Kockázati modellek (VaR és cvar)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kockázati modellek (VaR és cvar)"

Átírás

1 Kockázati modellek (VaR és cvar) BSc Szakdolgozat Írta: Kutas Éva Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet Mádi-Nagy Gergely egyetemi adjunktus Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2012

2 Köszönetnyilvánítás El ször hálás köszönetet mondok mindazoknak, akiknek segítségével elkészült ez a szakdolgozat. Els sorban Mádi-Nagy Gergely témavezet tanáromnak tartozom köszönettel azért, hogy folyamatosan gyelemmel kísérte munkámat, ötleteivel és szakmai tanácsaival segített. Nem utolsó sorban pedig családomnak tartozom nagy hálával a rendíthetetlen bizalmukért és megértésükért. 2

3 Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás Bevezetés 4 1. Közgazdasági környezet Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam A Markowitz-féle portfólióválasztási modell A modell feltevései Hatékony portfólió Kockázati mértékek Szórás A kockáztatott érték: VaR CVaR Modell LP formátumban cvar-os modell Gyakorlati példa Adatok példa példa Összefoglalás 33 Irodalomjegyzék

4 Bevezetés Napjainkban a pénz világa nagyon fontos szerepet játszik mindenki életében. Pénzügyi döntéseknél érdemes megnézni mennyi a kockázat. Érdemes-e kockáztatni? "Mi a kockázat?" Teszik fel sokan a kérdést. Intuitíve érezzük a választ, deniálni már nehezebb, hát még mérni! És akkor még nem is kezeltük. Hétköznapi nyelven gyakran úgy fogalmazzák meg, mint a "nyereség bizonytalansága", illetve "a veszteség lehet sége". Képzeljünk el két különböz befektetést, A-t és B-t. Mindkett be 100 Ft-ért lehet beszállni. Egy év múlva az A befektetés garantáltan 110 Ft-ot zet, a B befektetés 50% - 50% eséllyel 100 vagy 130 Ft-ot zet. Melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? Képzeljünk el két másik befektetést, C-t és D-t. Mindkett 100 Ft kezd t két igényel. Egy év múlva a C befektetés 50% - 50% eséllyel 50, illetve 150 Ft-ot zet, a D pedig 50% - 49% - 1% eséllyel 50, 150, illetve 200 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? A harmadik példában vegyünk egy újabb befektetést, E-t és F-et. Az ár megint csak 100 Ft. Egy év múlva az E 50% -50% eséllyel 100, illetve 120 Ft-ot zet, D 1% -49% -49% -1% eséllyel -20, 100, 120 illetve 300 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? A példákban (és a valóságban) a végkifejlet pontosan nem ismert. El fordulhat, hogy a végén kevesebb pénzünk marad, mint amennyivel elindultunk, el fordulhat, hogy minden pénzünket elveszítjük és az adósok börtönébe kerülünk. Az összes lehetséges kimenetelt nem is sejthetjük. Az alkalmazott matematika egyik leggyorsabban fejl d ága mostanában a pénzügyi matematika. Matematikusokat, zikusokat, mérnököket alkalmaznak különböz bankok és pénzintézetek, hogy olyan modelleket alkossanak, amelyek a legtöbb protot hozzák. Szakdolgozatom a pénzügyi kockázatról és annak mérésér l szól. A befektetési tevékenység kockázattal jár. A pénzügyi kockázat modern elméletének születését Harry Markovitz nevéhez köthetjük. Az els fejezetben néhány közgazdasági fogalomat gy jtöttem össze, amire a kés bbiekben szükségem lesz. Itt mutatom meg a Markowitz féle portfólióválasztási modellelt és a hatékony portfólió kialakítását is. A második fejezetben deniálom a kockázati mérték fogalmát, és hármat közülük részletesen is bemutatok. Ez a három a szórás, a kockáztatott érték, másnéven VaR, és a 4

5 feltételes kockáztatott érték, másnéven CVaR. Szó lesz az alsó és fels VaR, illetve CVaR kapcsolatáról is. A harmadik fejezetben lineáris programozási feladatot oldok meg CVaR-os modellre. A negyedik fejezetben kerül sor 2 gyakorlati példa bemutatására. Itt 3-3 tényleges részvényt fogok vizsgálni. Ebb l próbálok hatékony portfóliót kialakítani. Az utolsó fejezetben, pedig rövid összefoglalást és magyarázatot adok a kapott eredményekre. 5

6 1. fejezet Közgazdasági környezet 1.1. Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam A fejezethez szükséges adatokat, illetve deníciókat az [1] könyv és a [6] értekezés felhasználásával gy jtöttem össze. A piac m ködése elképzelhetetlen a pénz nélkül. Az értékpapírok is a pénzb l fejl dtek ki, és annak helyettesítésére szolgálnak. A keletkezésük hátterében hitelügylet állt. Az értékpapírokat az áruforgalom, a kereskedelem szükségletei hívták életre, kés bb a vagyongyarapodás legbiztosabb eszközeiként jelentek meg. Az els értékpapírokat a vállalkozók és az állam hozták létre. Az értékpapírok vagyonhoz kapcsolódó jogokat testesítenek meg. Deníció 1.1 Értékpapír alatt olyan pénzügyi terméket (részvény, kötvény, befektetési jegy) értünk, amely vételár ellenében szabadon átruházható. Az államkincstár bocsátja ki. Az értékpapírok adás-vételének színtere az értékpapír-piac. Az els dleges értékpapírpiac a kibocsátást jelenti, míg a másodlagos a már kibocsátott értékpapír adás-vételét. Deníció 1.2 Azt az árat, amelyen az értékpapírt eladhatjuk, vagy megvásárolhatjuk, az értékpapír árfolyamának nevezzük. Az árfolyam jöv beli értéke véletlenszer, korlátozott mértékben, vagy egyáltalán nem jelezhet el re. Így a pénzügyi elméletben az árfolyamokat és a befektetések értékének alakulását véletlen folyamatokkal tudjuk modellezni. Deníció 1.3 A portfólió kifejezés többféle értelemben használható, legtágabb értelmezésben vagyonösszetétel, azoknak a befektetéseknek az együttese, amely adott magánszemély, vagy cég tulajdonát képezi, de értelmezhet úgy is, mint kötvények, részvények együttese, amelyet egy befektetésnek lehet tekinteni. Deníció 1.4 Hozamnak nevezünk egy pénzügyi terméken elért nyereséget/ veszteséget. Deníció 1.5 Várható hozamnak nevezzük a lehetséges hozamok valószín ségekkel súlyozott átlagát. Jele: E 1.2. A Markowitz-féle portfólióválasztási modell A portfólió választás els matematikai modelljét Harry Markowitz alkotta meg ben. Az nevéhez f z dik az a koncepció, amely a befektetési lehet ségek rangsorolását két mutató, a várható hozam és a hozam varianciájának segítségével végzi el. 6

7 A modell feltevései A befektet k az adott id távon a lehet legkisebb kockázat mellett a lehet legnagyobb vagyongyarapodást szeretnék elérni, a befektet k árelfogadók, egyes pénzügyi termékb l tetsz leges hányadot vehetünk, a rövidre eladás (shortolás, amikor a befektet olyan értékpapírt ad el, ami még nincs a birtokában) korlátlanul megengedett (a portfólió súlyok negatívak is lehetnek), nincs tranzakciós költség, az árfolyamváltozások normális eloszlásúak (a hozam bármely statisztikai jellemz je leírható a várható érték és a szórás függvényeként), a befektetés kockázatát hozamának szórásával mérjük Hatékony portfólió Egy portfóliót akkor nevezünk hatékonynak, ha nem állítható el a portfólióénál nem kisebb várható hozamú, de kisebb kockázatú portfólió és nem állítható el a portfólióénál nem nagyobb kockázatú, de nagyobb várható hozamú portfólió. Attól függ en, hogy mekkora hozamot vár el, vagy mekkora kockázatot vállal a befektet, több hatékony portfólió is képezhet, e szempontok gyelembe vételével. Ezen portfóliók által alkotott halmazt hatékony határgörbének nevezzük. Egy befektet alapvet en azért alakít ki portfóliót, hogy ne csupán egyetlen befektetési formától függjön. A portfólió alapvet en a kockázatmegosztás eszköze. A befektet k a pénzügyi piacon többféle termék közül választhatnak. Egy befektet tulajdonában lev termékek összességét az adott befektet portfóliójának nevezzük. Jelölje N a befektetési lehet ségek számát, ekkor a portfóliót egy N - dimenziós w vektor írja le. A vektor i-edik komponense az i. értékpapírba fektetett összeg. A vektor komponenseit portfóliósúlyoknak nevezzük. A súlyok összege 100%, tehát 1. N w i = 1 (1.1) i=1 Az i. értékpapír árfolyamát jelölje S i (t). A portfólió értéke a részvények értékének súlyozott átlaga. A t id pontbeli értékét az alábbi módon fejezhetjük ki: Y (t) = N w i S i (t) (1.2) i=1 Az i. értékpapír árfolyamának megváltozását jelölje X i (t), X i (t) = S i (t + t) S i (t), így a portfólió értékének megváltozása ebben az id szakban X(t) = Y (t + t) Y (t) 7 N w i X i (t) (1.3) i=1

8 X i (t) árfolyamingadozások stacionáriusak, és többváltozós normális eloszlást követnek. A hozamok várható értéke és kovariancia mátrixa a következ : µ i = E[X i ] (1.4) σ ij = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ]. (1.5) A kovariancia mátrix szigorúan pozitív denit. Egy w portfólió hozamának µ p várható értéke és σp 2 varianciája: N µ p = w i µ i, (1.6) σ 2 p = N i=1 i=1 N σ ij w i w j, (1.7) j=1 Tehát, ha a befektet racionálisan gondolkodik, akkor az azonos várható hozamú portfóliók közül azokat választja, amelyek hozamának kisebb a szórása, vagy az azonos szórásúak közül a nagyobb várható hozamúakat. A hatékony portfóliót a következ Markov feladat adja meg: min w R N N i=1 N σ ij w i w j, (1.8) j=1 N w i µ j = µ, (1.9) i=1 N w i = 1, (1.10) i=1 Ez egy feltételes széls érték probléma (feltételes optimalizációs feladat), ahol az (1.8) feladat megoldásait határportfóliónak nevezzük. Lásd: 1.1 ábtát. A Markowitz-féle portfólióválasztási modellnek lényege, hogy a befektetést diverzikáljuk ábra. Portfólió [9] 8

9 Deníció 1.6 A diverzikáció egy befektet i magatartás, amely a portfólió kockázatának csökkenésére irányul, mégpedig a portfólióban szerepl értékpapírok számának növelésével. Tegyük fel hogy X és Y hozammal rendelkez befektetési eszközök, kombinációjuk azért kevésbé kockázatos mint külön-külön, mert annak a valószín sége, hogy a két befektetés egyszerre veszteséges, általában kisebb, mint annak, hogy csak az egyik, vagy csak a másik veszteséges (kivéve, ha tökéletesen korreláltak, mert akkor egyszerre veszteségesek, vagy egyszerre nyereségesek.) 9

10 2. fejezet Kockázati mértékek Az el z fejezetben felvázolt probléma megoldására több alkalmas modell is született. Az alábbiakban bevezetjük a kockázat mértékeit, majd bemutatok néhány, a hatékony portfólió kialakítására alkalmas modellt. A fejezetben deniált kockázati mértékeket, illetve a modellek bemutatásához szükséges információkat a [6], [3] illetve [4] források felhasználásával gy jtöttem. A pénzügyek kulcstényez je a bizonytalanság. Bizonytalanságról beszélünk, ha nem tudjuk, mi fog bekövetkezni, kockázatról, ha ismerjük valamely esemény lehetséges kimeneteleit, és azok bekövetkezési valószín ségét is. A pénzügyi döntések egyik alapeleme a kockázat meghatározása, számszer sítése. A döntések során különböz kockázatú és hozamú lehet ségekb l kell kiválasztani egy legmegfelel bbet. A kockázatosság nem feltétlenül negatív, mint általában a hétköznapi megközelítésben. A pénzügyi szakirodalom egyik alapelve ezt úgy fogalmazza meg, hogy egységnyi biztos pénz értékesebb, mint egységnyi kockázatos pénz. A pénzügy egyik f kérdése, hogy olyan eszközöket biztosítson, amelyek lehet vé teszik pénzügyi eszközök és kiváltképp portfóliók összehasonlítását, értékelését és kockázatosságuk jellemzését. A pénzügyi eszközökhöz és portfóliókhoz rendelt, a kockázatot jellemz mutatószámokat fogom a továbbiakban kockázati mértékeknek nevezni. A klasszikus mutatók nem igazán adnak információt az eszközök kockázatosságáról (pl: price/earing). Számos kockázati mérték jelent meg az irodalomban. Ezek közül a Value at Risk terjedt el a leginkább, mind elméletben, mind gyakorlatban. Számos pénzpiaci, pénzintézeti törvény megköveteli a pénzintézetekt l és esetleg egyéb piaci szerepl kt l ennek számítását, és ezzel kapcsolatos szabályok betartását. A kockázati mértékeket valószín ségi változók egy halmazán értelmezhetjük, hiszen ha adott egy portfólió, befektetés, vagy értékpapír, akkor egy valószín ségi változó mutatja az abból származó jöv beli veszteséget. Deníció 2.1 Legyen ξ egy valószín ségi változó, amely egy adott értékpapír hozamát (árfolyam-változását) reprezentálja a t és t + t id pontok között. Az ilyen ξ valószín ségi változók halmazát jelölje Ω. Kockázati mérték alatt egy ρ : Ω R funkcionált értünk, és azt mondjuk, hogy az ξ hozamú értékpapír kockázata ρ(ξ). 10

11 A deníció önmagában nem jelent sokat, mivel ρ nagyon sokféle funkcionál lehet. A helyes megválasztáshoz gyelembe kell venni, hogy az egyes piaci szerepl k milyen célból szeretnék jellemezni a kockázatot. Néhány fontos szempont: kockázat, mint bizonytalanság mértéke (kockázat Markowitz-féle megközelítése), kockázat, mint potenciális veszteségek mértéke (baj vele, hogy a befektet ket csak a váratlan veszteség zavarja, a váratlan nyereség nem), diverzikációs elv (t kemegosztás többféle befektetés közt), összegezhet ség és összehasonlíthatóság, t kemegfeleltetés (könnyen mozgósítható szavatoló t ke tartalékolás a cs d elkerülése végett) Szórás A legalapvet bb kockázati mérték a szórás. Deníció 2.2 A hozam varianciája a várható piaci hozamtól való eltérés négyzetének várahtó értéke. Jelölés: σ 2 Deníció 2.3 A szórás a variancia négyzetgyöke. Jelölés: σ A szórás normális eloszlású hozamok mellett jól méri a bizonytalanságot, és ösztönzi a diverzikációt. Így mindenféle befektetés kiszámítható, összegezhet és összehasonlítható. Viszont a normális eloszlást elvetve, gyengén jellemzi a kockázatot. Nem tesz különbséget a nyereségek és veszteségek közt, így nem mutatja meg a befektetés veszteségének nagyságát. A szórás csak szimmetrikus, véges varianciájú eloszlásokra elfogadható kockázati mérték. A szórás el nyei: Szemléletes jelentés, a jöv beli megtérülés bizonytalanságát méri. Az ered kockázat több, akár nagyon eltér jelleg befektetésre is meghatározható. Konvex, tehát a diverzikáció hatására csökken. A portfóliósúlyoknak jól kezelhet (pl. dierenciálható) függvénye. A szórás hátrányai: Nem minden eloszlásra létezik. Az eloszlás szélére nem elég érzékeny. Nem tesz különbséget nyereség és veszteség között. 11

12 2.2. A kockáztatott érték: VaR A szórás helyettesítésére az egyik vezet bank (J.P. Morgan) kutatócsoportjának javaslatára a szakma a kockáztatott értéket (value at risk, általánosan használt rövidítéssel VaR) fogadta el a kockázat mér számának. A '80-as évek óta ez az egyik legnépszer bb kockázati mérték. A VaR a várható legnagyobb veszteséget méri adott id távon, adott biztonsági szint (kon- dencia szint) mellett. A kondencia szintet jelölje α. Tipikus értéke a gyakorlatban nagyobb, mint 90% (pl. 95% vagy 99%) Példa 2.4 Képzeljük el, hogy VaR(95%,1 nap) = 100 Ft, azaz egy portfólió 1 napos VaR-ja 100 Ft 99% -os kondenciaszint mellett. Mit jelent ez? Kétféle megközelítés lehetséges: Normál piaci körülmények között az adott portfóliót tekintve, egy napos id távra 5% -os valószín séggel várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt nevezzük pesszimista megközelítésnek. Normál piaci körülmények között 95% annak a valószín sége, hogy egy nap alatt nem várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt pedig optimista megközelítésnek nevezzük. A kés bbiekben a pesszimista megközelítést az alsó VaR adja (mely az alsó 5% közül a legjobb kimenetel), míg az optimistát a fels VaR (mely a fels 95% közül a legrosszabb kimenetel). Most rátérek a precíz denícióra, ahol a követket jelöléseket használom: Egy ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye F ξ, azaz F ξ (γ) = P(ξ < γ) Deníció 2.5 Legyen ξ egy valószín ségi változó, α (0, 1). Ekkor az ξ alsó α - kvantilise és az ξ fels α - kvantilise. q α (ξ) = sup{γ F ξ (γ) < α} (2.1) q α (ξ) = inf{y F ξ (γ) > α} (2.2) Ha ξ egy portfólió protját leíró valószín ségi változó egy valószín ségi mez n és α (0, 1), akkor ξ alsó α- Value at Risk értéke: míg ξ fels α- Value at Risk értéke: V ar α (ξ) = q α (ξ), (2.3) V ar α (ξ) = q α (ξ). (2.4) Megjegyzés 2.6 A mínusz el jel azért kell, mert a veszteségekhez pozitív kockázatot rendelünk. Megjegyzés 2.7 Diszkrét eloszlások esetén a kvantilis értéke nem mindig egyértelm, ezért szokás külön deniálni az alsó VaR-t és fels VaR-t. Az alsó és felsó VaR értéke nem feltétlenül egyezik meg, de abszolút folytonos eloszlások esetén egyenl a két érték. 12

13 Lemma 2.8 és q α (ξ) = q 1 α ( ξ) (2.5) q α (ξ) = q 1 α ( ξ) (2.6) Bizonyítás: A kvantilisek más alakban is megadhatók, így kapjuk, hogy q α (ξ) = inf{γ F ξ (γ) α}, illetve q α (ξ) = sup{γ F ξ (γ) α}. Jelölje F ξ az eloszlásfüggvény jobbról folytonos változatát, így F ξ = P(ξ z). Ekkor, ha a el bbi denícióban y F ξ (γ) = P(ξ < γ) eloszlásfüggvényt helyettesítenénk az y F ξ (γ) = P(ξ γ) függvénnyel, az q α (ξ) és q α (ξ) értét nem változtatná. q α (ξ) = inf{γ F ξ (γ) > α} = inf{γ P( ξ γ) < 1 α} = sup{ γ P( ξ γ) < 1 α} = sup{γ F ξ (γ) < 1 α} = q 1 α ( ξ). Azt mondjuk, egy befektetés VaR-ja α kondenciaszinten az α százaléknyi legjobb eset közül a legrosszabb esetben elszenvedett veszteség. Más lehetséges megfogalmazások: Az a pénzösszeg, amelynél többet csak 1 α valószín séggel veszíthetünk. Az 1 α százaléknyi legrosszabb eset közül a legjobb esetben elszenvedett veszteség. Megjegyzés 2.9 A VaR a hozameloszlás kvantilise. A VaR el nyei: Kifejezetten a veszteségekre koncentrál. Tetsz leges eloszlásra létezik. Az ered kockázat tetsz leges jelleg befektetések kombinációjára meghatározható. A kockázatot pénzveszteségben fejezi ki. 13

14 A VaR hátrányai: A portfóliósúlyok nemdierenciálható függvénye. Nem konvex. A VaR-nál nagyobb veszteségek eloszlása nem számít. Az utóbbi két hiányosság igen súlyos. Megjegyzés 2.10 Hátrányai miatt a VaR általában alkalmatlan a kockázat mérésére. Ennek ellenére a gyakorlatban és a szabályzásban széleskör en alkalmazzák CVaR Az elmúlt néhány évben akadémiai körökben egyre több oldalról érte bírálat a VaR-t mint kockázati mértéket. Sok kutató illetve kutatócsoport tett javaslatot, hogy kiküszöböljék a VaR legnyilvánvalóbb hibáját, a konvexitás hiányát. Az egyik legegyszer bb VaR-ra épül kockázati mérték, amely konvex is, a feltételes VaR, másnéven CVaR. A rövidítés a Conditional Value-at-Risk szóból származik. Deníció 2.11 A CVaR a VaR-nál nagyobb veszteségek átlaga, a VaR-t is beleértve. Példa 2.12 A VaR megmutatja, hogy adott id távon és kondenciaszinten maximum mekkora lehet a veszteség nagysága. Az el bbi példához h en legyen α = 0,95. Pesszimista néz pontból azt mondjuk, hogy 5% -os eséllyel lesz a VaR által mért kvantilisnél nagyobb a veszteség. Ekkor arra is kíváncsiak vagyunk, hogy ha bekövetkezik az 5% -os esemény, akkor mekkora lesz a veszteség várható értéke, átlagos nagysága. A VaR-hoz hasonlóan itt is létezik alsó és fels CVaR, melyeket a következ képpen deniálunk: CV ar α (ξ) = E[ξ ξ V ar α (ξ)], (2.7) ahol ξ a vizsgált befektetés hozama. CV ar α (ξ) = E[ξ ξ V ar α (ξ)], (2.8) Megjegyzés 2.13 CV ar α (ξ) V ar α (ξ), (2.9) CV ar α (ξ) V ar α (ξ), (2.10) CV ar α (ξ) V ar α (ξ), (2.11) továbbá CV ar α (ξ) = CV ar α (ξ) pontosan akkor ha V ar α (ξ) = V ar α (ξ) A CVaR f el nye a VaR-ral szemben, hogy nemcsak a veszteségek 1 α-kvantilisét veszi gyelembe, hanem az annál nagyobb veszteségeket is, így érzékeny az extrém eseményekre. 14

15 2.1. ábra. VaR és CVaR [2] 15

16 3. fejezet Modell LP formátumban Ebben a fejezetben a [2] és [5] források voltak segítségemre. Deníció 3.1 Az olyan feltételes széls érték-feladatot, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenl tlenségek, és egy lineáris függvény széls értékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük. (LP) Megjegyzés 3.2 Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük. Az operációkutatás különböz modelljeinek tényleges megoldása hosszadalmas, ezért ezen megoldási eljárásokra különböz számítógépes programcsomagokat készítettek, amelyek különböz hatékonysággal használhatók. Ezek egyike az EXCEL táblázatkezel ben található SOLVER beépül makró. A Solver a lineáris programozási feladat megoldásához a szimplex algoritmust alkalmazza. Hátránya, hogy nem tud nagyobb méret vektorváltozókkal számolni. Ezt a problémát kiküszöbölhetjük OpenSolver, vagy OpenOce.org programmal. Ez utóbbi programcsomagnak a része az OpenOce.org Calc, ami egy táblázatkezel program. Segítségével számításokat, matematikai, pénzügyi elemzéseket végezhetünk, grakusan ábrázolhatjuk számadatainkat. A második lehet séget, az OpenSolver programcsomagot fogom használni ábra. OpenSolver felület 16

17 3.1. cvar-os modell A következ jelöléseket vezetem be: ξ i : az i-edik részvény éves hozama (valószín ségi változó) x i az i-edik részvény súlya a portfólióban r i az i-edik értékpapír várható hozama r i = E(ξ i ) σ i normális szórása a nyereség visszatérülésének ρ ij korrelációs együttható ρ = cov(x,y ) D(X)D(Y ) Q ij variancia-kovariancia mátrix, ahol cov(x, Y ) = E((X r X )(Y r Y )) Várható hozamot és varianciát a következ képpen számolunk E[x] = r 1 x r n x n = r T x V ar[x] = i,j ρ ij σ i σ j x i x j = x T Qx További jelölések: f(x, ξ) = ξ T x : nyereségfüggvény f(x, ξ) = ξ T x : veszteségfüggvény p s r ségfüggvény Optimalizációs probléma: Többféle modell közül választhatunk max E[f(x, ξ)] x tekintve, hogy CV ar α [ f(x, ξ)] ν (3.1) x 0 min CV ar α [ f(x, ξ)] x tekintve, hogy E[f(x, ξ)] ρ (3.2) x 0 Mi most a (3.2)-vel dolgozunk. max E[f(x, ξ)] x tekintve, hogy CV ar α1 [ f(x, ξ)] ν 1 (3.3) CV ar α2 [ f(x, ξ)] ν 2 x 0 Hogy tudjuk formalizálni és megoldani ezt a problémát? 17

18 Rockafellar és Uryasev bebizonyították, hogy ezt a feladatot meg lehet oldani a következ képpen: tudjuk, hogy ahol z + = max{z, 0} CV ar α (f(x, ξ)) = V ar α + E[f(x, ξ) V ar α ] + (3.4) 1) Diszkrét esetben ez azt jelenti, hogy CV ar α (f(x, ξ)) = V ar α + N p(ξ)[f(x, ξ) V ar α ] +. (3.5) ξ=1 2) Abszolút folytonos esetben pedig CV ar α (f(x, ξ)) = V ar α + [f(x, ξ) V ar α ] + p(ξ)dξ. (3.6) Legyen F α (x, γ) = γ α ekkor a következ állítás igaz: Állítás 3.3 Minimalizáljuk F α (x, γ)-t. Diszkrét eloszlás esetén: CV ar α (f(x, ξ)) = min γ F α (x, γ) min CV ar α (f(x, ξ)) = min F x α(x, γ) x,γ ξ ξ k, ahol ξ k már nem valószín ségi változó, hanem felvett érték. ahol z k 0 és k = 1,..., N. p(ξ) p k, N p k = 1 k=1 f(x, ξ) f(x, ξ k ) F α (x, γ) = γ + 1 N [f(x, ξ k ) γ] + 1 α [f(x, ξ) γ] + p(ξ)dξ (3.7) k=1 [f(x, ξ k ) γ] + z k f(x, ξ k ) γ, 18

19 Maga a feladat: Plusz feltételek: min γ + 1 N p k z k 1 α k=1 min CV ar α ( ξ T x) z k ξ kt x γ z k 0 r T x ρ 1 T x = 1 x 0 (3.8) Amire szükségünk van: p k és ξ k 19

20 4. fejezet Gyakorlati példa Az utolsó fejezetben a felírt problémát oldom meg. A megoldáshoz a Budapesti Értékt zsde bizonyos részvényeit fogom felhasználni. A modellek gyakorlati alkalmazásához szükséges adatok megszerzéséhez a [8] forrást használtam, míg az algoritmusok m ködéséhez a [2]-t vettem útmutatóul. A gyakorlati alkalmazáshoz nagy segítséget nyújtott a [7] oldal Adatok példa A példában három részvénnyel foglalkoztam, olyan részvényeket választottam, amik már legalább 10 éve jelen vannak a t zsdén. A megoldáshoz és azok elemzéséhez szükséges adatokat a Budapesti Értékt zsde honlapjának adatbázisából gy jtöttem. Havi adatokkal számoltam. A BÉT oldalán felmerül problémákkal a szakdolgozat nem foglalkozik. A kiválasztott három részvény: a) DANUBIUS b) OTP c) ZWACK Ezen három részvény havi hozamát kiszámoltam a letöltött adatokból. Jelölje r a havi hozamot, ahol p α a hó eleji árat és p ω a hó végi árat, így a képlet amivel számoltam: r = p ω p α p α, (4.1) Ezek az értékek nem teljesen pontosak, mert a letöltött adatokban a hóvégi és hó eleji maximum árral dolgoztam az egyszer ség kedvéért. Minden részvényhez 120 eredményt kaptam, mivel a 2002.márciustól 2012.februárig vizsgáltam az adatokat. Lásd 4.1 ábrát. 20

21 4.1. ábra. Havi hozamok A feladat mérete miatt sajnos csak kiragadott részletek bemutatására van esély. Itt a különböz színek a különböz értékpapírok adatait jelölik. Majd az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam úgy, hogy a következ tartományokat kaptam: (Lásd 4.1 táblázatot.) DANUBIUS OTP ZWACK 1 0, 1251 r < 0, , 8810 r < 0, , 1854 r < 0, , 1057 r < 0, , 8150 r < 0, , 1617 r < 0, , 0668 r < 0, , 6832 r < 0, , 1143 r < 0, , 0279 r < 0, , 5514 r < 0, , 0669 r < 0, , 0110 r < 0, , 4196 r < 0, , 0195 r < 0, , 0499 r < 0, , 2878 r < 0, , 0279 r < 0, , 0888 r < 0, , 1560 r < 0, , 0753 r < 0, , 1277 r < 0, , 0242 r < 0, , 1227 r < 0, , 1666 r < 0, , 1077 r < 0, , 1701 r < 0, , 2055 r 0, , 2395 r 0, , 2176 r 0, táblázat. Intervallumokhoz 1-t l 10-ig értékeket rendelünk 21

22 Ezután az el bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t l 10-ig a számokat. Így a következ adatsorokat kaptam: (Lásd 4.2 ábrát.) 4.2. ábra. Havi hozamok értékadással Ezeket az értékeket oszlopok szerint növekv sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam, hogy az adott kombináció hányszor fordult el, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat. Tudjuk, hogy relatív gyakoriság = 1. Lásd 4.3 ábrát. 22

23 4.3. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása Majd a 2-t l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-es tartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.2 táblázatot kaptam: 23

24 DANUBIUS OTP ZWACK 1-0,1251-0,8810-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2249 0,3054 0, táblázat. Értékekhez rendelt középpontok Erre visszaírva az értékeket, kaptam a 4.4 -es ábrát: 4.4. ábra. Táblázat az átírt adatokkal 24

25 Ezután felírható a feladat kezdeti állapota. Az ábra némi magyarázatot igényel. Az el bbi ábrát b vítettem. A jobb áttekinthet ség érdekében a lényeges mez ket különféle színekkel színeztem. El ször is felvettem egy α értéket F1 mez be. Ez a kondencia szintet jelöli. Majd egy ρ értéket J1 mez be. Ez a ρ jelöli az elvárt hozamot. A portfólióban szerepl részvények súlyozása (x) az L25, L26, L27 mez kben található, kezdetben ez az érték 0. A portfólió hozammátrixa a G4 - I24 mez kben lett eltárolva. A várható hozamvektor (µ) értékeit G25 - I25 mez kben rögzítettem. Változók még a z k értékek, ezeket L4 - L24 mez kbe írtam és kezdetben 0-ra állítottam. A feltételeket a Q4 - S24 mez kben tárolom. A Q26 - S26 mez k rzik a helyes súlyozásra vonatkozó feltételt (1 T x = 1). Végül pedig Q2-es mez be a célfüggvényt írtam. Most kiszámítjuk a modellt α =0,9-re. Lásd 4.5 ábrát. 25

26 ábra. A modell α =0,9-re

27 Ez az eredmény nem egészen azt adta, amit vártunk. Azt szerettem volna, ha megadja, hogy a különböz értékpapírokból milyen súllyal vegyünk. De nekem csak egy értékpapírt javasol példa Próbálkozok három másik értékpapírral. Hátha az volt az el bbiekkel a probléma, hogy nagyon egyszerre mozogtak. Az újabb három részvény: a) EGIS b) FOTEX c) MOL Ugyanazokat a lépéseket hajtottam végre, mint az el bb. Kiszámoltam a havi hozamokat. Lásd 4.6 ábrát ábra. Havi hozamok Az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam. (Lásd 4.3 táblázatot.) 27

28 EGIS FOTEX MOL 1 0, 4261 r < 0, , 3066 r < 0, , 1755 r < 0, , 3839 r < 0, , 2390 r < 0, , 1502 r < 0, , 2995 r < 0, , 1040 r < 0, , 0996 r < 0, , 2151 r < 0, , 0311 r < 0, , 0489 r < 0, , 1307 r < 0, , 1662 r < 0, , 0017 r < 0, , 0464 r < 0, , 3013 r < 0, , 0523 r < 0, , 0380 r < 0, , 4363 r < 0, , 1029 r < 0, , 1224 r < 0, , 5714 r < 0, , 1536 r < 0, , 2068 r < 0, , 7065 r < 0, , 2042 r < 0, , 2911 r 0, , 8416 r 0, , 2548 r 0, táblázat. Intervallumokhoz 1-t l 10-ig értékeket rendelünk Ezután az el bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t l 10-ig a számokat. (Lásd 4.7 ábrát.) 4.7. ábra. Havi hozamok értékadással Majd a kapott értékek oszlopait növekv sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam, hogy az adott kombináció hányszor fordult el, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat. Tudjuk, hogy relatív gyakoriság = 1. (Lásd 4.8 ábrát.) 28

29 4.8. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása Majd a 2-t l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-es tartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.4 táblázatot kaptam: EGIS FOTEX MOL 1-0,4260-0,3065-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3333 0,9090 0, táblázat. Értékekhez rendelt középpontok Erre visszaírva az értékeket, kaptam a következ t: (Lásd 4.9 ábrát.) 29

30 4.9. ábra. Táblázat az átírt adatokkal Ezután felírható a feladat kezdeti állapota. Most kiszámítom a modellt α =0,9-re. Lásd 4.10 ábrát. Ekkor is csak egy értékpapírt kínál nekem. Hogy megbizonyosodjak a modell jóságáról, kiszámolom α =0,1-re. Lásd 4.11 ábrát. Az eredmény itt már kicsit jobban hasonlít a várthoz. Itt már két értépapírt kínál fel, különböz súlyokkal. EGIS részvényb l 86,6% -ot míg MOL részvényb l 13,4% -ot. Ezzel már csak az a probléma, hogy α-t 90% körülinek kellene választanunk, hogy a korábbiakban leírt CVaR modell jóságát belássuk, és ennél az utolsó példánál mi α = 10% -ra néztük. 30

31 ábra. A modell α =0,9-re

32 ábra. A modell α =0,1-re

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése

A pénzügyi kockázat mérése és kezelése A pénzügyi kockázat mérése és kezelése Varga-Haszonits István Gazdasági Fizika Téli Iskola, 2009. január 31. Áttekintés 1 Bevezetés 2 A portfólióválasztási probléma 3 Kockázati mértékek 4 A hatékony portfóliók

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Kockázati Mértékek Instabilitása

Kockázati Mértékek Instabilitása Kockázati Mértékek Instabilitása Doktori értekezés Varga-Haszonits István Témavezető: Dr. Kondor Imre DSc, egyetemi tanár ELTE TTK Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék ELTE TTK Fizika Doktori Iskola Iskolavezető:

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No. 1. Nagy Tamás - Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 2002 Nagy Tamás - Klafszky Emil: SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Pénzügytan szigorlat

Pénzügytan szigorlat GF KVIFK Gazdaságtudományi Intézet Pénzügy szakcsoport Pénzügytan szigorlat 5 32 36 pont jeles 27,5 31,5 pont jó 23 27 pont közepes 18,5 22,5 pont elégséges 18 pont elégtelen Név: Elért pont: soport: Érdemjegy:

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Atomi er mikroszkópia jegyz könyv

Atomi er mikroszkópia jegyz könyv Atomi er mikroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc III. Mérés vezet je: Szabó Bálint Mérés dátuma: 2010. október 7. Leadás dátuma: 2010. október 20. 1. Mérés leírása A laboratóriumi mérés

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével

Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével Szakdolgozat Tóth Ádám Matematika B.Sc., elemz szakirány Témavezet : Mádi-Nagy Gergely,

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Modern vállalati pénzügyek tárgyból Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Modern vállalati pénzügyek tárgyból az alap levelező képzés Gazdasági agrármérnök V. évf. Pénzügy-számvitel

Részletesebben

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet :

Opciók árazása. Szakdolgozat. Írta: Kiss Valéria. Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány. Témavezet : Opciók árazása Szakdolgozat Írta: Kiss Valéria Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Matits Ágnes Az önkéntes nyugdíjpénztárak teljesítményének értékelése

Matits Ágnes Az önkéntes nyugdíjpénztárak teljesítményének értékelése Matits Ágnes Az önkéntes nyugdíjpénztárak teljesítményének értékelése Az értékelés módszere A pénztári tevékenység értékeléséhez a költségszintek, a tartalékolás, a vagyonkezelés hatékonysága, valamint

Részletesebben

Jó befektetési lehetőség kell? - Ebben van minden, amit keresel

Jó befektetési lehetőség kell? - Ebben van minden, amit keresel Jó befektetési lehetőség kell? - Ebben van minden, amit keresel 2014.11.18 14:17 Árgyelán Ágnes A jelenlegi hozamsivatagban különösen felértékelődik egy-egy jó befektetési lehetőség. A pénzpiaci- és kötvényalapok

Részletesebben

Az eszközalap tervezett befektetési korlátai: Eszközcsoport Minimális arány Maximális arány Megcélzott arány. Mögöttes befektetési alap 90% 100% 100%

Az eszközalap tervezett befektetési korlátai: Eszközcsoport Minimális arány Maximális arány Megcélzott arány. Mögöttes befektetési alap 90% 100% 100% AEGON TEMPÓ ALLEGRO 10 Az eszközalap kizárólag az Aegon Magyarország Befektetési Alapkezelő Zrt. által kezelt, forintban denominált Aegon Tempó Allegro 10 Alapokba Aegon Tempó Allegro 10 Alapok Alapja

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

Pénzügytan szigorlat

Pénzügytan szigorlat GF KVIFK Gazdaságtudományi Intézet Pénzügy szakcsoport Pénzügytan szigorlat 8 32 36 pont jeles 27,5 31,5 pont jó 23 27 pont közepes 18,5 22,5 pont elégséges 18 pont elégtelen Név:. Elért pont:. soport:.

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet. Treasury termékei és szolgáltatásai. Lakossági Ügyfelek részére

Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet. Treasury termékei és szolgáltatásai. Lakossági Ügyfelek részére Körmend és Vidéke Takarékszövetkezet Treasury termékei és szolgáltatásai Lakossági Ügyfelek részére 1 TARTALOMJEGYZÉK 1. Befektetési szolgáltatások és termékek... 3 1.1 Portfoliókezelés... 3 2. Pénz-és

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Biztosítók kockázatdiverzifikációja

Biztosítók kockázatdiverzifikációja Közgazdasági Szemle, LVII. évf., 00. július augusztus (634 65. o.) SZÜLE BORBÁLA Biztosítók kockázatdiverzifikációja A biztosítók működését általában több homogén részállományból összetevődő heterogén

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek

Többszempontú döntési módszerek XI. előadás Többszempontú döntési módszerek Mindennapi tapasztalat: döntési helyzetbe kerülve több változat (alternatíva) között kell (lehet) választani, az alternatívákat kölönféle szempontok szerint

Részletesebben

Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás

Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás Iceberg ajánlatok a BÉT-en Összefoglalás A Xetra kereskedési rendszer bevezetésével a Budapesti Értéktőzsdén is elérhetővé váltak az iceberg ajánlatok. Az új ajánlattípus bevezetésekor a Kereskedési Bizottságon

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

E, 130 e Ft örökké amely évente 5%-kal növekszik (az első pénzáramlás egy év múlva)

E, 130 e Ft örökké amely évente 5%-kal növekszik (az első pénzáramlás egy év múlva) 1. Feladat 1B video - Hozamgörbe,átváltás 2:30 Ma elhelyezünk bankbetétbe 100 Ft-ot és egy hónap múlva 102 Ft-ot kaphatunk kézhez. Mekkora a havi kamatláb és az éves kamatláb? Mekkora a havi hozam és az

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK SZAKDOLGOZAT Írta: Kiss Blanka Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezet : Prokaj Vilmos egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

A vállalati pénzügyi döntések fajtái

A vállalati pénzügyi döntések fajtái A vállalati pénzügyi döntések fajtái Hosszú távú finanszírozási döntések Befektetett eszközök Forgóeszközök Törzsrészvények Elsőbbségi részvények Hosszú lejáratú kötelezettségek Rövid lejáratú kötelezettségek

Részletesebben

SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK

SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1. Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK Budapest 00 Nagy Tamás Klafszky Emil SZTOCHASZTIKUS JELENSÉGEK OPERÁCIÓKUTATÁS No.1 Szerkeszti: Komáromi Éva Megjelenik a Budapesti

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Túlreagálás - Az átlaghoz való visszatérés

Túlreagálás - Az átlaghoz való visszatérés Kerényi Péter http://www.cs.elte.hu/ keppabt 2011. április 7. T kepiaci hatékonyság 1. Fama: Ecient Capital Markets: a Review of Theory and Empirical Work Egységes modellé gyúrta a korábbi eredményeket.

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 A NÖVÉNYTERMESZTÉSI ÁGAZATOK ÖKONÓMIÁJA

Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 A NÖVÉNYTERMESZTÉSI ÁGAZATOK ÖKONÓMIÁJA Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 A NÖVÉNYTERMESZTÉSI ÁGAZATOK ÖKONÓMIÁJA 11. Előadás Az üzleti terv tartalmi követelményei Az üzleti terv tartalmi követelményei

Részletesebben

Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport SZAKDOLGOZAT. Fertői Ferenc

Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport SZAKDOLGOZAT. Fertői Ferenc Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport SZAKDOLGOZAT Fertői Ferenc 2010 Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport 3-dimenziós táj generálása útvonalgráf alapján Szakdolgozat Készítette:

Részletesebben

Tizedik lecke Megtakarítás és befektetés

Tizedik lecke Megtakarítás és befektetés Tizedik lecke Megtakarítás és befektetés A takarékosságot eszköznek tekintsd arra, hogy mindig független légy az emberektől, ami tisztességed megóvásának nélkülözhetetlenebb feltétele, mintsem hinnéd.

Részletesebben

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok PÉNZPIACI befektetési eszközalap portfólió Benchmark: RMAX Típus: Rövid lejáratú állampapír Árfolyam 1,638 HUF/egység Valuta HUF Portfolió nagysága 8 180 498 608 HUF Kockázati besorolás: alacsony A bemutatott

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Vállalati pénzügyek tantárgyból BA alapszak levelező tagozat számára Emberi erőforrások Gazdálkodás

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

OsztalékÞ zetési politika a különböz méret mez gazdasági vállalkozásoknál

OsztalékÞ zetési politika a különböz méret mez gazdasági vállalkozásoknál 42 GAZDÁLKODÁS 57. ÉVFOLYAM 1. SZÁM, 2013 OsztalékÞ zetési politika a különböz méret mez gazdasági vállalkozásoknál BELOVECZ MÁRIA BORSZÉKI ÉVA Kulcsszavak: adózott eredmény, Þ zetett osztalék, mez gazdaság,

Részletesebben

VÁLLALKOZÁSOK PÉNZÜGYI ALAPJAI

VÁLLALKOZÁSOK PÉNZÜGYI ALAPJAI VÁLLALKOZÁSOK PÉNZÜGYI ALAPJAI Budapest, 2007 Szerző: Illés Ivánné Belső lektor: Dr. Szebellédi István BGF-PSZFK Intézeti Tanszékvezető Főiskolai Docens ISBN 978 963 638 221 6 Kiadja a SALDO Pénzügyi Tanácsadó

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Pénzügyi számítások. 7. előadás. Vállalati pénzügyi döntések MAI ÓRA ANYAGA. Mérleg. Rózsa Andrea Csorba László FINANSZÍROZÁS MÓDJA

Pénzügyi számítások. 7. előadás. Vállalati pénzügyi döntések MAI ÓRA ANYAGA. Mérleg. Rózsa Andrea Csorba László FINANSZÍROZÁS MÓDJA Pénzügyi számítások 7. előadás Rózsa Andrea Csorba László Vállalati pénzügyi döntések Hosszú távú döntések Típusai Tőke-beruházási döntések Feladatai - projektek kiválasztása - finanszírozás módja - osztalékfizetés

Részletesebben

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok

A befektetési eszközalap portfolió teljesítményét bemutató grafikonok PÉNZPIACI befektetési eszközalap portfólió Benchmark: RMAX Típus: Rövid lejáratú állampapír Árfolyam 1,657HUF/egység Valuta HUF Portfolió nagysága 7 625 768 268 HUF Kockázati besorolás: alacsony A bemutatott

Részletesebben

A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Matematikai Intézet 2010/2011 Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék 1. Szabadon választható téma. Témavezet : A tanszék bármelyik oktatója, vagy (a tanszékvezet

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Károly Róbert Fıiskola Gazdaság és Társadalomtudományi Kar tudományos közleményei Alapítva: 2011

Károly Róbert Fıiskola Gazdaság és Társadalomtudományi Kar tudományos közleményei Alapítva: 2011 Károly Róbert Fıiskola Gazdaság és Társadalomtudományi Kar tudományos közleményei Alapítva: 2011 ͳ ȋͳȍ ACTA CAROLUS ROBERTUS 1 (1) A KÁROLY RÓBERT BEFEKTETÉSI CSOPORT PORTFOLIÓJÁBAN MEGJELENİ KOCKÁZAT

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAM-SÁVHOZ KÖTÖTT HOZAMFELHALMOZÓ (RANGE ACCRUAL) STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAM-SÁVHOZ KÖTÖTT HOZAMFELHALMOZÓ (RANGE ACCRUAL) STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAM-SÁVHOZ KÖTÖTT HOZAMFELHALMOZÓ (RANGE ACCRUAL) STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL Termékleírás A Hozamfelhalmozó (Range Accrual - RAC) strukturált befektetések esetében a hozam

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 10. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 3. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 10. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 3. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 3. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra)

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) VÁLLALATI PÉNZÜGYEK III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár Részvény: olyan lejárat nélküli értékpapír, amely a társasági tagnak: 1) az alaptőke

Részletesebben

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem 13. előadás Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Statisztikai alapfogalmak Populáció, hisztogram, átlag, medián, szórás,

Részletesebben