Deníciók és tételek a beugró vizsgára
|
|
- Alíz Somogyiné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: december 2.
2 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. Egy problémát a hozzá tartozó konkrét bementettel együtt a probléma egy példányának nevezzük. Speciális számítási probléma az eldöntési probléma. Ilyenkor a problémával kapcsolatos kérdés egy eldöntend kérdés, tehát a probléma egy példányára a válasz igen vagy nem lesz. Egy f : A B függvényt kiszámíthatónak nevezünk, ha létezik olyan algoritmus amely minden x A elemre véges sok lépésben kiszámítja az f(x) B értéket (tehát f teljesen deniált, azaz totális függvény). Egy probléma megoldható, ha az általa meghatározott függvény kiszámítható. Ha egy eldöntési probléma megoldható, akkor azt is mondjuk, hogy a probléma eldönthet. Egy eldönthet probléma tekinthet úgy is mint egy formális nyelv. A probléma példányait elkódoljuk egy megfelel ábécé feletti szavakban. Ezek után magát a problémát azonosítjuk azzal a formális nyelvvel, mely azokat a szavakat tartalmazza, melyek a probléma igen példányait kódolják, vagyis azokat a példányokat melyekre a problémát eldönt algoritmus igen választ ad. Legyenek f, g : N R + függvények, ahol N a természetes számok, R + pedig a nemnegatív valós számok halmaza. Azt mondjuk, hogy f legfeljebb olyan gyorsan n mint g (jelölése: f(n) = O(g(n))) ha létezik olyan c > 0 szám és n 0 N, hogy f(n) c g(n) minden n n 0 számra. Az f(n) = Ω(g(n)) jelöli azt, hogy g(n) = O(f(n)) teljesül, és f(n) = Θ(g(n)) jelöli azt, hogy f(n) = O(g(n)) és f(n) = Ω(g(n)) is teljesül. Tétel Minden polinomiális függvény lassabban n, mint bármely exponenciális függvény, azaz minden p(n) polinomhoz és c pozitív valós számhoz van olyan n 0 egész szám, hogy minden n n 0 esetén p(n) 2 cn. Az algoritmus fogalmának egy intuitív deníciója: Utasítások egy jóldeniált, véges sorozata, melyeket végrehajtva megoldható egy adott feladat (probléma). Eszközök, melyek az algoritmus fogalmának matematikai modelljei: rekurzív függvények, λ-kalkulus, Turing-gépek, RAM gépek, Post-gépek, Markovalgoritmusok. Church-Turing tézis A kiszámíthatóság különböz matematikai modelljei mind az eektíven kiszámítható függvények osztályát deniálják.
3 3 Formális nyelvi alapismeretek Legyen Σ egy véges, nem üres halmaz. Σ-t ábécének, az elemeit pedig bet knek nevezzük. Σ bet inek egy tetsz leges véges (akár üres) sorozatát Σ-feletti szónak nevezzük. Σ jelöli az összes Σ-feletti szót, Σ + a Σ {ε} halmazt, l(u) az u Σ szó hosszát, l a (u) pedig az u-beli a bet k számát. A 0 hosszú szót üres szónak nevezzük (jele: ε). Σ-feletti nyelven a Σ egy részhalmazát értjük. A kiszámíthatóság elmélet alapjai A Turing-gép egy olyan M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) rendszer, ahol Q az állapotok véges, nemüres halmaza, q 0, q i, q n Q, q 0 a kezd -, q i az elfogadó és q n az elutasító állapot, Σ és Γ ábécék, a bemen jelek illetve a szalag szimbólumok ábécéje úgy, hogy Σ Γ és Γ Σ tartalmaz egy speciális szimbólumot, δ : (Q {q i, q n }) Γ Q Γ {L, R} az átmenet függvény. A Turing-gép m ködésének fázisait a gép úgynevezett kongurációival írjuk le. A Turing-gép kongurációja egy uqv szó, ahol q Q és u, v Γ, v ε. Ez a konguráció a gép azon állapotát tükrözi amikor a szalag tartalma uv (uv után szalagon már csak van), a gép a q állapotban van, és a gép író-olvasó feje a v els bet jére mutat. A gép kezd kongurációja egy olyan q 0 u szó, ahol u csak Σ beli bet ket tartalmaz. Egy Turing-gép kongurációátmenetét az alábbiak szerint deniáljuk. Legyen uqav egy konguráció, ahol a Γ és u, v Γ. Ha δ(q, a) = (r, b, R), akkor uqav ubrv, ahol v = v, ha v ε, különben v =. Most tegyük fel azt, hogy δ(q, a) = (r, b, L). Ebben az esetben ha u ε, akkor uqav u rcbv, ahol c Γ és u c = u, egyébként pedig uqav urbv. Azt mondjuk, hogy M véges sok lépésben eljut a C kongurációból a C kongurációba (jele C C ), ha van olyan n 0 és C 1,..., C n kongurációsorozat, hogy C 1 = C, C = C n és minden 1 i < n-re, C i C i+1. Ha q {q i, q n }, akkor azt mondjuk, hogy az uqv konguráció egy megállási konguráció. q = q i esetében elfogadó, míg q = q n esetében elutasító kongurációról beszélünk. Az M által felismert nyelv (amit L(M)-mel jelölünk) azoknak az u Σ szavaknak a halmaza, melyekre igaz, hogy q 0 u xq i y valamely x, y Γ, y ε szavakra.
4 4 Egy L Σ nyelv Turing-felismerhet, ha L = L(M) valamely M Turinggépre. Továbbá, egy L Σ nyelv eldönthet, ha létezik olyan M Turinggép, mely minden bemeneten megállási kongurációba jut és felismeri az L- et. A Turing-felismerhet nyelveket szokás rekurzívan felsorolhatónak, az eldönthet nyelveket pedig rekurzívnak is nevezni. A rekurzívan felsorolható nyelvek osztályát RE-vel, a rekurzív nyelvek osztályát pedig R-rel jelöljük. Tekintsünk egy M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) Turing-gépet és annak egy u Σ bemen szavát. Azt mondjuk, hogy M futási ideje (id igénye) az u szón n (n 0), ha M a q 0 u kezd kongurációból n lépésben el tud jutni egy megállási kongurációba. Ha nincs ilyen szám, akkor M futási ideje az u-n végtelen. Legyen f : N N egy függvény. Azt mondjuk, hogy M id igénye f(n) (vagy, hogy M egy f(n) id korlátos gép), ha minden u Σ input szóra, M id igénye az u szón legfeljebb f(l(u)). Legyen k > 1. Egy k-szalagos Turing-gép egy olyan M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) rendszer, ahol a komponensek a δ kivételével megegyeznek az egyszalagos Turinggép komponenseivel, δ pedig a következ képpen adódik. δ : (Q {q i, q n }) Γ k Q Γ k {L, R, S} k. Itt az S szimbólum azt az esetet jelöli amikor az író-olvasó fej helyben marad. A többszalagos Turing-gép kongurációi, a kongurációátmenetek valamint a felismert illetve elöntött nyelv deníciója az egyszalagos eset értelemszer általánosításai. A többszalagos Turing-gép modell id igényét is az egyszalagoshoz hasonlóan deniáljuk. A továbbiakban egy L nyelvet f(n) id ben eldönthet nek nevezünk, ha eldönthet egy f(n) id korlátos (akár többszalagos) Turing-géppel. Tétel Minden k-szalagos, f(n) id korlátos Turing-géphez van vele ekvivalens egyszalagos, O(f(n) 2 ) id korlátos Turing-gép. Egy M nemdeterminisztikus Turing-gép átmenetfüggvénye δ : (Q {q i, q n }) Γ P(Q Γ {L, R}) alakú. Tehát M minden kongurációjából néhány (esetleg nulla) különböz kongurációba mehet át. Ily módon M számítási sorozatai egy u szón egy fával reprezentálhatók. A fa csúcsa M kezd kongurációja, a szögpontjai pedig M kongurációi. A fa minden levele megfelel M egy számítási sorozatának az u-n. Végül M akkor fogadja el u-t, ha a fa valamelyik levele elfogadó konguráció. Nevezzük ezt a most leírt fát M nemdeterminisztikus számítási fájának az u-n. Az M nemdeterminisztikus Turing-gép által felismert nyelv a determinisztikus esethez hasonlóan deniálható, a gép által eldöntött nyelv pedig a következ képpen. Azt mondjuk, hogy egy nemdeterminisztikus Turing-gép eldönt egy L Σ nyelvet ha felismeri, és minden u Σ szóra M számítási sorozatai végesek és elfogadási vagy elutasítási kongurációba vezetnek. A nemdeterminisztikus Turing-gép deníciója értelemszer en kiterjeszthet a többszalagos esetre is. A nemdeterminisztikus Turing-gép id igényét a következ módon deniáljuk. Legyen f : N N egy függvény és M egy nemdeterminisztikus Turing-gép.
5 5 Azt mondjuk, hogy az M id igénye f(n), ha egy n hosszú bemeneten nincsenek M-nek n-nél hosszabb számítási sorozatai. Tétel Minden M f(n) id igény nemdeterminisztikus Turing-gép ekvivalens egy 2 O(f(n)) (exponenciális) id igény determinisztikus Turing-géppel. Eldönthetetlen problémák Az L átló nyelv azon {0, 1}-feletti Turing-gépek bináris kódjait tartalmazza, melyek nem fogadják el önmaguk kódját, mint bemen szót. Formálisan, L átló = {w i i 1, w i L(M i )}, ahol w i az i-ik szó a {0, 1}-feletti szavak felsorolásában, M i pedig a w i bináris szóval elkódolt {0, 1} ábécé feletti Turing-gép. Tétel Az L átló nem rekurzívan felsorolható. Legyen L egy Σ-feletti tetsz leges nyelv. Az L nyelv komplementerét L-el jelöljük és az alábbi módon deniáljuk: L = {w w Σ, w L}. Tétel Ha L egy rekurzív nyelv, akkor a komplementere is rekurzív. Tétel Legyen L egy nyelv. Ha L és L is rekurzívan felsorolható, akkor L rekurzív. Az L u nyelv azon (M, w) párok halmaza (egy megfelel bináris szóban elkódolva), ahol M egy {0, 1} bemen ábécé feletti Turing-gép, w pedig egy {0, 1}- feletti szó úgy, hogy w L(M), azaz M elfogadja w-t. Formálisan, L u = { M, w w L(M)}. Tétel L u rekurzívan felsorolható, de nem rekurzív. Legyen Σ és két ábécé és f egy Σ -ból -ba képez függvény. Azt mondjuk, hogy f kiszámítható, ha van olyan M Turing-gép, hogy M-et egy w Σ szóval a bemenetén indítva, M úgy áll meg, hogy a szalagján az f(w) szó van. Legyen L 1 Σ és L 2 két nyelv (azaz eldöntési probléma). Azt mondjuk, hogy L 1 visszavezethet L 2 -re, ha van olyan f : Σ kiszámítható függvény, hogy minden w Σ szóra, w L 2 akkor és csak akkor teljesül, ha f(w) L 2 is teljesül. Tétel Legyen L 1 és L 2 két eldöntési probléma és tegyük fel, hogy L 1 visszavezethet L 2 -re. Akkor igazak az alábbi állítások: 1. Ha L 1 eldönthetetlen, akkor L 2 is az (azaz ha L 1 R, akkor L 2 R). 2. Ha L 1 RE, azaz nem rekurzívan felsorolható, akkor L 2 RE szintén teljesül. A Turing-gépek megállási problémája, mint formális nyelv: L halt = { M, w M megáll a w bemeneten},
6 6 azaz L halt azon (M, w) Turing-gép és bemenet párosokat tartalmazza megfelel en elkódolva, hogy az M gép megáll a w bemenetet. Tétel L halt rekurzívan felsorolható, de nem rekurzív. Ha P a rekurzívan felsorolható nyelvek egy halmaza, akkor P-t a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. Továbbá, P egy nem triviális tulajdonság, ha P és P RE. Azt mondjuk, hogy egy L RE nyelv rendelkezik a P tulajdonsággal, ha L P. L P azon Turing-gépek kódjait tartalmazza, melyek P tulajdonsággal rendelkez nyelveket ismernek fel. Tétel (Rice tétele) Legyen P a rekurzívan felsorolható nyelvek egy nem triviális tulajdonsága. Akkor az L P nyelv eldönthetetlen (azaz L P R). A Post Megfelelkezési Probléma (PMP) a következ képpen deniálható: Adott egy D = { u1 v 1,..., un v n } dominóhalmaz, ahol n 1 és minden 1 i n-re, u i és v i egy Σ-feletti nem üres szó. A kérdés az, hogy van-e D-nek megoldása, azaz van-e olyan i 1,..., i m {1,..., n} indexsorozat valamely m 1-re, melyre teljesül, hogy u i1... u im = v i1... v im. Tétel A Post Megfelelkezési Probléma algoritmikusan eldönthetetlen. Másképpen fogalmazva az L D = { D D egy olyan dominókészlet aminek van megoldása} nyelv nem R-beli. Tekintsük az alábbi nyelveket (problémákat): T AUT 1 = { ϕ ϕ egy els rend tautológia}, UNSAT 1 = { ϕ ϕ egy kielégíthetetlen els rend formula}, SAT 1 = { ϕ ϕ egy kielégíthet els rend formula}, Tétel A T AUT 1, UNSAT 1 és SAT 1 problémák egyike sem eldönthet, azaz T AUT 1, UNSAT 1, SAT 1 R. Következmény Algoritmikusan eldönthetetlen, hogy els rend formulák egy tetsz leges véges F halmazára illetve egy A els rend formulára teljesül-e, hogy F = A. Tétel A T AUT 1 és az UNSAT 1 nyelvek rekurzívan felsorolhatóak. Továbbá, ha F els rend formulák egy tetsz leges véges halmaza, akkor azon A formulák halmaza, melyekre igaz, hogy F = A szintén rekurzívan felsorolható. Következmény SAT 1 RE, azaz SAT 1 nem rekurzívan felsorolható.
7 7 Bevezetés a bonyolultságelméletbe Legyen f(n) : N N egy függvény. Akkor TIME(f(n)) = {L L eldönthet O(f(n)) id igény Turing-géppel}. Továbbá, P = k 1 TIME(nk ). Tehát P azon nyelveket tartalmazza, melyek eldönthet ek polinom id korlátos determinisztikus Turing-géppel. NTIME(f(n)) = {L L eldönthet O(f(n)) id igény nemdeterminisztikus Turing-géppel}. Továbbá, NP = k 1 NTIME(nk ). Tehát NP azon nyelveket tartalmazza, melyek eldönthet ek polinom id korlátos nemdeterminisztikus Turing-géppel. Tétel P NP. Az a sejtés (azaz még nem bizonyított), hogy a fenti tartalmazás valódi. Legyen Σ és két ábécé és f egy Σ -ból -ba képez függvény. Azt mondjuk, hogy f polinom id ben kiszámítható, ha kiszámítható egy polinom id igény Turing-géppel. Legyen L 1 Σ és L 2 két nyelv. Azt mondjuk, hogy L 1 polinom id ben visszavezethet L 2 -re (jele: L 1 p L 2 ), ha van olyan f : Σ polinom id ben kiszámítható függvény, hogy minden w Σ szóra, w L 1 akkor és csak akkor teljesül, ha f(w) L 2 is teljesül. Tétel Legyen L 1 és L 2 két probléma úgy, hogy L 1 p L 2. Ha L 2 1. P-beli, akkor L 1 is P-beli. 2. NP-beli, akkor L 1 is NP-beli. Legyen L egy probléma. Azt mondjuk, hogy L NP-teljes, ha 1. NP-beli és 2. minden további NP-beli probléma polinom id ben visszavezethet L-re. Tétel Legyen L egy NP-teljes probléma. Ha L P, akkor P = NP. Tétel Legyen L 1 egy NP-teljes és L 2 egy NP-beli probléma. Ha L 1 p L 2 (azaz L 1 polinom id ben visszavezethet L 2 -re), akkor L 2 is NP-teljes. Literálnak nevezünk egy ítéletváltozót (melynek értéke igaz illetve hamis lehet) illetve annak negáltját. Tagnak nevezzük a literálok diszjunkcióját (vagy kapcsolatát) és konjunktív normálformának (knf) a tagok konjunkcióját (és kapcsolatát). Ezek után a Sat problémát a következ képpen deniáljuk. Sat={ φ φ kielégíthet konjunktív normálformában adott logikai formula}
8 8 Tehát Sat azon konjunktív normálformákat tartalmazza, egy megfelel ábécé felett elkódolva, melyek kielégíthet ek. Tétel (Cook tétele) Sat NP-teljes. Legyen k 1. A ksat problémát a következ képpen deniáljuk. ksat = { φ : φ sat, φ minden tagjában k literál van }. Tétel 3sat NP-teljes. A Teljes részgráf, Független csúcshalmaz és Csúcslefedés problémákat a következ képpen deniáljuk. Teljes részgráf = { G, k G véges gráf, k 1, G-nek létezik k csúcsú teljes részgráfja }. Tehát a Teljes részgráf azon G és k párokat tartalmazza, megfelel ábécé feletti szavakban elkódolva, melyekre igaz, hogy G-ben van k csúcsú teljes részgráf, azaz olyan részgráf, melyben bármely két csúcs között van él. Független csúcshalmaz = { G, k G véges gráf, k 1, G-nek van k elem független csúcshalmaza }. Vagyis a Független csúcshalmaz azon G és k párokat tartalmazza, melyekre igaz, hogy G-ben van k olyan csúcs, melyek közül egyik sincs összekötve a másikkal. Csúcslefedés = { G, k G véges gráf, k 1, G-nek van olyan k elem csúcshalmaza, mely tartalmazza G minden élének legalább egy végpontját }. Tétel A Teljes részgráf, Független csúcshalmaz és Csúcslefedés problémák NP-teljesek. Tétel Ha P NP, akkor van olyan L NP nyelv, hogy L P, de L nem is NP-teljes.
definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.
Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott
RészletesebbenSzámításelmélet. Will június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis
Számításelmélet Will 2010. június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis. A Turing gép, mint algoritmus modell. A rekurzív és a rekurzívan felsorolható nyelvek. Algoritmikusan eldönthet
RészletesebbenTuring-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1
Turing-gépek Logika és számításelmélet, 7. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1 A Turing-gép Az algoritmus fogalmának egy intuitív definíciója:
RészletesebbenSzámításelmélet. Második előadás
Számításelmélet Második előadás Többszalagos Turing-gép Turing-gép k (konstans) számú szalaggal A szalagok mindegyike rendelkezik egy független író / olvasó fejjel A bemenet az első szalagra kerül, a többi
RészletesebbenAz informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.
Név (aláírás): Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga 2017. december 19. A vizsgadolgozat 1. feladatára helyes válaszonként 1-1 pont kapható, a 2-3. feladatok megoldásáért 6-6 pont, a 4. feladatra
RészletesebbenA Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:
A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt rövid kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum
RészletesebbenA Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:
A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12
RészletesebbenTuring-gép május 31. Turing-gép 1. 1
Turing-gép 2007. május 31. Turing-gép 1. 1 Témavázlat Turing-gép Determinisztikus, 1-szalagos Turing-gép A gép leírása, példák k-szalagos Turing-gép Univerzális Turing-gép Egyéb Turing-gépek Nemdeterminisztikus
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 10. előadás
Logika és számításelmélet 10. előadás Rice tétel Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságai Tetszőleges P RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 7. előadás
Logika és számításelmélet 7. előadás Elérhetőség, fóliasorok, ajánlott irodalom Előadó: Tichler Krisztián Elérhetőség: 2-708, ktichler@inf.elte.hu Előadások itt lesznek: www.cs.elte.hu/ tichlerk Elérhetőség,
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 7. előadás
Logika és számításelmélet 7. előadás Elérhetőség, fóliasorok, ajánlott irodalom Előadó: Kolonits Gábor Elérhetőség: 2-708, kolomax@inf.elte.hu Előadások innen tölthetők le: www.cs.elte.hu/ tichlerk Ajánlott
RészletesebbenBevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. A(0, y) := y + 1 y 0 A(x, 0) := A(x 1, 1) x 1 A(x, y) := A(x 1, A(x, y 1)) x, y 1
Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. B. Az Ackermann függvény avagy nem minden olyan egyszerű, mint amilyennek látszik Legyen A(x, y) a következő, rekurzív módon definiált függvény: A(0, y)
RészletesebbenLogika és számításelmélet Készítette: Nagy Krisztián
Logika és számításelmélet Készítette: Nagy Krisztián LOGIKA RÉSZ 1. Gondolkodásforma vagy következtetésforma Egy F = {A 1, A 2,, A n } állításhalmazból és egy A állításból álló (F, A) pár. 2. Helyes következtetésforma
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe
Bevezetés a számításelméletbe egyetemi jegyzet Gazdag Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem, Informatikai Kar, Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Lektorálta: Dr. Németh L. Zoltán egyetemi adjunktus A
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
RészletesebbenNP-teljesség röviden
NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel
RészletesebbenÁllamvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001.
Államvizsga '01, 12. tétel: Algoritmusok bonyolultsága... 1 Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001. 10. tétel : Algoritmusok bonyolultsága (Számítási modellek, véges automaták, Turinggépek, eldönthet
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 12. előadás
Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 11. előadás
Logika és számításelmélet 11. előadás NP-teljesség Emlékeztetőül: NP-teljes nyelv Egy L probléma NP-teljes (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha L NP L NP-nehéz, azaz minden L NP esetén L p L. Azaz
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:28 A kurzus teljesítési követelményei 2 Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenA digitális számítás elmélete
A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L
RészletesebbenVéges automaták, reguláris nyelvek
Véges automaták, reguláris nyelvek Kiegészítő anyag az lgoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: lgoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 27. augusztus 3. véges automata
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet
Monday 26 th September, 2016, 18:27 A kurzus teljesítési követelményei Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten előadáson Pontszám:
RészletesebbenAutomaták mint elfogadók (akceptorok)
Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e
RészletesebbenTuring-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. Friedl Katalin BME SZIT március 18.
Turing-gépek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 2016. március 18. A veremautomatáknál az hogy
RészletesebbenTuring-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT augusztus 16.
Turing-gépek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 2017. augusztus 16. A veremautomatáknál az, hogy
RészletesebbenBonyolultságelmélet feladatok
Bonyolultságelmélet feladatok Hajgató Tamás Iván Szabolcs Updated: November 26, 2009 1 Függvények nagyságrendje A következő definíciókat használjuk, ahol f, g két N N függvény (mindig fel fogjuk tenni,
RészletesebbenÍtéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
RészletesebbenKriptográfia 0. A biztonság alapja. Számítás-komplexitási kérdések
Kriptográfia 0 Számítás-komplexitási kérdések A biztonság alapja Komplexitás elméleti modellek független, egyenletes eloszlású véletlen változó értéke számítással nem hozható kapcsolatba más információval
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenZH feladatok megoldásai
ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenTesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév
1. oldal, összesen: 6 Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév NÉV:... 1. Legyenek,Q,M páronként diszjunkt halmazok; /= Ř, Q > 2, M = 3. Egyszalagos, determinisztikus Turing gépnek
RészletesebbenA Számítástudomány alapjai
Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék A Számítástudomány alapjai Szemelvények az Elméleti Számítástudomány területéről Fogalmak: Számítástechnika Realizáció, technológia Elméleti számítástudomány
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 12. előadás
Logika és számításelmélet 12. előadás NP lehetséges szerkezete NP-köztes nyelv L NP-köztes, ha L NP, L P és L nem NP-teljes. Ladner tétele Ha P NP, akkor létezik NP-köztes nyelv. (biz. nélkül) NP-köztes
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenA számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Automaták
A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Automaták Nyelvek és automaták A nyelvek automatákkal is jellemezhetőek Automaták hierarchiája Chomsky-féle hierarchia Automata: új eszköz a nyelvek komplexitásának
RészletesebbenLogika és számításelmélet
Logika és számításelmélet 12. előadás Irányítatlan/irányított Hamilton út/kör Hamilton út/kör Adott egy G = (V, E) irányítatlan / irányított gráf ( V = n). Egy P = v i1,..., v in felsorolása a csúcsoknak
RészletesebbenNagyordó, Omega, Theta, Kisordó
A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:50 A kiszámítás modelljei 2 De milyen architektúrán polinom? A kiszámításnak számos (matematikai) modellje létezik: Általános rekurzív függvények λ-kalkulus
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?
,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések 2012. február 19. 1. Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja,
RészletesebbenÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)
ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenA logikai következmény
Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel
RészletesebbenÍtéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus
Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,
RészletesebbenBonyolultságelmélet. SZTE Informatikai Tanszékcsoport
Bonyolultságelmélet Ésik Zoltán SZTE Informatikai Tanszékcsoport Számítástudomány Alapjai Tanszék A kiszámíthatóság elméletének kialakulása 1900: Hilbert 10. problémája Adott f(x 1,..., x n ) = g(x 1,...
RészletesebbenKibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFelismerhető nyelvek zártsági tulajdonságai II... slide #30. Véges nemdeterminisztikus automata... slide #21
A számítástudomány alapjai Ésik Zoltán SZTE, Számítástudomány Alapjai Tanszék Bevezetes Bevezetés.................................................... slide #2 Automaták és formális nyelvek Szavak és nyelvek...............................................
RészletesebbenBonyolultsági vizsgálatok egy szépirodalmi m kapcsán
Molnár Gábor Bonyolultsági vizsgálatok egy szépirodalmi m kapcsán Bsc Szakdolgozat Témavezet : Korándi József Adjunktus Matematikatanítási és Módszertani Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikatanítási
RészletesebbenPredikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely
RészletesebbenALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás: Hálózatok, P- és N P-teljes problémák Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz 1. Hálózatok és egy P-teljes probléma Emlékeztető.
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33
1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
RészletesebbenMatematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1
3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT. Major Sándor Roland
SZAKDOLGOZAT Major Sándor Roland Debrecen 2009 Debreceni Egyetem Informatikai Kar A P vs. NP probléma vizsgálata Témavezető: Dr. Herendi Tamás Egyetemi adjunktus Készítette: Major Sándor Roland Programtervező
Részletesebben1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
RészletesebbenLOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET
LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET Készítette: Butkay Gábor és Gyenes József A jegyzet a 2013-2014-es tanév 2. felében lévő Logika és számításelmélet előadások alapján született. A jegyzet nem
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21
Bonyolultságelmélet Thursday 1 st December, 2016, 22:21 Tárbonyolultság A futásidő mellett a felhasznált tárterület a másik fontos erőforrás. Ismét igaz, hogy egy Ram-program esetében ha csak a használt
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
RészletesebbenALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 26. 1. Mahaney-tétel bizonyítása Emlékeztető. Mahaney-tétel
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA Turing-gép. Formális nyelvek III.
Formális nyelvek III. Általános és környezetfüggő nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informatikai Intézet Számítástudomány Alapjai Tanszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Definíció. Egy Turing-gép egy M = (Q,Σ,Γ,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenPredikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.
Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.
RészletesebbenAlgoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált
Részletesebben1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri.
Számításelmélet Dr. Olajos Péter Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematika Tanszék e mail: matolaj@uni-miskolc.hu 2011/12/I. Készült: Péter Gács and László Lovász: Complexity of Algorithms (Lecture Notes,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenInformatika 1 2. el adás: Absztrakt számítógépek
Informatika 1 2. el adás: Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2015-09-08 1 2 3 A egy M = Q, Γ, b, Σ, δ, q 0, F hetes, ahol Q az 'állapotok' nem üres halmaza, Γ a 'szalag ábécé' véges, nem üres
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
RészletesebbenFormális nyelvek és automaták vizsgához statisztikailag igazolt várható vizsgakérdések
1. Feladat Az első feladatban szereplő - kérdések 1 Minden környezet független nyelv felismerhető veremautomatával. Minden környezet független nyelv felismerhető 1 veremmel. Minden 3. típusú nyelv felismerhető
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenBonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.
onyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II. 1. Feladat Mutassuk meg, hogy a n/-hosszú kör probléma NP-nehéz! n/-hosszú kör Input: (V, ) irányítatlan gráf Output: van-e G-ben a csúcsok felén
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenTételsor a szóbeli számításelmélet vizsgához
Tételsor a szóbeli számításelmélet vizsgához A vizsgázó az 1-6., 7-10., 11-15. és 16-19. tételek közül húz egyet-egyet. Minden rész 1..5-ig lesz értékelve. Minden részb ı l legalább 2-est kell elérni,
RészletesebbenSzámítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009
Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Hétfő 10:00 12:00 óra Gyakorlat: Hétfő 14:00-16:00 óra Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/0910nwmsc
Részletesebben1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007
Hálózatok II 2007 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Szerda 17:00 18:30 Gyakorlat: nincs Vizsga írásbeli Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/g/07nwii
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Második előadás Tartalom 2/26 Ítéletlogika - Szemantika (folytatás) Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Szemantikus következményfogalom Formalizálás
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenModern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek
Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek Marx Dániel Paraméteres Algoritmusok és Bonyolultság Kutatócsoport Informatikai Kutatólaboratórium SZTAKI 05. június 5. Kombinatorikus
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
Részletesebben