Matematika 11. osztály

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika 11. osztály"

Átírás

1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018

2 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Korábban tanultak ismétlése Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai Negatív kitevőjű hatványok Az n-edik gyökvonás és azonosságai Feladatmegoldás A törtkitevőjű hatvány értelmezése Irracionális kitevőjű hatványok Exponenciális függvény Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése Exponenciális egyenletek megoldása Exponenciális egyenletek főbb típusai Exponenciális egyenletek gyakorlása Exponenciális egyenletrendszerek Exponenciális egyenlőtlenségek Exponenciális egyenlőtlenségek:

3 Tartalomjegyzék. 16. A logaritmus fogalma A logaritmus azonosságai A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése Az inverz függvény fogalma Áttérés más alapú logaritmusra Logaritmust tartalmazó kifejezések Logaritmusos egyenletek Logaritmusos egyenletek Logaritmusos egyenlőtlenségek Logaritmusos egyenlőtlenségek Gyakorlás Gyakorlás Gyakorlás Gyakorlás Témazáró dolgozat megírása Témazáró dolgozat megbeszélése

4 4. 1. óra. Korábban tanultak ismétlése 1. óra Korábban tanultak ismétlése Halmazok: a. ) Számhalmazok: N, Z, Q, Q, R b. ) Halmazműveletek,, \, A Nevezetes azonosságok: a. ) (a + b) = b. ) (a b) = c. ) (a + b) (a b) = Műveletetek törtekkel: a. ) + 4 = b. ) 4 = c. ) 4 = d. ) : 4 = Értelmezési tartomány, képhalmaz: Milyen számok írhatók az x helyére, illetve milyen számok jöhetnek ki a műveletek eredményeként? a. ) x b. ) x c. ) x d. ) 10 x e. ) 1 x f. ) 4 x x 9 g. ) sin(x) h. ) tan(x) Egyenletek megoldása: a. ) Elsőfokú, egyismeretlenes: x + 5 = 0 b. ) Másodfokú, egyismeretlenes: x + 4x 7 = 0 c. ) Abszolútértékes, egyismeretlenes: x + 4 = 5 d. ) Egyenletrendszer kétféle megoldási módszerrel: x + y = 10 5x 4y = 0 e. ) Törtes egyenlőtlenség: x (x 1)(x+) < 0

5 . óra. Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai 5.. óra Egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságai Def. Legyen adott egy a 0 valós szám és egy n N +. Az a szám n-edik hatványa az a szám önmagával vett n tényezős szorzatát jelenti, azaz: a n = a a a... a }{{} n darab Megjegyzés. Az a szám első hatványa önmaga, azaz ha n = 1, akkor a n = a 1 = a Def. Legyen n N +. A nulla n-edik hatványai 1 eggyel egyenlők, azaz 0 n = 1 Áll. Legyen a, b R \ {0} és n, m N +. A hatványozás azonosságai: I. ) a n a m = a n+m II. ) III. ) IV. ) a n a m = an m (a b) n = a n b n ( a b ) n = a n b n V. ) (a n ) m = a n m = a m n 1 Megjegyzés: a 0 0 értelmezése problémákhoz vezet, így ezt most nem defináljuk.

6 6.. óra. Negatív kitevőjű hatványok. óra Negatív kitevőjű hatványok Def. Legyen a 0 és n N +. Az a szám negatív hatványa a következőt jelenti: a n = 1 a n 1. Feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket a hatványozás azonosságaival! a. ) 5 = b. ) a a 5 = e. ) (a ) a 5 (a 1 ) (a 5 ) 4 a 6 = c. ) 1 b 10 = d. ) c 4 c = (a b) 4 (a b ) 5 f. ) (b 4 ) (a b ) = ( ) x 5 g. ) (x y ) ( ) y x y 1 (y ) : = x y 1. Házi feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket! ( ) x ( ) x a. ) (x ) 1 (x 4 ) = ( ) x 5 y b. 7 ) [ ( ) 4 ( ) ] = 4 x y : x 6 4 y 5

7 4. óra. Az n-edik gyökvonás és azonosságai óra Az n-edik gyökvonás és azonosságai Def. Legyen k N +. Ekkor valamely a nemnegatív szám k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek k-adik hatványa a, azaz k a-re igaz, hogy: ( k a ) k = a Def. Legyen k N +. Ekkor valamely a R szám k + 1-adik gyöke olyan szám, amelynek k + 1-edik hatványa a, azaz k+1 a teljesíti az alábbi feltételt: ( k+1 a ) k+1 = a. Feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a. ) 81 = b. ) 8 = c. ) 1 = d. ) 7 = e. ) 4 16 = f. ) 5 = g. ) 1 = h. ) = i. ) = Áll. Legyen a R, b R \ {0} és n, m, k N +. Az n-edik gyökvonás azonosságai: I. ) n a b = n a n b II. ) III. ) IV. ) n a n a b = n b n a k = ( n a ) k n k a = n k a V. ) n a m = n k a m k. Házi feladat. Végezzük el az alábbi gyökvonásokat, átalakításokat! a. ) 6 4 = b. ) 4 16 = c. ) 0, 6 = d. ) = e. ) = 16 f. ) = a g. ) = 5 4 h. ) a = i. ) a a = j. ) a 4 a 5 = k. ) 0 a 1 = l. ) a 5 a 4 = m. ) 7 7 = n. ) 4 16 = o. ) 4 a b a =

8 8. 5. óra. Feladatmegoldás 5. óra Feladatmegoldás. Feladat. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket a gyökvonás azonosságaival! a. ) x x x 7 = y b. ) y y = 4 c. ) 5 a 4 5 a 1 5 a 5 a 4 5 a = 4. Feladat. Alkalmazzuk a gyökvonás azonosságait a kifejezések egyszerűsítésére! a. ) a 5 a 4 a 5 5 a4 a a = b. ) 4 a b a b 1 a 1 b 6 a b 5 = c. ) =. Házi feladat. Egyszerűsítsd az alábbi kifejezéseket! a. ) x x x 7 = 6 a 7 b b. ) b 4 a 8 5 a 4 b a b =

9 6. óra. A törtkitevőjű hatvány értelmezése óra A törtkitevőjű hatvány értelmezése Def. Legyen a > 0; m Z; n N és n > 1. Ekkor az a szám m -edik hatványa n jelentse az a alap m-edik hatványának n-ik gyökét, azaz teljesüljön a következő: a m n = n a m 5. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a. ) 8 = b. ) 9 = c. ) 7 4 = d. ) 0, = e. ) = f. ) = g. ) 5 1 = h. ) 1000 = ( ) 81 4 i. ) = Feladat. Írjuk fel gyökjelekkel az alábbi kifejezéseket! a. ) = b. ) 7 7 = c. ) 15 = d. ) 9 = e. ) 9 0,7 = f. ) 10 0, = g. ) 0,6 = h. ) 9 0, = i. ) ( 4 5 ) 4 = 4. Házi feladat. Számítsuk ki a következő kifejezések értékét! a. ) = b. ) = c. ) =

10 óra. Irracionális kitevőjű hatványok 7. óra Irracionális kitevőjű hatványok Számonkérés várható az óra elején!

11 8. óra. Exponenciális függvény óra Exponenciális függvény Def. Legyen a R + \ {1}. Ekkor az f(x) : R R; x a x alakban megadott függvényeket exponenciális függvénynek nevezzük. Megjegyzés. Az exponenciális függvényt definiáló kifejezés egy olyan hatványkifejezésnek is tekinthető, amelyben a hatvány alapja konstans, a függvény változója a kitevőben szerepel és a függvény értéke hatvány értékével egyenlő. 7. Feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a. ) f(x) : R R; x x e. ) i(x) : R R; x x 4 b. ) g(x) : R R; x x f. ) j(x) : R R; x (x+) + 1 c. ) g(x) : R R; x ( ) x 1 g. ) k(x) : R R; x ( ) x+ 1 d. ) h(x) : R R; x x 4 h. ) l(x) : R R; x 4 x Házi feladat. Írj egy saját exponenciális függvényt és jellemezd! 1. Szorgalmi. Ábrázold az alábbi függvényt! s(x) : R R; x 1 x 5

12 1. 9. óra. Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése 9. óra Exponenciális függvény ábrázolása, elemzése 8. Feladat. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a. ) f(x) : R R; x 5 x b. ) g(x) : R R; x ( ) x 4 1 c. ) h(x) : R R; x x 6 d. ) i(x) : R R; x (x+1) x x 9. Feladat. Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenleteket! a. ) x+ 5 = x + 4 b. ) x+1 = x + 4x + 6. Házi feladat. A plutónium felezési ideje T = 88 év. Igazoljuk, hogy 88 év eltelével valóban az fele elbomlik, ha eredetileg N 0 darab atommagunk volt és az el nem bomlott atommagokra az alábbi összefüggés írható fel: N(t) = N 0 t T a. ) Hányad része marad meg az atomoknak 440 év elteltével? b. ) Mikorra várható, hogy már csak minden 048.-ik plutónium atommag van már csak meg, mert a többi elbomlott?. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet külön lapra és adjuk le! 7 1 x = 49

13 10. óra. Exponenciális egyenletek megoldása óra Exponenciális egyenletek megoldása 10. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést is! A megoldási módszer a kitevő átalakítása legyen! a. ) 4x = 4 b. ) x = 9 c. ) 4 x = d. ) 5 5 x = 5 x 7. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a. ) 4 x = 8 b. ) x 1 = 1 9. Szorgalmi. Oldjuk meg azlábbi egyenletet a valós számok halmazán! 4 x = 8 x 1

14 óra. Exponenciális egyenletek főbb típusai 11. óra Exponenciális egyenletek főbb típusai 11. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést is! A megoldási módszer az alap átalakítása legyen! a. ) 7 x x 8 = 1 b. ) 1 x 7 = 1 c. ) 7 x+5 1 = 0 d. ) (x 1) (x+4) = 4 x 1 x+4 e. ) 0, 5 x +x 5 = 1 f. ) 4 4 x 1 = Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer az alapok összevonása legyen! a. ) 5 x + 5 x x+ = 1 b. ) x+ + x+1 = 10 c. ) 5 x x+ = 0 d. ) 4 x + x 1 = 15 e. ) x 1 5 x+ = 8 f. ) 10 x+1 10 x 1 = Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer a közös alap legyen! a. ) 4 x = 5 x b. ) 9 x+1 = 4 6 x c. ) 7 x 1 = 9 4x d. ) 7 x = 1 x e. ) 9 x 5 x = 100 x f. ) 16 x = 9 x 14. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! Végezzünk ellenőrzést! A megoldási módszer egy új ismeretlen bevezetése legyen! a. ) 4 x x + = 0 b. ) 9 x x = 0 c. ) 10 x + 10 x = d. ) 5 x 0 5 x + 15 = 0 e. ) 16 x x + 4 = 0 f. ) 4 x 17 x + 8 = 0 8. Házi feladat. Befejezni, ami kimaradt! 4. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet és add be külön lapon! x = x+1

15 1. óra. Exponenciális egyenletek gyakorlása óra Exponenciális egyenletek gyakorlása 15. Feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a. ) 5x = 16 f. ) 10 x 5 x 1 x = 950 b. ) 7 x = 0 g. ) x+ x+1 =1 + x 1 ( ) x 1 7x+1 c. ) = 1 17 h. ) ( 1 64 ) x+ = 0, 5 d. ) ( 1 ) x+1 = x i. ) 9 x = e. ) 9 x 1 = 81 x+1 j. ) 9 x 1 + x+ = Házi feladat. Befejezni a kimaradt feladatokat! 5. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet és add be külön lapon! ( x+1 + x ) ( x+1 x ) 1 x+ = 79

16 óra. Exponenciális egyenletrendszerek 1. óra Exponenciális egyenletrendszerek 16. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! x + y = 7 a. ) 5 x y = x + 7 y+1 = 8 d. ) 10 x 7 y+ = 7 x+y 1 = 49 b. ) x+y+8 = 64 7 x + 5 y = 41 e. ) 5 7 x + y = 9 4 x + 4 y = 4 c. ) 11 4 x y = 1 x+ + y 1 = 17 f. ) x + 4 y = Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! 5 x+ 5 6 y 1 = x y = 6. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! 9 x+y 5 = 4 x 16 x y+1 = 8 y+7

17 14. óra. Exponenciális egyenlőtlenségek óra Exponenciális egyenlőtlenségek Áll. Legyen c > b, és a > 1. Ekkor az a x exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő, emiatt: a c > a b. 17. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget! x 1 > 7 Áll. Legyen c > b, és 0 < a < 1. Ekkor az a x exponenciális függvény szigorúan monoton csökkenő, emiatt: a c < a b. 18. Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget! ( ) x Feladat. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenlőtlenséget! a. ) ( 8 7) 5x 4 < 1 c. ) ( 1 ) x > 9 4 b. ) ( 7 9 ) x 9 7 d. ) ( 4 ) x 1 ( ) x Házi feladat. Maradékot otthon befejezni. 7. Szorgalmi. Beadható külön lapon: x 9x+14 < 1

18 óra. Exponenciális egyenlőtlenségek: 15. óra Exponenciális egyenlőtlenségek: 0. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a. ) x x > 56 b. ) 5 x+1 x < 5 1. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket: a. ) x + 1 x > b. ) 7 x+ x+ > Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! 6 ( x 7x + 1) > 1

19 16. óra. A logaritmus fogalma óra A logaritmus fogalma 1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Haszáljunk számológépet! a. ) x = 8 b. ) x = 16 c. ) x = 1 d. ) 10 x = 1000 e. ) 10 x = 0, 001 f. ) 10 x = 0 Def. Legyen adott a > 0 és b > 0, b 1 valós szám. Ekkor az a szám b alapú logaritmusa az egyetlen olyan kitevő, amit b-re emelve a-t kapunk 1. Jele: log b a Megjegyzés. A tízes alapú logaritmus jele: lg x Megjegyzés. Az e alapú, más néven természetes alapú logaritmus jele: ln x. Feladat. Számítsuk ki a következő logaritmusértékeket! a. ) log 4 = e. ) log 5 5 = i. ) log 4 8 = l. ) log 0 = b. ) log 7 = c. ) log ( 4) = d. ) log 4 4 = f. ) ln 1 = g. ) log 9 = h. ) log 9 = j. ) log 1 = k. ) log 1 = m. ) log y y = n. ) log k 1 = o. ) lg 0.1 =. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványokat! a. ) 5 log 5 4 = c. ) log = e. ) 100 lg 4 = g. ) 0, 5 log = b. ) 10 lg 100 = d. ) 7 log 7 = f. ) log 4 9 = h. ) a log a 6 = 1. Házi feladat. Határozzuk meg az ismeretlenek értékét! a. ) log a = e. ) log 6 e = 0 i. ) 8 log = z m. ) log 5 15 = b. ) log 5 b = f. ) log f 7 = 0, 5 j. ) log 4 x = n. ) log 18 = c. ) log 4 c = g. ) log g 7 = k. ) log 49 y = 0.5 o. ) log 18 = d. ) log d 7 = h. ) log h 5 = 1 l. ) log z 6 = 1 p. ) lg 10 9 = 9. Szorgalmi. Számítsuk ki az x értékét!: log x 4 8 = 0, 5 1 Tehát log b a az a szám, amelyre teljesül, hogy: b log b a = a. Ha veszel normális számológépet ez lesz a LOG gomb. Az Euler-féle szám első néhány jegye: e =,

20 óra. A logaritmus azonosságai 17. óra A logaritmus azonosságai Tétel. Minden x > 0, y > 0 és a > 0, a 0 valós szám esetén teljesül az alábbi: log a (x y) = log a x + log a y Megjegyzés. Szorzat logaritmusa megegyezik a tényezők logaritmusának összegével. 4. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét! a. ) lg 4 + lg 5 = b. ) log 40 + log 0, 8 = c. ) lg + lg 5 = d. ) ln x + ln x = Tétel. Minden x > 0, és a > 0, a 0, és k valós szám esetén teljesül az alábbi: log a x k = k log a x Megjegyzés. Hatvány logaritmusa az alap logaritmusának és kitevőjének szorzata. 5. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét! a. ) lg x + lg x + lg x + lg x = b. ) log 104 = c. ) log 4 16 = d. ) log 100 = e. ) 4 lg = f. ) lg π 6 = g. ) log 0, 5 = h. ) lg 0, = Tétel. Minden x > 0, y > 0 és a > 0, a 0 valós szám esetén teljesül az alábbi: log a x y = log a x log a y Megjegyzés. Tört logaritmusa számláló és nevező logaritmusának különbsége. 6. Feladat. Határozzuk meg a következő kifejezések értékét! a. ) log log 5 1 log 5 6 = b. ) log 10 + log 1 log 15 = c. ) lg 5 + lg 8 lg 0 = d. ) lg 18 6 lg + 0, 5 lg 5 = 14. Házi feladat. Saját feladatot kitalálni, aminek a végeredménye egész és beadni. 10. Szorgalmi. log log log 8 40 log8 10 =

21 18. óra. A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése óra A logaritmus függvény ábrázolása, elemzése 7. Feladat. Ábrázoljuk az f és g függvényeket pontjaik kiszámításával! f : R R + ; x x g : R + R; x log x 8. Feladat. Ábrázoljuk az e és h függvényeket és jellemezzük őket! e : R R + ; x ( ) x 1 h : R + R; x log 1 x Megjegyzés. A függvénytranszformációknál megismert szabályok a logaritmusfüggvény ábrázolása során is használhatók. 9. Feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket és jellemezzük őket! a. ) log x + b. ) log (x + ) c. ) log (x 4) + d. ) log ( x) 15. Házi feladat. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket és jellemezzük őket! a. ) log x 1 b. ) log (x 1) c. ) log 1 (x 5) + d. ) log (4 x) Szorgalmi. Ábrázoljuk az alábbi függvényt: f(x) = log x

22 . 19. óra. Az inverz függvény fogalma 19. óra Az inverz függvény fogalma Def. Az f inverz függvénye a g, ha f képhalmaza minden elemét pontosan egyszer vette fel és minden x-re g(f(x)) = x. Áll. Ha f inverz függvénye g, akkor az f grafikonjának y=x egyenesre való tükrözésével megkapható a g grafikonja. Áll. Az f : R R + ; x a x inverz függvénye a g : R + R; x log a x. 0. Feladat. Írjuk fel az ábrán látható függvények hozzárendelési szabályát! 16. Házi feladat. Jellemezzünk az előző feladatban lévő függvények közül kettőt! 1. Szorgalmi. Egy termék eladott darabjainak száma (ezer darabban számolva) az alábbi függvény szerint alakul, ahol a t a kiadás óta eltelt évek száma: s(t) = lg(7t + 1) Hány terméket adtak el a kiadás évében és hány darabot egy év múlva? Hány év múlva érné el az eladás a megjelenés évében eladott mennyiség dupláját?

23 0. óra. Áttérés más alapú logaritmusra. 0. óra Áttérés más alapú logaritmusra Tétel. Legyen a, b, c > 0; a 1; c 1. Ekkor teljesül az alábbi: log a b = log c b log c a 1. Feladat. Számítsuk ki számológéppel az alábbi logaritmusok értékét! a. ) log 5 = b. ) log 8 = c. ) log 4 10 = d. ) log 9 6 = e. ) log 9 π = f. ) log 0,4 9 =. Feladat. Igazoljuk az alábbi állításokat! Írjunk kikötéseket a változókhoz! a. ) log a b log b c log c a = 1 b. ) log a b = 1 log b a c. ) log a n b = 1 n log a b d. ) log a c log ab c = 1 + log a b e. ) log a k a n = n k lg(lg a) f. ) a lg a = lg a. Feladat. Melyik kifejezés számértéke nagyobb? a. ) log, 1 + log 0, 9 vagy log b. ) log log 7 1 vagy log 1 c. ) 5 1 lg vagy log log 5 5 d. ) (1 lg ) (1 + lg ) vagy (lg 0 lg 6) (1 + lg ) 17. Házi feladat. Írjuk fel egyszerűbb alakban az alábbi kifejezést! a log b (log b a) log b a = 1. Szorgalmi. Bizonyítsuk be a másik alapú logaritmusra való áttérés tételét!

24 4. 1. óra. Logaritmust tartalmazó kifejezések 1. óra Logaritmust tartalmazó kifejezések 4. Feladat. Adjuk meg az alábbi kifejezések legbővebb értelmezési tartományát! a. ) lg(x + 1) + lg(x + 4) e. ) log x (4x ) b. ) log 8 (6x 5) log 7 (5x 6) f. ) log x 4 (1 4x) c. ) log (x ) + log (4x + 1) g. ) log 5 4x 1 x + d. ) log 4 (4 5x) log 5 (7x + 5) h. ) log 7 4 5x 7x Házi feladat. Melyik valós számokra értelmezhető az alábbi kifejezés? log π (x ) log 11 (4x 7) + lg(x 8) 19. Házi feladat. Add meg a legbővebb értelmezési tartományt! lg( 4 x+1 + x 8)

25 . óra. Logaritmusos egyenletek 5.. óra Logaritmusos egyenletek 5. Feladat. Mely valós számokra értelmezhetők az alábbi kifejezések? a. ) lg(x x 8) b. ) lg ( x ) lg(x + ) c. ) log x 1 (17x ) log x(6x ) d. ) lg( x 9) lg(x + ) 6. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) log (x 1) = b. ) log 8 (x x 4) = 0 c. ) log 5 log 0.5 log 0.5 x = 1 d. ) log x 0, 15 = e. ) log x 6 = f. ) lg(x 9) + lg(x 1) = g. ) lg(x ) + lg(x ) = 1 lg 5 h. ) lg(x + 5) lg x + lg 100 = 1 4 x 7 i. ) log x 1 + log x 1 x + 1 = 1 0. Házi feladat. A maradék feladatokat otthon befejezni! 14. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! log x + log 8 x = 8

26 6.. óra. Logaritmusos egyenletek. óra Logaritmusos egyenletek 7. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) lg x = 1 b. ) log 0,1 x = 1 c. ) log 100 x = d. ) log 1000 x = e. ) lg x = 0, 010 f. ) lg x = 0, 447 g. ) log 0, x = h. ) log 0,5 x = 1 4 i. ) lg x = 0 8. Feladat. Számítsuk ki az alábbi logaritmusos kifejezéseket! a. ) x = lg 10 6 b. ) x = log 5 1 c. ) x = log 9. Feladat. Határozzuk meg a logaritmus alapját! a. ) log x 1 8 = b. ) log x 8 = 1 c. ) log x 6 = 40. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a. ) log (x 1) = b. ) log 6 (x 10) = 0, 5 c. ) log x = 4 d. ) lg 5 + lg x = 1 lg e. ) lg(x 9) + lg(x 1) = f. ) lg(x ) + lg(x ) = 1 lg 5 1. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! ( ) ( ) x 7 x 1 log + log x 1 = 1 x Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! log log 4 log (x ) = 0

27 4. óra. Logaritmusos egyenlőtlenségek óra Logaritmusos egyenlőtlenségek 41. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a. ) log (x + ) > log 4 e. ) log 1 (5x 1) < 0 b. ) log 1 5x log 1 5 f. ) log 1 (5x 1) > 0 c. ) log 4 (x 4) > 0 g. ) log 1 x x 1 < 0 d. ) log 4 (x 4) < 0 h. ) log 1 x 1 x + < 1. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! lg(x + 8) lg(x x 4) 16. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! log 1 x + log x > 1

28 8. 5. óra. Logaritmusos egyenlőtlenségek 5. óra Logaritmusos egyenlőtlenségek 4. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a. ) log 8 x x x > 1 c. ) log x 79 > b. ) log 1 x > 6 d. ) log 1 (log 4 (x 5)) > 0. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! lg (x 5x + 6) < Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget! log 1 (6x x 1) > 0

29 6. óra. Gyakorlás óra Gyakorlás 4. Feladat. Végezd el az alábbi műveleteket! a. ) x 6 x = d. ) = 4 b. 5 ) a = e. ) a 1 b 4 5 x 4 ( a) 1 b 1 x 1 = c. ) x 1 x 5 x 4 = [ (x ) 4 ( ) ] x 6 1 f. ) = y 4 y Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a. ) x+ x = x+ + y 1 = 17 e. ) x + 4 y = 4 b. ) 5 x 0 5 x + 15 = 0 f. ) log 5 (x + 7) = log 5 (x + 1) c. ) x x > 56 g. ) lg(x + ) = lg 5 d. ) ( 1 ) x > 9 4 h. ) lg(4x ) + lg(x ) > 4. Házi feladat. Oldjunk meg mindegyik típusból egy feladatot a jegyzetből! 18. Szorgalmi. Találjunk ki saját feladatot és oldjuk meg!

30 0. 7. óra. Gyakorlás 7. óra Gyakorlás 45. Feladat. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait! a. ) (x y ) (x 1 y ) (x ) 5 (x 4 y ) 1 = b. ) 4 a 1 b 6 a 5 b a4 b a b = 46. Feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. ) f(x) : R R; x x 4 b. ) g(x) : R + R; x log (x + ) Házi feladat. Mindegyik feladattípusból egyet és add le külön papíron! 19. Szorgalmi. Döntsd el azonosságok segítségével, hogy melyik a nagyobb! vagy

31 8. óra. Gyakorlás óra Gyakorlás 47. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! a. ) 10 x x 10 x 1 = 570 b. ) ( 5 ) x+7 = ( ) x 9 5 c. ) 5 4x 15 x+1 > 5x 4 5 x 1 d. ) log (4x + 8) log (x + 5) = log (x + 9) e. ) log log 5 (x 1) < 1 f. ) log x (x 7x 0) = 6. Házi feladat. Leadni két logaritmusos és két exponenciális egyenletet! 0. Szorgalmi. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! log x + 8 log x = 6

32 . 9. óra. Gyakorlás 9. óra Gyakorlás 48. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! (1.) 5 log x log y = 9 (.) log x + 4 log y = 8 (1.) lg(x + y) = lg x (.) lg x = lg + lg(y 1) (1.) log x + log y = + log (.) log 1 x y = 1 (1.) 10 1+lg(x+y) = 50 (.) lg(x y) + lg(x + y) = lg Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a. ) log 17 (x + 4) < 1 b. ) log 4 5 x x + 1 > 0 c. ) lg( x 1 8) > 50. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletet! log x + log x + log 1 x = 6 7. Házi feladat. Felkészülni a témazáró dolgozatra! 1. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet! log (1 + log (1 + log 4 (1 + log 5 (1 + log 6 x)))) = 0

33 0. óra. Témazáró dolgozat megírása. 0. óra Témazáró dolgozat megírása

34 4. 1. óra. Témazáró dolgozat megbeszélése 1. óra Témazáró dolgozat megbeszélése

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Hatvány gyök logaritmus

Hatvány gyök logaritmus Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Koczog András  Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig 07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához

Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály IV. rész: Egyenletrendszerek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások 00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont)

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja)

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja) 1. gyakorlat (2016. 09. 12.), Bevezető analízis 1., 2016. ősz A színek jelentése: fekete az előzetes vázlat; piros, ami ehhez képest módosult. 1. Három matematikus bemegy egy kocsmába, és rendel. A nagy

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály IV. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log 1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012 2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben