Kockázati modellek (VaR és cvar)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kockázati modellek (VaR és cvar)"

Átírás

1 Kockázati modellek (VaR és cvar) BSc Szakdolgozat Írta: Kutas Éva Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet Mádi-Nagy Gergely egyetemi adjunktus Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2012

2 Köszönetnyilvánítás El ször hálás köszönetet mondok mindazoknak, akiknek segítségével elkészült ez a szakdolgozat. Els sorban Mádi-Nagy Gergely témavezet tanáromnak tartozom köszönettel azért, hogy folyamatosan gyelemmel kísérte munkámat, ötleteivel és szakmai tanácsaival segített. Nem utolsó sorban pedig családomnak tartozom nagy hálával a rendíthetetlen bizalmukért és megértésükért. 2

3 Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás Bevezetés 4 1. Közgazdasági környezet Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam A Markowitz-féle portfólióválasztási modell A modell feltevései Hatékony portfólió Kockázati mértékek Szórás A kockáztatott érték: VaR CVaR Modell LP formátumban cvar-os modell Gyakorlati példa Adatok példa példa Összefoglalás 33 Irodalomjegyzék

4 Bevezetés Napjainkban a pénz világa nagyon fontos szerepet játszik mindenki életében. Pénzügyi döntéseknél érdemes megnézni mennyi a kockázat. Érdemes-e kockáztatni? "Mi a kockázat?" Teszik fel sokan a kérdést. Intuitíve érezzük a választ, deniálni már nehezebb, hát még mérni! És akkor még nem is kezeltük. Hétköznapi nyelven gyakran úgy fogalmazzák meg, mint a "nyereség bizonytalansága", illetve "a veszteség lehet sége". Képzeljünk el két különböz befektetést, A-t és B-t. Mindkett be 100 Ft-ért lehet beszállni. Egy év múlva az A befektetés garantáltan 110 Ft-ot zet, a B befektetés 50% - 50% eséllyel 100 vagy 130 Ft-ot zet. Melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? Képzeljünk el két másik befektetést, C-t és D-t. Mindkett 100 Ft kezd t két igényel. Egy év múlva a C befektetés 50% - 50% eséllyel 50, illetve 150 Ft-ot zet, a D pedig 50% - 49% - 1% eséllyel 50, 150, illetve 200 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? A harmadik példában vegyünk egy újabb befektetést, E-t és F-et. Az ár megint csak 100 Ft. Egy év múlva az E 50% -50% eséllyel 100, illetve 120 Ft-ot zet, D 1% -49% -49% -1% eséllyel -20, 100, 120 illetve 300 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? A példákban (és a valóságban) a végkifejlet pontosan nem ismert. El fordulhat, hogy a végén kevesebb pénzünk marad, mint amennyivel elindultunk, el fordulhat, hogy minden pénzünket elveszítjük és az adósok börtönébe kerülünk. Az összes lehetséges kimenetelt nem is sejthetjük. Az alkalmazott matematika egyik leggyorsabban fejl d ága mostanában a pénzügyi matematika. Matematikusokat, zikusokat, mérnököket alkalmaznak különböz bankok és pénzintézetek, hogy olyan modelleket alkossanak, amelyek a legtöbb protot hozzák. Szakdolgozatom a pénzügyi kockázatról és annak mérésér l szól. A befektetési tevékenység kockázattal jár. A pénzügyi kockázat modern elméletének születését Harry Markovitz nevéhez köthetjük. Az els fejezetben néhány közgazdasági fogalomat gy jtöttem össze, amire a kés bbiekben szükségem lesz. Itt mutatom meg a Markowitz féle portfólióválasztási modellelt és a hatékony portfólió kialakítását is. A második fejezetben deniálom a kockázati mérték fogalmát, és hármat közülük részletesen is bemutatok. Ez a három a szórás, a kockáztatott érték, másnéven VaR, és a 4

5 feltételes kockáztatott érték, másnéven CVaR. Szó lesz az alsó és fels VaR, illetve CVaR kapcsolatáról is. A harmadik fejezetben lineáris programozási feladatot oldok meg CVaR-os modellre. A negyedik fejezetben kerül sor 2 gyakorlati példa bemutatására. Itt 3-3 tényleges részvényt fogok vizsgálni. Ebb l próbálok hatékony portfóliót kialakítani. Az utolsó fejezetben, pedig rövid összefoglalást és magyarázatot adok a kapott eredményekre. 5

6 1. fejezet Közgazdasági környezet 1.1. Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam A fejezethez szükséges adatokat, illetve deníciókat az [1] könyv és a [6] értekezés felhasználásával gy jtöttem össze. A piac m ködése elképzelhetetlen a pénz nélkül. Az értékpapírok is a pénzb l fejl dtek ki, és annak helyettesítésére szolgálnak. A keletkezésük hátterében hitelügylet állt. Az értékpapírokat az áruforgalom, a kereskedelem szükségletei hívták életre, kés bb a vagyongyarapodás legbiztosabb eszközeiként jelentek meg. Az els értékpapírokat a vállalkozók és az állam hozták létre. Az értékpapírok vagyonhoz kapcsolódó jogokat testesítenek meg. Deníció 1.1 Értékpapír alatt olyan pénzügyi terméket (részvény, kötvény, befektetési jegy) értünk, amely vételár ellenében szabadon átruházható. Az államkincstár bocsátja ki. Az értékpapírok adás-vételének színtere az értékpapír-piac. Az els dleges értékpapírpiac a kibocsátást jelenti, míg a másodlagos a már kibocsátott értékpapír adás-vételét. Deníció 1.2 Azt az árat, amelyen az értékpapírt eladhatjuk, vagy megvásárolhatjuk, az értékpapír árfolyamának nevezzük. Az árfolyam jöv beli értéke véletlenszer, korlátozott mértékben, vagy egyáltalán nem jelezhet el re. Így a pénzügyi elméletben az árfolyamokat és a befektetések értékének alakulását véletlen folyamatokkal tudjuk modellezni. Deníció 1.3 A portfólió kifejezés többféle értelemben használható, legtágabb értelmezésben vagyonösszetétel, azoknak a befektetéseknek az együttese, amely adott magánszemély, vagy cég tulajdonát képezi, de értelmezhet úgy is, mint kötvények, részvények együttese, amelyet egy befektetésnek lehet tekinteni. Deníció 1.4 Hozamnak nevezünk egy pénzügyi terméken elért nyereséget/ veszteséget. Deníció 1.5 Várható hozamnak nevezzük a lehetséges hozamok valószín ségekkel súlyozott átlagát. Jele: E 1.2. A Markowitz-féle portfólióválasztási modell A portfólió választás els matematikai modelljét Harry Markowitz alkotta meg ben. Az nevéhez f z dik az a koncepció, amely a befektetési lehet ségek rangsorolását két mutató, a várható hozam és a hozam varianciájának segítségével végzi el. 6

7 A modell feltevései A befektet k az adott id távon a lehet legkisebb kockázat mellett a lehet legnagyobb vagyongyarapodást szeretnék elérni, a befektet k árelfogadók, egyes pénzügyi termékb l tetsz leges hányadot vehetünk, a rövidre eladás (shortolás, amikor a befektet olyan értékpapírt ad el, ami még nincs a birtokában) korlátlanul megengedett (a portfólió súlyok negatívak is lehetnek), nincs tranzakciós költség, az árfolyamváltozások normális eloszlásúak (a hozam bármely statisztikai jellemz je leírható a várható érték és a szórás függvényeként), a befektetés kockázatát hozamának szórásával mérjük Hatékony portfólió Egy portfóliót akkor nevezünk hatékonynak, ha nem állítható el a portfólióénál nem kisebb várható hozamú, de kisebb kockázatú portfólió és nem állítható el a portfólióénál nem nagyobb kockázatú, de nagyobb várható hozamú portfólió. Attól függ en, hogy mekkora hozamot vár el, vagy mekkora kockázatot vállal a befektet, több hatékony portfólió is képezhet, e szempontok gyelembe vételével. Ezen portfóliók által alkotott halmazt hatékony határgörbének nevezzük. Egy befektet alapvet en azért alakít ki portfóliót, hogy ne csupán egyetlen befektetési formától függjön. A portfólió alapvet en a kockázatmegosztás eszköze. A befektet k a pénzügyi piacon többféle termék közül választhatnak. Egy befektet tulajdonában lev termékek összességét az adott befektet portfóliójának nevezzük. Jelölje N a befektetési lehet ségek számát, ekkor a portfóliót egy N - dimenziós w vektor írja le. A vektor i-edik komponense az i. értékpapírba fektetett összeg. A vektor komponenseit portfóliósúlyoknak nevezzük. A súlyok összege 100%, tehát 1. N w i = 1 (1.1) i=1 Az i. értékpapír árfolyamát jelölje S i (t). A portfólió értéke a részvények értékének súlyozott átlaga. A t id pontbeli értékét az alábbi módon fejezhetjük ki: Y (t) = N w i S i (t) (1.2) i=1 Az i. értékpapír árfolyamának megváltozását jelölje X i (t), X i (t) = S i (t + t) S i (t), így a portfólió értékének megváltozása ebben az id szakban X(t) = Y (t + t) Y (t) 7 N w i X i (t) (1.3) i=1

8 X i (t) árfolyamingadozások stacionáriusak, és többváltozós normális eloszlást követnek. A hozamok várható értéke és kovariancia mátrixa a következ : µ i = E[X i ] (1.4) σ ij = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ]. (1.5) A kovariancia mátrix szigorúan pozitív denit. Egy w portfólió hozamának µ p várható értéke és σp 2 varianciája: N µ p = w i µ i, (1.6) σ 2 p = N i=1 i=1 N σ ij w i w j, (1.7) j=1 Tehát, ha a befektet racionálisan gondolkodik, akkor az azonos várható hozamú portfóliók közül azokat választja, amelyek hozamának kisebb a szórása, vagy az azonos szórásúak közül a nagyobb várható hozamúakat. A hatékony portfóliót a következ Markov feladat adja meg: min w R N N i=1 N σ ij w i w j, (1.8) j=1 N w i µ j = µ, (1.9) i=1 N w i = 1, (1.10) i=1 Ez egy feltételes széls érték probléma (feltételes optimalizációs feladat), ahol az (1.8) feladat megoldásait határportfóliónak nevezzük. Lásd: 1.1 ábtát. A Markowitz-féle portfólióválasztási modellnek lényege, hogy a befektetést diverzikáljuk ábra. Portfólió [9] 8

9 Deníció 1.6 A diverzikáció egy befektet i magatartás, amely a portfólió kockázatának csökkenésére irányul, mégpedig a portfólióban szerepl értékpapírok számának növelésével. Tegyük fel hogy X és Y hozammal rendelkez befektetési eszközök, kombinációjuk azért kevésbé kockázatos mint külön-külön, mert annak a valószín sége, hogy a két befektetés egyszerre veszteséges, általában kisebb, mint annak, hogy csak az egyik, vagy csak a másik veszteséges (kivéve, ha tökéletesen korreláltak, mert akkor egyszerre veszteségesek, vagy egyszerre nyereségesek.) 9

10 2. fejezet Kockázati mértékek Az el z fejezetben felvázolt probléma megoldására több alkalmas modell is született. Az alábbiakban bevezetjük a kockázat mértékeit, majd bemutatok néhány, a hatékony portfólió kialakítására alkalmas modellt. A fejezetben deniált kockázati mértékeket, illetve a modellek bemutatásához szükséges információkat a [6], [3] illetve [4] források felhasználásával gy jtöttem. A pénzügyek kulcstényez je a bizonytalanság. Bizonytalanságról beszélünk, ha nem tudjuk, mi fog bekövetkezni, kockázatról, ha ismerjük valamely esemény lehetséges kimeneteleit, és azok bekövetkezési valószín ségét is. A pénzügyi döntések egyik alapeleme a kockázat meghatározása, számszer sítése. A döntések során különböz kockázatú és hozamú lehet ségekb l kell kiválasztani egy legmegfelel bbet. A kockázatosság nem feltétlenül negatív, mint általában a hétköznapi megközelítésben. A pénzügyi szakirodalom egyik alapelve ezt úgy fogalmazza meg, hogy egységnyi biztos pénz értékesebb, mint egységnyi kockázatos pénz. A pénzügy egyik f kérdése, hogy olyan eszközöket biztosítson, amelyek lehet vé teszik pénzügyi eszközök és kiváltképp portfóliók összehasonlítását, értékelését és kockázatosságuk jellemzését. A pénzügyi eszközökhöz és portfóliókhoz rendelt, a kockázatot jellemz mutatószámokat fogom a továbbiakban kockázati mértékeknek nevezni. A klasszikus mutatók nem igazán adnak információt az eszközök kockázatosságáról (pl: price/earing). Számos kockázati mérték jelent meg az irodalomban. Ezek közül a Value at Risk terjedt el a leginkább, mind elméletben, mind gyakorlatban. Számos pénzpiaci, pénzintézeti törvény megköveteli a pénzintézetekt l és esetleg egyéb piaci szerepl kt l ennek számítását, és ezzel kapcsolatos szabályok betartását. A kockázati mértékeket valószín ségi változók egy halmazán értelmezhetjük, hiszen ha adott egy portfólió, befektetés, vagy értékpapír, akkor egy valószín ségi változó mutatja az abból származó jöv beli veszteséget. Deníció 2.1 Legyen ξ egy valószín ségi változó, amely egy adott értékpapír hozamát (árfolyam-változását) reprezentálja a t és t + t id pontok között. Az ilyen ξ valószín ségi változók halmazát jelölje Ω. Kockázati mérték alatt egy ρ : Ω R funkcionált értünk, és azt mondjuk, hogy az ξ hozamú értékpapír kockázata ρ(ξ). 10

11 A deníció önmagában nem jelent sokat, mivel ρ nagyon sokféle funkcionál lehet. A helyes megválasztáshoz gyelembe kell venni, hogy az egyes piaci szerepl k milyen célból szeretnék jellemezni a kockázatot. Néhány fontos szempont: kockázat, mint bizonytalanság mértéke (kockázat Markowitz-féle megközelítése), kockázat, mint potenciális veszteségek mértéke (baj vele, hogy a befektet ket csak a váratlan veszteség zavarja, a váratlan nyereség nem), diverzikációs elv (t kemegosztás többféle befektetés közt), összegezhet ség és összehasonlíthatóság, t kemegfeleltetés (könnyen mozgósítható szavatoló t ke tartalékolás a cs d elkerülése végett) Szórás A legalapvet bb kockázati mérték a szórás. Deníció 2.2 A hozam varianciája a várható piaci hozamtól való eltérés négyzetének várahtó értéke. Jelölés: σ 2 Deníció 2.3 A szórás a variancia négyzetgyöke. Jelölés: σ A szórás normális eloszlású hozamok mellett jól méri a bizonytalanságot, és ösztönzi a diverzikációt. Így mindenféle befektetés kiszámítható, összegezhet és összehasonlítható. Viszont a normális eloszlást elvetve, gyengén jellemzi a kockázatot. Nem tesz különbséget a nyereségek és veszteségek közt, így nem mutatja meg a befektetés veszteségének nagyságát. A szórás csak szimmetrikus, véges varianciájú eloszlásokra elfogadható kockázati mérték. A szórás el nyei: Szemléletes jelentés, a jöv beli megtérülés bizonytalanságát méri. Az ered kockázat több, akár nagyon eltér jelleg befektetésre is meghatározható. Konvex, tehát a diverzikáció hatására csökken. A portfóliósúlyoknak jól kezelhet (pl. dierenciálható) függvénye. A szórás hátrányai: Nem minden eloszlásra létezik. Az eloszlás szélére nem elég érzékeny. Nem tesz különbséget nyereség és veszteség között. 11

12 2.2. A kockáztatott érték: VaR A szórás helyettesítésére az egyik vezet bank (J.P. Morgan) kutatócsoportjának javaslatára a szakma a kockáztatott értéket (value at risk, általánosan használt rövidítéssel VaR) fogadta el a kockázat mér számának. A '80-as évek óta ez az egyik legnépszer bb kockázati mérték. A VaR a várható legnagyobb veszteséget méri adott id távon, adott biztonsági szint (kon- dencia szint) mellett. A kondencia szintet jelölje α. Tipikus értéke a gyakorlatban nagyobb, mint 90% (pl. 95% vagy 99%) Példa 2.4 Képzeljük el, hogy VaR(95%,1 nap) = 100 Ft, azaz egy portfólió 1 napos VaR-ja 100 Ft 99% -os kondenciaszint mellett. Mit jelent ez? Kétféle megközelítés lehetséges: Normál piaci körülmények között az adott portfóliót tekintve, egy napos id távra 5% -os valószín séggel várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt nevezzük pesszimista megközelítésnek. Normál piaci körülmények között 95% annak a valószín sége, hogy egy nap alatt nem várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt pedig optimista megközelítésnek nevezzük. A kés bbiekben a pesszimista megközelítést az alsó VaR adja (mely az alsó 5% közül a legjobb kimenetel), míg az optimistát a fels VaR (mely a fels 95% közül a legrosszabb kimenetel). Most rátérek a precíz denícióra, ahol a követket jelöléseket használom: Egy ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye F ξ, azaz F ξ (γ) = P(ξ < γ) Deníció 2.5 Legyen ξ egy valószín ségi változó, α (0, 1). Ekkor az ξ alsó α - kvantilise és az ξ fels α - kvantilise. q α (ξ) = sup{γ F ξ (γ) < α} (2.1) q α (ξ) = inf{y F ξ (γ) > α} (2.2) Ha ξ egy portfólió protját leíró valószín ségi változó egy valószín ségi mez n és α (0, 1), akkor ξ alsó α- Value at Risk értéke: míg ξ fels α- Value at Risk értéke: V ar α (ξ) = q α (ξ), (2.3) V ar α (ξ) = q α (ξ). (2.4) Megjegyzés 2.6 A mínusz el jel azért kell, mert a veszteségekhez pozitív kockázatot rendelünk. Megjegyzés 2.7 Diszkrét eloszlások esetén a kvantilis értéke nem mindig egyértelm, ezért szokás külön deniálni az alsó VaR-t és fels VaR-t. Az alsó és felsó VaR értéke nem feltétlenül egyezik meg, de abszolút folytonos eloszlások esetén egyenl a két érték. 12

13 Lemma 2.8 és q α (ξ) = q 1 α ( ξ) (2.5) q α (ξ) = q 1 α ( ξ) (2.6) Bizonyítás: A kvantilisek más alakban is megadhatók, így kapjuk, hogy q α (ξ) = inf{γ F ξ (γ) α}, illetve q α (ξ) = sup{γ F ξ (γ) α}. Jelölje F ξ az eloszlásfüggvény jobbról folytonos változatát, így F ξ = P(ξ z). Ekkor, ha a el bbi denícióban y F ξ (γ) = P(ξ < γ) eloszlásfüggvényt helyettesítenénk az y F ξ (γ) = P(ξ γ) függvénnyel, az q α (ξ) és q α (ξ) értét nem változtatná. q α (ξ) = inf{γ F ξ (γ) > α} = inf{γ P( ξ γ) < 1 α} = sup{ γ P( ξ γ) < 1 α} = sup{γ F ξ (γ) < 1 α} = q 1 α ( ξ). Azt mondjuk, egy befektetés VaR-ja α kondenciaszinten az α százaléknyi legjobb eset közül a legrosszabb esetben elszenvedett veszteség. Más lehetséges megfogalmazások: Az a pénzösszeg, amelynél többet csak 1 α valószín séggel veszíthetünk. Az 1 α százaléknyi legrosszabb eset közül a legjobb esetben elszenvedett veszteség. Megjegyzés 2.9 A VaR a hozameloszlás kvantilise. A VaR el nyei: Kifejezetten a veszteségekre koncentrál. Tetsz leges eloszlásra létezik. Az ered kockázat tetsz leges jelleg befektetések kombinációjára meghatározható. A kockázatot pénzveszteségben fejezi ki. 13

14 A VaR hátrányai: A portfóliósúlyok nemdierenciálható függvénye. Nem konvex. A VaR-nál nagyobb veszteségek eloszlása nem számít. Az utóbbi két hiányosság igen súlyos. Megjegyzés 2.10 Hátrányai miatt a VaR általában alkalmatlan a kockázat mérésére. Ennek ellenére a gyakorlatban és a szabályzásban széleskör en alkalmazzák CVaR Az elmúlt néhány évben akadémiai körökben egyre több oldalról érte bírálat a VaR-t mint kockázati mértéket. Sok kutató illetve kutatócsoport tett javaslatot, hogy kiküszöböljék a VaR legnyilvánvalóbb hibáját, a konvexitás hiányát. Az egyik legegyszer bb VaR-ra épül kockázati mérték, amely konvex is, a feltételes VaR, másnéven CVaR. A rövidítés a Conditional Value-at-Risk szóból származik. Deníció 2.11 A CVaR a VaR-nál nagyobb veszteségek átlaga, a VaR-t is beleértve. Példa 2.12 A VaR megmutatja, hogy adott id távon és kondenciaszinten maximum mekkora lehet a veszteség nagysága. Az el bbi példához h en legyen α = 0,95. Pesszimista néz pontból azt mondjuk, hogy 5% -os eséllyel lesz a VaR által mért kvantilisnél nagyobb a veszteség. Ekkor arra is kíváncsiak vagyunk, hogy ha bekövetkezik az 5% -os esemény, akkor mekkora lesz a veszteség várható értéke, átlagos nagysága. A VaR-hoz hasonlóan itt is létezik alsó és fels CVaR, melyeket a következ képpen deniálunk: CV ar α (ξ) = E[ξ ξ V ar α (ξ)], (2.7) ahol ξ a vizsgált befektetés hozama. CV ar α (ξ) = E[ξ ξ V ar α (ξ)], (2.8) Megjegyzés 2.13 CV ar α (ξ) V ar α (ξ), (2.9) CV ar α (ξ) V ar α (ξ), (2.10) CV ar α (ξ) V ar α (ξ), (2.11) továbbá CV ar α (ξ) = CV ar α (ξ) pontosan akkor ha V ar α (ξ) = V ar α (ξ) A CVaR f el nye a VaR-ral szemben, hogy nemcsak a veszteségek 1 α-kvantilisét veszi gyelembe, hanem az annál nagyobb veszteségeket is, így érzékeny az extrém eseményekre. 14

15 2.1. ábra. VaR és CVaR [2] 15

16 3. fejezet Modell LP formátumban Ebben a fejezetben a [2] és [5] források voltak segítségemre. Deníció 3.1 Az olyan feltételes széls érték-feladatot, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenl tlenségek, és egy lineáris függvény széls értékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük. (LP) Megjegyzés 3.2 Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük. Az operációkutatás különböz modelljeinek tényleges megoldása hosszadalmas, ezért ezen megoldási eljárásokra különböz számítógépes programcsomagokat készítettek, amelyek különböz hatékonysággal használhatók. Ezek egyike az EXCEL táblázatkezel ben található SOLVER beépül makró. A Solver a lineáris programozási feladat megoldásához a szimplex algoritmust alkalmazza. Hátránya, hogy nem tud nagyobb méret vektorváltozókkal számolni. Ezt a problémát kiküszöbölhetjük OpenSolver, vagy OpenOce.org programmal. Ez utóbbi programcsomagnak a része az OpenOce.org Calc, ami egy táblázatkezel program. Segítségével számításokat, matematikai, pénzügyi elemzéseket végezhetünk, grakusan ábrázolhatjuk számadatainkat. A második lehet séget, az OpenSolver programcsomagot fogom használni ábra. OpenSolver felület 16

17 3.1. cvar-os modell A következ jelöléseket vezetem be: ξ i : az i-edik részvény éves hozama (valószín ségi változó) x i az i-edik részvény súlya a portfólióban r i az i-edik értékpapír várható hozama r i = E(ξ i ) σ i normális szórása a nyereség visszatérülésének ρ ij korrelációs együttható ρ = cov(x,y ) D(X)D(Y ) Q ij variancia-kovariancia mátrix, ahol cov(x, Y ) = E((X r X )(Y r Y )) Várható hozamot és varianciát a következ képpen számolunk E[x] = r 1 x r n x n = r T x V ar[x] = i,j ρ ij σ i σ j x i x j = x T Qx További jelölések: f(x, ξ) = ξ T x : nyereségfüggvény f(x, ξ) = ξ T x : veszteségfüggvény p s r ségfüggvény Optimalizációs probléma: Többféle modell közül választhatunk max E[f(x, ξ)] x tekintve, hogy CV ar α [ f(x, ξ)] ν (3.1) x 0 min CV ar α [ f(x, ξ)] x tekintve, hogy E[f(x, ξ)] ρ (3.2) x 0 Mi most a (3.2)-vel dolgozunk. max E[f(x, ξ)] x tekintve, hogy CV ar α1 [ f(x, ξ)] ν 1 (3.3) CV ar α2 [ f(x, ξ)] ν 2 x 0 Hogy tudjuk formalizálni és megoldani ezt a problémát? 17

18 Rockafellar és Uryasev bebizonyították, hogy ezt a feladatot meg lehet oldani a következ képpen: tudjuk, hogy ahol z + = max{z, 0} CV ar α (f(x, ξ)) = V ar α + E[f(x, ξ) V ar α ] + (3.4) 1) Diszkrét esetben ez azt jelenti, hogy CV ar α (f(x, ξ)) = V ar α + N p(ξ)[f(x, ξ) V ar α ] +. (3.5) ξ=1 2) Abszolút folytonos esetben pedig CV ar α (f(x, ξ)) = V ar α + [f(x, ξ) V ar α ] + p(ξ)dξ. (3.6) Legyen F α (x, γ) = γ α ekkor a következ állítás igaz: Állítás 3.3 Minimalizáljuk F α (x, γ)-t. Diszkrét eloszlás esetén: CV ar α (f(x, ξ)) = min γ F α (x, γ) min CV ar α (f(x, ξ)) = min F x α(x, γ) x,γ ξ ξ k, ahol ξ k már nem valószín ségi változó, hanem felvett érték. ahol z k 0 és k = 1,..., N. p(ξ) p k, N p k = 1 k=1 f(x, ξ) f(x, ξ k ) F α (x, γ) = γ + 1 N [f(x, ξ k ) γ] + 1 α [f(x, ξ) γ] + p(ξ)dξ (3.7) k=1 [f(x, ξ k ) γ] + z k f(x, ξ k ) γ, 18

19 Maga a feladat: Plusz feltételek: min γ + 1 N p k z k 1 α k=1 min CV ar α ( ξ T x) z k ξ kt x γ z k 0 r T x ρ 1 T x = 1 x 0 (3.8) Amire szükségünk van: p k és ξ k 19

20 4. fejezet Gyakorlati példa Az utolsó fejezetben a felírt problémát oldom meg. A megoldáshoz a Budapesti Értékt zsde bizonyos részvényeit fogom felhasználni. A modellek gyakorlati alkalmazásához szükséges adatok megszerzéséhez a [8] forrást használtam, míg az algoritmusok m ködéséhez a [2]-t vettem útmutatóul. A gyakorlati alkalmazáshoz nagy segítséget nyújtott a [7] oldal Adatok példa A példában három részvénnyel foglalkoztam, olyan részvényeket választottam, amik már legalább 10 éve jelen vannak a t zsdén. A megoldáshoz és azok elemzéséhez szükséges adatokat a Budapesti Értékt zsde honlapjának adatbázisából gy jtöttem. Havi adatokkal számoltam. A BÉT oldalán felmerül problémákkal a szakdolgozat nem foglalkozik. A kiválasztott három részvény: a) DANUBIUS b) OTP c) ZWACK Ezen három részvény havi hozamát kiszámoltam a letöltött adatokból. Jelölje r a havi hozamot, ahol p α a hó eleji árat és p ω a hó végi árat, így a képlet amivel számoltam: r = p ω p α p α, (4.1) Ezek az értékek nem teljesen pontosak, mert a letöltött adatokban a hóvégi és hó eleji maximum árral dolgoztam az egyszer ség kedvéért. Minden részvényhez 120 eredményt kaptam, mivel a 2002.márciustól 2012.februárig vizsgáltam az adatokat. Lásd 4.1 ábrát. 20

21 4.1. ábra. Havi hozamok A feladat mérete miatt sajnos csak kiragadott részletek bemutatására van esély. Itt a különböz színek a különböz értékpapírok adatait jelölik. Majd az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam úgy, hogy a következ tartományokat kaptam: (Lásd 4.1 táblázatot.) DANUBIUS OTP ZWACK 1 0, 1251 r < 0, , 8810 r < 0, , 1854 r < 0, , 1057 r < 0, , 8150 r < 0, , 1617 r < 0, , 0668 r < 0, , 6832 r < 0, , 1143 r < 0, , 0279 r < 0, , 5514 r < 0, , 0669 r < 0, , 0110 r < 0, , 4196 r < 0, , 0195 r < 0, , 0499 r < 0, , 2878 r < 0, , 0279 r < 0, , 0888 r < 0, , 1560 r < 0, , 0753 r < 0, , 1277 r < 0, , 0242 r < 0, , 1227 r < 0, , 1666 r < 0, , 1077 r < 0, , 1701 r < 0, , 2055 r 0, , 2395 r 0, , 2176 r 0, táblázat. Intervallumokhoz 1-t l 10-ig értékeket rendelünk 21

22 Ezután az el bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t l 10-ig a számokat. Így a következ adatsorokat kaptam: (Lásd 4.2 ábrát.) 4.2. ábra. Havi hozamok értékadással Ezeket az értékeket oszlopok szerint növekv sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam, hogy az adott kombináció hányszor fordult el, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat. Tudjuk, hogy relatív gyakoriság = 1. Lásd 4.3 ábrát. 22

23 4.3. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása Majd a 2-t l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-es tartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.2 táblázatot kaptam: 23

24 DANUBIUS OTP ZWACK 1-0,1251-0,8810-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2249 0,3054 0, táblázat. Értékekhez rendelt középpontok Erre visszaírva az értékeket, kaptam a 4.4 -es ábrát: 4.4. ábra. Táblázat az átírt adatokkal 24

25 Ezután felírható a feladat kezdeti állapota. Az ábra némi magyarázatot igényel. Az el bbi ábrát b vítettem. A jobb áttekinthet ség érdekében a lényeges mez ket különféle színekkel színeztem. El ször is felvettem egy α értéket F1 mez be. Ez a kondencia szintet jelöli. Majd egy ρ értéket J1 mez be. Ez a ρ jelöli az elvárt hozamot. A portfólióban szerepl részvények súlyozása (x) az L25, L26, L27 mez kben található, kezdetben ez az érték 0. A portfólió hozammátrixa a G4 - I24 mez kben lett eltárolva. A várható hozamvektor (µ) értékeit G25 - I25 mez kben rögzítettem. Változók még a z k értékek, ezeket L4 - L24 mez kbe írtam és kezdetben 0-ra állítottam. A feltételeket a Q4 - S24 mez kben tárolom. A Q26 - S26 mez k rzik a helyes súlyozásra vonatkozó feltételt (1 T x = 1). Végül pedig Q2-es mez be a célfüggvényt írtam. Most kiszámítjuk a modellt α =0,9-re. Lásd 4.5 ábrát. 25

26 ábra. A modell α =0,9-re

27 Ez az eredmény nem egészen azt adta, amit vártunk. Azt szerettem volna, ha megadja, hogy a különböz értékpapírokból milyen súllyal vegyünk. De nekem csak egy értékpapírt javasol példa Próbálkozok három másik értékpapírral. Hátha az volt az el bbiekkel a probléma, hogy nagyon egyszerre mozogtak. Az újabb három részvény: a) EGIS b) FOTEX c) MOL Ugyanazokat a lépéseket hajtottam végre, mint az el bb. Kiszámoltam a havi hozamokat. Lásd 4.6 ábrát ábra. Havi hozamok Az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam. (Lásd 4.3 táblázatot.) 27

28 EGIS FOTEX MOL 1 0, 4261 r < 0, , 3066 r < 0, , 1755 r < 0, , 3839 r < 0, , 2390 r < 0, , 1502 r < 0, , 2995 r < 0, , 1040 r < 0, , 0996 r < 0, , 2151 r < 0, , 0311 r < 0, , 0489 r < 0, , 1307 r < 0, , 1662 r < 0, , 0017 r < 0, , 0464 r < 0, , 3013 r < 0, , 0523 r < 0, , 0380 r < 0, , 4363 r < 0, , 1029 r < 0, , 1224 r < 0, , 5714 r < 0, , 1536 r < 0, , 2068 r < 0, , 7065 r < 0, , 2042 r < 0, , 2911 r 0, , 8416 r 0, , 2548 r 0, táblázat. Intervallumokhoz 1-t l 10-ig értékeket rendelünk Ezután az el bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t l 10-ig a számokat. (Lásd 4.7 ábrát.) 4.7. ábra. Havi hozamok értékadással Majd a kapott értékek oszlopait növekv sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam, hogy az adott kombináció hányszor fordult el, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat. Tudjuk, hogy relatív gyakoriság = 1. (Lásd 4.8 ábrát.) 28

29 4.8. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása Majd a 2-t l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-es tartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.4 táblázatot kaptam: EGIS FOTEX MOL 1-0,4260-0,3065-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3333 0,9090 0, táblázat. Értékekhez rendelt középpontok Erre visszaírva az értékeket, kaptam a következ t: (Lásd 4.9 ábrát.) 29

30 4.9. ábra. Táblázat az átírt adatokkal Ezután felírható a feladat kezdeti állapota. Most kiszámítom a modellt α =0,9-re. Lásd 4.10 ábrát. Ekkor is csak egy értékpapírt kínál nekem. Hogy megbizonyosodjak a modell jóságáról, kiszámolom α =0,1-re. Lásd 4.11 ábrát. Az eredmény itt már kicsit jobban hasonlít a várthoz. Itt már két értépapírt kínál fel, különböz súlyokkal. EGIS részvényb l 86,6% -ot míg MOL részvényb l 13,4% -ot. Ezzel már csak az a probléma, hogy α-t 90% körülinek kellene választanunk, hogy a korábbiakban leírt CVaR modell jóságát belássuk, és ennél az utolsó példánál mi α = 10% -ra néztük. 30

31 ábra. A modell α =0,9-re

32 ábra. A modell α =0,1-re

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése A pénzügyi kockázat mérése és kezelése Varga-Haszonits István Gazdasági Fizika Téli Iskola, 2009. január 31. Áttekintés 1 Bevezetés 2 A portfólióválasztási probléma 3 Kockázati mértékek 4 A hatékony portfóliók

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt! NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András

A kockázat fogalma. A kockázat fogalma. Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András Fejezetek a környezeti kockázatok menedzsmentjéből 2 Bezegh András A kockázat fogalma A kockázat (def:) annak kifejezése, hogy valami nem kívánt hatással lesz a valaki/k értékeire, célkitűzésekre. A kockázat

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Bebes András. 2011. június 2. BSc szakdolgozat. Természettudományi Kar Matematika BSc szakon

Bebes András. 2011. június 2. BSc szakdolgozat. Természettudományi Kar Matematika BSc szakon EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM Bebes András Hatékony portfóliók különböző kockázati mértékek szerint Témavezető: Mádi-Nagy Gergely BSc szakdolgozat Természettudományi Kar Matematika BSc szakon 2011. június

Részletesebben

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása

Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása Ütemezési modellek Az ütemezési problémák osztályozása Az ütemezési problémákban adott m darab gép és n számú munka, amelyeket az 1,..., n számokkal fogunk sorszámozni. A feladat az, hogy ütemezzük az

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Atomi er mikroszkópia jegyz könyv

Atomi er mikroszkópia jegyz könyv Atomi er mikroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc III. Mérés vezet je: Szabó Bálint Mérés dátuma: 2010. október 7. Leadás dátuma: 2010. október 20. 1. Mérés leírása A laboratóriumi mérés

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Kockázati Mértékek Instabilitása

Kockázati Mértékek Instabilitása Kockázati Mértékek Instabilitása Doktori értekezés Varga-Haszonits István Témavezető: Dr. Kondor Imre DSc, egyetemi tanár ELTE TTK Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék ELTE TTK Fizika Doktori Iskola Iskolavezető:

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

A pénzügyi kockázat elmélete

A pénzügyi kockázat elmélete 7. Kötvények és árazásuk Részvények és kötvények Részvény: tulajdonrészt jelent, részesedést a vállalat teljesítményéb l. Kötvény: hitelt jelent és a tartozás visszazetésének szabályait. A részvényeket

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Az AEGON Magyarország Önkéntes és Magánnyugdíjpénztár önkéntes pénztári ágazatának 2008. évi gazdálkodásáról nyilvánosságra hozandó adatok

Az AEGON Magyarország Önkéntes és Magánnyugdíjpénztár önkéntes pénztári ágazatának 2008. évi gazdálkodásáról nyilvánosságra hozandó adatok Az AEGON Magyarország Önkéntes és Magánnyugdíjpénztár önkéntes pénztári ágazatának 2008. évi gazdálkodásáról nyilvánosságra hozandó adatok I. A Pénztár egészére vonatkozó adatok 1. A pénztár tárgyév eleji

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

2007. május 19. Altenburger

2007. május 19. Altenburger Dr. Banyár József Jelenleg a magánnyugdíjpénztári járadék (egyszer en: magánpénztári járadék) opcionális - szerencsére senki sem választja A szabályozás ugyanis hiányos és ellentmondásos A problémakör

Részletesebben

Gépi tanulás és Mintafelismerés

Gépi tanulás és Mintafelismerés Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Definíciószerűen az átlagidő a kötvény hátralévő pénzáramlásainak, a pénzáramlás jelenértékével súlyozott átlagos futamideje. A duration képlete:

Definíciószerűen az átlagidő a kötvény hátralévő pénzáramlásainak, a pénzáramlás jelenértékével súlyozott átlagos futamideje. A duration képlete: meg tudjuk mondani, hogy mennyit ér ez a futamidő elején. Az évi 1% különbségeket jelenértékre átszámolva ez kb. 7.4% veszteség, a kötvényünk ára 92,64 lesz. Látható, hogy a hosszabb futamidejű kötvényre

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Találatgaranciás Kenó-kulcsok gy jteménye

Találatgaranciás Kenó-kulcsok gy jteménye Találatgaranciás Kenó-kulcsok gy jteménye ISBN 96 6 45 Budapest, 4. Szerkesztette: JPGpower varisoft Borítóterv: Szabó Csilla Kiadja: Szerencsetippek Kiadó info@szerencsetippek.hu www.szerencsetippek.hu

Részletesebben

Az AEGON Magyarország Önkéntes és Magánnyugdíjpénztár önkéntes pénztári ágazatának 2007. évi gazdálkodásáról nyilvánosságra hozandó adatok

Az AEGON Magyarország Önkéntes és Magánnyugdíjpénztár önkéntes pénztári ágazatának 2007. évi gazdálkodásáról nyilvánosságra hozandó adatok Az AEGON Magyarország Önkéntes és Magánnyugdíjpénztár önkéntes pénztári ágazatának 2007. évi gazdálkodásáról nyilvánosságra hozandó adatok I. A Pénztár egészére vonatkozó adatok 1. A pénztár tárgyév eleji

Részletesebben

Energiaipar: a jég hátán is megél?

Energiaipar: a jég hátán is megél? OTDK-dolgozat 2015 Energiaipar: a jég hátán is megél? A szektor kereskedelmi engedélyes vállalkozásainak beszámolóelemzése az elmúlt évek tükrében Energy industry: can he always make do? The recent year

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA SZDT-03 p. 1/24 Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK

Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK Dr. Ábrahám István * A BOLOGNAI FOLYAMAT ÉS A TANKÖNYVEK A fels oktatásban legalapvet bb változás az elmúlt id szakban a hallgatói létszámok területén történt: az utóbbi néhány évben, évtizedben mintegy

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben