DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom"

Átírás

1 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első négy deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = 0 helyen: k=0 e x k= e x k= 4e x 4 k=3 8e x 8 k=4 e x Az f függvény x 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomja T 4 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) Elvégezve az egyszerűsítéseket (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 + f (4) (x 0 ) (x x 0 ) 4. 4 T 4 (x) = + (x 0) + 4 (x 0) + 8 (x 0)3 + 4 (x 0)4. T 4 (x) = + x + x x3 + 3 x4. Az e közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = helyen: ( ) e T 4 = + ( ) ( ) ( ) 4 3 = = 5 4.

2 KÉZI CSABA GÁBOR 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x 0 = pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki ln közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = / helyen: k=0 ln x 0 k= x k= x 4 k=3 x 3 Az f függvény x 0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3. ( T 3 (x) = 0 + x ) 4 ( x ) + ( x 3. ) Elvégezve az egyszerűsítéseket ( T 3 (x) = x ) ( x ) + 8 ( x 3. 3 ) Az ln közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = helyen: ( ln T 3 () = ) ( ) + 8 ( ) 3 = = Feladat. Írjuk fel az f(x) = arctg x függvény x 0 = pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki arctg 0, 9 közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = helyen:

3 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 3 k=0 arctg x π 4 k= +x k= ( + x ) x k=3 ( + x ) 3 4x ( + x ) Az f függvény x 0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3. T 3 (x) = π 4 + (x ) 4 (x ) + (x )3. Az arctg 0, 9 közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 0, 9 helyen: arctg 0, 9 T 3 (0, 9) = π 4 + (0, 9 ) 4 (0, 9 ) + (0, 9 )3 0, Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli n-edfokú Taylor polinomját és Lagrange-féle maradéktagot! Adjuk meg az e közelítő értékét négy tizedesjegy pontossággal! Az f(x) = e x függvény minden deriváltja e x, melynek a 0 helyen a helyettesítési értéke. A függvény x 0 pont körüli Taylor polinomja T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! T n (x) = + (x 0) + (x 0) n! (x 0)n = + x + x n! xn. A maradéktag Mivel e ξ, ahol ξ [0, ]. (n + )! e ξ (n + )! < 4 (n + )!. A megkövetelt pontosság azt jelenti, hogy a maradéktagra teljesülnie kell, hogy 4 0, 000, (n + )!

4 4 KÉZI CSABA GÁBOR ami pontosan akkor áll fenn, ha 4 0, 000(n + )!, azaz (n + )! kell, hogy teljesüljön. A legkisebb pozitív egész n, ami azt teljesíti a 7. Ekkor az e szám 4 tizedesjegyre pontos értéke e +! +! + 3! + 4! + 5! +! + 7!, Feladat. Írjuk fel az f(x) = sin x függvény x 0 = 0 pont körüli Taylor-sorát (azaz a Maclaurinsorát)! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első néhány deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = 0 helyen: k=0 sin x 0 k= cos k= sin x 0 k=3 cos x - k=4 sin x 0 Vegyük észre, hogy minden páros sorszámú derivált értéke 0, így csak a pártalan sorszámú tagok fognak szerepelni a Taylor polinomban. Emiatt a (n + )-edik Taylor polinomot foguk felírni. Az f függvény x 0 pont körüli Taylor polinomja T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) 3! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! T n+ (x) = 0+(x 0)+ 0 (x 0) + n 3! (x 0) = x x3 3! + x5 5! +... = ( ) k (k + )! xk+. k=0 A maradéktag Mivel azonban f (n+3), ezért L n+3 (x) = f (n+3) (n + 3)! (ξ). lim L n+3(ξ) = 0, n így a sin x függvény Taylor sora sin x = k=0 ( ) k (k + )! xk+.

5 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Feladat. Írjuk fel az f(x) = x 3 + 5x 7x + 3 polinomot x polinomjaként! Mivel a megadott polinom harmadfokú, ezért a negyedik deriválttól kezdve minden további derivált már 0. Mivel x polinomjaként szeretnénk felírni a polinomot, ezért az x 0 = pont körüli Taylor-polinomját írjuk föl az f függvénynek. Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az x 0 = helyen: k=0 x 3 + 5x 7x + 3 k= 3x + 0x 7 k= x + 0 k=3 Az f függvény x 0 pont körüli harmadfokú Taylor polinomja T 3 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) Elvégezve az egyszerűsítéseket (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3. T 3 (x) = + (x ) + (x ) + (x )3. T 3 (x) = + (x ) + 8 (x ) + (x ) 3.

6 KÉZI CSABA GÁBOR IRODALOMJEGYZÉK [] Bartha Gábor Bogdán Zoltán Duró Lajosné dr. Gyapjas Ferencné Hack Frigyes dr. Kántor Sándorné dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 000. [] Farkas István: Differenciálszámítás gyakorlati jegyzet, Debreceni Egyetem, 005. [3] Gilbert János Sólyom András Kocsányi László: Fizika mérnököknek I-II, Egyetemi Tankönyv, Műegyetemi Kiadó, 999. [4] Nándori Frigyes Szirbik Sándor: Statika oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelezős hallgatói részére, Mechanikai Tanszék, Miskolc-Egyetemváros, 008. [5] Nagyné Kondor Rita Szíki Gusztáv Áron: Matematika eszközök mérnöki alkalmazásokban, Egyetemi jegyzet, Debreceni Egyetem, 0. [] Kovács István Trembeczki Csaba: Sokszínű matematika feladatgyűjtemény, az analízis elemei emelt szint, Mozaik Kiadó, Szeged, 0. [7] Lengyel Csilla Mária: Szélsőérték-feladatok különböző megoldási módszerei, ELTE, szakdolgozat, 0. [8] Simon Anita: Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása, szakdolgozat, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, 009. [9] Szentelekiné Dr. Páles Ilona: Analízis példatár, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 0. [0] George B. Thomas Maurice D. Weir Joel Hass Frank R. Giordano: Thomas féle kalkulus I. kötet, Typotex, Budapest, 008.

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Példák és feladatok Lektorálta: Czirbusz Sándor c Láng Csabáné, 2010 ELTE IK Budapest 20101020 1. kiadás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...............................

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7 Tartalomjegyzék Előszó 2 FELADATSOROK 3 IX. osztály......................... 3 X. osztály.......................... 4 XI. osztály......................... 5 XII. osztály......................... 7 MEGOLDÁSOK

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Kovács Veronika. Ez is Hungaricum. Szakdolgozat. Témavezető: Szabó Csaba. Budapest, 2013.

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Kovács Veronika. Ez is Hungaricum. Szakdolgozat. Témavezető: Szabó Csaba. Budapest, 2013. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kovács Veronika Ez is Hungaricum Szakdolgozat Témavezető: Szabó Csaba Budapest, 2013. 2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. Kutatási módszerek, célkitűzés..................

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

Kockázati modellek (VaR és cvar)

Kockázati modellek (VaR és cvar) Kockázati modellek (VaR és cvar) BSc Szakdolgozat Írta: Kutas Éva Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet Mádi-Nagy Gergely egyetemi adjunktus Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Róka Sándor. 137 számrejtvény. Megoldások

Róka Sándor. 137 számrejtvény. Megoldások Róka Sándor számrejtvény Megoldások Budapest, 008 A könyv megjelenését a Varga Tamás Tanítványainak Közhasznú Emlékalapítványa támogatta. Róka Sándor, Typotex, 008 ISBN 98 9 9 89 0 Témakör: matematika

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet

Részletesebben

MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD. Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK

MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD. Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK MAJOR ZOLTÁN EGY IZGALMAS SZÉLSŐÉRTÉK- FELADAT CSALÁD Az izoperimetrikus problémakör FELADATOK - MEGOLDÁSOK ELŐSZÓ Ez a könyv elsősorban középiskolás diákok és tanáraik számára készült, szakköri feldolgozásra

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint Matematika Gyakorló feladatok vizsgára. évf. emelt szint Egyenletek, egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 4 c) d) e) 4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! = c) =8 d)

Részletesebben

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA MI ILYENNEK KÉPZELJÜK Minta feladatsorok a középszintű MATEMATIKA érettségire való felkészüléshez II. RÉSZ Összeállították: a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium vezetőtanárai

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az iskolák belső világa

Az iskolák belső világa A gyakorlati pedagógia néhány alapkérdése Az iskolák belső világa Bábosik István Golnhofer Erzsébet Hegedűs Judit Hunyady Györgyné M. Nádasi Mária Ollé János Szivák Judit Bölcsész Konzorcium 2006 Kiadta

Részletesebben