekre az egyenlőtlenség teljesül A másodfokú egyenlőtlenséget algebrai úton is megoldhatjuk, ám sokszor egyszerűbb, ha az egyenlőtlenség geometriai tartalmát figyeljük: gondoljunk az y a + b+ c parabolára Keressük például az + < egyenlőtlen- ség megoldását Az y + parabola felfelé nyitott, zérushelyei,, a pa- rabola pontjai az < < intervallumban vannak az -tengely alatt, így ez az intervallum az egyenlőtlenség megoldása Négyzetgyökös egyenletekről beszélünk, ha az ismeretlen négyzetgyökjel alatt szerepel A megoldásnál arra törekszünk, hogy az egyenletből a négyzetgyökös kifejezéseket kiküszöböljük Ez általában úgy történik, hogy az egyenletet egyszer vagy többször négyzetre emeljük Figyelnünk kell a kapott gyökök ellenőrzésére, mert a négyzetre emelésnél általában hamis gyökökkel bővül a megoldáshalmaz Egy példa erre: az egyenlet gyöke ; ha négyzetre emeljük az egyenletet, a egyenlet gyökei, (hiszen kapott ( ) -re ( ) Kaptunk egy hamis gyököt, az eredeti egyenletnek nem megoldása teljesül) Az olyan egyenletrendszert, amelyben az ismeretlenek másodfokú kifejezései szerepelnek, és magasabb fokúak nem, másodfokú egyenletrendszernek nevezzük Általában az egyenletek és az ismeretlenek száma egyenlő Megoldásuk többnyire úgy történik, hogy az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezzük, és ezt a másik egyenletben behelyettesítjük, így csökkentjük az ismeretlenek számát

2 Kidolgozott feladatok Két egymást követő természetes szám szorzata 7 Melyek ezek a számok? Megoldás: A keresett számok n és + n Ekkor ( n+ ) 7 n, azaz n + n 7, átrendez- ± + 88 ve: n + n 7 Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai n,, n 6, n 7 Az n 7 hamis gyök, hiszen 7 nem természetes szám A keresett két szám: 6 és 7 Egy kézilabda-bajnokság tavaszi fordulójában minden csapat pontosan egyszer játszik bármelyik másik csapattal Eddig összesen 6 mérkőzést játszottak le, de még minden csapatnak hátra van két mérkőzése Hány csapat szerepel a bajnokságon? Megoldás: A csapatok száma k Minden csapatnak még két mérkőzése hátra van, így k mérkőzést játszottak le a csapatok k( k ) A lejátszott mérkőzések száma: 6 Rendezés után: k k Az egyenlet gyökei: k, k Mivel csapatok számáról van szó, csak a k megoldás lehetséges A bajnokság tavaszi fordulójában csapat vett részt + egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az ( )( + )( + )( + ) Megoldás:( + )( + ) + + és ( + )( + ) ( + + )( + + 6) Ezeket használva az y egyenletet Ennek gyökei: y, y egyenlethez jutunk Az y + + helyettesítés után kap- juk az ( y+ ), y + y Ha + +, akkor, 6 Ha + +, akkor D <, itt nem találunk gyököket Az eredeti egyenlet megoldásai:, 6 Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány ; ; ; , azaz ( )( ) ( )( ) megoldás Ha, akkor oszthatunk -el (nem veszítünk gyököt):, + 7, így 7+, 7 ( )( ) ( )( )

3 Az egyenlet megoldásai:, 7+, 7 Oldja meg a + + egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: A kifejezések értelmezve vannak minden, valós számra + Az egyenletet szorozzuk ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ), azaz + + +, -tel: 6+, + Az egyenlet a megoldásai: és ± 8,,, Oldja meg az + egyenletet a valós számok halmazán + Megoldás: Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a nevezőkkel, akkor egy negyedfokú egyenlethez jutunk Ezt jó lenne elkerülni Alakítsuk szorzattá a másodfokú polinomokat! Az + + egyenlet gyökei:,, így az egyenlet gyöktényezős alakja + + ( + )( + ) Hasonlóan kapjuk a többi szorzatot: ( + )( ), + + ( + )( + ) és + ( + ) ( + )( ) Így az egyenlet: ( + )( + ) ( + )( + ) + Értelmezési tartomány ; ;, + + ( )( ) A törteket egyszerűsítjük ( +) ( )( ) + + -gyel: + Szorozzuk az egyenletet a nevezőkkel: ( + ) + ( 6) 7+ + Ennek az egyenletnek a gyökei:, Ezek az eredeti egyenlet megoldásai, azaz 7 Az ( + ) + m+ m m egyenletnek az m valós értékű paraméter mely értékeire lesz két különböző valós gyöke? Megoldás: Ha m, akkor az egyenlet elsőfokú, és ekkor egyetlen megoldása van m esetén az egyenlet másodfokú, diszkriminánsa D ( m) ( m+ )( m) > Tehát m esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van

4 8 Határozza meg az m paraméter értékét úgy, hogy az m+ m egyenlet egyik gyöke a másik gyökének kétszerese legyen I Megoldás: ( m) ( m) m m+ ( m ) m± ( m ) D, és m esetén az egyenletnek két gyöke van, ezek,, azaz m, Ha, akkor m Ha, akkor m II Megoldás: D, és ha m az egyenletnek két gyöke van A gyökök és együtthatók közti összefüggés miatt + m és m Mivel, ezért + m, m m m Továbbá m, azaz m, m 9m+ 9, így m vagy m 9 a) Az + egyenlet gyökei a és b Mennyi b) Mennyi az + p+ q gyökei reciprokának összege? a + b értéke? Megoldás: a) A gyökök és együtthatók közti összefüggést ( a + b, ab ) használva az alábbi azonosság megadja a választ: a + b ( a+ b) ab( a+ b) 8 b) A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján: + p, q + p + q Ha b és c konstansok és az ( + )( + b) + c+ 6 teljesül, akkor mennyi c értéke? egyenlőség minden valós számra Megoldás: A zárójelek felbontása után b 6, azaz b Továbbá + b c, azaz c + b + Határozza meg a p paraméter lehetséges értékeit, ha az + p+ egyenlet gyökeinek különbsége Megoldás: Az egyenletnek akkor vannak megoldásai, ha D, ha p 8 A gyökök és együtthatók közötti összefüggések és a gyökökre elvárt feltétel:

5 Innen p, + p p p p és vagy p 7, és ekkor teljesül a D p 8 feltétel is Rendezés után: 9 p Tehát p 7 Az a paraméter mely értékeire lesz az + a+ és az + + a egyenleteknek közös gyöke? Megoldás: Mindkét egyenlet diszkriminánsa nem negatív: az a és a feltételeket az a számok teljesítik Ha mindkét egyenletnek megoldása, akkor + a + és + + a Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat: + a, ( a) a a, és a, ezért Ezt az értéket helyettesítve az egyenletbe kapjuk: a Oldja meg az egyenletet a valós számok körében Megoldás: Az Ennek gyökei: y, y 6 y helyettesítéssel másodfokú egyenlethez jutunk: 7 y+ 6 Az eredeti egyenlet megoldásai:,,, y Határozza meg a b paraméter lehetséges értékeit, ha az b+ b+ 6 egyenlet gyökei pozitívak Megoldás: Az egyenletnek akkor vannak megoldásai, ha D A gyökök akkor pozitív számok, ha + és is teljesül > > + b> b+ 6> D b b> b>6 ( b+ 6) ( ) ( 6) b b+, azaz b 6 y parabola felfelé nyitott, zérushelyei Az ( ) b Az b b 6 ( b+ )( b ) és Így ( b+ 6) b akkor teljesül, ha b vagy b feltételei akkor teljesülnek, ha b, ekkor lesznek az b+ b+ 6 egyenlet gyökei pozitívak

6 Hány olyan egész szám van, amelyre 6 teljesül? Megoldás: Az 6 ( + ) ( ) parabola zérushelyei a és a Mivel a parabola főegyütthatója pozitív, a parabola felfelé nyitott, ezért 6 a két zérushely közötti értékekre teljesül Az itteni egész számok:,,,,, Tehát 6 olyan egész szám van, amelyre 6 teljesül 6 a) Mennyi az f ( ) + 8 függvény legkisebb értéke? b) Mennyi az f ( ) függvény legnagyobb értéke? Megoldás: a) f ( ) A függvény legkisebb értéke b) Az f ( ) ( ) parabola zérushelyei és A parabola alulról nyitott, csúcspontja a két zérushely között félúton van, az helyen Az itt felvett érték lesz a függvény maimuma: 9 f 8 7 Oldja meg a egyenletet a valós számok körében Megoldás: Legyen t +, ezzel a helyettesítéssel az egyenlet: t + t+ 7 Ennek értelmezési tartománya: t >, t > t > ( t ) ( 7 t) +, t + 9 t + t, t 8, t, t Ez teljesíti a t > feltételt Innen +, +,, 8 Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok körében a) b) + + Megoldás: a) Értelmezési tartomány,, tehát az egyenlet megoldásait feltétel mellett keressük Ekkor ( ) + 6

7 + Ennek az egyenletnek a megoldása:, nem eleme, ezért az egyenlet megoldása Az értelmezési tartománynak b) Értelmezési tartomány, +, azaz Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán a) < b) Megoldás: a) Az értelmezési tartomány a négyzetgyök miatt A négyzetgyök értéke nemnegatív, ezért is teljesül Ennek megfelelően a megoldást feltétel mellett keressük Az értelmezési tartomány elemeire az egyenlőtlenség mindkét oldala nemnegatív, ezért ha mindkét oldalt négyzetre emeljük, akkor az egyenlőtlenség iránya változatlan marad: < < ( ) + + Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása < vagy > Az értelmezési tartományt is figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség megoldása < b) Értelmezési tartomány, ekkor vagy A négyzetgyökös kifejezés értéke nemnegatív, ezért az egyenlőtlenség minden olyan esetben teljesül, amikor, azaz Így esetén teljesül az egyenlőtlenség Ha,, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldala nemnegatív, így ha mindkét oldalt négyzetre emeljük, akkor az egyenlőtlenség iránya változatlan marad: ( ) ( ) 6 + 7

8 Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása: miatt 7+ 7 vagy Összefoglalva a két lehetőséget az egyenlőtlenség megoldása: vagy 7+ egyenlőtlenség megoldáshalmaza: ] ] ; ; + 7+ Az feltétel 7+, az Oldja meg az + y egyenletrendszert a valós számok körében + y Megoldás: Az első egyenletből: y, ezt helyettesítjük a második egyenletbe: ( ) + Négyzetre emelés és rendezés után: + Az egyenletrendszer megoldásai:, y és, y Ennek gyökei:, Oldja meg az + y + y+ y 9 egyenletrendszert a valós számok körében Megoldás: Vezessünk be új ismeretleneket ahogyan a változóiban szimmetrikus kifejezéseknél ez gyakori, legyen a + y b y, Ekkor y ( + y) y a b a b a+ b 9 +, és Az első egyenlet -szorosához adjuk hozzá a második egyenlet -szeresét: a + a 8 Ennek megoldásai: a, a, és a + b 9 miatt b, b 9 + y + y és y értékeit az és az y 8 egyenletrendszerekből kapjuk Az első eset- y 9 ben ( ), azaz +,, és y, y A második egyenlet- 8 8 rendszerből az egyenletet kapjuk, ám az + + egyenlet 9 9 diszkriminánsa negatív ( D ), itt nem találunk megoldást 9 Az egyenletrendszer megoldásai:, y és, y 8

9 Ajánlott feladatok Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei és Oldja meg a ( + ) 6 egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán a) A 7+ másodfokú egyenlet gyökei és Mennyi ekkor + értéke? b) Az + b+ c egyenlet gyökei az + egyenlet gyökeinek reciprokai Mennyi b+ c értéke? 7 Az + p 6 egyenlet egyik gyöke az Mekkora p értéke? 8 Határozza meg az + p+ q együtthatóit, ha az egyenlet gyökei p és q 9 Az + m egyik gyökének kétszeres gyöke az + m egyenletnek, ahol m Határozza meg az m paraméter lehetséges értékeit Az a paraméter mely értékeire lesz a ( a+ ) + ( a) egyenlet gyökeinek különbsége ugyanannyi, mint a gyökök szorzata? Az a + b+ c egyenlet gyökei -nél nagyobbak Mutassa meg, hogy a c + b+ a egyenlet gyökei -nél kisebb pozitív számok Határozza meg az a paraméter lehetséges értékeit úgy, hogy az ( a + ) a+ a 6< egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön Oldja meg a + egyenletet a valós számok halmazán Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán 9

10 Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán 6 Oldja meg a + > egyenlőtlenséget a valós számok körében 7 Milyen valós számokra teljesül a egyenlőtlenség? 8 Az y a + b+ c parabolának a ( ; ) pontban van a csúcsa, és a ( ; ) parabolára Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét! 9 Melyek azok az a valós számok, amelyekre ( + ) + ( a+ ) egyik gyöke esik a ( ; ) intervallumba? Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert + y+ y + y + y Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert y pont illeszkedik a a egyenletnek pontosan + y+ + y+ y Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert + y y Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) c) + d)

11 Az ajánlott feladatok megoldásai Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei és I Megoldás: Az ( )( + ) egyenletnek a és számok a gyökei Innen a zárójelek felbontásával kapjuk az + egyenletet II Megoldás: Használjuk a gyökök és együtthatók közti összefüggést! Ha az + p+ q egyenlet gyökei és egyenlet: +, akkor + ( ) p, ( ) q, azaz p, q A keresett III Megoldás: Ha az + p+ q egyenletnek gyökei a és számok, akkor + + q p és ( ) + ( ) p + q Vonjuk ki az első egyenletet a második egyenletből: 7 7 p, p Ezt helyettesítsük az első egyenletbe: 9+ + q, q A keresett egyenlet: + Megjegyzés Ha az + p+ q egyenletet megszorozzuk egy nullától különböző valós számmal, az új egyenletnek is ugyanazok a számok lesznek a gyökei, mint az eredetinek Így például a + egyenletnek is ugyanúgy a és számok a gyökei, mint az + egyenletnek Oldja meg a ( + ) Megoldás: nem megoldása az egyenletnek, oszthatunk ( + ) 6 egyenletet a valós számok halmazán -el, nem veszítünk gyö- köt: Az y helyettesítés után a 6y + 7 y egyenlethez jutunk Ennek gyökei: y, y Ha, 9 9,, A hamis gyök, hiszen az + + egyenlet csak pozitív számra teljesülhet 8 8 Ha, 9 6 6,, 8 A 8 hamis gyök, hiszen az egyenlet csak negatív számra teljesülhet + 8 Ellenőrizve a kapott értékeket, az eredeti egyenletnek megoldásai az és Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán + + Megoldás: Értelmezési tartomány b + Az a b a+ b + ± 9 ± ; Legyen a + +, 6 6 egyenletből a b, azaz + + +, + 6, + 8 Az egyenlet megoldásai:,

12 Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány ; ; 6; , azaz ( )( ) ( )( ) Ha a számlálók értéke nulla, vagyis, akkor Ha, ahonnan + 9, megoldása az egyenletnek + 7 6, akkor oszthatunk ( ) -gyel: ( )( ) ( )( ) +, Egyenletünk megoldásai:, +,, Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány ; ; ; ( + ) , és ehhez hasonlóan átírjuk a többi törtet is, így az egyenletünk: , azaz , másképpen:, innen ( ) ( ) ( ) ( ) Az megoldás, és ha, oszthatunk vele: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ), ez a ren- dezés után ,, Az egyenlet gyökei:, 6 a) A 7+ másodfokú egyenlet gyökei és Mennyi ekkor + értéke? b) Az + b+ c egyenlet gyökei az + egyenlet gyökeinek reciprokai Mennyi b+ c értéke?

13 Megoldás: a) + ( + ) ( + ) ) 7 b) A gyökök és együtthatók közti összefüggéseket használjuk Az + egyenlet gyökei, (Van két valós gyök, mert a diszkrimináns pozitív) +, és Az + b+ c egyenlet gyökei y, y Ekkor b + c( y + y ) + + ( + ) y y 7 Az + p 6 egyenlet egyik gyöke az Mekkora p értéke? Megoldás: Ha gyöke az + p 6 egyenletnek, akkor behelyettesítve teljesül az egyenlőség, tehát + p 6, p 8 Határozza meg az + p+ q együtthatóit, ha az egyenlet gyökei p és q Megoldás: Ha az + p+ q egyenletnek gyöke p és q, akkor a gyökök és együtthatók közti összefüggések szerint p+ q p és pq q Ha pq q, akkor vagy p vagy q Innen könnyű megoldani a p+ q p egyenletet Az együtthatók lehetséges értékei: p, q és p, q 9 Az + m egyik gyökének kétszeres gyöke az + m egyenletnek, ahol m Határozza meg az m paraméter lehetséges értékeit Megoldás: Az első egyenlet gyökei: m, + m, a második egyenlet m + m gyökei:, Az m paraméterre m teljesül Két esetet vizsgálunk, ha < m, illetve ha m < Ha < m, akkor m < m <, és < < < < Mivel és, ezért az és lehetőségeket kell megvizsgálnunk ± m m, ahonnan rendezés után az m m m egyenletet, majd négyzetre emelés után az m + m egyenletet kapjuk Ennek gyökei m, m nem megoldások, mert nem teljesítik a < m feltételt Ha m <, akkor < m < m, következésképpen <, <, <, <, sőt < < < < Látható, hogy és, ezért az és az

14 lehetőségeket kell megvizsgálnunk Az első eset ellentmondásra vezet, a második esetben találunk megoldást, ha m Az a paraméter mely értékeire lesz a ( a+ ) + ( a) egyenlet gyökeinek különbsége ugyanannyi, mint a gyökök szorzata? I Megoldás: A diszkrimináns ( a+ ) 8( a) a 6a+ 9 ( a ) D nem negatív Az egyenlet két gyöke, A gyökök és együtthatók közti összefüggések és az feltétel alapján: + a a+ a Ennek megoldása:, Ezekkel írjuk fel az feltételt: a a, azaz a Ez a keresett paraméter érték, ekkor az egyenlet két gyöke és, ezekre teljesül az feltétel ( a+ ) 8( a) a+ ± ( a ) a+ ± II Megoldás:,, a és A feladat szerint: vagy Tehát a a, ami nem lehetséges; vagy, ahonnan a a a A feladat feltétele a esetén teljesül, ekkor a két gyök és Az a + b+ c egyenlet gyökei -nél nagyobbak Mutassa meg, hogy a c + b+ a egyenlet gyökei -nél kisebb pozitív számok Megoldás: Mindkét egyenletnek ugyanaz a diszkriminánsa: D b ac, tehát ugyanakkor van az egyik egyenletnek két gyöke, amikor a másik egyenletnek is Megmutatjuk, hogy ha az a + b+ c egyenlet gyökei és, akkor a c + b+ a egyenlet két gyöke, b c A gyökök és együtthatók közötti összefüggések szerint: + és Ekkor a a + b a b a + és, azaz az, számok telje- c a c c a c sítik a c + b+ a egyenlet gyökei és együtthatói között fennálló összefüggéseket, így, gyökei ennek az egyenletnek

15 Ha > és >, akkor < < és < <, tehát igaz a feladat állítása Határozza meg az a paraméter lehetséges értékeit úgy, hogy az ( a + ) a+ a 6< egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön Megoldás: Ha a, akkor a 8 < egyenlőtlenséget kell megoldani, ami nem teljesül minden valós számra Ha a, akkor egy másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg, aminek akkor lesz minden valós szám a megoldása, ha a másodfokú kifejezésnek megfelelő parabola lefelé nyitott és a grafikonja az -tengely alatt helyezkedik el, tehát az ( + ) a+ a 6 nincs megoldása a valós számok között: + < a egyenletnek a és D ( a) ( a+ ) ( a 6) <, azaz a < és a a+ >, ( a )( a+ 6) >, ami akkor teljesül, ha a > vagy a <6 Minden feltétel akkor teljesül, ha a <6 Oldja meg a + egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Értelmezési tartomány: az, és feltételek miatt a megoldást az, feltétel mellett keressük Négyzetre emelés és rendezés után a ( )( ) egyenletet kapjuk Az értelmezési tartomány elemeire mindkét oldal pozitív, ezért négyzetre emeléssel ekvivalens egyenletet kapunk: 9 8+ Ennek az egyenletnek a megoldásai 9 és Mindkettő valóban megoldása az eredeti egyenletnek Oldja meg a egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Az egyenlet értelmezési tartománya: 8 +,, + Az egyenlet megoldása után behelyettesítéssel fogjuk ellenőrizni ezeknek a feltételeknek a teljesülését A megoldás során többször négyzetre emelünk, ez is szükségessé teszi majd az ellenőrzést A gyökök alatti kifejezéseket szorzattá alakítjuk: ( )( ) ( )( + ) + ( )( + ) Négyzetre emelés után: ( )( 7) ( ) ( + )( + ) Ismét négyzetre emelünk: ( ) ( ) 9 Ennek az egyenletnek a gyökei:,, Az hamis gyök, hiszen ez nem 7 megoldása az előző egyenletnek, mivel erre a számra a bal oldal negatív értéket vesz fel

16 Az eredeti egyenlet megoldásai:, Ezek valóban megoldások, mert teljesítik az értelmezési tartományra fennálló feltételeket Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán Megoldás: Használjuk az ( a b)( a+ b) a b mindkét oldalát a kifejezéssel: ( + ) ( ) + () +, ; azonosságot, és szorozzuk az egyenlet Két eset lehetséges: () A () egyenlet megoldását négyzetre emelésekkel is kereshetjük, ennél egyszerűbb, ha ezt az egyenletet és az eredetit összeadjuk: + + +, ahonnan Ellenőrzés mutatja, hogy és is megoldása az egyenletnek 6 Oldja meg a + > egyenlőtlenséget a valós számok körében Megoldás: Az értelmezési tartomány és + feltételek miatt Az egyenlőtlenséget átrendezzük azért, hogy mindkét oldalon nemnegatív kifejezés álljon, és így a négyzetre emeléssel az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséghez jussunk: > 9> > Az egyenlőtlenség jobb oldala nemnegatív, ezért a bal oldal pozitív, tehát > feltétel mel- lett emelhetünk újra négyzetre: 6 ( ) > + 7+ > Ennek a másodfokú egyenlőtlenségnek a megoldása figyelembe vételével az egyenlőtlenség megoldáshalmaza: ] [ < vagy > Az 6 ; + > feltétel 7 Milyen valós számokra teljesül a egyenlőtlenség? Megoldás: Legyen a + 6, ekkor egyenlőtlenségünk a a alakban írható Ennek értelmezési tartománya a Ekkor négyzetre emelhetjük az egyenlőtlenség mindkét olda- lát: a a a a( a) a Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása a Tehát a + 6 egyenlőtlenséget kell megoldanunk 6

17 A + 6 ( )( ) egyenlőtlenség megoldása vagy Oldjuk meg az + 6 egyenlőtlenséget! + teljesül, ha Az + és egyenlőtlenség megoldásai: 8 Az y a + b+ c parabolának a ( ; ) pontban van a csúcsa, és a ( ; ) parabolára Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét! Megoldás: Ha az y a + b+ c + és pont illeszkedik a parabolának a ( ; ) y a( ) + ; továbbá a ( ; ) pont illeszkedik a parabolára, így ( ) +, a Ezt beírva az y a( ) + egyenletbe, y + 6 Így a, b, c 6 9 Melyek azok az a valós számok, amelyekre ( + ) + ( a+ ) egyik gyöke esik a ( ; ) intervallumba? Megoldás: Mivel D ( a+ ) + 8( a + ) > pontban van a csúcsa, akkor a azaz a egyenletnek pontosan, ezért minden valós a esetén van két megoldás Mivel <, így az egyik gyök negatív, a másik pozitív a + p parabola felfelé nyitott, és p ( ) < akkor lesz zérushelye a ( ; ) intervallumban, ha p ( ) > p ( ) a + a> akkor teljesül, ha a < vagy a > A ( ) ( a + ) + ( a+ ), így a parabolának Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert + y+ y + y + y Megoldás: Legyen a + y, b y Ezen jelölésekkel, az új ismeretlenekkel az egyenletrendszer a következő alakot ölti: ( a b) ( a+ b) ( a b) a b a+ b a b, tehát a b egyenletrendszer: a b a+ b Adjuk össze a két egyenletet: a, a Mivel a b, így b Innen adódik a következő 7

18 + y y y kifejezést helyettesítsük az y egyenletbe, és emeljünk négyzetre: ( ) Az + egyenlet gyökei: + Az egyenletrendszer gyökei:, y és Ellenőrzés mutatja, hogy ezek valóban megoldások ±, Oldja meg a valós számok körében a következő egyenletrendszert + y+ y + y+ y Megoldás: Vegyük a két egyenlet összegét és különbségét ( + y) + ( + y) ( ) + ( ) y y Az első egyenletből + y vagy + y6 A második egyenletet átalakítva: ( y)( + y+ ) Két eset lehetséges: + y + y6 vagy y y A megoldások:, y és, y Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert Megoldás: Az + y y +, y a + y, b y új ismeretlenek bevezetésével az a a egyenlethez jutunk, és ennek a harmadfokú egyenletnek a megoldása nem egyszerű a+ b Legyen a, b y ( y ) miatt ab, így az egyenletrendszer Innen az ab a a+ egyenlet adódik a +, a, és b, b + Az egyenletrendszer gyökei: és +, y, y + Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b)

19 Megoldás: a) Legyen a +, ekkor + + a Ezzel a helyettesítéssel az egyenlet a 7a ( a ) 9 alakot ölti A a 7a+ egyenlet gyökei: a ; a Az +, + egyenlet gyökei, Az +, + egyenletnek nincs megoldása, mert a diszkriminánsa negatív Egyenletünknek két megoldása van:, b) A egyenletet osszuk -tel, ezt megtehetjük, mert az egyenletnek nem megoldása, így nem veszítünk gyököt: , ezt átrendezve kapjuk az előbbi egyenletet Tehát az egyenletünk azonos az előző egyenlettel, így a megoldásai:, Ha egy egyenlet együtthatóiban az itt tapasztalthoz hasonló szimmetriát fedezünk fel, akkor a középen álló hatvánnyal osztva alacsonyabb fokú (másodfokú) egyenletre tudjuk visszavezetni az egyenletet Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) c) + d) Megoldás: a) , ( ) + ( + ) az egyenletnek a megoldásánál három esetet kell vizsgálnunk Ha, azaz + + Ennek, akkor az abszolútértékek elhagyása után az egyenlet: ( ) ( + ),, ez a szám megoldás, mert eleme annak a halmaznak, amelyen az egyenletet megoldottuk Ha <, akkor az egyenlet: ( ) + ( + ), azaz, azonosságot kaptunk, ezen a tartományon minden szám megoldás Ha <, akkor az egyenlet: ( ) + ( + ), azaz, mely szám most nem megoldás, mert nem eleme annak a halmaznak, amelyen az egyenletet megoldottuk 9

20 A talált megoldások, minden olyan valós szám, amelyre teljesül b) ( + ) ( ) +, ennek az egyenletnek megoldása minden olyan valós szám, amelyre teljesül c) ( + ) +, hasonlóan átalakítjuk a másik négyzetgyököt is, így az egyenlet: +, ennek megoldása minden olyan valós szám, amelyre teljesül d) ( ) + ( ), így az egyenletünk +, és ennek az egyenletnek megoldása minden olyan valós szám, amelyre teljesül Ellenőrző feladatok Hány oldalú az a konve sokszög, amelynek -tel több átlója van, mint amennyi oldala? Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán a) b) Az egyenlet gyökeinek ismerete nélkül számítsa ki a) a gyökök különbségét; b) a gyökök négyzetének különbségét A b paraméter mely értékeire lesz a ( ) + ( b+ ) + b+ 7 gyöke? b egyenletnek pontosan egy Az a paraméter milyen értékeire lesz az ( ) ( a ) különbsége? a egyenlet két gyökének 6 Oldja meg a + + egyenletet a valós számok halmazán 7 Oldja meg az + + egyenlőtlenséget a valós számok halmazán 8 Határozzuk meg az a paraméter lehetséges értékeit úgy, hogy az ( a ) a+ a 6> egyenlőtlenség minden valós számra teljesüljön 9 Oldja meg az y 6 egyenletrendszert a valós számok körében + y

21 Az ellenőrző feladatok megoldásai ( n ) n Az oldalak száma legyen n Ekkor n +, n n, ennek gyökei n, n A hamis gyök A sokszög oldalainak száma a) Az y + 6 helyettesítéssel az egyenlet az y + y+ alakot ölti y + y, y, y, de y nem megoldás, hiszen y , innen, b) Legyen a + 6 Ezzel a helyettesítéssel az egyenlet: a a Ennek az értelmezési tartománya a, ennek gyökei a és a a a, a a, a( a ) Az + 6 egyenlet diszkriminánsa negatív, az egyenletnek nincs megoldása Az + 6 esetben az + egyenlet gyöke, így 8, 8 a) ( ) ( + ) b) ( )( + ) ±, azaz 6 ± Ha b ( b ), akkor elsőfokú az egyenlet, és egy gyöke van:, 6 Ha b, akkor az egyenlet másodfokú egyenlet, melynek akkor van egy gyöke, ha D D ( b+ ) ( b)( b+ 7) b 6b+, ennek két megoldása van, és Az egyenletnek a b paraméter, és értéke esetén lesz pontosan egy gyöke a, a ; 8 a > 6 9 ( ; y) lehetséges értékei: ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )