Matematika 8. osztály

Átírás

1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018

2 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra Két tag összegének a négyzete Két tag különbségének a négyzete Gyakorlás Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok Gyakorlás A négyzetgyök fogalma A irracionális számok Négyzetgyökös azonosságok Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel Gyakorlás Nevező gyöktelenítése Gyakorlás Összefoglalás Témazáró dolgozat

3 1. óra. Két tag összegének a négyzete óra Két tag összegének a négyzete Állítás. Legyen a és b tetszőleges racionális szám. Ekkor az a és a b összegének a négyzete egyenlő a számok négyzetének és a kétszeres szorzatuknak az összegével: a + b) 2 a a b + b 2 Bizonyítás. A négyzetre emelés definícióját felhasználjuk és zárójelet felbontjuk. Ez után a szorzás kommutatív tulajdonságát is kihasználjuk, majd összevonunk. a + b) 2 a + b) a + b) a 2 + ab + ba + b 2 a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Megjegyzés. Ha egy a oldalú négyzet alakú kert mindkét oldalát b-vel megnövelem, akkor az új kert területét kétféleképpen felírva megkapom a fenti azonosságot. ab b 2 a 2 ab a + b) 2 1. Feladat. Végezzük el önállóan a következő négyzetre emeléseket! a. ) x + y) 2 2a + 1) 2 x ) 2 3a + 4b) x ) y3 + 1) 2 1. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket! a. ) 5x + 2y) y + x ) 2 x 4 + y 3) 2 ) 3y

4 4. 2. óra. Két tag különbségének a négyzete 2. óra Két tag különbségének a négyzete Állítás. Legyen a és b tetszőleges racionális szám. Ekkor az a és a b különbségének a négyzetét megkaphatjuk úgy, hogy a számok négyzetének összegéből kivonjuk a kétszeres szorzatukat. Az előzőhöz hasonló sorrendbe rendezve: a b) 2 a 2 2 a b + b 2 Bizonyítás. Az összegre vonatkozó összefüggésnél tett lépéseket itt is megtehetjük. a b) 2 a b) a b) a 2 ab ba + b 2 a 2 ab ab + b 2 a 2 2ab + b 2 Megjegyzés. Ha egy a oldalú négyzet alakú kert mindkét oldalát b-vel csökkentem, akkor az új kert területét kétféleképpen felírva megkapom a fenti azonosságot. Azért kell a b 2 -et hozzáadni, mert amikor a két téglalap területét levontuk a kert területéből, akkor a sarokban lévő négyzet területét duplán levontuk. ab b 2 a 2 ab a b) 2 2. Feladat. Végezzük el önállóan a következő négyzetre emeléseket! a. ) x y) 2 3x 2) 2 6x 1) 2 3a 4b) 2 ) x 7 ) 2 5x 4 y g. ) x 3 y 2) 2 h. ) 3x x) 2 i. ) 4 + x) 2 j. ) y 5 x 3) 2 k. ) 3 5 y3 1) 2 ) x 4 2 l. ) 3 5

5 2. óra. Két tag különbségének a négyzete Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket, ahol lehet egyszerűsítsünk és a Photomath nevű telefonos alkalmazással ellenőrizzük a megoldásokat! a. ) c d) 2 x 6 1 ) 2 2y 1 2) 2 4x 9 3y 4 ) 2 3x 4 9y x ) x 3 7 y4 ) 2

6 6. 3. óra. Gyakorlás 3. óra Gyakorlás 3. Feladat. Végezzük el önállóan a következő négyzetre emeléseket! a. ) 3a b) 2 3y + x) 2 x 3 + 1) 2 3y 2y) 2 a 2 + 1) 2 4. Feladat. Végezzük el együtt a következő négyzetre emeléseket! a. ) x + 2) 1 2 y 1 3) 2 z 2 t 3) 2 2k 3 3j ) a2 0, 5b 3 ) a4 b 2 3 ab3 ) 2 g. ) 5 6 x3 y xy ) 2 Állítás. Legyenek adottak a, b, c számok. A három szám összegének a négyzete: Bizonyítás. a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac a + b + c) 2 a + b) a + b) c + c 2 a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2 3. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveletet! 6 + x + 3) 2 1. Szorgalmi feladat. Írjuk fel az azonosságot! a + b + c + d) 2

7 4. óra. Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok óra Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok 5. Feladat. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket kiemeléssel! a. ) 3a + 3b 5ab 10ac 5x x 2 a 4 x 2 a 3 x 4 ax + bx + cx a 3 2a 2 a g. ) 8a 4 12a 2 h. ) 6ab 3b 2 6. Feladat. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket az összeg illetve különbség négyzetére vonatkozó nevezetes azonosságok felhasználásával! a. ) x 2 2x 1 a 2 + 6a + 9 4a 2 + 4a + 1 9x 2 6x y 4 10y 2 x + x 2 a 2 2a 1 Állítás. Legyen a és b racionális szám. A két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő a számok négyzetének különbségével. a + b) a b) a 2 b 2 Bizonyítás. a + b) a b) a 2 ab + ba b 2 a 2 b 2 4. Házi feladat. Számoljuk ki a példákat és külön lapon adjuk le következő órán! a. ) x + y) x y) a + 2) a 2) 2 3 a2 + 3 ) 2 4 y3 3 a2 3 ) 4 y3

8 8. 5. óra. Gyakorlás 5. óra Gyakorlás 7. Feladat. Végezzük el az alábbi szorzásokat önállóan! a. ) 5x 2y) 2 2x y z) 2 2x + y) 2x y) 8. Feladat. Alakítsuk szorzattá önállóan az alábbi kifejezéseket! a. ) a 2 b 2 a 2 b x2 1 4 y2 a 2 1 4a a b2 9. Feladat. Alakítsuk szorzattá együtt az alábbi kifejezéseket! a. ) x + 3y) 2 z 2 x + y) 2 9y 2 z a + b) , 01a 2 x 6 + x Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi feladatokat! a. ) x k + a) 2 x + y + z) 2 x + 2y + z) 2 x y + z) a3 b a5 b) 2

9 6. óra. A négyzetgyök fogalma óra A négyzetgyök fogalma Def. Legyen a nemnegatív valós szám 1. Az a szám négyzetgyökének azt a nemnegatív számot nevezzük, amelyet négyzetre emelve 2 éppen a-t kapunk. Jele: a Megjegyzés. A 9 egy olyan számot jelent, aminek a négyzete 9. Ez a +3 és a 3 is lehetne, de a definíció szerint mindig a nemnegatívat kell választani. Megjegyzés. A 9 nem lehet valós szám. Egyrészt nulla nem lehet, hiszen négyzete 9 kellene, hogy legyen, ami a nullára nem teljesül. Pozitív valós nem lehet, hiszen tudjuk, hogy + + +, de negatív sem lehet 3, mert Feladat. Számítsuk ki együtt a következő négyzetgyökvonások eredményét! a. ) 0 16 g. ) 49 j. ) h. ) 100 k. ) i. ) 64 l. ) Feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezések eredményét, ami marad házi feladat! a. ) g. ) h. ) 18 2 i. ) 75 5 j. ) 0, 36 k. ) 0, 0081 l. ) 0, 0016 m. ) 27 3 n. ) o. ) p. ) 2 3 : Házi feladat. Állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi számokat! 7, , , 2 7, 1 6, , Halmazos jelöléssel írva: a R + 2 Másképp fogalmazva: önmagával megszorozva 3 Valójában csak azt tudjuk biztosan, hogy a 9 nem nulla, nem pozitív és nem is negatív, nem valós szám, nincs is rajta a számegyenesen. A komplex számok bevezetésével később értelmet adhatunk ennek a számnak.

10 óra. A irracionális számok 7. óra A irracionális számok Def. A végtelen nem szakaszos tizedestörteket irracionális számoknak hívjuk. Ezek a számok nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Jele: Q Megjegyzés. Bármely racionális szám végtelen tizedes tört alakja szakaszos Def. A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. Megjegyzés. A racionális és irracionális számokra igazak az alábbiak: Q Q R Q Q 12. Feladat. Számítsuk ki a 2 értékét minél pontosabban! A négyzete emelés monoton növekvő tulajdonságát felhasználjuk. Ez azt jelenti, hogy két nemnegatív szám közötti reláció fennáll a számok négyzetei között is. 1 < 2 < < 2 < < 2 < < 2 < < 2 < < 2 < < 2 < < 2 < Ezt az eljárást folytathatjuk addig, amíg csak szeretnénk, és tetszőleges pontossággal megközelíthetjük a 2 értékét, ám az alsó és a felső közelítés soha lesz egyenlő. 13. Feladat. Van-e helye a 2-nek a számegyenesen? Ha igen, keressük meg! Tudjuk, hogy egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet átlója éppen 2 hosszúságú. Ez alapján geometriailag megtalálhatjuk a 2 helyét Házi feladat. Írj fel 10 darab pozitív egész számot. Becsüld meg mindegyiknek a négyzetgyökét és utána számológéppel ellenőrizd! Próbálj szabályokat felismerni! 2. Szorgalmi feladat. Számítsuk ki közelítéssel a 5 értékét!

11 8. óra. Négyzetgyökös azonosságok óra Négyzetgyökös azonosságok Állítás. Legyen a 0 és b 0. A két szám szorzatának négyzetgyöke egyenlő a két szám négyzetgyökének szorzatával, tehát lehet tényezőnként négyzetgyököt vonni. a b a b Bizonyítás. Mindkét szám nemnegatív, ezen számok körében pedig a négyzetre emelés és a gyökvonás ekvivalens átalakítás. Be kell látni, hogy mindkét oldal négyzete azonos. A négyzetgyökvonás definíciója és a hatványozás III. azonossága alapján: bal oldal: a b ) 2 a b jobb oldal: a b ) 2 a ) 2 b ) 2 a b Állítás. Legyen a 0 és b > 0. A két szám hányadosának négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával, azaz: a b Bizonyítás. Az előzőhöz hasonlóan járunk el, csak itt a hatványozás IV. azonosságát használjuk fel a bizonyítás során: a b bal oldal: ) 2 a a b b ) 2 a jobb oldal: a) 2 b b) a 2 b Állítás. Legyen a > 0 és k Z. A négyzetgyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, tehát teljesül a következő azonosság: a ) k a k Bizonyítás. Emeljük négyzetre mindkét oldalt. Mivel definíció szerint mindkettő nemnegatív, ezért ez egy ekvivalens átalkítás. Ha ugyanazt kapjuk, készen vagyunk. a ) ) k 2 ) k 2 a ) ) 2 k bal oldal: a a k ) 2 jobb oldal: a k a k 8. Házi feladat. Saját számokkal mindegyik azonosságot kipróbálni számológépen.

12 óra. Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel 9. óra Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel 14. Feladat. Bontsuk fel a zárójeleket! ) ) a. ) ) ) ) 2 ) ) ) ) 2 g. ) ) 2 h. ) ) ) i. ) ) ) 15. Feladat. Végezzük el a következő műveleteket! a. ) 25c4 0, 36b2 81y 10 a2 a8 b 2 c 4 9a + b)4 g. ) 2, 89a + b)6 h. ) 4a2 b 4 81c 2 d 6 9. Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni otthon.

13 10. óra. Gyakorlás óra Gyakorlás 16. Feladat. Végezzük el a következő műveleteket! a. ) 8a + 3b 2a) + 5a 5x 3 4x + 3) 7 12a + 2b) 4a b) x 2 + 3x 5) 2x 2 x + 1) xx + y) yx y) 33a 3b) + 5a + b) g. ) 4x y + z) 2x + y z) 3 x y z) h. ) x 2)x + 3) + x + 2)x 3) i. ) a 3)a + 4) a 2)a + 5) j. ) x a)x b)x c) k. ) 4b 2 + 2a 2 4ab)2a 2 + 3ab 3b 2 ) l. ) x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 )x y) m. ) 3x + 4y)3x + 4y) n. ) 3x 4y)3x + 4y) o. ) 3x 4y)3x 4y) p. ) x 3 + y 2 ) 2 q. ) x + 2y + 3z) 2 r. ) a + b)a + b)a + b) s. ) x + 3y) 2 z 2 t. ) 3xy 2 + 6xy + 3x u. ) a 8 + a v. ) 36a 4 49b Házi feladat. Maradékot befejezni, Photomath alkalmazással ellenőrizni.

14 óra. Nevező gyöktelenítése 11. óra Nevező gyöktelenítése 17. Feladat. Alakítsuk át az alábbi törteket úgy, hogy a nevezőben ne legyen irracionális szám! Az alkalmazott megoldási módszer legyen a nevezővel való bővítés. a. ) a a 4 x Feladat. Gyöktelenítsük a kéttényezős nevezőt! Itt a tényezők közül csak a gyökjel alatti kifejezések négyzetgyökével bővítsünk, ne az teljes nevezővel. a. ) x x 7 7x x x Feladat. Gyöktelenítsük az kéttagú összegből álló nevezőt! Legyen a módszer a nevező konjugáltjával való bővítés. a. ) x x x g. ) h. ) i. ) j. ) 4 b Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni, számológéppel ellenőrizni. 3. Szorgalmi feladat. Gyöktelenítsük a nevezőt: 1 3 2

15 12. óra. Gyakorlás óra Gyakorlás 20. Feladat. Írjuk fel törtalakban az alábbi számokat! 12, 32 5; 1, 5; 12, Feladat. Gyakoroljuk a zárójelfebontást és az összevonást! a. ) 2x 2 5x 5 2a) 3a 4 ) 3a 2 b 2b 2 ) 2a 2 b + b2) x 3 y x 2 ) x 2 x 4 y) 22. Feladat. Gyakoroljuk a nevezetes azonosságokat! 3 a. ) 2 a3 + 2 ) 3 3 y2 2 a3 2 ) ) 3 y2 4x 2 y 3 2 ) 9a 4 b 5 3 3a 2 b 4 2x 4 y 6 ) ) y x3 y x a4 b 2 ) 2 3 ab3 23. Feladat. Alakítsunk szorzattá! a. ) 3a + 2b) 2 9c 2 1 2a 3b) x) 2 y z) 2 b 8 + 2b x 2 + y 2 2xy 4x 2 4xy + y 2 g. ) 25x xy + 4y 2 h. ) x 8 + x Feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra! a. ) 0, 25a6 0, 25a7 1, 44a7 b 8 c 9 2a2 + 12ab + 18b 2 36a x9 25. Feladat. Vigyünk be a gyökjel alá! a. ) , Feladat. Hozzuk ki a gyökjel elé a lehető legnagyobb természetes számot! a. ) Házi feladat. Maradékot befejezni. 4. Szorgalmi feladat. Külön lapra egyszerűbben feliírni:

16 óra. Összefoglalás 13. óra Összefoglalás

17 14. óra Témazáró dolgozat 14. óra. Témazáró dolgozat 17.

18 18. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bidMS-2308