Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Átírás

1 Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( ) ( ) ( + 0 ). Feladat: ( ) ( ) ( + 0) 3. Feladat: ( ) 4. Feladat: ( ) ( ) + ( ) ( ( ) ) 7 ( ( 4)) 5. Feladat: ( ) 7 ( ) ( ) 7 ( ( 4))

2 6. Feladat: ( ) ( ) ( ) 5 4( ) Feladat: (5 3 ) (5 3 ) Feladat: 9. Feladat: 0. Feladat: log 4 (8 + 4) log 4 (8 + 4) log (cos sin + 5) π (cos sin + 5) cos π π sin π Feladat: Ábrázolja f függvényt és olvassa le az f jobb- és baloldali határértékét az pontban! Majd adja meg f határértékét pontban! { 3 ha f() + ha <

3 Az ábráról a következő jobb -és baloldali határérték olvasható le: f() + f() Mivel a jobb és baloldali határértékek különbözőek, pontban f függvénynek nem létezik határértéke. Megjegyzés: Ábra nélkül a határértékeket behelyettesítéssel is meg tudjuk határozni: + f() ( + ) + f() ( 3) 3 +. Feladat: Ábrázolja f függvényt, majd olvassa le az f jobb - és baloldali határértékét az 0 pontban! Majd adja meg f határértékét 0 pontban! { f() ha 0 ha < 0 Ábrázoljuk f-t. 3

4 Az ábráról a következő jobb -és baloldali határértékek olvashatóak le: f() 0 f() 0+ Mivel a jobb- és baloldali határértékek megegyeznek, f függvénynek létezik határértéke és 0 f(). Megjegyzés: Behelyettesítéssel következőképpen járhatunk el: 3. Feladat: f() ( ) f() Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, helyettesítsünk be 3-t Mivel a számláló nem nulla, a nevező 0, további vizsgálatra van szükség. Ha meg tudjuk mondani, hogy a nevező milyen értékeken keresztül tart 0-hoz, akkor felhasználhatjuk, hogy ± divergens Ábrázoljuk a nevezőben lévő g() + 6 függvényt. Majd olvassuk le a nullához közelítés irányát. Az ábrán jól látható, hogy ha 3-nál nagyobb értékeken keresztül közelítünk 3-hoz, akkor a helyettesítési értékek negatív számokon keresztül közelítik meg nullát ( )

5 4. Feladat: Az előző feladatnál lévő ábra alapján balról közelítve 3-t, nevezőben a helyettesítési értékek pozitív számokon keresztül közelítik meg a nullát. 5. Feladat: ( + 4) ( + 4) 5 0 Mivel a nevezőben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 6. Feladat: 4 ( + 4) ( + 4) ( + 4) 5 0 Mivel a nevezőben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés akár jobbról, akár balról csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 7. Feladat: 4 ( + 4) Ábrázoljuk a nevezőben szereplő g() + hozzárendeléssel adott függvényt, majd olvassuk le a közelítés irányát

6 8. Feladat: ( 4 + ) ( 5 ) Feladat: ( ) ( ) Feladat: ( ) ( ) Feladat: ( + 5 ) 4 ( )

7 . Feladat: ( ) 9 3 ( ) 7 9 ( ) 3. Feladat: ( + 3 ) ( ) ( 3 + ( + 3 ) ) Feladat: Feladat: ( ) ( ) ( ) 4 6 ( )

8 6. Feladat: Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, kezdjük behelyettesítéssel Ennél a típusnál alakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezőt. Keressük meg a polinomok gyökeit és használjuk a gyöktényezős felírást. 7 0 ( )( 5) mivel ( 5)( + 5) ( )( 5) 5 ( 5)( + 5) ( ) 5 ( + 5) Feladat: ( + )( 4) ( 4) 4 4 Felhasználva, hogy ha 4 így a gyöktényezős alak: 8. Feladat: 9. Feladat: 7 4 ( 4)( + ) ( 4)( + ) ( + ) ( 3)( + ) (6 9) 0 ( + )

9 30. Feladat: (6 3 ( ) 8) 8 (9 ( 6 3 ( ) 8 8 6) 9 ( ) 8 6 ) 3. Feladat: Vizsgafeladat: ) 6 6 (6 7 6 ) 9 (3 + ( ) 4 ) 9 ( ( ) ( ) A határérték típusú, így alkalmazzuk a következő bővítést: A B ( A B) A + B A + B A B A + B ( ) ( ) ( ) Egyszerűsítsünk -szel: + 4 n

10 33. Vizsgafeladat: ( ) A határérték típusú, de együtthatói nem egyenlőek, így emeljük ki -t: ( ( ) 9 + 7) ( 8 3) 34. Feladat: ( 0 4 ) ( 3 ) Vizsgafeladat: 36. Vizsgafeladat: ( ) ( ) 3 ( ) 9 ( 9 ( ) ) ( )

11 37. Vizsgafeladat: ) ) 38. Vizsgafeladat: ( Felhasználva, hogy 8 ( 6 3 ( 3 ( 8) (( ) 5 ) 8 6 ( ) ) 7+0 n [ ( + 8 ) ] ( ) ( e 8) 7 4 e (7 + ) (4 + 3 ) ha 39. Vizsgafeladat: ( 5 ) ( 5 ) Felhasználva, hogy [ ( + 0 ) ] ( 5 ) ( e 0) 0 e

12 40. Vizsgafeladat: ( ) ( ) ( ) Vizsgafeladat: ( 3 ) ( 3 ) 4+ 4 n 5 + ( ) Vizsgafeladat: 3 + ln 3 + ln 4 0 Négyzetre emelés miatt a nevező csak pozitív irányból közelítheti nullát, így 3 + ln (+ )

13 43. Vizsgafeladat: 0+ Helyettesítsünk be: e 4 + e 0 Az osztás nem végezhető el. Ábrázoljuk az f() e függvényt, majd olvassuk le, hogy milyen értékeken keresztül közelíti meg f a nullát e 0+ 3

14 44. Vizsgafeladat: e 5 Helyettesítsünk be: e e5 0 A művelet nem végezhető el. Ábrázoljuk g() 5 függvényt és olvassuk le a nullához való közelítés irányát, majd adjuk meg a határértéket: e e5 0

15 45. Vizsgafeladat: lg 5 5 lg 5 0 Vizsgáljuk meg, hogy a nevező milyen értékeken keresztül tart nullához lg