Online algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
|
|
|
- Adél Szabó
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
2 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként ismerjük meg: a döntésünket a már megkapott információ alapján, a további adatok ismerete nélkül kell meghoznunk. Ezekben az esetekben online problémáról beszélünk. Els eredmények: 1970-es évek. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
3 Fogalmak Deníció Oine algoritmusok: a teljes bemenet el re adott. Deníció Online algoritmusok: a bemenet csak részekben lesz ismert. Az online algoritmusok hatékonyságának vizsgálatára két alapvet módszer ismert. Átlagos eset elemzése Versenyképességi elemzés Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
4 Átlagos eset elemzése Valószín ségi eloszlást használunk a bemenetek terén. A célfüggvénynek az erre az eloszlásra vonatkozó várható értékét vizsgáljuk. Hátrány: általában nincs információnk err l az eloszlásról. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
5 Versenyképességi elemzés [1] Elterjedtebb: mi is ezt fogjuk használni. Legrosszabb-eset alapú megközelítés. Az online algoritmus által kapott megoldás célfüggvényértékét hasonlítjuk össze az optimális oine célfüggvényértékkel. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
6 Versenyképességi elemzés [2] Egy tetsz leges ALG online algoritmusra az I bemeneten felvett célfüggvényértéket ALG(I )-vel fogjuk jelölni. Az I bemeneten felvett optimális oine célfüggvényértéket OPT (I )-vel jelöljük. Ezekkel a jelölésekkel leírhatjuk a C-versenyképesség denícióját. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
7 Versenyképességi elemzés [3] Deníció Egy minimalizálási feladatnál az ALG algoritmus C-versenyképes, ha ALG(I ) C OPT (I ) tetsz leges I bemenet esetén. Deníció Egy minimalizálási feladatnál az ALG algoritmus enyhén C-versenyképes, ha létezik olyan B konstans, hogy ALG(I ) C OPT (I ) + B tetsz leges I bemenet esetén. Deníció Egy algoritmus enyhe versenyképességi hányadosa az a C szám, amelyre az algoritmus enyhén C-versenyképes. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
8 Versenyképességi elemzés [4] A deníció hasonlóan értelmezhet maximalizálási problémák esetén is. Deníció Egy maximalizálási feladatnál az ALG algoritmus C-versenyképes, ha ALG(I ) C OPT (I ) tetsz leges I bemenet esetén. Deníció Egy maximalizálási feladatnál az ALG algoritmus enyhén C-versenyképes, ha létezik olyan B konstans, hogy ALG(I ) C OPT (I ) + B tetsz leges I bemenet esetén. Minimalizálandó függvény esetén C 1, míg maximalizálandó feladatnál C 1. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
9 Síbérlési feladat [1] Elmegyünk a téli szünetben síelni és minden nap síelünk, ha az id megengedi. De hogy az id alkalmas lesz-e a következ napon, illetve napokon a síelésre, azt nem tudjuk el re. Adott egy pár síléc, amit vagy bérelhetünk 1 egységért, vagy megvásárolhatunk B egységért, ahol B > 1 egész. Feladat: mikor vásároljuk meg a sílécet? Online: amikor egy napon el kell dönteni, béreljük vagy vásároljuk a sít, akkor nincs információnk arról, hogy a következ napokon is síelünk-e. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
10 Síbérlési feladat - V algoritmus [2] A bemenet egyetlen pozitív egész, ami megadja, hogy hány napig síelünk. Egy online algoritmus csak annyit tehet, hogy valahány napon keresztül bérli a sílécet, és ha addig nem hagytuk abba a síelést, akkor vásárol egyet. Azt az algoritmust, amely V 1 napig béreli a sít, aztán a V -edik napon megvásárolja, V algoritmusnak nevezzük. Tétel A V algoritmus V = B esetén (2 1 B )-versenyképes. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
11 A síbérlési feladat - Versenyképesség bizonyítása [3] Bizonyítás. A feladat I bemenete a napok száma, ameddig síelünk. Két eset lehetséges I függvényében: Ha I < B, azaz kevesebb napot síelünk, mint amennyi a sílécek ára, akkor mind az online algoritmusnak, mind pedig az optimális oine B(I ) algoritmusnak a költsége I, tehát OPT (I ) = 1. Ha I B, azaz legalább annyi napot síelünk, mint amennyi a sílécek ára, akkor OPT (I ) = B, míg B(I ) = B 1 + B = 2B 1, tehát B(I ) OPT (I ) = 2B 1 B = 2 1 B. Mivel mindkét esetben teljesül, hogy a vizsgált hányados legfeljebb 2 1 B, az állítást beláttuk. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
12 A síbérlési feladat -Versenyképesség [4] Tétel Nem létezik olyan online síbérlési algoritmus, melynek a versenyképességi hányadosa kisebb, mint 2 1 B. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
13 A síbérlési feladat - Versenyképesség bizonyítása [5] Bizonyítás. A V -algoritmusra mutatunk egy rossz bemenetet. Legyen a feladat bemenete V napnyi síelés, ekkor a költség V 1 + B. Hasonlóan, két esetünk van V értékét l függ en: Ha V < B, akkor az optimális költség V. Tehát a hányados: V 1+B V = 1 + B 1 V 2 > 2 1 B. Ha V B, akkor az optimális költség B. A hányadosunk: V 1+B B 2B 1 B. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
14 A síbérlési feladat általánosan [1] Tegyük fel, hogy van egy panziónk, ahol a szállóvendégek részére biztosítjuk a szükséges felszerelést. Egyszerre legfeljebb K vendég szállhat meg, azaz legfeljebb K darab sífelszerelésre van szükség. Kezdetben egy síléc sem áll rendelkezésre. A panzió kölcsönözhet egy napra egy pár sílécet 1 egységért, vagy megvásárolhat egyet B egységért. A kölcsönzés naponta történik, bármelyik nap vásárolhatnak bármennyit. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
15 A síbérlési feladat általánosan [2] Az nyilvánvaló, hogy nem érdemes K -nál több sílécet vásárolni. Kérdés: mikor vásárolja meg a panzió a K darab sílécet? Ha soha nem vásárolnánk meg a K darabot, akkor ha a sílécek iránti igények sorozata elég hosszú, és mindig elég sok sílécet igényelnek, az algoritmus nem lehet konstans versenyképes. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
16 A síbérlési feladat általánosan [3] A következ, általánosított algoritmus 2 1 B -versenyképes, hasonlóan, mint K = 1 esetén: Minden 1 k K esetén vásároljuk meg a k-adik sílécet azon a napon, amely napon B-szer érkezett már legalább k darab sílécre igény. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
![A síbérlési feladat általánosítása [4] ábra: Az ábra egy hat napos id szakot szemléltet. Minden nap igényelnek valahány sílécet, esetünkben K = 5.](/docs-images/93/113922094/images/17-0.jpg "Az els nap 3, a második nap 5, a harmadik napon egy sífelszerelésre érkezik igény és így tovább. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30.")
17 A síbérlési feladat általánosítása [4] ábra: Az ábra egy hat napos id szakot szemléltet. Minden nap igényelnek valahány sílécet, esetünkben K = 5. Az els nap 3, a második nap 5, a harmadik napon egy sífelszerelésre érkezik igény és így tovább. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
18 Memóriakezelési probléma [1] A számítógépek gyorsmemóriájának a kezelését modellezik. Adott lapok egy halmaza, ebb l származó lapok egy sorozata a bemenet. k lap kapacitású gyorsmemóriát kell kezelni. Ha az aktuálisan igényelt lap nincs a memóriában, akkor az algoritmusnak ezt a lapot be kell tennie és ha már nincs hely, valamely másik lapot ki kell raknia. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
19 Memóriakezelési probléma [2] Ha egy igényelt lap nincs a memóriában, azt hibának nevezzük. Cél: hibák minimalizálása. Online probléma, hiszen az algoritmusnak a lap elhelyezéséhez szükséges döntést (azaz, hogy mit távolítson el a gyorsmemóriából) a további igények ismerete nélkül kell meghoznia. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
20 Memóriakezelési probléma [3] Tétel Nincs olyan online algoritmus a lapozási problémára, melynek a versenyképességi hányadosa kisebb lenne, mint k, ahol k a gyorsmemória kapacitása. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
21 Bélyegz algoritmus [1] Az eljárás egyes, korábban kért lapok megjelölésére bélyegeket használ. Kezdetben egyetlen lap sincs megjelölve. Egy bejöv kérés esetén a következ lépéseket hajtja végre: 1. Ha a kért lap a memóriában van és ez a lap még jelöletlen, megjelöljük. 2. Ha a kért lap nincs a memóriában, és nincs már jelöletlen lap a memóriában, az összes jelölést töröljük. 3. Ezután veszünk egy jelöletlen lapot a memóriából (ilyet biztosan találunk az el z lépés miatt), a kért lapot ennek a helyére rakjuk és bejelöljük. Az algoritmus m ködését nagyban befolyásolja, hogy milyen szabály alapján választjuk ki a törlend lapot. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
22 Bélyegz algoritmus [2] Jelöljük a Bélyegz algoritmust egyszer en B-vel. Tétel A B algoritmus enyhe versenyképességi hányadosa k. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
23 LRU (least recently used) algoritmus Gyakorlatban elterjedt módszer. Minden esetben azt a lapot töröljük a memóriából, amelyet a legrégebben használtunk. A bélyegz algoritmusok családjába tartozik. Hasonlít a jól ismert FIFO eljáráshoz, mely szintén azt a lapot rakja ki a memóriából, mely a legrégebben került be. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
24 Véletlenített online algoritmusok [1] Az algoritmus véletlen döntéseket is hoz, ezen döntésekt l kimenetelét l függ az algoritmus futása. A célfüggvény várható értékét vizsgáljuk. Az A(I ) valószín ségi változó várható értékét vizsgáljuk, melyet összehasonlítunk az optimális megoldás OPT (I ) értékével. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
25 Véletlenített online algoritmusok [2] Példa Tegyük fel, hogy van két doboz: A és B, amelyek egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatunk egy dobozt, aminek a tartalmát megkapjuk. Két determinisztikus algoritmus használható: vagy A-t, vagy B-t választjuk, mindkét esetben az algoritmus költsége a legrosszabb esetben 500. Azonban, ha egy olyan véletlenített algoritmust használunk, mely 1 2 valószín séggel választja mindkét ládát, akkor az algoritmus költségének várható értéke ( 500) = 0 Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
26 Véletlenített algoritmus a síbérlési feladatra A sílécek vásárlási ára továbbra is B egység, a bérlés ára napi 1 egység. A véletlen R algoritmus 1 2 valószín séggel a 3B 4 vásárol. 1 2 valószín séggel a B id pontig vár és utána vásárol. id pontig vár és utána Tétel Az R algoritmus versenyképes. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
27 Véletlenített bélyegz algoritmus 1. Ha a kért lap a memóriában van és ez a lap még jelöletlen, megjelöljük. 2. Ha a kért lap nincs a memóriában, és nincs már jelöletlen lap a memóriában, az összes jelölést töröljük. 3. Ezután veszünk egy jelöletlen lapot egyenletes eloszlással a memóriából (ilyet biztosan találunk az el z lépés miatt), a kért lapot ennek a helyére rakjuk és bejelöljük. Tétel Ha a bemenetet az algoritmus véletlen döntéseinek eloszlása ismeretében, de a döntések kimenetének ismerete nélkül adjuk meg, akkor a fenti algoritmus 2H k -versenyképes, ahol H k = k 1 i=1 i. Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
28 Köszönöm a gyelmet! Horváth Bálint Online algoritmusok március / 28
Az online algoritmusok k-szerver probléma
Az online algoritmusok k-szerver probléma Bittner Emese, Imreh Csanád, Nagy-György Judit Szegedi Tudományegyetem Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az
Approximációs algoritmusok
Approximációs algoritmusok Nehéz (pl. NP teljes) problémák optimális megoldásának meghatározására nem tudunk (garantáltan) polinom idejű algoritmust adni. Lehetőségek: -exponenciális futási idejű algoritmus
1. Online kiszolgálóelhelyezés
1. Online kiszolgálóelhelyezés A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus tér pontjait tartalmazza, d pedig az M M halmazon
1. Bevezet példák, síbérlés
Gyakorlatokhoz emlékeztet 1. Bevezet példák, síbérlés 1.1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek
Írta: DÓSA GYÖRGY IMREH CSANÁD ONLINE ALGORITMUSOK. Egyetemi tananyag
Írta: DÓSA GYÖRGY IMREH CSANÁD ONLINE ALGORITMUSOK Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék, Imreh Csanád, Szegedi Tudományegyetem
Az online algoritmusok k-szerver probléma
Az online algoritmusok k-szerver probléma Bittner Emese, Imreh Csanád, Nagy-György Judit Szegedi Tudományegyetem Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az
1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
Alapfogalmak, bevezető
1. fejezet Alapfogalmak, bevezető példák 1.1. Bevezetés A gyakorlati problémákban gyakran fordulnak elő olyan optimalizálási feladatok, ahol a bemenetet (más néven inputot, vagyis a feladatot definiáló
i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.
1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr
Függvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)
Online migrációs ütemezési modellek
Online migrációs ütemezési modellek Az online migrációs modellekben a régebben ütemezett munkák is átütemezhetőek valamilyen korlátozott mértékben az új munka ütemezése mellett. Ez csökkentheti a versenyképességi
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
Valószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
A k-szerver probléma
Bevezetés A k-szerver probléma Imreh Csanád SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 6720, Szeged, Árpád tér 2. Email: cimreh@inf.u-szeged.hu A gyakorlatban gyakran fordulnak elő olyan optimalizálási feladatok,
1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
A Markowitz modell: kvadratikus programozás
A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer
Opkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével
Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Pekárdy Milán, Baumgartner János, Süle Zoltán Pannon Egyetem, Veszprém XXXII. Magyar Operációkutatási
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Ütemezési feladatok. Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd
1 Ütemezési feladatok Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd tekintettel a feladat gyakorlati fontosságára sok különböző modell tanulmányozására került sor, és a témakör
Döntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat)
VII. előadás Legyenek adottak Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat) I, I 2,, I i,, I m személyek és a J, J 2,, J j,, J n munkák. Azt, hogy melyik személy melyik munkához ért ( melyik munkára van kvalifikálva)
Kriptográfia 0. A biztonság alapja. Számítás-komplexitási kérdések
Kriptográfia 0 Számítás-komplexitási kérdések A biztonság alapja Komplexitás elméleti modellek független, egyenletes eloszlású véletlen változó értéke számítással nem hozható kapcsolatba más információval
Bázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
Turing-gép május 31. Turing-gép 1. 1
Turing-gép 2007. május 31. Turing-gép 1. 1 Témavázlat Turing-gép Determinisztikus, 1-szalagos Turing-gép A gép leírása, példák k-szalagos Turing-gép Univerzális Turing-gép Egyéb Turing-gépek Nemdeterminisztikus
Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
p j p l = m ( p j ) 1
Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján
0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
A matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
NP-teljesség röviden
NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel
Általános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Diszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. gyakorlat Gyakorlatvezet : Dr. Kátai-Urbán Kamilla Helyettesít: Bogya Norbert 2011. szeptember 8. Tartalom Információk 1 Információk Honlapcímek Számonkérések, követelmények
Valószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását
Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely
Online ládapakolás. 1. Ládapakolási modellek
Online ládapakolás 1. Ládapakolási modellek A ládapakolási problémában inputként tárgyak egy sorozatát kapjuk meg, ahol az i-edik tárgyat a mérete határozza meg, ami egy a i (0, 1] érték. Célunk a tárgyak
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
Deníciók és tételek a beugró vizsgára
Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,
Amortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Ütemezési modellek. Az ütemezési problémák osztályozása
Ütemezési modellek Az ütemezési problémák osztályozása Az ütemezési problémákban adott m darab gép és n számú munka, amelyeket az 1,..., n számokkal fogunk sorszámozni. A feladat az, hogy ütemezzük az
3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa
A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 6. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 6. előadás Tesztelési módszerek statikus tesztelés kódellenőrzés szintaktikus ellenőrzés szemantikus ellenőrzés dinamikus tesztelés fekete doboz módszerek fehér
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
Lineáris különböz ségek
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI 2010 december 13 A feladat Titok: u = (µ 1,..., µ n ) n dimenziós vektor Z n 3 -b l Z 3 = az egész számok modulo 3 Gombnyomásra kapunk: véletlen v i = (a i1,..., a in ) vektorokat,
A félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
Idegennyelv-tanulás támogatása statisztikai és nyelvi eszközökkel
statisztikai és nyelvi eszközökkel Témalabor 2. beszámoló Témavezet : Vámos Gábor 2009. január 9. Mir l lesz szó? A cél: tesztelni és tanítani 1 A cél: tesztelni és tanítani Eszközök és célok Szókincs
Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Korlátozás és szétválasztás elve. ADAGOLO adattípus
Korlátozás és szétválasztás elve ADAGOLO adattípus Értékhalmaz: E Adagolo : A E Műveletek: A : Adagolo, x : E {Igaz} Letesit(A) {A = /0} {A = A} Megszuntet(A) {Igaz} {A = A} Uresit(A) {A = /0} {A = A}
Programozás II. előadás
Nem összehasonlító rendezések Nem összehasonlító rendezések Programozás II. előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Programozás II. 2 Rendezés
Adatszerkezetek és algoritmusok
2009. november 13. Ismétlés El z órai anyagok áttekintése Ismétlés Specikáció Típusok, kifejezések, m veletek, adatok ábrázolása, típusabsztakció Vezérlési szerkezetek Függvények, paraméterátadás, rekurziók
út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1
3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció
2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Számítógép és programozás 2
Számítógép és programozás 2 6. Előadás Problémaosztályok http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Emlékeztető A specifikáció egy előfeltételből és utófeltételből álló leírása a feladatnak Léteznek olyan feladatok,
Függvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely február
MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
NASSFELD SÍ AKCIÓ! SZÁLLÁS + SÍBÉRLET MÁR 50 EURO/Fİ/ÉJ! AKCIÓS APARTMANOK, PANZIÓK SÍBÉRLETTEL!
NASSFELD SÍ AKCIÓ! SZÁLLÁS + SÍBÉRLET MÁR 50 EURO/Fİ/ÉJ! AKCIÓS APARTMANOK, PANZIÓK SÍBÉRLETTEL! Akció ideje: 2010.12.04-2010.12.18. Az árak euróban értendık /fı /csomag 3* Hotel/Panzió 4* plus Hotel SZÁLLÁS
Beszámoló az "Online er forrás allokációs problémák" cím F048587 számú OTKA kutatási projekt eredményeir l
Beszámoló az "Online er forrás allokációs problémák" cím F048587 számú OTKA kutatási projekt eredményeir l A gyakorlatban el forduló alkalmazásokban sokszor kerülünk szembe olyan problémákkal, hogy korlátozott
Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Hash tábla A bináris fáknál O(log n) a legjobb eset a keresésre. Ha valamilyen közvetlen címzést használunk, akkor akár O(1) is elérhető. A hash tábla a tömb általánosításaként
Rövid távú modell III. Pénzkereslet, LM görbe
Rövid távú modell III. Pénzkereslet, Makroökonómia Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Rövid távú modell III. Pénzkereslet, Félév végi dolgozat 40 pontos vizsga május 23. hétf 10 óra május
Rövid távú modell Pénzkereslet, LM görbe
Rövid távú modell Pénzkereslet, Kuncz Izabella Makroökonómia Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Kuncz Izabella Rövid távú modell Pénzkereslet, Mit tudunk eddig? Elkezdtük levezetni a rövid
Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész
MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai
Gépi tanulás és Mintafelismerés
Gépi tanulás és Mintafelismerés jegyzet Csató Lehel Matematika-Informatika Tanszék BabesBolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007 Aug. 20 2 1. fejezet Bevezet A mesterséges intelligencia azon módszereit,
Bevezetés az informatikába
Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.
Keresés képi jellemzők alapján. Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék
Keresés képi jellemzők alapján Dr. Balázs Péter SZTE, Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Lusta gépi tanulási algoritmusok Osztályozás: k=1: piros k=5: kék k-legközelebbi szomszéd (k=1,3,5,7)
Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.
Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat
A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
Programozás I. - 11. gyakorlat
Programozás I. - 11. gyakorlat Struktúrák, gyakorlás Tar Péter 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Utolsó frissítés: November 16, 2009 1 tar@dcs.vein.hu Tar
Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
15. tétel. Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 30.
15. tétel Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: 2013. január 30. Edényrendezés Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy a bemenő elemek (A[1..n] elemei) egy m elemű U halmazból kerülnek ki, pl. " A[i]-re
Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Információs rendszerek elméleti alapjai Információelmélet Az információ nem növekedés törvénye Adatbázis x (x adatbázis tartalma) Kérdés : y Válasz: a = f(y, x) Mennyi az a információtartalma: 2017. 04.