First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

Átírás

1 Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése)

2 . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban. Tegyük fel, hogy vagy f(x) = g(x) = 0, x p x p f(x) = ± és g(x) = ±, () x p x p ahol p lehet p, p+ vagy p is. Ha L R {, }, és f (x) x p g (x) f(x) = L, akkor x p g(x) = L. (2) A tétel p = ± esetén is érvényes, azzal a különbséggel, hogy ekkor g-nek és g -nek a megfelelő végtelen egy környezetében ne legyen gyöke. Ez a l Hospital szabály. Fontos, hogy a l Hospital szabályt csak 0 vagy ± típusú eszek 0 ± kiszámolására használjuk, különben hibás eredményt kapunk.

3 2. Feladat ln(+x) Számítsuk ki a határértéket. x 0 sin x Megoldás: A esz 0 típusú, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. A deriváltak hányadosának 0 esze (ln( + x)) x 0 (sin x) Tehát a l Hospital szabály alapján = x 0 +x cos x = = x 0 ( + x) cos x =. ln( + x) x 0 sin x =.

4 3. Feladat 2 x ln x Számítsuk ki a határértéket. x + x+ln x Megoldás: A esz ± típusú, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. A deriváltak hányadosának esze ± most x + (x ln x) (x + ln x) = x + tehát a l Hospital szabály alapján x + ln x + + x x ln x x + ln x = +. = +,

5 4. Feladat 3 e Számítsuk ki a x x határértéket. x 0 x 2 Megoldás: A esz 0 típusú, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. Tekintjük a deriváltak hányadosának 0 eszét: (e x x) e x = x 0 (x 2 ) x 0 2x. Ez még mindig 0 típusú, és erre a eszre is teljesülnek a 0 l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei, tehát azt alkalmazzuk a kiszámolására, azaz ismét vesszük a deriváltak hányadosának eszét: (e x ) x 0 (2x) e x = x 0 2 = 2. Így kétszer alkalmazva a l Hospital szabályt x 0 e x x x 2 = 2.

6 5. Feladat 4 Számítsuk ki a tgx ln x határértéket. x 0+ Megoldás: A esz 0 ± típusú. Hogy alkalmazhassuk a l Hospital szabályt, felírjuk a törtet szorzatként. Erre két lehetőség is van, és általában csak az egyik vezet eredményre. Sajnos nem lehet szigorú szabályt megfogalmazni arra, hogy melyik átírás vezet célhoz. Meg kell próbálni a deriválás szempontjából egyszerűbbnek tűnőt, de ha a deriváltak hányadosának a esze az eredetinél is komplikáltabb, akkor a másik átírás vezet célhoz. Tekintsük most a következő átírást: tgx ln x = x 0+ x 0+ ln x tgx ln x = x 0+ ctgx. Ez egy ± típusú esz, és teljesülnek a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei. ± (ln x) ( ) x 0+ (ctgx) = x sin x = ( sin x) = 0. x 0+ x 0+ x }{{} sin 2 x }{{} 0 Ezért x 0+ tgx ln x = 0.

7 6. Feladat 5 ( ) Számítsuk ki a határértéket. x 0 x e x Megoldás: Az x és az e x azonos előjelű mennyiség minden x-re, itt tehát azonos előjelű végtelenek különbégéről van szó, akárhogy tart is az x nullába. Most azonban ezt a ± ( ± ) típusú különbséget könnyen átírhatjuk tört alakba: e = x x. Ez a esz x 0 x e x x 0 x(e x ) típusú, és teljesülnek rá a l Hospital szabály alkalmazhatóságának 0 0 feltételei. (e x x) x 0 (x(e x )) = x 0 e x e x + xe x. Ez még mindig 0 típusú, és teljesülnek rá a l Hospital szabály alkalmazhatóságának feltételei, tehát tekintjük a deriváltak hányadosának 0 eszét: (e x ) x 0 (e x + xe x ) = x 0 ) Ezért x 0 ( x e x = 2. e x e x + e x + xe x = 2.

8 7. Feladat 6 Számítsuk ki a (x x + ln(x2 + )) határértéket. Megoldás: A esz ± ± típusú, és mivel nem törtek különbségéről van szó, nem nyilvánvaló, hogy hogyan alakítsuk át úgy a különbséget, hogy a l Hospital szabály alkalmazható legyen. Ilyenkor általában az vezet célhoz, ha kiemeljük azt a tagot, amelyik a leggyorsabban tart a végtelenbe, ez a tag most az x. (Az ln(x 2 + ) nagy x-re lényegében 2 ln x, az ln x grafikonja egyre laposabb, egyre jobban elhajlik az x grafikonjától.) Ez alapján tekintsük az alábbi átírást: (x x + ln(x2 + )) = x x + ( ln(x2 + ) x Mivel tejlesülnek az alkalmazhatóság feltételei, kiszámoljuk a l Hospital ln(x szabály segítségével a 2 +) eszt. x + x (ln(x 2 + )) = x + (x) x + 2x x 2 + ) = 0, tehát (x x + ln(x2 + )) = x ln(x2 + ) = +. x + }{{ x } 0.

9 8. Legyen f értelmezve az (a, b) nyílt intervallumon, n nemnegatív egész szám, és tegyük fel, hogy f (n) (x) létezik minden x (a, b) esetén, továbbá c (a, b). Ekkor a T n (f, c)(x) = = f(c) + f (c)(x c) + f (c) 2 (x c)2 + + f (n) (c) (x c) n = n! n f (k) (c) = (x c) k (3) k! k=0 n-ed fokú polinomot f n-ed rendű c körüli Taylor-polinomjának hívjuk. Itt f (k) jelöli f k-adik deriváltját, definíció szerint f (0) = f, k! = 2... k, amit k faktoriálisnak hívunk, és szintén definíció szerint 0! =. Vegyük észre, hogy T (f, c)(x) = f(c) + f (c)(x c) nem más, mint f c-beli linearizáltja. Tudjuk, hogy ez a linearizált a c pont közelében jól közelíti f-et. Méginkább így van ez a Taylor-polinom esetén. Minél nagyobb az n, a T n (f, c)(x) annál jobban közelíti f-et a c pont közelében.

10 9. Feladat 7 Írjuk fel az f(x) = x + függvény nulla körüli másodrendű Taylorpolinomját. Megoldás: D f = [, ), és f akárhányszor deriválható a (, ) félegyenesen, így az előbbi definícióban szereplő (a, b) intervallum lehet például a (, ) intervallum, hiszen a nulla ebben benne van. Ekkor hiszen f (x) = f (0) (x) = f(x), f (0) (0) = f(0) =, f () (x) = f (x) = 2 x +, f (0) = 2, f (2) (x) = f (x) = 4 (x + ) 3, f (0) = 4, ( (x + ) 2 2 ) = 4 (x + ) 3 2 = 4 (x + ) 3.

11 Ezeket felhasználva T 2 (f, 0)(x) = f(0)+f (0)(x 0)+ f (0) 2 (x 0)2 = + 2 x 8 x2. Az alábbi ábrán feltüntettük az f(x) és a T 2 (f, 0)(x) grafikonját is. Látható, hogy nulla közelében milyen jó a közelítés.

12 0. Feladat 8 Írjuk fel az f(x) = ln x függvény körüli harmadrendű Taylorpolinomját. Megoldás: D f = (0, ), és f akárhányszor deriválható ezen a félegyenesen, így az előbbi definícióban szereplő (a, b) intervallum lehet például a (0, 2) intervallum, hiszen az ebben benne van. Ezek alapján f (0) (x) = f(x), f (0) () = f() = 0, f () (x) = f (x) = x, f () =, f (2) (x) = f (x) = x 2, f () =, f (3) (x) = f (x) = 2 x 3, f () = 2. T 3 (f, )(x) = f()+f ()(x )+ f () 2 (x )2 + f () (x ) 3 = 6

13 = 0+ (x ) 2 (x ) (x )3 = 6 +3x 3 2 x2 + 3 x3. Az alábbi ábrán feltüntettük f(x), T (f, )(x), T 2 (f, )(x) és T 3 (f, )(x) grafikonját is. Látható, hogy minél magasabb rendű Taylorpolinommal közelítünk, annál jobb a közelítés.